مقالات

5.1: تفسير الأعداد السالبة - الرياضيات


5.1: تفسير الأعداد السالبة - الرياضيات

الدرس 1 تفسير الأعداد السالبة

هنا مقياس حرارة الطقس. تم حذف ثلاثة من الأرقام.


نظرية الأعداد - أنواع الأعداد الرياضية

تلك الرموز أو الأرقام أو الأرقام العشرة البسيطة التي نتعلمها جميعًا في وقت مبكر من الحياة والتي تؤثر على حياتنا بطرق أكثر بكثير مما نتخيله. هل تساءلت يومًا كيف ستكون حياتنا بدون هذه الأرقام العشرة الأنيقة والمجموعة اللانهائية من الأرقام الأخرى التي يمكنهم إنشاؤها؟ أعياد الميلاد ، والأعمار ، والطول ، والوزن ، والأبعاد ، والعناوين ، وأرقام الهواتف ، وأرقام لوحات الترخيص ، وأرقام بطاقات الائتمان ، وأرقام التعريف الشخصي ، وأرقام الحسابات المصرفية ، وأرقام محطات الراديو / التلفزيون ، والوقت ، والتواريخ ، والسنوات ، والاتجاهات ، وأوقات الاستيقاظ ، والنتائج الرياضية ، الأسعار ، المحاسبة ، التسلسلات / سلسلة الأرقام ، المربعات السحرية ، الأرقام المضلعة ، العوامل ، المربعات ، المكعبات ، أرقام فيبوناتشي ، الأرقام الكاملة والناقصة والوفرة ، والقائمة تطول إلى ما لا نهاية. لا يستطيع المهندسون والمحاسبون وكتبة المتاجر والمصنعون والصرافون والمصرفيون ووسطاء الأوراق المالية والنجارون وعلماء الرياضيات والعلماء وما إلى ذلك أن يعيشوا بدونهم. بمعنى ما ، يمكن أن نستنتج بسهولة أننا لن نتمكن من العيش بدونهم. من المثير للدهشة أن هناك مجموعة لا حصر لها من العجائب الخفية المحيطة أو المنبثقة عن هذه الرموز المألوفة التي نستخدمها كل يوم ، الأرقام الطبيعية.

بمرور الوقت ، تم تصنيف العديد من المصفوفات أو الأنماط اللانهائية للأرقام المشتقة من الأرقام العشرة الأساسية أو تصنيفها إلى مجموعة متنوعة من أنواع الأرقام وفقًا لبعض الأغراض التي تخدمها ، أو القاعدة الأساسية التي تتبعها ، أو الخاصية التي تمتلكها . العديد ، إن لم يكن كلهم ​​، فريدون بشكل رائع ويعملون على توضيح الجمال الطبيعي المتطرف وعجائب أرقامنا كما هو مستخدم في كل من الرياضيات الكلاسيكية والترفيهية.

من أجل تحفيز الاهتمام الأوسع بنظرية الأعداد والرياضيات الترفيهية ، ستسعى هذه المجموعة إلى تقديم تعريفات أساسية وأوصاف موجزة للعديد من أنواع الأرقام التي غالبًا ما يتم مواجهتها في المجال الواسع للرياضيات الترفيهية. لن تكون أوصاف نوع الأرقام التالية شاملة بالتفصيل لأن المساحة محدودة وبعضها قد يحتاج إلى أحجام لتغطيتها بالتفصيل. يتم توفير قائمة مراجع القراءة الممتازة لأولئك الذين يرغبون في معرفة المزيد عن أي نوع رقم محدد أو استكشاف الآخرين غير المدرجة. نأمل بصدق أن تحفزك المواد الواردة هنا على القراءة والاستكشاف بشكل أكبر. آمل أيضًا أنه بعد قراءة واستيعاب وفهم المواد المعروضة هنا ، ستكون قد استمتعت بالتجربة وأنك لن تنطق أبدًا بتلك الكلمات الرهيبة التي لا تُنسى ، "أنا أكره الرياضيات".

يتم تقديم بعض التعريفات الأساسية للمصطلحات التي يتم مواجهتها عادةً في الفصل الدراسي أولاً.

عدد صحيح - أي من الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة ، . - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, . الأعداد الصحيحة الموجبة ، 1 ، 2 ، 3. تسمى الأعداد الطبيعية أو أرقام العد. عادةً ما يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة بواسطة Z أو Z +

أرقام - الرموز العشرة 0 و 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9 ، تُستخدم لإنشاء أرقام في نظام الأرقام العشرية الأساسي 10.

الأعداد - الرموز المستخدمة للدلالة على الأعداد الطبيعية. الأرقام العربية 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 هي تلك المستخدمة في نظام الأرقام الهندوسية العربية لتعريف الأرقام.

الأعداد الطبيعية - مجموعة الأعداد ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17. التي نراها ونستخدمها كل يوم. غالبًا ما يشار إلى الأعداد الطبيعية على أنها أرقام العد والأعداد الصحيحة الموجبة.

الأعداد الكلية - الأعداد الطبيعية زائد الصفر.

أرقام نسبية - أي رقم يكون إما عددًا صحيحًا "أ" أو يمكن التعبير عنه كنسبة بين عددين صحيحين ، أ / ب. قد يكون البسط ، "a" ، أي عدد صحيح ، وقد يكون المقام ، "b" ، أي عدد صحيح موجب أكبر من الصفر. إذا كان المقام هو الوحدة ، ب = 1 ، تكون النسبة عددًا صحيحًا. إذا كانت "b" غير 1 ، فإن a / b عبارة عن كسر.

الأعداد الكسرية - أي رقم يمكن التعبير عنه بحاصل قسمة رقمين كما في a / b ، "b" أكبر من 1 ، حيث يسمى "a" بالبسط و "b" يسمى المقام. إذا كان "a" أصغر من "b" فهو كسر صحيح. إذا كان "a" أكبر من "b" فهو كسر غير صحيح يمكن تقسيمه إلى عدد صحيح وكسر صحيح.

أرقام غير منطقية - أي رقم لا يمكن التعبير عنه بعدد صحيح أو نسبة عددين صحيحين. يمكن التعبير عن الأعداد غير النسبية فقط ككسور عشرية حيث تستمر الأرقام إلى الأبد بدون نمط متكرر. بعض الأمثلة على الأرقام غير المنطقية

الأعداد التجاوزية - أي رقم لا يمكن أن يكون جذرًا لمعادلة كثيرة الحدود ذات معاملات عقلانية. إنها مجموعة فرعية من أرقام غير منطقية أمثلة منها Pi = 3.14159. و e = 2.7182818. أساس اللوغاريتمات الطبيعية.

أرقام حقيقية - مجموعة الأعداد الحقيقية بما في ذلك جميع الأعداد المنطقية وغير المنطقية.

الأرقام غير النسبية هي أرقام مثل

تتضمن الأعداد النسبية الأعداد الصحيحة (0 ، 1 ، 2 ، 3 ،.) ، الأعداد الصحيحة (. - 2 ، - 1 ، 0 ، 1 ، 2 ،.) ، والكسور ، والأعداد العشرية المتكررة والنهائية.

ضع عليها كل الأعداد الصحيحة 1،2،3،4،5،6،7. إلخ

ثم ضع جميع السلبيات للأعداد الصحيحة على يسار 0

ثم ضع كل الكسور.

ثم ضع جميع الكسور العشرية [بعض الكسور العشرية ليست كسورًا]

الآن لديك ما يسمى "خط الأعداد الحقيقي"

طريقة الحصول على رقم غير "حقيقي" هي محاولة إيجاد الجذر التربيعي لـ - 1

لا يمكن أن تكون 1 لأن 1 تربيع يساوي 1 ، وليس -1

لا يمكن أن يكون -1 لأن مربع -1 هو 1 وليس -1

لذلك لا يوجد رقم على خط الأعداد الخاص بك

والأرقام الجديدة يجب وضعها في مكان ما.

يتم سرد أنواع الأرقام التي تم إدخالها حاليًا و / أو المخطط إدخالها أدناه وسيتم تحديثها عند إدخال إدخالات جديدة في المستقبل. عند الاقتضاء ، وإذا سمح الوقت ، سيتم توسيع بعض تعريفات / أوصاف الأرقام بشكل أكبر لتوفير معلومات إضافية.

وفير ، جبري ، ودي ، ترتيب ، آلي ، ثنائي ، كاردينال ، كتالوني ، مركب ، مركب ، متطابق ، عد ، تكعيبي ، عشري ، ناقص ، زوجي ، عامل ، عاملي ، فيرمات ، فيبوناتشي ، مجسم ، كسري ، ودود ، توليد ، جنومون ، ذهبي ، دائري ، سعيد ، هاردي-رامانوجان ، هيرونيان ، خيالي ، لانهائي ، عدد صحيح ، غير عقلاني ، مرسين ، مونوديجيت ، نرجسي ، طبيعي ، مستطيل ، ثماني السطوح ، فردي ، ترتيبي ، طفيلي ، بيل ، خماسي ، مثالي ، ثابت ، متعدد الأضلاع ، بروني ، هرمي ، فيثاغورس ، شبه كامل ، عشوائي ، عقلاني ، حقيقي ، مستطيل ، رئيس نسبيًا ، شبه كامل ، متسلسل ، اجتماعي ، مربع ، فائق ، علامة ، رباعي السطوح ، متسامي ، مثلث ، جزء وحدة ، كامل.

تشكل العديد من الأرقام أنماطًا فريدة تُستخدم غالبًا في حل المشكلات الرياضية. عندما تكون الأنماط المميزة قابلة للتطبيق ، سيتم إعطاء الأرقام العشرة الأولى من الأنماط جنبًا إلى جنب مع العلاقات أو المعادلات المحددة ، والتي ستمكنك من العثور على أي رقم في النموذج.

رقم ن التي مجموع القواسم σ(ن) & GT2ن، أو بشكل مكافئ ، مجموع القواسم الصحيحة (أو مجموع القسمة) س(ن) & GTن.

العدد الوفير هو رقم ن التي مجموع القواسم σ(ن) & GT2ن، أو بشكل مكافئ ، مجموع القواسم الصحيحة (أو مجموع القسمة) س(ن) & GTن.

الأعداد الوفيرة هي جزء من عائلة الأعداد التي تكون إما ناقصة أو كاملة أو وفيرة.

الأعداد الوفيرة هي الأرقام التي يكون فيها المجموع Sa (N) لأجزاء / قساماته أكبر من الرقم نفسه Sa (N) & gt N أو S (N) & gt 2N. (في لغة علماء الرياضيات اليونانيين ، تم تعريف قواسم العدد N على أنها أي عدد صحيح أصغر من N ينتج عنه ، عند تقسيمه إلى N ، أعدادًا صحيحة. عوامل / مقسومات الرقم N ، ناقصًا الرقم نفسه ، هي يشار إليها على أنها أجزاء القسمة ، أو قسامات القسمة ، أو القواسم المناسبة للعدد.) وبالمقابل ، يكون N أيضًا وفيرًا إذا كان مجموع قساماته ، S (N) ، لـ "كل" مقسوماته أكبر من 2N.

Sa (N) - & GT1..1..1..3..1. 6. 1. 7. 4. 8. 1. 16. 1. 10. 9. 15. 1. 21. 1. 22..11..12. 1. 36

. 12 و 18 و 20 و 24 متوفرة بكثرة.

يمكن بسهولة ملاحظة أنه باستخدام تجميع أجزاء القسمة ، sa (24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36 & gt N = 24 بينما s (24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60 & gt 2N = 48 ، مما يجعل 24 متوفرًا باستخدام أي من التعريفين.

21 فقط من الأرقام من 1 إلى 100 متوفرة بكثرة. الرقم 945 هو أول رقم فردي وفير.

كل عدد صحيح زوجي أكبر من 46 يمكن التعبير عنه بمجموع رقمين وافرين.

كل عدد صحيح أكبر من 83159 يمكن التعبير عنه بمجموع رقمين وافرين.

أي مضاعف لعدد وفير وفير.

العدد الأولي أو أي قوة لعدد أولي ناقص. قواسم العدد الكامل أو الناقص ناقصة.

الأعداد الوفيرة أقل من 100 هي 20 و 24 و 30 و 36 و 40 و 42 و 48 و 54 و 56 و 60 و 66 و 70 و 72 و 78 و 80 و 84 و 88 و 90 و 96.

(انظر الكمال ، شبه كامل ، مضاعف الكمال ، شبه كامل ، ناقص ، أقل نقص ، وفرة للغاية)

الأعداد الجبرية هي الحلول العددية الحقيقية أو المعقدة للمعادلات متعددة الحدود في النموذج:

المعاملات أ ، ب ، ج ، د ،. p ، q ، هي أعداد صحيحة أو كسور. جميع الأعداد المنطقية جبرية بينما بعض الأعداد غير المنطقية جبرية.

