مقالات

1.5: اتحاد ، تقاطع ، فرق - رياضيات


1.5: اتحاد ، تقاطع ، فرق - رياضيات

الفرق بين الاتحاد والتقاطع

قبل فهم الفرق بين اتحاد وتقاطع المشغلين ، دعونا نفهم مفهوم نظرية المجموعات أولاً. تعتبر نظرية المجموعات فرعًا أساسيًا من فروع الرياضيات التي تدرس المجموعات ، خاصةً ما إذا كان الكائن ينتمي أو لا ينتمي إلى مجموعة من الأشياء ذات الصلة بالرياضيات بطريقة أو بأخرى. المجموعة هي في الأساس مجموعة من الكائنات المحددة جيدًا ، والتي قد تكون أو لا تكون ذات صلة رياضية ، مثل الأرقام أو الوظائف. تسمى العناصر الموجودة في المجموعة بالعناصر ، والتي يمكن أن تكون أي شيء مثل الأرقام والأشخاص والسيارات والحالات وما إلى ذلك. تقريبًا يمكن جمع أي شيء وأي عدد من العناصر معًا لإنشاء مجموعة.

بعبارات بسيطة ، المجموعة هي مجموعة من أي عدد من العناصر غير المرتبة التي يمكن اعتبارها كائنًا واحدًا ككل. دعونا نفهم المفاهيم الأساسية وتدوين المجموعة وكيف يتم تمثيلها. يبدأ كل شيء بعلاقة ثنائية بين كائن x ومجموعة A. لتمثيل ما إذا كان x عضوًا في مجموعة A ، يتم استخدام الترميز x ∊ A ، بينما يشير x ∉ A إلى أن الكائن x لا ينتمي إلى مجموعة أ. يتم سرد عضو مجموعة ضمن أقواس معقوفة. على سبيل المثال ، يمكن كتابة مجموعة الأعداد الأولية الأصغر من 10 بالشكل <2 ، 3 ، 5 ، 7>. وبالمثل ، يمكن كتابة مجموعة من الأعداد الزوجية الأصغر من 10 بالشكل <2 ، 4 ، 6 ، 8>. افتراضيًا ، يمكن تمثيل أي مجموعة محدودة تقريبًا بواسطة أعضائها.


1.5: اتحاد ، تقاطع ، فرق - رياضيات

نظرية المجموعات. اتحاد ، تقاطع ، تكمل ، اختلاف. مخطط فين. الجبر للمجموعات. مجموعة قابلة للعد. عدد العناصر في المجموعة. المجموعات المفهرسة. المنتج الديكارتي. وظيفة الإسقاط. تقسيم. مجموعات جزئية وخطية وجيدة الترتيب.

ديف. جلس. أي مجموعة من الأشياء.

لا توجد قيود على طبيعة الأشياء في المجموعة. يمكن أن تكون أي شيء: نقاط ، خطوط ، أرقام ، أشخاص ، دول ، إلخ. وبالتالي فإن المعنى الرياضي لمجموعة الكلمات هو نفس المعنى العادي وغير الفني للكلمة.

& # 160 & # 160- جميع النقاط في مقطع خط معين

& # 160 & # 160- جميع الأسطر عبر نقطة معينة في الفضاء

& # 160 & # 160- مجموعة جميع الأعداد المنطقية

& # 160 & # 160- جميع حلول المعادلة 3x 2 + 2y 2-1 = 0

تسمى الكائنات الفردية في المجموعة أعضاء أو عناصر المجموعة.

المرادفات للمجموعة: المجموعة ، والفئة ، والجمع ، والمجموعة

طرق تحديد المجموعات. يمكن تعريف المجموعة بإحدى طريقتين:

& # 160 & # 160 1) سرد كل عنصر من عناصر المجموعة بشكل صريح ، على سبيل المثال المجموعة <2 ، 3 ، 4 ، 5>.

& # 160 & # 160 2) وصف المجموعة من خلال ذكر الخصائص التي تحددها ، على سبيل المثال مجموعة القطط السوداء في فرنسا.

الطريقة الأولى تسمى طريقة الجدول والطريقة الثانية تسمى طريقة الخاصية.

الرموز . عادةً ما يتم الإشارة إلى المجموعات بأحرف كبيرة مثل A و B و X و S وما إلى ذلك والعناصر الموجودة بداخلها بأحرف صغيرة مثل a و b و x و s وما إلى ذلك. عند استخدام طريقة القائمة لتحديد مجموعة ، عادة ما تكون عناصر المجموعة محاطة بأقواس مفصولة بفواصل على سبيل المثال S = <3 ، 5 ، 7 ، 9> هي المجموعة S التي تتكون من العناصر 3 ، 5 ، 7 ، 9. يشير الرمز x S إلى أن x عنصر من S x & # 8713S يعني أن x ليس عنصرًا من S للإشارة إلى مجموعة من الكائنات لها الخاصية P ، الترميز يستخدم. التدوين يسمى باني المجموعة. شريط & # 8220 | & # 8221 يقرأ & # 8220 على هذا النحو. & # 8221 مثال. S = ، وهي مجموعة من جميع الأعداد الصحيحة الزوجية. يستخدم بعض المؤلفين القولون: بدلاً من الشريط ، أي S = .

ديف. مجموعات متساوية. مجموعات تتكون من نفس العناصر.

يُقال إن مجموعتين A و B متساويتان إذا كان كل عنصر من A عنصرًا من B وكل عنصر من B هو عنصر A. ويشار إلى B بواسطة A & # 8800 B.

& # 9679 المجموعات A = <3 ، 4 ، 5 ، 6> و B = <5 ، 3 ، 4 ، 6> متساوية لأن الترتيب الذي يتم به سرد عناصر المجموعة غير هام.

& # 9679 المجموعات A = <4 ، 5 ، 6> و B = <4 ، 5 ، 5 ، 6> متساوية لأن تكرار عنصر من مجموعة لا يغير المجموعة.

ديف. مجموعة فرعية. دع S يكون مجموعة معينة. يقال إن أي مجموعة A ، كل عنصر من عناصرها هو أيضًا عنصر S ، موجود في S ويطلق عليه مجموعة فرعية من S.

مثال. المجموعات A = <5> ، B = <3 ، 4 ، 5> ، و C = <6 ، 7) كلها مجموعات فرعية من S = <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8>. بمراجعة التعريف ، نلاحظ أن المجموعة S بأكملها مؤهلة كمجموعة فرعية من S. وبالتالي فإن أي مجموعة هي مجموعة فرعية من نفسها.

نكتب & # 8220A هي مجموعة فرعية من S & # 8221 كـ A S.

ديف. جزئي. إذا كانت A مجموعة فرعية من S و A & # 8800 S ، فإن A تسمى مجموعة فرعية مناسبة من S. في المثال أعلاه ، تعتبر المجموعات A و B و C كلها مجموعات فرعية مناسبة من S.

إذا كانت A مجموعة فرعية من S ، فيمكننا أيضًا الكتابة

التي تقرأ & # 8220S هي مجموعة شاملة من A & # 8221.

