مقالات

10: المتباينات - رياضيات


10: المتباينات - رياضيات

عدم المساواة (رياضيات)

في الرياضيات ، أ عدم المساواة هي علاقة تقوم بإجراء مقارنة غير متساوية بين رقمين أو تعبيرات رياضية أخرى. [1] [2] يتم استخدامه غالبًا لمقارنة رقمين على خط الأعداد حسب حجمهما. هناك العديد من الرموز المختلفة المستخدمة لتمثيل أنواع مختلفة من عدم المساواة:

  • التدوين أ & lt ب يعني أن أ اقل من ب.
  • التدوين أ & GT ب يعني أن أ أكبر من ب.

في كلا الحالتين، أ لا يساوي ب. تُعرف هذه العلاقات باسم عدم المساواة الصارمة، [2] يعني ذلك أ بدقة أقل من أو أكبر من ب. التكافؤ مستبعد.

على النقيض من عدم المساواة الصارمة ، هناك نوعان من علاقات عدم المساواة غير الصارمة:

  • التدوين أب أو أب يعني أن أ أصغر من أو يساوي ب (أو ، على نحو مكافئ ، على الأكثر بأو ليس أكبر من ب).
  • التدوين أب أو أب يعني أن أ أكبر من أو يساوي ب (أو بشكل مكافئ ، على الأقل بأو لا تقل عن ب).

يمكن أيضًا تمثيل العلاقة "ليس أكبر من" أب، رمز "أكبر من" مقسم بشرطة مائلة ، "لا". وينطبق الشيء نفسه على "لا تقل عن" و أب.

التدوين أب يعني أن أ لا يساوي ب، ويعتبر أحيانًا شكلاً من أشكال عدم المساواة الصارمة. [3] فهو لا يقول أن أحدهما أكبر من الآخر حتى أنه لا يتطلبه أ و ب ليكون عضوا في مجموعة مرتبة.

في العلوم الهندسية ، أقل استخدام رسمي للتدوين هو ذكر أن كمية واحدة "أكبر بكثير" من أخرى ، عادة بعدة درجات من حيث الحجم. هذا يعني أنه يمكن إهمال القيمة الأقل مع تأثير ضئيل على دقة التقريب (مثل حالة حدود الارتباط الفائق في الفيزياء).

  • التدوين أب يعني أن أ أقل بكثير من ب. (في نظرية القياس ، ومع ذلك ، يتم استخدام هذا الترميز للاستمرارية المطلقة ، وهو مفهوم غير ذي صلة. [4])
  • التدوين أب يعني أن أ أكبر بكثير من ب. [5]

في جميع الحالات المذكورة أعلاه ، أي رمزين يعكسان بعضهما البعض يكونان متماثلين أ & lt ب و ب & GT أ متكافئ ، إلخ.


عدم المساواة

يتعلم الطلاب كيفية تمثيل المتباينات على خط الأعداد وحلها باستخدام طريقة التوازن.

تحدث هذه الوحدة في الفصل الدراسي 6 من السنة 10 وتتبع من حل المعادلات.

دروس عدم المساواة
دروس المراجعة

المعرفة المسبقة
  • طلب الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة
  • تطبيق العمليات الأربع ، بما في ذلك الطرق الرسمية المكتوبة ، على الأعداد الصحيحة ، الموجبة والسالبة
  • حل المعادلات الخطية في أحد المعادلات غير المعروفة جبريًا (بما في ذلك المعادلات ذات المجهول على طرفي المعادلة)
معايير النجاح
  • حل المتباينات الخطية في متغير واحد
  • تمثل مجموعة الحل على خط الأعداد
  • فهم واستخدام مفاهيم ومفردات التعبيرات والمعادلات والصيغ والهويات وعدم المساواة
المفاهيم الرئيسية
  • تعد معرفة الترميز & lt و & gt و & amp أمرًا بالغ الأهمية لهذا الموضوع. الأعداد الأصغر أو الأكبر من ولكن لا تساوي يتم تمثيلها على خط الأعداد بدائرة مجوفة. يتم استخدام الدوائر الكاملة عندما يمكن أن تكون المتباينة مساوية لرقم.
  • تحتوي المعادلات على مجموعة من الحلول بينما المعادلات لها حلول مميزة.
  • يمكن حل المعادلات باستخدام طريقة التوازن.
  • عند قسمة أو ضرب طرفي المتباينة على رقم سالب ، تنعكس الإشارة.
المفاهيم الخاطئة الشائعة
  • غالبًا ما يتم الخلط بين الطلاب واتجاه علامة عدم المساواة. استخدم خط الأرقام لإظهار & lt يمثل أقل من و & gt تعني أكبر من.
  • المتباينات مثل 5 & lt x ≤ 10 تمثل x كأية قيمة أكبر من 5 وأقل من أو تساوي 10. شجع الطلاب على قراءة مثل هذه التفاوتات في اتجاهين ، أي 5 & lt x و x 10.