جزء القسمة هو أي مقسوم على رقم ، لا يساوي الرقم نفسه. غالبًا ما يشار إلى القواسم على أنها قواسم مناسبة. الأجزاء القسمة للرقم 24 هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 8 و 12 ..

عادةً ما يتم تطبيق رقم مثالي تقريبًا على قوى 2 نظرًا لأن مجموع أجزاء القسمة هو

أو أقل من أن يكون رقمًا مثاليًا. ويترتب على ذلك أن أي قوة لـ 2 هي رقم ناقص

تشكل الأرقام الأبجدية cryptarithms حيث يتم تعيين مجموعة من الأرقام للحروف التي عادة ما توضح بعض التفكير الهادف. يمكن أن تشكل الأرقام مشكلة جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة. ظهرت واحدة من أوائل العملات المشفرة في عام 1924 في شكل مشكلة إضافة الكلمات التي تهدف إلى تمثيل رسالة الطالب من الكلية إلى الوالدين. قراءة اللغز إرسال + المزيد = المال. كانت الإجابة 9567 + = 1085 = 10652. بالطبع عليك استخدام المنطق لاشتقاق الأرقام التي يمثلها كل حرف ..

الأرقام الودية هي أزواج من الأرقام ، كل منها هو مجموع قسامات القسمة الأخرى. على سبيل المثال ، 220 و 284 أرقام ودية في حين أن جميع قواسم القسمة لـ 220 ، أي 110 ، 55 ، 44 ، 22 ، 10 ، 5 ، 4 ، 2 ، 1 تضيف ما يصل إلى 284 وجميع قسامات القسمة على 284 ، أي ، مجموع 142 ، 71 ، 4 ، 2 ، 1 يصل إلى 220. صحيح أيضًا لأي رقمين وديين ، N1 و N2 ، هو حقيقة أن مجموع جميع العوامل / القواسم لكليهما ، Sf (N1 + N2) = N1 + N2. بطريقة أخرى مذكورة ، Sf (220 + 284) = 220 + 284 = 504. الأرقام الودية الأخرى هي:

هناك أكثر من 1000 زوج ودود معروف. يشار إلى الأرقام الودية أحيانًا بالأرقام المألوفة.

توجد عدة طرق لاشتقاق الأرقام الودية ، ولكن ليس كلها للأسف. ابتكر عالم رياضيات عربي طريقة واحدة. لقيم n أكبر من 1 ، تأخذ الأرقام الودية الشكل:

على اعتبار أن x و y و z أعداد أولية. n = 2 ينتج x = 11 و y = 5 و z = 71 وكلها أعداد أولية وبالتالي ينتج عنها زوج الأرقام الودي 220/284. n = 3 ينتج x = 23 ، y = 11 و z = 287 لكن 287 مركب ، 7x41. n = 4 تنتج x = 47 ، y = 23 و z = 1151 ، كلها أعداد أولية ، وبالتالي ينتج عنها الزوج الودي 17،296 و 18،416. عند مراجعة الأزواج الودية القليلة الموضحة سابقًا ، من الواضح أن هذه الطريقة لا تنتج كل الأزواج الودية.

إذا لم يتم استخدام الرقم 1 في إضافة قسامات القسمة لرقمين ، ولا تزال القواسم المتبقية لكل رقم تضيف ما يصل إلى الرقم الآخر ، فإن الأرقام تسمى شبه ودية. على سبيل المثال ، مجموع قسامات القسمة 48 ، باستثناء 1 ، هو 75 بينما مجموع قسامات القسمة 75 ، باستثناء 1 ، هو 48.

كمسألة معلومات عامة:

يتم الحصول على مجموع جميع العوامل / القواسم للرقم N بواسطة

والتي عند تطبيقها على مثال 60 = 2 ^ 2x3x5 ينتج عنها

. سادس (60) = (2^3 - 1) x (3^2 - 1) x (5^2 - 1) = 7 × 4 × 6 = 168.

بطريقة أخرى ، يتم إعطاء مجموع عوامل الرقم N بواسطة

والتي عند تطبيقها على مثال

كما ذكرنا سابقًا ، فإن مجموع عوامل القسمة / القواسم هو مجموع جميع العوامل / القواسم مطروحًا منها الرقم نفسه.

رقم سفر الرؤيا ، 666 ، الذي يشار إليه غالبًا برقم الوحش ، يُشار إليه في الكتاب المقدس ، رؤيا ١٣:١٨.

في حين أن المعنى الفعلي أو مدى صلة الرقم لا يزال غير واضح ، فإن الرقم نفسه له بعض الخصائص المثيرة للاهتمام بشكل مدهش.

مجموع أول 36 رقمًا موجبًا هو 666 ، مما يجعله الرقم الثلاثي السادس والثلاثين.

مجموع مربعات أول سبعة أعداد أولية هو 666.

ينتج عن ضرب أضلاع المثلث الأيمن البدائي 12-35-37 في 18 جوانب غير أولية من 216-630-666.

الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو حقيقة أن هذه الجوانب يمكن كتابتها بصيغة نظرية فيثاغورس:

أرقام الترتيب ، التي يطلق عليها أكثر شيوعًا أرقام التقليب ، أو ببساطة التباديل ، هي عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب أو ترتيب عدد من الأشياء. وهي تتطور عادةً من السؤال عن عدد الترتيبات الممكنة للكائنات "n" باستخدام جميع الكائنات "n" أو الكائنات "r" في وقت واحد. نقوم بتعيين تباديل "ن" الأشياء التي تم أخذها "ن" في وقت كـ نصن وتباديل "ن" الأشياء التي اتخذت "ص" في وقت نصص حيث تشير P إلى التباديل ، و "n" تعني عدد الأشياء المعنية ، و "r" أقل من "n". لإيجاد عدد التباديل للأشياء المتباينة "n" المأخوذة "n" في المرة الواحدة ، تكون الصيغة هي نصن = ن! وهو عامل "n" والذي يعني:

مثال: كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب الحروف A & amp B. بوضوح 2 وهو 2 × 1 = 2 ، أي AB و BA.

كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب الأحرف A و B و amp C في مجموعات من ثلاثة؟ بوضوح 3ص3 = 3 × 2 × 1 = 6 ، وهي ABC و CBA و BAC و CAB و ACB و BCA.

كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب A و B و C و D في مجموعات من أربعة؟ بوضوح 4ص4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

للعثور على عدد التباديل للأشياء غير المتشابهة "n" المأخوذة "r" في كل مرة ، تكون الصيغة:

مثال: كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب الأحرف A و B و C و D باستخدام 2 في كل مرة؟ نحن لدينا 4ص4 = 4 × (4-2 + 1) = 4 × 3 = 12 وهي AB و BA و AC و CA و AD و DA و BC و CB و BD و DB و CD و DC.

كم عددًا مكونًا من 3 خانات يمكن تكوينه من الأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 ، بدون رقم مكرر؟ إذن لدينا 6ص3 = 6 × 5 × (6-3 + 1) = 6 × 5 × 4 = 120.

كم عدد الترتيبات المكونة من 3 أحرف يمكن إجراؤها من 26 حرفًا أبجديًا بالكامل بدون أحرف متكررة؟ لدينا الآن 26ص3 = 26 × 25 × (26-3 + 1) = 26 × 25 × 24 = 15600.

أخيرًا ، يدخل أربعة أشخاص سيارة بها ستة مقاعد. كم عدد الطرق التي يمكن أن يجلسوا بها؟ 6ص4 = 6 × 5 × 4 × (6-4 + 1) = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

سيناريو آخر للتبديل هو سيناريو حيث ترغب في العثور على تباديل الأشياء "n" ، تؤخذ جميعها في وقت ، عندما تكون الأشياء "p" من نوع واحد ، "q" أشياء من نوع آخر ، "r" أشياء من النوع الثالث والباقي مختلفون. دون الخوض في الاشتقاق ،

مثال ، كم عدد التبديلات المختلفة الممكنة من حروف كلمة لجنة مجتمعة؟ هناك 9 أحرف ، 2 منها m و 2 t و 2 هي e و 1 c و 1 o و 1 i. لذلك ، فإن عدد التباديل الممكنة لهذه الأحرف التسعة هو:

الأرقام ذات الشكل الآلي هي أعداد من "n" الأرقام التي تنتهي مربعاتها بالرقم نفسه. يجب أن تنتهي هذه الأرقام بالرقم 1 أو 5 أو 6 لأن هذه هي الأرقام الوحيدة التي تنتج منتجاتها 1 أو 5 أو 6 في خانة الوحدات. على سبيل المثال ، مربع 1 يساوي 1 ، ومربع 5 يساوي 25 ، ومربع 6 يساوي 36.

ماذا عن الأعداد المكونة من رقمين والتي تنتهي بـ 1 أو 5 أو 6؟ من المعروف أن جميع الأعداد المكونة من رقمين المنتهية بـ 5 تؤدي إلى رقم ينتهي بـ 25 مما يجعل 25 رقمًا آليًا مكونًا من رقمين مع مربع 625. لن ينتج عن أي رقم مكون من رقمين آخر ينتهي بـ 5 رقمًا ذاتي الشكل.

هل هناك رقم آلي مكون من رقمين ينتهي بالرقم 1؟ نعلم أن حاصل ضرب 10A + 1 و 10A + 1 هو 100A 2 + 20A + 1. يجب أن يكون "A" رقمًا بحيث ينتج 20A رقمًا يكون رقمه في خانة العشرات مساويًا لـ "A". بالنسبة إلى "A" = 2 ، 2 × 20 = 40 و 4 ليست 2. بالنسبة إلى "A" = 3 ، 3 × 20 = 60 و 6 ليست 3. بالاستمرار على هذا النحو ، لا نجد أي رقم مؤلف من رقمين ينتهي بـ 1.

هل هناك رقم آلي مكون من رقمين وينتهي بـ 6؟ مرة أخرى ، نعلم أن حاصل ضرب 10A + 6 و 10A + 6 هو 100A 2 + 120A + 36. يجب أن يكون "A" رقمًا بحيث ينتج 120A رقمًا مضافًا إليه رقم عشرات إلى 3 يساوي "A". بالنسبة إلى "A" = 2 ، 2 × 120 = 240 و 4 + 3 = 7 وهي ليست 2. بالنسبة إلى "A" = 3 ، 3 × 120 = 360 و 6 + 3 = 9 وهي ليست 3. الاستمرار على هذا النحو من خلال A = 9 ، بالنسبة لـ "A" = 7 ، نحصل على 7 × 120 = 840 و 4 + 3 = 7 = "أ" ، مما يجعل 76 الرقم الوحيد الآخر المكون من رقمين والذي يكون مربعه 5776.

من خلال نفس العملية ، يمكن إظهار أن مربعات كل رقم تنتهي بـ 625 أو 376 ستنتهي بـ 625 أو 376.

تسلسل المربعات المنتهية بـ 25 هي 25 ، 225 ، 625 ، 1225 ، 2025 ، 3025 ، إلخ. يمكن اشتقاق الرقم n المربع المنتهي بـ 25 مباشرة من N (n) 2 = 100n (n - 1) + 25. ( هذا التعبير مشتق من سلسلة الفروق المحدودة للمربعات.)

الأعداد الثنائية هي الأعداد الطبيعية المكتوبة في الأساس 2 بدلاً من الأساس 10. بينما يستخدم نظام الأساس 10 10 أرقام ، يستخدم النظام الثنائي رقمين فقط ، أي 0 و 1 ، للتعبير عن الأعداد الطبيعية في تدوين ثنائي. الأرقام الثنائية 0 و 1 هي الأرقام الوحيدة المستخدمة في أجهزة الكمبيوتر والآلات الحاسبة لتمثيل أي رقم أساس 10. ينبع هذا من حقيقة أن أرقام التسلسل الثنائي المألوف ، 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ، 128 ، إلخ ، يمكن جمعها لتمثيل كل رقم. للتوضيح ، 1 = 1 ، 2 = 2 ، 3 = 1 + 2 ، 4 = 4 ، 5 = 1 + 4 ، 6 = 2 + 4 ، 7 = 1 + 2 + 4 ، 8 = 8 ، 9 = 1 + 8 ، 10 = 2 + 8 ، 11 = 1 + 2 + 8 ، 12 = 4 + 8 ، وهكذا. بهذه الطريقة ، يمكن تمثيل أرقام العد في الكمبيوتر باستخدام الأرقام الثنائية فقط من 0 و 1 على النحو التالي.

عدد B I N A R Y S E Q U E N C E
128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 ب
2 1 0 أنا
3 1 1 ن
4 1 0 0 أ
5 1 0 1 ص
6 1 1 0 ص
7 1 1 1
8 1 0 0 0 ن
9 1 0 0 1 ا
10 1 0 1 0 تي
11 1 0 1 1 أ
12 1 1 0 0 تي
13 1 1 0 1 أنا
14 1 1 1 0 ا
15 1 1 1 1 ن
76 1 0 0 1 1 0 0
157 1 0 0 1 1 0 1 1

كما ترى ، يشير موقع رقم الآحاد في التمثيل الثنائي إلى أرقام التسلسل الثنائي التي سيتم إضافتها معًا للحصول على رقم الأساس 10 للفائدة.