ملحوظة. يستخدم بعض المؤلفين A S للإشارة إلى أن A هي مجموعة فرعية من S واحتفظ بـ A B للإشارة إلى أن A هي مجموعة فرعية مناسبة من S.

نظرية. إذا كان أ ب وب ج ، إذن أ ج.

المجموعة الفارغة (أو الفارغة) & # 8709. على الرغم من أنه قد يبدو غير منطقي ، فمن الملائم والمفيد أن يكون لديك مفهوم المجموعة الفارغة ، وهي مجموعة لا تحتوي على عناصر. نسمي هذه المجموعة المجموعة الفارغة (أو الفارغة) ونشير إليها بـ & # 8709.

تعتبر المجموعة الفارغة & # 8709 مجموعة فرعية من كل مجموعة.

المجموعة العالمية U. غالبًا ما تتضمن المناقشة مجموعات فرعية من مجموعة معينة تسمى عالم الخطاب (أو الكون باختصار) أو المجموعة العالمية أو الفضاء. غالبًا ما تسمى عناصر الفضاء نقاط الفضاء. نشير إلى المجموعة العالمية بواسطة U.

مثال. يمكن اعتبار مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الزوجية مجموعة فرعية من مجموعة عالمية تتكون من جميع الأعداد الصحيحة. أو يمكن اعتبارها مجموعة فرعية من مجموعة عالمية تتكون من جميع الأرقام المنطقية. أو من بين جميع الأعداد الحقيقية.

في كثير من الأحيان ، قد لا يتم تحديد المجموعة العالمية صراحة وقد يكون من غير الواضح ما هي بالضبط. في أوقات أخرى سيكون الأمر واضحا.

تكملة للمجموعة. تكملة المجموعة A فيما يتعلق بمجموعة عالمية معينة U هي مجموعة العناصر في U غير الموجودة في A. يُشار عادةً إلى تكملة A بواسطة A c أو A '.

مجموعات محدودة ولانهائية. المجموعة المحدودة هي مجموعة ذات عدد محدود من العناصر والمجموعة اللانهائية هي مجموعة تحتوي على عدد لا حصر له من العناصر.

& # 9679 مجموعة كل القطط السوداء في فرنسا مجموعة محدودة.

& # 9679 مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الزوجية هي مجموعة لانهائية.

المقارنة. مجموعتان A و B يمكن مقارنتهما إذا

أي إذا كانت إحدى المجموعات مجموعة فرعية من الأخرى. يقال إن مجموعتين A و B غير قابلة للمقارنة إذا

وهكذا نلاحظ أنه إذا كانت مجموعتان A و B غير قابلة للمقارنة ، فهناك بالضرورة عنصر في A ليس في B وعنصر في B غير موجود في A.

ديف. مجموعات منفصلة. تسمى مجموعتان منفصلتان إذا لم يكن لديهما عناصر مشتركة ، أي أن تقاطع المجموعات هو المجموعة الخالية. النظام المكون من أكثر من مجموعتين يكون مفككًا زوجيًا (يسمى أحيانًا ببساطة مفككًا) إذا كان كل زوج من المجموعات في النظام مفككًا.

مجموعات من المجموعات. في بعض الأحيان يتم تعيين أعضاء المجموعة بأنفسهم. إذا كان أعضاء المجموعة A هم أنفسهم مجموعات ، فمن الشائع استدعاء A & # 8220family of sets & # 8221 أو & # 8220class من المجموعات & # 8221 بدلاً من تسميتها a & # 8220set of sets & # 8221.

مثال. يمكن اعتبار عائلة الخطوط في الهندسة كمجموعة من المجموعات حيث يمكن اعتبار الخطوط كمجموعات من النقاط.

ديف. مجموعة الطاقة لمجموعة. جمع كل المجموعات الفرعية للمجموعة. مجموعة القوة للمجموعة A ، يُشار إليها بواسطة ص(أ) أو 2 أ ، هي المجموعة التي تتكون من جميع المجموعات الفرعية من أ.

مثال. مجموعة القوة لـ A = هي المجموعة

بشكل عام ، إذا كانت A محدودة مع n من العناصر ، ص(أ) سيكون لها 2 ن من العناصر.

اتحاد المجموعات. اتحاد مجموعتين A و B هو المجموعة التي تتكون من جميع العناصر في A بالإضافة إلى جميع العناصر في B ويُشار إليها بالرمز A & # 8746B أو A + B.

تقاطع المجموعات. تقاطع مجموعتين A و B هي المجموعة التي تتكون من جميع العناصر التي تحدث في كل من A و B (أي جميع العناصر المشتركة لكليهما) ويتم الإشارة إليها بواسطة A & # 8745B أو A & # 903 B أو AB.

الفرق بين مجموعتين. المجموعة التي تتكون من جميع عناصر المجموعة A التي لا تنتمي إلى المجموعة B تسمى الفرق بين A و B ويُشار إليها بالرمز A - B.

مثال. إذا كان A = و ب = ثم أ - ب = .

الرسوم البيانية فين. يمكن وصف اتحاد المجموعات وتقاطعها واختلافها وتكميلها بيانياً عن طريق مخططات Venn. في مخطط Venn ، يتم تمثيل الكون U بنقاط داخل مستطيل ويتم تمثيل المجموعات A و B و C وما إلى ذلك بنقاط داخل الدوائر داخل المستطيل. يوضح الشكل 1 بيانياً الاتحاد A & # 8746B لمجموعتين A و B ، ويصور الشكل 2 التقاطع A & # 8745B لمجموعتين A و B ، ويصور الشكل 3 الفرق A - B لمجموعتين A و B والشكل 4. يصور تكملة مجموعة A.

الجبر للمجموعات. لنفترض أن A ، B ، C هي أي ثلاث مجموعات فرعية من الكون U. ثم تسري القوانين التالية:

& # 160 & # 160 (أ) توجد مجموعة فريدة

& # 160 & # 160 (ب) توجد مجموعة فريدة & # 160

6. خصائص الكون ش. قوانين الهوية

7. خصائص null set & # 8709. قوانين الهوية

8. خصائص التضمين

9. خصائص التكملة

البيانات المزدوجة. إذا قمنا بتبادل & # 8745 و & # 8746 و U و & # 8709 و & # 8834 و & # 8835 في أي بيان حول المجموعات ، فإن العبارة الجديدة تسمى ثنائية الأصل.

مبدأ الازدواجية. إذا كان في أي بيان صحيح حول المجموعات ، فإننا نتبادل & # 8745 و & # 8746 و U و & # 8709 ، و ، العبارة الناتجة صحيحة أيضًا. أي أن ازدواج أي بيان صحيح صحيح أيضًا.

ديف. مراسلة شخص لشخص. مراسلات بين أعضاء مجموعتين حيث يتم إقران كل عضو من أي مجموعة مع عضو واحد بالضبط من المجموعة الأخرى.

