مقالات

7.5: لنجعلها تعمل - الرياضيات


7.5: لنجعلها تعمل - الرياضيات

حاسبة الفائدة المركبة

مثال: لنفترض أنك منحت 100 دولار أمريكي لأحد البنوك التي تدفع لك فائدة مركبة بنسبة 10٪ في نهاية كل عام. بعد عام واحد سيكون لديك $ 100 + 10٪ = $ 110 ، وبعد عامين سيكون لديك $ 110 + 10٪ = $ 121.

إذا قمت بالإيداع $4500 في حساب دفع 7% الفائدة السنوية المركبة شبه أنالي. أوجد المبلغ والفائدة بعد ذلك 9 سنوات?

المبلغ $8358.7 والفائدة $3858.7.

الخطوة 1: للعثور على المبلغ ، نستخدم الصيغة:

$ A = P left (1 + frac حق) ^ < كبير> $ أ = المبلغ الإجمالي
ص = أصل أو مبلغ المال المودع ،
ص = معدل الفائدة السنوي
ن = عدد المرات المركبة في السنة
ر = الوقت بالسنوات

بعد توصيل المعلومات المعطاة لدينا

$ تبدأ A & = 4500 left (1 + frac <0.07> <2> right) ^ < Large <2 cdot 9 >> A & = 4500 cdot <1.035> ^ <18> A & = 4500 cdot 1.857489 A & = 8358.7 النهاية $

الخطوة 2: لإيجاد الفائدة ، نستخدم الصيغة $ A = P + I $ ، بما أن $ A = $ 8358.7 $ و $ P = $ 4500 لدينا:

$ تبدأ A & = P + I 8358.7 & = 4500 + I I & = 8358.7 - 4500 I & = 3858.7 end$


حاسبة الفائدة المركبة

هل تدخر ما يكفي من المال؟ قارن حسابات التوفير عالية العائد للحصول على أفضل الأسعار.

كيف تعمل الفائدة المركبة

الفائدة المركبة بسيطة: إنها الفائدة التي تربحها على كل من إيداعك الأصلي والفائدة التي تكسبها أموالك. الفائدة المركبة تسمح لمدخراتك بالنمو بشكل أسرع بمرور الوقت.

في الحساب الذي يدفع فائدة ، تضاف الأرباح عادةً إلى رأس المال الأصلي في نهاية كل فترة مركبة. غالبًا ما يكون ذلك يوميًا أو شهريًا. في كل مرة يتم فيها احتساب الفائدة وإضافتها إلى الحساب ، ينتج عن الرصيد الأكبر فائدة مكتسبة أكثر من ذي قبل. هذا هو المقصود بالفائدة المركبة. لاحظ أن حسابات التوفير عالية الفائدة تكسب المال بشكل أسرع من الحسابات ذات العوائد المنخفضة. (ابحث عن معدلات عالية بين الحسابات الجارية والادخار وأنواع الحسابات الأخرى في قائمة حسابات الودائع ذات الفائدة العالية في NerdWallet).

للحصول على شرح بسيط وسريع ، راجع ما هي الفائدة المركبة؟

مضاعفة عوائد الاستثمار

عندما تستثمر في سوق الأوراق المالية ، فإنك لا تربح معدل فائدة محدد. بدلاً من ذلك ، يعتمد العائد على التغيير في قيمة استثمارك. عندما ترتفع قيمة استثمارك ، فإنك تكسب عائدًا.

إذا تركت أموالك واستثمرت العوائد التي جنتها في السوق ، فإن هذه العوائد تتضاعف بمرور الوقت بنفس الطريقة التي تتضاعف بها الفائدة.

ستختلف عوائد الاستثمار من سنة إلى أخرى وحتى من يوم لآخر. على المدى القصير ، قد تفقد الاستثمارات مثل الأسهم أو صناديق الاستثمار المشتركة قيمتها بالفعل. ولكن على مدى فترة زمنية طويلة ، يظهر التاريخ أن محفظة النمو المتنوعة يمكن أن تعود في المتوسط ​​من 6٪ إلى 7٪ سنويًا.

يمكن أن تساعد الفائدة المركبة في تحقيق أهدافك المدخرات والاستثمارية طويلة الأجل ، خاصة إذا سمحت لها بالعمل على مدى عدة عقود.

»هل أنت مستعد لبدء جني الفوائد المركبة؟ تحقق من قائمة NerdWallet لأفضل حسابات التوفير.


يمكنه رسم معادلة حيث x و y ذات الصلة بطريقة أو بأخرى (ليس فقط y =.) ، مثل هذه:

أمثلة:

  • س ^ 2 + ص ^ 2 = 9 (معادلة دائرة نصف قطرها 3)
  • الخطيئة (س) + جتا (ص) = 0.5
  • 2 س − 3 ص = 1
  • كوس (س ^ 2) = ص
  • (س − 3) (س + 3) = ص ^ 2
  • ص = س ^ 2

إذا لم تقم بتضمين علامة يساوي ، فستفترض أنك تعني "=0"

لم يتم اختباره بشكل جيد ، لذلك استمتع معها ، ولكن لا تثق به.

ملاحظة: قد يستغرق الأمر بضع ثوانٍ للانتهاء ، لأنه يجب أن يقوم بالعديد من العمليات الحسابية.

