مقالات

4.2: مجالات الاتجاه والطرق العددية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • ارسم مجال الاتجاه لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.
  • استخدم حقل اتجاه لرسم منحنى حل لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.
  • استخدم طريقة أويلر لتقريب الحل لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

بالنسبة لبقية هذا الفصل ، سنركز على طرق مختلفة لحل المعادلات التفاضلية وتحليل سلوك الحلول. في بعض الحالات ، من الممكن التنبؤ بخصائص حل لمعادلة تفاضلية دون معرفة الحل الفعلي. سوف ندرس أيضًا الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية ، والتي يمكن برمجتها باستخدام لغات الكمبيوتر المختلفة أو حتى باستخدام برنامج جداول البيانات ، مثل Microsoft Excel.

إنشاء مجالات الاتجاه

تعد حقول الاتجاه (تسمى أيضًا حقول المنحدر) مفيدة للتحقيق في المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. على وجه الخصوص ، نحن نعتبر المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى في النموذج

[y '= f (x، y). ]

يظهر مثال تطبيقي لهذا النوع من المعادلات التفاضلية في قانون التبريد لنيوتن ، والذي سنقوم بحله بوضوح لاحقًا في هذا الفصل. أولاً ، دعونا ننشئ مجال اتجاه للمعادلة التفاضلية

[T ′ (t) = - 0.4 (T − 72). ]

هنا (T (t) ) يمثل درجة الحرارة (بالدرجات فهرنهايت) لجسم ما في الوقت (t ) ، ودرجة الحرارة المحيطة هي (72 درجة فهرنهايت ). يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) حقل الاتجاه لهذه المعادلة.

الفكرة الكامنة وراء مجال الاتجاه هي حقيقة أن مشتق دالة يتم تقييمها عند نقطة معينة هو ميل خط المماس للرسم البياني لتلك الوظيفة عند نفس النقطة. تتضمن الأمثلة الأخرى للمعادلات التفاضلية التي يمكننا إنشاء مجال اتجاه لها

[ص '= 3 س + 2 ص 4 ]

[y '= x ^ 2 − y ^ 2 ]

[y '= frac {2x + 4} {y − 2}. ]

لإنشاء حقل اتجاه ، نبدأ بالمعادلة الأولى: (y '= 3x + 2y − 4 ). نجعل ((x_0، y_0) ) أي زوج مرتب ، ونقوم باستبدال هذه الأرقام في الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية. على سبيل المثال ، إذا اخترنا (س = 1 ) و (ص = 2 ) ، فإن الاستبدال في الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية ينتج

(y ′ = 3x + 2y − 4 = 3 (1) +2 (2) −4 = 3. )

يخبرنا هذا أنه إذا مر حل المعادلة التفاضلية (y '= 3x + 2y − 4 ) عبر النقطة ((1،2) ) ، فإن ميل الحل عند هذه النقطة يجب أن يساوي 3. لبدء إنشاء حقل الاتجاه ، نضع مقطعًا قصيرًا من الخط عند النقطة ((1،2) ) التي لها منحدر (3 ). يمكننا القيام بذلك لأي نقطة في مجال الوظيفة (f (x، y) = 3x + 2y − 4، ) التي تتكون من جميع الأزواج المرتبة ((x، y) ) في (R ^ 2 ). لذلك فإن أي نقطة في المستوى الديكارتي لها ميل مرتبط بها ، بافتراض أن حل المعادلة التفاضلية يمر عبر تلك النقطة. يظهر حقل الاتجاه للمعادلة التفاضلية (y ′ = 3x + 2y − 4 ) في الشكل ( PageIndex {2} ).

يمكننا إنشاء حقل اتجاه من هذا النوع لأي معادلة تفاضلية من النموذج (y '= f (x، y). )

تعريف: مجال الاتجاه (حقل منحدر)

حقل الاتجاه (حقل المنحدر) هو كائن رياضي يستخدم لتمثيل حلول معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بيانياً. عند كل نقطة في مجال الاتجاه ، يظهر مقطع خطي يكون ميله مساويًا لميل حل المعادلة التفاضلية التي تمر عبر تلك النقطة.

استخدام حقول الاتجاه

يمكننا استخدام مجال الاتجاه للتنبؤ بسلوك حلول المعادلة التفاضلية دون معرفة الحل الفعلي. على سبيل المثال ، يعمل حقل الاتجاه في الشكل ( PageIndex {3} ) كدليل لسلوك حلول المعادلة التفاضلية (y '= 3x + 2y − 4. )

لاستخدام حقل الاتجاه ، نبدأ باختيار أي نقطة في الحقل. يعمل الجزء المستقيم عند تلك النقطة كعلامة تخبرنا بالاتجاه الذي يجب أن نسير من هناك. على سبيل المثال ، إذا كان حل المعادلة التفاضلية يمر عبر النقطة ((0،1) ، ) فإن ميل الحل الذي يمر عبر هذه النقطة يُعطى بواسطة (y '= 3 (0) +2 (1) ) −4 = 2. ) الآن دع (س ) يزيد قليلاً ، لنقل (س = 0.1 ). باستخدام طريقة التقريب الخطي يعطي صيغة للقيمة التقريبية لـ (y ) لـ (x = 0.1. ) على وجه الخصوص ،

[L (x) = y_0 + f ′ (x_0) (x − x_0) = 1−2 (x_0−0) = 1−2x_0. ]

استبدال (x_0 = 0.1 ) في (L (x) ) يعطي قيمة (y ) تقريبية لـ (0.8 ).

عند هذه النقطة يتغير ميل الحل (مرة أخرى وفقًا للمعادلة التفاضلية). يمكننا الاستمرار في التقدم ، وإعادة حساب ميل الحل بينما نتخذ خطوات صغيرة إلى اليمين ، ونراقب سلوك الحل. يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) رسمًا بيانيًا للحل يمر بالنقطة ((0،1) ).

المنحنى هو الرسم البياني لحل مشكلة القيمة الأولية

[y '= 3x + 2y − 4، y (0) = 1. ]

يسمى هذا المنحنى بمنحنى الحل الذي يمر عبر النقطة ((0،1). ) الحل الدقيق لمشكلة القيمة الأولية هو

[y = - frac {3} {2} x + frac {5} {4} - frac {1} {4} e ^ {2x}، ]

والرسم البياني لهذا الحل مطابق للمنحنى في الشكل ( PageIndex {3} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

قم بإنشاء حقل اتجاه للمعادلة التفاضلية (y '= x ^ 2 − y ^ 2 ) وارسم منحنى حل يمر عبر النقطة ((−1،2) ).

تلميح

استخدم قيم (x ) و (y ) التي تتراوح من (−5 ) إلى (5 ). لكل زوج إحداثي ، احسب (y ') باستخدام الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية.

إجابه

انتقل إلى تطبيق Java الصغير هذا وموقع الويب هذا لمعرفة المزيد حول حقول المنحدرات.

الآن ضع في اعتبارك حقل الاتجاه للمعادلة التفاضلية (y '= (x − 3) (y ^ 2−4) ) ، الموضح في الشكل ( PageIndex {4} ). هذا المجال الاتجاه له العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام. بادئ ذي بدء ، عند (y = −2 ) و (y = 2 ) ، تظهر الشرطات الأفقية على طول الرسم البياني. هذا يعني أنه إذا (y = −2 ) ، ثم (y '= 0. ) استبدال هذا التعبير في الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية يعطي

[(x − 3) (y ^ 2−4) = (x − 3) ((- 2) ^ 2−4) = (x − 3) (0) = 0 = y '. ]

إذن (y = −2 ) هو حل المعادلة التفاضلية. وبالمثل ، (y = 2 ) هو حل للمعادلة التفاضلية. هذه هي الحلول الوحيدة ذات القيمة الثابتة للمعادلة التفاضلية ، كما يمكننا أن نرى من الحجة التالية. لنفترض أن (y = k ) هو حل ثابت للمعادلة التفاضلية. ثم (y ′ = 0 ). ينتج عن استبدال هذا التعبير في المعادلة التفاضلية (0 = (x − 3) (k ^ 2−4) ). يجب أن تكون هذه المعادلة صحيحة لجميع قيم (x ) ، لذا يجب أن يساوي العامل الثاني صفرًا. ينتج عن هذه النتيجة المعادلة (k ^ 2−4 = 0 ). حلول هذه المعادلة هي (ك = −2 ) و (ك = 2 ) ، وهي الحلول الثابتة التي سبق ذكرها. هذه تسمى حلول التوازن للمعادلة التفاضلية.

التعريف:حلول quilibrium

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية (y '= f (x، y) ). ان حل التوازن هو أي حل للمعادلة التفاضلية للصيغة (y = c ) ، حيث (c ) ثابت.

لتحديد حلول التوازن للمعادلة التفاضلية (y '= f (x، y) ) ، ضع الطرف الأيمن مساويًا للصفر. حل التوازن للمعادلة التفاضلية هو أي دالة من الشكل (y = k ) بحيث (f (x، k) = 0 ) لجميع قيم (x ) في مجال (f ).

من الخصائص المهمة لحلول التوازن ما إذا كانت تقترب من الخط (y = k ) أم لا كخط مقارب للقيم الكبيرة لـ (x ).

تعريف: الحلول المستقرة وغير المستقرة وشبه المستقرة

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية (y ′ = f (x، y)، ) وافترض أن جميع حلول هذه المعادلة التفاضلية محددة من أجل (x≥x_0 ). دع (y = k ) يكون حل توازن للمعادلة التفاضلية.

  1. (y = k ) هو ملف حل مستقر مقارب إلى المعادلة التفاضلية إذا كان هناك (ε> 0 ) مثل أي قيمة (c∈ (k − ε، k + ε) ) حل مشكلة القيمة الأولية [y ′ = f (x ، y)، y (x_0) = c ] تقترب من (k ) حيث تقترب (x ) من اللانهاية.
  2. (y = k ) هو ملف حل غير مستقر مقارب إلى المعادلة التفاضلية إذا كان هناك (ε> 0 ) مثل أي قيمة (c∈ (k − ε، k + ε) ) حل مشكلة القيمة الأولية [y ′ = f (x ، y)، y (x_0) = c ] لا تقترب أبدًا من (k ) عندما يقترب (x ) من اللانهاية.
  3. (y = k ) هو ملف حل شبه مستقر مقارب إلى المعادلة التفاضلية إذا لم تكن مستقرة بشكل مقارب ولا غير مستقرة بشكل مقارب.

نعود الآن إلى المعادلة التفاضلية (y '= (x − 3) (y ^ 2−4) ) بالشرط الأولي (y (0) = 0.5 ). يظهر حقل الاتجاه لمشكلة القيمة الأولية هذه ، جنبًا إلى جنب مع الحل المقابل ، في الشكل ( PageIndex {5} ).

تظل قيم حل مشكلة القيمة الأولية هذه بين (y = −2 ) و (y = 2 ) ، وهي حلول التوازن للمعادلة التفاضلية. علاوة على ذلك ، عندما يقترب (x ) من اللانهاية ، (y ) يقترب (2 ). يتشابه سلوك الحلول إذا كانت القيمة الأولية أعلى من (2 ) ، على سبيل المثال ، (y (0) = 2.3 ). في هذه الحالة ، تنخفض الحلول وتقترب من (y = 2 ) حيث تقترب (x ) من اللانهاية. لذلك (y = 2 ) هو حل مستقر مقاربًا للمعادلة التفاضلية.

ماذا يحدث عندما تكون القيمة الأولية أقل من (y = −2 )؟ هذا السيناريو موضح في الشكل ( PageIndex {6} ) ، بالقيمة الأولية (y (0) = - 3. )

يتناقص الحل بسرعة نحو اللانهاية السالبة حيث يقترب (x ) من اللانهاية. علاوة على ذلك ، إذا كانت القيمة الأولية أعلى قليلاً من (−2 ) ، فإن الحل يقترب من (2 ) ، وهو حل التوازن الآخر. لذلك في كلتا الحالتين لا نهج الحل (y = −2 ) ، لذلك يُطلق على (y = −2 ) حل التوازن غير المستقر أو غير المستقر.

مثال ( PageIndex {1} ): استقرار حل التوازن

أنشئ مجال اتجاه للمعادلة التفاضلية (y '= (y − 3) ^ 2 (y ^ 2 + y − 2) ) وحدد أي حلول توازن. صنف كل من حلول التوازن على أنها مستقرة أو غير مستقرة أو شبه مستقرة.

حل

يظهر حقل الاتجاه في الشكل ( PageIndex {7} ).

حلول التوازن هي (y = −2 ، y = 1 ، ) و (y = 3 ). لتصنيف كل حل من الحلول ، انظر إلى سهم أعلى أو أسفل كل من هذه القيم مباشرةً. على سبيل المثال ، عند (y = −2 ) ، تشير الأسهم الموجودة أسفل هذا الحل مباشرةً إلى الأعلى ، بينما تشير الأسهم الموجودة أعلى الحل مباشرةً إلى الأسفل. لذلك فإن جميع الشروط الأولية قريبة من (y = −2 ) النهج (y = −2 ) ، والحل مستقر. بالنسبة للحل (y = 1 ) ، يتم صد جميع الشروط الأولية أعلاه وأدناه (y = 1 ) (يتم دفعها بعيدًا) من (y = 1 ) ، لذا فإن هذا الحل غير مستقر. الحل (ص = 3 ) شبه مستقر ، لأنه في الظروف الأولية أكبر قليلاً من (3 ) ، يقترب الحل من اللانهاية ، وللظروف الأولية الأقل قليلاً من (3 ) ، يقترب الحل ( ص = 1 ).

تحليل

من الممكن إيجاد حلول التوازن للمعادلة التفاضلية عن طريق جعل الجانب الأيمن مساويًا للصفر وحل لـ (y. ) يعطي هذا النهج نفس حلول التوازن مثل تلك التي رأيناها في مجال الاتجاه.

تمرين ( PageIndex {2} )

أنشئ مجال اتجاه للمعادلة التفاضلية (y '= (x + 5) (y + 2) (y ^ 2−4y + 4) ) وحدد أي حلول توازن. صنف كل من حلول التوازن على أنها مستقرة أو غير مستقرة أو شبه مستقرة.

تلميح

قم أولاً بإنشاء حقل الاتجاه وابحث عن الشرطات الأفقية التي تمتد عبر كل الطريق. ثم افحص خطوط الانحدار أعلى وأسفل حلول التوازن مباشرة.

إجابه

حلول التوازن هي (y = −2 ) و (y = 2 ). بالنسبة لهذه المعادلة ، (y = −2 ) هو حل توازن غير مستقر ، و (y = 2 ) هو حل توازن شبه مستقر.

طريقة أويلر

ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية

[y ′ = 2x − 3، y (0) = 3. ]

يعطي تكامل طرفي المعادلة التفاضلية (y = x ^ 2−3x + C، ) وإيجاد حل لـ (C ) ينتج الحل المحدد (y = x ^ 2−3x + 3. ) الحل لمشكلة القيمة الأولية هذه تظهر على أنها القطع المكافئ في الشكل ( PageIndex {8} ).

يتكون الرسم البياني الأحمر من مقاطع خطية تقرب حل مشكلة القيمة الأولية. يبدأ الرسم البياني بنفس القيمة الأولية لـ ((0،3) ). ثم يتم تحديد ميل الحل عند أي نقطة بواسطة الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية ، ويتم تحديد طول مقطع الخط بزيادة قيمة (x ) بمقدار (0.5 ) في كل مرة ( حجم الخطوة). هذا النهج هو أساس طريقة أويلر.

قبل أن نذكر طريقة أويلر كنظرية ، دعنا نفكر في مشكلة أخرى ذات قيمة أولية:

[y ′ = x ^ 2 − y ^ 2، y (−1) = 2. ]

يمكن أيضًا تطبيق الفكرة الكامنة وراء مجالات الاتجاه على هذه المشكلة لدراسة سلوك حلها. على سبيل المثال ، عند النقطة ((1،2) ، ) يتم إعطاء ميل الحل من خلال (y '= (- 1) ^ 2−2 ^ 2 = −3 ) ، وبالتالي فإن ميل الحل خط المماس للحل عند هذه النقطة يساوي أيضًا (−3 ). الآن نحدد (x_0 = −1 ) و (y_0 = 2 ). نظرًا لأن ميل المحلول عند هذه النقطة يساوي (−3 ) ، يمكننا استخدام طريقة التقريب الخطي لتقريب y بالقرب من ((−1،2) ).