المرادفات. الانحراف ، وظيفة واحد لواحد ، تعيين واحد لواحد ، تحويل واحد لواحد

مثال. تطابق واحد لواحد بين المجموعتين و <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5> يتم الحصول عليها من خلال الاقتران

ديف. مجموعات مكافئة. المجموعات التي يمكن وضعها في المراسلات الفردية. إذا كانت المجموعة أ مكافئة للمجموعة ب ، نكتب أ

المرادفات. مجموعات متساوية القوة ، مجموعات متساوية القوة

ديف. مجموعة قابلة للعد (أو قابلة للعد). (1) مجموعة لا نهائية يمكن وضع أعضائها في مراسلات فردية مع الأعداد الصحيحة الموجبة. مزامنة. لا حصر له ، معدود ، معدود ، لا حصر له. (2) مجموعة تحتوي على عدد محدود من الأعضاء أو يمكن وضعها في تطابق واحد لواحد مع الأعداد الصحيحة الموجبة.

هناك بعض الاختلاف في الاستخدام فيما يتعلق بالمصطلح & # 8220countable set & # 8221 ، يستخدم بعض الكتاب التعريف (1) والبعض الآخر يستخدم التعريف (2). سوف نستخدم التعريف (1).

مجموعات جميع الأعداد الصحيحة وجميع الأعداد المنطقية قابلة للعد ، لكن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ليست كذلك.

المجموعة التي لا يمكن وضعها في مراسلات واحد لواحد مع الأعداد الصحيحة الموجبة تسمى غير قابلة للعد أو غير معدودة.

النظرية 1. مجموعة جميع الأعداد النسبية قابلة للعد.

دليل. دعونا نرتب الأعداد المنطقية بالطريقة الموضحة في الجدول 1. يتم وضع جميع الأعداد الطبيعية في الصف الأول كما هو موضح ، يتم وضع الصفر والأرقام السالبة في الصف الثاني بترتيب تنازلي كما هو موضح ، الكسور الموجبة المخفضة ذات المقام 2 يتم وضعها في الصف الثالث بترتيب تصاعدي ، ويتم وضع الكسور السالبة ذات المقام 2 في الصف الرابع بترتيب تنازلي ، وما إلى ذلك. ويمكن ملاحظة أن كل رقم منطقي يحدث مرة واحدة ومرة ​​واحدة فقط في الجدول. دعونا الآن نكتب جميع الأرقام في الجدول بالترتيب المشار إليه بواسطة الأسهم. نحصل على التسلسل التالي:

وبالتالي ، فقد ابتكرنا مخططًا لكتابة جميع الأرقام المنطقية في تسلسل واحد ، وبالتالي أظهرنا أنه يمكن وضعها في مراسلات فردية مع الأرقام الطبيعية. وهكذا أظهرنا أن الأرقام المنطقية قابلة للعد.

النظرية 2. الفترة المغلقة [0 ، 1] غير قابلة للتحديد.

ديف. العدد الأصلي . رقم يشير إلى تعدد مجموعة الأشياء ، أي عدد الوحدات ، وليس الترتيب الذي يتم ترتيبها به.

عدد الكاردينال للمجموعة. يقال أن مجموعتين لهما نفس العدد الأصلي إذا وفقط إذا كان يمكن وضعها في مراسلات واحد لواحد ، أي إذا وفقط إذا كانت متكافئة.

يُقال أن المجموعة A تحتوي على الرقم الأساسي n إذا وفقط إذا كان هناك تطابق واحد لواحد بين عناصر A والأرقام الطبيعية 1 ، 2 ، 3 ،. ، ن.

المرادفات. يُطلق على الرقم الأساسي للمجموعة أيضًا فاعلية المجموعة أو قوة المجموعة.

عدد الكاردينال لمجموعة لا حصر لها (لا حصر لها). يُطلق على الرقم الأساسي لمجموعة لا حصر لها (أو لا حصر لها) اسم Aleph-null أو Aleph-zero ويُرمز إليه بالرمز N 0 . هذا هو الرقم الأصلي للأعداد الطبيعية 1 ، 2 ، 3 ،.

عدد الكاردينال من الاستمرارية. يتم تعريف الرقم الأساسي للسلسلة المتصلة على أنه الرقم الأساسي للفاصل الزمني [0 ، 1]. يُشار إلى الرقم الأساسي للسلسلة المتصلة إما بـ N 1 مسخ.

المرادفات. يُطلق على الرقم الأساسي للسلسلة المتصلة أيضًا اسم قوة الاستمرارية.

النظرية 3. مجموعة النقاط لأي فاصل زمني مفتوح (أ ، ب) أو للخط الحقيقي بأكمله تحتوي على الرقم الأساسي للسلسلة المتصلة.

دليل. إذا تمكنا من إعداد تطابق واحد لواحد بين النقاط على قطعة مستقيمة AB

وتلك الخاصة بالفاصل الزمني [0 ، 1] أثبتنا النظرية. في الشكل 6 نظهر مثل هذه المراسلات حيث P تقابل P '.

ديف. قسم من مجموعة. مجموعة من المجموعات المنفصلة التي يكون اتحادها هو المجموعة المحددة. مجموعة من مجموعات فرعية غير فارغة من مجموعة S هو قسم من S إذا

2) تقاطع كل زوج من المجموعات الفرعية المتميزة هو المجموعة الفارغة.

1. لنفترض أن S = <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6> ، A = <1 ، 5) ، B = <3 ، 4 ، 6> و C = <2>. ثم جمع المجموعات يمثل قسمًا من S.

2. دع N مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة

خصائص المجموعات اللانهائية. إذا كان لدينا مجموعتان محددتان A و B مع عدم وجود عناصر مشتركة ، فإن عدد العناصر في مجموعها C = A + B يساوي مجموع عدد العناصر في A بالإضافة إلى عدد العناصر في B. أو ، يتم تحديدها بشكل مختلف ، إذا تم تقسيم المجموعة C إلى مجموعتين فرعيتين منفصلتين A و B ، فإن عدد العناصر في C يساوي مجموع العناصر في مجموعتيها المكونتين A و B. دعونا ننظر الآن في حالة المجموعات اللانهائية. لنفترض أن A و B و C هي المجموعات اللانهائية التالية:

هنا C هو مجموع المجموعتين A و B. المجموعات A و B و C كلها مجموعات قابلة للتحديد (لا نهائية قابلة للعد) وجميعها لها نفس الرقم الأصلي ، الرقم الأساسي N 0 . وبالتالي ، فإن العدد الأساسي لـ C هو نفسه أحد مجموعاته الفرعية ولا يساوي مجموع الأرقام الأساسية لمجموعاته الفرعية المكونة لها كما قد يتوقع المرء. وبالتالي ، إذا فكرنا في العدد الأساسي للمجموعة على أنه يمثل عدد العناصر في المجموعة ، فإن استخدامنا لمراسلات واحد لواحد كجهاز لتحديد العدد الأساسي للمجموعة يؤدي إلى نتائج فردية. القاعدة & # 8220: الكل يساوي مجموع الأجزاء & # 8221 منتهكة.

نظريات المجموعات المعدودة (اللانهائية)

1] كل مجموعة لا نهائية تحتوي على مجموعة فرعية لا حصر لها.