الرقم الأساسي هو رقم يحدد عدد العناصر الموجودة في مجموعة أو مجموعة من العناصر. عادةً ، يُشار إلى مجموعة كاملة من العناصر باسم "مجموعة" العناصر ويشار إلى العناصر الموجودة داخل المجموعة باسم "عناصر" المجموعة. على سبيل المثال ، يتم تحديد عدد أو مجموعة أو مجموعة اللاعبين في فريق البيسبول من خلال الرقم الأساسي 9. يتم تحديد المجموعة المكونة من 200 طالب في المدرسة الثانوية في فصل التخرج من خلال الرقم الأساسي 200. (انظر الأرقام الترتيبية والعلامة) أعداد.)

الأرقام الكاتالونية هي واحدة من العديد من المتواليات الخاصة للأرقام المشتقة من مشاكل التوافقية في الرياضيات الترفيهية. تتعامل التوافقيات مع اختيار العناصر من مجموعة من العناصر التي تتم مواجهتها عادةً ضمن موضوعات الاحتمالات والتوليفات والتباديل وأخذ العينات. الأرقام الكاتالونية المحددة هي 1 ، 1 ، 2 ، 5 ، 14 ، 42 ، 132 ، 429 ، 1430 ، 4862 ، 16796 وما إلى ذلك مشتقة من

هذه المجموعة الخاصة من الأرقام مشتقة من عدة مسائل اندماجية ، إحداها ما يلي.

تجمع عدد "2n" من الناس على طاولة مستديرة. كم عدد الأشخاص الذين يمكن إجراؤهم بدون عبور أو مصافحة ، أي عدم تقاطع أزواج من الأسلحة مع بعضها البعض عبر الطاولة؟ ستقودك بعض المخططات السريعة للدوائر مع مجموعات من النقاط والخطوط إلى الإجابات الثلاثة الأولى بسهولة. شخصان ، مصافحة واحدة. أربعة أشخاص ، مصافحتان. ستة أشخاص ، 5 مصافحات. بقليل من الصبر والمثابرة ، سيقودك ثمانية أشخاص إلى 14 مصافحة. أبعد من ذلك ، ربما يكون من الأفضل الاعتماد على التعبير المعطى.

أرقام الاختيار ، التي يطلق عليها بشكل أكثر شيوعًا أرقام المجموعة ، أو مجرد مجموعات ، هي عدد الطرق التي يمكن بها اختيار عدد من الأشياء أو اختيارها أو تجميعها. المجموعات تتعلق فقط بتجميع العناصر وليس ترتيب تلك العناصر. تتطور عادةً من السؤال: كم عدد مجموعات الكائنات "n" الممكنة باستخدام جميع الكائنات "n" أو الكائنات "r" في المرة الواحدة؟ للعثور على عدد تركيبات "n" أشياء غير متشابهة مأخوذة "r" في كل مرة ، تكون الصيغة:

والتي يمكن ذكرها كمضروب "n" مقسومًا على ناتج مضروب "r" مرات (n - r).

مثال: كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها دمج الأحرف A و B و C و D في مجموعات من ثلاثة؟ بوضوح،

وهي ABC و ABD و ACD و BCD. (لاحظ أن ACB و BAC و BCA و CAB و CBA كلها تركيبة واحدة مرتبة بشكل مختلف. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار لجنة مكونة من ثلاثة أشخاص من مجموعة مكونة من 12 شخصًا؟

كم عدد المصافحات التي ستحدث بين ستة أشخاص في الغرفة عندما يتصافح كل منهم مع جميع الأشخاص الآخرين في الغرفة مرة واحدة؟ هنا،

لاحظ أنه لا يوجد اعتبار لترتيب العناصر أو ترتيبها ولكن فقط المجموعات.

طريقة أخرى لعرض المجموعات على النحو التالي. ضع في اعتبارك عدد المجموعات المكونة من 5 أحرف مأخوذة من 3 أحرف في كل مرة. ينتج عن هذا:

افترض الآن أنك بدل (رتب) حرف r = 3 في كل من المجموعات العشر بكل الطرق الممكنة. كل مجموعة ستنتج r! التباديل. السماح x = 5ج3 في الوقت الحالي ، سيكون لدينا إجمالي x (r!) تباديل مختلفة. ومع ذلك ، يمثل هذا الإجمالي جميع التباديل (الترتيبات) الممكنة لعدد n من الأشياء التي تم أخذها r في وقت واحد ، والتي تظهر تحت أرقام الترتيب ويتم تعريفها على أنها نصص. لذلك،

باستخدام لجنة مكونة من 3 أشخاص من 12 مثالًا من أعلى ،

ضع في اعتبارك ما يلي: كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها الدخول إلى سيارة ذات 4 أبواب؟ من الواضح أن هناك 4 طرق مختلفة للدخول إلى السيارة. طريقة أخرى للتعبير عن هذا هي:

إذا تجاهلنا وجود المقاعد الأمامية لغرض هذا المثال ، فكم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك الخروج بها من السيارة على افتراض أنك لا تخرج من الباب الذي أدخلته؟ من الواضح أن لديك 3 خيارات. يمكن التعبير عن هذا أيضًا على النحو التالي:

للمضي قدمًا في هذه الخطوة ، كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها الدخول إلى السيارة من باب والخروج من باب آخر؟ الدخول من خلال الباب رقم 1 يتركك مع 3 أبواب أخرى للخروج من خلالها. توجد نفس النتيجة إذا قمت بالدخول من خلال أي من الأبواب الثلاثة الأخرى. لذلك ، فإن العدد الإجمالي لطرق الدخول والخروج في ظل الشروط المحددة هو:

مثال آخر على هذا النوع من المواقف هو كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار لجنة مكونة من 4 فتيات و 3 فتيان من فئة مكونة من 10 فتيات و 8 فتيان؟ وينتج عنه:

راجع أرقام الترتيب لتحديد عدد الترتيبات الممكنة بين العناصر.

الرقم الأولي الدائري هو الرقم الذي يظل عددًا أوليًا بعد إعادة تحديد موضع أول رقم إلى نهاية العدد بشكل متكرر. على سبيل المثال ، 197 و 971 و 719 كلها أعداد أولية. وبالمثل ، فإن 1193 و 1931 و 9311 و 3119 كلها أعداد أولية. الأرقام الأخرى التي تتوافق مع التعريف هي 11 و 13 و 37 و 79 و 113 و 199 و 337.

يمكن أن تحتوي الأعداد الأولية المكونة من رقمين أو أكثر على الأرقام 1 أو 3 أو 7 فقط لأنه إذا كان 0 أو 2 أو 4 أو 5،6 أو 8 جزءًا من الرقم ، في خانة الوحدات ، فسيكون الرقم قابلاً للقسمة على 2 أو 5.

يُعتقد أن هناك عددًا لا حصر له من الأعداد الأولية الدائرية ولكن لم يتم إثباتها بعد.

تتشكل الأعداد المركبة من خلال إضافة رقم حقيقي ورقم وهمي ، والشكل العام له هو a + bi حيث i =

= العدد التخيلي و a و b عددان حقيقيان. يُقال أن "a" هو الجزء الحقيقي من العدد المركب و b الجزء التخيلي.

ربما يكون أسهل رقم يتم تحديده بعد الأعداد الأولية.

تنص النظرية الأساسية للحساب على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1 هو إما عدد أولي أو رقم مركب. كما نعلم ، فإن الرقم الأولي "p" هو أي رقم موجب القواسم الوحيدة له هي 1 و p (أو -1 و -p). وبالتالي ، بحكم التعريف ، أي رقم ليس عددًا أوليًا يجب أن يكون رقمًا مركبًا.

الرقم المركب هو أي رقم يحتوي على 3 عوامل / قواسم أو أكثر ويكون نتيجة ضرب الأعداد الأولية معًا. معظم الأعداد الصحيحة الموجبة هي نتاج أعداد أولية أصغر.

أمثلة: 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، 14 ، 15 ، 16 ، 18 ، 20 ، 22 ، 24 ، 25 ، 26 ، 27 ، 28 ، 30 ، 32 ، 33 ، 34 ، 35 ، 36 ، 38 ، 39 ، 40 ، 42 ، 44 ، 45 ، 46 ، 48 ، 49 ، 50 ، إلخ ، كلها أعداد مركبة ، كل منها قابل للقسمة على الأعداد الأولية الصغرى. كل رقم يقبل القسمة على 2 ، العدد الوحيد الذي يقبل القسمة ، يكون مركبًا.

يمكن تقسيم كل رقم مركب إلى مجموعة فريدة من العوامل الأولية وأسسها.

أمثلة: 210 = 2 × 3 × 5 × 7495 = 3 2 × 5 1 × 11 1 أو 4500 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 = 2 2 × 3 2 × 5 3. هذا هو العامل الوحيد الممكن للعدد 210.

إذا كان عدد موجب N يقبل القسمة على أي عدد أولي أقل من

، الرقم N مركب.

تنص نظرية ويلسون على أنه لكل عدد أولي "p" ، [(ع + 1)! + 1] يقبل القسمة بالتساوي على "p". كما تبين أن العكس صحيح أيضًا في أن كل عدد صحيح "N" يقسم بالتساوي [(N + 1)! + 1] عدد أولي. الجمع بين هذه يؤدي إلى النظرية العامة الشهيرة التي مفادها أن الشرط الضروري والكافي أن يكون عددًا صحيحًا "N" عددًا أوليًا هو أن "N" يقسم بالتساوي [(n + 1)! + 1]. على العكس من ذلك ، إذا كانت "N" لا تقسم [(N + 1)! + 1] ، "N" مركب.

لسوء الحظ ، فإن الاستخدام العملي لهذه الطريقة ضئيل بسبب الأعداد الكبيرة التي تمت مواجهتها مع ارتفاع N.

يُقال أن الرقم N متطابق إذا كان هناك عددان صحيحان ، x و y ، ينتج عن ذلك التعبيران x 2 + Ny 2 و x 2 - Ny 2 مربعان كاملان. أصغر رقم مطابق معروف هو 5 وهو ما يحقق 41 2 + 5 (12 2) = 49 2 و 41 2-5 (12 2) = 31 2. ينتج عن استخدام مربع العدد السالب حل آخر هو 2 2 + 5 (1 2) = 3 2 و 2 2 - 5 (1 2) = (-1) 2. في حين أن هناك العديد من الأرقام المتطابقة ، فإن العثور عليها مهمة شاقة. غالبًا ما تكون التعبيرات x 2 + Ny 2 و x 2 - Ny 2 مفيدة في حل العديد من المشكلات في الرياضيات الترفيهية.

أرقام العد هي مجموعة الأعداد الصحيحة المألوفة ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11. التي نراها ونستخدمها كل يوم. (يتم تضمين 0 أحيانًا.) غالبًا ما يشار إلى مجموعة أرقام العد بالأرقام الطبيعية.

العدد التكعيبي هو القوة الثالثة لرقم كما في a x a x a = a 3. قد لا يتفاجأ أولئك المطلعون على تطور المربعات من إضافة أعداد فردية متتالية من اكتشاف كيفية تطور المكعبات من جمع الأرقام الفردية أيضًا. من الواضح أن المكعب n هو ببساطة n 3. يمكن اشتقاق المكعبات بطرق أخرى أيضًا:

مكعب أي عدد صحيح ، "n" ، هو مجموع سلسلة الأعداد الفردية التي تبدأ بـ (n 2 - n + 1) وتنتهي بـ (n 2 + n - 1). مثال: بالنسبة إلى n = 6 ، (n 2 - n + 1) = 31 و 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 6 3.

ن 3 (ن) 3 ن 3 (ن 2 - ن + 1) (ن 2 + ن - 1)
1 1 3 = 1 1 = 1(1)
2 2 3 = 8 3 + 5 = 2(1 + 2 + 1)
3 3 3 = 27 7 + 9 + 11 = 3(1 + 2 + 3 + 2 + 1)
4 4 3 = 64 13 + 15 + 17 + 19 = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1)
5 5 3 = 125 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 5(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21

اشطب كل رقم ثالث يعطينا

1. 2. 4. 5. 7. 8. 10. 11. 13. 14. 16. 17. 19. 20

1. 3. 7. 12. 19. 27. 37. 48. 61. 75. 91. 108. 127..147

اشطب كل رقم ثاني يعطينا

آخر سطر من الأرقام هو المكعبات الكاملة.

أول عشرة مكعبات هي 1 و 8 و 27 و 64 و 125 و 216 و 343 و 512 و 729 و 1000.

مجموع أول مكعبات n بدءًا من 1 هو 1 3 + 2 3 + 3 3 +. + ن 3.

