مقالات

7.2E: مراجعة سلسلة الطاقة (تمارين) - الرياضيات


Q7.1.1

1. لكل سلسلة قوى استخدم نظرية 7.1.3 لإيجاد نصف قطر التقارب (R ). إذا (R> 0 ) ، ابحث عن الفاصل الزمني المفتوح للتقارب.

  1. ({displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {(-1) ^ n over2 ^ nn} (x-1) ^ n})
  2. ({displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty 2 ^ nn (x-2) ^ n})
  3. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {n! over9 ^ n} x ^ n} )
  4. ({displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {n (n + 1) over16 ^ n} (x-2) ^ n})
  5. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {7 ^ n over n!} x ^ n} )
  6. ({ displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty {3 ^ n over4 ^ {n + 1} (n + 1) ^ 2} (x + 7) ^ n} )

2. افترض أن هناك عددًا صحيحًا (M ) مثل (b_m ne0 ) لـ (m ge M ) و [ lim_ {m to infty} left | b_ {m + 1 } over b_m right | = L، nonumber ] حيث (0 le L le infty ). بيّن أن نصف قطر تقارب [ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty b_m (x-x_0) ^ {2m} nonumber ] هو (R = 1 / sqrt L ) ، وهو يفسر على أنه يعني أن (R = 0 ) إذا (L = infty ) أو (R = infty ) إذا (L = 0 ).

3. لكل سلسلة طاقة ، استخدم النتيجة تمرين 7.1.2 لإيجاد نصف قطر التقارب (ص ). إذا (R> 0 ) ، ابحث عن الفاصل الزمني المفتوح للتقارب.

  1. ({displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m (3m + 1) (x-1) ^ {2m + 1}})
  2. ({displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {m (2m + 1) over2 ^ m} (x + 2) ^ {2m}})
  3. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {m! over (2m)!} (x-1) ^ {2m}} )
  4. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {m! over9 ^ m} (x + 8) ^ {2m}} )
  5. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {(2m-1) over3 ^ m} x ^ {2m + 1}} )
  6. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (x-1) ^ {2m}} )

4. لنكن (k ) عددًا صحيحًا موجبًا. بيّن أن نصف قطر التقارب [ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty b_m (x-x_0) ^ {km} nonumber ] هو (R = 1 / sqrt [k] L ) ، والذي يتم تفسيره على أنه يعني أن (R = 0 ) إذا (L = infty ) أو (R = infty ) إذا (L = 0 ).

5. لكل سلسلة طاقة استخدم النتيجة تمرين 7.1.4 لإيجاد نصف قطر التقارب (ص ). إذا (R> 0 ) ، ابحث عن الفاصل الزمني المفتوح للتقارب.

  1. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {(- 1) ^ m over (27) ^ m} (x-3) ^ {3m + 2}} )
  2. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {x ^ {7m + 6} over m}} )
  3. ({displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {9 ^ m (m + 1) over (m + 2)} (x-3) ^ {4m + 2}})
  4. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {2 ^ m over m!} x ^ {4m + 3}} )
  5. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {m! over (26) ^ m} (x + 1) ^ {4m + 3}} )
  6. ({ displaystyle sum_ {m = 0} ^ infty {(- 1) ^ m over8 ^ mm (m + 1)} (x-1) ^ {3m + 1}} )

6. رسم بياني (y = sin x ) ومتعدد حدود تايلور [T_ {2M + 1} (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ M {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1} over (2n + 1)!} nonumber ] على الفاصل ((- 2 pi، 2 pi) ) لـ (M = 1 ) ، (2 ) ، (3 ) ،… ، حتى تجد قيمة (M ) التي لا يوجد فرق محسوس بين الرسمين البيانيين.

7. رسم بياني (y = cos x ) ومتعدد حدود تايلور [T_ {2M} (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ M {(- 1) ^ nx ^ {2n} over (2n)!} nonumber ] على الفاصل ((- 2 pi، 2 pi) ) لـ (M = 1 ) ، (2 ) ، (3 ) ، ... ، حتى تجد قيمة (م ) التي لا يوجد فرق محسوس بين الرسمين البيانيين.

8. رسم بياني (y = 1 / (1-x) ) ومتعدد حدود تايلور [T_N (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ Nx ^ n nonumber ] على الفاصل الزمني ([ 0 ، .95] ) لـ (N = 1 ) ، (2 ) ، (3 ) ، ... ، حتى تجد قيمة (N ) التي لا يوجد فرق محسوس بين الاثنين الرسوم البيانية. اختر المقياس على المحور (y ) بحيث (0 le y le20 ).

9. رسم بياني (y = cosh x ) ومتعدد حدود تايلور [T_ {2M} (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ M {x ^ {2n} over (2n)!} nonumber ] على الفاصل ((- 5،5) ) لـ (M = 1 ) ، (2 ) ، (3 ) ، ... ، حتى تجد قيمة (M ) ) التي لا يوجد فرق محسوس بين الرسمين البيانيين. اختر المقياس على المحور (y ) بحيث (0 le y le75 ).

10. رسم بياني (y = sinh x ) ومتعدد حدود تايلور [T_ {2M + 1} (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ M {x ^ {2n + 1} over ( 2n + 1)!} nonumber ] على الفاصل ((- 5،5) ) لـ (M = 0 ) ، (1 ) ، (2 ) ، ... ، حتى تجد قيمة (م ) التي لا يوجد فرق محسوس بين الرسمين البيانيين. اختر المقياس على المحور (y ) بحيث (- 75 ~ le ~ y le ~ 75 ).

Q7.1.2

في تمارين 7.1.11-7.1.15 ابحث عن حل لسلسلة الطاقة (y (x) = sum_ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} x ^ {n} ].

11. ((2 + x) y '+ xy' + 3y )

12. ((1 + 3x ^ 2) ص '' + 3x ^ 2y'-2y )

13. ((1 + 2x ^ 2) y '+ (2-3x) y' + 4y )

14. ((1 + x ^ 2) y '+ (2-x) y' + 3y )

15. ((1 + 3x ^ 2) ص "- 2xy '+ 4y )

Q7.1.3

16. افترض (y (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x + 1) ^ n ) في فترة مفتوحة تحتوي على (x_0 ~ = ~ -1 ). ابحث عن سلسلة قوى في (x + 1 ) من أجل [xy '' + (4 + 2x) y '+ (2 + x) y. nonumber ]

17. افترض (y (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-2) ^ n ) في فترة مفتوحة تحتوي على (x_0 ~ = ~ 2 ). ابحث عن سلسلة قوى في (x-2 ) لـ [x ^ 2y '' + 2xy'-3xy. nonumber ]

18. قم بالتجربة التالية للاختيارات المختلفة للأرقام الحقيقية (a_0 ) و (a_1 ).

  1. استخدم برنامج المعادلات التفاضلية لحل مشكلة القيمة الأولية [(2-x) y '' + 2y = 0، quad y (0) = a_0، quad y '(0) = a_1، nonumber ] عدديًا ((- 1.95،1.95) ). اختر الطريقة الأكثر دقة التي توفرها حزمة البرامج الخاصة بك. (انظر القسم 10.1 للاطلاع على مناقشة موجزة لإحدى هذه الطرق.)
  2. بالنسبة إلى (N = 2 ) ، (3 ) ، (4 ) ، ... ، حساب (a_2 ) ، ... ، (a_N ) من المعادلة 7.1.18 والرسم البياني [T_N (x) = displaystyle sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n nonumber ] والحل الذي تم الحصول عليه في (أ) على نفس المحاور. استمر في زيادة (N ) حتى يتضح أنه لا جدوى من الاستمرار. (يبدو هذا غامضًا ، لكنك ستعرف متى تتوقف.)