إذا كنت تريد فقط رسم دالة في نمط "y =." ، فقد تفضل وظيفة Grapher والحاسبة


7.5: لنجعلها تعمل - الرياضيات

بينما تقرأ الحل لهذا المثال الأخير وتحاول حل مشاكل "جربها" ، ربما كان عليك التوقف مرارًا وتكرارًا والتفكير فيما كان يجري. حقيقة أنك ربما تكافح من أجل متابعة الشرح وإعادة إنتاج العملية بنفسك ترجع في الغالب إلى حقيقة أن الأنظمة غير العشرية غير مألوفة بالنسبة لك. في الواقع ، النظام الوحيد الذي ربما تشعر بالراحة تجاهه هو النظام العشري.

بصفتك علماء رياضيات ناشئين ، يجب أن تطرح دائمًا أسئلة مثل "كيف يمكنني تبسيط هذه العملية؟" بشكل عام ، هذا هو أحد الأشياء الرئيسية التي يقوم بها علماء الرياضيات: يبحثون عن طرق للتعامل مع المواقف المعقدة وجعلها أسهل أو أكثر مألوفة. في هذا القسم سنحاول القيام بذلك.

للقيام بذلك ، سنبدأ بالنظر إلى نظامنا العشري. قد يبدو ما نقوم به واضحًا وربما حدسيًا ، لكن هذا هو بيت القصيد. نريد أن نجد عملية نتعرف عليها بسهولة وتكون منطقية لنا في نظام مألوف ثم نستخدمها لتوسيع نتائجنا إلى نظام مختلف غير مألوف.

لنبدأ بالرقم العشري 486310. سنحول هذا الرقم إلى الأساس 10. نعم ، أعلم أنه موجود بالفعل في الأساس 10 ، ولكن إذا اتبعت بعناية ما نقوم به ، فسترى أنه يجعل الأمور تعمل بشكل جيد للغاية مع القواعد الأخرى في وقت لاحق. نلاحظ أولًا أن أعلى قوة 10 التي ستقسم 4863 مرة واحدة على الأقل هي 10 3 = 1000. بشكل عام ، هذه هي الخطوة الأولى في عمليتنا الجديدة ، حيث نجد أعلى قوة يمكن لقاعدة معينة أن تقسمها مرة واحدة على الأقل إلى العدد المحدد.

نقسم الآن 1000 إلى 4863:

هذا يقول أن هناك أربعة آلاف في 4863 (من الواضح). ومع ذلك ، فإنه يقول أيضًا أن هناك 0.863 ألف في 4863. هذا الجزء الكسري هو الباقي لدينا وسيتم تحويله إلى قوى أقل لقاعدتنا (10). إذا أخذنا هذا الرقم العشري وضربناه في 10 (نظرًا لأن هذا هو الأساس الذي نحن فيه) ، فسنحصل على ما يلي:

لماذا الضرب في 10 في هذه المرحلة؟ علينا أن ندرك هنا أن 0.863 ألف يساوي 8.63 مئات. فكر في ذلك حتى يغرق.

(0.863)(1000) = 863
(8.63)(100) = 863

هاتان العبارتان متكافئتان. إذن ، ما نقوم به هنا حقًا من خلال الضرب في 10 هو إعادة الصياغة أو التحويل من مكان واحد (بالآلاف) إلى المكان التالي بالأسفل (بالمئات).

0.863 × 10 ⇒ 8.63
(أجزاء من آلاف) × 10 ⇒ مئات

ما لدينا الآن هو 8 مئات والباقي 0.63 مئات ، وهو ما يعادل 6.3 عشرات. يمكننا القيام بذلك مرة أخرى باستخدام 0.63 المتبقي بعد هذه الخطوة الأولى.

0.63 × 10 ⇒ 6.3
مئات × 10 عشرات

إذن لدينا ست عشرات و 0.3 عشرات ، وهي نفس 3 آحاد ، القيمة المكانية الأخيرة.

الآن هذا هو خط اللكمة. دعنا نجمع كل ذلك في مكان واحد:


التحويل من قاعدة 10 إلى قاعدة بطريقة أخرى: لاحظ أنه في كل خطوة ، يتم نقل الباقي إلى الخطوة التالية وضربه في 10 ، القاعدة. أيضًا ، في كل خطوة ، يعطي جزء العدد الكامل ، الذي يحيط به دائرة ، الرقم الذي ينتمي إلى ذلك المكان المحدد. المدهش أن هذا يصلح لأي قاعدة! لذلك ، للتحويل من رقم أساس 10 إلى عدد أساسي آخر ، ب، لدينا الخطوات التالية التي يمكننا اتباعها:

التحويل من قاعدة 10 إلى قاعدة ب: طريقة اخرى

  1. أوجد أعلى قوة للقاعدة ب التي ستقسم إلى رقم معين مرة واحدة على الأقل ثم تنقسم.
  2. احتفظ بجزء العدد الصحيح واضرب الجزء الكسري في القاعدة ب.
  3. كرر الخطوة الثانية ، مع الاحتفاظ بجزء الرقم الكامل (بما في ذلك 0) ، وحمل الجزء الكسري إلى الخطوة التالية حتى يتم الحصول على نتيجة عدد صحيح فقط.
  4. اجمع كل أجزاء العدد الصحيحة للحصول على الرقم في الأساس ب الرموز.

سنوضح هذا الإجراء ببعض الأمثلة.

مثال

حوّل رقم الأساس 10 ، 34810، إلى الأساس 5.

هذا في الواقع تحويل قمنا به في مثال سابق. قوى الخمسة هي:

5 0 = 1
5 1 = 5
5 2 = 25
5 3 = 125
5 4 = 625
إلخ…

أعلى قوة لخمسة تنتقل إلى 348 مرة واحدة على الأقل هي 5 3.

نقسم على 125 ثم ننتقل.

