مقالات

12.2: ضرب المصفوفات - رياضيات


عملية المصفوفة المهمة التالية التي سنستكشفها هي ضرب المصفوفات. تعتبر عملية ضرب المصفوفة من أهم عمليات المصفوفة وأكثرها فائدة. في هذا القسم ، سوف نوضح أيضًا كيفية ارتباط ضرب المصفوفات بأنظمة المعادلات الخطية.

أولاً ، نقدم تعريفًا رسميًا لمتجهات الصفوف والأعمدة.

التعريف ( PageIndex {1} ): متجهات الصف والعمود

يتم استدعاء مصفوفات الحجم (n times 1 ) أو (1 times n ) ثلاثة أبعاد. إذا كانت (X ) مثل هذه المصفوفة ، فإننا نكتب (x_ {i} ) للإشارة إلى إدخال (X ) في صف (i ^ {th} ) من مصفوفة العمود ، أو العمود (i ^ {th} ) في مصفوفة الصف.

المصفوفة (n times 1 ) [X = left [ start {array} {c} x_ {1} vdots x_ {n} end {array} right] ] هي يسمى ب ناقلات العمود. تسمى المصفوفة (1 times n ) [X = left [ start {array} {ccc} x_ {1} & cdots & x_ {n} end {array} right] ] ناقلات التوالي.

يمكننا ببساطة استخدام المصطلح المتجه في هذا النص للإشارة إلى متجه عمود أو صف. إذا فعلنا ذلك ، فإن السياق سيوضح ما نشير إليه.

في هذا الفصل ، سنستخدم مرة أخرى مفهوم الجمع الخطي للمتجهات كما في التعريف [تعريف: الجمع الخطي]. في هذا السياق ، تكون التركيبة الخطية عبارة عن مجموع يتكون من متجهات مضروبة في العدد. على سبيل المثال ، [ left [ start {array} {r} 50 122 end {array} right] = 7 left [ begin {array} {r} 1 4 end {array} يمين] +8 يسار [ تبدأ {مجموعة} {r} 2 5 نهاية {مجموعة} يمين] +9 يسار [ تبدأ {مجموعة} {r} 3 6 نهاية {مجموعة} right] ] هو مزيج خطي من ثلاثة نواقل.

اتضح أنه يمكننا التعبير عن أي نظام من المعادلات الخطية كمجموعة خطية من المتجهات. في الواقع ، المتجهات التي سنستخدمها هي فقط أعمدة المصفوفة المعززة المقابلة!

التعريف ( PageIndex {2} ): الشكل المتجه لنظام المعادلات الخطية

لنفترض أن لدينا نظام معادلات معطى بواسطة [ start {array} {c} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} = b_ {1} vdots a_ {m1} x_ {1} + cdots + a_ {mn} x_ {n} = b_ {m} end {array} ] يمكننا التعبير عن هذا النظام في شكل متجه وهو كالتالي: [x_1 left [ start {array} {c} a_ {11} a_ {21} vdots a_ {m1} end {array} right] + x_2 يسار [ start {array} {c} a_ {12} a_ {22} vdots a_ {m2} end {array} right] + cdots + x_n left [ start {array } {c} a_ {1n} a_ {2n} vdots a_ {mn} end {array} right] = left [ start {array} {c} b_1 b_2 vdots b_m end {array} right] ]

لاحظ أن كل متجه مستخدم هنا هو عمود واحد من المصفوفة المعززة المقابلة. يوجد متجه واحد لكل متغير في النظام جنبًا إلى جنب مع المتجه الثابت.

أول شكل مهم لضرب المصفوفة هو ضرب مصفوفة في متجه. ضع في اعتبارك المنتج المقدم من [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end {array} right] left [ begin {array} {r} 7 8 9 end {array} right] ] سنرى قريبًا أن هذا يساوي [7 left [ begin {array} {c} 1 4 end {array} right] + 8 يسار [ يبدأ {مجموعة} {c} 2 5 نهاية {مجموعة} يمين] +9 يسار [ تبدأ {مجموعة} {c} 3 6 نهاية {مجموعة} يمين] = يسار [ يبدأ {مجموعة} {c} 50 122 نهاية {مجموعة} يمين] ]

بشكل عام ، [ start {align} left [ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ { 23} end {array} right] left [ start {array} {c} x_ {1} x_ {2} x_ {3} end {array} right] & = & x_ {1} left [ start {array} {c} a_ {11} a_ {21} end {array} right] + x_ {2} left [ begin {array} {c} a_ { 12} a_ {22} end {array} right] + x_ {3} left [ start {array} {c} a_ {13} a_ {23} end {array} right] & = & left [ begin {array} {c} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + a_ {13} x_ {3} a_ {21} x_ { 1} + a_ {22} x_ {2} + a_ {23} x_ {3} end {array} right] end {align} ] وهكذا تأخذ (x_ {1} ) مرات العمود الأول ، أضف إلى (x_ {2} ) مرات العمود الثاني ، وأخيرًا (x_ {3} ) ضرب العمود الثالث. المجموع أعلاه هو مزيج خطي من أعمدة المصفوفة. عندما تقوم بضرب مصفوفة على اليسار في متجه على اليمين ، فإن الأرقام التي يتكون منها المتجه هي مجرد مقاييس لاستخدامها في التركيبة الخطية للأعمدة كما هو موضح أعلاه.

فيما يلي التعريف الرسمي لكيفية ضرب مصفوفة (م مرات n ) في متجه عمود (n مرات 1 ).

التعريف ( PageIndex {3} ): ضرب المتجه بواسطة المصفوفة

لنفترض (A = left [a_ {ij} right] ) أن يكون (m times n ) مصفوفة ودع (X ) يكون (n times 1 ) مصفوفة معطاة بواسطة [ A = left [A_ {1} cdots A_ {n} right]، X = left [ start {array} {r} x_ {1} vdots x_ {n} end {array } حق]]

ثم يكون المنتج (AX ) هو متجه العمود (m times 1 ) الذي يساوي التركيبة الخطية التالية لأعمدة (A ): [x_ {1} A_ {1} + x_ {2 } A_ {2} + cdots + x_ {n} A_ {n} = sum_ {j = 1} ^ {n} x_ {j} A_ {j} ]

إذا كتبنا أعمدة (A ) من حيث إدخالاتها ، فإنها تكون على الشكل [A_ {j} = left [ begin {array} {c} a_ {1j} a_ {2j} vdots a_ {mj} end {array} right] ] بعد ذلك ، يمكننا كتابة المنتج (AX ) بالشكل [AX = x_ {1} left [ begin {array} { c} a_ {11} a_ {21} vdots a_ {m1} end {array} right] + x_ {2} left [ start {array} {c} a_ {12} a_ {22} vdots a_ {m2} end {array} right] + cdots + x_ {n} left [ start {array} {c} a_ {1n} a_ {2n} vdots a_ {mn} end {array} right] ]

لاحظ أن مضاعفة (م مرات n ) مصفوفة و (n مرات 1 ) متجه ينتج متجه (م مرات 1 ).

هنا مثال.