19. اتبع توجيهات تمرين 7.1.18 لمشكلة القيمة الأولية [(1 + x) y '' + 2 (x-1) ^ 2y '+ 3y = 0، quad y (1) = a_0، quad y' (1) = a_1، nonumber ] على الفاصل ((0،2) ). استخدم المعادلتين 7.1.24 و 7.1.25 لحساب ( {a_n } ).

20. افترض أن السلسلة ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) تتقارب في فترة مفتوحة ((- R ، R) ) ، دع (r ) يكون حقيقيًا تعسفيًا number ، وحدد [y (x) = x ^ r displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n = displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ {n + r} nonumber ] في ((0، R) ). استخدم النظرية 7.1.4 وقاعدة التفريق بين ناتج دالتين لتوضيح أن [ begin {align} y '(x) & = { displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty (n + r) a_nx ^ {n + r-1}}، [10pt] y '(x) & = { displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty (n + r) (n + r-1) a_nx ^ {n + r-2}}، & vdots & y ^ {(k)} (x) & = {displaystyle sum_ {n = 0} ^ infty (n + r) (n + r-1) cdots (n + rk) a_nx ^ {n + rk}} end {align} nonumber ] on ((0، R) )

Q7.1.4

21. (x ^ 2 (1-x) y '+ x (4 + x) y' + (2-x) y )

22. (x ^ 2 (1 + x) y '' + x (1 + 2x) y '- (4 + 6x) y )

23. (x ^ 2 (1 + x) y '' - x (1-6x-x ^ 2) y '+ (1 + 6x + x ^ 2) y )

24. (x ^ 2 (1 + 3x) y '+ x (2 + 12x + x ^ 2) y' + 2x (3 + x) y )

25. (x ^ 2 (1 + 2x ^ 2) y '' + x (4 + 2x ^ 2) y '+ 2 (1-x ^ 2) y )

26. (x ^ 2 (2 + x ^ 2) y '+ 2x (5 + x ^ 2) y' + 2 (3-x ^ 2) y )


7.2E: مراجعة سلسلة الطاقة (تمارين) - الرياضيات

لقد أمضينا وقتًا طويلاً في الحديث عن المسلسلات الآن ومع استثناءين فقط قضينا معظم ذلك الوقت نتحدث عن كيفية تحديد ما إذا كانت السلسلة ستتقارب أم لا. حان الوقت الآن لبدء النظر في بعض الأنواع المحددة من المسلسلات وسنصل في النهاية إلى النقطة حيث يمكننا التحدث عن تطبيقين من المسلسلات.

في هذا القسم سوف نبدأ الحديث عن سلسلة الطاقة. أ سلسلة الطاقة حول أ، أو فقط سلسلة الطاقة، هي أي سلسلة يمكن كتابتها بالشكل ،

حيث (أ ) و () هي أرقام. ال () غالبًا ما يطلق عليها اسم المعاملات من السلسلة. أول شيء يجب ملاحظته بشأن المتسلسلة الأسطورية هو أنها دالة في (x ). هذا يختلف عن أي نوع آخر من المسلسلات التي نظرنا إليها حتى هذه اللحظة. في جميع الأقسام السابقة ، سمحنا فقط بالأرقام في السلسلة والآن نسمح للمتغيرات أن تكون في السلسلة أيضًا. هذا لن يغير كيفية عمل الأشياء. كل ما نعرفه عن المسلسلات لا يزال قائما.

في مناقشة سلسلة الطاقة ، لا يزال التقارب مسألة رئيسية سنتعامل معها. الفرق هو أن تقارب السلسلة سيعتمد الآن على قيم (x ) التي نضعها في السلسلة. قد تتقارب سلسلة الطاقة مع بعض قيم (x ) وليس لقيم أخرى لـ (x ).

قبل أن نذهب بعيدًا في سلسلة القوة ، هناك بعض المصطلحات التي نحتاج إلى التخلص منها.

أولاً ، كما سنرى في أمثلةنا ، سنتمكن من إظهار وجود رقم (R ) بحيث تتقارب سلسلة الطاقة من أجل ، ( يسار | الحق | & lt R ) وسوف تتباعد لـ ( left | الحق | & GT R ). هذا الرقم يسمى نصف قطر التقارب للسلسلة. لاحظ أن السلسلة قد تتقارب أو لا تتقارب إذا ( left | الحق | = ص). ما يحدث عند هذه النقاط لن يغير نصف قطر التقارب.

ثانيًا ، الفاصل الزمني لجميع (س ) ، بما في ذلك نقاط النهاية ، إذا لزم الأمر ، والتي من أجلها تتقارب سلسلة الطاقة تسمى فاصل التقارب من السلسلة.

يرتبط هذان المفهومان ببعضهما البعض بشكل وثيق. إذا علمنا أن نصف قطر التقارب لسلسلة قوى هو (R ) فلدينا ما يلي.

يجب أن يحتوي فاصل التقارب بعد ذلك على الفاصل (a - R & lt x & lt a + R ) لأننا نعلم أن سلسلة الطاقة ستتقارب من أجل هذه القيم. نعلم أيضًا أن الفاصل الزمني للتقارب لا يمكن أن يحتوي على (x ) في النطاقات (x & lt a - R ) و (x & gt a + R ) نظرًا لأننا نعلم أن سلسلة الطاقة تتباعد عن هذه قيمة (س ). لذلك ، لتحديد فترة التقارب تمامًا ، كل ما يتعين علينا القيام به هو تحديد ما إذا كانت سلسلة الطاقة ستتقارب من أجل (x = a - R ) أو (x = a + R ). إذا تقاربت سلسلة الأس لإحدى هاتين القيمتين أو كليهما ، فسنحتاج إلى تضمين تلك الموجودة في فترة التقارب.

قبل الدخول في بعض الأمثلة ، دعنا نلقي نظرة سريعة على تقارب سلسلة الطاقة في حالة (x = a ). في هذه الحالة تصبح سلسلة الطاقة ،

وهكذا تتقارب سلسلة الطاقة. لاحظ أنه كان علينا استبعاد المصطلح الأول لأنه كان المصطلح الوحيد غير الصفري في السلسلة.

من المهم أن نلاحظ أنه بغض النظر عما يحدث في سلسلة القوة ، فنحن نضمن التقارب لـ (x = a ). قد لا تتقارب السلسلة مع أي قيمة أخرى لـ (x ) ، لكنها ستتقارب دائمًا من أجل (x = a ).

دعونا نعمل بعض الأمثلة. سنضع قدرًا كبيرًا من التفاصيل في المثال الأول ثم لا نضع نفس القدر من التفاصيل في الأمثلة المتبقية.

حسنًا ، نعلم أن سلسلة الأس هذه ستتقارب من أجل (x = - 3 ) ، لكن هذا كل شيء في هذه المرحلة. لتحديد ما تبقى من (س ) 's التي سنحصل على تقارب من أجلها ، يمكننا استخدام أي من الاختبارات التي ناقشناها حتى هذه النقطة. بعد تطبيق الاختبار الذي نختار العمل معه ، سنصل إلى الحالة (الشروط) في (س ) التي يمكننا استخدامها لتحديد قيم (س ) التي ستتقارب فيها سلسلة الطاقة وأي قيم من (x ) التي تتباعد فيها سلسلة الطاقة. من هذا يمكننا الحصول على نصف قطر التقارب ومعظم فترة التقارب (مع استثناء محتمل لنقاط النهاية).

مع كل ما قيل ، فإن أفضل الاختبارات لاستخدامها هنا هي دائمًا النسبة أو اختبار الجذر. تم إعداد معظم سلسلة الطاقة التي سننظر فيها لأحدهما أو الآخر. في هذه الحالة سنستخدم اختبار النسبة.