مدونة السيد الرياضيات

حل المشكلة مع Cuboids

خمسة أسئلة لحل المشكلات تربط الأشكال المكعبة لحل المعادلات والنسبة والإحداثيات ثلاثية الأبعاد.

التناظر الانعكاسي في الأشكال ثنائية الأبعاد

درس المرحلة الثالثة الأساسي حول تحديد خطوط التناظر الانعكاسي في الأشكال ثنائية الأبعاد.

معادلة الخطوط المتوازية والعمودية

كيفية إيجاد معادلة الرسوم البيانية المستقيمة المتوازية والعمودية على المستوى أ.


عدم المساواة التي تنطوي على عملية واحدة

تذكر أن:
  • يمكن طرح نفس العدد من طرفي المتباينة
  • يمكن إضافة العدد نفسه إلى طرفي المتباينة
  • يمكن ضرب (أو قسمة) كلا طرفي المتباينة بنفس العدد الموجب
  • إذا تم ضرب (أو قسمة) المتباينة على نفس الرقم السالب ، إذن:

طرح رقم من كل جانب من جوانب المتباينة

إن طرح رقم من كل جانب من جوانب المتباينة لا يغير علامة المتباينة.

المثال 21

حل:

(ط) تتكون مجموعة الحلول من جميع الأرقام الأكبر من 4 ، وتظهر على خط الأعداد على النحو التالي:

الحلقة عند 4 في هذا الرسم البياني تعني أن 4 ليس عنصرًا من مجموعة الحلول.

المثال 22

حل:

(ط) تتكون مجموعة الحلول من جميع الأرقام الأصغر من 2 أو التي تساويها ، كما هو موضح في خط الأرقام التالي.


تعني النقطة الصلبة عند 2 في الرسم التخطيطي أن 2 عنصر من مجموعة الحلول.

الشروط الاساسية

حقوق النشر 2000-2020 mathsteacher.com Pty Ltd. جميع الحقوق محفوظة.
رقم العمل الأسترالي 53 056217611

يرجى قراءة شروط وأحكام استخدام هذا الموقع وسياسات الخصوصية وغيرها من السياسات الخاصة بنا.
إذا واجهت صعوبات عند استخدام هذا الموقع ، فأخبرنا من خلال نموذج الملاحظات أو عن طريق الاتصال برقم هاتف جهة الاتصال.


10: المتباينات - رياضيات

يتم توفير جميع المقالات المنشورة بواسطة MDPI على الفور في جميع أنحاء العالم بموجب ترخيص وصول مفتوح. لا يلزم الحصول على إذن خاص لإعادة استخدام كل أو جزء من المقالة المنشورة بواسطة MDPI ، بما في ذلك الأشكال والجداول. بالنسبة للمقالات المنشورة بموجب ترخيص Creative Common CC BY ذي الوصول المفتوح ، يمكن إعادة استخدام أي جزء من المقالة دون إذن بشرط الاستشهاد بالمقال الأصلي بوضوح.

تمثل الأوراق الرئيسية أكثر الأبحاث تقدمًا مع إمكانات كبيرة للتأثير الكبير في هذا المجال. يتم تقديم الأوراق الرئيسية بناءً على دعوة فردية أو توصية من المحررين العلميين وتخضع لمراجعة الأقران قبل النشر.

يمكن أن تكون ورقة الميزات إما مقالة بحثية أصلية ، أو دراسة بحثية جديدة جوهرية غالبًا ما تتضمن العديد من التقنيات أو المناهج ، أو ورقة مراجعة شاملة مع تحديثات موجزة ودقيقة عن آخر التقدم في المجال الذي يراجع بشكل منهجي التطورات الأكثر إثارة في العلم. المؤلفات. يوفر هذا النوع من الأوراق نظرة عامة على الاتجاهات المستقبلية للبحث أو التطبيقات الممكنة.

تستند مقالات اختيار المحرر على توصيات المحررين العلميين لمجلات MDPI من جميع أنحاء العالم. يختار المحررون عددًا صغيرًا من المقالات المنشورة مؤخرًا في المجلة ويعتقدون أنها ستكون مثيرة للاهتمام بشكل خاص للمؤلفين أو مهمة في هذا المجال. الهدف هو تقديم لمحة سريعة عن بعض الأعمال الأكثر إثارة المنشورة في مجالات البحث المختلفة بالمجلة.


عدم المساواة

المعادلات والمتباينات عبارة عن جمل رياضية تتكون من خلال ربط تعبيرين لبعضهما البعض. في المعادلة ، يتم اعتبار التعبيرين متساويين وهو ما يظهر بالرمز =.

حيث كما هو الحال في المتباينة ، لا يكون التعبيران متساويين بالضرورة وهو ما يشار إليه بالرموز: & gt ، & lt ، ≤ أو ≥.

$ x≥y $ x أكبر من أو يساوي y

$ x≤y $ x أقل من أو يساوي y

تسمى المعادلة أو المتباينة التي تحتوي على متغير واحد على الأقل جملة مفتوحة.