والذي ، بشكل مفاجئ ، هو مربع الرقم الثلاثي التاسع ، المحدد بواسطة Tn = n (n + 1) / 2.

مجموع مكعبات أول n عدد فردي هو 2n 4 - n 2 = n 2 (2n 2-1).

مجموع مكعبات الأعداد الزوجية الأولى من n هو 2n 4 + 4n 3 + 2n 2 = 2n 2 (n + 1) 2.

مجموع مكعبات n الأولى ، 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 +. + n 3 يساوي مربع مجموع أول n من الأعداد الصحيحة. هكذا ، 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 +. + ن 3 = (1 + 2 + 3 + 4 +. + ن) 2.

مكعب أي عدد صحيح هو الفرق بين مربعات عددين صحيحين آخرين.

كل مكعب هو إما مضاعف 9 أو بجانب واحد.

يمكن أن ينتهي المكعب الكامل بأي من الأرقام من 0 إلى 9.

الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام هي مجموع مكعبات أرقامها: 153 ، 370 ، 371 ، 407.

أصغر عدد هو مجموع مكعبين بطريقتين مختلفتين. 1729 = 1 3 + 12 3 = 10 3 + 9 3.

ما أبعاد مكعبين لهما جوانب متكاملة يكون حجمهما المشترك مساويًا لطول حوافهما معًا. ما هي أبعاد المكعبات؟ س = 2 وص = 4.

لا يمكن أن يكون مجموع أي مكعبين مكعبًا.

يمكن أن يساوي مجموع سلسلة من ثلاثة مكعبات أو أكثر مكعبًا.

11 3 + 12 3 + 13 3 + 14 3 = 20 3

1134 3 + 1135 3 + . 2133 3 = 16,830 3

الجذر التكعيبي للرقم N هو الرقم "a" الذي ، عند ضربه في نفسه مرتين ، ينتج عنه الرقم N أو N = axaxa. لا توجد صيغة لاستخراج الجذر التكعيبي لرقم. يمكن الحصول عليها عن طريق طريقة القسمة المطولة أو طريقة تقدير بسيطة.

مجموع المصطلحات "n" للتقدم الحسابي مع الحد الأول يساوي مجموع أول الأعداد الطبيعية "n" والفرق المشترك لـ "n" هو n 3.

أولاً ، طريقة لتقريب الجذر التكعيبي لعدد ما إلى عدة منازل عشرية والتي عادةً ما تكون كافية للاستخدام اليومي.

1 - عمل تقدير للجذر التكعيبي لـ N = n بين الأعداد الصحيحة المتتالية a و b.

2 - احسب أ = ن - أ 3 ، ب = ب 3 - ن

مثال: أوجد الجذر التكعيبي لـ 146

1 - مع وجود 146 بين 125 و 216 ، لنفترض أن a = 5 و b = 6.

3 - ن = 5 + (6 × 21) / [6 × 21 + 5 × 70] = 5 + 126/476 = 5 + .264 = 5.2647

4 - الجذر التكعيبي لـ 146 هو 5.2656

طريقة أكثر دقة لتحديد الجذور التكعيبية الصحيحة.

لاحظ أن كل مكعب من الأرقام من 1 إلى 10 ينتهي برقم مختلف:

ن 3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10

ن 3. 1. 8. 27.64. 125. 216. 343. 512. 729. 1000

لاحظ أيضًا أن الرقم الأخير هو الجذر التكعيبي لجميع الحالات باستثناء 2 و 3 و 7 و 8. تؤدي المراجعة السريعة لهذه الاستثناءات إلى حقيقة أن هذه الأرقام الأربعة هي الفرق بين 10 والجذر التكعيبي ، أي 8 = 10 - 2 ، 7 = 10 - 3 ، 3 = 10 - 7 ، 2 = 10 - 8. كيف يمكن استخدام هذه المعلومات لتحديد الجذر التكعيبي لعدد؟

بالنظر إلى مكعب العدد بين 1 و 100 ، لنقل 300763.

يخبرنا الرقم الأخير أن الرقم الأخير من الجذر التكعيبي هو 10-3 = 7.

حذف آخر 3 أرقام من المكعب يترك الرقم 300.

يقع الرقم 300 بين مكعبي 6 و 7 في القائمة أعلاه.

سيكون الرقم الأول من الجذر التكعيبي هو أصغر هذين الرقمين ، وهو 6 في هذه الحالة.

إذن ، فإن الجذر التكعيبي لـ 30،763 يصبح 67.

الرقم الأخير من 4 هو الرقم الأخير من الجذر التكعيبي.

العدد 592 يقع بين 512 و 729 ، مكعبات 8 و 9.

إذن ، الجذر التكعيبي لـ 592،704 يصبح 84.

بالطبع ، هذا مفيد فقط إذا كنت تعرف مسبقًا أن المكعب هو مكعب مثالي ، أي أنه يحتوي على جذر تكعيبي متكامل.
أرقام دائرية

الرقم الدوري هو عدد من الخانات "n" التي عند ضربها في 1 ، 2 ، 3. n ، ينتج عنها نفس الأرقام ولكن بترتيب مختلف. على سبيل المثال ، الرقم 142،857 هو رقم دوري منذ 142،857 × 2 = 285،714 ، 142،857 × 3 = 428،571 ، 142،857 × 4 = 571،428 ، وهكذا. لا يُعرف فقط عدد الأرقام الدورية الموجودة.

الأرقام العشرية عبارة عن أرقام يتم التعبير عنها من خلال نظام الأرقام العشري أو الأساس 10 حيث يمثل كل رقم مضاعفًا لقوة ما من 10. وينطبق المصطلح بشكل أساسي على الأرقام التي تحتوي على أجزاء كسرية يشار إليها بعلامة عشرية. الرقم الأقل من 1 يسمى كسر عشري ، على سبيل المثال ، 673. الكسر العشري المختلط هو واحد يتكون من عدد صحيح وكسر عشري ، على سبيل المثال ، 37.937.

يمكن التعبير عن الأرقام المنطقية في شكل كسر ، 1/2 ، أو في صورة رقم عشري ، .50 ، 1/8 ، أو في صورة عدد عشري ، 125. من التجربة ، نعلم أن الكسر المعبر عنه في شكل عشري سينتهي إما بدون باقي مثل 3/8 = 0.375 أو 7/8 = 0.875 ، كرر نفس الرقم إلى ما لا نهاية مثل 1/3 = .3333333. أو 2/3 = 6666666. كرر سلسلة من الأرقام المختلفة بشكل متكرر مثل 1/27 = .037037037. أو 1/7 = .142857142857. أو كرر سلسلة من الأرقام بعد بعض الأرقام غير المتكررة مثل 1/12 = .0833333.

جميع القواسم الأولية تنتج كسور عشرية متكررة. غالبًا ما تنتج الكسور التي لها نفس المقام كسور عشرية بنفس الفترة وطول الفترة ولكن تبدأ الأرقام برقم مختلف في الفترة. على سبيل المثال ، 1/7 = .142857142857142857. 2/7 = .285714285714285714. 3/7 = .428571428571428571. 4/7 = .571428571428571428. 5/7 = .714285714285714285. و 6/7 = .857142857142857142. تنتج القواسم الأخرى فترتين متكررتين أو أكثر بترتيبات مختلفة. تحقق من تلك التي تحتوي على مقامات أولية هي 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، إلخ ، ثم 9 ، 12 ، 14 ، 16 ، 18 ، وما إلى ذلك ، وانظر ما هي النتائج. ماذا تلاحظ؟

فيما يلي خاصية أخرى مثيرة للاهتمام تتمثل في تكرار الكسور العشرية حتى طول الفترة الزمنية. خذ المعادل العشري 2/7 = .285714285714. فترة التكرار هي 285714. قسّم الفترة إلى مجموعتين من ثلاثة أرقام واجمعها معًا. النتيجة هي 999. افعل الشيء نفسه مع أي فترة عشرية أخرى متكررة وستكون النتيجة دائمًا سلسلة من التسعات. خذ 1/17 = .0588235294117647. إضافة 05882352 و 94117647 يعطيك 99999999.

جميع الكسور العشرية المكررة ، بغض النظر عن الفترة والطول ، هي أرقام منطقية. هذا يعني ببساطة أنه يمكن التعبير عنه على أنه حاصل قسمة عددين صحيحين. السؤال الذي يطرح نفسه كثيرًا هو كيفية تحويل عدد عشري متكرر ، والذي نعرف أنه منطقي ، إلى كسر.

يمكن تحويل الكسور العشرية المنطقية إلى كسور على النحو التالي:

بالنظر إلى العدد العشري N = 0.078078078.

اضرب N ب 1000 أو 1000N = 78.078078078.

. 999 N = 78 مما يجعل N = 78/999 = 26/333.

بالنظر إلى الرقم العشري N = .076923076923.

Muliply N بمقدار 1،000،000 أو 1،000،000 N = 76،923.0769230769230.

طرح العدد = .0769231769230.

. 999،999 N = 76،923 مما يجعل N = 76،923 / 999،999 = 1/13

أسهل طريقة لاشتقاق الكسر هي ببساطة وضع الأرقام المكررة على نفس العدد من 9. على سبيل المثال ، يتم تحويل العلامة العشرية المتكررة لـ .729729729729 إلى كسر 729/999 = 27/37.

خدعة أخرى حيث يتم تضمين الأصفار هي وضع الأرقام المكررة على نفس العدد من 9 مع العديد من الأصفار التي تلي الرقم 9 حيث توجد أصفار في الكسر العشري المكرر. على سبيل المثال ، يؤدي .00757575 إلى 075/9900 = 1/132.

الأعداد الناقصة هي جزء من عائلة الأعداد التي تكون إما ناقصة أو كاملة أو وفيرة.

الأرقام الناقصة ، dN ، هي الأرقام التي يكون فيها مجموع أجزاء القسمة (القواسم الصحيحة) ، sa (N) ، أقل من الرقم نفسه sa (N) & lt N (في لغة علماء الرياضيات اليونانيين ، قواسم a تم تعريف العدد N على أنه أي أعداد صحيحة أصغر من N والتي ، عند تقسيمها إلى N ، ينتج عنها أعداد صحيحة. ويشار إلى عوامل / مقسومات الرقم N ، ناقصًا الرقم نفسه ، على أنها أجزاء القسمة ، أو قسامات القسمة ، بشكل مكافئ ، يكون N أيضًا ناقصًا إذا كان مجموع s (N) لجميع مقسوماته أقل من 2N. يمكن بسهولة ملاحظة أنه باستخدام تجميع أجزاء القسمة ، sa (16) = 1 + 2 + 4 + 8 = 14 & lt N = 16 أثناء استخدام جميع القواسم ، s (16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 & lt 2N = 32 ، مما يجعل الرقم 16 ناقصًا تحت أي من التعريفين.

Sa (N) - & GT1..1..1..3..1. 6. 1. 7. 4. 8. 1. 16. 1. 10. 9. 15. 1. 21. 1. 22..11..12. 1. 36

1،2،3،4،5،7،8،9،10،11،13،14،15،16،17،19،21،22،23 كلها ناقصة.

العدد الأولي أو أي قوة لعدد أولي ناقص. قواسم pefect أو العدد الناقص ناقص.

الجذر الرقمي للرقم هو الرقم الفردي الذي ينتج عن التجميع المستمر لأرقام الرقم والأرقام الناتجة عن كل مجموعة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الرقم 7935. مجموع أرقامه هو 24. مجموع 2 و 4 هو 6 ، الجذر الرقمي لـ 7935. تستخدم الجذور الرقمية للتحقق من الجمع والضرب عن طريق طريقة تسمى طرح تسعة. على سبيل المثال ، تحقق من مجموع 378 و 942. DR لـ 378 هو 9 ، 3 + 7 + 8 = 18 ، 1 + 8 = 9 .. DR لـ 942 هو 6 ، 9 + 4 + 2 = 15 ، 1+ 5 = 6. إضافة 9 و 6 ينتج 15 ، DR لـ 15 هو 6 ، 1 + 5 = 6. مجموع 378 و 942 هو 1320. DR لـ 1320 هو 6. مع تساوي قيمتي DR النهائيتين ، تكون الإضافة صحيحة.

الكسور المصرية هي مقلوب الأعداد الصحيحة الموجبة حيث يكون البسط دائمًا واحدًا. غالبًا ما يشار إليها باسم كسور الوحدة. تم استخدامها حصريًا من قبل المصريين لتمثيل جميع أشكال الكسور. كان الكسران اللذان استخدماهما لا يحتويان على كسر وحدة هما 2/3 و 3/4. كانت الكسور الأخرى الوحيدة التي يبدو أن لديهم اهتمامًا كبيرًا بها هي تلك التي في الصورة 2 / n حيث كان n أي عدد فردي موجب.تحتوي بردية Rhind على قائمة من كسور الوحدات التي تمثل سلسلة من 2 / n للفرد n من 5 إلى 501. من غير الواضح لماذا وجدوا هذه الكسور 2 / n مهمة جدًا. يمكن اشتقاق هذه الكسور وغيرها من الكسور 2 / n من 2 / n = 1 / [n (n + 1) / 2] + 1 / [n + 1) / 2].