قبل الذهاب إلى أبعد من الحد ، دعنا نلاحظ أنه بما أن (س ) لا يعتمد على الحد فإنه يمكن إخراجها من الحد المسموح به. لاحظ أيضًا أنه عند القيام بذلك سنحتاج إلى الاحتفاظ بأشرطة القيمة المطلقة عليها لأننا نحتاج إلى التأكد من أن كل شيء يظل إيجابيًا وأن (x ) يمكن أن يكون قيمة تجعل الأشياء سلبية. إذن فالحد هو

لذلك ، يخبرنا اختبار النسبة أنه إذا (L & lt 1 ) سوف تتقارب السلسلة ، إذا (L & gt 1 ) سوف تتباعد السلسلة ، وإذا (L = 1 ) لا نعرف ماذا سوف يحدث. اذا لدينا،

سنتعامل مع حالة (L = 1 ) بعد قليل. لاحظ أن لدينا الآن نصف قطر التقارب لسلسلة الأس هذه. هذه هي بالضبط الشروط المطلوبة لنصف قطر التقارب. نصف قطر التقارب لسلسلة الطاقة هذه هو (R = 4 ).

الآن ، دعونا نحصل على الفاصل الزمني للتقارب. سنحصل على معظم (إن لم يكن كل) الفترة الزمنية عن طريق حل المتباينة الأولى من الأعلى.

إذن ، معظم فترة الصلاحية مُعطاة بواسطة (- 7 & lt x & lt 1 ). كل ما علينا فعله هو تحديد ما إذا كانت سلسلة الأسس ستتقارب أو تتباعد عند نقاط نهاية هذه الفترة. لاحظ أن قيم (x ) تتوافق مع قيمة (x ) التي ستعطي (L = 1 ).

تتمثل طريقة تحديد التقارب في هذه النقاط في توصيلها ببساطة بسلسلة الطاقة الأصلية ومعرفة ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد باستخدام أي اختبار ضروري.

(س = - 7 ):
في هذه الحالة تكون السلسلة ،

هذه السلسلة متباينة من خلال اختبار الاختلاف منذ ( mathop < lim> limits_ n = infty ne 0 ).

(س = 1 ):
في هذه الحالة تكون السلسلة ،

هذه السلسلة أيضًا متباينة من خلال اختبار الاختلاف منذ ( mathop < lim> limits_ < left (<- 1> right) ^ n> n ) غير موجود.

لذلك ، في هذه الحالة ، لن تتقارب سلسلة الطاقة مع أي من نقطتي النهاية. إذن فاصل التقارب هو ،

في المثال السابق ، لم تتقارب سلسلة الطاقة مع أي من نقطتي نهاية الفاصل الزمني. سيحدث ذلك أحيانًا ، لكن لا تتوقع حدوث ذلك دائمًا. يمكن أن تتقارب سلسلة الطاقة عند أي من نقطتي النهاية أو واحدة فقط من نقاط النهاية.

دعنا ننتقل مباشرة إلى اختبار النسبة.

لذلك سوف نحصل على معلومات التقارب / الاختلاف التالية من هذا.

علينا توخي الحذر هنا في تحديد فترة التقارب. يتطلب الفاصل الزمني للتقارب ( left | الحق | & lt R ) و ( اليسار | الحق | & GT R ). بعبارة أخرى ، نحتاج إلى تحليل 4 من أشرطة القيمة المطلقة للحصول على نصف قطر التقارب الصحيح. القيام بهذا يعطي ،

لذا ، فإن نصف قطر التقارب لسلسلة الطاقة هذه هو (R = frac <1> <8> ).

الآن ، دعونا نجد الفاصل الزمني للتقارب. مرة أخرى ، سنحل أولاً المتباينة التي تعطي نقطة التقارب أعلاه.

(displaystyle x = frac <<15>> <8>):
المسلسل هنا ،

هذه هي السلسلة التوافقية المتناوبة ونعلم أنها تتقارب.

(displaystyle x = frac <<17>> <8>):
المسلسل هنا ،

هذه هي السلسلة التوافقية ونعلم أنها تتباعد.

لذلك ، تتقارب سلسلة الأس لإحدى نقاط النهاية ، ولكن ليس الأخرى. سيحدث هذا غالبًا ، لذا لا تتشوق له عندما يحدث. فاصل التقارب لسلسلة الطاقة هذه هو ،

نحتاج الآن إلى إلقاء نظرة على حالتين خاصتين بنصف قطر وفواصل تقارب.

سنبدأ هذا المثال باختبار النسبة كما فعلنا في السابق.

في هذه المرحلة يجب أن نكون حذرين. الحد لانهائي ، ولكن هناك هذا المصطلح مع (x ) 'أمام النهاية. سنوفر (L = infty & gt 1 ) (x ne - frac <1> <2> ).

لذلك ، ستتقارب سلسلة الطاقة هذه فقط إذا (x = - frac <1> <2> ). إذا فكرت في الأمر ، فقد عرفنا ذلك بالفعل. من مناقشتنا الأولية ، نعلم أن كل سلسلة قوى ستتقارب من أجل (x = a ) وفي هذه الحالة (a = - frac <1> <2> ). تذكر أننا حصلنا على (أ ) من (< يسار ( right) ^ n> ) ولاحظ أن معامل (x ) يجب أن يكون واحداً!

في هذه الحالة ، نقول إن نصف قطر التقارب هو (R = 0 ) وفاصل التقارب هو (x = - frac <1> <2> ) ، ونعم نحن حقًا نعني فاصل التقارب على الرغم من إنها مجرد نقطة.

في هذا المثال ، يبدو اختبار الجذر أكثر ملاءمة. وبالتالي،

لذلك ، بما أن (L = 0 & lt 1 ) بغض النظر عن قيمة (x ) فإن سلسلة الطاقة هذه سوف تتقارب مع كل (x ).

في هذه الحالات ، نقول إن نصف قطر التقارب هو (R = infty ) وفاصل التقارب هو (- infty & lt x & lt infty ).

لذا ، دعونا نلخص المثالين الأخيرين. إذا كانت سلسلة الطاقة تتقارب فقط من أجل (x = a ) فإن نصف قطر التقارب هو (R = 0 ) وفاصل التقارب (x = a ). وبالمثل ، إذا كانت سلسلة الطاقة تتقارب لكل (x ) فإن نصف قطر التقارب هو (R = infty ) وفاصل التقارب هو (- infty & lt x & lt infty ).

فلنعمل على مثال آخر.

لاحظ أولاً أن (a = 0 ) في هذه المشكلة. هذا ليس مهمًا حقًا للمشكلة ، لكن من الجدير الإشارة إليه حتى لا يشعر الناس بالحماس حياله.

الاختلاف المهم في هذه المسألة هو الأس على (x ). في هذه الحالة يكون 2 (n ) وليس المعيار (n ). كما سنرى ، سيكون لبعض متسلسلات القوة دعاة غير (n ) ولذلك ما زلنا بحاجة إلى أن نكون قادرين على التعامل مع هذه الأنواع من المشاكل.

يبدو أن هذا تم إعداده لاختبار الجذر مرة أخرى ، لذا فلنستخدم ذلك.

لذلك ، سوف نحصل على تقارب إذا

لكن نصف قطر التقارب ليس 3. يتطلب نصف قطر التقارب الأس 1 على (x ). لذلك،

[يبدأ sqrt> & lt sqrt 3 يسار | x حق | & lt sqrt 3 النهاية]

كن حذرا مع أشرطة القيمة المطلقة! في هذه الحالة ، يبدو أن نصف قطر التقارب هو (R = sqrt 3 ). لاحظ أننا لم نتكبد عناء وضع حد لعدم المساواة في الاختلاف هذه المرة. إن عدم المساواة في الاختلاف هو مجرد فترة التقارب التي يعطيها الاختبار مع تبديل عدم المساواة وهي غير ضرورية بشكل عام. عادة ما نتخطى هذا الجزء.

الآن دعونا نحصل على الفاصل الزمني للتقارب. أولاً من عدم المساواة التي نحصل عليها ،

(س = - مربع 3 ):
هنا سلسلة القوة ،

هذه السلسلة متباينة من خلال اختبار الاختلاف منذ ( mathop < lim> limits_ < left (<- 1> right) ^ n> ) غير موجود.