عندما تستبدل رقمًا بالمتغير في جملة مفتوحة ، تكون الجملة الناتجة إما صحيحة أو خاطئة. إذا كانت العبارة صحيحة ، فإن الرقم هو حل للمعادلة أو عدم المساواة.

3 هل حل هذه المعادلة؟

بما أن 29 لا تساوي 24 ، فإن 3 ليس حلاً للمعادلة.

هل المتباينة التالية صحيحة أم خاطئة؟


10: المتباينات - رياضيات

إلى هذه النقطة في هذا الفصل ركزنا على حل المعادلات. حان الوقت الآن للتبديل قليلاً والبدء في التفكير في حل عدم المساواة. قبل أن نبدأ في حل المتباينات ، يجب أن نستعرض بعض الأساسيات أولاً.

في هذه المرحلة من حياتك المهنية في الرياضيات ، من المفترض أنك تعرف ذلك

يعني أن (أ ) هو رقم أقل بدقة من (ب ). من المفترض أيضًا أنك تعرف ذلك

يعني أن (أ ) هو رقم ما أكبر من (ب ) أو يساوي تمامًا (ب ). وبالمثل ، من المفترض أنك تعرف كيفية التعامل مع المتباينتين المتبقيتين. & gt (أكبر من) و ( le ) (أقل من أو يساوي).

ما نريد مناقشته هو بعض القضايا المعيارية وبعض التفاصيل الدقيقة التي تجعل الطلاب أحيانًا يبدؤون بالفعل في العمل مع عدم المساواة.

أولاً ، تذكر أنه عندما نقول أن (أ ) أقل من (ب ) فإننا نعني أن (أ ) على يسار (ب ) على خط الأعداد. وبالتالي،

بعد ذلك ، لا تنسَ كيفية تفسير ( le ) و ( ge ) بشكل صحيح. كلا الأمرين التاليين عبارة عن تفاوتات حقيقية.

في الحالة الأولى 4 تساوي 4 وبالتالي فهي "أقل من أو تساوي" مع 4. في الحالة الثانية -6 أقل تمامًا من 4 وبالتالي فهي "أقل من أو تساوي" 4. الخطأ الأكثر شيوعًا هو أن تقرر أن اللامساواة الأولى ليست عدم مساواة حقيقية. احرص أيضًا على عدم أخذ هذا التفسير وترجمته إلى & lt و / أو & gt. على سبيل المثال،

ليست متباينة حقيقية لأن 4 يساوي 4 وليس أقل من 4.

أخيرًا ، سنرى الكثير عدم المساواة المزدوجة خلال هذا القسم والأقسام اللاحقة حتى لا ننسى هؤلاء. التالي هو عدم المساواة المزدوجة.

في المتباينة المزدوجة نقول إن كلا المتباينات يجب أن تكون صحيحة في نفس الوقت. في هذه الحالة 5 هو بالتأكيد أكبر من -9 وفي نفس الوقت أصغر من أو يساوي 6. لذلك ، هذه المتباينة المزدوجة هي متباينة حقيقية.

ليس عدم مساواة حقيقي. في حين أنه من الصحيح أن 5 أقل من 20 (لذا فإن المتباينة الثانية صحيحة) فليس صحيحًا أن 5 أكبر من أو تساوي 10 (لذا فإن المتباينة الأولى ليست صحيحة). إذا كانت إحدى المتباينات في المتباينة المزدوجة غير صحيحة ، فإن المتباينة الكاملة غير صحيحة. هذه النقطة أكثر أهمية مما قد تدركه في هذه المرحلة. في قسم لاحق ، سنعرض مواقف يحاول فيها العديد من الطلاب دمج متباينتين في متباينة مزدوجة لا يمكن دمجها ببساطة ، لذا كن حذرًا.

الموضوع التالي الذي نحتاج إلى مناقشته هو فكرة تدوين الفاصل. تدوين الفاصل الزمني هو بعض الاختصارات اللطيفة جدًا لعدم المساواة وسيتم استخدامه على نطاق واسع في الأقسام القليلة التالية من هذا الفصل.

أفضل طريقة لتعريف تدوين الفاصل الزمني هي الجدول التالي. هناك ثلاثة أعمدة على الجدول. يحتوي كل صف على متباينة ، ورسم بياني يمثل المتباينة ، وأخيرًا رمز الفترة للمتباينة المعطاة.

عدم المساواة رسم بياني تدوين الفاصل
[a le x le b ] [غادر[ حق]]
[& lt x & lt b ] [غادر( حق)]
[a le x & lt b ] [غادر[ حق)]
[& lt x le b ] [غادر( حق]]
[x & gt a ] [غادر( حق)]
[x ge a ] [غادر[ حق)]
[x & lt b ] [ يسار (<- infty، b> right) ]
[x le b ] [ يسار (<- infty، b> right] ]

تذكر أن القوس ، "[" أو "]" ، يعني أننا نقوم بتضمين نقطة النهاية بينما يعني القوس ، "(" أو ")" ، أننا لا نقوم بتضمين نقطة النهاية.