في عام 1202 ، أثبت ليوناردو فيبوناتشي أنه يمكن التعبير عن أي كسر عادي كمجموع لسلسلة من كسور الوحدة بعدد لا حصر له من الطرق. استخدم الطريقة الجشعة المسماة آنذاك لاشتقاق توسعات كسور الوحدة الأساسية. وقد وصف الطريقة الجشعة في كتابه Liber Abaci بأنه ببساطة طرح أكبر جزء من الوحدة أقل من جزء الوحدة المعطى وتكرار العملية حتى تبقى كسور الوحدة فقط. تبين لاحقًا أن الطريقة الجشعة ، عند تطبيقها على أي جزء م / ن ، ينتج عنها سلسلة لا تزيد عن "م" من الكسور. مثال سيوضح العملية بشكل أفضل.

اختصر الكسر 13/17 إلى مجموع كسور الوحدة. قسمة الكسر ينتج 7647. من كسور الوحدة 1/2 ، 1/3 ، 1/4 ، 1/5 ، وما إلى ذلك ، 1/2 هو الأكبر وهو أصغر من 13/17 لذلك نحسب 13/17 - 1/2 = 9/34 جعل 13/17 = 1/2 + 9/34. بالتكرار مع 9/34 ، لدينا 9/34 - 1/4 = 2/136 = 1/68 مما يجعل 13/17 = 1/2 + 1/4 + 1/68. بدلاً من ذلك ، قسّم البسط إلى المقام واستخدم العدد الصحيح الأكبر التالي كمقام جديد. 17/13 = 1.307 مما يجعل 2 مقام الكسر المراد طرحه من 13/17.

اختصر الكسر 23/37 إلى مجموع كسور الوحدة. 23/37 - 1/2 = 9/74 - 1/16 = 70/1184 - 1/17 = 6 / 20،128 - 1/3355 = 1/33،764،720 مما يجعل 23/37 = 1/2 + 1/16 + 1 / 17 + 1/3355 + 1 / 33.764.720.

هناك العديد من الطرق أو الخوارزميات التي تشتق كسور الوحدة لأي كسر م / ن. يمكن العثور على المزيد من المعلومات المتعلقة بكسور الوحدات على

خوارزميات الكسور المصرية على http://www1.ics.uci.edu/

يمكن تقسيم كسور الوحدة المشتقة عن طريق الطريقة الموضحة ، أو أي طريقة أخرى ، إلى كسور وحدة أخرى عن طريق الهوية 1 / أ = 1 / (أ + 1) + 1 / أ (أ + 1) ، المعروف أيضًا باسم فيبوناتشي. على سبيل المثال ، 1/2 = 1 / (2 + 1) + 1/2 (2 + 1) = 1/3 + 1/6. علاوة على ذلك ، 1/3 = 1 / (3 + 1) + 1/3 (3 + 1) = 1/4 + 1/12 و 1/6 = 1 / (6 + 1) + 1/6 (6+) 1) = 1/7 + 1/42 تنتج 1/2 = 1/4 + 1/7 + 1/12 + 1/42. في حين أن عدد كسور الوحدة التي يمكن اشتقاقها لأي كسر ما هو بالتالي لانهائي ، لا يوجد على ما يبدو أي إجراء معروف لاشتقاق سلسلة تحتوي على أقل عدد من كسور الوحدة أو أصغر مقام لها. .

يسمى الشكل متساويًا إذا كانت مساحته تساوي محيطه. يوجد بالضبط خمسة مثلثات متساوية هيرونيان: المثلثات التي لها أطوال أضلاع (5 ، 12 ، 13) ، (6 ، 8 ، 10) ، (6 ، 25 ، 29) ، (7 ، 15 ، 20) ، (9 ، 10) ، 17).

الأرقام المتكافئة هي الأرقام التي تكون فيها أجزاء القسمة (القواسم المناسبة بخلاف الرقم نفسه) متطابقة. على سبيل المثال ، 159 و 559 و 703 هي أرقام مكافئة لأن مجموع أجزاء القسمة لديهم هو 57.

و (159) = 1 و 3 و 53 و 159 حيث 1 + 3 + 53 = 57.

و (559) = 1 و 13 و 43 و 559 حيث 1 + 13 + 43 = 57.

و (703) = 1 و 19 و 37 و 703 حيث 1 + 19 + 37 = 57.

ربما يكون الرقم الأسهل تعريفًا ، الرقم الزوجي هو أي رقم يقبل القسمة على 2 بالتساوي.

يتم إعطاء الرقم الزوجي n بواسطة Ne = 2n.

مجموع مجموعة الأرقام الزوجية المتتالية "n" التي تبدأ بـ 2 معطاة بواسطة Se = n (n + 1).

مجموع مجموعة الأرقام الزوجية المتتالية التي تبدأ بـ n1 وتنتهي بـ n2 تُعطى بواسطة Se (n1-n2) = n2 ^ 2 - n1 ^ 2 + (n1 + n2) أو (n1 + n2) (1 + n1 - n2).

يتم الحصول على مجموع مربعات الأرقام الزوجية التي تبدأ بـ 2 ^ 2 بواسطة Se ^ 2 = (4n ^ 3 + 6n ^ 2 + 2n) / 3.

الرقم الزوجي مضروبًا في أي رقم ، أو مرفوعًا إلى أي قوة ، ينتج عنه رقم زوجي آخر.


ارقام مركبة

تصبح الأرقام التخيلية مفيدة للغاية عند دمجها مع أعداد حقيقية لعمل أرقام معقدة مثل 3 + 5 ط أو 6−4i

محلل الطيف

تلك العروض الرائعة التي تراها عند تشغيل الموسيقى؟ نعم ، يتم استخدام الأعداد المركبة لحسابها! استخدام شيء يسمى "تحويلات فورييه".

في الواقع ، يمكن عمل العديد من الأشياء الذكية باستخدام الصوت باستخدام الأرقام المعقدة ، مثل تصفية الأصوات وسماع الهمسات في حشد من الناس وما إلى ذلك.

إنه جزء من موضوع يسمى "معالجة الإشارة".

كهرباء

التيار المتردد (التيار المتردد) تتغير الكهرباء بين الموجب والسالب في موجة جيبية.

عندما نجمع بين تيارات تيار متردد ، فقد لا يتطابقان بشكل صحيح ، ويمكن أن يكون كذلك صعب جدا لمعرفة التيار الجديد.

لكن استخدام الأعداد المركبة يجعل إجراء العمليات الحسابية أسهل كثيرًا.

والنتيجة قد يكون لها تيار "خيالي" ، لكنها قد تؤذيك!

مجموعة ماندلبروت

مجموعة ماندلبروت الجميلة (جزء منها مصور هنا) مبنية على الأعداد المركبة.

معادلة من الدرجة الثانية

المعادلة التربيعية التي لها استخدامات عديدة ،
يمكن أن يعطي نتائج تتضمن أرقامًا تخيلية

يستخدم العلم وميكانيكا الكم والنسبية أيضًا الأعداد المركبة.


موارد الوحدة

كتاب مرجع الطالب الصفحة 6

كتاب مرجع الطالب الصفحات 216-219

التدوين الأسي لقوى العدد 10

كتاب مرجع الطالب الصفحات 4-6 ، 376

كتاب مرجع الطالب الصفحة 8

إرم التدوين العلمي
(كتاب مرجع الطالب، الصفحة 329)

الأقواس في جمل الأرقام

كتاب مرجع الطالب الصفحات 222-223

اسم هذا الرقم
(كتاب مرجع الطالب، الصفحة 325)

كتاب مرجع الطالب صفحة 223

جولة أمريكية: الرسوم البيانية الخطية

كتاب مرجع الطالب صفحة 124

كتاب مرجع الطالب الصفحات 32 ، 66-67 ، 91

اسم هذا الرقم
(كتاب مرجع الطالب، الصفحة 325)

جمع الأعداد الموجبة والسالبة

كتاب مرجع الطالب الصفحات 81 ، 91-94

كتاب مرجع الطالب الصفحات 231-232

طرح الأعداد الموجبة والسالبة

كتاب مرجع الطالب الصفحات 92-94

استخدام قاعدة الشريحة للجمع والطرح
(الطبعة الثالثة)

كتاب مرجع الطالب الصفحات 92-94 ، 221 ، 223

ممارسة الآلة الحاسبة: العمل مع الأعداد السالبة

كتاب مرجع الطالب الصفحات 5-9

الرياضيات اليومية لأولياء الأمور: ما تحتاج إلى معرفته لمساعدة طفلك على النجاح

مشروع الرياضيات في مدرسة جامعة شيكاغو

مطبعة جامعة شيكاغو


جمع وطرح الأعداد الموجبة والسالبة


غالبًا ما نشعر بالإحباط عندما نسمع الطلاب يقولون "سلبيتان تؤديان إلى ميزة" ، لأنها تظهر عبارة تم تعلمها عن ظهر قلب وغالبًا ما يساء تطبيقها. على سبيل المثال ، سمعنا جميعًا الطلاب يقولون أشياء مثل "ناقص أربعة ناقص اثنين يساوي ستة ، لأن اثنين من السالب يمثلان علامة زائد!"

تم تصميم نماذج تدريس الجمع والطرح للأرقام الموجبة والسالبة التي نشاركها في هذه المقالة لتؤدي إلى الفهم. سنقدم اقتراحات حول كيفية استخدام اللغة بدقة من أجل دعم فهم التمييز بين العمليات والأرقام الموجهة.

هناك أربعة احتمالات يجب أن نكون قادرين على فهمها من خلال نماذجنا:
إضافة رقم موجب
إضافة رقم سالب
طرح رقم موجب
طرح رقم سالب

منطاد
النموذج الأول الذي نقدمه هو منطاد الهواء الساخن ، كما هو موضح في لعبة Up، Down، Flying Around.
في هذا النموذج ، نمثل الأرقام الموجبة على أنها "نفث" من الهواء الساخن ، والأرقام السالبة كأكياس الرمل.

نموذج عملية حسابية حصيلة
مضيفا نفث من الهواء الساخن إضافة رقم موجب زيادة
(في الارتفاع)
مضيفا أكياس الرمل إضافة رقم سالب تخفيض
(في الارتفاع)
طرح نفث الهواء الساخن طرح رقم موجب تخفيض
(في الارتفاع)
طرح أكياس الرمل طرح رقم سالب زيادة
(في الارتفاع)

يمكننا الآن وصف عملية حسابية مثل 4 + (-2) - (+5) - (-1) + (+7) بالطريقة الآتية:

يبدأ البالون الخاص بي على ارتفاع +4. أقوم بإضافة كيسين من الرمل (أسفل اثنين) ، وطرح خمس نفث من الهواء الساخن (أسفل خمسة) ، وطرح كيس رمل واحد (أعلى واحد) ، ثم أضف سبع نفث من الهواء الساخن (أعلى سبعة). ينتهي البالون الخاص بي على ارتفاع +5.

في النهاية ، نريد أن يقرأ الطلاب العملية الحسابية على أنها "أربعة جمع سالب اثنين ، اطرح موجب خمسة ، اطرح سالب واحد ، أضف موجب سبعة" (أو استبدال كلمات العملية بجمع / طرح بعلامة زائد / ناقص ، ولكن يتم الإصرار دائمًا على الإيجابية والسلبية للإشارات المصاحبة للأرقام) ، والتفكير في أنفسهم "أربعة ، أسفل اثنين ، أسفل خمسة ، أعلى واحد ، أعلى سبعة" أو ما يعادلها.

شكرا ل Alan Mesfin الذي اقترح بديلاً للربط على بالونات الهيليوم (كما في فيلم "Up") بدلاً من إضافة نفث من الهواء الساخن لتمثيل إضافة رقم موجب.

نموذج السعادة
تستخدم ماري كلير نهجًا مشابهًا:

"أعتقد أن الجمع والطرح بالأرقام السالبة أمر منطقي.

لدي خط أرقام كبير ($ ^ - 10 $ إلى $ 10 $ ، على سبيل المثال) أعلى أو على طول الجزء العلوي من لوح المعلومات الخاص بي. مع الطلاب ، نقوم بالعصف الذهني للأشياء الإيجابية والأشياء السلبية. نتحدث عما تشعر به إذا أعطاك أحدهم شيئًا إيجابيًا ، أو إذا سلبه أحدهم. نتحدث عما تشعر به إذا أعطاك أحدهم شيئًا سلبيًا ، أو إذا سلبه أحدهم.

