مقالات

13.8: تحسين وظائف عدة متغيرات - الرياضيات


أحد أكثر التطبيقات المفيدة لمشتقات دالة لمتغير واحد هو تحديد الحد الأقصى و / أو القيم الدنيا. هذا التطبيق مهم أيضًا لوظائف متغيرين أو أكثر ، ولكن كما رأينا في الأقسام السابقة من هذا الفصل ، يؤدي إدخال المزيد من المتغيرات المستقلة إلى المزيد من النتائج المحتملة للحسابات. لا تزال الأفكار الرئيسية لإيجاد النقاط الحرجة واستخدام الاختبارات المشتقة سارية ، ولكن تظهر تجاعيد جديدة عند تقييم النتائج.

نقاط حرجة

بالنسبة إلى وظائف متغير واحد ، قمنا بتعريف النقاط الحرجة على أنها قيم الوظيفة عندما يكون المشتق مساويًا للصفر أو غير موجود. بالنسبة للدوال ذات المتغيرين أو أكثر ، فإن المفهوم هو نفسه بشكل أساسي ، باستثناء حقيقة أننا نعمل الآن مع المشتقات الجزئية.

التعريف: النقاط الحرجة

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة لمتغيرين قابلين للتفاضل في مجموعة مفتوحة تحتوي على النقطة ((x_0، y_0) ). النقطة ((x_0، y_0) ) تسمى أ نقطة حرجة لدالة ذات متغيرين (f ) إذا كان أحد الشرطين التاليين ينطبق:

  1. (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 )
  2. إما (f_x (x_0، y_0) ؛ text {or} ؛ f_y (x_0، y_0) ) غير موجود.

مثال ( PageIndex {1} ): البحث عن النقاط الحرجة

ابحث عن النقاط الحرجة لكل من الوظائف التالية:

  1. (f (x، y) = sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36} )
  2. (ز (س ، ص) = س ^ 2 + 2 س ص − 4 ص ^ 2 + 4x − 6 ص + 4 )

حل:

أ. أولاً ، نحسب (f_x (x، y) ؛ text {and} ؛ f_y (x، y): )

[ begin {align *} f_x (x، y) & = dfrac {1} {2} (- 18x + 36) (4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36) ^ {- 1 / 2} & = dfrac {−9x + 18} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} end {align *} ]

[ begin {align *} f_y (x، y) & = dfrac {1} {2} (8y + 24) (4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36) ^ {- 1/2 } & = dfrac {4y + 12} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} end {align *}. ]

بعد ذلك ، نضع كل تعبير من هذه التعبيرات مساويًا للصفر:

[ begin {align *} dfrac {−9x + 18} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} & = 0 dfrac {4y + 12} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} & = 0. نهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، اضرب طرفي كل معادلة في مقامها (لمسح القواسم):

[ start {align *} −9x + 18 & = 0 4y + 12 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (x = 2 ) و (y = −3 ، ) لذا ((2 ، −3) ) هي نقطة حرجة في (f ).

يجب أن نتحقق أيضًا من احتمال أن مقام كل مشتق جزئي يمكن أن يساوي صفرًا ، مما يتسبب في عدم وجود المشتق الجزئي. بما أن المقام هو نفسه في كل مشتقة جزئية ، فسنحتاج إلى القيام بذلك مرة واحدة فقط:

[4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36 = 0. لا يوجد رقم]

هذه المعادلة تمثل القطع الزائد. يجب أن نلاحظ أيضًا أن مجال (f ) يتكون من نقاط تحقق المتباينة

[4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36≥0. لا يوجد رقم]

لذلك ، فإن أي نقاط على القطع الزائد ليست فقط نقاط حرجة ، بل هي أيضًا على حدود المجال. لوضع القطع الزائد في الشكل القياسي ، نستخدم طريقة إكمال المربع:

[ start {align *} 4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36 & = 0 4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x & = - 36 4y ^ 2 + 24y − 9x ^ 2 + 36x & = - 36 4 (y ^ 2 + 6y) −9 (x ^ 2−4x) & = - 36 4 (y ^ 2 + 6y + 9) −9 (x ^ 2−4x + 4 ) & = - 36−36 + 36 4 (y + 3) ^ 2−9 (x − 2) ^ 2 & = - 36. end {align *} ]

قسمة كلا الجانبين على (- 36 ) يضع المعادلة في الشكل القياسي:

[ begin {align *} dfrac {4 (y + 3) ^ 2} {- 36} - dfrac {9 (x − 2) ^ 2} {- 36} & = 1 dfrac {( x − 2) ^ 2} {4} - dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} & = 1. نهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن النقطة ((2، −3) ) هي مركز القطع الزائد.

وبالتالي ، فإن النقاط الحرجة للدالة (f ) هي ((2، -3) ) وجميع النقاط الموجودة على القطع الزائد ، ( dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} - dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} = 1 ).

ب. أولاً ، نحسب (g_x (x، y) ) و (g_y (x، y) ):

[ start {align *} g_x (x، y) & = 2x + 2y + 4 g_y (x، y) & = 2x − 8y − 6. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، قمنا بتعيين كل من هذه التعبيرات على الصفر ، مما يعطي نظامًا من المعادلات في (x ) و (y ):

[ ابدأ {محاذاة *} 2x + 2y + 4 & = 0 2x y 8y − 6 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

ينتج عن طرح المعادلة الثانية من الأولى (10y + 10 = 0 ) ، لذلك (y = −1 ). استبدال هذا في المعادلة الأولى يعطي (2x + 2 (−1) + 4 = 0 ) ، لذلك (x = −1 ).

لذلك ((- 1 ، −1) ) هي نقطة حرجة في (ز ). لا توجد نقاط في ( mathbb {R} ^ 2 ) تجعل أيًا من المشتقات الجزئية غير موجود.

يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) سلوك السطح عند النقطة الحرجة.

تمرين ( PageIndex {1} ):

أوجد النقطة الحرجة للدالة (f (x، y) = x ^ 3 + 2xy − 2x − 4y. )

تلميح

احسب (f_x (x، y) ) و (f_y (x، y) ) ، ثم اضبطهما على الصفر.

إجابه

النقطة الحرجة الوحيدة في (f ) هي ((2، −5) ).

تحديد المتطرفة العالمية والمحلية

الغرض الرئيسي من تحديد النقاط الحرجة هو تحديد الحدود القصوى والدنيا النسبية ، كما هو الحال في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير. عند العمل مع دالة لمتغير واحد ، فإن تعريف الحد الأقصى المحلي يتضمن إيجاد فاصل زمني حول النقطة الحرجة بحيث تكون قيمة الوظيفة إما أكبر من أو أقل من جميع قيم الوظائف الأخرى في تلك الفترة الزمنية. عند العمل بدالة من متغيرين أو أكثر ، فإننا نعمل مع قرص مفتوح حول النقطة.

التعريف: إكستريما العالمية والمحلية

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة لمتغيرين محددين ومستمرين على مجموعة مفتوحة تحتوي على النقطة ((x_0، y_0). ) ثم (f ) لديه الحد الأقصى المحلي في ((x_0 ، y_0 )) إذا

[f (x_0، y_0) ≥f (x، y) ]

لجميع النقاط ((x، y) ) داخل بعض الأقراص المتمركزة في ((x_0، y_0) ). الرقم (f (x_0، y_0) ) يسمى قيمة قصوى محلية. إذا كانت المتباينة السابقة صحيحة لكل نقطة ((x، y) ) في مجال (f ) ، فإن (f ) لديها الحد الأقصى العالمي (وتسمى أيضًا ملف الحد الأقصى المطلق) في ((x_0، y_0). )

الدالة (f ) لها حد أدنى محلي عند ((x_0، y_0) ) إذا

[f (x_0، y_0) ≤f (x، y) ]

لجميع النقاط ((x، y) ) داخل بعض الأقراص المتمركزة في ((x_0، y_0) ). الرقم (f (x_0، y_0) ) يسمى قيمة دنيا محلية. إذا كانت المتباينة السابقة صحيحة لكل نقطة ((x، y) ) في مجال (f ) ، فإن (f ) لديها الحد الأدنى العالمي (وتسمى أيضًا ملف الحد الأدنى المطلق) في ((x_0، y_0) ).

إذا كانت (f (x_0، y_0) ) قيمة قصوى محلية أو قيمة دنيا محلية ، فيُطلق عليها الحد الأقصى المحلي (الشكل ( PageIndex {2} )).

في حساب التفاضل والتكامل 1 ، أظهرنا أن الدوال القصوى لمتغير واحد تحدث عند النقاط الحرجة. وينطبق الشيء نفسه على وظائف أكثر من متغير واحد ، كما هو مذكور في النظرية التالية.

نظرية فيرمات لوظائف متغيرين

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة لمتغيرين محددين ومستمرين على مجموعة مفتوحة تحتوي على النقطة ((x_0، y_0) ). افترض أن (f_x ) و (f_y ) كل منهما موجود في ((x_0، y_0) ). إذا كان f يحتوي على حد أقصى محلي عند ((x_0، y_0) ) ، فإن ((x_0، y_0) ) هي نقطة حرجة في (f ).

ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = x ^ 3. ) هذه الوظيفة لها نقطة حرجة عند (x = 0 ) ، منذ (f '(0) = 3 (0) ^ 2 = 0 ) . ومع ذلك ، لا يحتوي (f ) على قيمة قصوى عند (x = 0 ). لذلك ، فإن وجود قيمة حرجة عند (x = x_0 ) لا يضمن حدًا أقصى محلي عند (x = x_0 ). وينطبق الشيء نفسه على دالة من متغيرين أو أكثر. طريقة واحدة يمكن أن يحدث هذا هو في نقطة سرج. يظهر مثال على نقطة السرج في الشكل التالي.

الشكل ( PageIndex {3} label {saddlefigure} ): رسم بياني للدالة (z = x ^ 2 − y ^ 2 ). هذا الرسم البياني له نقطة سرج في الأصل.

الأصل في هذا الرسم البياني هو نقطة سرج. هذا لأن المشتقات الجزئية الأولى لـ f ((x، y) = x ^ 2 − y ^ 2 ) تساوي صفرًا في هذه المرحلة ، لكنها ليست حدًا أقصى أو أدنى للدالة. علاوة على ذلك ، فإن التتبع العمودي المقابل لـ (y = 0 ) هو (z = x ^ 2 ) (فتح القطع المكافئ لأعلى) ، لكن التتبع الرأسي المقابل لـ (x = 0 ) هو (z = −y ^ 2 ) (قطع مكافئ يفتح لأسفل). لذلك ، فهو يمثل حدًا أقصى عالميًا لتتبع واحد وحد أدنى عالمي لآخر.

التعريف: نقطة السرج

بالنظر إلى الوظيفة (z = f (x، y)، ) النقطة ( big (x_0، y_0، f (x_0، y_0) big) ) هي نقطة سرج إذا كان كلاهما (f_x (x_0، y_0) = 0 ) و (f_y (x_0، y_0) = 0 ) ، لكن (f ) ليس له حد أقصى محلي عند ((x_0، y_0). )

تصنيف النقاط الحرجة

من أجل تطوير طريقة عامة لتصنيف سلوك دالة لمتغيرين في نقاطها الحرجة ، نحتاج أن نبدأ بتصنيف سلوك وظائف متعددة الحدود من الدرجة الثانية لمتغيرين عند نقاطهما الحرجة.