2] كل مجموعة فرعية لا حصر لها من مجموعة لا تعد ولا تحصى.

3] مجموع المجموعات التي لا تعد ولا تحصى لا يمكن حصره.

نظرية شرودر - برنشتاين. إذا كان أ ب ج وأ

المجموعات المفهرسة. مجموعة من المجموعات

يمكن الإشارة إليها بمثل هذه الرموز مثل

في هذه الرموز ، تسمى المجموعة I مجموعة الفهرس والمجموعات A.أنا تسمى المجموعات المفهرسة. يطلق على كل & # 949 أنا فهرس. يمكن النظر إلى هذه الرموز على أنها وظائف تعين مجموعة أأنا إلى كل i & # 949 I أي وظائف من I إلى مجموعة من المجموعات.

ديف. المنتج الديكارتي AB لمجموعتين A و B. المنتج الديكارتي AB (اقرأ & # 8220A cross B & # 8221) من مجموعتين A و B يعرف على أنه مجموعة من جميع الأزواج المرتبة (أ ، ب) حيث يكون a عضوًا في A و b عضو في B.

مزامنة. مجموعة المنتج ، المنتج المباشر ، المجموع المباشر.

مثال 1. إذا كانت A = <1 ، 2 ، 3> و B = المنتج الديكارتي A B مُعطى بواسطة

تعليقات. بعض التعليقات بالترتيب فيما يتعلق بمفهوم المنتج الديكارتي لمجموعتين تعسفيتين A و B. أحدهما له ما يبرره بالتأكيد في السؤال: هل هذا المفهوم له أي معنى؟ ما المعنى الذي يمكن ربطه بالمنتج الديكارتي؟ ما المعنى الذي يمكن ربطه بالأزواج المرتبة؟ حسنًا ، بشكل عام ، لا معنى للزوج المرتب إلا إذا تم تعيينه. في حالات محددة ، عندما يكون للزوج المرتب معنى ، قد يصبح مفهوم المنتج الديكارتي ذا مغزى ومفيد. يجد المنتج الديكارتي معنى ويستخدم في أماكن مختلفة بما في ذلك نظرية الأنظمة الرياضية المجردة مثل المجموعات والحلقات والمسافات المتجهة. يمكن للمرء أن ينظر إلى مفهوم المنتج الديكارتي كتعميم / تجريد لمفهوم يتعلق بالطائرة الديكارتية. هذا المفهوم هو: يمكن عرض مجموعة جميع النقاط في المستوى الديكارتي على أنها مجموعة من جميع الأزواج المرتبة (x ، y) حيث x & # 949 R و y & # 949 R ، R هي مجموعة جميع الأرقام الحقيقية . في الواقع ، يتم تعريف المنتج الديكارتي بحيث أن R R هي مجموعة جميع النقاط في ما نعرفه بالطائرة الديكارتية. وبالتالي الدافع وراء المصطلح. قياساً على الطريقة التي ننظر بها إلى أزواج الأرقام (س ، ص) كنقاط في المستوى الديكارتي ، يمكننا عرض الأزواج المرتبة للمنتج الديكارتي كنقاط في إطار ديكارتي. يوضح الشكل 7 مثل هذا التمثيل للمجموعات A = <1 ، 2 ، 3 ، 4> و B = .

مثال 2. لنفترض أن A هي مجموعة الأرقام في الفترة [3 ، 5] وتكون B هي مجموعة الأرقام في الفترة [2 ، 3]. ثم الناتج الديكارتي A B يتوافق مع المنطقة المستطيلة الموضحة في الشكل 8. ويتكون من جميع النقاط (x ، y) داخل المنطقة. بالطريقة نفسها ، إذا كانت A هي مجموعة الأرقام في الفترة [3 ، 5] ، B هي مجموعة الأرقام في الفترة [2 ، 3] و C هي مجموعة الأرقام في الفترة [6 ، 7] يتكون المنتج الديكارتي ABC من جميع النقاط (x ، y ، z) في مستطيل متوازي السطوح في مساحة ثلاثية الأبعاد محددة بواسطة

مثال 3. دعني أشير إلى فاصل الوحدة [0 ، 1] و C 1 داخل دائرة الوحدة وحدودها. ثم I I هو مربع الوحدة و C 1 I عبارة عن أسطوانة. انظر الشكل 9. & # 160

المنتج الديكارتي أ1 أ2 أن . المنتج الديكارتي أ1 أ2 أن من ن مجموعات أ1، أ2و. ، أن يتم تعريفه بطريقة مماثلة. إنها مجموعة كل n-tuples (a1، أ2و. ، أن) لأنا & # 949 أأنا (كل أأنا يفترض جميع القيم في Aأنا، أنا = 1 ، 2 ،. ن). يمكننا عرض n-tuple (a1، أ2و. ، أن) كنقطة في فضاء ذو ​​أبعاد n محددة بواسطة المنتج الديكارتي أ1 أ2 أن . يحدد المكون أ1, أ2, ، أن من المنتج تسمى مجموعات إحداثيات الفضاء. المجموعة أأنا يسمى مجموعة إحداثيات i للمنتج. المكون i من n-tuple (a1، أ2و. ، أن) يسمى الإحداثي من الدرجة الأولى للمتجه (أ1، أ2و. ، أن) في n-space. يسمى هذا الإحداثي i للنقطة بإسقاط المتجه (a1، أ2و. ، أن) على الإحداثي الأول مجموعة أأنا.

ما ورد أعلاه يمثل تعميمًا للمفاهيم المرتبطة بـ 3 فضاء المعتاد R 3 و n-space R n. يصبح الفضاء R n حالة خاصة لما سبق عندما أ1 = أ2 =. = أن = R.

تدوينات. المنتج الديكارتي أ1 أ2 أأنا لمجموعة مفهرسة من المجموعات <>أنا>أنا & # 949 أنا يتم الإشارة إليه أحيانًا بواسطة

وظيفة الإسقاط. تعمل وظيفة الإسقاط على النحو التالي: دع X = (a1، أ2و. ، أن) تكون نقطة في الفضاء ذي البعد n المحدد بواسطة المنتج الديكارتي أ1 أ2 أن . وظيفة العرض & # 960أنا(X) تعرف على أنها

اين اأنا هو إحداثي i للنقطة X = (a1، أ2و. ، أن). هنا أأنا يمثل إسقاط المتجه (أ1، أ2و. ، أن) على الإحداثي الأول مجموعة أأنا ، ومن هنا جاء الاسم. وظيفة الإسقاط & # 960 هي دالة من فضاء الأبعاد n المحدد بواسطة المنتج الديكارتي أ1 أ2 أن في مجموعة الإحداثيات من الدرجة الأولى Xأنا.

مثال. دع R1، ر2 و ر3 تدل على نسخ من R. ضع في اعتبارك النقطة X = (3.1 ، 6.5 ، 2.8) في الفضاء ثلاثي الأبعاد R R R = R1 ص2 ص3. ثم

المنتج الديكارتي RR R. يتوافق المنتج Cartesian RRR مع مجموعة جميع النقاط في فضاء ثلاثي الأبعاد ، أي مجموعة كل ثلاثة توائم (x ، y ، z) ، x & # 949 R ، y & # 949 R ، z & # 949 R.