[L (x) = y_0 + f ′ (x_0) (x − x_0). ]

هنا (x_0 = −1، y_0 = 2، ) و (f ′ (x_0) = - 3، ) بحيث يصبح التقريب الخطي

[L (x) = 2−3 (x - (- 1)) = 2−3x − 3 = −3x − 1. ]

الآن نختار أ حجم الخطوة. حجم الخطوة هو قيمة صغيرة ، عادةً (0.1 ) أو أقل ، تعمل كزيادة لـ (x ) ؛ يمثله المتغير (ح ). في مثالنا ، دع (ح = 0.1 ). زيادة (x_0 ) بواسطة (h ) يعطي قيمة (x ) التالية:

[x_1 = x_0 + h = −1 + 0.1 = −0.9. ]

يمكننا استبدال (x_1 = −0.9 ) بالتقريب الخطي لحساب (y_1 ).

[y_1 = L (x_1) = - 3 (−0.9) −1 = 1.7. ]

لذلك فإن قيمة (y ) التقريبية للحل عندما (x = −0.9 ) هي (y = 1.7 ). يمكننا بعد ذلك تكرار العملية باستخدام (x_1 = −0.9 ) و (y_1 = 1.7 ) لحساب (x_2 ) و (y_2 ). يتم إعطاء الميل الجديد من خلال (y '= (- 0.9) ^ 2− (1.7) ^ 2 = −2.08. ) أولاً ، (x_2 = x_1 + h = −0.9 + 0.1 = −0.8. ) باستخدام يعطي التقريب الخطي

(L (x) = y_1 + f ′ (x_1) (x − x_1) )

(= 1.7−2.08 (س - (- 0.9)) )

(= 1.7−2.08x − 1.872 )

(= 2.08x − 0.172 ).

أخيرًا ، استبدلنا (x_2 = −0.8 ) بالتقريب الخطي لحساب (y_2 ).

(y_2 = L (x_2) )

(= 2.08x_2−0.172 )

( =−2.08(−0.8)−0.172)

( =1.492.)

لذلك فإن القيمة التقريبية لحل المعادلة التفاضلية هي (y = 1.492 ) عندما (x = −0.8. )

ما أظهرناه للتو هو الفكرة وراء طريقة أويلر. يؤدي تكرار هذه الخطوات إلى إعطاء قائمة بقيم الحل. يتم عرض هذه القيم في الجدول ، مقربة إلى أربعة منازل عشرية.

استخدام طريقة أويلر لتقريب الحلول لمعادلة تفاضلية
( ن)012345
(x_n )−1−0.9−0.8−0.7−0.6−0.5
(y_n )21.71.4921.33341.20461.0955
( ن)678910
(x_n )−0.4−0.3−0.2−0.10
(y_n )1.00041.91641.84141.77461.7156

طريقة أويلر

ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية

[y '= f (x، y)، y (x_0) = y_0. ]

لتقريب حل لهذه المشكلة باستخدام طريقة أويلر ، حدد

(x_n = x_0 + nh )

(y_n = y_ {n − 1} + hf (x_ {n − 1}، y_ {n − 1}) ).

هنا (h> 0 ) يمثل حجم الخطوة و (n ) هو عدد صحيح ، يبدأ بـ (1 ). يتم حساب عدد الخطوات التي تم إجراؤها بواسطة المتغير (n ).

عادةً ما تكون (h ) قيمة صغيرة ، مثل (0.1 ) أو (0.05 ). كلما كانت قيمة (ح ) أصغر ، كلما كانت هناك حاجة لمزيد من العمليات الحسابية. كلما زادت قيمة (ح ) ، قل عدد العمليات الحسابية المطلوبة. ومع ذلك ، ينتج عن المقايضة درجة أقل من الدقة لحجم الخطوة الأكبر ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {9} ).

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام طريقة أويلر

ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية

[y ′ = 3x ^ 2 − y ^ 2 + 1، y (0) = 2. ]

استخدم طريقة أويلر بحجم خطوة (0.1 ) لإنشاء جدول قيم لحل قيم (س ) بين (0 ) و (1 ).

حل

لدينا (h = 0.1 ) و (f (x، y) = 3x ^ 2 − y ^ 2 + 1. ) علاوة على ذلك ، الشرط الأولي (y (0) = 2 ) يعطي ( x_0 = 0 ) و (y_0 = 2 ). باستخدام المعادلة مع (n = 0 ) ، يمكننا إنشاء هذا الجدول.

استخدام طريقة أويلر لتقريب الحلول لمعادلة تفاضلية
( ن) (x_n ) (y_n = y_ {n − 1} + hf (x_ {n − 1}، y_ {n − 1}) )
002
10.1 (y_1 = y_0 + hf (x_0، y_0) = 1.7 )
20.2 (y_2 = y_1 + hf (x_1، y_1) = 1.514 )
30.3 (y_3 = y_2 + hf (x_2، y_2) = 1.3968 )
40.4 (y_4 = y_3 + hf (x_3، y_3) = 1.3287 )
50.5 (y_5 = y_4 + hf (x_4، y_4) = 1.3001 )
60.6 (y_6 = y_5 + hf (x_5، y_5) = 1.3061 )
70.7 (y_7 = y_6 + hf (x_6، y_6) = 1.3435 )
80.8 (y_8 = y_7 + hf (x_7، y_7) = 1.4100 )
90.9 (y_9 = y_8 + hf (x_8، y_8) = 1.5032 )
101.0 (y_ {10} = y_9 + hf (x_9، y_9) = 1.6202 )

من خلال عشر عمليات حسابية ، يمكننا تقريب قيم الحل لمشكلة القيمة الأولية لقيم (x ) بين (0 ) و (1 ).

انتقل إلى هذا الموقع لمزيد من المعلومات حول طريقة أويلر.

تمرين ( PageIndex {3} )

ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية

[y ′ = x ^ 3 + y ^ 2، y (1) = - 2. ]

باستخدام حجم الخطوة (0.1 ) ، قم بإنشاء جدول بقيم تقريبية لحل مشكلة القيمة الأولية لقيم (x ) بين (1 ) و (2 ).

تلميح

ابدأ بتحديد قيمة (h ) ، ثم اكتشف ما هو (f (x، y) ). ثم استخدم صيغة طريقة أويلر لحساب (y_1، y_2، ) وهكذا.

إجابه
( ن) (x_n) (y_n = y_ {n − 1} + hf (x_ {n − 1}، y_ {n − 1}) )
01−2
11.1 (y_1 = y_0 + hf (x_0 ، y_0) = - 1.5 )
21.2 (y_2 = y_1 + hf (x_1 ، y_1) = - 1.1419 )
31.3 (y_3 = y_2 + hf (x_2، y_2) = - 0.8387 )
41.4 (y_4 = y_3 + hf (x_3 ، y_3) = - 0.5487 )
51.5 (y_5 = y_4 + hf (x_4، y_4) = - 0.2442 )
61.6 (y_6 = y_5 + hf (x_5، y_5) = 0.0993 )
71.7 (y_7 = y_6 + hf (x_6، y_6) = 0.5099 )
81.8 (y_8 = y_7 + hf (x_7، y_7) = 1.0272 )
91.9 (y_9 = y_8 + hf (x_8، y_8) = 1.7159 )
102 (y_ {10} = y_9 + hf (x_9، y_9) = 2.6962 )

قم بزيارة هذا الموقع للحصول على تطبيق عملي للمواد الموجودة في هذا القسم.

المفاهيم الرئيسية

  • حقل الاتجاه هو كائن رياضي يستخدم لتمثيل حلول معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بيانياً.
  • طريقة أويلر هي تقنية عددية يمكن استخدامها لتقريب الحلول للمعادلة التفاضلية.

المعادلات الرئيسية

  • طريقة أويلر

(x_n = x_0 + nh )

(y_n = y_ {n − 1} + hf (x_ {n − 1}، y_ {n − 1}) ) ، حيث (h ) هو حجم الخطوة

قائمة المصطلحات

حل شبه مستقر مقارب
(y = k ) إذا لم يكن مستقرًا بشكل مقارب ولا غير مستقر بشكل مقارب
حل مستقر مقارب
(y = k ) في حالة وجود (ε> 0 ) بحيث يكون لأي قيمة (c∈ (k − ε، k + ε) ) حل مشكلة القيمة الأولية (y ′ = f (x ، y) ، y (x_0) = c ) تقترب من (k ) حيث تقترب (x ) من اللانهاية
حل غير مستقر مقارب
(y = k ) في حالة وجود (ε> 0 ) بحيث يكون لأي قيمة (c∈ (k − ε، k + ε) ) حل مشكلة القيمة الأولية (y ′ = f (x ، y) ، y (x_0) = c ) لا تقترب أبدًا من (k ) حيث تقترب (x ) من اللانهاية
مجال الاتجاه (مجال المنحدر)
كائن رياضي يستخدم لتمثيل حلول معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بيانياً ؛ عند كل نقطة في مجال الاتجاه ، يظهر مقطع خطي يكون ميله مساويًا لميل حل المعادلة التفاضلية التي تمر عبر تلك النقطة
حل التوازن
أي حل للمعادلة التفاضلية بالصيغة (y = c، ) حيث (c ) ثابت
طريقة أويلر
تقنية عددية تستخدم لتقريب الحلول لمشكلة القيمة الأولية
منحنى الحل
منحنى مرسوم في مجال اتجاه يتوافق مع حل مشكلة القيمة الأولية التي تمر عبر نقطة معينة في مجال الاتجاه
حجم الخطوة
الزيادة التي تمت إضافتها إلى قيمة xx في كل خطوة في طريقة أويلر

اتجاهات جديدة في المعادلات التفاضلية: إطار لتفسير الطلاب & # x27 التفاهمات والصعوبات ☆

الغرض من هذه الورقة هو تقديم إطار لتفسير فهم الطلاب وصعوباتهم في الأفكار الرياضية المركزية للاتجاهات الجديدة في المعادلات التفاضلية. تسعى هذه الاتجاهات الجديدة إلى توجيه الطلاب إلى طريقة تفكير أكثر تفسيراً وتعزيز قدرتهم على تحليل المعادلات التفاضلية بيانياً ورقمياً. الإطار المذكور هنا هو نتيجة التحقيق المتعمق لستة طلاب & # x27 من خلال سلسلة من المقابلات الفردية القائمة على المهام والملاحظات الصفية. الموضوعان الرئيسيان للإطار ، موضوع معضلة الوظيفة كحل وموضوع الحدس والصور للطلاب # x27 ، يوسعان البحث السابق حول إدراك الطالب في المستوى الثانوي والجماعي إلى مجال المعادلات التفاضلية ويعكس الاعتراف المتزايد بالموقع. تحليلات تعلم الطلاب داخل بيئة تعلم الطلاب و # x27. بالنسبة لمجالات الاهتمام الجديدة مثل المعادلات التفاضلية ، يمكن أن يكون تخطيط فهم الطلاب & # x27 للأفكار الرياضية المهمة جزءًا مهمًا من تصميم المناهج الدراسية والتعليمية التي تسعى إلى تحسين طرق تفكير الطلاب والبناء عليها