مثال ( PageIndex {1} ): متجه مضروب في مصفوفة

احسب المنتج (AX ) لـ [A = left [ start {array} {rrrr} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 2 & 1 & -2 2 & 1 & 4 & 1 نهاية {مجموعة} يمين] ، X = يسار [ تبدأ {مجموعة} {r} 1 2 0 1 end {array} right] ]

حل

سنستخدم التعريف [def: multiplicationvectormatrix] لحساب المنتج. لذلك ، نحسب المنتج (AX ) على النحو التالي. [ start {align} & 1 left [ start {array} {r} 1 0 2 end {array} right] + 2 left [ begin {array} {r} 2 2 1 end {array} right] + 0 left [ start {array} {r} 1 1 4 end {array} right] + 1 left [ start {array } {r} 3 -2 1 end {array} right] & = left [ start {array} {r} 1 0 2 end {array} right] + يسار [ يبدأ {مجموعة} {r} 4 4 2 end {array} right] + left [ start {array} {r} 0 0 0 end {array } right] + left [ start {array} {r} 3 -2 1 end {array} right] & = left [ begin {array} {r} 8 2 5 end {array} right] end {align} ]

باستخدام العملية المذكورة أعلاه ، يمكننا أيضًا كتابة نظام المعادلات الخطية في شكل المصفوفة. في هذه الصورة ، نعبر عن النظام كمصفوفة مضروبة في متجه. ضع في اعتبارك التعريف التالي.

التعريف ( PageIndex {4} ): صيغة المصفوفة لنظام المعادلات الخطية

لنفترض أن لدينا نظام معادلات معطى بواسطة [ start {array} {c} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} = b_ {1} a_ {21} x_ {1} + cdots + a_ {2n} x_ {n} = b_ {2} vdots a_ {m1} x_ {1} + cdots + a_ {mn} x_ {n} = b_ { m} end {array} ] ثم يمكننا التعبير عن هذا النظام بـ شكل المصفوفة كما يلي. [ left [ begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ {1n} a_ {21} & a_ {22} & cdots & a_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {m1} & a_ {m2} & cdots & a_ {mn} end {array} right] left [ start {array} {c} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {array} right] = left [ start {array} {c} b_ {1} b_ {2} vdots b_ {m} end {array} right] ]

يُعرف التعبير (AX = B ) أيضًا باسم نموذج المصفوفة من نظام المعادلات الخطية المقابلة. المصفوفة (A ) هي ببساطة مصفوفة معامل النظام ، والمتجه (X ) هو متجه العمود الذي تم إنشاؤه من متغيرات النظام ، وأخيرًا المتجه (B ) هو متجه العمود الذي تم إنشاؤه من ثوابت النظام. من المهم ملاحظة أنه يمكن كتابة أي نظام من المعادلات الخطية بهذا الشكل.

لاحظ أنه إذا كتبنا نظامًا متجانسًا من المعادلات في شكل مصفوفة ، فسيكون على الشكل (AX = 0 ) ، للمتجه الصفري (0 ).

يمكنك أن ترى من هذا التعريف أن المتجه [X = left [ start {array} {c} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {array} right] ] سوف يفي بالمعادلة (AX = B ) فقط عندما تكون إدخالات (x_ {1} ، x_ {2} ، cdots ، x_ {n} ) للمتجه (X ) حلولاً إلى النظام الأصلي.

الآن بعد أن درسنا كيفية ضرب مصفوفة في متجه ، نود النظر في الحالة التي نضرب فيها مصفوفتين بأحجام أكثر عمومية ، على الرغم من أن هذه الأحجام لا تزال بحاجة إلى أن تكون مناسبة كما سنرى. على سبيل المثال ، في المثال [exa: vectormultbymatrix] ، ضربنا مصفوفة (3 مرات 4 ) في متجه (4 مرات 1 ). نريد أن نتحرى كيفية ضرب أحجام أخرى من المصفوفات.

لم نعطِ أي شروط حتى الآن عندما يكون ضرب المصفوفة ممكنًا! بالنسبة للمصفوفات (أ ) و (ب ) ، من أجل تكوين المنتج (أ ب ) ، يجب أن يساوي عدد أعمدة (أ ) عدد صفوف (ب ). منتج (AB ) حيث (A ) له حجم (م مرات n ) و (ب ) له حجم (n مرات p ). بعد ذلك ، يتم إعطاء المنتج من حيث حجم المصفوفات بواسطة [(م مرات زائدة { نص {يجب أن تتطابق!}} { عريضة {n) ؛ (n} مرات p}) = م مرات ع ]

لاحظ أن الرقمين الخارجيين يعطيان حجم المنتج. فيما يلي أحد أهم القواعد المتعلقة بضرب المصفوفات. إذا لم يتطابق الرقمان الأوسطان ، فلا يمكنك ضرب المصفوفات!

عندما يساوي عدد أعمدة (أ ) عدد صفوف (ب ) يقال إن المصفوفتين مطابق ويتم الحصول على المنتج (AB ) على النحو التالي.

التعريف ( PageIndex {4} ): ضرب مصفوفتين

لنفترض أن (أ ) يكون (م مرات n ) مصفوفة ودع (ب ) يكون (n مرات ص ) مصفوفة من النموذج [B = يسار [B_ {1} cdots B_ {p} right] ] حيث (B_ {1} ، ... ، B_ {p} ) هي (n times 1 ) أعمدة (B ). ثم يتم تعريف المصفوفة (m times p ) (AB ) على النحو التالي: [AB = A left [B_ {1} cdots B_ {p} right] = left [(AB) _ {1} cdots (AB) _ {p} right] ] حيث ((AB) _ {k} ) هو (m times 1 ) مصفوفة أو متجه العمود الذي يعطي (k ^ {th} ) عمود (AB ).

تأمل المثال التالي.

مثال ( PageIndex {2} ): ضرب مصفوفتين

ابحث عن (AB ) إن أمكن. [A = left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right]، B = left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 0 0 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 end {array} right] ]

حل

أول شيء تحتاج إلى التحقق منه عند حساب منتج هو ما إذا كان الضرب ممكنًا. المصفوفة الأولى لها حجم (2 مرات 3 ) والمصفوفة الثانية لها حجم (3 مرات 3 ). الأرقام الداخلية متساوية ، لذا (A ) و (B ) هما مصفوفتان متطابقتان. وفقًا للمناقشة أعلاه ، ستكون (AB ) عبارة عن (2 مرات 3 ) مصفوفة. التعريف [def: multiplicationoftwomatrices] يعطينا طريقة لحساب كل عمود من (AB ) ، على النحو التالي.

[ left [ overbrace { text {العمود الأول}} { overbrace { left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {r} 1 0 -2 end {array} right]}} ، overbrace { text {Second column}} { overbrace { left [ begin { صفيف} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right] left [ start {array} {r} 2 3 1 end {array} right ]}} ، تجاوز { نص {العمود الثالث}} { overbrace { left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right] يسار [ start {array} {r} 0 1 1 end {array} right]}} right] ] أنت تعرف كيفية ضرب المصفوفة في متجه ، باستخدام التعريف [def: multiplicationvectormatrix] لكل من الأعمدة الثلاثة. وبالتالي [ left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 0 0 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 end {array} right] = left [ start {array} {rrr} -1 & 9 & 3 -2 & 7 & 3 نهاية {مجموعة} يمين] ]

نظرًا لأن المتجهات هي ببساطة (n مرات 1 ) أو (1 مرات م ) مصفوفات ، يمكننا أيضًا ضرب متجه في متجه آخر.

