مقالات

1.4.E: مشاكل في المجموعات المعدودة وغير المعدودة (تمارين) - الرياضيات


تمرين ( PageIndex {1} )

أثبت أنه إذا كان (A ) قابلاً للعد ولكن (B ) ليس كذلك ، فإن (B-A ) غير معدود.
[تلميح: إذا كان (B-A ) قابلاً للعد ، فسيكون كذلك
[
(ب - أ) / كوب أ / سبيتق ب. quad ( mathrm {لماذا؟})
]
استخدم النتيجة الطبيعية (1.] )

تمرين ( PageIndex {2} )

لنفترض أن (f ) تعيينًا ، و (A subseteq D_ {f}. ) أثبت ذلك
(i) إذا كان (A ) قابلاً للعد ، كذلك (f [A] ) ؛
(ii) إذا كان (f ) واحدًا لواحد و (A ) غير معدود ، كذلك يكون (f [A] ).
( left [ text {تلميحات:} left ( text {i) If} A = left {u_ {n} right } ، text {then} right. right. )
[
f [A] = left {f left (u_ {1} right) ، f left (u_ {2} right) ، ldots ، f left (u_ {n} right) ، ldots حق}
]
(ii) إذا كان (f [A] ) قابلاً للعد ، فسيكون كذلك (f ^ {- 1} [f [A]] ، ) بواسطة (i). تحقق من أن
[
و ^ {- 1} [و [أ]] = أ
]
هنا؛ راجع المشكلة 7 في §§4-7.]

تمرين ( PageIndex {3} )

لنفترض أن (a، b ) أرقام حقيقية ((a [
و (س) = أ + س (ب أ).
]
أظهر أن (f ) هو واحد إلى واحد وعلى الفاصل ([a، b) = {x | أ leq x <ب } ). من المشكلة (2 ، ) استنتج أن ([أ ، ب) ) غير معدود. ومن ثم ، بالمشكلة (1 ، ) لذا (i s (a، b) = {x | a

تمرين ( PageIndex {4} )

أظهر أنه بين أي أرقام حقيقية (أ ، ب (أ <ب) ) يوجد عدد لا يحصى من اللاعقلانية ، أي الأرقام غير المنطقية.
[تلميح: من خلال النتيجة الطبيعية 3 والمشكلات 1 و (3 ، ) المجموعة ((أ ، ب) -R ) غير معدودة. شرح بالتفصيل.

تمرين ( PageIndex {5} )

بيّن أن كل مجموعة لا نهائية (أ ) تحتوي على مجموعة لا نهائية إلى حدٍ ما ، أي تسلسل لا نهائي من المصطلحات المميزة.
[تلميح: إصلاح أي (a_ {1} in A؛ A ) لا يمكن أن يتكون من (a_ {1} ) فقط ، لذلك هناك عنصر آخر
[
a_ {2} in A- left {a_ {1} right }. quad ( mathrm {لماذا}؟)
]
مرة أخرى ، (A neq left {a_ {1}، a_ {2} right }، ) لذا يوجد (a_ {3} in A- left {a_ {1}، a_ {2} right }. ) (لماذا؟) استمر بهذا الإعلان اللامتناهي للحصول على التسلسل المطلوب ( left {a_ {n} right }. ) لماذا الكل (a_ {n} ) خامد؟ (] )

تمرين ( PageIndex {6} )

من المشكلة (5 ، ) إثبات أنه إذا كان (أ ) غير محدود ، فهناك خريطة (f: A rightarrow A ) تكون واحدًا لواحد ولكن ليس على (A. )
[تلميح: باستخدام (a_ {n} ) كما في المشكلة (5، ) عرّف (f left (a_ {n} right) = a_ {n + 1}. ) إذا ، مع ذلك ، (x ) ليس أيًا من (a_ {n}، ) put (f (x) = x ). لاحظ أن (f (x) = a_ {1} ) ليس صحيحًا أبدًا ، لذلك (f ) ليس على (A. ) أظهر ، مع ذلك ، أن (f ) هو واحد لواحد.

تمرين ( PageIndex {7} )

على العكس (راجع المشكلة 6) ، أثبت أنه إذا كانت هناك خريطة (f: A rightarrow A ) تكون واحدة لواحد ولكن ليس على (A ، ) فإن (A ) تحتوي على تسلسل لانهائي ( left {a_ {n} right } ) من المصطلحات المميزة.
[تلميح: نظرًا لأن (f ) ليس على (A، ) يوجد (a_ {1} في A ) مثل (a_ {1} notin f [A]. ) (لماذا ؟) أصلح (a_ {1} ) وحدد
[
a_ {2} = f left (a_ {1} right) ، a_ {3} = f left (a_ {2} right) ، ldots ، a_ {n + 1} = f left (a_ { n} right) ، ldots text {ad infinitum. }
]
لإثبات التميز ، أظهر أن كل (a_ {n} ) يختلف عن الكل (a_ {m} ) مع (m> n. ) بالنسبة لـ (a_ {1} ، ) هذا صحيح منذ (a_ {1} notin f [A]، ) بينما (a_ {m} in f [A] (m> 1). ) ثم تابع حثيًا.]


شاهد الفيديو: التحليل الرياضي Mathematical analysis. المجموعات القابلة للعد Countable Sets. محاضرة3 (شهر نوفمبر 2021).