بالحفاظ على جميع أجزاء العدد الصحيح ، من أعلى أسفل ، نحصل على 2343 كرقم أساسي 5. وهكذا ، 23435 = 34810.

يمكننا مقارنة النتيجة مع ما رأيناه سابقًا ، أو ببساطة التحقق من ذلك باستخدام الآلة الحاسبة ، ووجدنا أن هذين العددين متكافئان حقًا.

مثال

تحويل رقم الأساس 10 ، 300710، إلى الأساس 5.

أعلى قوة للرقم 5 تقسم مرة واحدة على الأقل إلى 3007 هي 5 4 = 625. وهكذا ، لدينا:

3007 ÷ 625 = ④.8112
0.8112 × 5 = ④.056
0.056 × 5 = ⓪.28
0.28 × 5 = ①0.4
0.4 × 5 = ②0.0

هذا يعطينا 300710 = 440125. لاحظ أنه في السطر الثالث ، فإن الضرب في 5 يعطينا صفرًا لجزء العدد الصحيح. نحن لا نتجاهل ذلك! يخبرنا الصفر أن صفرًا في ذلك المكان. أي أنه لا يوجد 5 2 s في هذا الرقم.

يوضح هذا المثال الأخير أهمية استخدام الآلة الحاسبة في مواقف معينة مع الحرص على تجنب مسح ذاكرة الآلة الحاسبة أو شاشة العرض حتى تصل إلى نهاية العملية.

مثال

تحويل رقم الأساس 10 ، 6320110، إلى القاعدة 7.

7 0 = 1
7 1 = 7
7 2 = 49
7 3 = 343
7 4 = 2401
7 5 = 16807
إلخ…

أعلى قوة للرقم 7 تقسم مرة واحدة على الأقل إلى 63201 هي 7 5. عندما نقوم بالقسمة الأولية على الآلة الحاسبة ، نحصل على ما يلي:

يملأ الجزء العشري في الواقع شاشة عرض الآلات الحاسبة ولا نعرف ما إذا كان سينتهي عند نقطة معينة أو ربما يتكرر على طول الطريق. لذلك إذا مسحنا الآلة الحاسبة في هذه المرحلة ، فسنقدم خطأ من المحتمل أن يمنع هذه العملية من النهاية. لتجنب هذه المشكلة ، نترك النتيجة في الآلة الحاسبة ونطرح 3 منها لنحصل على الجزء الكسري بمفرده. لا تقرب! ينتج عن الطرح ثم الضرب في سبعة:

63201 ÷ 7 5 = ƒ③.760397453
0.760397453 × 7 = ⑤.322782174
0.322782174 × 7 =‚ ②.259475219
0.259475219 × 7 = ①.816326531
0.816326531 × 7 = ⑤ .714285714
0.714285714 × 7 = ⑤.000000000

نعم ، صدق أو لا تصدق ، هذا المنتج الأخير هو بالضبط 5 ، طالما أنك لا تمسح أي شيء على الآلة الحاسبة. هذا يعطينا النتيجة النهائية: 6320110 = 3521557.

إذا قمنا بالتقريب ، حتى إلى منزلتين عشريتين في كل خطوة ، مع مسح الآلة الحاسبة في كل خطوة على طول الطريق ، فسنحصل على سلسلة من الأرقام التي لا تنتهي ، ولكنها تبدأ في تكرار نفسها إلى ما لا نهاية. (جربها!) ينتهي بنا الأمر بشيء لا معنى له ، على الأقل ليس في هذا السياق. لذا كن حذرًا في استخدام الآلة الحاسبة بحذر في حل مشكلات التحويل هذه.

تذكر أيضًا أنه إذا كانت عملية القسمة الأولى على 7 5 ، فإنك تتوقع أن يكون لديك 6 أرقام في الإجابة النهائية ، تقابل مواضع 7 5 ، 7 4 ، وهكذا حتى 7 0. إذا وجدت نفسك بأكثر من 6 أرقام بسبب أخطاء التقريب ، فأنت تعلم أن شيئًا ما قد حدث بشكل خاطئ.

جربها

حوّل الرقم الأساسي 10 ، 935210، إلى الأساس 5.

حول رقم الأساس 10 ، 1500 ، إلى الأساس 3.

احرص على عدم مسح الآلة الحاسبة الخاصة بك على هذه الآلة. أيضًا ، إذا لم تكن حريصًا في كل خطوة ، فقد لا تحصل على جميع الأرقام التي تبحث عنها ، لذا تحرك ببطء وبحذر.

يوضح الفيديو التالي كيفية استخدام الآلة الحاسبة لتحويل الأرقام في الأساس 10 إلى قواعد أخرى.


10 حيل لإجراء عمليات حسابية سريعة

فيما يلي 10 استراتيجيات رياضيات سريعة يمكن للطلاب (والكبار!) استخدامها للقيام بالرياضيات في رؤوسهم. بمجرد إتقان هذه الاستراتيجيات ، يجب أن يكون الطلاب قادرين على حل مشاكل الرياضيات بدقة وثقة والتي كانوا يخشون من حلها.

1. إضافة أعداد كبيرة

قد يكون من الصعب إضافة أعداد كبيرة فقط في رأسك. توضح هذه الطريقة كيفية تبسيط هذه العملية بجعل جميع الأرقام مضاعفات العدد 10. وإليك مثال:

بينما يصعب التعامل مع هذه الأرقام ، فإن تقريبها سيجعلها أكثر قابلية للإدارة. إذن ، 644 يصبح 650 و 238 يصبح 240.