الآن ، مع أول أربع متباينات في الجدول ، فإن تدوين الفترة ليس أكثر من التمثيل البياني بدون خط الأعداد عليه. في المتباينات الأربع الأخيرة ، يكون رمز الفترة هو التمثيل البياني تقريبًا ، باستثناء أننا نحتاج إلى إضافة ما لا نهاية مناسب للتأكد من حصولنا على الجزء الصحيح من خط الأعداد. لاحظ أيضًا أن اللانهايات لا تحصل أبدًا على قوس. يحصلون فقط على قوس.

علينا إعطاء ملاحظة أخيرة حول رمز الفترة قبل الانتقال إلى حل المتباينات. تذكر دائمًا أنه عند كتابة فترة زمنية لمتباينة ، يجب أن يكون العدد الموجود على اليسار أصغر من الاثنين.

حان الوقت الآن لبدء التفكير في حل التفاوتات الخطية. سنستخدم مجموعة الحقائق التالية في حل المتباينات. لاحظ أن الحقائق معطاة لـ & lt. ومع ذلك ، يمكننا كتابة مجموعة معادلة من الحقائق للمتباينات الثلاث المتبقية.

    إذا كان (a & lt b ) ثم (a + c & lt b + c ) و (a - c & lt b - c ) لأي رقم (c ). بعبارة أخرى ، يمكننا إضافة أو طرح رقم لكلا طرفي المتباينة ولا نغير المتباينة نفسها.

هذه هي الحقائق نفسها تقريبًا التي استخدمناها لحل المعادلات الخطية. الاستثناء الحقيقي الوحيد هو الحقيقة الثالثة. هذه هي الحقيقة المهمة لأنها غالبًا الحقيقة الأكثر إساءة استخدامًا و / أو المنسية في حل عدم المساواة.

إذا لم تكن متأكدًا من أنك تعتقد أن علامة (ج ) مهمة للحقيقة الثانية والثالثة ، ففكر في مثال الرقم التالي.

آمل أن نتفق جميعًا على أن هذه عدم مساواة حقيقية. الآن اضرب كلا الطرفين في 2 و -2.

من المؤكد أنه عند الضرب في رقم موجب يظل اتجاه المتباينة كما هو ، ولكن عند الضرب في رقم سالب يتغير اتجاه المتباينة.

حسنًا ، دعنا نحل بعض عدم المساواة. سنبدأ بالتفاوتات التي لا تحتوي إلا على متباينة واحدة فيها. بعبارة أخرى ، سنتوقف عن حل المتباينات المزدوجة لمجموعة الأمثلة التالية.

الشيء الذي يجب أن نتذكره هنا هو أننا نطلب تحديد جميع قيم المتغير التي يمكننا استبدالها في المتباينة والحصول على متباينة حقيقية. هذا يعني أن حلولنا ، في معظم الحالات ، ستكون بحد ذاتها عدم مساواة.

يتبع حل المتباينات الخطية المفردة نفس العملية تقريبًا لحل المعادلات الخطية. سنبسط كلا الطرفين ، ونحصل على كل الحدود التي بها المتغير في جانب والأرقام في الطرف الآخر ، ثم نضرب / نقسم كلا الطرفين في معامل المتغير لنحصل على الحل. الشيء الوحيد الذي يجب أن تتذكره هو أنك إذا ضربت / قسمت على رقم سالب ، فبدل اتجاه المتباينة.

ليس هناك الكثير مما يجب فعله هنا بخلاف اتباع العملية الموضحة أعلاه.

[يبدأ - 2 اليسار( يمين) & lt 5 يسار ( right) - 12 - 2m + 6 & lt 5m + 5-12 - 7m & lt - 13 m & gt frac <<13>> <7> end]

لقد أدركت حقيقة أن اتجاه عدم المساواة تغير هنا ، أليس كذلك؟ قسمنا على "-7" ولذا كان علينا تغيير الاتجاه. صيغة عدم المساواة في الحل هي (m & gt frac <<13>> <7> ). تدوين الفاصل الزمني لهذا الحل هو ، ( left (> <7> ، infty> right) ).

مرة أخرى ، ليس هناك الكثير لتفعله هنا.

[يبدأ2 يسار (<1 - x> يمين) + 5 & le 3 يسار (<2x - 1> يمين) 2 - 2x + 5 & le 6x - 3 10 & le 8x فارك <<10>> <8> & le x frac <5> <4> & le x end]

الآن ، بهذه المتباينة ، انتهى بنا المطاف بالمتغير الموجود في الطرف الأيمن عندما يكون في الجانب الأيسر بشكل أكثر تقليدية. لذا ، دعنا نبدل الأشياء لوضع المتغير على الجانب الأيسر. مع ذلك ، لاحظ أننا سنحتاج أيضًا إلى تبديل اتجاه عدم المساواة للتأكد من أننا لا نغير الإجابة. إذن ، هذا هو تدوين عدم المساواة لعدم المساواة.