(س = مربع 3 ):
لأننا نقوم بتربيع (x ) ستكون هذه السلسلة مماثلة للخطوة السابقة.


7.2E: مراجعة سلسلة الطاقة (تمارين) - الرياضيات

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

نحن نأخذ في الاعتبار استخدام سلسلة الطاقة لتحديد حلول لبعض المعادلات التفاضلية.

سلسلة الحلول بالقرب من نقطة عادية 1

تؤدي العديد من التطبيقات الفيزيائية إلى معادلات تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية

حيث و و هي كثيرات الحدود. عادة لا يمكن التعبير عن حلول هذه المعادلات من حيث الدوال الأولية المألوفة. لذلك سننظر في مشكلة تمثيل حلول (مكافئ: 7.2.1) بالسلسلة.

نحن نفترض طوال ذلك ، وليس لدينا عوامل مشتركة. ثم نقول أن هذا هو نقطة عادية من (مكافئ: 7.2.1) إذا ، أو أ نقطة مفردة إذا . بالنسبة لمعادلة Legendre ،

وهي نقاط فردية وكل النقاط الأخرى هي نقاط عادية. بالنسبة إلى معادلة بيسل ، تعتبر نقطة مفردة وجميع النقاط الأخرى هي نقاط عادية. إذا كان ثابتًا غير صفري كما في معادلة Airy ، فكل نقطة هي نقطة عادية.

نظرًا لأن كثيرات الحدود متصلة في كل مكان ، ومستمرة عند أي نقطة لا تساوي صفرًا. لذلك ، إذا كانت نقطة عادية من (مكافئ: 7.2.1) وكانت أرقامًا حقيقية عشوائية ، فإن مشكلة القيمة الأولية

لديه حل فريد على أكبر فترة مفتوحة تحتوي على أي أصفار من. لرؤية هذا ، نعيد كتابة المعادلة التفاضلية في (مكافئ: 7.2.4) كما ونطبق نظرية thmtype: 5.1.1 مع و. في هذا القسم والقسم الذي يليه ، نأخذ في الاعتبار مشكلة تمثيل حلول (مكافئ: 7.2.1) بسلسلة القدرة التي تتقارب لقيم بالقرب من نقطة عادية.

نذكر النظرية التالية بدون دليل.

نسمي (مكافئ: 7.2.6) أ حل سلسلة الطاقة في من (مكافئ: 7.2.5). سنقوم الآن بتطوير طريقة لإيجاد حلول متسلسلة الطاقة (مكافئ: 7.2.5). لهذا الغرض نكتب (مكافئ: 7.2.5) كما وأين

نظرية thmtype: 7.2.1 تعني أن كل حل لـ on يمكن كتابته كإعداد في هذه السلسلة وفي السلسلة يوضح ذلك و. نظرًا لأن كل مشكلة قيمة أولية (مكافئ: 7.2.4) لها حل فريد ، فهذا يعني أنه يمكن اختياره بشكل تعسفي ، ويتم تحديده بشكل فريد من قبلهم.

لإيجاد ، نكتب ، وفي قوى ، التعويض في (eq: 7.2.7) ، ونجمع معاملات القوى المتشابهة لـ. هذه العوائد

حيث يتم التعبير عنها من حيث معاملات و و و مكتوبة بصلاحيات. منذ (eq: 7.2.8) والجزء الأول من Theorem thmtype: 7.1.6 يشير إلى أنه إذا وفقط إذا كان الأمر كذلك ، يمكن الحصول على جميع حلول سلسلة الطاقة في من عن طريق الاختيار والحساب بشكل تعسفي ، على التوالي بحيث ل. من أجل التبسيط ، نسمي سلسلة الطاقة التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة سلسلة الطاقة في الحل العام من دون تحديد الفاصل المفتوح لتقارب السلسلة بشكل صريح.

تسمى المعادلات مثل (eq: 7.2.10) و (eq: 7.2.11) و (eq: 7.2.12) ، والتي تحدد معاملًا معينًا في التسلسل من حيث معامل واحد أو أكثر مع مؤشرات أقل. تكرار العلاقات. عندما نستخدم علاقة التكرار بحساب المصطلحات الخاصة بالتسلسل فإننا نحسبها بشكل متكرر.

في الجزء المتبقي من هذا القسم ، نأخذ في الاعتبار مشكلة إيجاد حلول متسلسلة القوة في معادلات النموذج

العديد من المعادلات المهمة التي تنشأ في التطبيقات هي من هذا الشكل ، بما في ذلك معادلة Legendre (مكافئ: 7.2.2) ، معادلة Airy (مكافئ: 7.2.3) ، معادلة Chebyshev ، ومعادلة Hermite ، منذ في (مكافئ: 7.2.16) ، النقطة هي نقطة عادية من (مكافئ: 7.2.16) ، والنظرية thmtype: 7.2.1 تشير إلى أن حلول (مكافئ: 7.2.16) يمكن كتابتها كسلسلة قوى في ذلك التقارب على الفاصل إذا ، أو إذا. سنرى أنه يمكن الحصول على المعاملات في سلسلة الأس هذه بطرق مشابهة لتلك المستخدمة في مثال المثال: 7.2.1.

لتبسيط العثور على المعاملات ، نقدم بعض الرموز للمنتجات: وهكذا ، ونعرف بغض النظر عن شكلها.

حساب معاملات القوى الفردية من الناتج (مكافئ: 7.2.20)

النتائج في أمثلة أمثلة: 7.2.1 ومثال: 7.2.2 نتائج للنظرية العامة التالية.

الإثبات هنا إذا كان من ثم ، من (مكافئ: 7.2.25). لتجميع معاملات قوى لـ ، نحول مؤشر الجمع في المجموع الأول. ينتج عن ذلك هكذا ، إذا وفقط إذا كان ما يعادل (eq: 7.2.24). الكتابة (مكافئ: 7.2.24) بشكل منفصل للحالات التي ينتج عنها (مكافئ: 7.2.26) و (مكافئ: 7.2.27).

في الأمثلة التي تم النظر فيها حتى الآن ، تمكنا من الحصول على صيغ مغلقة للمعاملات في حلول سلسلة الطاقة. في بعض الحالات ، يكون هذا مستحيلًا ، ويجب أن نكتفي بحساب عدد محدود من المصطلحات في السلسلة. المثال التالي يوضح ذلك بمشكلة قيمة أولية.

ملاحظة عن التكنولوجيا

معاملات الحساب بشكل متكرر كما في المثال المثال: 7.2.4 مملة. نوصي بإجراء هذا النوع من الحساب عن طريق كتابة برنامج قصير لتنفيذ علاقة التكرار المناسبة على الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر. قد ترغب في القيام بذلك في التحقق من الأمثلة والقيام بالتمارين.

إذا كنت مهتمًا باستخدام المتسلسلة فعليًا لحساب التقديرات العددية لحلول معادلة تفاضلية ، فإن ما إذا كان هناك نموذج مغلق بسيط للمعاملات أم لا يعد أمرًا غير ذي صلة بشكل أساسي. للأغراض الحسابية ، عادةً ما يكون من الأفضل البدء بالمعاملات المعطاة ، والحساب بشكل متكرر ، ثم حساب القيم التقريبية للحل من تيلور متعدد الحدود.الخدعة هي تحديد كيفية الاختيار بحيث يكون التقريب دقيقًا بدرجة كافية في الفاصل الزمني الفرعي للفاصل الزمني التقارب الذي تهتم به. في التدريبات الحسابية في هذا القسم وفي القسمين التاليين ، سيُطلب منك غالبًا الحصول على حل لمشكلة معينة عن طريق التكامل العددي مع البرنامج الذي تختاره (انظر نهاية Trench 10.1 للحصول على مناقشة موجزة لإحدى هذه الطرق) ، ومقارنة الحل الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة مع التقديرات التي تم الحصول عليها مع القيم المختلفة لـ. هذا نوع نموذجي من التمارين في الكتب المدرسية ، تم تصميمه لإعطائك نظرة ثاقبة حول كيفية تصرف دقة التقريب كوظيفة والفاصل الزمني الذي تعمل عليه. في الحياة الواقعية ، ستختار إحدى الطريقتين (التكامل العددي أو الحل المتسلسل). إذا اخترت طريقة الحل المتسلسل ، فإن الإجراء العملي لتحديد قيمة مناسبة لـ هو الاستمرار في الزيادة حتى يصبح الحد الأقصى في فترة الاهتمام ضمن هامش الخطأ الذي ترغب في قبوله.