لمعرفة سبب مساعدتنا في ذلك ، ضع في اعتبارك أن التقريب التربيعي لوظيفة من متغيرين (درجة تيلور متعددة الحدود من الدرجة الثانية) تشترك في نفس الجزأين الأول والثاني مثل الوظيفة التي تقربها عند نقطة التماس المختارة (أو نقطة المركز) . نظرًا لأن مشاركة نفس الأجزاء الثانية تعني أن السطحين سيشتركان في نفس التقعر (أو الانحناء) عند النقطة الحرجة ، فإن هذا يتسبب في مشاركة أسطح التقريب التربيعي في نفس سلوك الوظيفة (z = f (x، y) ) أنها تقريبية عند نقطة التماس. بمعنى آخر ، إذا كانت الوظيفة الأصلية لها حد أقصى نسبي في هذه المرحلة ، فسيكون التقريب التربيعي كذلك. إذا كانت الوظيفة الأصلية لها حد أدنى نسبي في هذه المرحلة ، فسيكون التقريب التربيعي كذلك ، وإذا كانت الوظيفة الأصلية لها نقطة سرج في هذه المرحلة ، فسيكون التقريب التربيعي كذلك.

يوجد الآن ثلاثة سلوكيات أساسية لكثيرات الحدود التربيعية في متغيرين في نقطة حيث لها نقطة حرجة. سيتناسب مع أحد الأشكال الثلاثة التالية ، وغالبًا ما يكون تحولًا لإحدى الوظائف التالية.

  1. مجموع حدين تربيعين ، مثل (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) ، ينتج عنه شكل مكافئ ينفتح وله حد أدنى نسبي (مطلق) عند رأسه. شاهد المؤامرة على الجانب الأيسر من الشكل ( PageIndex {4} ).
  2. سالب مجموع حدين تربيعين ، مثل (z = - left (x ^ 2 + y ^ 2 right) ) ، ينتج عنه شكل مكافئ يفتح لأسفل وله قيمة قصوى (مطلقة) عند رأسه. شاهد المؤامرة على الجانب الأيمن من الشكل ( PageIndex {4} ).
  3. الفرق بين حدين تربيعين ، مثل (z = f (x، y) = x ^ 2 - y ^ 2 ) أو (z = f (x، y) = y ^ 2 - x ^ 2 ) ، إنتاج سرج بنقطة سرج عند النقطة الحرجة. راجع الشكل ( PageIndex {3} ).

الشكل ( PageIndex {4} ): (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) له حد أدنى مطلق من (0 ) في ((0،0) ) ، بينما (z = - (x ^ 2 + y ^ 2) ) بحد أقصى مطلق يبلغ (0 ) عند ((0،0) ) ،

مثال ( PageIndex {1} ): تصنيف النقاط الحرجة للدالة

استخدم إكمال المربع لتحديد النقاط القصوى المحلية أو نقاط السرج للدوال متعددة الحدود التربيعية التالية:

  1. (و (س ، ص) = س ^ 2-6 س + ص ^ 2 + 10 ص + 20 )
  2. (f (x، y) = 12-3x ^ 2-6x - y ^ 2 + 12y )
  3. (و (س ، ص) = س ^ 2 + 8 س - 2 ص ^ 2 + 16 ص )
  4. (و (س ، ص) = س ^ 2 + 6 س ص + ص ^ 2 )

حل

أ. لتحديد النقاط الحرجة لهذه الوظيفة ، نبدأ بتعيين أجزاء (f ) تساوي (0 ). [ start {align *} text {Set} quad f_x (x، y) & = 2x -6 = 0 & implies x & = 3 text {and} quad f_y (x، y) & = 2y + 10 = 0 & تشير إلى y & = -5 end {align *} ] نحصل على نقطة حرجة واحدة بإحداثيات ((3، -5) ). بعد ذلك ، نحتاج إلى تحديد سلوك الوظيفة (f ) في هذه المرحلة.

بإكمال المربع ، نحصل على: [ start {align *} f (x، y) & = x ^ 2 - 6x + y ^ 2 + 10y + 20 & = x ^ 2 - 6x + 9 + y ^ 2 + 10y + 25 + 20 - 9 - 25 & = (x - 3) ^ 2 + (y + 5) ^ 2 - 14 end {align *} ] لاحظ أن هذه الوظيفة هي في الحقيقة مجرد نسخة مترجمة من (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) ، لذا فهو شكل مكافئ ينفتح برأسه (النقطة الدنيا) عند النقطة الحرجة ((3، -5) ). يمكننا القول بأن لها قيمة دنيا مطلقة (- 14 ) عند النقطة ((3، -5) ) ، بما أننا نضيف حدودًا مربعة إلى (- 14 ) وبالتالي لا يمكننا الحصول على قيمة أقل من (- 14 ) لأي قيم من (س ) و (ص ) ، بينما نحصل على الحد الأدنى لقيمة (- 14 ) عند نقطة الرأس ((3 ، -5) ).

ب. عند ضبط أجزاء (f ) التي تساوي (0 ) ، نحصل على: [ start {align *} text {Set} quad f_x (x، y) & = -6x -6 = 0 & تشير إلى x & = -1 text {and} quad f_y (x، y) & = -2y + 12 = 0 & تشير إلى y & = 6 end {align *} ] نحصل على أمر حرج واحد أشر بالإحداثيات ((-1 ، 6) ). بعد ذلك ، نحتاج إلى تحديد سلوك الوظيفة (f ) في هذه المرحلة.

لإكمال المربع هنا ، علينا أولًا تحليل عوامل الحدين التربيعي. عند القيام بذلك وإعادة ترتيب المصطلحات ، يعطينا البعض: [ start {align *} f (x، y) & = 12 - 3x ^ 2 - 6x - y ^ 2 + 12y & = - 3 left (x ^ 2 + 2x quad quad right) - 1 left (y ^ 2 - 12y quad quad right) + 12 & = -3 left (x ^ 2 + 2x + 1 right) - 1 يسار (y ^ 2 - 12y +36 right) + 12 + 3 + 36 & = 51 - 3 (x + 1) ^ 2 - (y - 6) ^ 2 end {align *} ] إشعار أن هذه الوظيفة هي شكل مكافئ بيضاوي ينفتح لأسفل برأسه (النقطة القصوى) عند النقطة الحرجة ((-1 ، 6) ). يمكننا القول أن لها قيمة قصوى مطلقة (51 ) عند النقطة ((-1 ، 6) ) ، نظرًا لأننا نطرح حدودًا تربيعية من (51 ) وبالتالي لا يمكننا الحصول على قيمة أكثر من (51 ) لأي قيم من (س ) و (ص ) ، بينما نحصل على الحد الأدنى لقيمة (51 ) عند نقطة الرأس ((-1 ، 6) ).

ج. عند ضبط أجزاء (f ) التي تساوي (0 ) ، نحصل على: [ start {align *} text {Set} quad f_x (x، y) & = 2x + 8 = 0 & تشير إلى x & = -4 text {and} quad f_y (x، y) & = -4y + 16 = 0 & تشير إلى y & = 4 end {align *} ] وهذا يعطينا نقطة حرجة بالإحداثيات ((-4 ، 4) ). لتحديد ما إذا كان (f ) لديه حد أقصى محلي أو نقطة سرج في هذه المرحلة ، نكمل المربع.

يعطينا تحليل (- 2 ) من (y ) - الحد التربيعي: [ start {align *} f (x، y) & = x ^ 2 + 8x - 2y ^ 2 + 16y & = x ^ 2 + 8x +16-2 left (y ^ 2-8y + 16 right) - 16 + 32 & = (x + 4) ^ 2 - 2 (y - 4) ^ 2 +16 end {align *} ] بما أن أحد المصطلحات التربيعية موجب والآخر سلبي ، فإننا نرى أن هذه الدالة لها شكل (z = x ^ 2 - y ^ 2 ) ولذا فهي تحتوي على نقطة سرج عندها نقطة حرجة. وهذا يعني أن (f ) له نقطة سرج عند ((-4 ، 4 ، 16) ).

د. عند تعيين أجزاء (f ) تساوي (0 ) ، نحصل على: [ start {align *} text {Set} quad f_x (x، y) & = 2x + 6y = 0 & text {and} quad f_y (x، y) & = 6x + 2y = 0 & يعني y & = -3x end {align *} ] استبدال (- 3x ) في المعادلة الأولى لـ (y ) يعطينا ، [ begin {align *} 2x + 6 (-3x) & = 0 -16x & = 0 x & = 0 end {align *} ] منذ (y = -3x ) ، لدينا (y = -3 (0) = 0 ) ، لذا فإن النقطة الحرجة لـ (f ) هي ((0،0) ). لتحديد سلوك (f ) في هذه المرحلة الحرجة ، نكمل المربع.

[ start {align *} f (x، y) & = x ^ 2 + 6xy + y ^ 2 & = (x ^ 2 + 6xy + 9y ^ 2) + y ^ 2 - 9y ^ 2 & = (x + 3y) ^ 2 - 8y ^ 2 end {align *} ] نظرًا لأن هذا ينتج فرقًا في المربعات ذات حد تربيعي موجب والآخر حد تربيع سلبي ، فإننا نرى أن (f ) يأخذ شكل مشابه لـ (z = x ^ 2 - y ^ 2 ) وسيكون له نقطة سرج عند ((0 ، 0 ، 0) ).

الآن دعونا ننظر في التقريب التربيعي للدالة (z = f (x، y) ) المتمركزة في نقطة حرجة ((x_0، y_0) ) من هذه الوظيفة.

[Q (x، y) = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x - x_0) + f_y (x_0، y_0) (y - y_0) + frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2} (x-x_0) ^ 2 + f_ {xy} (x_0، y_0) (x-x_0) (y-y_0) + frac {f_ {yy} (x_0، y_0)} {2} (y-y_0) ^ 2 ]

ولكن ، نظرًا لأن النقطة ((x_0 ، y_0) ) ، في هذه الحالة ، هي نقطة حرجة في (f ) ، فإننا نعلم أن (f_x (x_0 ، y_0) = 0 ) و (f_y ( x_0، y_0) = 0 ).

يتيح لنا ذلك تبسيط (Q (x، y) ) على النحو التالي:

[Q (x، y) = f (x_0، y_0) + frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2} (x-x_0) ^ 2 + f_ {xy} (x_0، y_0) ( x-x_0) (y-y_0) + frac {f_ {yy} (x_0، y_0)} {2} (y-y_0) ^ 2 ]

نحتاج الآن إلى إكمال المربع في كثير الحدود التربيعي في متغيرين لمعرفة كيف يمكننا تصنيف سلوك هذه الدالة عند هذه النقطة الحرجة. تذكر أن الوظيفة الأصلية ستشترك في نفس السلوك (الحد الأقصى ، والدقيقة ، ونقطة السرج) مثل متعدد الحدود تايلور من الدرجة الثانية في هذه النقطة الحرجة.