أشعر أنني بحالة جيدة اليوم ، ربما أحصل على دولارين (مشيرًا إلى خط الأعداد) على مقياس السعادة هذا.
كيف سأشعر إذا أعطاني شخص ما شوكولاتة بقيمة 4 دولارات (وهو أمر إيجابي عام!)؟ نعم ، سأرتفع 4 دولارات إلى 6 دولارات.
الآن كيف سيكون الأمر إذا قام أحدهم باحتجازي (سلبي)؟ نعم ، خفض 1 دولار إلى 5 دولارات.
ماذا لو أخذت 7 دولارات من قطعة الشوكولاتة الخاصة بي؟ كيف سأشعر؟ حزين؟ نعم ، أحتاج إلى خفض 7 دولارات إلى 2 دولار ^ - 2 دولار.
ماذا لو أعطيتني 3 دولارات للاحتجاز؟ إلخ.

في مرحلة ما ، عادةً ما أجعل جميع الطلاب يشيرون إلى الاتجاه الذي يجب أن أتحرك فيه على طول المقياس ، لذلك من السهل معرفة من ليس لديه الفكرة بعد. بمجرد أن يصبح الفصل واثقًا ، عادةً ما أبدأ في تسجيل بعض العمليات الحسابية على السبورة ، أو جعل الطالب يقوم بذلك من أجلي! عادة ما أتركهم يقترحون حركات من شأنها أن تزيل سعادتي من النطاق الذي تصادف وجوده على خط الأعداد الخاص بي.

في النهاية ، قبل أن أطلب منهم إجراء الكثير من الأسئلة + و- القياسية ، نبتكر مشكلة مثل:
$6 - (^+7 )+ (^-2) -(^+1) - (^-4) + (^+9) + (-3) -(^+1) - (^-7) - (^+4) - (^-8) =$ ?
لنفعله معًا. "

نموذج كرة القدم
في هذا النموذج ، نمثل الأرقام الإيجابية كلاعبين كرة قدم جيدين يسجلون الكثير من الأهداف ، وأرقامًا سلبية كلاعبين سيئين يسجلون أهدافًا بأنفسهم. عندما يحين وقت الانتقالات ، يمكننا إضافة لاعبين جدد إلى فريقنا ، أو إخراج اللاعبين من الفريق.

نموذج عملية حسابية حصيلة
شراء لاعبين جيدين إضافة رقم موجب زيادة
(في مركز الدوري)
شراء لاعبين سيئين إضافة رقم سالب تخفيض
(في مركز الدوري)
قم ببيع اللاعبين الجيدين طرح رقم موجب تخفيض
(في مركز الدوري)
بيع اللاعبين السيئين طرح رقم سالب زيادة
(في مركز الدوري)

تخيل أننا اشترينا 5 لاعبين جيدين ، وباعنا لاعبين جيدين ، واشترنا 3 لاعبين سيئين ، وباعنا 7 لاعبين سيئين. يمكننا كتابة العملية الحسابية التالية لمعرفة التأثير الكلي:
(^+5) - (^+2) + (^-3) - (^-7)$
لذلك بشكل عام ، نقوم بتحسين وضعنا بمقدار 7.

في كل هذه النماذج ، نستخدم تشبيهًا حيث تؤدي إضافة شيء إيجابي أو طرح شيء سلبي إلى تحسين الموقف (مكان أكثر سعادة ، مركز دوري أعلى ، ارتفاع البالون).
في بعض النواحي ، لا يهم النموذج الذي تستخدمه ، طالما أنك متحذلق بشأن استخدام اللغة الصحيحة لفصل العمليات عن الأرقام الموجهة ، وربط النموذج بالحسابات. ننصح باختيار نموذج واحد (أو اثنين على الأكثر) في البداية ، لتجنب إرباك الطلاب بالكثير من الصور المتضاربة.

تستخدم مشكلة الحساب المصرفي الغريب سياق إيداع وسحب الأموال ، ولكن ليس لديها مثل هذا القياس القوي لشرح جميع الاحتمالات الأربعة الواردة في الجداول أعلاه. ومع ذلك ، يمكن استخدامه لتقديم مفهوم الرقم الموجه ، ثم استخدامه مع نموذج آخر.

أخيرًا ، نقدم طريقة أكثر تجريدية للنظر في جمع وطرح الأرقام الموجبة والسالبة ، دون الاعتماد على القياس:

نموذج العدادات
تم تقديم هذا النموذج إلينا بواسطة Don Steward.

يمكن أن يُطلب من الطلاب اقتراح بعض الاحتمالات الأخرى.
هل يمكنهم شرح سبب تمثيلهم جميعًا 4 دولارات؟


لنبدأ & acirc & # 128 & # 153s بتخطيطها جميعًا على نفس خط الأعداد.

خط الأعداد به أرقام موجبة على يمين الصفر وأرقام سالبة على يسار الصفر. هذا يعني أن الأرقام الموجودة في أقصى اليمين تكون دائمًا أكبر من تلك الموجودة على اليسار. من حيث درجة الحرارة ، تكون أبرد درجة حرارة (أقل رقم) على طول الطريق إلى اليسار ، ودرجة الحرارة الأكثر دفئًا (الرقم الأكبر) على طول الطريق إلى اليمين.

يمكننا الآن سرد درجات الحرارة من الأبرد إلى الأكثر دفئًا:

صوفيا غير صحيحة. من الشائع أن يقارن الطلاب الأرقام السالبة كما لو كانت موجبة ويفترضون أن الرقم الأكبر هو الرقم الأكبر. ومع ذلك ، فإن $ -23 $ يقع على يسار $ -14 $ على خط الأعداد ، وبالتالي فهو أقل من $ -14 $. وهكذا كان -23 دولارًا lt -14 دولارًا وكان أنكوراج أبرد.

مرة أخرى ، أبرد درجة حرارة تقابل أقل رقم. لذا فإن أعلى درجة حرارة تتوافق مع العدد الأكبر. منذ -55 دولارًا gt -89 دولارًا ، أصبح متوسط ​​درجة الحرارة على المريخ أكثر دفئًا من أبرد درجة حرارة على الأرض.


2.5 & ndash التعبيرات

التعبيرات الأساسية في Lua هي كما يلي:

يتم شرح الأرقام والسلاسل الحرفية في & يتم شرح متغيرات القسم 2.1 في & يتم شرح تعريفات وظائف القسم 2.3 في & يتم شرح استدعاءات الوظائف في القسم 2.5.8 ويتم شرح مُنشئي الجدول في القسم 2.5.7. لا يمكن استخدام تعبيرات Vararg ، التي يُشار إليها بثلاث نقاط (".") ، إلا عندما تكون مباشرة داخل دالة vararg يتم شرحها في & section2.5.9.

تشتمل العوامل الثنائية على العوامل الحسابية (انظر والقسم 2.5.1) ، والعوامل العلائقية (انظر والقسم 2.5.2) ، والعوامل المنطقية (انظر والقسم 2.5.3) ، ومشغل التسلسل (انظر والقسم 2.5.4). يتألف المشغلون الأحاديون من أحادي ناقص (انظر & القسم 2.5.1) ، أحادي ليس (انظر & القسم 2.5.3) ، و unary عامل الطول (انظر القسم 2.5.5).

يمكن أن ينتج عن كل من استدعاءات الوظائف وتعبيرات vararg قيم متعددة. إذا تم استخدام تعبير كبيان (ممكن فقط لاستدعاءات الدوال (انظر & القسم 2.4.6)) ، عندئذٍ يتم تعديل قائمة الإرجاع الخاصة به إلى عناصر صفرية ، وبالتالي تجاهل جميع القيم التي تم إرجاعها. إذا تم استخدام تعبير باعتباره العنصر الأخير (أو الوحيد) في قائمة التعبيرات ، فلن يتم إجراء أي تعديل (ما لم يتم وضع الاستدعاء بين قوسين). في كل السياقات الأخرى ، يقوم Lua بضبط قائمة النتائج لعنصر واحد ، مع تجاهل كل القيم باستثناء الأول.

دائمًا ما ينتج عن أي تعبير محاط بأقواس قيمة واحدة فقط. وبالتالي ، فإن (f (x ، y ، z)) هي دائمًا قيمة واحدة ، حتى إذا كانت f تُرجع عدة قيم. (قيمة (f (x، y، z)) هي أول قيمة تُرجعها f أو لا شيء إذا لم تُرجع f أية قيم.)

2.5.1 & ndash العمليات الحسابية

يدعم Lua العوامل الحسابية المعتادة: الثنائي + (الإضافة) ، - (الطرح) ، * (الضرب) ، / (القسمة) ،٪ (النمط) ، ^ (الأس) والأحادي - (النفي). إذا كانت المعاملات عبارة عن أرقام أو سلاسل يمكن تحويلها إلى أرقام (انظر القسم 2.2.1) ، فإن كل العمليات لها المعنى المعتاد. يعمل الأُس على أي أس. على سبيل المثال ، x ^ (- 0.5) يحسب معكوس الجذر التربيعي لـ x. يتم تعريف Modulo على أنه

أي أن باقي القسمة هو الذي يدور حاصل القسمة باتجاه سالب ما لا نهاية.

2.5.2 & ndash العلائقية العوامل

العوامل العلائقية في Lua هي

ينتج عن هؤلاء المشغلين دائمًا خاطئة أو حقيقية.

تقارن المساواة (==) أولاً نوع معاملاتها. إذا كانت الأنواع مختلفة ، فالنتيجة هي خاطئة. خلاف ذلك ، تتم مقارنة قيم المعاملات. تتم مقارنة الأرقام والسلاسل بالطريقة المعتادة. تتم مقارنة الكائنات (الجداول ، وبيانات المستخدم ، والخيوط ، والوظائف) بواسطة المرجعي: كائنان يعتبران متساويين فقط إذا كانا نفس موضوع. في كل مرة تقوم فيها بإنشاء كائن جديد (جدول أو بيانات مستخدم أو مؤشر ترابط أو وظيفة) ، يختلف هذا الكائن الجديد عن أي كائن موجود سابقًا.

يمكنك تغيير الطريقة التي يقارن بها Lua الجداول وبيانات المستخدم باستخدام طريقة "eq" (راجع القسم 2.8).

قواعد التحويل & القسم 2.2.1 لا تنطبق على مقارنات المساواة. وبالتالي ، "0" == 0 يقيّم إلى خاطئة، و t [0] و t ["0"] تشير إلى إدخالات مختلفة في الجدول.

= هو بالضبط نفي المساواة (==).

يعمل مشغلو النظام على النحو التالي. إذا كانت كلتا الوسيطتين أرقام ، فسيتم مقارنتهما على هذا النحو. وإلا ، إذا كانت كلتا الوسيطتين عبارة عن سلاسل ، فسيتم مقارنة قيمهما وفقًا للإعدادات المحلية الحالية. بخلاف ذلك ، يحاول Lua استدعاء الأسلوب "lt" أو "le" (انظر & القسم 2.8). تتم ترجمة المقارنة a & gt b إلى b & lt a ويتم ترجمة a & gt = b إلى b & lt = a.

2.5.3 & ndash العوامل المنطقية

العوامل المنطقية في Lua هي و, أو، و ليس. مثل هياكل التحكم (انظر & القسم 2.4.4) ، يأخذ جميع المشغلين المنطقيين في الاعتبار كليهما خاطئة و لا شيء كاذب وأي شيء آخر صحيح.

عامل النفي ليس يعود دائما خاطئة أو حقيقية. عامل الاقتران و تُرجع الوسيطة الأولى إذا كانت هذه القيمة خاطئة أو لا شيء غير ذلك، و يعيد الحجة الثانية. عامل الفصل أو تُرجع الوسيطة الأولى إذا كانت هذه القيمة مختلفة عن لا شيء و خاطئة غير ذلك، أو يعيد الحجة الثانية. كلاهما و و أو استخدام تقييم مختصر أي أن المعامل الثاني يتم تقييمه فقط عند الضرورة. وهنا بعض الأمثلة:

(في هذا الدليل ، تشير - & gt إلى نتيجة التعبير السابق.)

2.5.4 وندش التسلسل

يُشار إلى عامل سلسلة السلسلة في Lua بنقطتين (".."). إذا كان كلا المعاملين عبارة عن سلاسل أو أرقام ، فسيتم تحويلهما إلى سلاسل وفقًا للقواعد المذكورة في & section2.2.1. خلاف ذلك ، تسمى طريقة "concat" (انظر & القسم 2.8).

2.5.5 & ndash طول المشغل

يتم الإشارة إلى عامل الطول بواسطة عامل التشغيل الأحادي #. طول السلسلة هو عدد وحدات البايت الخاصة بها (أي المعنى المعتاد لطول السلسلة عندما يكون كل حرف بايت واحدًا).