المنتجات الديكارتية R 2 ، R 3 ،. ، ص ن. عادة ما يُشار إلى المنتج الديكارتية R R بالرمز R 2 ، والمنتج الديكارتي R R R يُرمز له عادةً بـ R 3 والمنتج الديكارت R R. R (n مرات) تتكون من جميع n-tuples (x1، س2و. ، سن) عادة ما يتم الإشارة إليه بواسطة R n. & # 160

بشكل عام ، يُنظر إلى المنتج الديكارتي AB على أنه مصفوفة ثنائية الأبعاد من النقاط مع كل نقطة تقابل زوجًا مرتبًا (x ، y) ، يُنظر إلى المنتج الديكارتي ABC كمصفوفة ثلاثية الأبعاد من النقاط مع كل نقطة تقابل ثلاثي (س ، ص ، ض) ومنتج ديكارتي أ1 أ2 أن يُنظر إليه على أنه مجموعة من النقاط ذات البعد n مع كل نقطة تتوافق مع n-tuple (أو n-vector). تم توضيح استثناء لهذا في المثال 3 أعلاه لأن C 1 ثنائية الأبعاد.

ديف. مجموعة مرتبة جزئيا. المجموعة المرتبة جزئيًا هي مجموعة لها علاقة x & lt y ، أو & # 8220x تسبق y & # 8221 ، محددة عليها بحيث بالنسبة لجميع الأعضاء x و y و z للمجموعة:

1) ليس هو الحال أبدًا أن x & lt x & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 (العلاقة & lt غير انعكاسية)

2) إذا كانت x & lt y ، فلا يمكن أن يكون y & lt x صحيحًا أيضًا. & # 160 & # 160 & # 160 (العلاقة & lt ضد التناظر)

3) إذا كان x & lt y و y & lt z ، فإن x & lt z & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 (العلاقة & lt متعدية)

مثال. العلاقة & # 8220 هي مجموعة فرعية مناسبة من & # 8221 تحدد ترتيبًا جزئيًا لمجموعات فرعية لمجموعة.

أوامر جزئية صارمة وغير صارمة. يسمى الترتيب الجزئي المحدد أعلاه طلبًا جزئيًا صارمًا (أو غير عاكس). الترتيب الجزئي غير الصارم (أو الضعيف أو الانعكاسي) هو علاقة & # 8804 محددة في المجموعة بحيث بالنسبة لجميع الأعضاء x و y و z للمجموعة:

مثال. العلاقة & # 8220 هي مجموعة فرعية من & # 8221 ترتيب جزئي غير صارم لمجموعات فرعية من مجموعة.

ديف. مجموعة مرتبة خطيا. مجموعة تستوفي الشروط التالية:

1) ليس الأمر كذلك أبدًا أن x & lt x.

2) إذا كانت x & lt y ، فلا يمكن أن يكون y & lt x صحيحًا أيضًا.

3) إذا كان x & lt y و y & lt z ، فإن x & lt z.

4) بالنسبة لأي عضوين x و y ، يكون أحد العناصر التالية بالضبط صحيحًا:

مزامنة. مجموعة مرتبة ، مجموعة مرتبة بشكل تسلسلي ، مجموعة مرتبة ببساطة ، سلسلة

مثال. مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة في ترتيبها الطبيعي.

ديف. مجموعة مرتبة بشكل جيد. مجموعة مرتبة خطيًا تحتوي كل مجموعة فرعية على عضو أول لها ، أي عضو يسبق جميع الأعضاء الآخرين.

مثال 1. مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة بترتيبها الطبيعي هي مجموعة مرتبة جيدًا نظرًا لأن جميع المجموعات الفرعية بها عضو أول.

مثال 2. مجموعة كل الأعداد الصحيحة بترتيبها الطبيعي غير مرتبة جيدًا لأن المجموعة نفسها لا تحتوي على عضو أول.

مثال 3. مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة بترتيبها الطبيعي ليست مرتبة بشكل جيد لأن المجموعة الفرعية تتكون من أعداد أكبر من ، لنقل 3 ، ليس لها عضو أول.


ما هي عمليات التعيين؟

تظهر عمليات المجموعات إلى حيز الوجود عندما يتم ضم مجموعتين أو أكثر لتشكيل مجموعة واحدة في ظل بعض الشروط. في الأساس ، لدينا 4 أنواع من العمليات في مجموعات. هم انهم

  • اتحاد المجموعات
  • تقاطع المجموعات
  • تكملة المجموعات
  • المنتج الديكارتي للمجموعات

العمليات على مجموعات

سنناقش هنا كل مجموعة من عمليات المجموعات بالتفصيل مع الأمثلة.

1. اتحاد المجموعات

اتحاد مجموعتين A و B عبارة عن مجموعة من العناصر الموجودة في كل من A و B. يتم الإشارة إليه بواسطة A U B.

اكتب الآن كل عنصر من A و B في A U B دون تكرار.

2. تقاطع المجموعات

يعني تقاطع مجموعتين A و B مجموعة العناصر المشتركة في كل من A و B. ويشار إليها بالرمز A ∩ B.

نكتب الآن العناصر المشتركة من كلتا المجموعتين A و B.

3. اختلاف أو تكملة المجموعة

عندما تكون A و B مجموعتين ، فإن اختلافهما A & # 8211 B يعني عناصر A وليس عناصر B.

يمكن كتابة A ناقص B بالشكل A & # 8211 B.

A & # 8211 B لا تساوي أبدًا B & # 8211 A. أي A & # 8211 B ≠ B & # 8211 A

إذا كانت A و B مجموعتين منفصلتين ، فإن A & # 8211 B = A و B & # 8211 A = B.

بعد ذلك ، يتضمن A & # 8211 B عناصر A وليس عناصر B.

تكملة لمجموعة

تكملة المجموعة هي مجموعة العناصر غير الموجودة في تلك المجموعة. يتم الإشارة إلى تكملة المجموعة أ بالرمز A & # 8217.

A & # 8217 = (U & # 8211 A) هنا U هي المجموعة العامة التي تحتوي على جميع العناصر.

4. المنتج الديكارتية أو عبر المنتج

يُشار إلى المنتج الديكارتي لمجموعتين غير فارغتين A و B بالرمز A x B. المنتج المتقاطع هو مجموعة كل زوج من العناصر المرتبة من A و B. يُعرف المنتج الديكارتي أيضًا باسم الضرب المتقاطع.

لا يحتوي حاصل الضرب الاتجاهي لمجموعتين A x B و B x A على نفس الأزواج المرتبة تمامًا.

حاصل الضرب الاتجاهي لـ A و B له 6 أزواج مرتبة.