لتسهيل هذه العملية ، دعنا نجري بعض الاستبدالات. دعنا نختار السماح (u = x - x_0 ) و (v = y - y_0 ) ،

ودع [ تبدأ {محاذاة *} a & = frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2}، b & = f_ {xy} (x_0، y_0)، c & = frac {f_ {yy} (x_0، y_0)} {2} ، text {and} d & = f (x_0، y_0) end {align *} ]

ثم نحتاج إلى إكمال المربع في كثير الحدود: [Q (x، y) = au ^ 2 + buv + cv ^ 2 + d ]

استكمال الساحة:

نقوم أولاً باستخراج معامل (u ^ 2 ): [= a left [u ^ 2 + frac {b} {a} uv + frac {c} {a} v ^ 2 right] + د ]

بعد ذلك ، نكمل المربع باستخدام أول مصطلحين: [= a left [ left (u ^ 2 + frac {b} {a} uv + left ( frac {b} {2a} v right ) ^ 2 right) + frac {c} {a} v ^ 2 - left ( frac {b} {2a} v right) ^ 2 right] + d ]

ينتج عن إعادة كتابة المثلث التربيعي الكامل كمربع ذي الحدين والجمع بين المصطلحات (v ^ 2 ):

[ start {align *} & = a left [ left (u + frac {b} {2a} v right) ^ 2 + left ( frac {c} {a} - frac {b ^ 2} {4a ^ 2} right) v ^ 2 right] + d
& = a left [ left (u + frac {b} {2a} v right) ^ 2 + left ( frac {4ac} {4a ^ 2} - frac {b ^ 2} {4a ^ 2 } حق) v ^ 2 right] + d
& = a left [ left (u + frac {b} {2a} v right) ^ 2 + left ( frac {4ac-b ^ 2} {4a ^ 2} right) v ^ 2 right ] + d end {محاذاة *} ]

لاحظ أن شكل الرسم البياني لهذه الوظيفة يعتمد على علامة معامل (v ^ 2 ).ويتم تحديد علامة هذا المعامل فقط من خلال البسط ، حيث يكون المقام دائمًا موجبًا (كونه مربعًا كاملًا). يُطلق على هذا التعبير ، (4ac-b ^ 2 ) ، المميز ، لأنه يساعدنا على التمييز (معرفة الفرق بين) السلوك الذي تمتلكه الوظيفة في هذه المرحلة الحرجة.

إذا كان (D = 4ac-b ^ 2 gt 0 ) ، فإن كلا الحدين التربيعيين داخل الأقواس موجبان ، و

  • إذا (a = frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2} gt 0 ) ، تفتح الوظيفة (f ) لأعلى بحد أدنى محلي عند النقطة الحرجة ((x_0، y_0 ) ). لاحظ أنه سيكون مشابهًا للنموذج ، (z = x ^ 2 + y ^ 2 ).
  • إذا (a = frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2} lt 0 ) ، تفتح الوظيفة (f ) لأسفل بحد أقصى محلي عند النقطة الحرجة ((x_0، y_0 ) ). لاحظ أنه سيكون مشابهًا للنموذج ، (z = - left (x ^ 2 + y ^ 2 right) ).

إذا كان (D = 4ac-b ^ 2 lt 0 ) ، إذن إما

  • المصطلحان المربّعان الموجودان داخل الأقواس لهما علامات معاكسة (بمعنى (f ) مقعر لأعلى على طول خط موازٍ لمحور (س ) ومقعر لأسفل على طول خط موازٍ لمحور (ص ) ، أو العكس) أو
  • الحد (b ^ 2 ) ، الذي يمثل مربع الجزء المختلط (f_ {xy} (x_0، y_0) ) ، أكبر من المنتج الموجب للجزئين الثانيين (f_ {xx} ( x_0، y_0) ) و (f_ {yy} (x_0، y_0) ). هذا يعني أنه حتى لو كان السطح مقعرًا في كلا الاتجاهين (x ) - و (y ) - أو مقعرًا لأسفل في كلا الاتجاهين (x ) - و (y ) - مختلط كبير يمكن للجزئية أن تعوض عن ذلك وتتسبب في أن يكون للسطح نقطة سرج عند النقطة ((x_0، y_0) ).

في كلتا الحالتين ، سيكون كثير الحدود التربيعي على شكل (z = x ^ 2 - y ^ 2 ) أو (z = y ^ 2 - x ^ 2 ) (أي سيكون الفرق بين اثنين حدود مربعة) ، لذلك نحصل على نقطة سرج عند النقطة الحرجة ((x_0، y_0) ).

لكن إذا (D = 4ac-b ^ 2 = 0 ) ، فإن كثير الحدود التربيعي يتقلص إلى (Q (x، y) = a left (u + frac {b} {2a} v right) ^ 2 + d ) ، الرسم البياني الخاص به عبارة عن أسطوانة مكافئة ، لذا فإن سلوك الوظيفة غير واضح عند النقطة الحرجة ((x_0، y_0) ).

الآن بعد تذكر قيم الثوابت (a ) و (b ) و (c ) من الأعلى ، نرى ما يلي: [ start {align *} D (x_0، y_0) & = 4 frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2} frac {f_ {yy} (x_0، y_0)} {2} - big (f_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2 & = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - big (f_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2 end {align *} ]

هذه الصيغة تسمى اختبار الجزئيات الثاني، ويمكن استخدامه لتصنيف سلوك أي دالة في نقاطها الحرجة ، طالما أن جزئياتها الثانية موجودة هناك وطالما أن قيمة هذا التمييز ليست صفرًا.

اختبار الجزئيات الثاني

يوفر اختبار المشتق الثاني لوظيفة متغير واحد طريقة لتحديد ما إذا كان الحد الأقصى يحدث عند نقطة حرجة للدالة. عند توسيع هذه النتيجة إلى دالة من متغيرين ، تنشأ مشكلة تتعلق بحقيقة أن هناك ، في الواقع ، أربعة مشتقات جزئية مختلفة من الدرجة الثانية ، على الرغم من أن المساواة في الأجزاء المختلطة تقلل هذا إلى ثلاثة. يستخدم اختبار الجزئيات الثاني لوظيفة من متغيرين ، مذكور في النظرية التالية ، أ مميز (D ) الذي يحل محل (f '(x_0) ) في اختبار المشتق الثاني لوظيفة ذات متغير واحد.

اختبار الجزئيات الثاني

لنفترض (z = f (x، y) ) أن تكون دالة لمتغيرين حيث تكون المشتقات الجزئية من الرتبتين الأولى والثانية متصلة على بعض الأقراص التي تحتوي على النقطة ((x_0، y_0) ). افترض (f_x (x_0، y_0) = 0 ) و (f_y (x_0، y_0) = 0. ) حدد الكمية

[D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - big (f_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2. ]

ثم:

  1. إذا (D> 0 ) و (f_ {xx} (x_0، y_0)> 0 ) ، فإن (f ) مقعر عند هذه النقطة الحرجة ، لذلك (f ) لديه حد أدنى محلي عند ((x_0، y_0) ).
  2. إذا (D> 0 ) و (f_ {xx} (x_0، y_0) <0 ) ، فإن (f ) مقعر لأسفل عند هذه النقطة الحرجة ، لذلك (f ) له حد أقصى محلي عند ((x_0، y_0) ).
  3. إذا كان (D <0 ) ، إذن (f ) به نقطة سرج عند ((x_0، y_0) ).
  4. إذا كان (D = 0 ) ، فإن الاختبار غير حاسم.

راجع الشكل ( PageIndex {4} ).

لتطبيق اختبار الجزئيات الثاني ، من الضروري أن نجد أولاً النقاط الحرجة للدالة. هناك العديد من الخطوات المتضمنة في الإجراء بأكمله ، والتي تم تحديدها في استراتيجية حل المشكلات.

إستراتيجية حل المشكلات: استخدام اختبار الجزئيات الثاني لوظائف متغيرين

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة من متغيرين حيث تكون المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى والثانية متصلة على بعض الأقراص التي تحتوي على النقطة ((x_0، y_0). ) للتطبيق اختبار الجزئيات الثاني للعثور على القيم القصوى المحلية ، استخدم الخطوات التالية:

  1. حدد النقاط الحرجة ((x_0، y_0) ) للدالة (f ) حيث (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0. ) إذا وجدت أي نقاط حرجة حيث واحد على الأقل من المشتقات الجزئية غير موجود ، ستحتاج إلى إيجاد وتبرير القيم القصوى بطريقة أخرى ، حيث لا يمكنك استخدام اختبار الجزئيات الثاني.
  2. احسب المميز (D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - big (f_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2 ) لكل نقطة حرجة من (F).
  3. قم بتطبيق الحالات الأربع للاختبار لتحديد ما إذا كانت كل نقطة حرجة هي الحد الأقصى المحلي ، أو الحد الأدنى المحلي ، أو نقطة السرج ، أو ما إذا كان الاختبار غير حاسم. إذا كان الاختبار غير حاسم ، فستحتاج إلى تحليل السلوك وتصنيفه في النقطة الحرجة بطريقة أخرى.

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام اختبار الجزئيات الثاني

ابحث عن النقاط الحرجة لكل من الوظائف التالية ، واستخدم اختبار الجزئيات الثاني للعثور على أي نقاط قصوى محلية أو نقاط سرج.

  1. (و (س ، ص) = 4x ^ 2 + 9y ^ 2 + 8x − 36y + 24 )
  2. (g (x، y) = dfrac {1} {3} x ^ 3 + y ^ 2 + 2xy − 6x − 3y + 4 )

حل:

أ. الخطوة 1 من استراتيجية حل المشكلات تتطلب منا إيجاد النقاط الحرجة لـ (و ). للقيام بذلك ، نحسب أولاً (f_x (x، y) ) و (f_y (x، y) ) ثم نضع كل منهما مساوياً للصفر:

[ start {align *} f_x (x، y) & = 8x + 8 f_y (x، y) & = 18y − 36. النهاية {محاذاة *} ]

ويؤدي جعلها تساوي صفرًا إلى الحصول على نظام المعادلات

[ start {align *} 8x + 8 & = 0 18y − 36 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

حل هذا النظام هو (x = −1 ) و (y = 2 ). لذلك فإن ((- 1،2) ) هي النقطة الحرجة الوحيدة في (و ).

الخطوة 2 من استراتيجية حل المشكلات تتضمن حساب (د ) للقيام بذلك ، نحسب أولاً المشتقات الجزئية الثانية لـ (f: )

[ start {align *} f_ {xx} (x، y) & = 8 f_ {xy} (x، y) & = 0 f_ {yy} (x، y) & = 18. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (D (-1،2) = f_ {xx} (- 1،2) f_ {yy} (- 1،2) - big (f_ {xy} (- 1،2) big) ^ 2 = (8) (18) - (0) ^ 2 = 144> 0. )

الخطوه 3 يخبرنا أن نطبق الحالات الأربع للاختبار لتصنيف سلوك الوظيفة في هذه المرحلة الحرجة.

بما أن (D> 0 ) و (f_ {xx} (- 1،2) = 8> 0 ، ؛ f ) مقعر ، لذلك (f ) به حد أدنى محلي من (f ( -1،2) = -16 ) في ((- 1،2) ) ، كما هو موضح في الشكل التالي. (لاحظ أن هذا يتوافق مع الحالة 1 من اختبار الجزئيات الثاني.)

الشكل ( PageIndex {5} ): الوظيفة (f (x، y) ) لها حد أدنى محلي عند ((- 1،2، −16). ) لاحظ المقياس على المحور (y ) - في هذا المخطط بالآلاف.

ب. ل الخطوة 1، نحسب أولاً (g_x (x ، y) ) و (g_y (x، y) ) ، ثم نضع كل منهما مساوياً للصفر:

[ start {align *} g_x (x، y) & = x ^ 2 + 2y − 6 g_y (x، y) & = 2y + 2x − 3. النهاية {محاذاة *} ]

ويؤدي جعلها تساوي صفرًا إلى الحصول على نظام المعادلات

[ start {align *} x ^ 2 + 2y − 6 & = 0 2y + 2x − 3 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

لحل هذا النظام ، قم أولاً بحل المعادلة الثانية لـ (y ). هذا يعطي (y = dfrac {3−2x} {2} ). استبدال هذا في المعادلة الأولى يعطي

[ start {align *} x ^ 2 + 3−2x − 6 & = 0 x ^ 2−2x − 3 & = 0 (x − 3) (x + 1) & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (x = −1 ) أو (x = 3 ). ينتج عن استبدال هذه القيم في المعادلة (y = dfrac {3−2x} {2} ) النقاط الحرجة ( left (−1، frac {5} {2} right) ) و ( يسار (3، - فارك {3} {2} يمين) ).