الآن ، اجمع 650 و 240 معًا. المجموع 890. للعثور على إجابة المعادلة الأصلية ، يجب تحديد مقدار ما أضفناه إلى الأرقام لتقريبها.

650 & # 8211 644 = 6 و 240 & # 8211238 = 2

الآن ، اجمع 6 و 2 معًا ليصبح المجموع 8

للعثور على إجابة المعادلة الأصلية ، يجب طرح 8 من 890.

إذن الإجابة على 644 +238 هي 882.

2. طرح من 1،000

هنا & # 8217s قاعدة أساسية لطرح عدد كبير من 1000: اطرح كل رقم باستثناء الأخير من 9 واطرح الرقم النهائي من 10

الخطوة 1: اطرح 5 من 9 = 4

الخطوة 2: اطرح 5 من 9 = 4

الخطوة 3: اطرح 6 من 10 = 4

3. ضرب 5 مرات أي عدد

توجد طريقة سريعة لإيجاد الإجابة عند ضرب الرقم 5 في عدد زوجي.

  • الخطوة 1: خذ الرقم المضروب في 5 واقطعه إلى نصفين ، وهذا يجعل الرقم 4 يصبح الرقم 2.
  • الخطوة 2: أضف صفرًا إلى الرقم للعثور على الإجابة. في هذه الحالة ، الإجابة هي 20.

عند ضرب عدد فردي في 5 ، فإن الصيغة مختلفة قليلاً.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك 5 × 3.

  • الخطوة 1: اطرح واحدًا من الرقم المضروب في 5 ، في هذه الحالة يصبح الرقم 3 هو الرقم 2.
  • الخطوة 2: الآن قم بتقطيع الرقم 2 إلى النصف ، مما يجعله الرقم 1. اجعل الرقم 5 هو الرقم الأخير. العدد الناتج هو 15 ، وهو الجواب.

4. حيل التقسيم

هنا & # 8217s طريقة سريعة لمعرفة متى يمكن تقسيم الرقم بالتساوي على هذه الأرقام المحددة:

  • 10 إذا انتهى الرقم بالرقم 0
  • 9 عند جمع الأرقام معًا ويكون المجموع قابلاً للقسمة على 9
  • 8 إذا كانت الأرقام الثلاثة الأخيرة قابلة للقسمة بالتساوي على 8 أو كانت 000
  • 6 إذا كان عددًا زوجيًا وعند جمع الأرقام معًا ، تكون الإجابة قابلة للقسمة على 3
  • 5 إذا كان ينتهي بـ 0 أو 5
  • 4 إذا انتهى بـ 00 أو رقمًا مكونًا من رقمين يقبل القسمة على 4 بالتساوي
  • 3 عندما تُجمع الأرقام معًا وتكون النتيجة قابلة للقسمة بالتساوي على الرقم 3
  • 2 إذا كان ينتهي بـ 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8

5. الضرب في 9

هذه طريقة سهلة ومفيدة لضرب أي رقم في 9. وإليك كيفية عملها:

لنستخدم & # 8217s مثال 9 × 3.

الخطوة 1: اطرح 1 من العدد المضروب في 9.

الرقم 2 هو الرقم الأول في إجابة المعادلة.

الخطوة 2: اطرح هذا الرقم من الرقم 9.

الرقم 7 هو الرقم الثاني في إجابة المعادلة.

6. حيل 10 و 11 مرة

حيلة ضرب أي رقم في 10 هي إضافة صفر إلى نهاية العدد. على سبيل المثال ، 62 × 10 = 620.

هناك أيضًا حيلة سهلة لضرب أي رقم مكون من رقمين في 11. ها هي:

خذ الرقم الأصلي المكون من رقمين وضع مسافة بين الأرقام. في هذا المثال ، هذا الرقم هو 25.

الآن اجمع هذين الرقمين معًا وضع النتيجة في المركز:

إجابة 11 × 25 هي 275.

إذا كانت الأرقام الموجودة في المركز تضيف ما يصل إلى رقم مكون من رقمين ، فأدخل الرقم الثاني وأضف 1 إلى الرقم الأول. هذا مثال للمعادلة 11 × 88

هناك إجابة على 11 × 88: 968

7. النسبة المئوية

قد يكون العثور على نسبة مئوية من رقم ما معقدًا إلى حد ما ، لكن التفكير فيه بالشروط الصحيحة يجعل فهمه أسهل كثيرًا. على سبيل المثال ، لمعرفة 5٪ من 235 ، اتبع هذه الطريقة:

  • الخطوة 1: حرك الفاصلة العشرية بمقدار مكان واحد ، يصبح 235 23.5.
  • الخطوة 2: قسّم 23.5 على الرقم 2 ، الإجابة هي 11.75. هذا أيضًا هو إجابة المعادلة الأصلية.

8. بسرعة قم بتربيع رقم مكون من رقمين ينتهي بالرقم 5

لنستخدم & # 8217s الرقم 35 كمثال.

9. صعبة الضرب

عند ضرب أعداد كبيرة ، إذا كان أحد الأرقام زوجيًا ، اقسم الرقم الأول إلى نصفين ، ثم ضاعف الرقم الثاني. هذه الطريقة ستحل المشكلة بسرعة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك

الخطوة 1: قسّم 20 على 2 ، وهو ما يساوي 10. ضعف 120 ، وهو ما يساوي 240.

ثم اضرب إجابتك معًا.

الإجابة على 20 × 120 هي 2400.