خصائص المنتج الديكارتي

  • إنه غير تبادلي. أي أ × ب ≠ ب × أ
  • أ س ب = ب س أ ، عندما أ = ب
  • A x B = <> ، إذا كان A = ∅ أو B = ∅
  • المنتج الديكارتي غير نقابي. أي (أ × ب) × ج أ × (ب × ج)
  • الخاصية التوزيعية على التقاطع ، الاتحاد وفرق المجموعة هي
    • أ س (ب يو ج) = (فأس ب) ش (أ × ج)
    • أ س (ب ، ج) = (أ س ب) ∩ (أ س ج)
    • أ × (ب / ج) = (أ × ب) / (فأس ج)

    تعيين العمليات والأمثلة

    اقرأ المزيد من المقالات ذات الصلة:

    أسئلة وأجوبة حول مجموعات العمليات

    1. ما هي 4 عمليات مجموعات؟

    العمليات الأساسية الأربعة على المجموعات هي اتحاد المجموعات ، وتقاطع المجموعات ، وفرق المجموعة ، والمنتج الديكارتي للمجموعات. عندما يتم الجمع بين مجموعتين تحت بعض القيود ، فإننا نستخدم عمليات المجموعة هذه.

    2. كيف يمكن إجراء العمليات على مجموعات؟

    بناءً على القيود عند الانضمام إلى مجموعتين ، يتم تنفيذ العمليات على المجموعات. الاتحاد يعني إضافة عناصر كلتا المجموعتين ، والتقاطع يعني إضافة عناصر مشتركة من مجموعتين ، والفرق يعني إضافة عناصر المجموعة الأولى وليس المجموعة الثانية. يعطي الضرب المتقاطع الأزواج المرتبة ، عن طريق أخذ العناصر من كلا المجموعتين.

    3. كيف تجد A × B في مجموعات؟

    A x B تعني حاصل الضرب الاتجاهي لمجموعتين A و B مما يعني مجموعة الأزواج المرتبة (أ ، ب) حيث أ ∈ أ ، ب ∈ ب. نموذج منشئ المجموعة هو أ × ب = <(أ ، ب) | أ ، أ ، ب ، ب>.

    4. ما هي خصائص مجموعة العمليات؟

    خصائص العمليات المحددة هي الممتلكات التبادلية ، والممتلكات التوزيعية ، والممتلكات الترابطية ، وخاصية الهوية ، والفاعلية ، والمكملات.


    لنبدأ في استكشاف العلاقات المختلفة بين المجموعات. دعنا ننظر إلى النوعين الأولين: اتحاد وتقاطع مجموعتين. ال اتحاد من مجموعتين A و B هي مجموعة العناصر الموجودة في A أو B أو في كل من A و B ( 1 ). الرمز ∪ ( 2 ) لتمثيل هذا المفهوم في البيانات الرياضية. يمكن أيضًا التعبير عن هذه العلاقة باستخدام مخطط فين (3). تمثل المناطق البرتقالية اتحاد كلتا المجموعتين. بالنظر إلى مجموعتين ، هناك حاجة في بعض الأحيان إلى معرفة العناصر المشتركة بين المجموعات. ال تداخل من مجموعتين A و B هو مصطلح رياضي يستخدم لوصف مجموعة العناصر الموجودة في A و B ( 1 ). في البيانات الرياضية ، الرمز ∩ ( 2 ) لتمثيل هذا المفهوم. يمكن أيضًا التعبير عن مفهوم التقاطع هذا في a مخطط فين ( 3 ). تمثل المنطقة البرتقالية تقاطع المجموعة أ و ب.

    لنفكر بصريًا في سطرين عشوائيين ، A و B ، لا يتوازيان مع بعضهما البعض. المجموعة أ هي مجموعة كل النقاط التي تشكل السطر أ. المجموعة ب هي مجموعة كل النقاط التي تشكل السطر ب. في الهندسة الإقليدية ، يتقاطع خطان غير متوازيين دائمًا مع بعضهما البعض. في هذه الحالة ، يتكون تقاطع المجموعتين A و B من نقطة واحدة ونقطة واحدة فقط. تم العثور على مثل هذا التمثيل المرئي للتقاطعات في جميع خرائط الشوارع. إذا كنت في الخارج ، فستلاحظ أن تقاطع أي شارعين يمثل جزء الطريق الذي يشترك فيه كلا الشارعين.

    تم تقديم معظم الرموز الأساسية للمنطق ونظرية المجموعات المستخدمة اليوم بين عامي 1880 و 1920. تم تقديم الرموز ∩ و بواسطة جوزيبي بينو (1858-1932) ، عالم رياضيات إيطالي ، للتقاطع والاتحاد في Calcolo geometrico ("حساب التفاضل والتكامل الهندسي") secondo l & # 8217Ausdehnungslehre di H. Grassmann (1888).


    ابحث عن اتحاد وتقاطع مصفوفتين لم يتم فرزهما

    بالنظر إلى صفيفين غير مفرزين يمثلان مجموعتين (العناصر في كل مصفوفة مميزة) ، ابحث عن اتحاد وتقاطع بين مصفوفتين.

    على سبيل المثال ، إذا كانت مصفوفات الإدخال هي:
    arr1 [] = <7، 1، 5، 2، 3، 6>
    arr2 [] = <3، 8، 6، 20، 7>
    ثم يجب أن يقوم برنامجك بطباعة Union كـ <1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 20> وتقاطع كـ <3 ، 6>. لاحظ أنه يمكن طباعة عنصري الاتحاد والتقاطع بأي ترتيب.

    الطريقة الأولى (السذاجة)
    اتحاد:
    1) تهيئة الاتحاد U فارغًا.
    2) انسخ جميع عناصر المصفوفة الأولى إلى U.
    3) قم بما يلي لكل عنصر x من المصفوفة الثانية:
    & # x2026..a) إذا لم يكن x موجودًا في المصفوفة الأولى ، فقم بنسخ x إلى U.
    4) إرجاع U.

    تداخل:
    1) قم بتهيئة التقاطع I على أنه فارغ.
    2) اتبع كل عنصر x من المصفوفة الأولى
    & # x2026..a) إذا كان x موجودًا في المصفوفة الثانية ، فقم بنسخ x إلى I.
    4) العودة I.

    التعقيد الزمني لهذه الطريقة هو O (mn) لكلتا العمليتين. هنا m و n عدد العناصر في arr1 [] و arr2 [] على التوالي.

    الطريقة الثانية (استخدام الفرز)
    1) فرز arr1 [] و arr2 []. تستغرق هذه الخطوة وقت O (mLogm + nLogn).
    2) استخدم خوارزميات O (m + n) للعثور على اتحاد وتقاطع مصفوفتين تم فرزهما.

    التعقيد الزمني الإجمالي لهذه الطريقة هو O (mLogm + nLogn).

    الطريقة الثالثة (استخدام الفرز والبحث)
    اتحاد:
    1) تهيئة الاتحاد U فارغًا.
    2) أوجد العدد الأصغر من m و n وفرز المصفوفة الأصغر.
    3) انسخ المصفوفة الأصغر إلى U.
    4) لكل عنصر x في مصفوفة أكبر ، اتبع ما يلي
    & # x2026 & # x2026.b) بحث ثنائي x في مصفوفة أصغر. إذا لم يكن x موجودًا ، فقم بنسخه إلى U.
    5) إرجاع U.