جدول المحتويات

ملاحظة المترجم
مقدمة للطبعة الألمانية
الرموز
الفصل الأول: أسس التحليل الوظيفي والتطبيقات
1. مشاكل نموذجية في الرياضيات العددية
1.1 بعض المفاهيم العامة
1.2 حلول المعادلات
1.3 خصائص حلول المعادلات
1.4 مشاكل خارج الجسم مع أو بدون قيود
1.5 التوسعات (تحديد المعاملات)
1.6 تقييم التعبيرات
2. أنواع مختلفة من المساحات
2.1 متباينات هولدر ومينكوفسكي
2.2 الفضاء الطوبولوجي
2.3 مسافات شبه متريّة ومتريّة
2.4 مسافات خطية
2.5 المساحات المعيارية
2.6 المساحات الوحدوية وعدم مساواة شوارتز
2.7 معادلة متوازي الأضلاع
2.8 التعامد في المساحات الوحدوية ، عدم مساواة بيسل
3. الطلبات
3.1 الترتيب الجزئي والطلب الكامل
3.2 المشابك
3.3 المسافات الكاذبة
4. التقارب والاكتمال
4.1 التقارب في الفضاء الكاذب
4.2 متواليات كوشي
4.3 الاكتمال ومساحات هيلبرت ومساحات باناخ
4.4 خصائص الاستمرارية
4.5 العواقب المباشرة لفراغات هيلبرت ، فضاءات
4.6 أنظمة تقويمية كاملة في مساحات هيلبرت
4.7 أمثلة
4.8 تقارب ضعيف
5. الاكتناز
5.1 الضغط النسبي والاكتناز
5.2 أمثلة على الضغط
5.3 نظرية أرزيلا
5.4 مجموعات مضغوطة من الوظائف التي تم إنشاؤها بواسطة عوامل تشغيل متكاملة
6. عوامل التشغيل في المساحات الكاذبة وغيرها من المساحات الخاصة
6.1 العوامل الخطية والمحدودة
6.2 تكوين المشغلين
6.3 المعامل المعكوس
6.4 أمثلة على المشغلين
6.5 المعاملات العكسية للمشغلين المجاورين
6.6 رقم الشرط للمشغل الخطي المحدود
6.7 تقديرات الخطأ لعملية التكرار
6.8 نظرية Riesz ونظرية الاختيار
6.9 نظرية باناخ عن متواليات العوامل
6.10 تطبيق على صيغ التربيع
7. المشغلين في مساحات هلبرت
7.1 المشغل المساعد
7.2 أمثلة
7.3 العوامل التفاضلية لوظائف المتغير الفردي
7.4 العوامل التفاضلية لوظائف عدة متغيرات
7.5 عوامل التشغيل المستمرة تمامًا
7.6 عوامل التشغيل المتكاملة المستمرة تمامًا
7.7 تقديرات المدة المتبقية للوظائف متعددة الأشكال
7.8 قيد لخطأ الاقتطاع لصيغ التربيع
7.9 مبدأ أساسي في حساب التفاضل والتكامل
8. مشاكل القيمة الذاتية
8.1 مشاكل القيمة الذاتية العامة
8.2 طيف المشغلين في الفضاء المتري
8.3 نظرية الشمول للقيم الذاتية
8.4 الإسقاطات
8.5 الخصائص الخارجية للقيم الذاتية
8.6 الحد الأدنى من المبادئ للمعادلات التفاضلية
8.7 طريقة ريتز
9. قواعد المتجهات والمصفوفة
9.1 معايير المتجهات
9.2 مقارنة قواعد المتجهات المختلفة
9.3 قواعد المصفوفة
9.4 من نظرية ماتريكس
9.5 معايير المتجهات الإقليدية وقواعد المصفوفة المتسقة
9.6 معايير المتجهات الأخرى وقواعد المصفوفة الثانوية
9.7 القواعد المتحولة
10. مزيد من النظريات حول قواعد المتجهات والمصفوفة
10.1 معايير المتجهات المزدوجة
10.2 تحديد بعض القواعد المزدوجة
10.3 صلاحيات المصفوفات
10.4 خاصية دنيا للمعيار الطيفي
10.5 انحراف المصفوفة عن الوضع الطبيعي
10.6 التباين الطيفي لمصفوفتين
10.7 مشاكل مختارة للفصل الأول
10.8 تلميحات لمشاكل مختارة في القسم 10.7
الفصل الثاني الطرق التكرارية
11. نظرية النقطة الثابتة للطريقة التكرارية العامة في المساحات الكاذبة
11.1 الطرق التكرارية والأمثلة البسيطة
11.2 الطرق التكرارية للمعادلات التفاضلية
11.3 النظرية العامة للنقطة الثابتة
11.4 إثبات النظرية العامة للنقطة الثابتة
11.5 نظرية التفرد
12. حالات خاصة لنظرية النقطة الثابتة وتغيير المشغل
12.1 حالة خاصة لمشغل مساعد خطي P
12.2 حالة خاصة لمساحة مترية مع P a عامل عددي
12.3 حالة خاصة لمساحة متري مع P دالة غير خطية ذات قيمة حقيقية
12.4 التكرار مع عامل قلق وأسئلة تتعلق بالدقة
12.5 تقديرات الخطأ للمشغل المضطرب
13. الطرق التكرارية لأنظمة المعادلات
13.1 معادلة واحدة
13.2 طرق تكرارية مختلفة لأنظمة المعادلات
13.3 معايير التقارب لأنظمة المعادلات الخطية
13.4 معايير الجمع والجمع والعمود
14. نظم المعادلات وطرق الفروق
14.1 طرق الفروق للمعادلات التفاضلية الإهليلجية
14.2 تقديرات الخطأ لطرق جاكوبي وغاوس-سايدل التكرارية
14.3 مجموعة التكرار
14.4 أنظمة لانهائية من المعادلات الخطية
14.5 الإفراط في الترابط وتقديرات الخطأ
14.6 تحديد عامل التباطؤ الأمثل
14.7 الطرق الضمنية للاتجاه المتناوب
15. الطرق التكرارية للمعادلات التفاضلية والتكاملية
15.1 مشاكل القيمة الحدودية غير الخطية
15.2 المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية
15.3 المعادلات التكاملية
15.4 أنظمة المعادلات التفاضلية الزائدية
15.5 تقديرات الخطأ للأنظمة الزائدية
16. مشتق من العوامل في المساحات الفائقة
16.1 مشتق فريشيه
16.2 المشتقات الأعلى
16.3 قاعدة السلسلة في حساب التفاضل
16.4 بعض الأمثلة الأساسية لتحديد المشتقات
مسافات 16.5 L- متري
16.6 نظرية القيمة المتوسطة ونظرية تايلور
17. بعض الطرق التكرارية الخاصة
17.1 طريقة نيوتن القياسية والمبسطة
17.2 تقدير الخطأ لطريقة نيوتن المبسطة
17.3 طريقة نيوتن المبسطة لمشكلات القيمة الحدية غير الخطية
17.4 ترتيب الطرق التكرارية
17.5 الطرق التكرارية للمعادلات ذات الدوال متعددة الأشكال أيضًا للأصفار المتعددة
17.6 الإجراء التكراري العام للأمر k لحل معادلة المشغل Tu = θ
17.7 ملاحظة على الجهد الحسابي المرتبط بإجراءات المستوى الأعلى
18. طريقة الموقف الخاطئ (Regula Falsi)
18.1 الطريقة المعيارية والمختصرة للوضع الخاطئ
18.2 طريقة مختصرة للوضع الخاطئ للوظائف الحقيقية لمتغير واحد
18.3 طريقة الوضع الخاطئ لمعادلات المشغل
18.4 امتدادات لطريقة الموقف الخاطئ
18.5 الاختلافات المنقسمة بين عامل التشغيل وكثير حدود الاستيفاء لنيوتن
18.6 تقارب أسلوب الموضع الخاطئ للوظائف الحقيقية لمتغير واحد
18.7 المزيد من الأساليب والأمثلة العامة
19. طريقة نيوتن مع التحسينات
19.1 تحسين طريقة نيوتن ووظائف التقدير الأساسية
19.2 نظرية التقارب العامة لطرق نيوتن المحسنة
19.3 ملاحظات عامة بخصوص تطبيق طريقة نيوتن
19.4 طريقة نيوتن لمشاكل القيمة الذاتية
19.5 طريقة نيوتن المطبقة على مشاكل التقريب
20. مبادئ الرتابة والتطرف لطريقة نيوتن
20.1 فئة المشكلات والعوامل المحدبة والمقعرة
20.2 رتابة في طريقة نيوتن
20.3 المبدأ المتطرف ونظرية الشمول للجذور
20.4 أمثلة على مسائل القيمة الحدية غير الخطية
20.5 التحقيق في التقارب
20.6 مشاكل مختلطة للفصل الثاني
20.7 تلميحات للحلول
الفصل الثالث الرتابة وعدم المساواة وموضوعات أخرى
21. مشغلات أحادية اللون
21.1 التعريف والأمثلة
21.2 مشغلات قابلة للتحلل بشكل رتيب
21.3 تطبيق نظرية النقطة الثابتة لشودر
21.4 تطبيق نظرية شودر في المعادلات التفاضلية غير الخطية
21.5 التطبيق على الأنظمة الحقيقية للمعادلات الخطية
22. تطبيقات أخرى لنظرية شودر
22.1 الاستقراء وتقديرات الخطأ لتسلسل رتيب من التكرارات
22.2 تطبيقات على أنظمة المعادلات الخطية
22.3 التطبيق على المعادلات التفاضلية الخطية
22.4 نظرية إضافية حول الرتابة
22.5 تطبيقات على المعادلات التكاملية غير الخطية
23. المصفوفات ومشكلات القيمة الحدية من النوع الرتيب
23.1 مصفوفات من النوع الرتيب
23.2 مشاكل القيمة الحدودية الخطية من النوع الرتيب للمعادلات التفاضلية العادية
23.3 الحد الأقصى لمبدأ المعادلات التفاضلية غير الخطية الإهليلجية
23.4 المعادلات التفاضلية غير الخطية الإهليلجية أحادية اللون
23.5 الحالة الخاصة للمعادلات التفاضلية الخطية الإهليلجية
24. مشاكل القيمة الأولية والنظريات الإضافية حول الرتابة
24.1 رتابة صارمة مع معادلات القطع المكافئ
24.2 نظرية الرتابة العامة
24.3 المعادلات التفاضلية غير الخطية الزائدية
24.4 إضفاء الطابع الرئيسي على وظيفة جرين ومشكلات القيمة غير الخطية
25. تقريب الوظائف
25.1 بعض الأسئلة التي تنشأ مع مشكلة التقريب
25.2 التقريب الخطي
25.3 مجموعة الحلول الدنيا للتقريب العقلاني
25.4 نظرية الوجود لتقريب Chebyshev العقلاني
25.5 نظرية الشمول العام لأدنى انحراف
25.6 نظام عدم المساواة
25.7 التطبيقات
25.8 التقريب العقلاني ومشكلات القيمة الذاتية
26. طرق التقريب والتبادل Chebyshev المنفصلة
26.1 التقريب T المنفصل
26.2 المرجع والانحراف المرجعي
26.3 مركز المرجع
26.4 طرق الصرف
26.5 مشاكل مختلطة للفصل الثالث
26.6 تلميحات إلى حلول المشاكل
الملحق
ملاحظات على نظرية النقطة الثابتة لشودر
26.7 Lemmas على مجموعات مدمجة
26.8 صيغتان لنظرية النقطة الثابتة لشودر
مراجع
فهرس المؤلف
دليل الموضوع


المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى

2.6.1 الأساليب المضمنة

يمكن الحصول على التقريبات العددية لحلول المعادلات التفاضلية باستخدام NDSolve ، وهو أمر مفيد بشكل خاص عند العمل مع المعادلات غير الخطية التي يتعذر على DSolve وحدها إيجاد حل صريح أو ضمني لها. الامر

يحاول إنشاء حل رقمي لـ

صالحة ل أرب. في بعض الحالات ، يكون الفاصل الزمني الذي يتم فيه إرجاع الحل بواسطة NDSolve أصغر من الفاصل الزمني المطلوب. يمكنك الحصول على المعلومات الأساسية المتعلقة بـ NDSolve عن طريق إدخال؟ NDSolve أو معلومات مفصلة عن طريق الوصول إلى مرفق المساعدة عبر الإنترنت في Mathematica عن طريق تحديد مساعدة من قائمة تعليمات Mathematica.

المثال 2.6.1

نستخدم StreamPlot أولاً لرسم مجال الاتجاه لـ y ′ = t 2 - y 2 sin y في الشكل 2-25 (أ).

الشكل 2-25. (أ) مجال الاتجاه للمعادلة. (ب) رسم بياني لحل ل y ′ = t 2 - y 2 sin y. ذ(0) = −1

F[t_، y _] = (ر 2−ذ 2) الخطيئة [ذ] p1 = StreamPlot [<1 ، F[ر, ذ]>, <ر, 0, 10>, <ذ، 0، 10>، AspectRatio → 1، StreamStyle → Black، AxesOrigin → <0، 0>، Frame → False، Axes → Automatic، AxesStyle → Black، PlotLabel → "(a)"، AxesLabel → <ر, ذ>]

نحصل على حل رقمي صالح لـ 0 ≤ ر 1000 باستخدام وظيفة NDSolve.

y [t] → دالة الإقحام [] [t]

يؤدي إدخال وحيد /.t->1 إلى تقييم الحل العددي إذا كان ر = 1.

النتيجة تعني ذلك ذ(1) ≈ − 766. نستخدم الأمر Plot لرسم الحل لـ 0 ≤ ر ≤ 10 في الشكل 2-25.

المثال 2.6.2

ارسم الحل لمشكلة القيمة الأولية

كما هو الحال مع الأمثلة السابقة ، نستخدم StreamPlot لإنشاء مخطط لحقل الاتجاه الموضح في الشكل 2-26 (أ).

الشكل 2-26. (أ) مؤامرة مجال الاتجاه. (ب) رسم بياني لحل المشكلة y ′ = sin 2 x - y. ذ(0) = 0.5

صافي[x, ذ]F[x_، y _] = الخطيئة [2xذ] p1 = StreamPlot [<1 ، F[x, ذ]>, <x, 0, 10>, <ذ، 0، 10>، AspectRatio → 1، StreamStyle → Black، AxesOrigin → <0، 0>، Frame → False، Axes → Automatic، AxesStyle → Black، PlotLabel → "(a)"، AxesLabel → <x, ذ>]

نستخدم NDSolve لتقريب الحل لمشكلة القيمة الأولية ، مع تسمية الناتج الناتج numsol. دالة الاستيفاء الناتجة هي إجراء يمثل دالة تقريبية يتم الحصول عليها من خلال الاستيفاء.

y [x] → دالة الإقحام [] [x]

إرجاع قائمة مطابقة لقيمة ذ(x) إذا x = 1. نفسر النتيجة على أنها تعني ذلك ذ(1) 0.875895. ثم نقوم برسم الحل الذي أرجعه NDSolve باستخدام Plot بنفس الطريقة التي نرسم بها الحلول التي أرجعها DSolve. كما تتوقع على الأرجح ، فإن إدخال Plot [numsol [[1،1،2]] ،] ينتج نفس الرسم البياني الموضح في الشكل 2-26 (ب) الذي تم إنشاؤه بواسطة أمر الرسم التالي.

إظهار [GraphicsRow []]

هناك طريقة مختلفة للحلول البيانية التي تفي بشروط أولية مختلفة وهي تحديد دالة كما نفعل هنا. معطى أنا، يعيد sol [i] حلًا رقميًا لمسألة القيمة الأولية y ′ = sin (2 x - y) ، ذ(0) = أنا.

على سبيل المثال ، لاستخدام sol ، نستخدم الجدول أولاً لتعريف الوحدات لتكون قائمة الأرقام أنا/ 2 من أجل أنا = 1 ، 2 ، ... ، 5 ثم استخدم الخريطة لتطبيق سول على قائمة الأرقام بالداخل. الامر

يحسب sol [i] لكل قيمة أنا بالداخل. والنتيجة هي قائمة متداخلة تتكون من InterpolatingFunction.

نقوم بالرسم البياني لمجموعة وظائف InterpolatingFunction مع المؤامرة بنفس الطريقة التي نرسم بها مجموعات أخرى من الوظائف. انظر الشكل 2-27 (ب).

الشكل 2-27. حلول مختلفة لـ y ′ = sin 2 x - y

interpfunctions = خريطة [sol ، inits]

أخيرًا ، نعرض هذه الرسوم البيانية جنبًا إلى جنب مع مجال الاتجاه المرتبط بالمعادلة في الشكل 2-27 (ب).

p4 = إظهار [p3، p1، PlotLabel → “(b)”]

إظهار [GraphicsRow []]

التطبيق: نمذجة انتشار المرض

افترض أن المرض ينتشر بين مجموعة من السكان ن. في بعض الأمراض ، مثل جدري الماء ، بمجرد إصابة الفرد بالمرض ، يصبح الفرد محصنًا ضد المرض. في أمراض أخرى ، مثل معظم الأمراض التناسلية ، بمجرد إصابة الفرد بالمرض وتعافيه من المرض ، لا يصبح الفرد محصنًا من المرض ، يمكن أن تؤدي المواجهات اللاحقة إلى تكرار العدوى.

مصدر: هربرت دبليو هيثكوت ، "ثلاثة نماذج وبائية أساسية ،" إن علم البيئة الرياضي التطبيقي، حرره سيمون أ. ليفين ، توماس ج. هالان ، ولويس جروس ، نيويورك ، Springer-Verlag (1989) ، الصفحات 119-143.

يترك س(ر) تشير إلى النسبة المئوية للسكان المعرضين للإصابة بمرض ما في الوقت المناسب ر, أنا(ر) نسبة السكان المصابين بالمرض ، و ص(ر) نسبة السكان غير القادرين على الإصابة بالمرض. على سبيل المثال، ص(ر) يمكن أن يمثل النسبة المئوية للأشخاص الذين أصيبوا بمرض معين وتعافوا وأصبحوا بعد ذلك محصنين ضد المرض. من أجل نمذجة انتشار الأمراض المختلفة ، نبدأ بوضع عدة افتراضات وتقديم بعض الملاحظات.

يموت الأفراد المعرضون للإصابة والمصابون بمعدل يتناسب مع عدد الأفراد المعرضين للإصابة والمصابين بثابت التناسب ميكرومتر دعا معدل إزالة الموت اليومي الرقم 1 /ميكرومتر هل متوسط ​​العمر أو متوسط ​​العمر المتوقع.

ثابت λ يمثل معدل الاتصال اليومي: في المتوسط ​​، سينشر الشخص المصاب المرض إلى λ الناس في اليوم.

يتعافى الأفراد من المرض بمعدل يتناسب مع عدد المصابين بالمرض بثابت التناسب γ. ثابت γ يسمى معدل إزالة الانتعاش اليومي ال متوسط ​​فترة العدوى هو 1 /γ.

ال رقم الاتصال σ = λ/(γ + ميكرومتر) يمثل متوسط ​​عدد المخالطين للشخص المصاب مع كل من الأشخاص المعرضين للإصابة والمصابين.

إذا أصبح الشخص عرضة للإصابة بمرض بعد الشفاء منه (مثل السيلان والتهاب السحايا والتهاب الحلق العقدي) ، فإن نسبة الأشخاص المعرضين للإصابة بهذا المرض ، س(ر) ، والنسبة المئوية من السكان المصابين بالمرض ، أنا(ر) ، من خلال نظام المعادلات التفاضلية

هذا النموذج يسمى نموذج SIS (نموذج حساس للإصابة بالعدوى) لأنه بمجرد تعافي الفرد من المرض ، يصبح الفرد مرة أخرى عرضة للإصابة بالمرض.

في ما يلي ، نستخدم i للتمثيل أنا، وبالتالي تجنب التعارض مع الثابت المدمج I = - 1. بعد تحديد المعادلة ، نستخدم DSolve لإيجاد حل لمشكلة القيمة الأولية.

i [t] → e (i π + t λ) (γ + μ) γ - λ + μ i0 γ + μ γ - λ + μ (- + λ - μ) e (i π + t λ) (γ + μ) γ - λ + μ i0 γ + μ γ - λ + μ λ - et γ + t μ + t λ 2 - + μ + λ (i π + السجل [i0] - السجل [- γ + λ - i0 λ - μ]) γ - + μ (- γ + λ - i0 λ - μ) γ + μ γ - λ + μ

يمكننا استخدام هذه النتيجة لمعرفة كيف يمكن أن ينتشر المرض بين السكان. على سبيل المثال ، نحسب الحل لمشكلة القيمة الأولية ، والتي يتم استخلاصها من sol مع sol [[1،1،2]] ، إذا λ = 0.50, γ = 0.75 و ميكرومتر = 0.65. في هذه الحالة ، نرى أن رقم جهة الاتصال هو σ = λ/(γ + ميكرومتر) ≈ 0.357143.