الخطوة 2 يتضمن حساب المشتقات الجزئية الثانية لـ (g ):

[ start {align *} g_ {xx} (x، y) & = 2x g_ {xy} (x، y) & = 2 g_ {yy} (x، y) & = 2. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، نعوض بكل نقطة حرجة في الصيغة المميزة:

[ start {align *} D left (−1، tfrac {5} {2} right) & = (2 (−1)) (2) - (2) ^ 2 = −4−4 = −8 D left (3، - tfrac {3} {2} right) & = (2 (3)) (2) - (2) ^ 2 = 12−4 = 8. النهاية {محاذاة *} ]

في الخطوه 3، نستخدم اختبار الجزئيات الثاني لتصنيف سلوك الوظيفة في كل نقطة من نقاطها الحرجة.

عند النقطة ( left (−1، frac {5} {2} right) ) ، نرى أن (D left (−1، tfrac {5} {2} right) = - 8 <0 ) (الحالة 3 من الاختبار) ، مما يعني أن (f ) بها نقطة سرج عند النقطة ( يسار (−1 ، فارك {5} {2} يمين) ). إحداثيات نقطة السرج هذه هي ( left (−1، frac {5} {2}، frac {41} {12} right) ).

يؤدي تطبيق النظرية على النقطة ( left (3، - frac {3} {2} right) ) إلى الحالة (1 ). أي بما أن (D left (3، - tfrac {3} {2} right) = 8> 0 ) و (g_ {xx} left (3، - tfrac {3} {2 } right) = 2 (3) = 6> 0 ) ، نعلم أن (g ) مقعر في هذه النقطة الحرجة ، لذلك (g ) به حد أدنى محلي من (- frac {29 } {4} ) عند النقطة ( left (3، - frac {3} {2} right) ) ، كما هو موضح في الشكل التالي.

ملاحظة: قد يكون من المفيد أحيانًا العثور على صيغة عامة لـ (D ). على سبيل المثال ، هنا يمكننا استخدام الصيغة التالية:

[ begin {align *} D (x_0، y_0) & = g_ {xx} (x_0، y_0) g_ {yy} (x_0، y_0) - big (g_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2 & = (2x_0) (2) −2 ^ 2 & = 4x_0−4. end {align *} ]

ثم سيكون لدينا:

[ start {align *} D left (−1، tfrac {5} {2} right) & = 4 (-1) -4 = −4−4 = −8 D left (3 ، - tfrac {3} {2} right) & = 4 (3) -4 = 12−4 = 8. النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن القيم النهائية للمميز عند كل نقطة حرجة هي نفسها.

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم الجزئية الثانية لإيجاد القيمة القصوى المحلية للدالة

[f (x، y) = x ^ 3 + 2xy − 6x − 4y ^ 2. لا يوجد رقم]

تلميح

اتبع استراتيجية حل المشكلات لتطبيق اختبار الجزئيات الثاني.

إجابه

( left ( frac {4} {3}، frac {1} {3} right) ) نقطة سرج ، ( left (- frac {3} {2}، - frac {3} {8} right) ) هو الحد الأقصى المحلي.

  • النقطة الحرجة للدالة (f (x، y) ) هي أي نقطة ((x_0، y_0) ) حيث إما (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 ) ، أو واحد على الأقل من (f_x (x_0، y_0) ) و (f_y (x_0، y_0) ) غير موجود.
  • نقطة السرج هي نقطة ((x_0، y_0) ) حيث (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 ) ولكن ((x_0، y_0) ) ليست حدًا أقصى ولا حد أدنى في تلك المرحلة.
  • لإيجاد الدوال القصوى لمتغيرين ، أوجد أولاً النقاط الحرجة ، ثم احسب المميز وطبق اختبار الجزئيات الثاني.

المعادلات الرئيسية

  • مميز

(D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - (f_ {xy} (x_0، y_0)) ^ 2 )

قائمة المصطلحات

نقطة حرجة لدالة من متغيرين

النقطة ((x_0، y_0) ) تسمى النقطة الحرجة (f (x، y) ) إذا كان أحد الشرطين التاليين صحيحًا:

1. (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 )

2. لا يوجد واحد على الأقل من (f_x (x_0، y_0) ) و (f_y (x_0، y_0) )

مميز
يُعطى مميز الدالة (f (x، y) ) بالصيغة (D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - (f_ {xy} (x_0 ، y_0)) ^ 2 )
نقطة سرج
بالنظر إلى الوظيفة (z = f (x، y)، ) النقطة ((x_0، y_0، f (x_0، y_0)) ) هي نقطة سرج إذا كان كلاهما (f_x (x_0، y_0) = 0 ) و (f_y (x_0، y_0) = 0 ) ، لكن (f ) لا يحتوي على حد أقصى محلي عند ((x_0، y_0) )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • قام Paul Seeburger (كلية مجتمع مونرو) بتحرير هذا القسم وتعديله على نطاق واسع.
    كتب بول أيضًا القسم الفرعي بأكمله بعنوان تصنيف النقاط الحرجة.

13.8: تحسين وظائف عدة متغيرات - الرياضيات

في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ، كنا مهتمين بالدوال التي تعين الأرقام الحقيقية $ R $ إلى $ R $ ، والتي تسمى أحيانًا "الوظائف الحقيقية لمتغير واحد" ، مما يعني أن "الإدخال" هو رقم حقيقي واحد و " الإخراج '' هو بالمثل رقم حقيقي واحد. في الفصل الأخير درسنا الدوال تأخذ رقمًا حقيقيًا إلى متجه ، والذي يمكن أيضًا اعتباره دوال $ f Colon R to R ^ 3 $ ، أي لـ نحصل على موضع في كل قيمة إدخال. ننتقل الآن إلى وظائف متغيرات متعددة ، بمعنى متغيرات إدخال متعددة ، وظائف $ f Colon R ^ n to R $. سنتعامل بشكل أساسي مع $ n = 2 $ و إلى حد أقل $ n = 3 $ في الواقع ، يمكن تطبيق العديد من الأساليب التي نناقشها على قيم أكبر من $ n $ أيضًا.

تقوم دالة $ f Colon R ^ 2 to R $ بتعيين زوج من القيم $ (x، y) $ إلى رقم حقيقي واحد. نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد الذي استخدمناه بالفعل هو طريقة مناسبة لتصور هذه الوظائف: فوق كل نقطة $ (x، y) $ في المستوى $ x $ - $ y $ نقوم برسم النقطة $ (x، y، z ) $ ، حيث $ z = f (x، y) $ بالطبع.

مثال 14.1.1 افترض أن $ f (x، y) = 3x + 4y-5 $. كتابة هذا على النحو $ z = 3x + 4y-5 $ ثم $ 3x + 4y-z = 5 $ نتعرف على معادلة المستوى. في الشكل $ f (x، y) = 3x + 4y-5 $ ، تغير التركيز: نحن الآن نفكر في $ x $ و $ y $ كمتغيرين مستقلين و $ z $ كمتغير يعتمد عليهما ، لكن الهندسة لم يتغير.

مثال 14.1.2 لقد رأينا أن $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $ يمثل كرة نصف قطرها 2. لا يمكننا كتابة هذا بالصيغة $ f (x، y) $ ، لأن كل $ x $ و $ y $ في القرص $ x ^ 2 + y ^ 2 مثال 14.1.3 ضع في اعتبارك $ f = sqrt x + sqrt y $. يتم تعريف هذه الوظيفة فقط عندما يكون كل من $ x $ و $ y $ غير سالبين. عندما $ y = 0 $ نحصل على $ f (x، y) = sqrt x $ ، دالة الجذر التربيعي المألوفة في المستوى $ x $ - $ z $ ، وعندما $ x = 0 $ نحصل على نفس المنحنى الطائرة $ y $ - $ z $. بشكل عام ، نرى أنه بدءًا من $ f (0،0) = 0 $ ، تصبح هذه الدالة أكبر في كل اتجاه بنفس الطريقة تقريبًا التي تصبح بها دالة الجذر التربيعي أكبر. على سبيل المثال ، إذا قصرنا الانتباه على السطر $ x = y $ ، فسنحصل على $ f (x، y) = 2 sqrt x $ وعلى طول الخط $ y = 2x $ لدينا $ f (x، y) = sqrt x + sqrt <2x> = (1+ sqrt2) sqrt x $.

يمكن أن يكون برنامج الكمبيوتر الذي يرسم مثل هذه الأسطح مفيدًا جدًا ، حيث يصعب غالبًا الحصول على فكرة جيدة عن شكلها. ومع ذلك ، من المهم أن تكون قادرًا على تصور أسطح بسيطة نسبيًا بدون مثل هذه الأدوات. كما في المثال السابق ، غالبًا ما يكون فحص الوظيفة على مجموعات فرعية مقيدة من المستوى فكرة جيدة ، وخاصة الخطوط. قد يكون من المفيد أيضًا تحديد تلك النقاط $ (x، y) $ التي تشترك في قيمة $ z $ المشتركة.

مثال 14.1.4 ضع في اعتبارك $ f (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 $. عندما $ x = 0 $ يتحول هذا إلى $ f = y ^ 2 $ ، القطع المكافئ في المستوى $ y $ - $ z $ عندما $ y = 0 $ نحصل على القطع المكافئ "نفسه" $ f = x ^ 2 $ في المستوى $ x $ - $ z $. الآن ضع في اعتبارك السطر $ y = kx $. إذا استبدلنا $ y $ ب $ kx $ فسنحصل على $ f (x، y) = (1 + k ^ 2) x ^ 2 $ هو قطع مكافئ ، لكنه لا "يمثل" المقطع العرضي على طول $ y = kx $ ، لأن المقطع العرضي يحتوي على الخط $ y = kx $ حيث يجب أن يكون المحور الأفقي. من أجل التظاهر بأن هذا الخط هو المحور الأفقي ، نحتاج إلى كتابة الدالة من حيث المسافة من الأصل ، وهي $ ds sqrt= sqrt$. الآن $ ds f (x، y) = x ^ 2 + k ^ 2x ^ 2 = ( sqrt) ^ 2 دولار. إذن ، المقطع العرضي هو "نفس" القطع المكافئ كما في المستويات $ x $ - $ z $ و $ y $ - $ z $ ، أي أن الارتفاع دائمًا هو المسافة من مربع الأصل. وهذا يعني أن $ f (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 $ يمكن تشكيلها بالبدء بـ $ z = x ^ 2 $ وتدوير هذا المنحنى حول محور $ z $.

أخيرًا ، عند اختيار قيمة $ z = k $ ، في أي نقطة يكون $ f (x، y) = k $؟ هذا يعني $ x ^ 2 + y ^ 2 = k $ ، وهو ما نعرفه على أنه معادلة دائرة نصف قطرها $ sqrt k $. لذا فإن الرسم البياني لـ $ f (x، y) $ يحتوي على مقاطع عرضية مكافئة ، ونفس الارتفاع في كل مكان على دوائر متحدة المركز مع مركز عند نقطة الأصل. هذا يتناسب مع ما اكتشفناه بالفعل.

كما في هذا المثال ، فإن النقاط $ (x، y) $ مثل أن $ f (x، y) = k $ عادة ما تشكل منحنى يسمى a منحنى المستوى من الوظيفة. يمكن أن يعطي الرسم البياني لبعض منحنيات المستوى فكرة جيدة عن شكل السطح الذي يشبه إلى حد كبير الخريطة الطبوغرافية للسطح. في الشكل 14.1.2 ، يظهر كل من السطح ومنحنيات المستوى المرتبطة به. لاحظ أنه ، كما هو الحال مع الخريطة الطبوغرافية ، تكون الارتفاعات المقابلة لمنحنيات المستوى متباعدة بشكل متساوٍ ، بحيث يكون السطح أكثر انحدارًا حيثما تكون المنحنيات أقرب.