مثال ( PageIndex {3} ): Vector Times Vector Multiplication

اضرب إن أمكن ( left [ start {array} {r} 1 2 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 نهاية {مجموعة} يمين]. )

حل

في هذه الحالة نقوم بضرب مصفوفة الحجم (3 مرات 1 ) في مصفوفة الحجم (1 مرات 4. ) الأرقام الداخلية تتطابق حتى يتم تعريف المنتج. لاحظ أن المنتج سيكون مصفوفة بالحجم (3 مرات 4 ). باستخدام التعريف [def: multiplicationoftwomatrices] ، يمكننا حساب هذا المنتج على النحو التالي (: ) [ left [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} right] يسار [ start {array} {rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 end {array} right] = left [ overset { text {First column}} { overbrace { left [ start {array } {r} 1 2 1 end {array} right] left [ begin {array} {r} 1 end {array} right]}} ، overet { text {العمود الثاني }} { overbrace { left [ start {array} {r} 1 2 1 end {array} right] left [ begin {array} {r} 2 end {array} يمين]}} ، تجاوز { نص {العمود الثالث}} { overbrace { left [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} right] left [ begin {مجموعة} {r} 1 نهاية {مجموعة} يمين]}} ، تجاوز { نص {العمود الرابع}} { overbrace { left [ start {array} {r} 1 2 1 نهاية {مجموعة} يمين] يسار [ تبدأ {مجموعة} {r} 0 نهاية {مجموعة} يمين]}} يمين] ]

يمكنك استخدام تعريف [def: multiplicationvectormatrix] للتحقق من أن هذا المنتج [ left [ begin {array} {cccc} 1 & 2 & 1 & 0 2 & 4 & 2 & 0 1 & 2 & 1 & 0 نهاية {مجموعة} يمين] ]

مثال ( PageIndex {4} ): عملية ضرب غير معرفة

ابحث عن (BA ) إن أمكن. [B = left [ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 0 0 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 end {array} right]، A = left [ ابدأ {array} {ccc} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right] ]

حل

تحقق أولاً مما إذا كان ذلك ممكنًا. هذا المنتج على شكل ( يسار (3 مرات 3 يمين) يسار (2 مرات 3 يمين). ) الأرقام الداخلية غير متطابقة وبالتالي لا يمكنك القيام بهذا الضرب.

في هذه الحالة ، نقول إن الضرب لم يتم تعريفه. لاحظ أن هذه هي نفس المصفوفات التي استخدمناها في المثال [exa: multiplicationoftwomatrices]. في هذا المثال ، حاولنا حساب (BA ) بدلاً من (AB ). يوضح هذا خاصية أخرى لضرب المصفوفة. بينما قد يتم تعريف المنتج (AB ) ، لا يمكننا افتراض أن المنتج (BA ) سيكون ممكنًا. لذلك ، من المهم التحقق دائمًا من تحديد المنتج قبل إجراء أي حسابات.

في وقت سابق ، حددنا المصفوفة الصفرية (0 ) لتكون المصفوفة (ذات الحجم المناسب) التي تحتوي على الأصفار في جميع الإدخالات. ضع في اعتبارك المثال التالي للضرب في مصفوفة الصفر.

مثال ( PageIndex {5} ): الضرب بالمصفوفة الصفرية

احسب حاصل الضرب (A0 ) للمصفوفة [A = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] ] و (2 ضرب 2 ) صفر مصفوفة مقدمة من [0 = يسار [ تبدأ {مجموعة} {rr} 0 & 0 0 & 0 نهاية {مجموعة} يمين] ]

حل

في هذا المنتج ، نحسب [ left [ start {array} {rr} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] left [ begin {array} {rr} 0 & 0 0 & 0 نهاية {مجموعة} يمين] = يسار [ تبدأ {مجموعة} {rr} 0 & 0 0 & 0 نهاية {مجموعة} يمين] ]

ومن ثم ، (A0 = 0 ).

لاحظ أنه يمكننا أيضًا ضرب (A ) في (2 times 1 ) المتجه الصفري المعطى بواسطة ( left [ begin {array} {r} 0 0 end {array} right] ). ستكون النتيجة متجه (2 times 1 ) صفر. لذلك ، دائمًا ما تكون الحالة (A0 = 0 ) ، لمصفوفة أو متجه صفري بحجم مناسب.


ضرب المصفوفة

إذا لزم الأمر ، ارجع إلى صفحة تدوين المصفوفة لتجديد المعلومات حول التدوين المستخدم لوصف أحجام وإدخالات المصفوفات.

المصفوفة الضرب العددي

النوع الأول من ضرب المصفوفات هو ضرب المصفوفة في العدد القياسي ، والذي سيشار إليه بضرب المصفوفة العددية. العدد القياسي هو رقم يجعل الأشياء أكبر أو أصغر أو حتى سالبة (فكر في العدد القياسي السالب على أنه "يشير إلى الخلف" أو "يقلب" شيئًا في الاتجاه المعاكس). بالنظر إلى مصفوفة m & # 215 n ، A ، وعددي ، c ، فإن المصفوفة ، cA ، أو Ac ، هي مصفوفة m & # 215 n التي يكون إدخالها i ، j th هو c مضروبًا في الإدخال i ، j th لـ A . بعبارات أخرى،

للجميع أنا = 1. م و ي = 1. ن. على سبيل المثال،


خصائص المصفوفة الضرب العددي

  • Commutatitve: cA = تيار متردد
  • الترابطية: (cd) A = c (dA)
  • الجمع التوزيعي على المصفوفة: c (A + B) = cA + cB
  • التوزيع على الجمع العددي: (c + d) A = cA + dA

ضرب المصفوفة

لضرب مصفوفتين ، A و B ، يجب أن يساوي عدد الأعمدة A عدد صفوف B. لكي يتم تعريف مصفوفة المنتج ، AB ، بشكل عام ، يجب أن يكون A هو m & # 215 n ، ويجب أن يكون B n & # 215 p لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة m و n و p. إذا كان A هو m & # 215 n ، adn B هو n & # 215 p ، مصفوفة حاصل الضرب ، AB ، هي مصفوفة m & # 215 p بحيث يكون الإدخال i ، j th لـ AB ، يُشار إليه (AB)اي جاي، هو حاصل الضرب القياسي لمتجه الصف الأول من A

مع متجه العمود j th لـ B

لذلك ، (AB)اي جاي تعطى بالصيغة:

للجميع أنا = 1،2. م و ي = 1،2 ،. p (أنا يمر عبر صفوف A ، التي يوجد منها m ، و j يمر عبر أعمدة B ، التي يوجد منها p). على سبيل المثال ، إذا كانت A هي المصفوفة التالية 2 & # 215 3 وكانت B هي المصفوفة التالية 3 & # 215 2


ضرب المصفوفات

لنفترض أن A و B مصفوفتان. ثم ، ضرب المصفوفات A و B ، أي منتج A و B يتم الإشارة إليه بواسطة AB إذا تم تعريفه. يمكن تعريف المنتج AB أو لا يمكن تعريفه. يعتمد ذلك على ترتيب A و B.