λ = 0.5 γ = 0.75 μ = 0.65 σ = γ + μ sol [[1، 1، 2]]

- 0.9 e 1.55556 (i π + 0.5 t) i0 1.55556 - e 1.67778 t + 0.555556 (i π - Log [- 0.9 - 0.5 i0] + Log [i0]) (- 0.9 - 0.5 i0) 1.55556 + 0.5 e 1.55556 ( أنا π + 0.5 طن) i0 1.55556

بعد ذلك ، نستخدم الجدول لاستبدال الشروط الأولية المختلفة في sol [[1،1،2]] ، مع تسمية المجموعة الناتجة المكونة من تسع وظائف toplot1. ثم نرسم وظائف الرسم البياني في toplot1 لـ 0 ≤ ر ≤ 5 في الشكل 2-28 (أ). على ما يبدو ، بغض النظر عن النسبة الأولية من السكان المصابين ، في ظل هذه الظروف ، يتم إزالة المرض في النهاية من السكان. هذا منطقي لأن رقم جهة الاتصال أقل من واحد.

الشكل 2-28. (أ) يتم إزالة المرض من السكان. (ب) توضيح إزالة المرض باستخدام مجال الاتجاه

toplot1 = جدول [sol [[1، 1، 2]] ، ]

p1 = مؤامرة [تقييم [toplot1] ، <ر، 0 ، 5> ، AspectRatio → 1 ، PlotLabel → "(a)" ، PlotRange → << 0 ، 5> ، <0 ، 0.5 >>]

بعد كتابة المعادلة بالصيغة د/د = F(ر, أنا) في الخطوة 1 ،

i ′ [t] → - 0.9 i [t] - 0.5 i [t] 2

نستخدم Streamplot لرسم حقل الاتجاه الموضح في الشكل 2-28 (ب).

p2a = StreamPlot [<1، toplot2>، <ر, 0, 5>, <أنا، 0، .5>، Frame → False، Axes → Automatic، AxesStyle → Black، StreamStyle → Black، StreamPoints → Fine، PlotLabel → “(b)”، AspectRatio → 1] p2 = إظهار [p2a، p1، PlotRange → < <0، 5>، <0، .5 >>]

إظهار [GraphicsRow []]

من ناحية أخرى ، إذا λ = 1.5, γ = 0.75 و ميكرومتر = 0.65 ، نرى أن رقم الاتصال هو σ = λ/(γ + ميكرومتر) ≈ 1.07143.

λ = 1.5 γ = 0.75 μ = 0.65 σ = γ + μ sol [[1، 1، 2]]

0.1 هـ - 14. (أنا π + 1.5 طن) - ه - 21.1 طن - 15. (i π - Log [0.1 - 1.5 i0] + Log [i0]) (0.1 - 1.5 i0) 14. + 1.5 هـ - 14. (أنا π + 1.5 طن) i0 14. i0 14.

المضي قدمًا كما كان من قبل ، قمنا برسم الحل باستخدام شروط أولية مختلفة في الشكل 2-29. في هذه الحالة ، نرى أنه بغض النظر عن نسبة السكان المصابين في البداية ، فإن نسبة معينة من السكان مصابون دائمًا. هذا منطقي لأن رقم جهة الاتصال أكبر من واحد. في الواقع ، إنها نظرية

الشكل 2-29. استمر المرض

toplot3 = جدول [sol [[1، 1، 2]] ، ] p2 = مؤامرة [toplot3 ، <ر, 0, 20>]

إظهار [GraphicsRow []]

تتذبذب الإصابة ببعض الأمراض مثل الحصبة والحصبة الألمانية والسيلان موسمياً. لنمذجة هذه الأمراض ، قد نرغب في استبدال معدل الاتصال الثابت λ، من خلال وظيفة دورية λ(ر). على سبيل المثال ، لرسم الحل لنموذج SIS لشروط أولية مختلفة إذا (أ) λ (t) = 3 - 2.5 sin 6 t ، γ = 2 و ميكرومتر = 1 و (ب) λ (t) = 3 - 2.5 sin 6 t ، γ = 1 و ميكرومتر = 1 نمضي على النحو التالي. بالنسبة إلى (أ) ، نبدأ بالتعريف λ, γ، و ميكرومترو مكافئ.

سنقوم برسم الحلول التي تلبي الشروط الأولية أنا(0) = أنا0 ل أنا0 = 0.1 ، 0.2 ، ... ، 0.9. نبدأ بتحديد الرسم البياني. بالنظر إلى i0 ، يرسم الرسم البياني [i0] الحل لمشكلة القيمة الأولية

على الفاصل الزمني [0 ، 10]. بعد ذلك ، نستخدم الجدول لتحديد قائمة الأرقام الواردة ، المقابلة للشروط الأولية ، ثم استخدم الخريطة لتطبيق الرسم البياني للوظيفة على قائمة الأرقام الواردة. نرى أن النتيجة هي قائمة من تسعة كائنات رسومية نسميها لعرضها.

وحدات = جدول [أنا, <أنا، 0.1 ، 0.9 ، 0.1>] لعرض = الخريطة [الرسم البياني ، بالبوصة]

أخيرًا ، نستخدم إظهار لعرض قائمة من تسعة رسوم بيانية لعرضها في الشكل 2-30 (أ). بالنسبة إلى (ب) ، فإننا نعمل بنفس الطريقة كما في (أ). انظر الشكل 2-30 (ب).

الشكل 2-30. يستمر المرض بشكل دوري في السكان

p1 = إظهار [toshow، PlotRange → << 0، 10>، All>، PlotLabel → “(a)”]

وحدات = جدول [أنا, <أنا، 0.1، 0.9، 0.1>] toshow = الرسم البياني / @ inits

p2 = إظهار [toshow، PlotRange → << 0، 10>، All>، PlotLabel → “(b)”]

إظهار [GraphicsRow []]


المواضيع

مقدمة في وتصنيف المعادلات التفاضلية

المعادلات من الدرجة الأولى

المعادلات الخطية والدقيقة والقابلة للفصل
مقدمة للحلول الرمزية باستخدام MSS
وجود الحلول وتفردها
خصائص المعادلات غير الخطية مقابل المعادلات الخطية
الأساليب النوعية للمعادلات المستقلة
رسم حقول الاتجاه باستخدام MSS
النماذج والتطبيقات

الطرق العددية

مقدمة للحل العددي في MSS
الطرق العددية الأولية: أويلر ، أويلر المُحسَّن ، رونج-كوتا
خطأ محلي وعالمي وموثوقية الطرق العددية

معادلات الدرجة الثانية

نظرية المعادلات الخطية
المعادلات الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة
تخفيض النظام
طرق المعاملات غير المحددة وتغير المعلمات للمعادلات غير المتجانسة
الحلول الرمزية والرقمية باستخدام MSS
الاهتزازات الميكانيكية والكهربائية

تحويلات لابلاس

تعريف وحساب المحولات
تطبيقات على المعادلات التفاضلية ذات دوال التأثير المتقطع

نظم المعادلات الخطية من الدرجة الأولى

النظرية العامة
طريقة Eigenvalue-eigenvector للأنظمة ذات المعاملات الثابتة
إيجاد أزواج eigen وحل الأنظمة الخطية باستخدام MSS
مستوى الطور والتخطيط البارامترى باستخدام MSS

الأنظمة غير الخطية والاستقرار

الأنظمة المستقلة والنقاط الحرجة
تحليل الاستقرار ومستوى الطور للأنظمة الخطية تقريبًا
تحليل الاستقرار الخطي ورسم الحقول المتجهة باستخدام MSS
الحلول العددية وصور الطور للأنظمة غير الخطية باستخدام MSS
النماذج والتطبيقات


4.2: مجالات الاتجاه والطرق العددية - الرياضيات

حتى هذه النقطة عمليًا ، يمكن حل كل معادلة تفاضلية تم تقديمها إلينا. المشكلة في هذا أن هذه هي الاستثناءات وليست القاعدة. لا يمكن حل الغالبية العظمى من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى.

من أجل تعليمك شيئًا ما حول حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى ، كان علينا تقييد أنفسنا إلى الحالات المقيدة إلى حد ما من المعادلات التفاضلية الخطية أو القابلة للفصل أو الدقيقة أو المعادلات التفاضلية التي يمكن حلها بمجموعة من البدائل المحددة للغاية. ومع ذلك ، فإن معظم المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى لا تقع ضمن أي من هذه الفئات. في الواقع ، حتى تلك القابلة للفصل أو الدقيقة لا يمكن دائمًا حلها من أجل حل صريح. بدون حلول واضحة لهذه ، سيكون من الصعب الحصول على أي معلومات حول الحل.

إذن ، ماذا نفعل عندما نواجه معادلة تفاضلية لا يمكننا حلها؟ الجواب يعتمد على ما تبحث عنه. إذا كنت تبحث فقط عن سلوك طويل المدى لحل ما ، فيمكنك دائمًا رسم حقل اتجاه. يمكن القيام بذلك دون صعوبة كبيرة لبعض المعادلات التفاضلية المعقدة إلى حد ما والتي لا يمكننا حلها للحصول على حلول دقيقة.

تكمن مشكلة هذا النهج في أنه مفيد حقًا فقط للحصول على الاتجاهات العامة في الحلول وسلوك الحلول على المدى الطويل. هناك أوقات نحتاج فيها إلى شيء أكثر. على سبيل المثال ، ربما نحتاج إلى تحديد سلوك حل معين ، بما في ذلك بعض القيم التي سيتخذها الحل. هناك أيضًا مجموعة كبيرة إلى حد ما من المعادلات التفاضلية التي ليس من السهل رسم حقول اتجاه جيدة لها.

في هذه الحالات ، نلجأ إلى الأساليب العددية التي تسمح لنا بتقريب الحلول للمعادلات التفاضلية. هناك العديد من الطرق المختلفة التي يمكن استخدامها لتقريب الحلول للمعادلة التفاضلية وفي الواقع يمكن تدريس الفصول بأكملها فقط عن طريق التعامل مع الطرق المختلفة. سنلقي نظرة على واحدة من أقدمها وأسهلها استخدامًا هنا. ابتكر أويلر هذه الطريقة في الأصل وسميت ، بشكل غريب بما فيه الكفاية ، طريقة أويلر.

لنبدأ بـ IVP عام من الدرجة الأولى

حيث (f (t، y) ) دالة معروفة والقيم الموجودة في الشرط الأولي هي أيضًا أرقام معروفة. من النظرية الثانية في قسم فترات الصلاحية نعرف أنه إذا (f ) و (f_) هي وظائف مستمرة ، فهناك حل فريد لـ IVP في بعض الفواصل الزمنية المحيطة (t = ). لذلك ، لنفترض أن كل شيء جميل ومستمر حتى نعرف أن الحل سيكون موجودًا في الواقع.

نريد تقريب الحل إلى ( eqref) بالقرب من (t = ). سنبدأ بقطعتين من المعلومات التي نعرفها بالفعل عن الحل. أولاً ، نعرف قيمة الحل عند (t = ) من الشرط الأولي. ثانيًا ، نعرف أيضًا قيمة المشتق عند (t = ). يمكننا الحصول على هذا عن طريق إدخال الشرط الأولي في (f (t، y) ) في المعادلة التفاضلية نفسها. إذن ، المشتق عند هذه النقطة هو.

الآن ، تذكر من صنفك في حساب التفاضل والتكامل I أن هاتين المعلومتين تكفيان لنا لكتابة معادلة خط المماس للحل عند (t = ). الخط المماس هو

ألق نظرة على الشكل أدناه

إذا كان (t_ <1> ) قريبًا بدرجة كافية من (t_ <0> ) ، فيجب أن تكون النقطة (y_ <1> ) على خط الظل قريبة إلى حد ما من القيمة الفعلية للحل عند ( t_ <1> ) أو (y (t_ <1>) ). العثور على (y_ <1> ) سهل بما فيه الكفاية. كل ما علينا فعله هو سد (t_ <1> ) في معادلة خط الظل.

الآن ، نود المضي قدمًا بطريقة مماثلة ، لكن ليس لدينا قيمة الحل عند (t_ <1> ) وبالتالي لن نعرف ميل خط المماس للحل عند هذا هدف. هذه مشكلة. ومع ذلك ، يمكننا حلها جزئيًا ، من خلال تذكر أن (y_ <1> ) هو تقريب للحل عند (t_ <1> ). إذا كان (y_ <1> ) تقريبًا جيدًا جدًا للقيمة الفعلية للحل ، فيمكننا استخدام ذلك لتقدير ميل خط الظل عند (t_ <1> ).

لذا ، دعونا نأمل أن يكون (y_ <1> ) تقريبًا جيدًا للحل وإنشاء خط عبر النقطة ( (t_ <1> ، y_ <1> )) التي لها ميل (f (t_ <1> ، y_ <1> )). هذا يعطي

الآن ، للحصول على تقريب للحل عند (t = t_ <2> ) نأمل أن يكون هذا السطر الجديد قريبًا إلى حد ما من الحل الفعلي في (t_ <2> ) واستخدام قيمة في (t_ <2> ) كتقريب للحل الفعلي. هذا يعطي.

يمكننا الاستمرار على هذا النحو. استخدم التقريب المحسوب مسبقًا للحصول على التقدير التقريبي التالي. وبالتالي،

بشكل عام ، إذا كان لدينا (t_) والتقريب للحل عند هذه النقطة ، (y_) ونريد إيجاد التقريب في (t_) كل ما علينا فعله هو استخدام ما يلي.

إذا حددنا ( = f يسار (<,> right) ) يمكننا تبسيط الصيغة إلى

في كثير من الأحيان ، سنفترض أن أحجام الخطوة بين النقاط (t_ <0> ) ، (t_ <1> ) ، (t_ <2> ) ، ... ذات حجم موحد (ح ) ). بعبارة أخرى ، غالبًا ما نفترض ذلك

هذا ليس من الضروري القيام به وهناك أوقات يكون من الأفضل فيها عدم القيام بذلك. ومع ذلك ، إذا فعلنا معادلة التقريب التالي تصبح.

إذًا ، كيف نستخدم طريقة أويلر؟ الأمر بسيط إلى حد ما. نبدأ بـ ( eqref) ونقرر ما إذا كنا نريد استخدام حجم خطوة موحد أم لا. ثم نبدأ بـ ((t_ <0>، y_ <0>) ) نقوم بتقييم ( eqref بشكل متكرر) أو ( eqref) اعتمادًا على ما إذا كنا قد اخترنا استخدام حجم خطوة موحد أم لا. نواصل حتى نقطع العدد المطلوب من الخطوات أو نصل إلى الوقت المطلوب. سيعطينا هذا سلسلة من الأرقام (y_ <1> ) ، (y_ <2> ) ، (y_ <3> ) ، ... (y_) التي ستقارب قيمة الحل الفعلي في (t_ <1> ) ، (t_ <2> ) ، (t_ <3> ) ، ... (t_).

ماذا نفعل إذا أردنا قيمة للحل في نقطة أخرى غير تلك المستخدمة هنا؟ أحد الاحتمالات هو العودة وإعادة تحديد مجموعة النقاط الخاصة بنا إلى مجموعة جديدة تشمل النقاط التي نسعى وراءها وإعادة طريقة أويلر باستخدام هذه المجموعة الجديدة من النقاط. ومع ذلك ، فإن هذا أمر مرهق وقد يستغرق الكثير من الوقت خاصة إذا اضطررنا إلى إجراء تغييرات على مجموعة النقاط أكثر من مرة.

الاحتمال الآخر هو أن نتذكر كيف وصلنا إلى التقديرات التقريبية في المقام الأول. تذكر أننا استخدمنا خط الظل

للحصول على قيمة (y_ <1> ). يمكننا استخدام خط الظل هذا كتقريب للحل على الفاصل ([t_ <0> ، t_ <1>] ). وبالمثل ، استخدمنا خط الظل

للحصول على قيمة (y_ <2> ). يمكننا استخدام خط الظل هذا كتقريب للحل على الفاصل ([t_ <1> ، t_ <2>] ). بالاستمرار بهذه الطريقة ، نحصل على مجموعة من الخطوط التي ، عند ربطها معًا ، يجب أن تكون تقريبًا للحل ككل.

من الناحية العملية ، ستحتاج إلى كتابة برنامج كمبيوتر للقيام بهذه الحسابات نيابة عنك. في معظم الحالات ، قد تكون الوظيفة (f (t، y) ) كبيرة جدًا و / أو معقدة لاستخدامها يدويًا وفي معظم الاستخدامات الجادة لطريقة أويلر ، قد ترغب في استخدام مئات الخطوات التي تجعل القيام بذلك يدويًا تحريمية. إذن ، هذا القليل من كود مزيف يمكنك استخدامها لكتابة برنامج لطريقة أويلر التي تستخدم حجم خطوة موحد ، (ح ).