10. ضرب الأعداد التي تنتهي بصفر

إن ضرب الأعداد التي تنتهي بصفر هو في الواقع أمر بسيط للغاية. يتضمن ضرب الأعداد الأخرى معًا ثم جمع الأصفار في النهاية. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك:

الخطوة 1: اضرب 2 في 4

الخطوة 2: ضع كل الأصفار الأربعة بعد الرقم 8

يمكن أن تساعد ممارسة حيل الرياضيات السريعة هذه الطلاب والمعلمين على تحسين مهارات الرياضيات لديهم ويصبحوا آمنين في معرفتهم بالرياضيات & # 8212 ولا يخشون العمل مع الأرقام في المستقبل.

انضم إلى Resilient Educator

اشترك في النشرة الإخبارية للحصول على المحتوى الذي تم تسليمه إلى صندوق الوارد الخاص بك. انقر أو اضغط على الزر أدناه.

انضم إلى Resilient Educator

اشترك في النشرة الإخبارية للحصول على المحتوى الذي تم تسليمه إلى صندوق الوارد الخاص بك. انقر أو اضغط على الزر أدناه.


المنطق (التضمين)

إذا ص, ومن بعد س.

في شكل رمز ، يمكننا كتابتها كـ ص = & GT س، أو يمكننا أيضًا كتابتها كـ "ص يدل س’.

كما قلت سابقًا ، ص هو بيان. وبالتالي، ص يمكن للإثنين حقيقي أو خطأ شنيع. مثل س حيث س هو أيضا بيان.

عندما نعمل مع التضمين ، أو ما يعنيه البيان ، غالبًا ما نريد معرفة ما إذا كان المعنى ضمنيًا حقيقي، أو خطأ شنيع. من الأسهل أن أضعه في ملف جدول الحقيقة.

شكل 1 جدول الحقيقة للآثار

*أين تي هو حقيقي، و F هو خطأ شنيع

قد يكون من الصعب فهم جدول الحقيقة لأول مرة. لتسهيل الأمر ، سأقدم مثالاً ، حتى تتمكن من النظر في كيفية عمل التضمين في حياتنا اليومية.

يذهب طفل إلى والدته ويسأل ، "ماذا سأحصل إذا حصلت على A في امتحان الرياضيات الخاص بي؟" تفكر والدته قليلاً قبل أن تقول ، "إذا حصلت على A في امتحان الرياضيات ، فسأشتري لك جهاز كمبيوتر محمول جديدًا".

من خلال التركيبات المختلفة لقيم الحقيقة للبيانات ، سوف نتحقق من كيفية تأثيرها على حقيقة أو زيف هذا التضمين. أولاً ، ننظر إلى ما قالته والدته. إذا كنت معتادًا على الآثار المترتبة ، يمكنك أن ترى أنها مزيج من جملتين. دعونا نشير إلى البيانين على أنهما

ص : لقد حصلت على A في امتحان الرياضيات

س : سأشتري لك جهاز كمبيوتر محمول جديدًا.

افترض أولاً أن كلاهما ص و س صحيحة. هذا يعني أن الطفل حصل على A في امتحان الرياضيات ، وأمه تشتريه له جهاز كمبيوتر محمول جديد. نتفق جميعًا على أن والدته قالت الحقيقة. لذا ، فإن كلا من P و Q صحيحان ، وهذا يؤدي إلى أن يكون P = & gt Q صحيحًا أيضًا. هذا يتفق مع الصف الأول من الجدول في الشكل 1.

ثانيًا ، افترض أن P صحيحة وأن Q خطأ. بعبارة أخرى ، حصل الطفل على درجة A في امتحان الرياضيات ، لكن والدته لم تشتري له جهاز كمبيوتر محمول جديدًا. على الرغم من أن والدته أخبرته أنها ستشتري كمبيوتر محمول جديدًا إذا حصل على A ، إلا أنها لم تفعل ذلك. يمكنك القول إنها كذبت أو لم تفعل ما وعدت به. إذن ، ما قالته كان خاطئًا ، يتفق مع الصف الثاني من الجدول في الشكل 1.

ثالثًا ، افترض أن P خطأ وأن Q صحيحة. لذا ، الطفل لم يحصل و A في امتحان الرياضيات. لكن والدته ما زالت تشتري له جهاز كمبيوتر محمول جديدًا رغم ذلك. ربما تغيرت أمه القلوب. ربما رأت أن الطفل يعمل بجد في امتحان الرياضيات. على أي حال ، الأم لم تكذب على الطفل فقالت الحقيقة. لأنها لم تقل أبدًا أي شيء عما سيحدث إذا لم يحصل على درجة A في امتحان الرياضيات. هذا يتفق مع الصف الثالث من الجدول في الشكل 1.

أخيرًا ، افترض أن كلا من P و Q خاطئان. في هذه الحالة ، لم يحصل الطفل على درجة A في امتحان الرياضيات ولم تشتري والدته جهاز كمبيوتر محمول جديدًا له. مثل الحالة المذكورة أعلاه ، لم تكذب والدته أيضًا. قالت فقط عما سيحدث إذا حصل على A في امتحان الرياضيات. لذلك ، قالت والدته الحقيقة التي تتفق مع الصف الرابع من الجدول في الشكل 1.