    تداخل:
    1) قم بتهيئة التقاطع I على أنه فارغ.
    2) أوجد العدد الأصغر من m و n وفرز المصفوفة الأصغر.
    3) لكل عنصر x في مصفوفة أكبر ، اتبع ما يلي
    & # x2026 & # x2026.b) بحث ثنائي x في مصفوفة أصغر. إذا كان x موجودًا ، فقم بنسخه إلى I.
    4) العودة I.

    التعقيد الزمني لهذه الطريقة هو min (mLogm + nLogm ، mLogn + nLogn) والتي يمكن كتابتها أيضًا كـ O ((m + n) Logm ، (m + n) Logn). يعمل هذا الأسلوب بشكل أفضل بكثير من الطريقة السابقة عندما يكون الاختلاف بين أحجام صفيفتين كبيرًا.


    1.5: اتحاد ، تقاطع ، فرق - رياضيات

    1. دمج (beg1، end1، beg2، end2، beg3) : - تدمج هذه الوظيفة حاويتين مفروزين ومخازن في حاوية جديدة بترتيب فرز (دمج الفرز). يستغرق 5 وسائط ، المكرر الأول والأخير للحاوية الأولى ، والمكرر الأول والأخير للحاوية الثانية والمكرر الأول للحاوية الناتجة.
    2. يشمل (beg1، end1، beg2، end2) : - تُستخدم هذه الوظيفة للتحقق مما إذا كانت عناصر حاوية مفرزة تتضمن عناصر حاوية مرتبة أخرى أم لا. إرجاع صحيح إذا كانت الحاوية الأولى تتضمن الحاوية الثانية ، وإلا ترجع خطأ.

    ساهم Manjeet Singh في هذه المقالة. إذا كنت تحب GeeksforGeeks وترغب في المساهمة ، فيمكنك أيضًا كتابة مقال باستخدام Contrib.geeksforgeeks.org أو إرسال مقالتك بالبريد إلى [email protected] شاهد مقالتك تظهر على صفحة GeeksforGeeks الرئيسية وساعد المهوسين الآخرين.

    يرجى كتابة التعليقات إذا وجدت أي شيء غير صحيح ، أو إذا كنت ترغب في مشاركة المزيد من المعلومات حول الموضوع الذي تمت مناقشته أعلاه.

    القارئ الانتباه! لا تتوقف عن التعلم الآن. احصل على جميع مفاهيم DSA المهمة باستخدام دورة DSA الذاتية بسعر مناسب للطلاب وأصبح جاهزًا للصناعة. لإكمال التحضير من تعلم لغة إلى DS Algo وغيرها الكثير ، يرجى الرجوع دورة كاملة في التحضير للمقابلة.


    1.5: اتحاد ، تقاطع ، فرق - رياضيات

    غالبًا ما نهتم بعدد العناصر في مجموعة أو مجموعة فرعية. وهذا ما يسمى أصل المجموعة.

    عدد العناصر في المجموعة

    عدد العناصر في مجموعة هو أصل تلك المجموعة.

    أصل المجموعة أ غالبًا ما يتم تدوينه كـ |أ| أو ن (أ)

    تمارين

    أصل ب هي 4 ، نظرًا لوجود 4 عناصر في المجموعة.

    أصل أب هو 7 ، منذ ذلك الحين أب = <1، 2، 3، 4، 5، 6، 8> والتي تحتوي على 7 عناصر.

    أصل أب هو 3 ، منذ ذلك الحين أب = <2، 4، 6> والتي تحتوي على 3 عناصر.

    جربها

    تمارين

    ما هو أصل ص = مجموعة الأسماء الإنجليزية لأشهر السنة؟

    عدد العناصر الأساسية لهذه المجموعة هو 12 ، نظرًا لوجود 12 شهرًا في السنة.

    في بعض الأحيان قد نكون مهتمين بالعناصر الأساسية للاتحاد أو تقاطع المجموعات ، لكننا لا نعرف العناصر الفعلية لكل مجموعة. هذا شائع في المسح.

    تمارين

    يسأل استطلاع للرأي 200 شخص "ما المشروبات التي تشربها في الصباح" ، ويقدم خيارات:

    لنفترض أن 20 تقريرًا من الشاي فقط ، و 80 تقريرًا عن القهوة فقط ، و 40 تقريرًا عن كليهما. كم من الناس يشربون الشاي في الصباح؟ كم من الناس لا يشربون الشاي أو القهوة؟

    This question can most easily be answered by creating a Venn diagram. We can see that we can find the people who drink tea by adding those who drink only tea to those who drink both: 60 people.

    We can also see that those who drink neither are those not contained in the any of the three other groupings, so we can count those by subtracting from the cardinality of the universal set, 200.

    200 – 20 – 80 – 40 = 60 people who drink neither.

    جربها

    مثال

    A survey asks: Which online services have you used in the last month:

    The results show 40% of those surveyed have used Twitter, 70% have used Facebook, and 20% have used both. How many people have used neither Twitter or Facebook?

    يترك تي be the set of all people who have used Twitter, and F be the set of all people who have used Facebook. Notice that while the cardinality of F is 70% and the cardinality of تي is 40%, the cardinality of Fتي is not simply 70% + 40%, since that would count those who use both services twice. To find the cardinality of Fتي, we can add the cardinality of F and the cardinality of تي, then subtract those in intersection that we’ve counted twice. في الرموز

    مثال

    Now, to find how many people have not used either service, we’re looking for the cardinality of (Fتي)ج .

    The previous example illustrated two important properties called cardinality properties:

    Cardinality properties

    Notice that the first property can also be written in an equivalent form by solving for the cardinality of the intersection:

    مثال

    Fifty students were surveyed, and asked if they were taking a social science (SS), humanities (HM) or a natural science (NS) course the next quarter.

    21 were taking a SS course 26 were taking a HM course

    19 were taking a NS course 9 were taking SS and HM

    7 were taking SS and NS 10 were taking HM and NS

    3 were taking all three 7 were taking none

    How many students are only taking a SS course?

    It might help to look at a Venn diagram.

    From the given data, we know that there are

    3 students in region ه و

    Since 7 students were taking a SS and NS course, we know that n(د) + n(ه) = 7. Since we know there are 3 students in region 3, there must be

    7 – 3 = 4 students in region د.

    Similarly, since there are 10 students taking HM and NS, which includes regions ه و F, there must be

    10 – 3 = 7 students in region F.

    Since 9 students were taking SS and HM, there must be 9 – 3 = 6 students in region ب.

    Now, we know that 21 students were taking a SS course. This includes students from regions a, b, d, و ه. Since we know the number of students in all but region أ, we can determine that 21 – 6 – 4 – 3 = 8 students are in region أ.

    8 students are taking only a SS course.

    جربها

    One hundred fifty people were surveyed and asked if they believed in UFOs, ghosts, and Bigfoot.