يتم تعريف طول الجدول t على أنه أي فهرس عدد صحيح n بحيث لا يكون t [n] غير صحيح لا شيء و t [n + 1] هو لا شيء علاوة على ذلك ، إذا كانت t [1] هي لا شيء، n يمكن أن تكون صفرًا. بالنسبة للمصفوفة العادية ، ذات القيم غير الصفرية من 1 إلى n ، يكون طولها هو بالضبط n ، مؤشر قيمتها الأخيرة. إذا كانت المصفوفة بها "ثقوب" (أي ، لا شيء القيم بين القيم الأخرى غير الصفرية) ، فيمكن أن يكون #t أيًا من المؤشرات التي تسبق a مباشرة لا شيء قيمة (أي ، قد تنظر في أي شيء من هذا القبيل لا شيء القيمة كنهاية المصفوفة).

2.5.6 و ndash أسبقية

أسبقية عامل التشغيل في Lua تتبع الجدول أدناه ، من الأولوية الأدنى إلى الأعلى:

كالعادة ، يمكنك استخدام الأقواس لتغيير أسبقيات التعبير. إن عوامل التسلسل ('..') والأس ('^') هي عوامل ترابطية صحيحة. يتم ترك جميع عوامل التشغيل الثنائية الأخرى ترابطية.

2.5.7 & ndash الجدول بانيو

مُنشئو الجدول عبارة عن تعبيرات تُنشئ الجداول. في كل مرة يتم فيها تقييم المنشئ ، يتم إنشاء جدول جديد. يمكن استخدام المُنشئ لإنشاء جدول فارغ أو لإنشاء جدول وتهيئة بعض حقوله. الصيغة العامة للمُنشئين هي

كل حقل بالشكل [exp1] = exp2 يضيف إلى الجدول الجديد إدخالًا مع مفتاح exp1 وقيمة exp2. حقل اسم النموذج = exp يكافئ ["name"] = exp. أخيرًا ، حقول النموذج exp تكافئ [i] = exp ، حيث أنا عبارة عن أعداد صحيحة رقمية متتالية ، بدءًا من 1. لا تؤثر الحقول في التنسيقات الأخرى على هذا الحساب. على سبيل المثال،

إذا كان الحقل الأخير في القائمة يحتوي على النموذج exp وكان التعبير عبارة عن استدعاء دالة أو تعبير vararg ، فإن جميع القيم التي يتم إرجاعها بواسطة هذا التعبير تدخل القائمة على التوالي (انظر & القسم 2.5.8). لتجنب ذلك ، قم بإحاطة استدعاء الوظيفة أو تعبير vararg بين قوسين (انظر & القسم 2.5).

يمكن أن تحتوي قائمة الحقول على فاصل لاحق اختياري ، كوسيلة ملائمة للتعليمات البرمجية المُنشأة آليًا.

2.5.8 & ndash مكالمات الوظيفة

تحتوي استدعاء الوظيفة في Lua على الصيغة التالية:

في استدعاء دالة ، يتم تقييم البادئة الأولى و args. إذا كانت قيمة prefixexp من النوع وظيفة، ثم يتم استدعاء هذه الوظيفة بالوسيطات المعطاة. وبخلاف ذلك ، يتم استدعاء metamethod البادئة "call" ، مع وجود معلمة أولية قيمة prefixexp ، متبوعة بوسائط الاستدعاء الأصلية (انظر & section2.8).

يمكن استخدامها لاستدعاء "الأساليب". مكالمة v: الاسم (أرجس) هو سكر نحوي لـ v.name (v ،أرجس) ، باستثناء أن v يتم تقييمه مرة واحدة فقط.

تحتوي الحجج على النحو التالي:

يتم تقييم جميع التعبيرات الوسيطة قبل الاستدعاء. دعوة من النموذج f <مجالات> هو سكر نحوي لـ f (<مجالات>) أي أن قائمة الوسائط عبارة عن جدول جديد واحد. دعوة من النموذج f 'خيط'(أو f "خيط"أو f [[خيط]]) هو سكر نحوي لـ f ('خيط') أي أن قائمة المعطيات عبارة عن سلسلة حرفية واحدة.

كاستثناء لبناء جملة التنسيق الحر لـ Lua ، لا يمكنك وضع فاصل أسطر قبل "(" في استدعاء دالة. يتجنب هذا التقييد بعض الالتباسات في اللغة. إذا كتبت

قد يرى لوا ذلك على أنه بيان واحد ، a = f (g) .x (a). لذلك ، إذا كنت تريد عبارتين ، فيجب إضافة فاصلة منقوطة بينهما. إذا كنت تريد بالفعل استدعاء f ، فيجب عليك إزالة فاصل الأسطر قبل (g).

استدعاء من نموذج العودة الوظيفة يسمى أ نداء الذيل. تنفذ لوا مكالمات الذيل المناسبة (أو العودية الذيل المناسب): في استدعاء الذيل ، تعيد الوظيفة المستدعاه استخدام إدخال المكدس لوظيفة الاستدعاء. لذلك ، لا يوجد حد لعدد مكالمات الذيل المتداخلة التي يمكن للبرنامج تنفيذها. ومع ذلك ، فإن استدعاء الذيل يمحو أي معلومات تصحيح حول وظيفة الاستدعاء. لاحظ أن استدعاء الذيل يحدث فقط مع بناء جملة معين ، حيث يكون ملف إرجاع يحتوي على استدعاء دالة واحد كوسيطة ، وهذا النحو يجعل الدالة الاستدعاء ترجع بالضبط عوائد الدالة التي تم استدعاؤها. لذلك ، لا يُعد أي من الأمثلة التالية مكالمات ذيل:

2.5.9 & ndash تعريفات الوظيفة

صيغة تعريف الوظيفة هي

يبسط السكر النحوي التالي تعريفات الوظائف:

(هذا يحدث فرقًا فقط عندما يحتوي جسم الوظيفة على إشارات إلى f.)

تعريف الوظيفة هو تعبير قابل للتنفيذ ، يكون لقيمته نوع وظيفة. عندما تقوم Lua بتجميع جزء مسبقًا ، يتم أيضًا تجميع جميع هيئاتها الوظيفية مسبقًا. بعد ذلك ، عندما ينفذ Lua تعريف الوظيفة ، تكون الوظيفة تم إنشاء مثيل له (أو مغلق). هذا المثال الوظيفة (أو إنهاء) هي القيمة النهائية للتعبير. يمكن أن تشير مثيلات مختلفة لنفس الوظيفة إلى متغيرات محلية خارجية مختلفة ويمكن أن تحتوي على جداول بيئة مختلفة.

تعمل المعلمات كمتغيرات محلية يتم تهيئتها باستخدام قيم الوسيطات:

عندما يتم استدعاء دالة ، يتم ضبط قائمة الوسائط على طول قائمة المعلمات ، ما لم تكن الوظيفة متغيرة أو دالة فارارج، والتي يشار إليها بثلاث نقاط (".") في نهاية قائمة المعلمات الخاصة بها. لا تقوم دالة vararg بضبط قائمة الوسائط الخاصة بها بدلاً من ذلك ، فهي تجمع جميع الوسائط الإضافية وتوفرها للدالة من خلال تعبير vararg، والتي تتم كتابتها أيضًا في صورة ثلاث نقاط. قيمة هذا التعبير هي قائمة بجميع الوسائط الإضافية الفعلية ، على غرار دالة ذات نتائج متعددة. إذا تم استخدام تعبير vararg داخل تعبير آخر أو في منتصف قائمة التعبيرات ، فسيتم تعديل قائمة الإرجاع الخاصة به إلى عنصر واحد. إذا تم استخدام التعبير كعنصر أخير في قائمة التعبيرات ، فلن يتم إجراء أي تعديل (ما لم يكن هذا التعبير الأخير محاطًا بأقواس).

كمثال ، ضع في اعتبارك التعريفات التالية:

بعد ذلك ، لدينا التعيين التالي من الوسائط إلى المعلمات وإلى تعبير vararg:

يتم إرجاع النتائج باستخدام إرجاع بيان (انظر القسم 2.4.4). إذا وصل عنصر التحكم إلى نهاية دالة دون مواجهة ملف إرجاع البيان ، ثم ترجع الدالة بدون نتائج.

ال القولون يستخدم النحو للتعريف أساليب، أي الوظائف التي لها معلمة ذاتية إضافية ضمنية. وهكذا ، فإن البيان


5.1: تفسير الأعداد السالبة - الرياضيات

يمكنك تصور الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة باستخدام خط الأعداد.

من المهم أن تفهم خط الأعداد لأنه يوضح لك أن كل رقم له نقيض. قال عالم الرياضيات الألماني الشهير ليوبولد كرونيكر ذات مرة: & quot ؛ جعل الله الأعداد الصحيحة الموجبة ، وكل شيء آخر هو عمل الإنسان. & quot ؛ لماذا إذن خلطنا بين الأشياء والأرقام السالبة؟ كما اتضح ، هناك العديد والعديد من المشاكل اليومية حيث تكون الأرقام السالبة مفيدة. على سبيل المثال ، يمكننا زيادة الوزن وفقدانه.

يمكن أن ترتفع درجة الحرارة أو تنخفض. يمكن أن تكون المواقع على الأرض فوق مستوى سطح البحر أو تحت مستوى سطح البحر.

الرقم الصحيح هو عدد صحيح يمكن أن يكون أكبر من 0 ويسمى موجبًا أو أقل من 0 ويسمى سالب. الصفر ليس موجبا ولا سلبيا. يُطلق على عددين صحيحين على نفس المسافة من الأصل في اتجاهين متعاكسين الأضداد.

توضح الأسهم الموجودة على طرفي خط الأعداد أن الخط يمتد إلى ما لا نهاية في الاتجاهين السالب والموجب. لا يتعين علينا تضمين علامة موجبة (+) عندما نكتب أرقامًا موجبة. ومع ذلك ، يتعين علينا تضمين العلامة السالبة (-) عندما نكتب أرقامًا سالبة. يطلق على الصفر الأصل ، وهو ليس سالبًا ولا موجبًا.

لكل عدد صحيح موجب ، يوجد عدد صحيح سالب على مسافة متساوية من الأصل. يسمى العددان الصحيحان اللذان يقعان على نفس المسافة من الأصل في اتجاهين متعاكسين الأضداد. على سبيل المثال ، فإن & quotnegative 5 & quot هو عكس & quotpositive 5. & quot

كل رقم على خط الأعداد له أيضًا قيمة مطلقة ، وهو ما يعني ببساطة مدى بُعد هذا الرقم عن الصفر. رمز القيمة المطلقة هو خطان عموديان. نظرًا لأن الأضداد هي نفس المسافة من الأصل ، فإن لها نفس القيمة المطلقة. على سبيل المثال ، القيمة المطلقة لـ & quotnegative 10 & quot هي عشرة ، والقيمة المطلقة لـ & quotpositive 10 & quot هي أيضًا 10. القيمة المطلقة للصفر هي صفر.


على الرغم من أن العلامات تبدو الآن مألوفة مثل الأبجدية أو الأرقام الهندية والعربية ، إلا أنها ليست من العصور القديمة. فالعلامة الهيروغليفية المصرية للإضافة ، على سبيل المثال ، تشبه زوج من الأرجل يسيران في الاتجاه الذي كُتب فيه النص (يمكن كتابة المصرية إما من اليمين إلى اليسار أو من اليسار إلى اليمين) ، مع الإشارة العكسية التي تشير إلى الطرح: [3 ]

تُظهِر مخطوطات نيكول أورسمي من القرن الرابع عشر ما قد يكون أحد أقدم استخدامات + كعلامة زائد. [4]

في أوائل القرن الخامس عشر في أوروبا ، كان الحرفان "P" و "M" مستخدمين بشكل عام. [5] [6] الرموز (P مع خط علوي ، p̄ ، لـ بيك (المزيد) ، أي ، زائد ، و M مع الخط الزائد ، m̄ ، لـ انا لا (أقل) ، أي ناقص) ظهر لأول مرة في ملخص لوكا باتشيولي للرياضيات ، الخلاصة الحسابية ، الهندسة ، التناسب والتناسبطبع ونشر لأول مرة في البندقية عام 1494. [7]

علامة + هي تبسيط لللاتينية: وآخرون (يمكن مقارنته بتطور العطف & أمبير). [8] يمكن اشتقاق - من التلدة المكتوبة فوق ⟨m⟩ عند استخدامها للإشارة إلى الطرح أو قد تأتي من نسخة مختصرة من الحرف ⟨m⟩ نفسه. [9]

في أطروحته عام 1489 ، أشار يوهانس ويدمان إلى الرموز - و + as ناقص و مير (اللغة الألمانية الحديثة مهر "أكثر"): "was - ist، das ist minus، und das + ist das mer". [10] لم يتم استخدامها للجمع والطرح في الرسالة ، ولكن تم استخدامها للإشارة إلى الفائض والعجز ، حيث ظهر أول استخدام لها بالمعنى الحديث في كتاب هنريكوس غراماتيوس عام 1518. [11] [12]

قدم روبرت ريكورد ، مصمم علامة التساوي ، زائد وناقص إلى بريطانيا في 1557 في مشحذ ويت: [13] "هناك علامتان أخريان يتم استخدامهما في كثير من الأحيان بحيث يتم استخدام العلامة الأولى + وتتحدث أكثر: يتم صنع الأخرى - وتحدث أقل."