يُقال إن مصفوفتين A و B متطابقتان أو متوافقتان مع المنتج AB إذا وفقط إذا كان عدد الأعمدة في A يساوي عدد الصفوف في B. وهذا يعني أنه يمكننا تحديد المنتج AB فقط عندما يكون عدد الأعمدة في A وعدد الصفوف في B متماثل. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فلا يمكن تنفيذ منتج المصفوفتين A و B. في مثل هذه الحالة ، لا تتوافق المصفوفتان A و B مع الضرب.

إذا كان A و B متوافقين مع المنتج AB ، فإن عدد الصفوف في A متبوعًا بعدد الأعمدة في B يعطي ترتيب المنتج AB.

اجعل ترتيب A يكون m & # 215 n و B يكون n & # 215 p. هنا ، عدد أعمدة A وعدد صفوف B متماثل. لذا ، فإن المصفوفتين A و B متطابقتان مع المنتج AB. عدد الصفوف في A هو m وعدد الأعمدة في B هو p. إذن ، ترتيب المنتج AB هو m & # 215 p.

إذا كانت المصفوفتان A و B متطابقتين أو متوافقة مع المنتج AB ، فليس من الضروري أن تكونا أيضًا متطابقتين أو متوافقة مع المنتج BA. إذا كان A و B مصفوفتان مربعتان من نفس الترتيب ، فإنهما متوافقان مع المنتج AB بالإضافة إلى BA.

يتم الحصول على العنصر في الصف i والعمود j للمنتج AB بضرب العناصر الموجودة في الصف الأول من A في العناصر المقابلة في العمود j من B ، ثم بجمع المنتجات الناتجة.

& # 8756 (i، j) العنصر th من المنتج AB = مجموع حاصل ضرب عناصر الصف الأول من A مع العناصر المقابلة للعمود j من B.

هنا ، سيكون ترتيب المنتج AB هو 2 & # 215 2. إذا كان cاي جاي يشير إلى عناصر مصفوفة حاصل الضرب AB ، إذن

قاعدة العمل (خطوات ضرب المصفوفات):

بادئ ذي بدء ، خمن ترتيب المنتج AB واكتب ما يلي:

أمثلة:

خصائص ضرب المصفوفة

1. ضرب المصفوفات عموما ، ليس تبادليًا ، أي AB & # 8800 BA بشكل عام.

أنا. عندما يتم تعريف المصفوفة AB ، ليس من الضروري دائمًا أن يتم تعريف BA أيضًا. على سبيل المثال ، إذا كانت المصفوفة A هي m & # 215 n والمصفوفة B هي n & # 215 p ، فإن AB موجود بينما لا توجد BA لأن p & # 8800 m.

ثانيا. عندما يتم تعريف كل من AB و BA ، فليس من الضروري أن يكونا من نفس النوع. على سبيل المثال ، إذا كانت المصفوفة A بترتيب m & # 215 n وكانت المصفوفة B من الرتبة n & # 215 m ، فإن كلا المصفوفتين AB و BA موجودتان ولكن AB بترتيب m & # 215 m بينما BA مرتبة ن & # 215 ن.

ثالثا. عندما يكون A و B مصفوفات مربعة من نفس الترتيب ، فإن كلا من AB و BA موجودان ، لكنهما ليسا متساويين بالضرورة. على سبيل المثال،

رابعا. لكن ، أحيانًا AB و BA متساويان أيضًا. على سبيل المثال،

ومن ثم بشكل عام AB & # 8800 BA.

2. يعتبر ضرب المصفوفات ترابطيًا ، أي إذا كانت المصفوفات A و B و C متوافقة مع الضرب ، فإن (AB) C = A (BC).

3. يعد ضرب المصفوفات توزيعًا فيما يتعلق بالإضافة ، أي إذا كانت المصفوفات A و B و C متوافقة مع الإضافة والضرب المطلوبين ، فإن A (B + C) = AB + AC و (A + B) C = AC + BC.

4. إذا كانت A مصفوفة مربعة وأنا مصفوفة هوية من نفس الترتيب ، فعندئذٍ AI = IA = A.

ملحوظة: يعطينا مضاعفة المصفوفات بعض النتائج التي تختلف عن النتائج التي تم الحصول عليها في حالة الأرقام. بعض هذه النتائج موضحة في الأمثلة التالية:

أنا. إذا كانت AB عبارة عن مصفوفة خالية ، فهذا لا يعني أن واحدة على الأقل من المصفوفات A أو B يجب أن تكون مصفوفة صفرية. على سبيل المثال،

ثانيا. قد لا يحتفظ قانون الإلغاء بضرب المصفوفة. على سبيل المثال،

أمثلة مجربة

هل لديك أسئلة بخصوص ضرب المصفوفات؟

يمكنك طرح أسئلتك أو مشاكلك هنا ، في قسم التعليقات أدناه.


محتويات

العلامة مشفرة في Unicode عند U + 00D7 × MULTIPLICATION SIGN (HTML & amp # 215 · & amptimes).

هناك رموز رياضية أخرى لعملية الضرب:

  • يُشار إلى الضرب أيضًا بعلامات نقطية ، [3] عادةً ما تكون نقطة مركزية (نادرًا ما تكون نقطة):
  • في الجبر ، غالبًا ما تتم كتابة الضرب الذي يتضمن المتغيرات كتجاور (على سبيل المثال ، س ص ل x مرات ذ أو 5x خمس مرات x)، وتسمى أيضا الضرب الضمني. [4] يمكن أيضًا استخدام الترميز للكميات المحاطة بأقواس (على سبيل المثال ، 5 (2) أو (5) (2) لخمس مرات اثنين). يمكن أن يتسبب هذا الاستخدام الضمني للضرب في الغموض عندما تتطابق المتغيرات المتسلسلة مع اسم متغير آخر ، عندما يمكن الخلط بين اسم متغير أمام قوس واسم دالة ، أو في التحديد الصحيح لترتيب العمليات.
  • في الضرب المتجه ، يوجد تمييز بين الرمز المتقاطع والرموز النقطية. يشير الرمز المتقاطع عمومًا إلى أخذ منتج متقاطع لمتجهين ، مما ينتج عنه متجه كنتيجة لذلك ، بينما تشير النقطة إلى أخذ حاصل الضرب النقطي لمتجهين ، مما يؤدي إلى عددية.

في برمجة الكمبيوتر ، لا تزال علامة النجمة (كما في 5 * 2) هي أكثر الرموز شيوعًا. هذا يرجع إلى حقيقة أن معظم أجهزة الكمبيوتر كانت تقتصر تاريخياً على مجموعات الأحرف الصغيرة (مثل ASCII و EBCDIC) التي تفتقر إلى علامة الضرب (مثل ⋅ أو ×) ، بينما ظهرت علامة النجمة على كل لوحة مفاتيح. نشأ هذا الاستخدام في لغة برمجة FORTRAN.