تدوين الفاصل الزمني للحل هو ( left [ <4>، infty> right) ).

الآن ، دعونا نحل بعض عدم المساواة المزدوجة. العملية هنا مشابهة في بعض النواحي لحل المتباينات الفردية ومع ذلك فهي مختلفة جدًا من نواحٍ أخرى. نظرًا لوجود متراجعتين ، فليس هناك أي طريقة للحصول على المتغيرات على "جانب" من المتباينة والأرقام من ناحية أخرى. من الأسهل أن نرى كيف تعمل هذه إذا قدمنا ​​مثالًا أو مثالين ، فلنفعل ذلك.

تشبه العملية هنا إلى حد ما عملية المتباينات الفردية ، لكن علينا أولًا توخي الحذر في عدة مواضع. ستكون خطوتنا الأولى في هذه الحالة هي مسح أي قوس في الحد الأوسط.

الآن ، نريد (x ) وحدها في الحد الأوسط والأرقام الموجودة في الحدين الخارجيين فقط. للقيام بذلك سنضيف / نطرح / نضاعف / نقسم حسب الحاجة. الشيء الوحيد الذي يجب أن نتذكره هنا هو أنه إذا فعلنا شيئًا ما على المدى المتوسط ​​، فعلينا أن نفعل نفس الشيء لكلا المصطلحين الخارجيين. أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا في هذه المرحلة هو إضافة شيء ما ، على سبيل المثال ، إلى المنتصف وإضافته فقط إلى أحد الجانبين.

حسنًا ، سنضيف 10 إلى الأجزاء الثلاثة ، ثم نقسم جميع الأجزاء الثلاثة على اثنين.

[يبدأ 4 le 2x & lt 17 2 le x & lt displaystyle frac <<17>> <2> end]

هذا هو شكل عدم المساواة للإجابة. شكل تدوين الفاصل الزمني للإجابة هو ( left [<2،frac<<17>> <2>> right) ).

في هذه الحالة ، فإن أول شيء يتعين علينا القيام به هو إزالة الكسور بضرب الأجزاء الثلاثة جميعها في 2. ثم نتابع كما فعلنا في الجزء الأول.

[يبدأ - 6 & lt 3 left (<2 - x> right) le 10 - 6 & lt 6-3x le 10 - 12 & lt - 3x le 4 end]

الآن ، لم ننتهي تمامًا هنا ، لكننا بحاجة إلى توخي الحذر الشديد في الخطوة التالية. في هذه الخطوة ، علينا قسمة الأجزاء الثلاثة كلها على -3. ومع ذلك ، تذكر أنه عندما نقسم طرفي المتباينة على عدد سالب ، نحتاج إلى تبديل اتجاه المتباينة. يعني هذا بالنسبة لنا أن كلا المتراجحتين بحاجة إلى تغيير الاتجاه هنا.

إذن ، هناك صيغة الحل المتباينة. سنحتاج إلى توخي الحذر عند استخدام رمز الفترة للحل. أولاً ، تدوين الفاصل الزمني هو NOT ( left (<4، - frac <4> <3>> right] ). تذكر أنه في التدوين الفاصل يجب أن يكون الرقم الأصغر دائمًا على الجانب الأيسر! لذلك ، تدوين الفاصل الزمني الصحيح للحل هو ( left [<- frac <4> <3> ، 4> right) ).

لاحظ أيضًا أن هذا لا يتطابق مع صيغة عدم المساواة في الحل أيضًا. تخبرنا عدم المساواة أن (x ) هو أي رقم بين 4 و (- frac <4> <3> ) أو ربما (- frac <4> <3> ) نفسه وهذا هو بالضبط ما يخبرنا به تدوين الفترات.

أيضًا ، يمكن قلب عدم المساواة للحصول على الرقم الأصغر على اليسار إذا أردنا ذلك. هذا هو النموذج ،

عند القيام بذلك تأكد من التعامل بشكل صحيح مع عدم المساواة أيضًا.

ليس كثيرا لهذا. سنمضي قدما كما فعلنا السابقتين.

[يبدأ - 14 & lt - 21x - 14 & lt 1 0 & lt - 21x & lt 15 end]

لا تتشوق لحقيقة أن أحد الأطراف الآن صفر. هذه ليست مشكلة. مرة أخرى ، كما هو الحال مع الجزء الأخير ، سنقسم على رقم سالب ، لذا لا تنس تبديل اتجاه المتباينات.

عند حل المتباينات المزدوجة ، تأكد من الانتباه إلى المتباينات الموجودة في المشكلة الأصلية. أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا هنا هو البدء بمشكلة يكون فيها أحد المتباينات هو & lt أو & gt والآخر هو ( le ) أو ( ge ) ، كما فعلنا في الجزأين الأولين من المثال السابق ، ثم بالإجابة النهائية كلاهما & lt أو & gt أو كلاهما ( le ) أو ( ge ). بعبارة أخرى ، من السهل أن نجعل كلتا التفاوتتين متماثلتين بشكل مفاجئ. كن حذرا مع هذا.