  1. حدد (و اليسار ( حق)).
  2. الإدخال (t_ <0> ) و (y_ <0> ).
  3. الإدخال حجم الخطوة (ح ) وعدد الخطوات (n ).
  4. ل (ي ) من 1 إلى (n ) فعل
    1. (م = و (t_ <0> ، ص_ <0>) )
    2. (y_ <1> = y_ <0> + h * m )
    3. (t_ <1> = t_ <0> + h )
    4. طباعة (t_ <1> ) و (y_ <1> )
    5. (t_ <0> = t_ <1> )
    6. (ص_ <0> = ص_ <1> )

    ال كود مزيف بالنسبة لحجم الخطوة غير المنتظم ، سيكون الأمر أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، لكنه سيكون هو نفسه بشكل أساسي.

    لذا ، دعونا نلقي نظرة على مثالين. سنستخدم طريقة أويلر لتقريب الحلول لبعض المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. المعادلات التفاضلية التي سنستخدمها هي معادلات تفاضلية خطية من الدرجة الأولى يمكن حلها بسهولة للحصول على حل دقيق. بالطبع ، من الناحية العملية ، لن نستخدم طريقة أويلر في هذه الأنواع من المعادلات التفاضلية ، ولكن باستخدام المعادلات التفاضلية سهلة الحل ، سنتمكن من التحقق من دقة الطريقة. إن معرفة دقة أي طريقة تقريب أمر جيد. من المهم معرفة ما إذا كانت الطريقة قادرة على إعطاء تقدير تقريبي جيد أم لا.

    استخدم طريقة أويلر بحجم خطوة (h = 0.1 ) للعثور على القيم التقريبية للحل عند (t ) = 0.1 و 0.2 و 0.3 و 0.4 و 0.5. قارنهم بالقيم الدقيقة للحل في هذه النقاط.

    هذه معادلة تفاضلية خطية بسيطة إلى حد ما ، لذا سنتركها لك للتحقق من أن الحل هو

    لاستخدام طريقة أويلر ، نحتاج أولاً إلى إعادة كتابة المعادلة التفاضلية بالصيغة الواردة في ( eqref).

    من هذا يمكننا أن نرى أن (f left ( يمين) = 2 - << bf> ^ <- 4t >> - 2y ). لاحظ أيضًا أن (t_ <0> = 0 ) و (y_ <0> = 1 ). يمكننا الآن البدء في إجراء بعض الحسابات.

    إذن ، تقريب الحل عند (t_ <1> = 0.1 ) هو (y_ <1> = 0.9 ).

    لذلك ، فإن التقريب للحل عند (t_ <2> = 0.2 ) هو (y_ <2> = 0.852967995 ).

    سأترك الأمر لك للتحقق من بقية هذه الحسابات.

    [يبدأ & = - 0.155264954 & hspace <0.25in> & = 0.837441500\ & = 0.023922788 & hspace <0.25in> & = 0.839833779\ & = 0.1184359245 & hspace <0.25in>& = 0.851677371 النهاية]

    فيما يلي جدول سريع يقدم التقديرات التقريبية بالإضافة إلى القيمة الدقيقة للحلول عند النقاط المحددة.

    الوقت ، (t_) تقريب بالضبط خطأ
    (t_ <0> = 0 ) (ص_ <0> = 1 ) (ص (0) = 1 ) 0 %
    (t_ <1> = 0.1 ) (ص_ <1> = 0.9 ) (ص (0.1) = 0.925794646 ) 2.79 %
    (t_ <2> = 0.2 ) (ص_ <2> = 0.852967995 ) (ص (0.2) = 0.889504459 ) 4.11 %
    (t_ <3> = 0.3 ) (ص_ <3> = 0.837441500 ) (ص (0.3) = 0.876191288 ) 4.42 %
    (t_ <4> = 0.4 ) (ص_ <4> = 0.839833779 ) (ص (0.4) = 0.876283777 ) 4.16 %
    (t_ <5> = 0.5 ) (ص_ <5> = 0.851677371 ) (ص (0.5) = 0.883727921 ) 3.63 %

    لقد قمنا أيضًا بتضمين الخطأ كنسبة مئوية. غالبًا ما يكون من الأسهل معرفة مدى جودة التقدير التقريبي إذا نظرت إلى النسب المئوية. الصيغة لهذا هو ،

    استخدمنا القيمة المطلقة في البسط لأننا لا نهتم في هذه المرحلة إذا كان التقريب أكبر أو أصغر من الدقيق. نحن مهتمون فقط بمدى قرب الاثنين.

    كان الحد الأقصى للخطأ في التقديرات التقريبية من المثال الأخير هو 4.42٪ ، وهو ليس سيئًا للغاية ، ولكنه أيضًا ليس تقريبيًا كبيرًا. لذلك ، بشرط ألا نتبع تقديرات تقريبية دقيقة جدًا ، لم يكن هذا سيئًا للغاية. هذا النوع من الخطأ غير مقبول بشكل عام في جميع التطبيقات الحقيقية تقريبًا. إذن ، كيف يمكننا الحصول على تقديرات تقريبية أفضل؟

    تذكر أننا نحصل على التقديرات التقريبية باستخدام خط مماس لتقريب قيمة الحل وأننا نتقدم في الوقت المناسب بخطوات (ح ). لذا ، إذا أردنا تقديرًا تقريبيًا أكثر دقة ، فيبدو أن إحدى الطرق للحصول على تقدير تقريبي أفضل هي عدم المضي قدمًا بنفس القدر مع كل خطوة. بمعنى آخر ، خذ أصغر (ح ).

    يوجد أدناه جدولين ، أحدهما يعطي تقديرات تقريبية للحل والآخر يعطي أخطاء لكل تقريب. سنترك لك التفاصيل الحسابية للتحقق منها.

    التقريبات
    زمن بالضبط (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.01 ) (ح = 0.005 ) (ح = 0.001 )
    (t ) = 1 0.9414902 0.9313244 0.9364698 0.9404994 0.9409957 0.9413914
    (t ) = 2 0.9910099 0.9913681 0.9911126 0.9910193 0.9910139 0.9910106
    (t ) = 3 0.9987637 0.9990501 0.9988982 0.9987890 0.9987763 0.9987662
    (t ) = 4 0.9998323 0.9998976 0.9998657 0.9998390 0.9998357 0.9998330
    (t ) = 5 0.9999773 0.9999890 0.9999837 0.9999786 0.9999780 0.9999774

    نسبة الأخطاء
    زمن (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.01 ) (ح = 0.005 ) (ح = 0.001 )
    (t ) = 1 1.08 % 0.53 % 0.105 % 0.053 % 0.0105 %
    (t ) = 2 0.036 % 0.010 % 0.00094 % 0.00041 % 0.0000703 %
    (t ) = 3 0.029 % 0.013 % 0.0025 % 0.0013 % 0.00025 %
    (t ) = 4 0.0065 % 0.0033 % 0.00067 % 0.00034 % 0.000067 %
    (t ) = 5 0.0012 % 0.00064 % 0.00013 % 0.000068 % 0.000014 %

    يمكننا أن نرى من هذه الجداول أن تقليل (h ) يؤدي في الواقع إلى تحسين دقة التقريب كما توقعنا.

    هناك بعض الأشياء الأخرى المثيرة للاهتمام التي يجب ملاحظتها من البيانات. أولاً ، لاحظ أنه بشكل عام ، يؤدي تقليل حجم الخطوة ، (h ) ، بمعامل 10 أيضًا إلى تقليل الخطأ بنحو 10 عامل أيضًا.

    لاحظ أيضًا أن (t ) يزيد التقريب يميل في الواقع إلى التحسن. هذا ليس هو الحال تمامًا كما يمكننا أن نرى أنه في جميع الحالات باستثناء الحالة الأولى ، يكون الخطأ (t ) = 3 أسوأ من الخطأ في (t ) = 2 ، ولكن بعد هذه النقطة ، يتحسن الأمر فقط . لا ينبغي توقع هذا بشكل عام. في هذه الحالة ، هذه دالة لشكل الحل. يوجد أدناه رسم بياني للحل (الخط) بالإضافة إلى التقديرات التقريبية (النقاط) لـ (ح = 0.1 ).

    لاحظ أن التقريب يكون أسوأ عندما تتغير الوظيفة بسرعة. لا ينبغي أن يكون هذا مفاجئًا للغاية. تذكر أننا نستخدم خطوطًا مماسة للحصول على التقديرات التقريبية ، وبالتالي فإن قيمة خط الظل عند (t ) ستكون مختلفة بشكل كبير عن الوظيفة بسبب الوظيفة المتغيرة بسرعة في تلك النقطة.

    أيضًا ، في هذه الحالة ، نظرًا لأن الوظيفة تنتهي بشكل مسطح إلى حد ما مع زيادة (t ) ، تبدأ الظلال في الظهور مثل الوظيفة نفسها وبالتالي تكون التقديرات دقيقة للغاية. لن يكون هذا هو الحال دائمًا بالطبع.

    دعونا نلقي نظرة على مثال آخر.

    استخدم طريقة أويلر لإيجاد التقريب للحل في (t = 1 ) ، (t = 2 ) ، (t = 3 ) ، (t = 4 ) ، و (t = 5 ) ). استخدم (h = 0.1 ) ، (h = 0.05 ) ، (h = 0.01 ) ، (h = 0.005 ) ، و (h = 0.001 ) للتقديرات.

    سنترك الأمر لك للتحقق من تفاصيل عملية الحل. حل هذه المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى هو.

    فيما يلي جدولان يوضحان التقديرات التقريبية والنسبة المئوية للخطأ لكل تقريب.

    التقريبات
    زمن بالضبط (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.01 ) (ح = 0.005 ) (ح = 0.001 )
    (t ) = 1 -1.58100 -0.97167 -1.26512 -1.51580 -1.54826 -1.57443
    (t ) = 2 -1.47880 0.65270 -0.34327 -1.23907 -1.35810 -1.45453
    (t ) = 3 2.91439 7.30209 5.34682 3.44488 3.18259 2.96851
    (t ) = 4 6.74580 15.56128 11.84839 7.89808 7.33093 6.86429
    (t ) = 5 -1.61237 21.95465 12.24018 1.56056 0.0018864 -1.28498

    نسبة الأخطاء
    زمن (ح = 0.1 ) (ح = 0.05 ) (ح = 0.01 ) (ح = 0.005 ) (ح = 0.001 )
    (t ) = 1 38.54 % 19.98 % 4.12 % 2.07 % 0.42 %
    (t ) = 2 144.14 % 76.79 % 16.21 % 8.16 % 1.64 %
    (t ) = 3 150.55 % 83.46 % 18.20 % 9.20 % 1.86 %
    (t ) = 4 130.68 % 75.64 % 17.08 % 8.67 % 1.76 %
    (t ) = 5 1461.63 % 859.14 % 196.79 % 100.12 % 20.30 %

    لذلك ، مع هذا المثال ، لا تعمل طريقة أويلر بنفس الجودة التي كانت عليها في أول IVP. ومع ذلك ، فإن بعض الملاحظات التي قدمناها في المثال 2 لا تزال صحيحة. إن تقليل حجم (h ) يقلل الخطأ كما رأينا في المثال الأخير ونتوقع حدوثه. أيضًا ، كما رأينا في المثال الأخير ، فإن تقليل (h ) بمعامل 10 يقلل أيضًا من الخطأ بنحو 10 مرات.

    ومع ذلك ، على عكس المثال الأخير ، فإن الزيادة (t ) ترى خطأ متزايدًا. هذا السلوك شائع إلى حد ما في التقريبات. لا ينبغي أن نتوقع انخفاض الخطأ كلما زاد (t ) كما رأينا في المثال الأخير. تم العثور على كل تقريب متتالي باستخدام تقدير تقريبي سابق. لذلك ، في كل خطوة نقدم خطأ وبالتالي يجب أن تزداد التقديرات التقريبية بشكل عام مع زيادة (t ).

    يوجد أدناه رسم بياني للحل (الخط) بالإضافة إلى التقديرات التقريبية (النقاط) لـ (h ) = 0.05.

    كما يمكننا أن نرى التقريبات تتبع الشكل العام للحل ، ومع ذلك ، من الواضح أن الخطأ يزداد سوءًا مع زيادة (t ).

    لذا ، فإن طريقة أويلر هي طريقة جيدة لتقريب الحلول اللطيفة التي لا تتغير بسرعة. ومع ذلك ، لن يتم التعامل مع كل الحلول بشكل جيد. هناك طرق تقريب أخرى تقوم بعمل أفضل بكثير لتقريب الحلول. ومع ذلك ، فإن هذه ليست محور هذه الدورة التدريبية ، لذلك سأترك الأمر لك لمزيد من البحث في هذا المجال إذا كنت مهتمًا.

    لاحظ أيضًا أنه ليس لدينا الحل الفعلي بشكل عام للتحقق من دقة التقريب. نحاول عمومًا إيجاد حدود للخطأ لكل طريقة تخبرنا بمدى جودة التقريب. مرة أخرى ، لم تعد حدود الخطأ هذه محور تركيز هذه الدورة التدريبية ، لذا سأتركها لك أيضًا إذا كنت مهتمًا بالنظر فيها.


    العلوم الرياضية والتكنولوجيا والقدرة التنافسية الاقتصادية (1991)

    يعتبر نقل التكنولوجيا أحد أهم قضايا التنافسية الاقتصادية المتعلقة بالعلوم الرياضية. السجل متفاوت ، مع ازدهار نقل التكنولوجيا في بعض المناسبات وتراجع في حالات أخرى. نقل التكنولوجيا هو مجال من مجالات النشاط المهني يفتقر إلى الوضوح إلى حد كبير ، ولهذا السبب ، تم توثيق بعض نجاحاته في هذا التقرير. كما تم تضمين تاريخ فشل بارز في نقل التكنولوجيا.

    تتطلب القدرة التنافسية الاقتصادية ، من بين عوامل أخرى ، قاعدة تقنية واسعة يمكن من خلالها استنباط طرق جديدة للإنتاج ، ومعلومات كمية (بيانات) وتحليل ، ومنهجية لمراقبة الجودة.

    في هذا الفصل ، تُظهر العديد من الأمثلة كيف ساهمت العلوم الرياضية في تلك القاعدة التكنولوجية وساعدت في إتاحة تصنيع سلع جديدة أو محسنة ، أو تقديم خدمة جديدة أو أفضل. عند القيام بذلك ، يتم التأكيد على أن التمييز بين الدعم المباشر وغير المباشر ، وبين الاتصالات قصيرة المدى وطويلة المدى ، لا يمكن رسمه بطريقة واضحة. ضع في اعتبارك مثال تنبؤات الطقس ، بشكل واضح وطبيعي جزء من البنية التحتية للتكنولوجيا. تعتمد التوقعات على عمليات المحاكاة الحاسوبية والنمذجة الرياضية ، وبالتالي فهي مشتقة جزئيًا من العلوم الرياضية. تُستخدم تنبؤات تيارات الرياح وموقع التيار النفاث في تخطيط الرحلات الجوية للطائرات التجارية ، وهي مساهم مهم في الاقتصاد في استهلاك الوقود مثل تصميم رقائق الأجنحة المتقدمة (مذكورة في القسم 3.2). تستخدم أساطيل الصيد التنبؤات في تقرير ما إذا كانت ستوسع شباكها أم لا. يستخدم المزارعون معرفة احتمالية هطول الأمطار في تخطيط الحصاد. يستخدم التنبؤ بأنماط الطقس القاسية في التخطيط لتقليل الخسائر من ارتفاع

    الرياح والفيضانات بسبب ارتفاع المد. تُستخدم تنبؤات درجة الحرارة والرطوبة لتقليل التكلفة الاقتصادية وتعظيم فوائد الامتثال للوائح جودة الهواء البيئية. من هذا المثال للتنبؤات الجوية ، يتضح أنه لا يوجد فرق حاد بين قاعدة التكنولوجيا والتطبيقات المباشرة.