تسمى الأرقام المراد ضربها عمومًا "العوامل". الرقم المراد ضربه هو "المضاعف" ، والرقم الذي يتم ضربه به هو "المضاعف". عادةً ما يتم وضع المضاعف أولاً ثم يتم وضع المضاعف في المرتبة الثانية [1] ولكن في بعض الأحيان يكون العامل الأول هو المضاعف والثاني المضاعف. [5] أيضًا نظرًا لأن نتيجة الضرب لا تعتمد على ترتيب العوامل ، فإن التمييز بين "المضاعف" و "المضاعف" مفيد فقط على مستوى أولي جدًا وفي بعض خوارزميات الضرب ، مثل الضرب المطول. لذلك ، في بعض المصادر ، يعتبر مصطلح "مضاعف" مرادفًا لـ "عامل". [6] في الجبر ، الرقم هو مضاعف متغير أو تعبير (على سبيل المثال ، 3 في 3س ص 2) يسمى المعامل.

نتيجة الضرب تسمى حاصل الضرب. حاصل ضرب الأعداد الصحيحة هو مضاعف كل عامل. على سبيل المثال ، 15 هو حاصل ضرب 3 و 5 ، ومضاعف 3 ومضاعف 5.

تتطلب الطرق الشائعة لضرب الأرقام باستخدام قلم رصاص وورقة جدول ضرب من المنتجات المحفوظة أو التي تم الرجوع إليها بأعداد صغيرة (عادةً أي رقمين من 0 إلى 9) ، ولكن طريقة واحدة ، وهي خوارزمية الضرب الفلاحي ، لا تفعل ذلك.

يعد ضرب الأرقام في أكثر من منزلتين عشريتين يدويًا أمرًا مملًا وعرضة للخطأ. تم اختراع اللوغاريتمات الشائعة لتبسيط مثل هذه الحسابات ، لأن إضافة اللوغاريتمات تعادل الضرب. تسمح قاعدة الشريحة بضرب الأرقام بسرعة إلى حوالي ثلاثة أماكن دقة. ابتداءً من أوائل القرن العشرين ، بدأت الآلات الحاسبة الميكانيكية ، مثل مارشانت ، في الضرب الآلي لما يصل إلى 10 أرقام. لقد قللت أجهزة الكمبيوتر والآلات الحاسبة الإلكترونية الحديثة بشكل كبير من الحاجة إلى الضرب اليدوي.

تحرير الخوارزميات التاريخية

تم توثيق طرق الضرب في كتابات الحضارات المصرية واليونانية والهندية والصينية القديمة.

قد يلمح عظم Ishango ، الذي يعود تاريخه إلى حوالي 18000 إلى 20000 قبل الميلاد ، إلى معرفة التكاثر في العصر الحجري القديم الأعلى في وسط إفريقيا ، لكن هذا أمر تخميني.

تحرير المصريين

الطريقة المصرية في ضرب الأعداد الصحيحة والكسور ، الموثقة في بردية أحمس ، كانت بالإضافات المتتالية والمضاعفة. على سبيل المثال ، لإيجاد حاصل ضرب 13 و 21 ، كان على المرء مضاعفة 21 ثلاث مرات ، والحصول على 2 × 21 = 42 ، 4 × 21 = 2 × 42 = 84 ، 8 × 21 = 2 × 84 = 168. يمكن بعد ذلك العثور على المنتج الكامل عن طريق إضافة المصطلحات المناسبة الموجودة في التسلسل المضاعف:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

البابليون تحرير

استخدم البابليون نظام عدد المواقع الستيني ، مشابهًا للنظام العشري الحديث. وهكذا ، كان الضرب البابلي مشابهًا جدًا للضرب العشري الحديث. بسبب الصعوبة النسبية لتذكر منتجات مختلفة 60 × 60 ، استخدم علماء الرياضيات البابليون جداول الضرب. تتكون هذه الجداول من قائمة أول عشرين مضاعفًا لبعض المضاعفات الرقم الأساسي ن: ن, 2ن, . 20ن متبوعًا بمضاعفات العدد 10ن: 30ن 40نو 50ن. ثم لحساب أي منتج جنسي ، على سبيل المثال 53ن، مطلوب واحد فقط لإضافة 50ن و 3ن محسوبة من الجدول.

تحرير الصينية

في النص الرياضي Zhoubi Suanjing، مؤرخة قبل 300 قبل الميلاد ، و تسعة فصول في الفن الرياضي، تمت كتابة حسابات الضرب بالكلمات ، على الرغم من أن علماء الرياضيات الصينيين الأوائل استخدموا حساب التفاضل والتكامل الذي يتضمن إضافة القيمة المكانية والطرح والضرب والقسمة. كان الصينيون يستخدمون بالفعل جدول الضرب العشري بنهاية فترة الممالك المتحاربة. [7]

الطرق الحديثة تحرير

تم وصف طريقة الضرب الحديثة القائمة على نظام العد الهندوسي العربي لأول مرة بواسطة Brahmagupta. أعطى Brahmagupta قواعد الجمع والطرح والضرب والقسمة. كتب هنري بورشارد فاين ، أستاذ الرياضيات في جامعة برينستون ، ما يلي:

الهنود هم مخترعو ليس فقط النظام العشري الموضعي نفسه ، ولكن معظم العمليات التي ينطوي عليها الحساب الأولي للنظام. لقد أداؤوا عمليات الجمع والطرح تمامًا كما يتم إجراؤهم في الوقت الحاضر في عمليات الضرب التي أحدثوها بعدة طرق ، من بينها طرقنا ، لكن القسمة فعلوها بشكل تراكمي. [8]

أدخل الخوارزمي هذه الخوارزميات الحسابية للقيمة المكانية العشرية إلى البلدان العربية في أوائل القرن التاسع ، وشاعها فيبوناتشي في العالم الغربي في القرن الثالث عشر.

طريقة الشبكة تحرير

تُستخدم طريقة الضرب الشبكي أو طريقة الصندوق في المدارس الابتدائية في إنجلترا وويلز وفي بعض مناطق الولايات المتحدة للمساعدة في تعليم فهم كيفية عمل الضرب متعدد الأرقام. مثال على ضرب 34 في 13 هو وضع الأرقام في شبكة مثل:

تحرير خوارزميات الكمبيوتر

الطريقة الكلاسيكية لضرب اثنين ن تتطلب الأرقام -digit ن مضاعفات مكونة من رقمين. تم تصميم خوارزميات الضرب التي تقلل من وقت الحساب بشكل كبير عند ضرب أعداد كبيرة. الطرق القائمة على تحويل فورييه المنفصل تقلل من التعقيد الحسابي إلى ا(ن سجل ن سجل الدخول ن). في الآونة الأخيرة ، سجل العوامل ن تم استبداله بوظيفة تزيد بشكل أبطأ بكثير على الرغم من أنها لا تزال غير ثابتة (كما يمكن أن نأمل). [9]

في مارس 2019 ، قدم David Harvey و Joris van der Hoeven مقالًا يعرض خوارزمية ضرب عدد صحيح مع تعقيد مزعوم لـ O (n log ⁡ n). [10] الخوارزمية ، التي تعتمد أيضًا على تحويل فورييه السريع ، يُخمن أنها مثالية بشكل مقارب. [11] لا تعتبر الخوارزمية مفيدة عمليًا ، حيث تظهر مزاياها فقط عند ضرب أعداد كبيرة جدًا (تحتوي على أكثر من 2 1729 12 بت). [12]

يمكن للمرء فقط إضافة أو طرح كميات من نفس النوع بشكل مفيد ، ولكن يمكن مضاعفة كميات من أنواع مختلفة أو تقسيمها بدون مشكلة. على سبيل المثال ، يمكن اعتبار أربعة أكياس بها ثلاث كرات لكل منها على أنها: [1]

[4 أكياس] × [3 كرات لكل كيس] = 12 كرة.