الدالات $ f Colon R ^ n to R $ تتصرف مثل وظائف متغيرين ، سنناقش أحيانًا وظائف ثلاثة متغيرات. تتمثل الصعوبة الرئيسية في مثل هذه الوظائف في تصورها ، لأنها لا "تتلاءم" مع الأبعاد الثلاثة المألوفة لدينا. بالنسبة لثلاثة متغيرات ، توجد طرق مختلفة لتفسير الوظائف التي تجعلها أسهل في الفهم. على سبيل المثال ، $ f ( x، y، z) $ يمكن أن يمثل درجة الحرارة عند النقطة $ (x، y، z) $ أو الضغط أو قوة المجال المغناطيسي. يبقى من المفيد النظر في تلك النقاط التي عندها $ f (x، y، z) = k $ ، حيث $ k $ قيمة ثابتة.إذا كان $ f (x، y، z) $ درجة حرارة ، فإن مجموعة النقاط $ (x، y، z) $ مثل $ f (x ، y، z) = k $ هو مجموعة النقاط في الفضاء مع درجة الحرارة $ k $ بشكل عام وهذا يسمى a مجموعة مستوى بالنسبة إلى ثلاثة متغيرات ، عادةً ما تكون مجموعة المستوى عبارة عن سطح يسمى a مستوى السطح.

مثال 14.1.5 افترض أن درجة الحرارة عند $ (x، y، z) $ هي $ T (x، y، z) = e ^ <- (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)> $. هذه الوظيفة لها قيمة قصوى تبلغ 1 في الأصل ، وتميل إلى الصفر في جميع الاتجاهات. إذا كان $ k $ موجبًا وعلى الأكثر 1 ، فإن مجموعة النقاط التي يكون $ T (x، y، z) = k $ هي تلك النقاط التي ترضي $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = - ln k $ ، كرة متمركزة في الأصل. الأسطح المستوية هي المجالات متحدة المركز المتمركزة في الأصل.


المشكلة 1

قررت إنشاء صندوق على شكل منشور مستطيل بحجم 1000 سم مكعب.أوجد الأبعاد x و y و z للمربع بحيث تكون مساحة السطح الإجمالية لجميع أوجه الصندوق الستة هي الحد الأدنى.
حل المشكلة 1:
يتم إعطاء المساحة الإجمالية أ لجميع الوجوه الستة للمنشور.
أ = 2 س ص + 2 ص + 2 ع س

يتم إعطاء حجم الصندوق من هنا
س ص = 1000
حل ما ورد أعلاه من أجل z.
ض = 1000 / (س ص)
عوّض z في التعبير عن المساحة A لتحصل عليها.
أ (س ، ص) = 2 س ص + 2 ص * 1000 / (س ص) + 2 س * 1000 / (س ص) = 2 س ص + 2000 / س + 2000 / ص
علينا الآن إيجاد x و y اللذان يصغران المساحة A. علينا أولًا إيجاد النقاط الحرجة ثم اختبار المشتقات الجزئية الثانية. يتم إعطاء المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى لـ A بواسطة
أ x (س ، ص) = 2 ص - 2000 / (× 2)
أ ذ (س ، ص) = 2 س - 2000 / (ص 2)
تم العثور على النقاط الحرجة عن طريق تحديد Ax(س ، ص) = 0 و أذ(س ، ص) = 0 وحل النظام الذي تم الحصول عليه. الذي يعطي
2y - 2000 / (x 2) = 0 مما يعطي 2yx 2 = 2000
2x - 2000 / (y 2) = 0 مما يعطي 2xy 2 = 2000
حل ما ورد أعلاه للحصول على
س = 10 وص = 10
علينا الآن إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية.
أ xx (س ، ص) = 4000 / (× 3)
أ س ص (س ، ص) = 4000 / (ص 3)
أ س ص (س ، ص) = 2
نحتاج الآن إلى اختبار قيم Axx، أس ص و أس ص عند النقطة (10،10) من أجل استخدام النظرية في الحدود الدنيا والحد الأقصى للدوال ذات المتغيرين.
د = أxx(10،10) أس ص(10،10) - أس ص 2 (10,10) = 4 * 4 - 4 = 12

المشكلة 2

حل المشكلة 2:
باستخدام كل الورق المقوى المتاح لعمل الصندوق ، يتم تحديد المساحة الإجمالية أ لجميع الوجوه الستة للمنشور.
أ = 2 س ص + 2 س + 2 ز س = 12
حجم V للمربع معطى بواسطة
V = xyz
حل المعادلة 2xy + 2yz + 2zx = 12 من أجل z
ض = (6 - س ص) / (س + ص)
عوّض z في التعبير عن المجلد V لتحصل على.
الخامس (س ، ص) = س ص (6 - س ص) / (س + ص)
لنوجد النقاط الحرجة بإيجاد المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى أولًا
الخامسx(س ، ص) = -ص 2 (س 2 + 2 س ص - 6) / (س + ص) 2
الخامسذ(س ، ص) = -س 2 (ص 2 + 2 س ص - 6) / (س + ص) 2
نحل الآن نظام المعادلات المعطى بواسطة Vx = 0 و V.ذ = 0. أحد الحلول الواضحة تُعطى بالنقطة (0،0) ولكنه ليس ممكنًا فيزيائيًا. تم العثور على حلول أخرى عن طريق الإعداد
س 2 + 2 س ص - 6 = 0
و
ص 2 + 2 س ص - 6 = 0
نطرح مصطلح المعادلات بمصطلح نحصل عليه
س 2 - ص 2 = 0
حل للحصول على
س = ص و س = - ص
الحل x = -y غير صالح لهذه المشكلة لأن كلا من x و y بعدين ولا يمكن أن يكونا سالبين. استخدم x = y في المعادلة x 2 + 2xy - 6 = 0 نحصل عليها
س 2 + 2 س 2-6 = 0
حل ل x
س = & # 87302
أوجد y
ص = س = & # 87302
لنجد الآن المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية
الخامسxx(س ، ص) = -2 ص 2 (ص 2 + 6) / (س + ص) 3
الخامسس ص(س ، ص) = -2 س 2 (س 2 + 6) / (س + ص) 3
الخامسس ص(س ، ص) = -2 س ص (س 2 + 3 س ص + ص 2-6) / (س + ص) 3
نحتاج الآن إلى قيم Axx، أس ص و أس ص لإيجاد قيمة D = V.xx(& # 87302، & # 87302) الخامسس ص(& # 87302، & # 87302) - V.س ص 2 (& # 87302، & # 87302) من أجل استخدام النظرية في الحدود الدنيا والحد الأقصى للدوال ذات المتغيرين.

د = الخامسxx(& # 87302، & # 87302) الخامسس ص(& # 87302، & # 87302) - V.س ص 2 (𕔆,𕔆) = 5/2
D موجب و Vxx(& # 87302، & # 87302) = - & # 87302 سالبة وبالتالي فإن الحجم V هو الحد الأقصى لـ
س = & # 87302 متر
ص = & # 87302 متر
ض = (6- س ص) / (س + ص) = & # 87302 متر.

مشكلة 3

حل المشكلة 3:
إحدى الطرق لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى هي أخذ نقطة (x ، y ، z) على المستوى لإيجاد المسافة بين هذه النقطة والنقطة المعينة وتقليلها. نظرًا لأن المسافة تتضمن الجذر التربيعي ، فمن الأفضل تقليل مربع المسافة. اجعل مربع المسافة بين النقطة المعطاة والنقطة (x ، y ، z) على المستوى f.
و (س ، ص ، ض) = (س - 1) 2 + (ص - 2) 2 + (ع + 1) 2
نحل الآن معادلة المستوى الذي نحصل عليه من أجل z
ض = 3 - س + ص
عوّض z في f بـ 3 - x + y في f.
و (س ، ص) = (س - 1) 2 + (ص - 2) 2 + (- س + ص + 4) 2
نوجد الآن مشتقات جزئية من الدرجة الأولى
Fx(س ، ص) = 2 (س - 1) + 2 (-1) (- س + ص + 4)
Fذ(س ، ص) = 2 (ص - 2) + 2 (-س + ص + 4)
علينا الآن إيجاد النقاط الحرجة بمساواة المشتقات الجزئية الأولى بصفر.
2 (س - 1) + 2 (-1) (- س + ص + 4) = 0 و 2 (ص - 2) + 2 (-س + ص + 4) = 0
نحل الآن نظام المعادلات للحصول على
(8/3 , 1/3 , 2/3)
نحسب الآن المشتقات من الدرجة الثانية
Fxx(س ، ص) = 4
Fس ص(س ، ص) = 4
Fس ص(س ، ص) = -2
علينا الآن إيجاد إشارة D = Fxx(8/3/3/3) وس ص(8/3/3) - فس ص 2 (8 / 3،1 / 3) من أجل استخدام النظرية في الحدود الدنيا والحدود القصوى للدوال ذات المتغيرين
د = 4 * 4 - (-2) 2 = 12
بما أن D موجبة و Fxx موجبة ، F لديها حد أدنى عند النقطة (8 / 3،1 / 3) والذي يتوافق مع نقطة على المستوى المعطى بواسطة
(8/3,-1/3,2/3)
المسافة d بين النقطة المحددة والمستوى مُعطاة
د = & # 8730 [(1 - 8/3) 2 + (2 - 1/3) 2 + (-1 - 2/3) 2]
= 5 / 𕔇

المزيد عن المشتقات الجزئية والوظائف متعددة المتغيرات. وظائف متعددة المتغيرات
الصفحة الرئيسية


وظائف التحسين (6 وظائف مع رسم بياني)

يهتم الاقتصاد الإداري بصنع القرار من قبل مديري الشركة.

يتعين على مديري الشركة اتخاذ قرارات بشأن مستوى إنتاج المنتج الذي سيتم إنتاجه ، وسعر المنتج الذي سيتم تحصيله ، وحجم قوة المبيعات التي سيتم إشراكها ، والتقنية التي سيتم استخدامها للإنتاج ، والمستوى من نفقات الإعلان التي سيتم تكبدها والعديد من الأشياء الأخرى من هذا القبيل.

في قرارات العمل ، يكون اتخاذ عدد كبير من الخيارات مفتوحًا أمام المدير الذي يتعين عليه الاختيار من بينها.

من الواضح أن المدير سيحاول الاختيار الأفضل من بين الخيارات المختلفة المتاحة له. الخيار الأفضل أو الأمثل هو الخيار الأفضل لتحقيق الهدف أو الهدف المنشود للشركة. على سبيل المثال ، قد يفكر المدير في مستوى إنتاج المنتج الذي يجب أن ينتجه.

سينتج المدير مستوى الإنتاج الذي يزيد ربح الشركة إلى أقصى حد إذا كان قد حدد لنفسه هدف معظمة الربح. هذه مشكلة تعظيم يجب أن يحلها. وبالمثل ، قد يفكر في الاختيار من بين مجموعات مختلفة من العوامل أو المدخلات التي يمكن استخدامها لإنتاج مستوى من المخرجات.

لتعظيم الأرباح ، سيختار مجموعة المدخلات التي تقلل تكلفة إنتاج مستوى معين من الإنتاج. من الواضح أن هذه مشكلة تصغير يجب أن يحلها.