    المناقشة التالية لقاعدة التكنولوجيا لا تركز بشكل ضيق على النمذجة والمحاكاة. هناك أهمية أساسية للطريقة الرياضية في التفكير. باختصار ، توفر الرياضيات طرقًا لتنظيم وهيكلة المعرفة بحيث ، عند تطبيقها على التكنولوجيا ، فإنها تسمح للعلماء والمهندسين بإنتاج معرفة منهجية وقابلة للتكرار وقابلة للنقل. ثم يصبح التحليل والتصميم والنمذجة والمحاكاة والتنفيذ ممكنًا لأنشطة فعالة ومنظمة بشكل جيد.

    وبالمثل ، لا يمكن التمييز بين التطبيقات قصيرة الأجل وطويلة الأجل بشكل لا لبس فيه. في سلسلة من الحالات ، يجد المرء نفس الموضوعات تتحرك ذهابًا وإيابًا بين النظرية والتطبيقات ، وتصبح أكثر ثراءً مع كل انتقال ، كما توضح الأمثلة التالية:

    تكاد أنظمة المعادلات التفاضلية والألياف الضوئية تكاملية

    البصريات الهندسية والحلول المقاربة للمعادلات التفاضلية

    تحليل فورييه وتماثلات المجموعة والوظائف الخاصة

    الهندسة التفاضلية المتغيرة والتشوهات المرنة و

    تحليل فورييه للمجموعات المحدودة وخوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT).

    تعتمد قدرة العلوم الرياضية على تقديم نتائج قصيرة الأجل بأي درجة من الاتساق بشكل حاسم على دعم تنميتها على المدى الطويل. على العكس من ذلك ، يتم تنشيط المجالات الأساسية للعلوم الرياضية باستمرار من خلال التفاعل مع التطبيقات. إنها تجربة عالمية تقريبًا أنه بمجرد نجاح التطبيق ، يعتمد المزيد من التقدم على تطوير نظريات جديدة ، وغالبًا ما تكون أساسية. يؤيد هذا التقرير المبدأ القائل بأن التطبيقات قصيرة المدى والنظريات الأساسية تكاد تكون

    لا ينفصل. وهي لا تحاول تحديد اختلافات ضيقة داخل قاعدة التكنولوجيا. بدلاً من ذلك ، فإن الهدف من هذا الفصل هو تحليل مجالات العلوم الرياضية وتوثيق ارتباطها الوثيق بالقدرة التنافسية الاقتصادية ، وبالتالي إثبات أهمية القاعدة التكنولوجية.

    4.1 نقل التكنولوجيا

    نقل التكنولوجيا ذات الأهمية لهذا التقرير هو نقل الأفكار والأساليب والنتائج من مجتمع العلوم الرياضية إلى المجموعات الهندسية والصناعية بغرض تحسين العملية التقنية والقدرة التنافسية الاقتصادية للصناعة الأمريكية. في ضوء الشبكة المستمرة للأفكار والقيم التي تشكل الحياة الفكرية لأمتنا ، يبدو من الأكثر عملية لتعزيز نقل التكنولوجيا على نطاق واسع لجميع قطاعات الاقتصاد ، على الرغم من أن اهتمامات هذا التقرير تتعلق بشكل مباشر بالدعم. من قطاع التصنيع.

    لا يُعترف عادةً بنقل التكنولوجيا كمجال للرياضيات ، ولهذا السبب فهو يفتقر إلى الرؤية بشكل عام. تم تضمينه هنا بسبب أهميته للتنافسية الاقتصادية ولأن علماء الرياضيات لديهم أنشطة واسعة في هذا المجال. هناك مشاكل خطيرة في نقل التكنولوجيا ، وهي مشاكل لا تقتصر بأي حال على العلوم الرياضية وحدها. لسوء الحظ ، فإن الوقت المطلوب للنقل طويل ، ويمتد عادةً لعقد واحد أو أكثر.

    تاريخيًا ، اتبعت عملية نقل التكنولوجيا من التصميم الإحصائي للتجارب إلى تحسين الجودة في التصنيع مسارًا متعرجًا. في عشرينيات القرن الماضي ، قاد الإحصائي وعالم الوراثة البريطاني آر.أ.فيشر تطوير النظرية الإحصائية وطرق التجريب. تم تحفيز فيشر إلى حد كبير من خلال التطبيقات الزراعية ، وسرعان ما تم تبني أفكاره هناك وأصبحت ناجحة بشكل غير عادي.

    أدرك الإحصائيون أن هذه الأفكار تنطبق أيضًا في السياقات الصناعية. تم استخدام الأساليب الإحصائية للتصميم التجريبي بواسطة Tippett لتحسين الإنتاجية في صناعات القطن والصوف في إنجلترا ، بدءًا من منتصف عشرينيات القرن الماضي. تم نقل هذه الأفكار إلى التصنيع لاحقًا ، ولكن على نطاق محدود ، واقتصر إلى حد كبير على الصناعات الكيميائية والصيدلانية. أيضا ، خلال عشرينيات القرن الماضي ،

    تم وضع أسس مراقبة الجودة الإحصائية في AT & ampT ، في جهد قاده Shewhart. في الخمسينيات من القرن الماضي ، تأثر ديمينج بشدة بشيوارت وقوة التحكم الإحصائي للجودة ، وأرسل رسالة الجودة إلى اليابان. كان تأثيره على التصنيع الياباني ، ولا سيما على المهندس الياباني تاجوتشي ، عميقًا وكان سببًا مهمًا للنجاح الذي حققته اليابان في المنافسة الصناعية. كانت مساهمة تاجوشي هي تكييف منهجية التصميم التجريبي ، التي تم تطويرها سابقًا في المملكة المتحدة والولايات المتحدة ، لمشاكل تقليل التباين في أداء المنتجات ، وبالتالي زيادة جودتها. أدت المخاوف بشأن القدرة التنافسية لأمريكا في الثمانينيات إلى نقل أساليب التجارب المخططة إحصائيًا ، من خلال تاجوشي ، إلى تصميم وتصنيع المنتجات في عدد من الصناعات الأمريكية. كانت الأفكار الأساسية متاحة منذ عشرينيات القرن الماضي ، وكذلك التطبيقات الأولية الناجحة. لم يكتمل النطاق الزمني لنقل هذه التكنولوجيا بعد ، لكنه يمتد بالفعل إلى 70 عامًا.

    قد تشمل بعض الأسباب الشائعة للتأخير في نقل التكنولوجيا ما يلي:

    تحتاج إلى صقل التكنولوجيا. هل يقوم المستخدم أو المنشئ بالعمل على التفاصيل؟ تقنية تسليم المفتاح هي الأسهل في النقل.

    تقييم. أي من الأفكار العديدة الجديدة سيكون مفيدًا حقًا للمستخدمين؟

    الاتصالات. يتم تبني الأفكار المعبر عنها باللغة الفنية للمستخدم بسهولة أكبر.

    التعلم. الوقت مطلوب لتعلم تقنية جديدة وتكييفها مع الوضع الجديد.

    اتخاذ القرار الجماعي. غالبًا ما يكون الإجماع مطلوبًا بين المستخدمين قبل تجربة التكنولوجيا أو تبنيها. هذا يقلل من المخاطر ولكنه يؤدي إلى تأخير.

    مسؤولية. لكي ينجح نقل التكنولوجيا ، فإن مسؤولية النقل تقع عادة على عاتق المجموعات أو الأفراد الذين اكتشفوا التكنولوجيا. عادة ما يتطلب الأمر جهدًا نشطًا لإنجاز النقل.

    ضروري. غالبًا ما يكون فشل التكنولوجيا القديمة بدلاً من تفوق التكنولوجيا الجديدة هو الخطوة الحاسمة لاعتماد التكنولوجيا الجديدة. قد يكون إثبات الفشل مضيعة للوقت.

    لم يخترع هنا. لدى المستخدمين مجموعة متنوعة من الواقعية والمتخيلة

    أسباب مقاومة الأفكار من الخارج.

    طبقات متعددة. غالبًا ما تكون هناك سلسلة من المجموعات التي يجب أن تمر من خلالها الأفكار والتكنولوجيا ، بما في ذلك التخصصات الأكاديمية المتعددة ، ومجموعات الخدمات الصناعية ، ومجموعات الإدارة الصناعية المختلفة.

    كما أنه من المناسب دراسة السياقات الهيكلية التي حدث فيها نقل التكنولوجيا. يعتبر نقل التكنولوجيا بين العلوم الرياضية والصناعة واسع النطاق ، وقد تم توثيقه في بقية هذا التقرير. لكي يكون نقل التكنولوجيا ناجحًا ، يجب أن يحمل المعلومات في كلا الاتجاهين. يتعلم عالم الرياضيات بقدر ما يعلمه. عادة ما يكون نقل التكنولوجيا أفضل عندما يشترك الطرفان في هدف مشترك. يعتمد بشكل أساسي على إقامة علاقات عمل وثقة. نلاحظ أدناه بعض الأمثلة المنهجية على نقل التكنولوجيا.

    تعقد الحلقة الدراسية حول المشكلات الصناعية 3 أسبوعياً في معهد الرياضيات وتطبيقاتها (IMA) في جامعة مينيسوتا. المتحدثون هم من الصناعة. يتألف الجمهور من زوار IMA وما بعد الدكتوراه بالإضافة إلى طلاب الدراسات العليا وطلاب جامعيين مختارين من جامعة مينيسوتا. يقدم المتحدثون مشاكل ذات طبيعة رياضية تنشأ في أنشطة البحث والتطوير الخاصة بهم. بعد العرض التقديمي ، عادة ما تكون هناك متابعة ، وعادة ، في غضون فترة تتراوح من عدة أسابيع إلى عدة أشهر ، يتم حل العديد من المشكلات جزئيًا أو كليًا. تؤدي بعض هذه المشكلات إلى رياضيات جديدة ومثيرة. فيما يلي بعض الأمثلة التي تناولتها الندوة حول المشكلات الصناعية.

    البصريات الثنائية. يمكن استخدام التقنيات الإلكترونية الدقيقة لتصنيع أسطح ركائز بصرية بملف جانبي متدرج. يمكن استخدام هذه الأجهزة البصرية كعدسات وشاشات عرض إلكترونيات الطيران وما إلى ذلك. التصميم

    الرياضيات الصناعية هي رياضيات قابلة للتطبيق يتم استخدامها في سياق صناعي. يتضمن الطرق والجداول والخوارزميات والنمذجة والشعور بأحجام الكميات ذات الصلة. يتضمن أجزاء كبيرة من الرياضيات التطبيقية ، لكنه لا يشمل تطبيقات الرياضيات في العلوم الأساسية ، مثل الفيزياء الفلكية وعلم الأحياء (بخلاف التكنولوجيا الحيوية). الرياضيات التطبيقية هو مجال بحثي يطور ويستخدم نظرية رياضية جديدة أو موجودة لحل المشكلات ذات الأهمية للمجتمع. يشمل هذا المجال طرق الحل وطرق التقريب وخوارزميات الكمبيوتر والنمذجة. بسبب التطبيق الواسع للرياضيات ، تم تضمين أجزاء كبيرة من الرياضيات البحتة أيضًا.

    من السطح يمكن إنتاجه كبرنامج ، لكن هذه الخطوة تتطلب حل معادلات ماكسويل في المساحة بأكملها بحيث يتم تصميم السطح كواجهة بين وسيطين بصريين. نظرًا لأن الملف الشخصي المتدرج يحتوي على زوايا ، تنشأ مشاكل خطيرة في محاولة تكييف الرموز التقليدية. وجد فريق IMA طريقة جديدة لحل معادلات ماكسويل ، مما يؤدي إلى طريقة رقمية واعدة للغاية.

    التصوير الكهربائي. التصوير الكهربائي هو عملية تتكون فيها الصور من الضوء والكهرباء. المثال الشائع هو تصوير المستندات. تتمثل إحدى الخطوات المتضمنة في إنشاء صورة مرئية من الصورة الكهربائية. هنا يتراكم الحبر (الحبر) بالقرب من الصورة الكهربائية للبقع الداكنة في المستند. حدود منطقة الحبر هي "حدود حرة". يفي الجهد الكهربائي بمعادلة تفاضلية جزئية خارج مسحوق الحبر ومعادلة تفاضلية جزئية أخرى داخل مسحوق الحبر. الاحتمالية مستمرة مع أول مشتق لها عبر الحدود الحرة ، ومشتقتها العادية تختفي على الحدود الحرة. تمثل المشكلة الرياضية نوعًا جديدًا تمامًا من مشكلة الحدود الحرة. أظهر فريق IMA أنه بالنسبة لمجموعة من المعلمات ، فإن المشكلة لها حل فريد ، وبالنسبة لمجموعة أخرى من المعلمات ، لديها عدد لا حصر له من الحلول.لا يزال هناك العديد من الأسئلة المفتوحة بخصوص هذه المشكلة. ومع ذلك ، فقد تم بالفعل في هذه المرحلة حساب بعض الثوابت المهمة التي قد تساعد المصمم على تحسين صورة النسخ.

    نمو البلورات في المحلول. يوجد عدد كبير من البلورات في محلول داخل فيلم فوتوغرافي. لتحقيق أفضل توزيع للحجم لوظيفة معينة للفيلم ، يتعين على المرء دراسة تطور البلورات في الوقت المناسب. يمكن النظر إلى هذه المشكلة على أنها نظام ديناميكي يقترب من قانون الحفظ بشروط غير محلية غير خطية. تم النظر في المشكلة من قبل الأشخاص في IMA. اكتشف تحليلهم الحجم المقارب للحبيبات البلورية ، كما أوضح أيضًا بمعنى أن النظام الديناميكي هو تقريب جيد لقانون الحفظ. حتى الآن لم يتم النظر إلا في حالة البلورات التي تكون أجسامًا شبيهة بالمكعبات. ستكون الخطوة التالية هي دراسة نموذج أكثر واقعية حيث تكون البلورات شبيهة بالأسطوانة.

    يتم تنظيم مؤتمرات الرياضيات الصناعية سنويًا في معهد Rensselaer Polytechnic. هذه المؤتمرات لها شكل غير عادي. المتحدث ، مشارك صناعي ، يقدم مشكلة-

    Lem والمشاركين في المؤتمر ، الذين تم اختيارهم أو اختيارهم ذاتيًا لاهتمامهم بمثل هذه الأحداث ، يحاولون معرفة كيفية صياغة المشكلة. يحاولون تحديد المتغيرات والمعادلات الأساسية والسمات الأساسية للمسألة والتقديرات المقبولة. يناقشون كيفية وصف المشكلة من خلال الصيغ الرياضية. إذا نجحت هذه المرحلة ، فقد تستمر المناقشة حول طرق حل معادلات النموذج. سيتم النظر في العديد من هذه المشاكل في سياق المؤتمر. يتم تنظيم عيادة صناعية مماثلة في كليات كليرمونت حيث يقضي مدرس وفريق من الطلاب عادةً عامًا واحدًا في العمل على مشكلة معينة.

    مركز تحسين الجودة والإنتاجية هو مركز متعدد التخصصات يقع في جامعة ويسكونسن. يتم تقسيم موظفي المركز بالتساوي بين الإحصائيين والمهندسين. يدعم المركز مجموعة كبيرة من أنشطة نقل التكنولوجيا ، من المؤتمرات إلى محاضرات الضيوف إلى الاستشارات ، كما يجري برنامجًا بحثيًا في تحسين الجودة والإنتاجية الذي يعتمد عليه نقل التكنولوجيا.

    تم تنظيم مجموعة من الرعاة الصناعيين من قبل معهد استعادة النفط وقسم الرياضيات في جامعة وايومنغ. يتبع البرنامج العلمي للمعهد الاهتمامات البحثية لأعضاء هيئة التدريس في نمذجة مكامن البترول والمحاكاة العددية. الأفكار والخوارزميات الحسابية التي تم تطويرها ضمن برامج البحث الخاصة بالمعهد متاحة للرعاة الصناعيين ، بما في ذلك الشبكات التكيفية ديناميكيًا والأساليب المميزة للاختلاف.