عندما يتم ضرب قياسين معًا ، يكون المنتج من نوع يعتمد على أنواع القياسات. يتم إعطاء النظرية العامة من خلال تحليل الأبعاد. يتم تطبيق هذا التحليل بشكل روتيني في الفيزياء ، ولكن له أيضًا تطبيقات موجودة في التمويل والمجالات التطبيقية الأخرى.

من الأمثلة الشائعة في الفيزياء حقيقة أن ضرب السرعة بالوقت يعطي مسافة. على سبيل المثال:

50 كيلومترًا في الساعة × 3 ساعات = 150 كيلومترًا.

في هذه الحالة ، تلغي وحدات الساعة ، تاركة المنتج بوحدات كيلومتر فقط.

تتضمن أمثلة الضرب الأخرى التي تتضمن الوحدات ما يلي:

2.5 متر × 4.5 متر = 11.25 متر مربع 11 متر / ثانية × 9 ثواني = 99 متر 4.5 ساكن لكل منزل × 20 منزل = 90 ساكن

تحرير تدوين رأس المال pi

يمكن كتابة ناتج سلسلة من العوامل برمز المنتج المشتق من الحرف الكبير ∏ (pi) في الأبجدية اليونانية (يشبه إلى حد كبير الحرف الكبير ∑ (sigma) يستخدم في سياق الجمع). [13] [14] [15] موضع Unicode U + 220F (∏) ​​يحتوي على حرف رسومي للدلالة على مثل هذا المنتج ، متميزًا عن الحرف U + 03A0 (Π). يتم إعطاء معنى هذا الترميز من خلال:

يعطي الرمز المنخفض رمزًا لمتغير منضم (أنا في هذه الحالة) ، يسمى "مؤشر الضرب" ، مع حده الأدنى (1) ، في حين أن الخط المرتفع (هنا 4) يعطي حده العلوي. الحد الأدنى والأعلى عبارة عن تعبيرات تدل على الأعداد الصحيحة. يتم الحصول على عوامل المنتج عن طريق أخذ التعبير التالي لمشغل المنتج ، مع استبدال القيم الصحيحة المتتالية لمؤشر الضرب ، بدءًا من الحد الأدنى ومضاعفة بمقدار 1 حتى (بما في ذلك) الحد الأعلى. على سبيل المثال:

بشكل عام ، يتم تعريف الترميز على أنه

أين م و ن هي أعداد صحيحة أو تعبيرات يتم تقييمها إلى أعداد صحيحة. في حالة أين م = ن ، قيمة المنتج هي نفسها قيمة العامل الفردي xم إذا م & GT ن ، المنتج منتج فارغ قيمته 1 - بغض النظر عن تعبير العوامل.

تحرير الخصائص

إذا كانت جميع المصطلحات متطابقة ، فإن تسلسل المنتج يعادل الأُس.

تحرير المنتجات اللانهائية

يمكن للمرء أيضًا أن يفكر في المنتجات ذات المصطلحات العديدة اللانهائية التي تسمى المنتجات اللانهائية. من الناحية المعيارية ، يتكون هذا من الاستبدال ن أعلاه برمز اللانهاية ∞. يتم تعريف حاصل ضرب مثل هذا التسلسل اللانهائي على أنه حد منتج الأول ن شروط ، مثل ن ينمو بلا قيود. هذا هو،

يمكن للمرء أن يحل محل بالمثل م ذات اللانهاية السالبة ، وحدد:

بشرط وجود كلا الحدين.

بالنسبة للأعداد الحقيقية والمركبة ، والتي تشمل على سبيل المثال الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والكسور ، فإن الضرب له خصائص معينة:

الخاصية التبادلية لا يهم الترتيب الذي يتم به ضرب رقمين: x ⋅ y = y ⋅ x. تعد تعبيرات الخاصية الترابطية التي تتضمن فقط الضرب أو الجمع ثابتة فيما يتعلق بترتيب العمليات: (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z) خاصية التوزيع معلقة فيما يتعلق بالضرب على الجمع. هذه المطابقة لها أهمية قصوى في تبسيط التعبيرات الجبرية: x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z عنصر الهوية The multiplicative identity is 1 anything multiplied by 1 is itself. This feature of 1 is known as the identity property: x ⋅ 1 = x Property of 0 Any number multiplied by 0 is 0. This is known as the zero property of multiplication: x ⋅ 0 = 0 Negation −1 times any number is equal to the additive inverse of that number. ( − 1 ) ⋅ x = ( − x ) where ( − x ) + x = 0 –1 times –1 is 1. ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 Inverse element Every number x, except 0, has a multiplicative inverse, 1 x >> , such that x ⋅ ( 1 x ) = 1 > ight)=1> . Order preservation Multiplication by a positive number preserves order: For أ > 0 , if ب > ج ومن بعد ab > ac . Multiplication by a negative number reverses order: For أ < 0 , if ب > ج ومن بعد ab < ac . The complex numbers do not have an ordering.

Other mathematical systems that include a multiplication operation may not have all these properties. For example, multiplication is not, in general, commutative for matrices and quaternions.

In the book Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano proposed axioms for arithmetic based on his axioms for natural numbers. [16] Peano arithmetic has two axioms for multiplication:

Here S(ذ) represents the successor of ذ, or the natural number that follows ذ. The various properties like associativity can be proved from these and the other axioms of Peano arithmetic including induction. For instance S(0), denoted by 1, is a multiplicative identity because

x × 1 = x × S ( 0 ) = ( x × 0 ) + x = 0 + x = x

The axioms for integers typically define them as equivalence classes of ordered pairs of natural numbers. The model is based on treating (x,ذ) as equivalent to xذ متي x و ذ are treated as integers. Thus both (0,1) and (1,2) are equivalent to −1. The multiplication axiom for integers defined this way is

The rule that −1 × −1 = 1 can then be deduced from

( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) = ( 0 × 0 + 1 × 1 , 0 × 1 + 1 × 0 ) = ( 1 , 0 )

Multiplication is extended in a similar way to rational numbers and then to real numbers.

The product of non-negative integers can be defined with set theory using cardinal numbers or the Peano axioms. See below how to extend this to multiplying arbitrary integers, and then arbitrary rational numbers. The product of real numbers is defined in terms of products of rational numbers, see construction of the real numbers.

There are many sets that, under the operation of multiplication, satisfy the axioms that define group structure. These axioms are closure, associativity, and the inclusion of an identity element and inverses.

A simple example is the set of non-zero rational numbers. Here we have identity 1, as opposed to groups under addition where the identity is typically 0. Note that with the rationals, we must exclude zero because under multiplication, it does not have an inverse: there is no rational number that can be multiplied by zero to result in 1. In this example we have an abelian group, but that is not always the case.

To see this, consider the set of invertible square matrices of a given dimension over a given field. Here, it is straightforward to verify closure, associativity, and inclusion of identity (the identity matrix) and inverses. However, matrix multiplication is not commutative, which shows that this group is non-abelian.

Another fact worth noticing is that the integers under multiplication is not a group—even if we exclude zero. This is easily seen by the nonexistence of an inverse for all elements other than 1 and −1.