يُطلق على اتخاذ القرار الذي يتضمن حل مشاكل التعظيم والتقليل اسم التحسين. لذلك ، من أجل اتخاذ قرار فعال ، من الضروري أن يتعلم المدير الناجح تقنيات التحسين. ومع ذلك ، فقد أشار إلى أن تقنيات التحسين الشائعة ذات طبيعة رياضية. في العام الأخير ، زاد استخدام النماذج التحليلية لصنع القرار التجاري من أهمية معرفة تقنيات التحسين لطلاب إدارة الأعمال.

يتم التعبير عن الصيغ الرياضية لهذه النماذج التحليلية لصنع القرار الإداري من حيث الوظائف التي تصف العلاقة الاقتصادية بين المتغيرات المختلفة.

لذلك ، في البداية سنشرح مفهوم الوظيفة وأنواعها المهمة المختلفة.

2. وظائف:

تصف الدالة العلاقة بين متغيرين أو أكثر. أي أن الدالة تعبر عن اعتماد متغير واحد على متغير واحد أو أكثر. وبالتالي ، إذا كانت قيمة المتغير Y تعتمد على متغير آخر X ، فقد نكتب

حيث ƒ تعني الوظيفة.

تتم قراءة هذا التعبير (1) كـ & # 8216Y دالة لـ X & # 8217. هذا يعني أن كل قيمة للمتغير Y يتم تحديدها بواسطة قيمة فريدة للمتغير X. في الوظيفة (1) ، تُعرف Y بالمتغير التابع و X هي المتغير المستقل. وهكذا في الوظيفة (1) Y يسمى المتغير التابع وتعتمد قيمته على قيمة X.

علاوة على ذلك ، يتم تفسير المتغير المستقل على أنه السبب والمتغير التابع باعتباره التأثير. وظيفة مهمة تستخدم على نطاق واسع في الاقتصاد هي دالة الطلب التي تعبر عن الكمية المطلوبة من سلعة ما وهي دالة لسعرها ، والعوامل الأخرى ثابتة. وبالتالي ، يتم وصف الطلب على سلعة X على أنه تحت

أين دx هي الكمية المطلوبة من السلعة X و Px هو سعره.

وبالمثل ، يتم التعبير عن دالة العرض للسلعة X بالرمز

عندما تعتمد قيمة المتغير Y على أكثر من متغيرين X1,X2& # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 Xن هذه الوظيفة مكتوبة بشكل عام على النحو التالي:

حيث n هو عدد المتغيرات المستقلة. لاحظ مرة أخرى أنه في علم الاقتصاد نكتب & # 8217causes & # 8217 كمتغيرات مستقلة و & # 8216 التأثير 1 كمتغير تابع.

على سبيل المثال ، يعتبر الطلب على منتج ما عمومًا دالة على سعره الخاص ، وأسعار السلع الأخرى (التي قد تكون بدائل أو مكملة) ، ودخل المستهلكين ، وأذواق المستهلكين وتفضيلاتهم ، ونفقات الإعلانات التي تقدمها الشركة للترويج لمنتجاتها. هكذا،

دx = الطلب على السلعة X

صx = سعر السلعة X.

صذ = سعر المنتج البديل Y.

م = دخل المستهلكين

T = أذواق وتفضيلات المستهلك للمنتج.

A = نفقات الإعلان التي تتكبدها الشركة.

يمكن معرفة الطبيعة الدقيقة لعلاقة المتغير التابع بالمتغيرات المستقلة من الشكل المحدد للوظيفة. يمكن أن يتخذ الشكل المحدد للدالة مجموعة متنوعة من الأشكال الرياضية.

نوضح أدناه بعض أنواع الوظائف المحددة:

1. وظائف الخطية والطاقة:

الشكل الرياضي المستخدم على نطاق واسع للدالة هو دالة خطية.

يمكن ذكر الدالة الخطية بالشكل العام التالي:

حيث a و b ثوابت موجبة وتسمى معلمات الوظيفة. لاحظ أن معلمات الوظيفة عبارة عن متغيرات يتم إصلاحها وتقديمها في وظيفة معينة. تحدد قيم الثوابت أ و ب الطبيعة المحددة للدالة الخطية. تتم كتابة دالة الطلب الخطية بالسعر باعتباره المتغير المستقل الوحيد

تشير علامة الطرح قبل المعامل b إلى أن الكمية المطلوبة من سلعة ما مرتبطة سلبًا بسعر السلعة. أي إذا انخفض سعر سلعة ما ، يزداد الطلب على الكمية والعكس صحيح. إذا كانت a تساوي 7 و b تساوي 0.5 ، فيمكن التعبير عن دالة الطلب الخطية بالشكل المحدد التالي:

توضح دالة الطلب المحددة أعلاه أن انخفاض الوحدة في سعر السلعة سيؤدي إلى زيادة بمقدار 0.5 وحدة في متطلبات الكمية للسلعة ، وإذا كان السعر (P) هو صفر ، فإن المصطلح الثاني (0.5P) في وظائف الطلبات ينخفض الكمية المطلوبة تساوي 7.

يمكننا أخذ قيم مختلفة لـ P ومعرفة الكميات المختلفة (Qد) من سلعة مطلوبة منهم. في الشكل 3.1 قمنا برسم مجموعات السعر والكمية هذه على الرسم البياني وحصلنا على منحنى الطلب DD للسلعة التي تمثل دالة الطلب المحددة (Qd = 7 & # 8211 0.5P).

تجدر الإشارة إلى أنه ، على عكس الممارسة الرياضية ، من خلال العرف في الاقتصاد لتمثيل دالة الطلب ، نظهر المتغير المستقل (السعر في حالة الطلب أعلاه) على المحور ص والمتغير التابع (الكمية المطلوبة في الوقت الحاضر حالة) على المحور السيني. يظهر الرسم البياني لوظيفة الطلب الخطي في الشكل 3.1. وتجدر الإشارة إلى أن ميل منحنى دالة الطلب في الشكل 3.1 سيمثل ∆P / P. ومع ذلك ، إذا كنا نمثل الكمية المطلوبة (Qد) على المحور الصادي والسعر (صx) على المحور x ، يكون ميل منحنى الطلب المرسوم على هذا النحو مساوياً لـ toQ / P.

2. وظيفة الطلب الخطي متعدد المتغيرات:

يمكن كتابة دالة الطلب الخطية بأكثر من متغير مستقل بالطريقة التالية:

حيث ب1, ب2، ب3، ب4 هي معاملات المتغيرات ذات الصلة. في علم الاقتصاد ، يتم توضيح تأثير المتغيرات بخلاف السعر الخاص لسلعة ما في دالة الطلب من خلال التحولات في منحنى الطلب. على سبيل المثال ، عندما يزيد دخل المستهلكين (M) ، سيطلب المستهلكون المزيد من المنتج X بسعر معين. هذا يعني تحول منحنى الطلب إلى اليمين.

تتم كتابة الدالة الخطية متعددة المتغيرات بالشكل التالي:

في هذه الدالة ، تُظهر المعاملات 0.4 و 0.2 و 0.3 و 0.5 التأثير الدقيق للمتغيرات المستقلة X1, X2، X3، X4 على المتغير التابع Y.

3. وظائف الطاقة:

تُعرف الوظائف الخطية المذكورة أعلاه باسم وظائف الدرجة الأولى حيث المتغيرات المستقلة X1، X2، X3، إلخ ، مرفوعة إلى القوة الأولى فقط. ننتقل الآن لشرح وظائف الطاقة. في الاقتصاد ، يتم استخدام وظائف القوة للأشكال التربيعية والمكعبية على نطاق واسع.

4. وظائف من الدرجة الثانية:

في الدالة التربيعية ، يتم تربيع واحد أو أكثر من المتغيرات المستقلة ، أي مرفوعة إلى القوة الثانية. لاحظ أن القوة يشار إليها أيضًا باسم الأس. يمكن كتابة دالة تربيعية كـ

هذا يعني أن قيمة المتغير التابع Y تعتمد على الثابت a زائد المعامل b مضروبًا في قيمة المتغير المستقل X زائد المعامل c مضروبًا في مربع المتغير X. افترض أن a = 4 و b = 3 و c = 2 ثم تأخذ الدالة التربيعية الشكل المحدد التالي.

يمكننا الحصول على قيم Y المختلفة لأخذ قيم مختلفة للمتغير المستقل X.

الدوال التربيعية من نوعين:

الدوال التربيعية المحدبة والوظائف التربيعية المقعرة. يعتمد شكل الدالة التربيعية على علامة المعامل c لـ X 2. الوظيفة التربيعية ، Y = a + bX + cX 2 ، حيث يكون المعامل c لـ X 2 موجبًا (أي c & gt 0) تسمى دالة تربيعية محدبة ، لأن رسمها البياني على شكل حرف U كما هو موضح في الشكل 3.2. من ناحية أخرى ، إذا كان معامل X 2 سالبًا (c & lt 0) ، أي عندما يكون Y = a + bX- cX 2 ، إذن لدينا دالة تربيعية مقعرة لأن الرسوم البيانية لها شكل U معكوس (أي إعادة تشكيلها) كما هو موضح في الشكل 3.3.

تجدر الإشارة إلى أن ميل منحنى الوظائف التربيعية المحدبة كما هو واضح من الرسم البياني على شكل حرف U في هذه الحالة حيث يكون معامل X 2 موجبًا ، والميل يتزايد في كل مكان. من ناحية أخرى ، في حالة الدالة التربيعية المقعرة حيث يكون معامل X 2 سالبًا (c & lt O) ، يتناقص ميل الرسم البياني في كل مكان.

وتجدر الإشارة كذلك إلى أنه في الهندسة التحليلية ثبت أن الرسم البياني لأي دالة تربيعية هو قطع مكافئ قد يكون إما محدبًا أو مقعرًا. القطع المكافئ هو منحنى له نقطة تحول وعلى عكس منحنى الدالة الخطية ، يتغير ميله عند قيم مختلفة لـ X.

5. وظيفة تربيعية متعددة المتغيرات:

عندما يكون هناك أكثر من متغير مستقل مثل X1، X2، ولديهم علاقة تربيعية مع المتغير التابع Y ، وتسمى هذه الوظيفة الوظيفة التربيعية متعددة المتغيرات.

في حالة وجود متغيرين مستقلين X1 و X2 يمكن التعبير عن هذه الوظيفة على النحو التالي:

إذا تم عرض هذه الوظيفة بيانياً ، فسيتم تمثيلها بسطح ثلاثي الأبعاد & # 8211 وليس بمنحنى ثنائي الأبعاد.

6. دالة مكعب:

الدالة التكعيبية هي دالة القدرة التي يوجد فيها مصطلح من الدرجة الثالثة يتعلق بمتغير مستقل. وبالتالي ، قد يكون للوظائف التكعيبية شروط من الدرجة الأولى والدرجة الثانية والدرجة الثالثة.

قد يكون للدالة التكعيبية الشكل التالي:

أ هو مصطلح التقاطع ، والمتغير التابع X له شروط من الدرجة الأولى والدرجة الثانية والثالثة. عندما تكون علامات جميع المعاملات a و b و c و d موجبة ، فإن قيم V ستزداد بزيادات أكبر تدريجياً مع زيادة قيمة X.

ومع ذلك ، عندما تختلف علامات المعاملات المختلفة في الدالة التكعيبية ، أي أن بعضها له علامات موجبة والبعض الآخر علامات سلبية ، فإن الرسم البياني للوظيفة قد يحتوي على مقاطع محدبة ومقعرة على حد سواء اعتمادًا على قيم المعاملات.

يمكن التعبير عن مثل هذه الدالة التكعيبية حيث تختلف علامات معاملات المتغيرات على النحو التالي:

حيث تكون علامة المعامل c للمتغير X 2 سالبة بينما تكون معاملات الآخرين موجبة.