عند القيام بالمشكلات الحسابية التي تتطلب حلًا رقميًا للمعادلات التفاضلية ، يجب عليك اختيار إجراء التكامل الرقمي الأكثر دقة الذي يدعمه برنامجك ، وتجربة حجم الخطوة حتى تتأكد من أن النتائج العددية دقيقة بما فيه الكفاية للمشكلة المطروحة.

مصدر النص

ترينش ، ويليام ف. ، "المعادلات التفاضلية الأولية" (2013). مؤلف ومحرّر للكتب والأقراص المدمجة. 8. (CC-BY-NC-SA)


مدونة Gowers & # 039s

أكتب هذا المنشور كطريقة للتحضير لمحاضرة. أريد أن أناقش النتيجة التي مفادها أن متسلسلة قوى قابلة للاشتقاق داخل دائرة تقاربها ، وأن المشتق يُعطى بالصيغة الواضحة. بعبارة أخرى ، داخل دائرة التقارب ، يمكننا أن نفكر في سلسلة أس على أنها كثيرة الحدود من الدرجة لأغراض التفاضل.

السؤال الأولي حول هذا هو السبب في أنه ليس أكثر أو أقل وضوحًا. بعد كل شيء ، الكتابة ، لدينا الحقائق التالية.

إذا علمنا ذلك ، فسننتهي.

آه ، ربما تفكر ، كيف نعرف أن التسلسل يتقارب؟ لكن اتضح أن هذه ليست المشكلة: فمن السهل بشكل معقول إظهار أنها تتقارب. (بشكل تقريبي ، داخل دائرة التقارب ، تتقارب السلسلة على الأقل بسرعة مثل GP ، وضرب المصطلح العاشر في لا يوقف تقارب GP (كما يمكن رؤيته بسهولة بمساعدة اختبار النسبة). للكتابة ، لدينا الحقائق التالية تحت تصرفنا.

ألا يترتب على ذلك & # 8217t؟

نحن هنا نلجأ إلى مبدأ عام ، وهو أنه إذا تقاربت بعض الوظائف وتلتقت مشتقاتها ، فيمكن التفاضل معها. هل هذا المبدأ العام صحيح؟

لسوء الحظ ، إنه ليس & # 8217t. لنفترض أننا أخذنا بعض الوظائف المستمرة التي تتقارب مع وظيفة الخطوة. (بشكل تقريبي ، أنت تجعل من 0 إلى 0 ، ثم خطي مع التدرج اللوني حتى يصل إلى 1 ، ثم 1 من تلك النقطة فصاعدًا.) ونفترض أننا بعد ذلك نسمح بأن نكون الوظيفة التي تختلف عن 0 حتى 0. للدالة التي هي من 0 حتى 0 وللإيجابية. هذه الوظيفة تقريبيا يميز إلى دالة الخطوة ، لكنه لا يمكن اشتقاقه عند 0.

لذلك ، قمنا بطريقة ما باستخدام حقائق معينة حول سلسلة الطاقة لإثبات نتيجتنا & # 8212 يمكننا & # 8217t أن نناشد الاعتبارات العامة ، لأننا بعد ذلك نناشد لمبدأ غير صحيح & # 8217t. (في الواقع ، من حيث المبدأ ، قد يكون من الممكن حل وسط ، حيث نظهر أن الوظائف المحددة بواسطة سلسلة الطاقة لها خاصية معينة ثم لا نستخدم أي شيء بعيدًا عن تلك الخاصية من تلك النقطة فصاعدًا. ولكن كما يحدث ، لن نفعل ذلك.)

لماذا لا نستطيع & # 8217t القفز وإثبات ذلك بحسابات كبيرة؟

لدينا صيغة ل. لماذا لا نكتب معادلة ونرى ما إذا كان بإمكاننا معرفة ما سيحدث ومتى؟

هذا بالتأكيد أول شيء منطقي يجب تجربته ، لذا دع & # 8217s نرى ما يحدث.

ماذا يمكننا ان نفعل مع ذلك؟ ربما & # 8217d نطبق نظرية ذات الحدين بشكل أفضل. ثم نجد أن الطرف الأيمن يساوي

جزء من التعبير أعلاه يعطينا ما نريده ، وهو. لذلك تركنا راغبين في إثبات ذلك

لسوء الحظ ، مع زيادة حجم هذه المعاملات ، تصبح بعض المعاملات ذات الحدين كبيرة جدًا أيضًا. في الواقع ، عندما يكون النمو في المعاملات ذات الحدين أكبر ، يبدو أنه يفوق تقلص قوى. ماذا نستطيع ان نفعل؟

خدعة مفيدة

لحسن الحظ ، هناك طريقة أفضل للكتابة (لأغراضنا على الأقل). لقد توسعنا للتو باستخدام نظرية ذات الحدين. لكن كان بإمكاننا بدلاً من ذلك استخدام التوسع

بتطبيق ذلك مع و ، نحصل عليه

قبل أن نواصل مباشرة ، لاحظ أن هذا يعطينا بديلاً ، وفي رأيي أجمل ، طريقة لمعرفة أن مشتق من هو ، لأنه إذا قسمت الطرف الأيمن على وتركت كل واحد من المصطلحات يميل إلى ذلك.

على أي حال ، إذا استخدمنا هذه الحيلة ، فسننجح في ذلك

الآن دع & # 8217s نطرح الشيء الذي نريد أن يميل هذا إليه ، وهو. (هذا غير صحيح إلا إذا علمنا أن هذه السلسلة تتقارب. لذا في مرحلة ما سنحتاج إلى إثبات ذلك.) إذا فكرنا في مجموع نسخ من ، فيمكننا كتابة الفرق على النحو التالي

الآن هو مثال آخر على التوسع الذي لدينا أعلاه. هذا هو ، يمكننا كتابتها على أنها

لقد ذكرنا & # 8217t حتى الآن نصف قطر التقارب لسلسلة الطاقة الأصلية ، ولكن دعنا نفعل ذلك الآن. لنفترض أن الأمر كذلك ، وأننا اخترنا صغيرا بما فيه الكفاية. إذن ، معامل التعبير أعلاه هو على الأكثر.

إذن ، هذا يميل إلى الصفر طالما أننا نستطيع إثبات أن المجموع يتقارب.

تقارب سلسلة القوى التي تحصل عليها عندما تفرق مصطلحًا بمصطلح

دع & # 8217s يثبت وجود lemma للتعامل مع هذه النقطة الأخيرة. تقول أنه إذا كانت أصغر من نصف قطر تقارب المتسلسلة الأسية ، فإن متسلسلة القدرة تتقارب.

الدليل مشابه جدًا للحجة التي رأيناها بالفعل. اسمحوا أن يكون نصف قطر التقارب ، واختيار مع. ثم تتقارب سلسلة الأس ، لذلك يتم تقييد المصطلحات أعلاه ، على سبيل المثال. ثم .

لكن السلسلة تتقارب ، من خلال اختبار النسبة. لذلك ، من خلال اختبار المقارنة ، تتقارب السلسلة.