4. تخمين Collatz

أولاً ، اختر أي رقم موجب ن . بعد ذلك ، قم بتكوين تسلسل من الرقم السابق على النحو التالي: إذا كان الرقم زوجيًا ، فاقسمه على 2. إذا كان عددًا فرديًا ، فاضرب في 3 وأضف 1. الهدف هو تكرار هذا التسلسل حتى تحصل على الرقم 1. على سبيل المثال ، دع & # 8217s جرب هذا التسلسل بالرقم 12. بدءًا من 12 ، نحصل على:

19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

ال تخمين Collatz تنص على أنه مهما كانت قيمة ن تبدأ بـ ، هذا التسلسل سينتهي دائمًا في النهاية في 1. حاليًا ، تم التحقق من هذا التخمين لجميع قيم ن حتى 87 × 2 60 ولكن لا يوجد دليل حتى الآن.

رسم بياني يوضح عدد التكرارات للإجراء المطلوب لأرقام محددة. الائتمان: J. Arantes عبر WikiCommons CC-BY SA 4.0

تخمين Collatz مثير للاهتمام لأنه من السهل جدًا وصفه وفهمه ، ولكن حتى الآن لم يقترب أحد من كسره. حتى عالم الرياضيات الشهير بول إيرد ، الذي اشتهر بتفكيك المسائل التي لم يتم حلها في الرياضيات ، ذكر ذات مرة فيما يتعلق بتخمين Collatz أن "الرياضيات قد لا تكون جاهزة لمثل هذه المشاكل".


7.5: لنجعلها تعمل - الرياضيات

في هذا القسم ، سنلقي نظرة الآن على حل المعادلات اللوغاريتمية أو المعادلات التي تحتوي على لوغاريتمات فيها. سننظر هنا في نوعين محددين من المعادلات. على وجه الخصوص ، سننظر في المعادلات التي يكون فيها كل مصطلح لوغاريتمًا وننظر أيضًا في المعادلات التي يكون فيها كل مصطلح في المعادلة ما عدا واحدًا لوغاريتمًا ويكون المصطلح بدون اللوغاريتم ثابتًا. أيضًا ، سنفترض أن اللوغاريتمات في كل معادلة لها نفس الأساس. إذا كان هناك أكثر من قاعدة في اللوغاريتمات في المعادلة ، تصبح عملية الحل أكثر صعوبة.

قبل أن ندخل في عملية الحل ، علينا أن نتذكر أنه يمكننا فقط التعويض بأرقام موجبة في اللوغاريتم. سيكون هذا مهمًا في المستقبل ولذا لا يمكننا أن ننسى ذلك.

الآن ، دعنا نبدأ بالنظر إلى المعادلات التي يكون فيها كل مصطلح لوغاريتمًا وتكون جميع القواعد على اللوغاريتمات متماثلة. في هذه الحالة سوف نستخدم حقيقة أن

بعبارة أخرى ، إذا كان لدينا سجلان في المسألة ، أحدهما على جانبي علامة التساوي وكلاهما بمعامل واحد ، فيمكننا إذن إسقاط اللوغاريتمات.

دعونا نلقي نظرة على مثالين.

  1. (2 < log _9> left (< sqrt x> right) - < log _9> left (<6x - 1> right) = 0 )
  2. ( سجل س + سجل يسار ( يمين) = سجل يسار (<3 س + 12> يمين) )
  3. ( ln 10 - ln يسار (<7 - س> يمين) = ln س )

مع هذه المعادلة ، لا يوجد سوى لوغاريتمين في المعادلة ، لذلك من السهل الحصول على أحد جانبي علامة التساوي. سنحتاج أيضًا إلى التعامل مع المعامل الموجود قبل الحد الأول.

الآن بعد أن أصبح لدينا لوغاريتمان لهما نفس الأساس والمعاملات 1 على جانبي علامة التساوي ، يمكننا إسقاط اللوغاريتمات وحلها.

[يبدأx & = 6x - 1 1 & = 5x hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = frac <1> <5> end]

الآن ، نحن بحاجة إلى القلق إذا كان هذا الحل سينتج أي أرقام سالبة أو أصفار في اللوغاريتمات ، لذا فإن الخطوة التالية هي التعويض بهذا في أصلي المعادلة ومعرفة ما إذا كان يفعل.

لاحظ أننا لسنا بحاجة للذهاب إلى أقصى الحدود مع الشيك هنا. نحتاج فقط إلى التأكد من أنه بمجرد إدخال (x ) ليس لدينا أي أرقام سالبة أو أصفار في اللوغاريتمات. نظرًا لأنه ليس لدينا الحل في هذه الحالة ، فهو (x = frac <1> <5> ).

حسنًا ، لدينا في هذه المعادلة ثلاثة لوغاريتمات ويمكن أن يكون لدينا اثنان فقط. لذلك ، رأينا كيفية القيام بهذا النوع من العمل في مجموعة من الأمثلة في القسم السابق ، لذلك نحتاج فقط إلى القيام بنفس الشيء هنا. لا يهم حقًا كيفية القيام بذلك ، ولكن نظرًا لأن أحد الجانبين لديه بالفعل لوغاريتم واحد عليه ، يمكننا أيضًا دمج السجلات على الجانب الآخر.

الآن لدينا لوغاريتم واحد على جانبي علامة التساوي ، وهما نفس القاعدة ومعامل واحد ، لذا يمكننا إسقاط اللوغاريتمات وحلها.

[يبدأس يسار ( يمين) & = 3 س + 12 - س - 3 س - 12 = 0 - 4x - 12 & = 0 يسار ( يمين شمال( right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = - 2، ، ، x = 6 end]

الآن ، قبل أن نعلن أن هذه الحلول يجب أن نتحقق منها في المعادلة الأصلية.

[يبدأ log 6 + log left (<6-1> right) & = log left (<3 left (6 right) + 12> right) log 6 + log 5 & = سجل 30 نهاية]

لا يوجد لوغاريتمات للأرقام السالبة ولا لوغاريتمات للصفر لذلك هذا حل.