آر سي سترونجين ويا. د. سيرجيف ، التحسين العالمي مع القيود غير المحدبة. الخوارزميات المتسلسلة والمتوازية (كلوير ، دوردريخت ، 2000).

في. فويفودين و فل. فويفودين ، الحسابات المتوازية (BKhV-Peterburg ، سانت بطرسبرغ ، 2002) [بالروسية].

يو. G. Evtushenko ، "طريقة عددية لتحسين عالمي للوظائف (البحث على شبكة غير موحدة) ،" Zh. فيشيسل. حصيرة. حصيرة. فيز. 11, 1390–1403 (1971).

يو. G. Evtushenko و V. A. Rat’kin ، "طريقة Bisection للتحسين العالمي لوظائف العديد من المتغيرات ،" Izv. روس. العقاد. نوك ، تيك. Kibern. ، No. 1 ، 119-127 (1987).

أ. يا. Belyankov ، "تحسين كفاءة طرق التغطية غير الموحدة في التحسين العالمي ،" في ملخصات مؤتمر البرمجة الرياضية والبرمجيات (Ural’skoe Otdelenie Akad. Nauk SSSR، Sverdlovsk، 1989)، pp.21–22 [بالروسية].

يو. ج. Evtushenko، V. U. Malkova، and A. A. Stanevichyus، "Parallelization of the Global Extremum Searching Process،" Avtom.Telemekh.، No. 5، 46–58 (2007) [Autom. جهاز التحكم 68, 787–798 (2007)].

يو. نيستيروف وبولياك ، "التنظيم المكعب لطريقة نيوتن وأدائها العالمي ،" الرياضيات. برنامج. 108(1), 177–205 (2006).

A. S. Strekalovsky ، عناصر التحسين Nonconvex (نووكا ، نوفوسيبيرسك ، 2003) [بالروسية].

أ. يا. Belyankov ، "التقسيم المتوازي الأولي في طرق التغطية غير الموحدة في التحسين العالمي ،" II عموم روسيا Conf. مع مدرسة أبحاث الشباب حول النمذجة الرياضية للاقتصادات النامية (جامعة فياتسكي جوس ، كيروف ، 2007) ، ص 59-62 [بالروسية].

M. A. Posypkin و I. Kh. سيجال ، "التحقيق في الخوارزميات للحسابات المتوازية في مشاكل التحسين المنفصلة من نوع الحقيبة ،" ز. فيشيسل. حصيرة. حصيرة. فيز. 45(10) ، 1801-1809 (2005) [Comput. رياضيات. رياضيات. فيز. 45, 1735–1742 (2005)].

مركز الكمبيوتر العملاق المشترك التابع للأكاديمية الروسية للعلوم ، HTTr: //www.jsss.ru

يو. G. Evtushenko و M. A. Potapov ، "طرق لحل مشاكل متعددة المعايير ،" Dokl. العقاد. Nauk SSSR 291, 25–29 (1986).

يو. G. Evtushenko ، "طريقة عددية لإيجاد أفضل التقديرات المضمونة ،" ز. فيشيسل. حصيرة. حصيرة. فيز. 12(1), 89–104 (1972).


يجب كتابة الوظيفة الموضوعية في ملف m منفصل يأخذ متجهًا x كمدخل ويعيد ناتجًا قياسيًا. يتم تمرير متغيرات متعددة مثل x [1] ، x [2] ، x [3] إلخ.

x0 هو متجه التخمينات الأولية للمتغيرات. هنا تمت تهيئتها جميعًا إلى 1. يبلغ طولها 12 هنا حيث يبدو أن هناك 12 متغيرًا (بما في ذلك "M").

سيساعدك هذا الرابط على فهم كيفية كتابة الوظائف الموضوعية لمتغيرات متعددة:

متعلق ب

أسئلة الشبكة الساخنة


محتويات

مشكلة التحسين متعدد الأهداف هي مشكلة التحسين التي تتضمن وظائف موضوعية متعددة. [1] [2] [3] من الناحية الرياضية ، يمكن صياغة مشكلة تحسين متعددة الأهداف على النحو التالي

وناقل الهدف المثالي مثل

بمعنى آخر ، تحدد مكونات النظير ومتجه الهدف المثالي الحدود العليا والسفلى لقيم الوظيفة الموضوعية لحلول باريتو المثلى ، على التوالي. من الناحية العملية ، لا يمكن تقريب متجه هدف النظير إلا لأن مجموعة باريتو المثالية بأكملها غير معروفة عادةً. بالإضافة إلى ذلك ، أ ناقل الهدف اليوتوبيا z → u t o p i a n >^> مع

تحرير الاقتصاد

في علم الاقتصاد ، تتضمن العديد من المشكلات أهدافًا متعددة إلى جانب قيود على مجموعات تلك الأهداف التي يمكن تحقيقها. على سبيل المثال ، يتم تحديد طلب المستهلك على السلع المختلفة من خلال عملية تعظيم المرافق المستمدة من تلك السلع ، مع مراعاة قيود بناءً على مقدار الدخل المتاح للإنفاق على تلك السلع وعلى أسعار تلك السلع. يسمح هذا القيد بشراء أكثر من سلعة واحدة فقط بالتضحية باستهلاك أقل من سلعة أخرى ، وبالتالي ، فإن الأهداف المختلفة (يفضل استهلاك كل سلعة) تتعارض مع بعضها البعض. تتمثل إحدى الطرق الشائعة لتحليل مثل هذه المشكلة في استخدام رسم بياني لمنحنيات اللامبالاة ، ويمثل التفضيلات ، وقيود الميزانية ، ويمثل المقايضات التي يواجهها المستهلك.

يتضمن مثال آخر حدود إمكانيات الإنتاج ، والتي تحدد مجموعات الأنواع المختلفة من السلع التي يمكن أن ينتجها مجتمع بكميات معينة من الموارد المختلفة. تحدد الحدود المقايضات التي يواجهها المجتمع - إذا كان المجتمع يستخدم موارده بالكامل ، فلا يمكن إنتاج أكثر من سلعة واحدة إلا على حساب إنتاج القليل من سلعة أخرى. يجب على المجتمع بعد ذلك استخدام بعض العمليات للاختيار من بين الاحتمالات على الحدود.

إن صنع سياسة الاقتصاد الكلي هو سياق يتطلب تحسينًا متعدد الأهداف. عادةً ما يجب على البنك المركزي أن يختار موقفًا للسياسة النقدية يوازن بين الأهداف المتنافسة - انخفاض التضخم ، وانخفاض البطالة ، وانخفاض عجز الميزان التجاري ، وما إلى ذلك. للقيام بذلك ، يستخدم البنك المركزي نموذجًا للاقتصاد يصف من الناحية الكمية الروابط السببية المختلفة في الاقتصاد يحاكي النموذج مرارًا وتكرارًا في ظل مختلف المواقف المحتملة للسياسة النقدية ، من أجل الحصول على قائمة بالنتائج المتوقعة المحتملة لمتغيرات الفائدة المختلفة. ثم من حيث المبدأ ، يمكن أن تستخدم دالة موضوعية مجمعة لتقييم المجموعات البديلة من النتائج المتوقعة ، على الرغم من أن البنوك المركزية في الممارسة تستخدم عملية غير كمية ، قائمة على الحكم ، لتصنيف البدائل واتخاذ خيار السياسة.

تحرير المالية

في مجال التمويل ، تتمثل المشكلة الشائعة في اختيار محفظة عندما يكون هناك هدفان متعارضان - الرغبة في أن تكون القيمة المتوقعة لعوائد المحفظة عالية قدر الإمكان ، والرغبة في المخاطرة ، والتي تقاس غالبًا بالانحراف المعياري لعوائد المحفظة ، كن منخفضًا قدر الإمكان. غالبًا ما يتم تمثيل هذه المشكلة من خلال رسم بياني تُظهر فيه الحدود الفعالة أفضل مجموعات المخاطر والعائد المتوقع المتاحة ، وفيها تُظهر منحنيات اللامبالاة تفضيلات المستثمر لمجموعات عوائد متوقعة متنوعة. تسمى مشكلة تحسين وظيفة القيمة المتوقعة (اللحظة الأولى) والانحراف المعياري (الجذر التربيعي للحظة المركزية الثانية) لعائد المحفظة بنموذج قرار ثنائي اللحظة.

تحرير التحكم الأمثل

في الهندسة والاقتصاد ، تتضمن العديد من المشكلات أهدافًا متعددة لا يمكن وصفها بأنها الأكثر - الأفضل - أو الأقل - الأفضل - بدلاً من ذلك ، هناك قيمة هدف مثالية لكل هدف ، والرغبة في الاقتراب قدر الإمكان إلى القيمة المرغوبة لكل هدف. على سبيل المثال ، عادةً ما يكون لأنظمة الطاقة مفاضلة بين الأداء والتكلفة [4] [5] أو قد يرغب المرء في تعديل استخدام وقود الصاروخ واتجاهه بحيث يصل إلى مكان محدد وفي وقت محدد أو ربما تريد إجراء عمليات السوق المفتوحة بحيث يكون معدل التضخم ومعدل البطالة قريبين قدر الإمكان من القيم المرغوبة.

غالبًا ما تخضع مثل هذه المشكلات لقيود المساواة الخطية التي تمنع تحقيق جميع الأهداف بشكل كامل في وقت واحد ، خاصةً عندما يكون عدد المتغيرات التي يمكن التحكم فيها أقل من عدد الأهداف وعندما يؤدي وجود صدمات عشوائية إلى عدم اليقين. عادةً ما يتم استخدام دالة الهدف التربيعية متعددة الأغراض ، مع ارتفاع التكلفة المرتبطة بالهدف بشكل تربيعي مع مسافة الهدف من قيمته المثالية. نظرًا لأن هذه المشكلات تتضمن عادةً تعديل المتغيرات الخاضعة للرقابة في نقاط زمنية مختلفة و / أو تقييم الأهداف في نقاط زمنية مختلفة ، يتم استخدام تقنيات التحسين عبر الزمن. [6]

تحرير التصميم الأمثل

يمكن تحسين تصميم المنتج والعملية إلى حد كبير باستخدام تقنيات النمذجة والمحاكاة والتحسين الحديثة. [ بحاجة لمصدر ] السؤال الرئيسي في التصميم الأمثل هو قياس ما هو جيد أو مرغوب فيه في التصميم. قبل البحث عن التصميمات المثالية ، من المهم تحديد الخصائص التي تساهم بشكل أكبر في القيمة الإجمالية للتصميم. يتضمن التصميم الجيد عادةً معايير / أهدافًا متعددة مثل تكلفة رأس المال / الاستثمار ، وتكلفة التشغيل ، والربح ، والجودة و / أو استرداد المنتج ، والكفاءة ، وسلامة العملية ، ووقت التشغيل وما إلى ذلك. لذلك ، في التطبيقات العملية ، أداء العملية و / أو غالبًا ما يتم قياس تصميم المنتج فيما يتعلق بأهداف متعددة. عادة ما تكون هذه الأهداف متضاربة ، أي أن تحقيق القيمة المثلى لهدف واحد يتطلب بعض التنازلات حول واحد أو أكثر من الأهداف الأخرى.