هناك مثال أخير نريد العمل هنا.

هذا أسهل مما قد يبدو في البداية. كل ما سنفعله حقًا هو البدء بالمتباينة المعطاة ثم التعامل مع الحد الأوسط لتبدو مثل المتباينة الثانية. مرة أخرى ، سنحتاج إلى أن نتذكر أنه مهما فعلنا للحد الأوسط سنحتاج أيضًا إلى التعامل مع المصطلحين الخارجيين.

لذلك ، أولاً سنضرب كل شيء في 2.

لدينا الآن الحد الأوسط متطابقًا مع المتباينة الثانية في بيان المشكلات ، لذا كل ما علينا فعله هو اختيار (أ ) و (ب ). من هذه المتباينة يمكننا أن نرى أن (أ = 1 ) و (ب = 11 ).


قواعد حل المتباينات

يمكن استخدام العمليات الحسابية لحل المتباينات لجميع القيم الممكنة للمتغير.

أهداف التعلم

حل المتباينات باستخدام قواعد العمل عليها

الماخذ الرئيسية

النقاط الرئيسية

  • عندما تقوم & # 8217 بإجراء عمليات جبرية على عدم المساواة ، فمن المهم إجراء نفس العملية على كلا الجانبين من أجل الحفاظ على صحة البيان.
  • إذا تم ضرب كلا طرفي المتباينة أو قسما بنفس القيمة الموجبة ، فإن المتباينة الناتجة تكون صحيحة.
  • إذا تم ضرب كلا الطرفين أو قسما بنفس القيمة السالبة ، يتغير اتجاه المتباينة.
  • يمكن حل المتباينات التي تتضمن متغيرات لإعطاء كل القيم الممكنة للمتغير الذي يجعل العبارة صحيحة.

الشروط الاساسية

  • عدم المساواة: بيان بأن كميتين تكون إحداهما أقل أو أكبر من الأخرى على وجه التحديد.

عمليات عدم المساواة

عندما تقوم & # 8217re بإجراء عمليات جبرية على عدم المساواة ، فمن المهم إجراء نفس العملية بالضبط على كلا الجانبين من أجل الحفاظ على صحة البيان.

تتبع كل عملية حسابية قواعد محددة:

جمع وطرح

أي قيمة [لاتكس] ج [/ لاتكس] يمكن إضافتها أو طرحها من جانبي المتباينة. وهذا يعني ، بالنسبة لأي أرقام حقيقية [لاتكس] أ [/ لاتكس] ، [لاتكس] ب [/ لاتكس] ، و [لاتكس] ج [/ لاتكس]:

  • إذا كان [اللاتكس] a leq b [/ latex] ، ثم [اللاتكس] a + c leq b + c [/ latex] و [اللاتكس] a - c leq b - c [/ latex].
  • إذا كان [اللاتكس] a geq b [/ latex] ، ثم [اللاتكس] a + c geq b + c [/ latex] و [اللاتكس] a - c geq b - c [/ latex].

طالما تمت إضافة نفس القيمة أو طرحها من كلا الجانبين ، فإن المتباينة الناتجة تظل صحيحة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك عدم المساواة التالية:

لنطبق & # 8217s القواعد الموضحة أعلاه بطرح 3 من كلا الجانبين:

[اللاتكس] ابدأ 12 - 3 && lt 15 - 3 9 && lt 12 end[/ اللاتكس]

هذا البيان لا يزال صحيحا.

الضرب والقسمة

تنص الخصائص التي تتعامل مع الضرب والقسمة على أنه ، لأي أعداد حقيقية ، [لاتكس] أ [/ لاتكس] ، [لاتكس] ب [/ لاتكس] ، وغير صفري [لاتكس] ج [/ لاتكس]:

إذا كانت [latex] c [/ latex] موجبة ، فإن الضرب أو القسمة على [latex] c [/ latex] لا يغير من عدم المساواة:

إذا كانت [latex] c [/ latex] سالبة ، فإن الضرب أو القسمة على [latex] c [/ latex] يعكس عدم المساواة:

لاحظ أن ضرب أو قسمة المتباينة على رقم سالب يغير اتجاه المتباينة. بمعنى آخر ، يصبح الرمز أكبر من رمزًا أقل من ، والعكس صحيح.

لرؤية تطبيق هذه القواعد ، ضع في اعتبارك عدم المساواة التالية:

ضرب كلا الجانبين في 3 عوائد:

نرى أن هذا بيان صحيح ، لأن 15 أكبر من 9.

الآن ، اضرب نفس المتباينة في -3 (تذكر تغيير اتجاه الرمز لأننا & # 8217 نضرب في رقم سالب):

هذا البيان صحيح أيضا. يوضح هذا مدى أهمية تغيير اتجاه الرمز أكبر من أو أقل من عند الضرب أو القسمة على رقم سالب.