    43 believed in UFOs 44 believed in ghosts

    25 believed in Bigfoot 10 believed in UFOs and ghosts

    8 believed in ghosts and Bigfoot 5 believed in UFOs and Bigfoot

    How many people surveyed believed in at least one of these things?

    1. There are several answers: The set of all odd numbers less than 10. The set of all odd numbers. The set of all integers. The set of all real numbers.

    4. Starting with the intersection of all three circles, we work our way out. Since 10 people believe in UFOs and Ghosts, and 2 believe in all three, that leaves 8 that believe in only UFOs and Ghosts. We work our way out, filling in all the regions. Once we have, we can add up all those regions, getting 91 people in the union of all three sets. This leaves 150 – 91 = 59 who believe in none.


    Solved Problems

    Click or tap a problem to see the solution.

    مثال 1

    مثال 2

    مثال 3

    مثال 4

    مثال 5

    مثال 6

    Example 7

    Example 8

    مثال 1.

    1. By definition, the union of sets () contains all elements which are either in set (A) or set (B) or in both (A) and (B.) Therefore, we can write [= < left< <2,3,4,5,6,7> ight> cup left < <0,1,5,6> ight> >= < left< <0,1,2,3,4,5,6,7> ight>.>]
    2. The intersection of sets () is defined as the set containing all elements of (A) that also belong to (B.) Using this definition, we obtain [= < left< <2,3,4,5,6,7> ight> cup left < <0,1,5,6> ight> >= < left< <5,6> ight>.>]
    3. The set difference () contains only those elements of (A) that do not belong to (B.) [= < left< <2,3,4,5,6,7> ight>ackslash left < <0,1,5,6> ight> >= < left< <2,3,4,7> ight>.>]
    4. This question is opposite of the previous one. The set difference () contains only those elements of (B) that do not belong to (A.) [= < left< <0,1,5,6> ight>ackslash left < <2,3,4,5,6,7> ight> >= < left< <0,1> ight>.>]
    5. We compute the symmetric difference () by the formula (A , riangle, B = left( ight) cup left( ight).) This yields: [= < left( ight) cup left( ight) >= < left< <2,3,4,7> ight> cup left < <0,1> ight> >= < left< <0,1,2,3,4,7> ight>.>]

    مثال 2.

    1. The complement of the set (B) is written as follows: [ <= Uackslash B >= < left< <1,2, ldots ,10> ight>ackslash < 5,6,7>>=< < 1,2,3,4,8,9,10>.>] The set (A) in roster form is expressed as (A = < 2,4,6,8,10>,) so the set union (A cup ) is given by [ ext< = >>kern0pt < < 2,4,6,8,10>cup < 1,2,3,4,8,9,10>>= < left< <1,2,3,4,6,8,9,10> ight>.>]
    2. First we determine the set intersection (:) [= < < 2,4,6,8,10>cap < 5,6,7>>=< left< 6 ight>.>] Now we compute the complement ( ight)^c>:) [ < ight)^c> >= < Uackslash left( ight) >= < left< <1,2, ldots ,10> ight>ackslash left < 6 ight>>= < left< <1,2,3,4,5,7,8,9,10> ight>.>]
    3. Find the set difference () in roster form: [= < < 2,4,6,8,10>ackslash < 5,6,7>>= < left< <2,4,8,10> ight>.>] Hence, the complement ( ight)^c>) is given by [ < ight)^c> >= < Uackslash left( ight) >= < left< <1,2, ldots ,10> ight>ackslash left < <2,4,8,10> ight> >= < left< <1,3,5,6,7,9> ight>.>]

    مثال 3.

    We can express the set (A) as follows:

    Compute the elements of the set (A:)

    Similarly, we determine the elements of the set (B:)

    مثال 4.

    We can find the set (A) as follows:

    مثال 5.

    The region (A cap left( ight)) is colored with orange.

    Example 6.

    The region (left( > ight) cup left( > ight)) is colored with orange.

    Example 7.

    We denote the set of students learning Spanish by (S), the set of students learning French – by (F,) and the set of students learning Chinese – by (C.)

    Let (x) be the number of students learning the (3) languages simultaneously. Draw the Venn diagram and express in terms of (x) the number of students in all regions.

    As the number of students learning Spanish and French is (12,) the intersection between the sets (S) and (F) is represented in the form (12 = x + left( <12 – x> ight).)

    Similarly, since (8) students learn Spanish and Chinese, we represent the intersection between the two sets as (8 = x + left( <8 – x> ight).)

    The last pair of French and Chinese is given by (10 = x + left( <10 – x> ight).)

    Recall that the total number of students learning Spanish is (45.) Using the Venn diagram, we find that the remaining portion of the green circle (S) contains the number of students equal to

    Similarly, we can calculate the remaining portion of the blue circle (F:)

    For the purple circle (C) we have

    Now all the partitions are expressed in terms of (x,) so we can write the following equation:

    Solving it for (x,) we find the number of students learning all (3) languages:

    Example 8.

    We denote the subsets of numbers multiple of (2,) (3,) and (5), respectively by (A,) (B,) and (C.) By condition,

    If a number is multiple of (6,) this means it is divisible by (2) and (3.) So such numbers belong to the intersection of the subsets (A) and (B,) and we can write

    Finally, if a number is multiple of (30,) this means it is divisible by (2,) (3,) and (5.) Here we have the intersection of three subsets:


    1.5: Union, Intersection, Difference - Mathematics

    ال اتحاد of two sets is a set containing all elements that are in $A$ أو in $B$ (possibly both). For example, $<1,2>cup<2,3>=<1,2,3>$. Thus, we can write $xin(Acup B)$ if and only if $(xin A)$ or $(xin B)$. Note that $A cup B=B cup A$. In Figure 1.4, the union of sets $A$ and $B$ is shown by the shaded area in the Venn diagram.

    Fig.1.4 - The shaded area shows the set $B cup A$.

    Similarly we can define the union of three or more sets. In particular, if $A_1, A_2, A_3,cdots, A_n$ are $n$ sets, their union $A_1 cup A_2 cup A_3 cdots cup A_n$ is a set containing all elements that are in at least one of the sets. We can write this union more compactly by $igcup_^ A_i.$ For example, if $A_1=, A_2=, A_3=$, then $igcup_ A_i=A_1 cup A_2 cup A_3=$. We can similarly define the union of infinitely many sets $A_1 cup A_2 cup A_3 cupcdots$.

    ال تداخل of two sets $A$ and $B$, denoted by $A cap B$, consists of all elements that are both in $A$ $underline< extrm>$ $B$. For example, $<1,2>cap<2,3>=<2>$. In Figure 1.5, the intersection of sets $A$ and $B$ is shown by the shaded area using a Venn diagram.

    Fig.1.5 - The shaded area shows the set $B cap A$.

    More generally, for sets $A_1,A_2,A_3,cdots$, their intersection $igcap_i A_i$ is defined as the set consisting of the elements that are in all $A_i


    شاهد الفيديو: الاتحاد للصف الخامس الابتدائي. عبر عن الجزء المظلل. هتفرق بينه وبين التقاطع (شهر نوفمبر 2021).