Multiplication in group theory is typically notated either by a dot, or by juxtaposition (the omission of an operation symbol between elements). So multiplying element أ by element ب could be notated as أب أو ab. When referring to a group via the indication of the set and operation, the dot is used. For example, our first example could be indicated by ( Q / < 0 >, ⋅ ) /<0>,,cdot ight)> .

Numbers can count (3 apples), order (the 3rd apple), or measure (3.5 feet high) as the history of mathematics has progressed from counting on our fingers to modelling quantum mechanics, multiplication has been generalized to more complicated and abstract types of numbers, and to things that are not numbers (such as matrices) or do not look much like numbers (such as quaternions).

When multiplication is repeated, the resulting operation is known as exponentiation. For instance, the product of three factors of two (2×2×2) is "two raised to the third power", and is denoted by 2 3 , a two with a superscript three. In this example, the number two is the يتمركز, and three is the exponent. In general, the exponent (or superscript) indicates how many times the base appears in the expression, so that the expression

indicates that ن copies of the base أ are to be multiplied together. This notation can be used whenever multiplication is known to be power associative.


Step by step guide to multiply matrices

  • Step 1: Make sure that it’s possible to multiply the two matrices (the number of columns in the 1st one should be the same as the number of rows in the second one.)
  • Step 2: The elements of each row of the first matrix should be multiplied by the elements of each column in the second matrix.
  • Step 3: Add the products.

Matrix Multiplication – Example 1:

Multiply the rows of the first matrix by the columns of the second matrix. (egin(-5)(-2)+(-5).3 & (-5)(-3)+(-5).5 (-1)(-2)+2.3 & (-1)(-3)+2.5 end=egin-5 & -10 8 & 13 end)

Matrix Multiplication – Example 2:

Multiply the rows of the first matrix by the columns of the second matrix. (egin(-4).0+(-6)(-3)+(-6).0 .0+6(-3)+3.0 end=egin18 -18 end)

Matrix Multiplication – Example 3:

Matrix Multiplication – Example 4:

Multiply the rows of the first matrix by the columns of the second matrix. (egin2(-2)+(-1)(-1)+(-1) .43(-2)+1 .(-1)+5 .4 end=egin-7 13 end)


Review of Matrices

In today's blog, I will review some very basic results in 2x2 and 1x2 matrices.

This represents a very basic introduction that is meant to provide background for my larger blog on Fermat's Last Theorem: n = 5 (see here).

Today's blog is based on the work by Harold M. Stark in his book An Introduction to Number Theory.

A matrix is a grouping of numbers that allows working on all the numbers at the same time.

For example, let's consider a 2 x 2 matrix that can be based on a set of numbers: 1, 2, 3, 4 .

The matrix itself looks like this:

2. Addition and subtraction of matrices

Addition and subtraction of matrices are exactly the same as if you added and subtracted the numbers independently:

3. Multiplication of Numbers with Matrices

Multiplication with an integer just applies the integer to all the values involved so that:

4. Product of Two Matrices

In addition to these properites, matrices have there own special operations. The product of 2 matrices is a bit confusing. We define a product of a 1 x 2 matrix with a 2 x 2 matrix as the following:

We define a product a 2 x 2 matrix with a 2 x 2 matrix as the following:

Now, here's where it gets a bit confusing. We normally refer to a matrix using a capital letter. So let's say we have two matrices A,B such that: A is a 2x2 matrix and B is a 2x2 matrix. We cannot assume that AB = BA . For example, if we reverse the matrices above, we get the following equation:

Another important point is that there is no product defined for a 2x1 matrix and a 2x2 matrix or a 2x2 matrix and 1x2 matrix (since order is important in matrix products) and for that matter, there is no product defined a 2x2 matrix with a 1x2 matrix. In the case of 2x2 matrices, you can only get a product for a 2x2 matrix with a 2x2 matrix or a 1x2 matrix with a 2x2 matrix.

A determinant is a value that is derived from a 2x2 matrix. Here is the definition:

(3) det(AB) = (ae+bg)(cf+dh) - (af+bh)(ce+dg) = (acef + adeh + bcfg + bdgh) - (acef + adfg + bceh + bdgh) = adeh + bcfg - adfg - bceh.

(4) det(A) = ad - bc
(5) det(B) = eh - fg
(6) So det(A)det(B) = (ad - bc)(eh - fg) = adeh + bcfg - adfg - bceh

The Identity Matrix is referred to as I and defined as:

We denote the inverse of A as A -1 and we define it as:
A -1 =

(1) (det A)(det A -1 ) = det(AA -1 ) [From Lemma 1]

(2) det(AA -1 ) = det(I) [From Lemma 2]

(3) det(I) = 1*1 - 0*0 = 1. [Definition of I, Definition of Determinant]

(5) And dividing both sides by (det A) gives us:
det A -1 = 1/(det A)

The last point here is that while AA -1 = I , it is not necessarily true that ABA -1 = B . The reason is that AB does not necessarily equal BA and we are not allowed to change the order of the matrix elements.

10 comments :

hi
we have a blog on math and want to have relationship with you. contact us and join.
we publish our blog in english/french/persian language.
join us and contact me.
http://mathcom.blogfa.com

I tried to contact you but was unable. Feel free to e-mail me directly at [email protected]

I am very sorry that it took me so long to respond to this posting.

In 5(6):
(ad - bc)(eh - fg) = adeh + bcfg - adfh - bceh
Should be:
(ad - bc)(eh - fg) = adeh + bcfg - adfg - bceh

In 7 (Final Points):
Should it be:
AB does not necessarily equal AB
Instead of:
AB does not necessarily equal A

Thanks again for the comments! I fixed both the typos that you found.

Thanks so much, this was very helpful!

In 4. Product of Two Matrices

Another important point is that there is no product defined for a 2x1 matrix and a 2x2 matrix or a 2x2 matrix and 2x1 matrix.

I thought that you could get the product of a 2x2 matrix and a 2x1 matrix (in that order) and that the result would be a 2x1 matrix.

Thanks so much, this math blog helps me refresh my memory of this than my professor did of explaining. :D thank you. :)

Can you please verify what Scouse Rob said for his last comment?
I'm doing Hill-cipher question which C= KP mod26. KP (2x2 by 2x1) or PK(1x2 by 2x2)? Please help


Matrix to Matrix Multiplication a.k.a “Messy Type”

Always remember this!

In order for matrix multiplication to work, the number of columns of the left matrix MUST EQUAL to the number of rows of the right matrix.

Suppose we are given the matrices A and B , find AB (do matrix multiplication, if applicable). Determine which one is the left and right matrices based on their location. It is a very important step.

To determine if I can multiply the two given matrices, I need to pay attention to the number of columns of matrix A and the number of rows of matrix B . If they are equal, then I can proceed with Matrix Multiplication. Otherwise, I will conclude that the answer is undefined!

Because Matrix A has the number of columns of 2 ، و Matrix B has the number of rows of 3 , and they are not equal ( 2 ≠ 3 ), I conclude that AB = undefined. That means their product can’t be found.

Examples of Matrix Multiplication a.k.a. “Messy Type”

Directions: Given the following matrices, perform the indicated operation.

Example 1: Calculate, if possible, the product of B and E .