يوضح هذا أيضًا أنه إذا تقاربت سلسلة القوة (حيث أثبتنا للتو أنها تتقارب تمامًا). لذا ، إذا اشتقنا حدًا من سلسلة أس على حد ، فسنحصل على سلسلة قوى جديدة لها نفس نصف قطر التقارب ، وهو شيء كنا بحاجة إليه سابقًا.

إذا طبقنا هذا lemma مرة ثانية ، فسنجد أن سلسلة الأسس تتقارب ، ونقسمها على 2 وهذا يعطينا ما أردناه أعلاه ، أي أنه يتقارب.

زوجان من التطبيقات

إحدى الطرق الواضحة لتطبيق النتيجة هي أخذ بعض سلاسل القوة المفضلة لديك والتمييز بينها من حيث المصطلح. يوضح هذا النقطة العامة المهمة جدًا وهي أنه إذا كان بإمكانك الحصول على شيء بطريقتين مختلفتين ، فعادة ما ينتهي بك الأمر إلى إثبات شيء مثير للاهتمام.

لذا دع & # 8217s نأخذ الوظيفة ، التي أظهرنا تقاربها في كل مكان. ثم يمكننا الحصول على المشتق إما عن طريق اشتقاق الدالة نفسها أو عن طريق اشتقاق مصطلح سلسلة القوى حسب المصطلح. هذا يخبرنا بذلك

، والذي يبسط إلى ، والذي بدوره يبسط إلى ، والذي يساوي.

في وقت سابق أثبتنا هذه النتيجة من خلال كتابة وإثبات ذلك. ما زلت أفضل هذا الدليل ، لكن لك مطلق الحرية في الاختلاف.

كمثال آخر ، دعونا نفكر في سلسلة القوة. عندما يساوي هذا ، من خلال صيغة جمع GP. يمكننا الآن اشتقاق حد سلسلة الأس على حد ، ويمكننا أيضًا اشتقاق الدالة. القيام بذلك يخبرنا حقيقة مثيرة للاهتمام

يمكننا أن نرى ذلك بطريقة أخرى أيضًا. من خلال نتيجتنا على ضرب متسلسلة القدرة ، يكون حاصل الضرب في نفسه هو سلسلة الأس ، حيث يكون التفاف التسلسل الثابت مع نفسه. وهذا هو ، مع كل ويساوي 1 ، وهو ما يعطينا. (هذا يتفق مع الإجابة السابقة ، حيث إنه هو نفسه.)

ترتيب البرهان

في الدليل أعلاه ، استخدمنا الهوية

مع و ، ثم استخدمناها مرة أخرى لحساب ما حدث عندما طرحنا. هل يمكننا التخلص من هذه الحسابات مسبقًا؟ بمعنى ، هل يمكننا البدء بإيجاد صيغة جيدة لـ؟

من الواضح أنه يمكننا ، عن طريق الطرح من الجانب الأيمن والتبسيط ، تمامًا كما فعلنا في الإثبات أعلاه (مع و). ومع ذلك ، يمكننا القيام بالأشياء بمزيد من البراعة على النحو التالي. ابدأ بالهوية

التفريق بين الجانبين فيما يتعلق ، نحصل عليه

إذا أخذنا الآن من أجل ومن أجل ، فإننا نستنتج أن هذا يساوي

على وجه الخصوص ، إذا كان كلاهما وكلاهما على الأكثر ، فهذه هي الحقيقة الرئيسية التي نحتاجها في الإثبات.

مسلحين بهذه الحقيقة ، يمكننا أن نجادل على النحو التالي. نريد أن نظهر ذلك

هو . من خلال المتباينة التي أثبتناها للتو ، إذا كان على الأكثر ، فإن مقياس هذا التعبير هو على الأكثر

and an earlier lemma told us that this converges within the circle of convergence. So the quantity we want to be is in fact bounded above by a multiple of . (Sometimes people use the notation for this. The means “bounded above in modulus by a constant multiple of the modulus of”.)

Was the “trick” a trick?

The proof in this post has relied heavily on the idea, which appeared to come from nowhere, of writing not in the obvious way, which is

but in a “clever” way, namely

Is this something one just has to remember, or can it be regarded as the natural thing to do?

I chose the words “can it be regarded as” quite carefully, since I want to argue that it is the natural thing to do, but when I was preparing this lecture, I didn’t find it the natural thing to do, as I shall now explain. I came to this result with the following background. Many years ago, I lectured a IB course called Further Analysis, which was a sort of combination of the current courses Metric and Topological Spaces and Complex Analysis, all packed into 16 lectures. (Amazingly, it worked quite well, though it was a challenge to get through all the material.) As a result of lecturing that, I learnt a proof that power series can be differentiated term by term inside their circle of convergence, but the proof uses a number of results from complex analysis. I then believed what some people say, which is that the complex analysis proof of this result is a very good advertisement for complex analysis, since a direct proof is horrible. And then at some point I was chatting to Imre Leader about the reorganization of various courses, and he told me that it was a myth that proving the result directly was hard. It wasn’t trivial, he said, but it was basically fine. In fact, it may even be thanks to him that the result is in the course.

Until a few days ago, I didn’t bother to check for myself that the proof wasn’t too bad — I just believed what he said. And then with the lecture coming up, I decided that the time had finally come to check it: something that I assumed would be a reasonably simple exercise. I duly did the obvious thing, including expanding using the binomial theorem, and got stuck.

I would like to be able to say that I then thought hard about why I was stuck, and after a while thought of the idea of expanding using the expansion of . But actually that is not what happened. What happened was that I thought, “Damn, I’m going to have to look up the proof.” I found a few proofs online that looked dauntingly complicated and I couldn’t face reading them properly, apart from one that was quite nice and that for a while I thought I would use. But one thing all the proofs had in common was the use of that expansion, so that was how the idea occurred to me.

So what follows is a rational reconstruction of what I يتمنى had been my thought processes, rather than of what actually went on in my mind.

Let’s go back to the question of how to differentiate . I commented above that one could do it using the expansion, and said that I even preferred that approach. But how might one think of doing it that way? There is a very simple answer to that, which is to use one of the alternative definitions of differentiability, namely that is differentiable at with derivative if as . This is simply replacing by , but that is nice because it has the effect of making the expression more symmetrical. (One might argue that since we are talking about differentiability في , the variables and are playing different roles, so there is not much motivation for symmetry. And indeed, that is why calling one point and the other is often a good idea. But symmetry is … well … sort of good to have even when not terribly strongly motivated.)

If we use this definition, then the derivative of is the limit as of , and now there is no temptation to use the binomial expansion (we would first have to write as and the whole thing would be disgusting) and the absolutely obvious thing to do is to observe that we have a nice formula for the ratio in question, namely

which obviously tends to as .

In fact, the whole proof is arguably nicer if one uses and rather than and .

Thus, the “clever” expansion is the natural one to do with the symmetric definition of differentiation, whereas the binomial expansion is the natural one to do with the definition. So in the presentation above, I have slightly obscured the origins of the argument by applying the clever expansion to the definition.

Another way of seeing that it is natural is to think about how we prove the statement that a product of limits is the limit of the products. The essence of this is to show that if is close to and is close to , then is close to . This we do by arguing that is close to , and that is close to .

Suppose we apply a similar technique to try to show that is close to . How might we represent their difference? A natural way of doing it would be to convert all the s into s in a sequence of steps. That is, we would argue that is close to , which is close to , and so on.

But the difference between and is , so if we adopt this approach, the we will end up showing precisely that


7.2E: Review of Power Series (Exercises) - Mathematics

Winter 2021

Class Location & Time: Tue, 11 AM - 1 PM Thu, 12 PM - 1 PM online (the link and connection instructions are available on Quercus).

Tutorials: Mondays 11 AM - 12 PM, online (the link and connection instructions are available on Quercus). The first tutorial will be on Monday, January 18.

مدرب: Ilia Binder ([email protected]).
Office Hours: Fridays, 10.30 AM -11.30 AM, and by appointment.