[ log left (<- 2> right) + log left (<- 2 - 1> right) = log left (<3 left (<- 2> right) + 12> حق)]

لا نحتاج إلى الذهاب أبعد من ذلك ، فهناك لوغاريتم لرقم سالب في المصطلح الأول (الآخرون سالبون أيضًا) وهذا كل ما نحتاجه لاستبعاد هذا كحل.

كن حذرا هنا. نحن لا نستبعد (x = - 2 ) لأنها سلبية ، ليست هذه هي المشكلة. نحن نستبعدها لأننا بمجرد أن نعوض بها في المعادلة الأصلية ، ينتهي بنا الحال مع لوغاريتمات الأرقام السالبة. من الممكن أن تكون القيم السالبة لـ (س ) حلولاً لهذه المشاكل ، لذلك لا تخطئ في سبب استبعاد هذه القيمة.

أيضًا ، على طول هذه الخطوط ، لم نأخذ (x = 6 ) كحل لأنه كان موجبًا ، ولكن لأنه لم ينتج أي أرقام سالبة أو صفرًا في اللوغاريتمات عند الاستبدال. من الممكن ألا تكون الأرقام الموجبة حلولا.

لذلك ، مع كل هذا بعيدًا ، لدينا حل واحد لهذه المعادلة ، (x = 6 ).

سنعمل على هذه المعادلة بنفس الطريقة التي عملنا بها في المعادلة السابقة. لدينا لوغاريتمان على جانب واحد ، لذا سنجمعهما ، ونسقط اللوغاريتمات ، ثم نحل.

[يبدأ ln left (< frac <<10>> << 7 - x >>> right) & = ln x frac <<10>> << 7 - x >> & = x 10 & = س يسار (<7 - س> يمين) 10 & = 7 س - \ - 7 س + 10 & = 0 يسار ( يمين شمال( right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = 2، ، ، x = 5 end]

لدينا حلين محتملين للتحقق هنا.

[يبدأ ln 10 - ln يسار (<7 - 2> يمين) & = ln 2 ln 10 - ln 5 & = ln 2 end]

[يبدأ ln 10 - ln يسار (<7-5> يمين) & = ln 5 ln 10 - ln 2 & = ln 5 end]

في هذه الحالة كلا الحلين الممكنين ، (x = 2 ) و (x = 5 ) ، ينتهي بهما الحال في الواقع حلين. لا يوجد سبب لتوقع أن تضطر دائمًا إلى التخلص من أحدهما كحل.

نحتاج الآن إلى إلقاء نظرة على النوع الثاني من المعادلات اللوغاريتمية التي سنحلها هنا. ستحتوي هذه المعادلة على جميع المصطلحات باستثناء أحدها لوغاريتمًا والمصطلح الوحيد الذي لا يحتوي على لوغاريتم سيكون ثابتًا.

لحل هذه الأنواع من المعادلات ، علينا تذكر الصيغة الأسية للوغاريتم. ها هو إذا كنت لا تتذكر.

سنستخدم هذا التحويل للصيغة الأسية في كل هذه المعادلات ، لذا من المهم أن تتمكن من القيام بذلك. لنعمل على بعض الأمثلة حتى نتمكن من رؤية كيف يمكن حل هذه الأنواع من المعادلات.

لحل هذه المعادلة ، نحتاج إلى تحويل المعادلة إلى الصيغة التي توجد بها هذه المعادلة بالضبط. نحتاج إلى لوغاريتم واحد في المعادلة بمعامل واحد وثابت في الجانب الآخر من علامة التساوي. بمجرد أن نحصل على المعادلة في هذه الصورة ، نحولها ببساطة إلى الصورة الأسية.

لذا ، دعونا نفعل ذلك بهذه المعادلة. الشكل الأسي لهذه المعادلة هو ،

لاحظ أن هذه معادلة يمكننا حلها بسهولة.

[2x = 21 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = frac <<21>> <2> ]

الآن ، تمامًا كما هو الحال مع المجموعة الأولى من الأمثلة ، نحتاج إلى إعادة هذا إلى أصلي المعادلة ومعرفة ما إذا كانت ستنتج أرقامًا سالبة أو أصفارًا في اللوغاريتمات. إذا كان الأمر كذلك فلا يمكن أن يكون حلاً وإذا لم يكن كذلك فهو حل.

فقط الأرقام الموجبة في اللوغاريتم وهكذا (x = frac <<21>> <2> ) هي في الواقع حل.

في هذه الحالة ، لدينا لوغاريتمان في المسألة ، لذا سنضطر إلى دمجهما في لوغاريتم واحد كما فعلنا في المجموعة الأولى من الأمثلة. القيام بذلك لهذه المعادلة يعطي ،

[يبدأ تسجيل x + تسجيل يسار ( يمين) & = 1 سجل يسار ( right)> right) & = 1 end]

الآن ، بعد أن حصلنا على المعادلة بالصيغة المناسبة ، قمنا بتحويلها إلى الصورة الأسية. تذكر أيضًا أننا نتعامل مع اللوغاريتم المشترك هنا وبالتالي فإن الأساس هو 10.

هذا هو الشكل الأسي لهذه المعادلة.

[يبدأس يسار ( يمين) & = <10 ^ 1> - 3x - 10 & = 0 يسار ( يمين شمال( right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = - 2، ، ، x = 5 end]

لذلك ، لدينا حلان محتملان. دعونا نتحقق من كليهما.