علامة الجمع ، + ، هي عامل ثنائي يشير إلى الجمع ، كما في 2 + 3 = 5. يمكن أن يكون أيضًا بمثابة عامل تشغيل أحادي يترك معامله دون تغيير (+x يعني نفس x ). يمكن استخدام هذا الترميز عندما يكون مطلوبًا للتأكيد على إيجابية الرقم ، خاصةً على النقيض من الأرقام السالبة (+5 مقابل −5).

يمكن أن تشير علامة الجمع أيضًا إلى العديد من العمليات الأخرى ، اعتمادًا على النظام الرياضي قيد الدراسة. العديد من الهياكل الجبرية ، مثل الفراغات المتجهية وحلقات المصفوفة ، لها بعض العمليات التي تسمى الإضافة أو تكافئها. [14] من المعتاد استخدام علامة الجمع للإشارة فقط إلى العمليات التبادلية. [15]

يستخدم الرمز أيضًا في الكيمياء والفيزياء. لمزيد من المعلومات ، انظر § استخدامات أخرى.

للعلامة الناقص - - ثلاثة استخدامات رئيسية في الرياضيات: [16]

  1. عامل الطرح: عامل ثنائي للإشارة إلى عملية الطرح ، كما في 5 - 3 = 2. الطرح هو معكوس الجمع. [2]
  2. الوظيفة التي تكون قيمتها لأي وسيطة حقيقية أو معقدة هي المعكوس الجمعي لتلك الوسيطة. على سبيل المثال ، إذا x = 3 ، إذن -x = −3 ، ولكن إذا x = −3 ، إذن -x = +3. وبالمثل ، - (-x) = x .
  3. بادئة ثابت رقمي. عندما يتم وضعها مباشرة قبل رقم غير إشارة ، فإن المجموعة تسمي رقمًا سالبًا ، وهو معكوس الجمع للرقم الموجب الذي قد يسميه الرقم بخلاف ذلك. في هذا الاستخدام ، يسمي "−5" رقمًا بنفس الطريقة التي تسمي بها "semicircle" الشكل الهندسي ، مع التنبيه إلى أن "semicare" ليس لها استخدام منفصل كاسم للدالة.

في العديد من السياقات ، لا يهم ما إذا كان الغرض الثاني أو الثالث من هذه الاستخدامات: −5 هو نفس الرقم. عندما يكون من المهم التمييز بينهما ، تُستخدم علامة ناقص مرتفعة ¯ أحيانًا للثوابت السالبة ، كما هو الحال في التعليم الابتدائي ، ولغة البرمجة APL ، وبعض حاسبات الرسوم البيانية المبكرة. [أ]

يمكن الإشارة إلى جميع الاستخدامات الثلاثة باسم "ناقص" في الكلام اليومي ، على الرغم من قراءة عامل التشغيل الثنائي أحيانًا على أنه "يأخذ بعيدًا". [17] في اللغة الإنجليزية الأمريكية في الوقت الحاضر ، يُشار إلى 5 (على سبيل المثال) عمومًا باسم "سالب خمسة" على الرغم من أن المتحدثين المولودين قبل عام 1950 يشيرون إليها غالبًا باسم "ناقص خمسة". (تميل درجات الحرارة إلى اتباع الاستخدام الأقدم −5 درجة ويسمى بشكل عام "خمس درجات تحت الصفر".) [18] علاوة على ذلك ، تشجع بعض الكتب المدرسية في الولايات المتحدة -x أن تقرأ على أنها "عكس x "أو" المعكوس الجمعي لـ x "- لتجنب إعطاء الانطباع بأن -x هو بالضرورة سلبي (منذ ذلك الحين x نفسها قد تكون سلبية بالفعل) [19]

في الرياضيات ومعظم لغات البرمجة ، تعني قواعد ترتيب العمليات أن 5 2 يساوي −25: يرتبط الأس بقوة أكبر من السالب الأحادي ، الذي يرتبط بقوة أكبر من الضرب أو القسمة. ومع ذلك ، في بعض لغات البرمجة (Microsoft Excel على وجه الخصوص) ، ترتبط العوامل الأحادية بشكل أقوى ، لذلك في هذه الحالات ، −5 ^ 2 هي 25 ، ولكن 0−5 ^ 2 تساوي −25. [20]

على غرار علامة الجمع ، تُستخدم علامة الطرح أيضًا في الكيمياء والفيزياء. لمزيد من المعلومات ، انظر § استخدامات أخرى أدناه.

يستخدم بعض معلمي المرحلة الابتدائية علامات الجمع والطرح المرفوعة قبل الأرقام لإظهار أنها أرقام موجبة أو سالبة. [ بحاجة لمصدر ] على سبيل المثال ، قد يُقرأ طرح 5 من 3 على أنه "موجب ثلاثة يطرح سالب 5" ، ويظهر في صورة

في أنظمة الدرجات (مثل علامات الامتحان) ، تشير علامة الجمع إلى مستوى أعلى للصف الأول بينما يشير الطرح إلى درجة أقل. على سبيل المثال ، B− ("B ناقص") هي درجة واحدة أقل من B. في بعض الحالات ، يمتد هذا إلى علامتين زائد أو ناقص (على سبيل المثال ، A ++ أعلى درجتين من A).

يتم اختصار الموجب والسالب أحيانًا بالرمز + ve و −ve. [21]

تحرير الرياضيات

في الرياضيات ، الحد من جانب واحد xأ + يعني x اقتراب أ من اليمين (أي حد الجانب الأيمن) ، و xأ - يعني x اقتراب أ من اليسار (أي حد الجانب الأيسر). [22] على سبيل المثال ، 1 /x → + ∞ مثل x → 0 + لكن 1 /x → - ∞ as x → 0 − .

تحرير الدم

غالبًا ما يتم تصنيف أنواع الدم بعلامة زائد أو ناقص للإشارة إلى وجود أو عدم وجود عامل Rh. على سبيل المثال ، تعني A + دم من النوع A مع وجود عامل Rh ، بينما B− تعني دم من النوع B مع غياب عامل Rh.

تحرير الموسيقى

في الموسيقى ، يتم ترميز الحبال المعززة بعلامة زائد ، على الرغم من أن هذه الممارسة ليست عالمية (حيث توجد طرق أخرى لتهجئة تلك الأوتار). على سبيل المثال ، يُقرأ "C +" "وتر C المعزز". في بعض الأحيان تتم كتابة علامة الجمع على هيئة نص مرتفع.

بالإضافة إلى الاستخدام الرياضي العادي ، يمكن استخدام علامات الجمع والطرح لعدد من الأغراض الأخرى في الحوسبة.

غالبًا ما تُستخدم علامات الجمع والطرح في عرض الشجرة على شاشة الكمبيوتر - لإظهار ما إذا كان المجلد مطويًا أم لا.

في بعض لغات البرمجة ، يتم كتابة تسلسل السلاسل "a" + "b" ، وينتج عنه "ab".

في معظم لغات البرمجة ، تتم الإشارة إلى الطرح والنفي بحرف ASCII واصلة ناقص ، -. في APL ، تُستخدم علامة ناقص مرفوعة (Unicode U + 00AF) للإشارة إلى رقم سالب ، كما في ¯3. بينما في J ، يتم الإشارة إلى الرقم السالب بشرطة سفلية ، كما في _5.

في لغة C وبعض لغات برمجة الكمبيوتر الأخرى ، تشير علامتان زائدتان إلى عامل الزيادة وعلامة ناقص تشير إلى تناقص موضع المشغل قبل أو بعد المتغير ما إذا كانت القيمة الجديدة أو القديمة قد تمت قراءتها منه. على سبيل المثال ، إذا كانت x تساوي 6 ، فإن y = x ++ بزيادات x إلى 7 ولكنها تحدد y إلى 6 ، في حين أن y = ++ x تقوم بتعيين كل من x و y إلى 7. بالامتداد ، يتم استخدام ++ أحيانًا في المصطلحات الحسابية للدلالة تحسن ، كما في اسم لغة C ++.

في التعبيرات العادية ، غالبًا ما يتم استخدام + للإشارة إلى "1 أو أكثر" في النمط المطلوب مطابقته. على سبيل المثال ، x + تعني "واحد أو أكثر من الحرف x".

لا يوجد مفهوم للصفر سالب في الرياضيات ، ولكن في الحوسبة −0 قد يكون لها تمثيل منفصل عن الصفر. في معيار الفاصلة العائمة IEEE ، 1 / ​​−0 هي اللانهاية السالبة (- ∞ ) بينما 1/0 هي اللانهاية الموجبة (∞).

في الفيزياء ، قدم جورج كريستوف ليشتنبرغ استخدام علامتي الجمع والطرح لشحنات كهربائية مختلفة.

في الكيمياء ، تُستخدم علامات الجمع والطرح المرتفعة للإشارة إلى أيون بشحنة موجبة أو سالبة قدرها 1 (على سبيل المثال ، NH +
4). إذا كانت الشحنة أكبر من 1 ، فيتم كتابة رقم يشير إلى الشحنة قبل الإشارة (كما في SO 2−
4). تُستخدم علامة الطرح أيضًا ، بدلاً من شرطة قصيرة ، لرابطة تساهمية واحدة بين ذرتين كما في الصيغة الهيكلية. [ بحاجة لمصدر ]

في الأبجدية الصوتية الدولية ، تُستخدم علامات الجمع والطرح المقيدة كعلامات تشكيل للإشارة إلى التعبيرات المتقدمة أو المتراجعة لأصوات الكلام.

تُستخدم علامة الطرح أيضًا كحرف نغمة في قواعد الإملاء لكل من Dan و Krumen و Karaboro و Mwan و Wan و Yaouré و Wè و Nyabwa و Godié. [23] يختلف حرف Unicode المستخدم لحرف النغمة (U + 02D7) عن علامة الطرح الرياضية.

تشير علامة الجمع أحيانًا إلى / ɨ / في قواعد إملاء Huichol. [24]

في التدوين الجبري المستخدم لتسجيل ألعاب الشطرنج ، تُستخدم علامة الجمع + للإشارة إلى حركة تضع الخصم تحت المراقبة ، بينما تُستخدم علامة double plus ++ أحيانًا للإشارة إلى تحقق مزدوج. تُستخدم مجموعات من علامتي الجمع والطرح لتقييم حركة (+/− ، + / = ، = / + ، - / +).

في اللغويات ، يحل الرمز المرتفع + + في بعض الأحيان محل علامة النجمة ، والتي تشير إلى إعادة بناء لغوية غير مقيدة.

إن علامة زائد المكتوبة في بداية رقم هاتف دولي هي "رمز البادئة الدولية" التي "تعمل على تذكير المشترك بطلب البادئة الدولية التي تختلف من دولة إلى أخرى وتعمل أيضًا على تحديد الرقم التالي كرقم الهاتف الدولي . " [25]

علامات الجمع والطرح هي أيضًا رموز Pokémon Plusle و Minun ، وتظهر الرموز على خدودهم وكذيولهم.

ال علامة واصلة ناقص، - ، هي نسخة ASCII الأصلية من علامة الطرح ، والتي تتضاعف كواصلة. عادة ما يكون طوله أقصر من علامة الجمع وغالبًا ما يكون على ارتفاع مختلف عن العارضة المتقاطعة لعلامة الجمع. يمكن استخدامه كبديل لعلامة الطرح الحقيقية عندما تقتصر مجموعة الأحرف على ASCII. تقوم معظم لغات البرمجة واللغات الأخرى التي يمكن قراءتها على الكمبيوتر بهذا ، نظرًا لأن ASCII متاح بشكل عام كمجموعة فرعية من معظم ترميزات الأحرف ، بينما U + 2212 هي ميزة Unicode فقط.كما أن العديد من البرامج الأخرى القابلة للاستخدام في الحسابات لا تقبل U + 2212 ناقص. على سبيل المثال ، لن يعمل اللصق = 3−2 في Excel أو 3−2 = في حاسبة Windows.

نظرًا لعدم توفر علامة الطرح الحقيقية في معظم تخطيطات لوحة المفاتيح ، يستخدم المصممون أحيانًا شرطة en شبيهة جدًا ، U + 2013 ، لتمثيل علامة الطرح على الرغم من أنها "غير مفضلة" في التنضيد الرياضي. [26] تتوفر طرق إنتاج الشرطة على معظم أجهزة الكمبيوتر ، انظر Dash § Rendering Dash on PC.

توجد علامة ناقص تجارية ⁒ تُستخدم في ألمانيا والدول الاسكندنافية. يستخدم الرمز ÷ للدلالة على الطرح في النرويج.


شاهد الفيديو: السابع - رياضيات - حل تمارين ضرب و قسمة الأعداد الصحيحة (ديسمبر 2021).