Teaching Assistant: Ilia Kirillov ([email protected]).
Office Hours: By appointment.

Required Text: Lars V. Ahlfors,Complex Analysis.
The book is out of print but the coursepack is available at the University of Toronto Bookstore.

المتطلبات الأساسية: (MAT137Y5 or MAT157Y5),(MAT202H5 or MAT240H5), and (MAT232H5, MAT233H5, or MAT257Y5).

Exclusion: MAT334H1, MAT334H5, MAT354H1, or MATC34H3.

Prerequisites will be checked, and students not meeting them will be removed from the course by the end of the second week of classes. If a student believes that they do have the necessary background material, and are able to prove it (e.g., has a transfer credit from a different university), then they should submit a 'Prerequisite/Corequisite Waiver Request Form' by email.

Course outline.
The course is a rigorous introduction to Complex Analysis, one of the most exciting fields of modern Mathematics. We will begin with a review of Complex numbers and their Geometric and Algebraic properties. After that, we will start investigating holomorphic functions, including polynomials, rational functions, and trigonometric functions. We will carefully discuss the differences between Real and Complex differentiation. Following that, we will take a Complex Analysis approach to line integration and derive the fundamental theorem of Complex Analysis, the Cauchy Theorem. This theorem has a number of dramatic consequences: the Cauchy representation fomula, Fundamental Theorem of Algebra, Maximum Modulus Principle, and many others. Developing the theory, we will study Residual Calculus و Harmonic functions. The culmination of the course will be proof of the celebrated Rieman mapping theorem, which asserts that any simply connected planar domains (i.e. "a domain without holes") which is not the whole plane can be bijectively mapped by a holomorphic map to the unit disk.

Topics covered in class.

The homework assignments are posted here on Thursdays. The first assignment will be posted on January 14. The assignments will be due on the following Thursday, at noon. The assignments should be submitted through Quercus. To submit, you can scan or take a photo of your work (or write your work electronically). Please make sure that the images are clear and easy to read before you submit them.

Midterm test. The Midterm test will be held during the regular class meeting time on Tuesday, February 23. There will be four problems, covering all the material discussed in class so far. During the test, you can use the course textbook and course notes. You will have twenty minutes after the end of the midterm to upload your solutions. During the midterm, you should be connected to our regular Zoom session. Your camera should be on. Any noncompliance will result in zero credit.
For those of you in the different time zones, there will be a 7-9am sitting of the midterm on February 23. Please email the instructor by Thursday, February 18, if you want to take this version.
Suggested preparation: all homework problems and exercises 3, 6, page 108 exercises 1-3, page 120 of Ahlfors. You do not need to turn them in.
You can also look at the Warm-up questions.

Final exam. The exam will be a take-home exam. You will receive a list of problems on April 12, at 9 am. You will need to upload your solutions by 9 am on April 16. No late submissions will be accepted. The exam itself will be conducted as a series of 10-minute breakout room interviews, where each of you will present some of your solutions and answer additional questions related to the course. The link to the final exam will be available on Quercus.
Suggested preparation: all homework problems, midterm preparation problems, and exercises 2-3, page 178 exercise 5, page 184 exercise 3, page 186 exercise 4, page 190 exercise 4, page 193 exercises 1-2, page 232 of Ahlfors. You do not need to turn them in.
Office hours on Friday, April 9: 10am - 12 pm.

Grading. Grades will be based on eight homework assignments (3% each), Midterm test (25%), and Final exam (45%). The remaining 6% will come from class participation: taking part in online discussions, answering pop-up quizes, and such. To get the participation marks, you will have to have your camera on during the class Zoom call. I will also occasionally assign bonus problems.

Late work. Extensions for homework deadlines will be considered only for medical reasons. Late assignments will lose 20% per day. Submission on the day the homework is due but after the noon deadline is considered to be one day late. Special consideration for late assignments or missed exams must be submitted via e-mail within a week of the original due date. There will be no make-up midterm tests or final. Justifiable absences must be declared on ROSI, undocumented absences will result in zero credit. In the case of a justifiable absence, the weight of the submitted work will be adjusted proportionally.

E-mail policy.
E-mails must originate from a utoronto.ca address and contain the course code MAT354 in the subject line. Please include your full name و student number in your e-mail.

Notice of video recording and sharing.
The lectures for this course will ليس be recorded, for privacy reasons.

Academic Integrity.
Honesty and fairness are fundamental to the University of Toronto&rsquos mission. Plagiarism is a form of academic fraud and is treated
very seriously. The work that you submit must be your own and cannot contain anyone elses work or ideas without proper
attribution. You are expected to read the handout How not to plagiarize (http://www.writing.utoronto.ca/advice/using-sources/how-not-to-plagiarize) and to be familiar with the Code of behaviour on academic matters, which is linked from the UTM calendar under the link Codes and policies.


7.2E: Review of Power Series (Exercises) - Mathematics

You are about to erase your work on this activity. Are you sure you want to do this?

Updated Version Available

هناك updated version of this activity. If you update to the most recent version of this activity, then your current progress on this activity will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?

Mathematical Expression Editor

We can approximate sufficiently differentiable functions by polynomials.

When is given by an explicit formula in terms of , the point is found by evaluating the at , and the slope is found by evaluating the derivative at . By taking advantage of the point-slope form of a line

an equation for the tangent line is found. Let’s explore this in the context of an example.

Thus, the equation of the tangent line is

If we “zoom in” on the graphs of the function and its tangent line at , denoted by , we see the following picture.

From tangent line approximation, we can approximate values of near . Visually, we can see this since the graphs are quite close. Computationally, we obtain the approximations by plugging -values into the equation of the tangent line for instance, we can approximate by noting

The actual value of to three decimal places is , so the simple arithmetic needed to estimate using the tangent line produces a reasonable approximation. As we “zoom out” to a larger viewing window, however, the graphs start to become quite different.

Since evaluating polynomials involves only arithmetic operations, we would like to be able to use them to give better results than the tangent line approximation. Also, polynomials are easy to integrate and differentiate, so it would be nice to use polynomial approximations in applications that involve these operations. This will require that we try to extract the idea from the tangent line approximation in a way that allows us to generalize it.

Revisiting the Tangent Line Approximation

Let’s look for a first degree polynomial of the form

where and are constants that must be determined.

    We certainly want the function and the approximation to agree at the -value off of which the approximation is based that is, we want

Thus, the requirement gives us that .

Thus, the requirement gives us that .

Our approximation is thus , which matches the equation of the tangent line at .

A Quadratic Approximation

While this should not be too surprising, it does allow for us to think of conditions that will allow for higher degree polynomial approximations. Suppose that we want to use a quadratic polynomial of the form

for making estimates. Note that is clearly not linear in fact, it is concave-up on its domain. Note that by drawing tangent lines at different points near , the slopes are different, which is roughly what concavity quantifies. Slopes of tangent lines are found from the first derivative, so in order to measure how these slopes are changing, we should look at the derivative of the first derivative. This is really nothing new we know already that concavity is measured using the second derivative.

We’ll keep the previous two conditions - that and - and also require that . We thus look for look for a polynomial whose coefficients are found by the requirements

By following the previous example, the reader can (and should) verify that we still have and . To find , note that

Thus, the requirement gives us that , or .

The quadratic approximation is thus

Let’s now explore our approximations. Geometrically, we can interpret the effectiveness of the approximations by looking at their graphs.

We can also explore the approximations quantitatively for a given -value. For instance, if we want to approximate , we note that , so . We thus approximate by evaluating the polynomials at .

By noting that the actual value to three decimal place is , we can see that the quadratic approximation is better!

Higher Order Approximations

We can continue to look for higher degree polynomial approximations. Note that our approximations above require that the function be sufficiently differentiable at the point at which we wish to base the approximation.

whose coefficients are found by requiring for each .

We will develop a more computationally efficient method for computing Taylor Polynomials in the next section, but we conclude this section with a question that explores the ideas put forth so far.