[ سجل يسار (<- 2> يمين) = 1 - سجل يسار (<- 2 - 3> يمين) ]

لدينا أرقام سالبة في اللوغاريتمات ولذا لا يمكن أن يكون هذا حلاً.

[يبدأ سجل 5 & = 1 - سجل يسار (<5 - 3> يمين) سجل 5 & = 1 - سجل 2 نهاية]

لا توجد أرقام سالبة أو أصفار في اللوغاريتمات ، وهذا هو الحل.

لذلك ، لدينا حل واحد لهذه المعادلة ، (س = 5 ).

مرة أخرى ، تذكر أننا لا نستبعد حلاً محتملاً لأنه سلبي أو يتضمن حلاً محتملاً لأنه إيجابي. نستبعد حلاً محتملاً إذا كان ينتج أرقامًا سالبة أو أصفارًا في اللوغاريتمات عند استبداله في المعادلة ونقوم بتضمين حل محتمل إذا لم يحدث ذلك.

مرة أخرى ، دعنا نحصل على اللوغاريتمات في جانب واحد ودمجها في لوغاريتم واحد.

الآن ، قم بتحويله إلى الشكل الأسي.

الآن ، دعونا نحل هذه المعادلة.

[يبدأ - 6 س & = 8 يسار (<1 - س> يمين) - 6x & = 8-8x + 2x - 8 & = 0 يسار ( يمين شمال( right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = - 4، ، ، x = 2 end]

الآن ، دعنا نتحقق من كلا الحلين في المعادلة الأصلية.

لذلك ، عند استبدال هذا الحل ، نرى أن جميع الأرقام في اللوغاريتمات موجبة ، وبالتالي فإن هذا حل. لاحظ مرة أخرى أنه لا يهم أن الحل سالب ، لا يمكنه فقط إنتاج أرقام سالبة أو أصفار في اللوغاريتمات.

في هذه الحالة ، على الرغم من حقيقة أن الحل المحتمل موجب ، فإننا نحصل على أرقام سالبة في اللوغاريتمات ، وبالتالي لا يمكن أن يكون حلًا.


7.5: لنجعلها تعمل - الرياضيات

قانون الإضافة التبادلي

ينص قانون الإضافة التبادلي على أنه لا يهم الترتيب الذي تضيفه للأرقام ، فستحصل دائمًا على نفس الإجابة. أحيانًا يُطلق على هذا القانون أيضًا اسم ملكية الأمر.

x + y + z = z + x + y = y + x + z

فيما يلي مثال باستخدام الأرقام حيث x = 5 و y = 1 و z = 7

5 + 1 + 7 = 13
7 + 5 + 1 = 13
1 + 5 + 7 = 13

كما ترى ، الترتيب لا يهم. تأتي الإجابة بنفس الطريقة بغض النظر عن الطريقة التي نجمع بها الأرقام.

قانون الضرب التبادلي

تبادُل الضرب هو قانون حسابي يقول إنه لا يهم الترتيب الذي تضربه في الأرقام ، فستحصل دائمًا على نفس الإجابة. إنه مشابه جدًا لقانون الإضافة الجماعية.

x * y * z = z * x * y = y * x * z

لنفعل هذا الآن بالأرقام الفعلية حيث x = 4 ، و y = 3 ، و z = 6

4 * 3 * 6 = 12 * 6 = 72
6 * 4 * 3 = 24 * 3 = 72
3 * 4 * 6 = 12 * 6 = 72

قانون الجمع الترابطي

ينص قانون الجمع الترابطي على أن تغيير تجميع الأرقام المضافة معًا لا يغير مجموعها. يسمى هذا القانون أحيانًا بملكية التجميع.

فيما يلي مثال باستخدام الأرقام حيث x = 5 و y = 1 و z = 7

5 + (1 + 7) = 5 + 8 = 13
(5 + 1) + 7 = 6 + 7 = 13

كما ترى ، بغض النظر عن كيفية تجميع الأرقام ، فإن الإجابة لا تزال 13.

قانون الضرب الترابطي

القانون الترابطي في الضرب مشابه لنفس قانون الجمع. تقول أنه بغض النظر عن كيفية قيامك بضرب الأعداد في مجموعات ، ستحصل على نفس الإجابة.

لنفعل هذا الآن بالأرقام الفعلية حيث x = 4 ، و y = 3 ، و z = 6

(4 * 3) * 6 = 12 * 6 = 72
4 * (3 * 6) = 4 * 18 = 72

ينص قانون التوزيع على أن أي رقم مضروب في مجموع رقمين أو أكثر يساوي مجموع هذا الرقم مضروبًا في كل رقم على حدة.

نظرًا لأن هذا التعريف مربك بعض الشيء ، فلنلقِ نظرة على مثال:

أ * (س + ص + ض) = (أ * س) + (أ * ص) + (أ * ض)

لذا يمكنك أن ترى من الأعلى أن العدد a في مجموع الأعداد x و y و z يساوي مجموع العدد a في x و a في y و a في z.

4 * (2 + 5 + 6) = 4 * 13 = 52
(4 *2) + (4*5) + (4*6) = 8 + 20 + 24 = 52

المعادلتان متساويتان وكلاهما يساوي 52.

ينص قانون الخصائص الصفرية للضرب على أن أي عدد مضروب في 0 يساوي 0.

ينص قانون الإضافة الصفرية على أن أي رقم زائد 0 يساوي نفس الرقم.


شاهد الفيديو: نصيحة آينشتاين لتتعلم أى شئ بسرعة وبسهولة Albert Einstein (ديسمبر 2021).