حل عدم المساواة

حل المتباينة التي تتضمن متغيرًا يعطي كل القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها المتغير والتي تجعل المتباينة صحيحة. لحل متباينة يعني تحويلها بحيث يكون المتغير على جانب واحد من الرمز ورقم أو تعبير على الجانب الآخر. غالبًا ما تكون هناك حاجة لعمليات متعددة لتحويل عدم المساواة بهذه الطريقة.

جمع وطرح

لمعرفة كيف تنطبق قواعد الجمع والطرح على حل المتباينات ، ضع في اعتبارك ما يلي:

أولاً ، اعزل [اللاتكس] x [/ اللاتكس]:

[اللاتكس] ابدأ x - 8 + 8 leq 17 + 8 x & leq 25 end[/ اللاتكس]

لذلك ، [اللاتكس] x leq 25 [/ اللاتكس] هو حل [اللاتكس] x - 8 leq 17 [/ اللاتكس]. بمعنى آخر ، [latex] x - 8 leq 17 [/ latex] صحيح لأي قيمة لـ [latex] x [/ latex] أقل من أو تساوي 25.

الضرب والقسمة

لمعرفة كيفية تطبيق قواعد الضرب والقسمة ، ضع في اعتبارك المتباينة التالية:

قسمة كلا الجانبين على حصتين:

العبارة [اللاتكس] x & gt 4 [/ اللاتكس] هي إذن الحل لـ [اللاتكس] 2x & gt 8 [/ اللاتكس]. بمعنى آخر ، [اللاتكس] 2x & gt 8 [/ اللاتكس] صحيح لأي قيمة لـ [لاتكس] x [/ لاتكس] أكبر من 4.

الآن ، ضع في اعتبارك عدم مساواة أخرى:

بسبب الإشارة السالبة التي تتضمنها ، يجب علينا الضرب في عدد سالب لحل مشكلة [اللاتكس] y [/ اللاتكس]. هذا يعني أنه يجب علينا أيضًا تغيير اتجاه الرمز:

[اللاتكس] ابدأ displaystyle -3 left (- frac <3> right) & geq -3 (7) y & geq -3 (7) y & geq -21 end[/ اللاتكس]

لذلك ، فإن حل [اللاتكس] - frac <3> leq 7 [/ latex] هو [اللاتكس] y geq -21 [/ latex]. لذلك فإن العبارة المقدمة صحيحة بالنسبة لأي قيمة لـ [اللاتكس] y [/ اللاتكس] أكبر من أو تساوي [اللاتكس] -21 [/ اللاتكس].

مثال

حل المتباينة التالية:

أولاً ، أضف 17 إلى كلا الجانبين:

[اللاتكس] ابدأ 3y - 17 + 17 & geq 19 + 17 3y & geq 36 end[/ اللاتكس]

بعد ذلك ، قسّم كلا الجانبين على 3:

[اللاتكس] ابدأ dfrac <3y> <3> & geq dfrac <36> <3> y & geq dfrac <36> <3> y & geq 12 end[/ اللاتكس]

إعتبارات خاصة

لاحظ أنه سيكون هناك مشكلة إذا حاولنا ضرب أو قسمة كلا طرفي المتباينة على متغير غير معروف. إذا كان أي متغير [latex] x [/ latex] غير معروف ، لا يمكننا تحديد ما إذا كان له قيمة موجبة أو سلبية. نظرًا لاختلاف قواعد ضرب أو قسمة الأعداد الموجبة والسالبة ، لا يمكننا اتباع نفس القاعدة عند ضرب أو قسمة المتباينات على المتغيرات. ومع ذلك ، يمكن إضافة المتغيرات أو طرحها من كلا طرفي المتباينة.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف لمعلمي Varsity.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر وموقعه الدقيق ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورس ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


المدارس تزيد من عدم المساواة سوءًا ، خاصة في تعليم الرياضيات

يلعب التعليم المدرسي دورًا كبيرًا بشكل مدهش في تقليل مهارات الطلاب الأفقر في البلاد في مهارات الرياضيات الحاسمة ، وفقًا لدراسة جديدة ضخمة قادها عالم تعليمي في جامعة ولاية ميشيغان.

يؤدي عدم المساواة في الوصول إلى محتوى الرياضيات الصارم إلى توسيع الفجوة في الأداء في اختبار دولي بارز لمحو الأمية في الرياضيات بين الطلاب ذوي الدخل المنخفض والمرتفع ، ليس فقط في الولايات المتحدة ولكن في البلدان في جميع أنحاء العالم.

الدراسة ، التي نُشرت في مجلة Educational Researcher ، هي واحدة من أولى التحقيقات العالمية في دور تغطية محتوى الفصل الدراسي في عدم المساواة في التعليم وتضمنت بيانات من أكثر من 300 ألف طالب في 62 دولة.