In order for matrices B and E to have a product, the number of columns of left matrix B must equal the number of rows of right matrix E .

Since this is the case, then it is okay to multiply them together. Now, these are the steps:

Step 1: Place them side by side.

Step 2: Multiply the rows of B into the columns of E by multiplying the corresponding elements of each row to each elements of column, and then add them together.

Please watch the animated solution carefully.

If you have no patience watching the animated solution above on how to perform matrix multiplication, you can view the regular solution I have included below.

Example 2: Calculate, if possible, the product of E and F .

Check first if the product of the two matrices exists by making sure that the number of columns of left matrix E equals the number of rows of right matrix F .

This is wonderful since the number of columns of matrix E equals the number of rows of matrix F . This means the product of EF is defined so we can go ahead and perform matrix multiplication. See below for the animated step by step solution of matrix multiplication.

Example 3: Calculate, if possible, the product of F and E .

In our previous example, we have successfully obtained the product of EF . This time around, we want to find if we can find the product of E[latex] and [latex]F , in that order.

Just to remind you, real numbers are commutative under multiplication operation which means that the order of multiplication does not affect the final product. For instance.

So the big question becomes, does it work also in matrix multiplication?

Let's check if the number of columns of matrix F equals the number of rows of matrix E .

Obviously, the number of columns of Matrix F does not equal the number of rows of Matrix E . The implication is that the product of FE cannot be calculated, therefore undefined!

In general, matrix multiplication is not commutative.

Example 4: Calculate, if possible, the product of AE .

The standard way to describe the size or dimension of a matrix is to.

( state number of rows ) x ( state number of columns )

. read as "the number of rows by the number of columns".

3 x 3 (three by three matrix)

3 x 2 (three by two matrix)

Since the number of columns of matrix A equals the number of rows of matrix E then we conclude that the product of AE is defined.

Let's work it out. See animated solution below.

Example 5: Calculate, if possible, the product of E and A .

3 x 2 (three by two matrix)

3 x 3 (three by three matrix)

Obviously, the number of columns of matrix E does not equal the number of columns of matrix A . Therefore, the product of EA cannot be calculated, or undefined.

Example 6: Calculate, if possible, the product of D and F .

Since the number of columns of matrix D equals the number of rows of matrix F , the product of DF is defined.

Example 7: What is the product of matrix C when multiplied by itself?

This is rather simple. We will simply multiply matrix C by matrix C which can be written as CC or . In other words, we are squaring matrix C .

We need to be cautious here. Notice that only a square matrix can be squared. Just to remind you, a square matrix is a matrix where the number of its row is equal to the number of its column.

I will leave it to you to verify that the solution below is correct. For math problem such as this, although tedious, I always recommend to do it by hand using pencil and paper.


3 إجابات 3

Matrix multiplication is a symbolic way of substituting one linear change of variables into another one. If $x' = ax + by$ and $y' = cx+dy$, and $x'' = a'x' + b'y'$ and $y'' = c'x' + d'y'$ then we can plug the first pair of formulas into the second to express $x''$ and $y''$ in terms of $x$ and $y$: $ x'' = a'x' + b'y' = a'(ax + by) + b'(cx+dy) = (a'a + b'c)x + (a'b + b'd)y $ and $ y'' = c'x' + d'y' = c'(ax+by) + d'(cx+dy) = (c'a+d'c)x + (c'b+d'd)y. $ It can be tedious to keep writing the variables, so we use arrays to track the coefficients, with the formulas for $x'$ and $x''$ on the first row and for $y'$ and $y''$ on the second row. The above two linear substitutions coincide with the matrix product $ left( egin a'&b'c'&d' end ight) left( egin a&bc&d end ight) = left( egin a'a+b'c&a'b+b'dc'a+d'c&c'b+d'd end ight). $ So matrix multiplication is just a bookkeeping device for systems of linear substitutions plugged into one another (order matters). The formulas are not intuitive, but it's nothing other than the simple idea of combining two linear changes of variables in succession.


Addition of Matrices

Denote the sum of two matrices $A$ and $B$ (of the same dimensions) by $C = A + B..$ The sum is defined by adding entries with the same indices

Subtraction of Matrices

Subtraction is performed in analogous way.

Scalar multiplication

To multiply a matrix with a real number, each element is multiplied by that number.

Multiplication of a row vector by a column vector

This multiplication is only possible if the row vector and the column vector have the same number of elements. To multiply the row by the column, corresponding elements are multiplied, then added to the results.

If the row vector and the column vector are not of the same length, their product is not defined.

The Product of a Row Vector and Matrix

When the number of elements in row vector is the same as the number of rows in the second matrix then this matrix multiplication can be performed.

If the number of elements in row vector is ليس the same as the number of rows in the second matrix then their product is not defined.

Matrix Multiplication - General Case

When the number of columns of the first matrix is the same as the number of rows in the second matrix then matrix multiplication can be performed.

Multiplying a $2 imes 3$ matrix by a $3 imes 2$ matrix is possible, and it gives a $2 imes 2$ matrix as the result.

Multiplying a $2 imes 3$ matrix by a $2 imes 3$ matrix is not defined.

Here is an example of matrix multiplication for two concrete matrices

Example: Find the product $AB$ where $A$ and $B$ are matrices:

The product $AB$ is defined since $A$ is a $2 imes 3$ matrix and $B$ is a $3 imes 2$ matrix. The answer is a $2 imes 2$ matrix. The multiplication is divided into 4 steps.

Multiply the 1st row of the first matrix and 1st column of the second matrix, element by element. The result goes in the position (1, 1)

Now, multiply the 1st row of the first matrix and 2nd column of the second matrix. The result goes in the position (1, 2)

Next, multiply 2nd row of the first matrix and the 1st column of the second matrix. The result goes in the position (2, 1)

Finally, multiply 2nd row of the first matrix and the 2st column of the second matrix. The result goes in the position (2, 2)


References

[2] Grattan-Guinness, Convolutions in French Mathematics, 1800-1830 (Basel, 1990). WID-LC QA27.F8 G73 1990

[3] Vachov, D. Anniversaries in mathematics history for 1986. (Bulgarian) Translated in Proc. Steklov Inst. Math. 1990, no. 1, 279-284.

[4] Fiz.-Mat. Spis. Bcdprime lgar. Akad. Nauk. 29(62) (1987), no. 2, 118--120. Cabot Science Library PER 3740

[9]J. Tvrdá, On the origin of the theory of matrices, Acta Historiae Rerum Naturalium necnon Technicarum (Prague, 1971), 335-354. Widener Library Info Aus 80037.5

[10] E. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül (Hildesheim, 1980).

[11] A.E. Malykh, Development of the general theory of determinants up to the beginning of the nineteenth century (Russian), Mathematical analysis (Leningrad, 1990), 88-97.

[13] Nicolas Bourbaki: Elements of the history of mathematics, 1965 Scan.

[14] Bell: Toward mathematical structure, Scanned pages.

[15] Thomas Muir, Contributions to the History of determinants, (review) Nature, 126, 839, 1930 [Scan]

[16] [added Aug 1, 2014] Binet's 1812 paper (Thanks to Christoph Vignat) [PDF].


شاهد الفيديو: ضرب المصفوفات 1 - شرح مبسط وسهل - matrix production (ديسمبر 2021).