    في جامعة ديوك ، بدأ برنامج في نمذجة التدفق الحبيبي. هذه المشكلة لم تكن قد حاولت من قبل من قبل المجتمع الرياضي وبدت مضطربة في البداية. واجه مهندسو تصميم صوامع الحبوب العديد من المشكلات المهمة لعملية التصميم التي لم يفهموها. بعد بذل بعض الجهد ، تم اكتشاف أن المسائل الرياضية كانت مثيرة للاهتمام وكانت توضيحية لفئة المشاكل التي تغير النوع من القطع الناقص إلى القطعي. ارتبط تغيير النوع بتكوين أشرطة القص في المادة الحبيبية ، وهي المشكلة التي حيرت مهندسي التصميم.

    يحتفظ عدد من المختبرات الصناعية الكبيرة بمجموعات رياضية داخلية. هذه المجموعات لديها نفس مشاكل نقل التكنولوجيا

    وعادة ما ينجحون في تحمل مسؤولية نقل التكنولوجيا على عاتقهم. وبالمثل ، طورت المختبرات الوطنية قدرات وتقنيات حسابية وحاسوبية وبرمجية ، والتي تم نقلها إلى الصناعات الأمريكية. تتمثل إحدى الطرق الفعالة جدًا لنقل التكنولوجيا في تثقيف الطلاب الذين سيجدون لاحقًا عملاً في المختبرات الصناعية أو الوطنية. توفر اجتماعات الجمعيات المهنية للعلوم الرياضية منتدى لنقل التكنولوجيا ، وفي بعض الحالات تجتذب المهندسين وعلماء الرياضيات من الصناعة.

    بسبب الدور المركزي للحوسبة ، تعد البرمجيات آلية متزايدة الأهمية لنقل التكنولوجيا. يسمح البرنامج المصمم جيدًا بالتطبيق الفوري لخوارزميات وتقنيات متقدمة جديدة في مجالات متباينة. تتضمن إحدى الطرق الشائعة لنقل التكنولوجيا تنفيذ خوارزمية حسابية عالية المستوى في كود الكمبيوتر. يقدم ماثيماتيكا وناستران أمثلة. كان مختبر أرجون الوطني رائداً في إنشاء مكتبة برمجيات ، Netlib ، للتبادل الإلكتروني للبرامج. تشتهر بجودتها الممتازة ، ويستخدم على نطاق واسع عدد من عروضها ، مثل LINPAK.

    في كثير من الأحيان ، تلتقط مجموعات البحث في الصناعة أكواد البحث الأكاديمي ودمج الأفكار في أكواد الإنتاج والمحاكاة الداخلية الخاصة بهم. بدأت لغة الحوسبة العلمية C ++ حوالي عام 1980 كمشروع بحثي في ​​AT & ampT Bell Laboratories. تم توزيع مترجم محمول داخل مختبرات بيل وعلى الجامعات بتكلفة رمزية ، وبالتالي تشجيع المستخدمين على التجريب والتغذية الراجعة للمصمم. اليوم العدد التقديري لمستخدمي C ++ هو 100000. وبالمثل ، نمت اللغة الإحصائية S من أداة بحث إلى منتج تجاري أصبح اليوم المعيار الفعلي بين الإحصائيين لكل من البحث وتدريب الطلاب. في AT & ampT ، عملت S كوسيط لنقل الأساليب الإحصائية من منطقة البحث إلى التطوير والتسويق والتصنيع.

    توضح هذه الأمثلة أنه من الممكن أن ينجح نقل التكنولوجيا. هناك طرق متنوعة لنقل التكنولوجيا. يمكن استطلاع مستخدمي التكنولوجيا ، لتحديد احتياجاتهم واهتماماتهم ، يمكن تحديد المشكلة في منطقة من المعروف أن المستخدمين مهتمون بها ويمكن العثور على مجالات جديدة ، والتي يمكن للمستخدمين ومشاكلهم -

    يجب تحديد lem. لضمان حدوث نقل التكنولوجيا ، يجب على علماء الرياضيات والمهندسين والمصنعين وقادة الأعمال قبول المهمة التي يتعين إنجازها والتخطيط للنتيجة.

    4.2 المحاكاة والنمذجة الحاسوبية

    يعد التحليل الحسابي والحاسبي أداة أساسية في تصميم المنتجات وتطوير النظام. لا يقدم استكشاف النفط وتصميم محرك السيارات وتصميم الجناح وجسم الطائرة للطائرات ومكونات الدوائر لأجهزة الكمبيوتر والتمويل والتحكم الآلي وتصميم المواد المركبة الجديدة وتصميم البناء سوى أمثلة قليلة على هذه الحقيقة.

    & bull محاكاة سلوك وأداء المعدات أو الأنظمة على الكمبيوتر يتيح تحديد معلمات التصميم التي من شأنها تحسين الأداء بشكل كبير ، أو حتى تحديد ما إذا كان "الشيء" سيعمل. توفر المحاكاة مثل هذه المعلومات بسرعة أكبر وبتكلفة أقل من البناء التقليدي والتجريب الذي لا يزال شائعًا في العديد من الصناعات.

    أحد الأمثلة على ذلك هو شريحة الذاكرة ميغابت التي تم تصميمها واختبارها في تسعة أشهر في AT & ampT Bell Laboratories. تم الحصول على سرعات تصميم مماثلة من قبل الشركات المصنعة الأخرى. مثال آخر هو وضع هيكل المحرك على Boeing 737 لزيادة الرفع بشكل كبير. تمكنت الشركة المصنعة للطائرة 737 من الحصول على تحسينات جوهرية في الأداء مع تقليل عدد اختبارات نفق الرياح من أكثر من 60 إلى حوالي 10. أدت الأساليب عالية الكفاءة لديناميكيات السوائل الحسابية إلى هندسة الطائرات مع خصائص الطيران المثلى وانخفاض استهلاك الوقود (انظر الشكل 4.1).

    تتميز العمليات المعقدة بالعديد من العمليات الفرعية المتفاعلة. يجب أن تكون مصممة بكفاءة وبناؤها وتعديلها وصيانتها بمرونة كافية لتكون قابلة للتطبيق في بيئات تصنيع جديدة ومرنة. لا يمكن تحقيق هذه الأهداف بدون تحليل ومحاكاة مفصلين للنظام بأكمله للإشارة إلى حساسيات ناتج العملية للتغيرات في النظم الفرعية المكونة المتفاعلة.

    على الرغم من أن الحوسبة الهندسية والعلمية أصبحت أدوات مركزية للمهندسين والعلماء على مدى العقود الماضية ، إلا أن هناك إمكانية بين الصناعات الأمريكية لزيادة استخدام

    الشكل 4.1 جناح ONERA M6 متصل بجسم أسطواني للطائرة. تم إنشاء هذه الشبكة المتداخلة المركبة باستخدام برنامج CMPGRD. تُستخدم هذه الشبكات المتداخلة المركبة في نمذجة تدفق السوائل حول الكائنات ذات البنية الهندسية المعقدة. تتمثل بعض مزاياها مقارنة بالطرق الأخرى في نعومتها وقدرتها على توفير دقة عالية عند الحاجة إليها ، وكلاهما مهم للنمذجة الدقيقة. تُستخدم الشبكة المركبة الموضحة في هذا الشكل لنمذجة تدفق الهواء حول الجناح. أعيد طبعه بالإذن من [16]. حقوق النشر والنسخ 1990 بواسطة Academic Press، Inc.

    أجهزة الكمبيوتر لتقليل التجارب والاختبارات المعملية (على سبيل المثال ، في علم الأدوية ، وتصميم المواد ، وتصميم العملية ، وتحليل النظام الديناميكي الهوائي الكلي للطائرة).

    تم تأكيد أهمية الحوسبة العلمية والهندسية من خلال العديد من الدراسات التي ترعاها الحكومة الأمريكية. خطة التقنيات الحرجة (انظر الملحق A.4) بتكليف من المؤتمر حدد 20 تقنية بالغة الأهمية ، بما في ذلك التقنيات الخمس التالية:

    معماريات الكمبيوتر المتوازية

    ديناميكا الموائع الحسابية

    أجهزة أشباه الموصلات والدوائر الإلكترونية الدقيقة

    المحاكاة والنمذجة لها دور حاسم بين التقنيات الخمسة عشر المحددة المتبقية. كانت المحاكاة في صميم التقدم في التكنولوجيا والعلوم لأسباب عديدة ، من بينها ما يلي:

    ضروري. عادةً لا يمكن حل المشكلات المتطورة التي تتحدى المهندسين والعلماء بطرق أخرى.

    التوفر. قوة الحوسبة الخام هائلة وتتزايد بسرعة.

    جدوى. خلال العقود العديدة الماضية ، كانت هناك تطورات كبيرة في الأساليب الرياضية وتطوير الخوارزميات التي توحد العلم والتكنولوجيا مع الكمبيوتر.

    أمثلة

    لقد أثرت تقنية المحاكاة قاعدة المعرفة واستفادت من نهج حل المشكلات البديهي الذي يستخدمه المهندسون الممارسون. في غياب مثل هذه المحاكاة ، ستكون الأدوات المتاحة غير مناسبة إلى حد ما لنوع المشاكل التي تتم معالجتها اليوم. تم ذكر أمثلة الفضاء والنفط في وقت سابق.

    في صناعات الإلكترونيات الدقيقة ، لا يمكن تنفيذ تصميم أجهزة أشباه الموصلات الجديدة والدوائر التي تستخدمها إلا من خلال المحاكاة.

    في صناعة المستحضرات الصيدلانية ، أصبحت الطرق الحسابية لفهم بنية الجزيئات (انظر الشكل 4.2) هي الأدوات القياسية. من المتوقع على نطاق واسع أن يستفيد تصميم الأدوية الجديدة بشكل كبير من الاستخدام المنتظم للمحاكاة. تعتمد كيمياء الكم بشكل كبير على الحوسبة عالية الأداء على نطاق واسع ، بما في ذلك المحاكاة. ستوفر النمذجة الحاسوبية في كيمياء الكم الأساس العلمي للتطورات الجديدة في علم العقاقير.

    في صناعة النسيج ، يعد التخطيط المحوسب لأنماط قطع الملابس لتقليل الفاقد مشكلة في برمجة الأعداد الصحيحة والتحسين.

    موارد

    منذ عقد واحد فقط ، كانت القوة الحسابية تُقاس بالميغا فلوب (ملايين العمليات الحسابية للفاصلة العائمة في الثانية). يتم قياسها الآن بالجيجا فلوبات (مليارات العمليات الحسابية للفاصلة العائمة في الثانية) وسوف تتطور إلى نطاق متعدد الفلوب مع ظهور أجهزة كمبيوتر متوازية قوية في السنوات القادمة. تتيح التطورات في الرسومات للمستخدم استيعاب كميات هائلة من البيانات والنتائج تصويريًا. تتيح شبكات النطاق العريض الحوسبة الفائقة على نطاق واسع للمهندسين والعلماء في المواقع النائية جغرافيًا. في الوقت نفسه ، توفر محطات العمل القوية إمكانات حاسوبية لسطح المكتب كانت متوفرة سابقًا فقط على الحواسيب المركزية في عدد محدود من المواقع المركزية.

    من الأهمية بمكان بالنسبة لقوة الحوسبة الأولية التقدم المحرز في العلوم الرياضية ، بما في ذلك تطوير خوارزميات للمعالجة المتوازية. في العقد الماضي ، زادت بشكل كبير معرفة سلوك المعادلات التي تحكم مجالات حيوية مثل ديناميات الموائع وظواهر النقل. تعمل الخوارزميات الجديدة على تحسين استقرار ودقة وسرعة حلول هذه المعادلات بشكل كبير.

    الشكل 4.2 محاكاة حاسوبية لجزء من خيط DNA ، تظهر الشكل الحلزوني ثلاثي الأبعاد. يعتمد الحساب على مبدأ تقليل الطاقة الحرة الفعالة. تعد محاكاة الكمبيوتر طريقة متزايدة الأهمية لتحديد شكل وهيكل الجزيئات البيولوجية وستكون أداة قوية بشكل متزايد في التكنولوجيا الحيوية. أعيد طبعها ، بإذن ، من [13] ، الشكل 12. حقوق النشر ونسخ 1988 بواسطة John Wiley & amp Sons، Inc.

    متطلبات

    تعتمد المحاكاة الفعالة على النمذجة والخوارزميات والفهم التحليلي ، بالإضافة إلى التحقق من صحة الواقع. الفهم التحليلي هو موضوع & القسم & القسم4.3 إلى 4.6. تتضمن النمذجة إعداد معادلات رياضية تصف حلولها سلوك العملية المراد نمذجتها. يجب أن تتضمن الحلول ما يكفي من العلم الأساسي لضمان أن تكون النتائج ذات مغزى. يجب أن تكون المعلمات في المعادلات قابلة للملاحظة أو الاستنتاج من القياسات وبسيطة بما يكفي حتى يمكن فهم سلوكها. أخيرًا ، يجب تطوير واختبار طرق عددية فعالة وفعالة لحل المعادلات في كل حالة.

    النمذجة هي أكثر من مجرد تحليل رياضي وعددي ويجب أن يكون mdashit بالضرورة جهدًا متعدد التخصصات يتطلب تعاون المهندسين والعلماء الذين يفهمون المشكلات وعلماء الرياضيات الذين يفهمون عملية النمذجة الحسابية والرياضية.

    مع تقدم التكنولوجيا وزيادة الفهم ، يجب تحسين النموذج الرياضي لتمثيل الظواهر الفيزيائية بشكل أكثر دقة ، مع زيادة التعقيد. على سبيل المثال ، كانت معادلات الانجراف-الانتشار لنمذجة سلوك أجهزة أشباه الموصلات مفيدة للغاية. ومع ذلك ، مع تقدم التكنولوجيا إلى نظام الأجهزة دون الميكرون ، قد تتوقف هذه المعادلات عن الدقة. تجري مراجعة النموذج لدمج المزيد من التفاصيل حول نقل الإلكترونات من خلال نسخة من معادلة بولتزمان أو عن طريق محاكاة مونت كارلو. هناك حاجة إلى خوارزميات جديدة جذريًا على جميع المستويات لاستخدام أجهزة كمبيوتر موازية عالية الأداء بكفاءة وكذلك للتعامل مع مشاكل التعقيد المتزايد باستمرار. المسائل ثلاثية الأبعاد هي أوامر من حيث الحجم أكثر تعقيدًا من المشكلات ثنائية الأبعاد. محاكاة طائرة كاملة هي أوامر من حيث الحجم أكثر تعقيدًا من محاكاة الأجنحة. يتطلب فهم بنية الجزيئات العضوية الكبيرة وتفاعلاتها أوامر قدرة حسابية أكبر من تلك المطلوبة للجزيئات البسيطة. سيستمر تعقيد النظام في الزيادة حيث تتضمن المعادلات الأساسية التي تصفها المزيد من العلوم الأساسية.

    هناك حاجة إلى طرق عددية جديدة مناسبة بطبيعتها للحوسبة المتوازية لاستيعاب الطلبات الحسابية المتزايدة. مثل

    ستحتاج الطرق إلى استيعاب "حسابات النواة" ، مثل حلول أنظمة المعادلات الخطية ، وتحويل فورييه ، وحسابات القيمة الذاتية والمتجه الذاتي ، بطريقة متوازية بنيويًا.

    تشكل المدخلات والمخرجات مجالًا مهمًا آخر يتطلب تقدمًا في الخوارزميات. يتم قياس الوقت المستغرق لإدخال هندسة المشكلة وإنشاء الشبكة التي تعتمد عليها العديد من طرق الحل في الأسابيع ، بينما يتم قياس الوقت اللازم لأداء الحوسبة بالساعات أو الدقائق. لتحقيق محاكاة على نطاق واسع ، يجب التغلب على هذه الاختناقات. يجب إيجاد طرق جديدة لوصف هندسة المشكلة. هناك حاجة ماسة إلى طرق تلقائية أفضل لإنشاء شبكات مقبولة للتكامل العددي الفعال والدقيق. مخرجات النتائج لا تقل أهمية. التمثيل البياني لنتائج الحسابات إلزامي إذا أراد المهندسون والعلماء فهمها. هذا المجال البحثي في ​​مهده ، لكن النتائج مشجعة وتؤدي إلى توقعات واقعية بأنه سيتم التغلب على العقبات الحالية.

    نماذج الكمبيوتر الكبيرة مكلفة للتشغيل. تتطلب الحاجة إلى الحصول على معلومات تتعلق بالعديد من معلمات النموذج الاختيار الفعال لإعدادات المعلمات (المدخلات). يمكن صياغة هذه المشكلة باعتبارها واحدة من التخطيط التجريبي الإحصائي.