Site menu:

أحدث الأخبار

(12/11) Solutions to the sample final exam posted. There was an error in the statement of Problem 4: of course it should be ". then F is strictly decreasing. ".

(12/07) There is information on the final exam, a sample final exam, and also a revised grading policy.

(11/06) There are brief sketches to solutions of the sample second midterm available.

(11/02) There is a sample midterm available. For more info on the upcoming second midterm, see the exams section on this page.

(10/31) There was an خطأ in Homework 8 I handed out in class today. In Problem 3 it should of course be sum c_n on the right hand side. You can download a corrected version from this site.

(10/24) Discussion session: There will be a discussion session every Wednesday 4:30-6pm starting Oct 25. We will meet in my office, 705 Evans. If a lot of people show up for this I will request a larger room.

(09/25) There are brief sketches to solutions of the sample midterm available.

(09/21) There is a sample midterm available. For more info on the upcoming midterm, see the exams section on this page.

(09/12) Room Change: effective Thursday Sep 14, the class will meet in room 70 Evans Hall.


7.2E: Review of Power Series (Exercises) - Mathematics

You are about to erase your work on this activity. Are you sure you want to do this?

Updated Version Available

هناك updated version of this activity. If you update to the most recent version of this activity, then your current progress on this activity will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?

Mathematical Expression Editor

We begin our study of the method of Frobenius for finding series solutions of linear second order differential equations.

The Method of Frobenius I

In this section we begin to study series solutions of a homogeneous linear second order differential equation with a regular singular point at , so it can be written as

where , , are polynomials and .

We’ll see that (eq:7.5.1) always has at least one solution of the form where and is a suitably chosen number. The method we will use to find solutions of this form and other forms that we’ll encounter in the next two sections is called the method of Frobenius, and we’ll call them Frobenius solutions.

It can be shown that the power series in a Frobenius solution of (eq:7.5.1) converges on some open interval , where . However, since may be complex for negative or undefined if , we’ll consider solutions defined for positive values of . Easy modifications of our results yield solutions defined for negative values of .

We’ll restrict our attention to the case where , , and are polynomials of degree not greater than two, so (eq:7.5.1) becomes

where , , and are real constants and . Most equations that arise in applications can be written this way. Some examples are

The next two theorems will enable us to develop systematic methods for finding Frobenius solutions of (eq:7.5.2).

Proof We begin by showing that if is given by (eq:7.5.3) and , , and are constants, then where Differentiating (3) twice yields and Multiplying (eq:7.5.7) by and (eq:7.5.8) by yields and Therefore

To use these results, we rewrite as

From (eq:7.5.6) with , From (eq:7.5.9) with , From (eq:7.5.10) with , Therefore we can rewrite (eq:7.5.11) as

If is determined by the recurrence relation (eq:7.5.12) then substituting into (eq:7.5.5) yields and for , so (eq:7.5.4) reduces to (eq:7.5.14). We omit the proof that the series (eq:7.5.13) converges on .

If for , then reduces to the Euler equation Theorem thmtype:7.4.3 shows that the solutions of this equation are determined by the zeros of the indicial polynomial Since (eq:7.5.14) implies that this is also true for the solutions of , we’ll also say that is the indicial polynomial of (eq:7.5.2), and that is the indicial equation of . We’ll consider only cases where the indicial equation has real roots and , with .

Proof Since and are roots of , the indicial polynomial can be factored as Therefore which is nonzero if , since . Therefore the assumptions of Theorem thmtype:7.5.2 hold with , and (eq:7.5.14) implies that .

Now suppose isn’t an integer. From (eq:7.5.15), Hence, the assumptions of Theorem thmtype:7.5.2 hold with , and (eq:7.5.14) implies that . We leave the proof that is a fundamental set of solutions as an exercise.

It isn’t always possible to obtain explicit formulas for the coefficients in Frobenius solutions. However, we can always set up the recurrence relations and use them to compute as many coefficients as we want. The next example illustrates this.

Setting in these equations yields

and setting yields Calculating with (eq:7.5.18) and (eq:7.5.19) and substituting the results into (eq:7.5.17) yields the fundamental set of Frobenius solutions

Special Cases With Two Term Recurrence Relations

For , the recurrence relation (eq:7.5.12) of Theorem thmtype:7.5.2 involves the three coefficients , , and . We’ll now consider some special cases where (eq:7.5.12) reduces to a two term recurrence relation that is, a relation involving only and or only and . This simplification often makes it possible to obtain explicit formulas for the coefficents of Frobenius solutions.

We first consider equations of the form with . For this equation, , so and the recurrence relations in Theorem thmtype:7.5.2 simplify to

We now consider equations of the form

مع . For this equation, , so and the recurrence relations in Theorem thmtype:7.5.2 simplify to

is a Frobenius solution of (eq:7.5.25).

A Note on Technology

As we said at the end of Trench 7.2, if you’re interested in actually using series to compute numerical approximations to solutions of a differential equation, then whether or not there’s a simple closed form for the coefficents is essentially irrelevant recursive computation is usually more efficient. Since it’s also laborious, we encourage you to write short programs to implement recurrence relations on a calculator or computer, even in exercises where this is not specifically required.

In practical use of the method of Frobenius when is a regular singular point, we’re interested in how well the functions approximate solutions to a given equation when is a zero of the indicial polynomial. In dealing with the corresponding problem for the case where is an ordinary point, we used numerical integration to solve the differential equation subject to initial conditions , and compared the result with values of the Taylor polynomial We can’t do that here, since in general we can’t prescribe arbitrary initial values for solutions of a differential equation at a singular point. Therefore, motivated by Theorem thmtype:7.5.2 (specifically, (eq:7.5.14)), we suggest the following procedure.

The multiplier on the right of (eq:7.5.27) eliminates the effects of small or large values of near , and of multiplication by an arbitrary constant.

To implement this procedure, you’ll have to write a computer program to calculate from the applicable recurrence relation, and to evaluate .

Text Source

Trench, William F., ”Elementary Differential Equations” (2013). Faculty Authored and Edited Books & CDs. 8. (CC-BY-NC-SA)


جدول المحتويات

Differential Galois theory is an important, fast developing area which appears more and more in graduate courses since it mixes fundamental objects from many different areas of mathematics in a stimulating context. For a long time, the dominant approach, usually called Picard-Vessiot Theory, was purely algebraic. This approach has been extensively developed and is well covered in the literature. An alternative approach consists in tagging algebraic objects with transcendental information which enriches the understanding and brings not only new points of view but also new solutions. It is very powerful and can be applied in situations where the Picard-Vessiot approach is not easily extended. This book offers a hands-on transcendental approach to differential Galois theory, based on the Riemann-Hilbert correspondence. Along the way, it provides a smooth, down-to-earth introduction to algebraic geometry, category theory and tannakian duality.

Since the book studies only complex analytic linear differential equations, the main prerequisites are complex function theory, linear algebra, and an elementary knowledge of groups and of polynomials in many variables. A large variety of examples, exercises, and theoretical constructions, often via explicit computations, offers first-year graduate students an accessible entry into this exciting area.


Class X Mathematics Notes

Don’t forget to like our facebook page for updates regarding new material on our website. We also share useful articles on our facebook page to help you in your board examination. Questions and fun facts related to Class 10 Maths Notes will also be shared on our facebook page so you can ace your maths examination.

If you find any mistake or any problem with the notes, please send us an email at [email protected]

We are working hard to provide the best resources for your studies, your suggestions in this regard will also be highly appreciated. Class 10 Maths Notes are free and will always remain free. We will keep adding updated notes, past papers, guess papers and other materials with time. We will also introduce a mobile app for viewing all the notes on mobile.

Make sure to comment down your experience regarding our website. Also tell us what other features and resources would you like to see in the website. We will work on your suggestions as soon as possible. Your support is what keeps us going.