قال "الاعتقاد بأن المدارس هي العامل الرئيسي لتحقيق المساواة ، ومساعدة الطلاب على التغلب على عدم المساواة في الفقر ، هو خرافة" وليام شميت، أستاذ جامعي متميز للإحصاء والتعليم في جامعة ولاية ميشيغان وباحث رئيسي في الدراسة.

قام شميدت وزملاؤه من جامعة ولاية ميشيغان ومنظمة التعاون الاقتصادي والتنمية ، أو OECD ، بتحليل نتائج برنامج تقييم الطلاب الدوليين لمحو الأمية في الرياضيات للطلاب البالغين من العمر 15 عامًا. يتم إجراء الاختبار الدولي ، بتنسيق من منظمة التعاون الاقتصادي والتنمية ، كل ثلاث سنوات لقياس معرفة القراءة والكتابة في الرياضيات.

وجد الباحثون ليس فقط أن الطلاب ذوي الدخل المنخفض هم أكثر عرضة لمحتوى رياضيات أضعف في المدارس ، ولكن أيضًا أن جزءًا كبيرًا من الاختلاف في أداء الرياضيات بين الطلاب الأغنياء والفقراء مرتبط بهذا التفاوت. هذا التفاوت في المدرسة هو جزء من فجوة أداء اجتماعية واقتصادية أكبر تشمل أيضًا الخلفية المنزلية للطلاب.

في الولايات المتحدة ، كانت فجوة عدم المساواة المدرسية 37٪ ، مما يعني أن أكثر من ثلث العيب في أداء الرياضيات للطلاب الفقراء كان بسبب عدم المساواة في تغطية الرياضيات. على الصعيد الدولي ، كانت الفجوة 32 في المائة.

قال ريتشارد هوانج ، الباحث في جامعة ولاية ميشيغان ، "لقد صدمت حقيقة أن أكثر من ثلث عدم المساواة في الأداء يأتي من فجوة في الفرص ، مما يشير إلى أن المدارس في أمريكا يبدو أنها لا تؤمن بأن الأطفال الفقراء يمكنهم تحقيق معرفة القراءة والكتابة في الرياضيات". مؤلف.

تراوحت فجوة عدم المساواة في المدارس بين نسبة عالية تبلغ حوالي 58 في المائة في هولندا إلى أقل من 10 في المائة في أيسلندا والسويد. 10 دول فقط كان أداءها أسوأ من الولايات المتحدة. (راجع الطلاب الفقراء في الولايات المتحدة يتلقون بعضًا من أضعف تعليم الرياضيات في العالم لمخطط التصنيف العالمي.)

قال شميدت إن الدراسة تدعم النتائج السابقة التي تفيد بأن الطلاب الأثرياء يتم تزويدهم باستمرار بفرصة أكبر لتعلم محتوى أكثر صرامة ، وأن الطلاب الذين يتعرضون للرياضيات ذات المستوى الأعلى يتمتعون بقدرة أفضل على تطبيقها في مواقف العالم الحقيقي لحياة البالغين. ، مثل حساب الفائدة وتقدير الكمية المطلوبة من السجاد للغرفة.

قال "لكننا الآن نعرف مدى أهمية عدم المساواة في المحتوى في المساهمة في فجوات الأداء بين الطلاب المتميزين والمحرومين".

أشار شميت إلى أن معرفة القراءة والكتابة في الرياضيات هي بوابة حاسمة لترك المدرسة ودخول سوق العمل أو الالتحاق بالجامعة.

قال شميدت: "الفرق بين الأطفال الفقراء والأثرياء في هذا الاختبار مهم لأن مهمة المدارس في تعليم الجميع كانت منذ فترة طويلة قوة الموازنة في تحقيق الحراك الاجتماعي". "نظرًا للقيمة الخاصة التي تضفيها المدارس على المجتمع ، فإن فشلها في تقديم نفس الفرصة للطلاب لتعلم مهارات الرياضيات المفيدة ، هو مشكلة تتطلب الاهتمام."

مع استمرار تخلف الولايات المتحدة عن العديد من البلدان الأخرى في الرياضيات والعلوم ، تركز السياسة المحلية غالبًا على "المدارس الجيدة" مقابل "المدارس الفاشلة". لكن شميت قال إن هذا النهج قد يكون ضيقًا للغاية. وجدت الدراسة أن معظم التباين في أداء الطلاب يحدث داخل - وليس بين - المدارس.

قال شميت: "بسبب الاختلافات المدرسية في عرض المحتوى للطلاب ذوي الدخل المنخفض والمرتفع في هذا البلد ، فإن الأغنياء يزدادون ثراءً والفقراء يزدادون فقرًا".

بالإضافة إلى هوانغ ، شارك مؤلفو شميدت ناثان بوروز من جامعة ولاية ميشيغان وبابلو زويدو من منظمة التعاون الاقتصادي والتنمية.

& # 8211 ويليام شميدت ، آندي هينيون ، نيكول جيري عبر MSU Today


شاهد الفيديو: رسالة الي طلاب الثانوية العامة والمدرسين والمسؤولين (ديسمبر 2021).