    4.3 تحسين الجودة الإحصائية

    بدأت أساليب ومفاهيم مراقبة الجودة والتصميم الإحصائي للتجارب في عشرينيات القرن الماضي. (انظر القسم 4.1 للحصول على نبذة تاريخية.)

    بدأت مراقبة الجودة كطريقة لمراقبة أو اختبار المخرجات وبالتالي التخلص من العيوب أو إصلاحها. بدأ التصميم الإحصائي للتجارب في السياقات الصناعية كوسيلة لتحديد أسباب العيوب. ومنذ ذلك الحين تم دمج المنطقتين في العديد من جوانبها. لقد تم تحويلها إلى نظام لبناء الجودة في تصميم المنتجات ، والتحكم في عمليات التصنيع لضمان الجودة ، وتركيب أدوات إحصائية بسيطة في جميع مراحل الإنتاج للسماح بالكشف المبكر عن المشاكل وتشخيصها.

    تم التأكيد على هذا التغيير في التركيز من قبل Deming في نقاطه الـ 14 الشهيرة الآن لإنشاء منتجات عالية الجودة. يتحقق التحسين من خلال دراسة متأنية للعمليات وعن طريق إيجاد وإزالة الأسباب الجذرية للعيوب. تحسين الجودة ليس عملية من خطوة واحدة. إنه ل

    عملية تدريجية جارية. تُستخدم الأساليب الإحصائية للتصميم التجريبي في وضع حل المشكلات. لا تقتصر على مرحلة اختبار ما بعد التصنيع ، ولكن يتم استخدامها من قبل المهندسين والملاحظين والعمال في أرض المصنع. أولئك الأقرب إلى المشاكل يشاركون بشكل مباشر في حلها.

    يؤدي تحسين الجودة إلى تقليل الهدر والخسارة والخردة ، وعلى عكس تدابير مراقبة الجودة التقليدية ، فهو إجراء لخفض التكاليف بشكل عام. لا ترتبط هذه الأساليب بالاختلافات الثقافية الفريدة بين قوى العمل الوطنية. على سبيل المثال ، استحوذ مالكون يابانيون على شركة تصنيع أجهزة تلفزيون أمريكية. كان لدى المنشأة معدل فشل في المنتج يبلغ 146 في المائة ، مما يعني أن معظم أجهزة التلفزيون تتطلب إصلاحًا ، وبعضها تطلب إصلاحات متعددة قبل اكتمال التصنيع. بعد إدخال طرق تحسين الجودة ، تم تخفيض معدل الفشل إلى 2 بالمائة ، مع زيادة جودة المنتج وانخفاض تكاليف التصنيع.

    يجب أن تكون الأساليب الإحصائية ، التي يستخدمها عمال المصانع ، بسيطة وقوية. الأساليب ليست مجموعة معقدة من القواعد الاستنتاجية ، بل هي مجموعة بسيطة من الأدوات ، ليتم تطبيقها تجريبيًا لتشخيص المشكلات. نقل التكنولوجيا هنا هو الشاغل الرئيسي. علاوة على ذلك ، يعد تطوير أدوات إحصائية مناسبة لهذا السياق سؤالًا بحثيًا يشرك حاليًا الإحصائيين الأمريكيين. الأساليب الإحصائية لتصميم التجارب ، مثل التصاميم العوامل ، والحظر ، والعشوائية ، راسخة في الزراعة ولكنها أقل استخدامًا في التصنيع. يعد اختيار المتغيرات المهمة من بين المتغيرات الأقل أهمية ، وتقليل البعد الفعال لمجموعات البيانات الكبيرة أو عالية الأبعاد ، وطرق سطح الاستجابة مفيدة في تحليل البيانات.يتم تحسين قيمة هذه الأساليب بشكل كبير عند تطويرها إلى برامج كمبيوتر ملائمة وقوية ، ودعمها بتمثيلات رسومية جيدة.

    تحسين الجودة في التصنيع ليس نهاية القصة. يتم تنفيذ الجودة في المراحل الأولى من تصميم المنتجات وتصميم عملية التصنيع. تتطلب الجودة حسب التصميم ، كما يطلق عليها ، التعاون بين الإحصائيين والمهندسين الذين يعملون في مجالات التصميم والتصنيع والجودة. مثال على مشكلة تنشأ في الجودة حسب التصميم هو تقليل تنوع سمات معينة للمنتج ، كدالة للتغير المقابل للمكونات. توفر عملية التصنيع ثروة هائلة من

    معلومات عن نفسها ، والتي عادة لا تستخدم بطريقة جادة. يوفر التحكم الآلي طريقة لاستخدام هذه المعلومات في وضع التعلم الذاتي أو الذكاء الآلي. يمكن تحديد متغيرات التصميم للتحكم في عملية كيميائية (على سبيل المثال ، درجة الحرارة والضغط) مبدئيًا من خلال حل بعض المعادلات النموذجية ، والتي تقترب من عملية التصنيع الحقيقية. يتمثل دور التحكم الآلي في مراقبة متغيرات التحكم هذه والتأكد من تحقيقها للقيم المرغوبة. ومع ذلك ، يمكن للمرء أيضًا مراقبة المخرجات لبعض مقاييس جودة التصنيع وإجبار متغيرات التحكم على البحث في حي صغير من قيم التصميم المحددة الخاصة بهم عن القيم المثلى ، والتي تعطي أفضل ناتج.

    اليوم ، تنتشر نماذج المحاكاة وتستخدم بشكل متزايد لتوفير البيانات اللازمة لتحقيق الجودة حسب التصميم. يتطلب استخدام نماذج الكمبيوتر في التصميم الهندسي تحديد العديد من معايير التصميم ، وغالبًا ما تتفاعل بطرق معقدة. تعد الأساليب الإحصائية للتصميم التجريبي المناسب لأسطح الاستجابة بأبعاد عالية ، مع معالجة محدودة للبيانات لمجموعات البيانات الكبيرة والطرق الإحصائية لتقليل البيانات ، أمثلة على الأفكار والأدوات القادمة من الإحصائيات التي ستساعد في التصميم من خلال عملية المحاكاة ، تمامًا كما هي ساعدت تقليديا في عملية التصميم التجريبي. ما يمكن القيام به لتصميم المنتجات يمكن أيضًا نقله "أعلى" إلى تصميم عملية التصنيع.

    تحسين الجودة ليس مجال الإحصاء الفريد. تساهم جميع مجالات قاعدة التكنولوجيا (على سبيل المثال ، المحاكاة والنمذجة والنظرية في التصميم الهندسي) في جودة التصنيع.

    4.4 المعادلات التفاضلية

    تستخدم المعادلات التفاضلية على نطاق واسع في نمذجة الظواهر الطبيعية. هم أساس كل واحد من العلوم الفيزيائية والتكنولوجيا المرتبطة بها. وبالتالي فليس من المستغرب أن يلعبوا دورًا مركزيًا في القاعدة التكنولوجية المطلوبة للتنافسية الاقتصادية.

    التقارب

    في وقت مبكر من هذا القرن ، تم تطوير نظرية الطبقة الحدودية كأداة قوية لمهاجمة مشاكل التدفق غير الخطي بطريقة واقعية.


    الطرق العددية

    الطرق العددية باستخدام MATLAB، 3e ، هي مرجع شامل يقدم المئات من الخوارزميات الرقمية المفيدة والمهمة التي يمكن تنفيذها في MATLAB للحصول على تفسير رسومي لمساعدة الباحثين على تحليل نتيجة معينة. يتم تقديم العديد من الأمثلة العملية جنبًا إلى جنب مع التمارين والحلول لتوضيح كيفية استخدام الأساليب العددية لدراسة المشكلات التي لها تطبيقات في العلوم الحيوية والفوضى والتحسين والهندسة والعلوم في جميع المجالات.


    7. المغناطيسية الدقيقة

    تكمن أجهزة التخزين المغناطيسية في أساس الحوسبة الحديثة. تثير النمذجة والمحاكاة والتحليل والتصميم أسئلة أساسية في الفيزياء والرياضيات ، لا يزال العديد من دون إجابة. تعمل التكنولوجيا على تغيير حدود البحث: مع انخفاض أحجام الأجهزة ، تكتسب المشكلات التي بدت أكاديمية قبل بضع سنوات - مثل تأثيرات الضوضاء الحرارية والاضطراب المكاني - أهمية عملية.

    السمة المميزة لهذا الموضوع هي وجود نموذج رياضي راسخ وقياس الأداء: المغناطيسية الدقيقة [25]. هذه النظرية ، التي يزيد عمرها عن خمسين عامًا ، تصف أنماط المغنطة الثابتة بأنها حد أدنى محلي من الطاقة المناسبة (تتكون من مصطلحات "التبادل" و "تباين الخواص" و "السكون المغنطيسي"). علاوة على ذلك ، فهو يصف تطور المغنطة عبر معادلة لانداو-ليفشيتز-جيلبرت. تحتوي المغنطيسية الدقيقة على عدد قليل نسبيًا من المعلمات التأسيسية ، ومع ذلك (مثل ديناميات السوائل) يمكن أن يكون لحلولها سلوك معقد على مقاييس أطوال متعددة.

    أحد الاتجاهات المهمة للعمل الرياضي هو المغناطيسية العددية الدقيقة. تُستخدم المحاكاة العددية على نطاق واسع بالفعل ، ولكن الأساليب الحالية كافية فقط لدراسة الأجهزة الصغيرة للغاية. هناك ثلاث صعوبات أساسية: (أ) جدران المجال المغناطيسي رقيقة ، وتتطلب شبكة مكانية صغيرة للحل (ب) معادلات التطور صلبة ، وتتطلب خطوة زمنية صغيرة للاستقرار و (ج) التفاعلات المغناطيسية طويلة المدى ، تتطلب تقييم الالتواء في كل خطوة زمنية. الطريقة المعتادة للتعامل مع (ج) هي استخدام تحويل فورييه السريع - والذي يتطلب شبكة مكانية موحدة. هذا يهدر درجات الحرية المكانية في مناطق كبيرة حيث لا يحدث شيء مثير للاهتمام. يعد تحسين الشبكة التكيفية بديلاً طبيعيًا ، مقترنًا بنسخة من طريقة متعددة الأقطاب السريعة [27] لتقييم التفاعلات المغناطيسية. يتمثل الاتجاه الطبيعي الآخر في تطوير مخططات التسلسل الزمني الضمنية ، للسماح بالمحاكاة بخطوات زمنية أكبر بكثير [26].

    الاتجاه المختلف هو دور الضوضاء في التبديل المغناطيسي. تم النظر في تبديل الجسيمات الممغنطة بشكل منتظم على نطاق واسع. ومع ذلك ، فإن الأنظمة ذات الاهتمام الحقيقي ليست ممغنطة بشكل موحد: ففضاء التكوين هو حقًا بلا حدود الأبعاد (مجالات المغنطة) بدلاً من الأبعاد المحدودة (مغنطة ثابتة) ، والتبديل ينطوي على تنوي وحركة جدران المجال. حتى بدون ضوضاء ، فإن الفهم الحالي للتبديل في الإعداد الموزع مكانيًا غير مكتمل للغاية. بالنسبة لدور الضوضاء: هذه مسألة انحرافات كبيرة ، لنظام موصوف بواسطة PDE العشوائي بدلاً من ODE العشوائي. النظرية ذات الصلة في مهدها [29] يعتمد فهمنا الحالي بشكل أساسي على التجارب العددية والفيزيائية [28].


    4.2: مجالات الاتجاه والطرق العددية - الرياضيات

    الكتاب هو المعادلات التفاضلية الأولية ومشاكل القيمة الحدية المؤلفان هما بويس وديبريما

    يرجى الملاحظة هذه هي الطبعة العاشرة! (يبدو أنه يختلف قليلاً عن الإصدارات السابقة ، لذلك ربما تكون آمنًا معهم. لدي الإصدار التاسع أيضًا حتى أتمكن من مساعدتك في محاذاة التمارين)

    برمجة

    سوف تتطلب منك بعض التمارين استخدام الكمبيوتر لإنشاء الصور. هناك عدة طرق للقيام بذلك. ربما يكون بعضكم على دراية بـ MatLab الذي يحتوي على شيء يسمى PPLANE والذي سيكون مفيدًا. لقد كتبت حزمة برامج XPPAUT لحل المعادلات التفاضلية ورسمها. يعمل هذا على جميع أجهزة الكمبيوتر ويعمل أيضًا على أجهزة iOS (آسف ، لا يعمل بنظام Android). يمكنك الحصول على هذا في هذا الموقع. يمكنني مساعدتك في الحصول عليه على جهاز الكمبيوتر الخاص بك لأنه يتطلب قدراً ضئيلاً من الجهد

    المنهج:

    الواجب المنزلي المستحق: 9/5: 1.1: 15-20،23،24،26،29،302.1: 13،15،16،31،322.2: 1،5،8،9،10،17،31،37،36

    • فيما يلي نشرة لاستخدام XPP والقيام ببعض مشكلات الكمبيوتر كيفية التخطيط
    • رمز XPP بسيط لحقول الاتجاه
      • قم بتشغيل هذا في XPP. انقر فوق (D) ir.field (S) caled ثم رجوع لقبول الإعداد الافتراضي. انظر إلى حقول الاتجاه الجميلة!
      • انقر فوق (I) nitialconds m (I) ce وانقر حول الشاشة بالقرب من الخط المتقطع. رؤية المسارات. اضغط على ESC عند الانتهاء.
      • التقط لقطة شاشة لهذا لطباعتها إذا كنت تريد ذلك
        الواجب المنزلي 9/26
    • 3.1:1,7,9,12,17,20,23,28
    • 3.2:1,2,4,7,12,13,16,17,23,28,29
    • 3.3:1,4,6,10,15,21,34,35,39
      • الواجب المنزلي المستحق 10/3
  5. 3.4:7,11,12,17,20,21
  6. 3.5: 1،6 (4) ، 10 (8) ، 14 (12) ، 16 (14) ، 20 (18) [ملاحظة الطبعة التاسعة بين قوسين]
  7. 3.6: 1,2,9,13
    • 3.7: 1,5,7,13,18
    • 3.8: 1,11,17,24
    • 4.1: 3،6،7،11،15،24 (يمكنك الافتراض دون إثبات ذلك ، نتيجة المشكلة 20 في الصفحة 225)
    • اقرأ الصفحات 3-5 من هذه النشرة
    • نموذج الامتحان 1 (ملاحظة المشكلة 4 هي الصفحة 157 في الإصدار العاشر)
    • مراجعة 10/6
      • خط المرحلة (2.5)
      • حقول الاتجاه (1.1)
      • تطبيقات 1D الخطي (2.3)
      • طرق الحل:
        • الترتيب الأول الخطي (2.1)
        • معادلات برنولي (2.4 تمرين 27)
        • المعادلات الدقيقة (2.6)
        • معادلات متجانسة (2.2 تمرين 29)
        • المعادلات الخطية من الدرجة الثانية (3.1-3.3)
        • الفصل 4. 4.2: 11،18،214.3: 1 (انظر 4،2،11) 4.4: 1
        • الفصل 7.1 1،4،6،23
        • 7.3:1,4,15,18,21,23
        • 7.4: 2abc ، 6
        • 7.5:1,2,5,7,11,15,16,20,24,25,27,31
        • 7.6:1,3,5,13,14,28
        • 7.7:1,3,5
        • 7.8:1,2,11
        • لنفترض أن A يكون مصفوفة 3 × 3 بقيم ذاتية -1 ، -1 + 2 ط. Express exp (At) بدلالة المصفوفة A. (استخدم طريقة فولمر)
        • استخدم طريقة فولمر لحل المشكلة 1 في 7.7
        • 7.9:3,12
        • 9.1: 1,3,5,6,13
        • 9.2:1,4,5,9,17,21

        لديهم عدد لا نهائي من الحلول الدورية. لنفترض أن T هي فترة أحد الحلول ونفترض أن x (t) و y (t) هما الحل. احسب متوسط ​​قيم x (t) ، y (t):


        شاهد الفيديو: الرياضيات ليست مشكلة. المشكلة في طرق تدريس هذه المادة (ديسمبر 2021).