على سبيل المثال ، عند تصميم مصنع للورق ، يمكن للمرء أن يسعى لتقليل مقدار رأس المال المستثمر في مصنع الورق وتحسين جودة الورق في وقت واحد. إذا كان تصميم مصنع الورق محددًا بأحجام تخزين كبيرة وتم تحديد جودة الورق من خلال معايير الجودة ، فيمكن أن تتضمن مشكلة التصميم الأمثل لمصنع الورق أهدافًا مثل: 1) تقليل التباين المتوقع لمعايير الجودة هذه من القيم الاسمية ، 2) تقليل الوقت المتوقع للفواصل و 3) تقليل التكلفة الاستثمارية لأحجام التخزين. هنا ، الحجم الأقصى للأبراج هو متغيرات التصميم. هذا المثال للتصميم الأمثل لمصنع الورق هو تبسيط للنموذج المستخدم فيه. [7] تم أيضًا تنفيذ تحسين التصميم متعدد الأهداف في الأنظمة الهندسية في ظروف مثل تحسين تخطيط خزانة التحكم ، [8] تحسين شكل الجنيح باستخدام علمي سير العمل ، [9] تصميم أشباه الموصلات النانوية CMOS ، [10] نظام تصميم الرقائق ، تصميم أنظمة الري التي تعمل بالطاقة الشمسية ، [11] تحسين أنظمة القوالب الرملية ، [12] [13] تصميم المحرك ، [14] [ 15] النشر الأمثل للمستشعر [16] والتصميم الأمثل للتحكم. [17] [18]

تحرير عملية التحسين

تم استخدام التحسين متعدد الأهداف بشكل متزايد في الهندسة الكيميائية والتصنيع. في عام 2009 ، استخدم Fiandaca و Fraga الخوارزمية الجينية متعددة الأغراض (MOGA) لتحسين عملية امتصاص تأرجح الضغط (عملية الفصل الدوري). تضمنت مشكلة التصميم تعظيم مزدوج لاستعادة النيتروجين ونقاء النيتروجين. قدمت النتائج تقريبًا جيدًا لحدود باريتو مع مقايضات مقبولة بين الأهداف. [19]

في عام 2010 ، سيندين وآخرون. حل مشكلة متعددة الأغراض للمعالجة الحرارية للأغذية. لقد تناولوا دراستي حالة (مشاكل ثنائية الهدف وثلاثية الهدف) باستخدام نماذج ديناميكية غير خطية واستخدموا نهجًا هجينًا يتكون من نهج Tchebycheff الموزون ونهج تقاطع الحدود العادية. كان النهج الهجين الجديد قادرًا على بناء مجموعة Pareto المثالية للمعالجة الحرارية للأطعمة. [20]

في عام 2013 ، Ganesan et al. إجراء التحسين متعدد الأهداف لعملية إعادة تشكيل ثنائي أكسيد الكربون المشترك والأكسدة الجزئية للميثان. كانت الوظائف الموضوعية هي تحويل الميثان وانتقائية أول أكسيد الكربون ونسبة الهيدروجين إلى أول أكسيد الكربون. استخدم Ganesan طريقة تقاطع الحدود الطبيعية (NBI) جنبًا إلى جنب مع تقنيتين تعتمدان على السرب (خوارزمية البحث عن الجاذبية (GSA) وتحسين سرب الجسيمات (PSO)) لمعالجة المشكلة. [21] التطبيقات التي تنطوي على الاستخراج الكيميائي [22] وعمليات إنتاج الإيثانول الحيوي [23] قد طرحت مشاكل متعددة الأهداف مماثلة.

في عام 2013 ، اقترح Abakarov et al تقنية بديلة لحل مشاكل التحسين متعددة الأهداف التي تنشأ في هندسة الأغذية. [24] تم استخدام نهج الوظائف التجميعية وخوارزمية البحث العشوائي التكيفية ونهج وظائف العقوبة لحساب المجموعة الأولية من الحلول غير الخاضعة للسيطرة أو حلول باريتو المثلى. تم استخدام عملية التسلسل الهرمي التحليلي والطريقة الجدولية في وقت واحد لاختيار أفضل بديل من بين المجموعة الفرعية المحسوبة من الحلول غير المسيطرة لعمليات الجفاف التناضحي. [25]

في 2018 ، بيرس وآخرون. تخصيص المهام المُصاغ للعمال البشريين والروبوتيين كمشكلة تحسين متعددة الأهداف ، مع مراعاة وقت الإنتاج والتأثير المريح على العامل البشري كهدفين تم النظر فيهما في الصياغة. استخدم نهجهم برنامجًا خطيًا مختلطًا عددًا صحيحًا لحل مشكلة التحسين لمجموع مرجح من الهدفين لحساب مجموعة من حلول باريتو المثلى. أظهر تطبيق النهج على العديد من مهام التصنيع تحسينات في هدف واحد على الأقل في معظم المهام وفي كلا الهدفين في بعض العمليات. [26]

إدارة موارد الراديو تحرير

الغرض من إدارة الموارد الراديوية هو تلبية معدلات البيانات التي يطلبها مستخدمو الشبكة الخلوية. [27] الموارد الرئيسية هي الفواصل الزمنية ، وفدرات التردد ، وصلاحيات الإرسال. لكل مستخدم وظيفته الموضوعية التي ، على سبيل المثال ، يمكن أن تمثل مزيجًا من معدل البيانات ، والكمون ، وكفاءة الطاقة. هذه الأهداف متضاربة لأن موارد التردد شحيحة للغاية ، وبالتالي هناك حاجة لإعادة استخدام التردد المكاني الضيق مما يسبب تداخلًا هائلاً بين المستخدمين إذا لم يتم التحكم فيه بشكل صحيح. تُستخدم تقنيات MIMO متعددة المستخدمين في الوقت الحاضر لتقليل التداخل عن طريق التشفير المسبق التكيفي. يرغب مشغل الشبكة في تحقيق تغطية كبيرة ومعدلات بيانات عالية ، وبالتالي يود المشغل إيجاد حل Pareto الأمثل الذي يوازن بين إجمالي نقل بيانات الشبكة وعدالة المستخدم بطريقة ذاتية مناسبة.

غالبًا ما يتم حل إدارة الموارد الراديوية عن طريق التوسع أي اختيار وظيفة أداة مساعدة للشبكة تحاول موازنة الإنتاجية وعدالة المستخدم. اختيار وظيفة المنفعة له تأثير كبير على التعقيد الحسابي لمشكلة التحسين أحادية الهدف الناتجة. [27] على سبيل المثال ، المنفعة المشتركة لمعدل المجموع الموزون تعطي مشكلة NP-hard مع تعقيد يتناسب بشكل كبير مع عدد المستخدمين ، بينما تؤدي الأداة المساعدة للعدالة القصوى الموزونة إلى مشكلة تحسين شبه محدبة مع تحجيم متعدد الحدود مع عدد المستخدمين. [28]

تحرير أنظمة الطاقة الكهربائية

تمثل إعادة التكوين ، من خلال تبادل الروابط الوظيفية بين عناصر النظام ، أحد أهم التدابير التي يمكن أن تحسن الأداء التشغيلي لنظام التوزيع. تعد مشكلة التحسين من خلال إعادة تشكيل نظام توزيع الطاقة ، من حيث تعريفها ، مشكلة موضوعية تاريخية فردية مع قيود. منذ عام 1975 ، عندما قدم Merlin و Back [29] فكرة إعادة تكوين نظام التوزيع لتقليل فقد الطاقة النشط ، حتى يومنا هذا ، اقترح الكثير من الباحثين طرقًا وخوارزميات متنوعة لحل مشكلة إعادة التكوين كمشكلة موضوعية واحدة. اقترح بعض المؤلفين مناهج تستند إلى أمثلية باريتو (بما في ذلك فقدان الطاقة النشط ومؤشرات الموثوقية كأهداف). لهذا الغرض ، تم استخدام طرق مختلفة تعتمد على الذكاء الاصطناعي: علم الجراثيم ، [30] تبادل الفروع ، [31] تحسين سرب الجسيمات [32] وخوارزمية الفرز الجينية غير المسيطرة. [33]

فحص البنية التحتية تحرير

الفحص المستقل للبنية التحتية لديه القدرة على تقليل التكاليف والمخاطر والآثار البيئية ، فضلاً عن ضمان صيانة دورية أفضل للأصول التي تم فحصها. عادةً ما يُنظر إلى التخطيط لمثل هذه المهام على أنه مشكلة تحسين ذات هدف واحد ، حيث يهدف المرء إلى تقليل الطاقة أو الوقت الذي يقضيه في فحص هيكل الهدف بأكمله. [34] بالنسبة للهياكل المعقدة الواقعية ، فإن تغطية 100٪ من هدف الفحص ليس ممكنًا ، وقد يُنظر إلى إنشاء خطة فحص بشكل أفضل على أنه مشكلة تحسين متعددة الأغراض ، حيث يهدف المرء إلى زيادة تغطية الفحص وتقليل الوقت والتكاليف. أشارت دراسة حديثة إلى أن تخطيط التفتيش متعدد الأهداف لديه بالفعل القدرة على التفوق على الأساليب التقليدية في الهياكل المعقدة [35]

نظرًا لوجود العديد من الحلول المثلى لـ Pareto لمشاكل التحسين متعددة الأهداف ، فإن ما يعنيه حل مثل هذه المشكلة ليس مباشرًا كما هو الحال بالنسبة لمشكلة التحسين التقليدية أحادية الهدف. لذلك ، قام باحثون مختلفون بتعريف مصطلح "حل مشكلة تحسين متعددة الأهداف" بطرق مختلفة. يلخص هذا القسم بعضًا منها والسياقات التي يتم استخدامها فيها. تقوم العديد من الطرق بتحويل المشكلة الأصلية ذات الأهداف المتعددة إلى مشكلة تحسين ذات هدف واحد. هذا يسمى مشكلة متدرجة. إذا كان من الممكن ضمان أمثلية باريتو للحلول أحادية الهدف التي تم الحصول عليها ، يتم وصف التوسع على أنه يتم بدقة.

يُفهم حل مشكلة التحسين متعددة الأهداف أحيانًا على أنه تقريب أو حساب الكل أو مجموعة تمثيلية من حلول باريتو المثلى. [36] [37]

عند التأكيد على عملية صنع القرار ، يُشار إلى هدف حل مشكلة تحسين متعددة الأهداف إلى دعم صانع القرار في إيجاد حل Pareto الأمثل وفقًا لتفضيلاته الشخصية. [1] [38] الافتراض الأساسي هو أنه يجب تحديد حل واحد للمشكلة ليتم تنفيذه عمليًا. هنا ، يلعب صانع القرار البشري (DM) دورًا مهمًا. من المتوقع أن يكون DM خبيرًا في مجال المشكلة.

يمكن العثور على النتائج المفضلة باستخدام فلسفات مختلفة. يمكن تقسيم طرق التحسين متعددة الأهداف إلى أربع فئات. [2] في ما يسمى بطرق عدم التفضيل ، لا يُتوقع توفر DM ، ولكن يتم تحديد حل وسط محايد بدون معلومات التفضيل. [1] يُطلق على الفئات الأخرى ما يسمى بالطرق المسبقة والتالية والتفاعلية وكلها تتضمن معلومات تفضيلية من DM بطرق مختلفة.

في الطرق المسبقة ، يتم طلب معلومات التفضيل أولاً من DM ثم يتم العثور على أفضل حل يلبي هذه التفضيلات. في الطرق اللاحقة ، تم العثور أولاً على مجموعة تمثيلية من حلول باريتو المثلى ثم يجب على DM اختيار أحدها. في الأساليب التفاعلية ، يُسمح لصانع القرار بالبحث بشكل متكرر عن الحل الأكثر تفضيلاً. في كل تكرار للطريقة التفاعلية ، يتم عرض DM الحل (الحلول) الأمثل باريتو ويصف كيف يمكن تحسين الحل (الحلول). ثم يتم أخذ المعلومات التي يقدمها صانع القرار في الاعتبار أثناء إنشاء حل (حلول) Pareto الأمثل الجديد لـ DM لدراسته في التكرار التالي. بهذه الطريقة ، يتعرف DM على جدوى رغباته ويمكنه التركيز على الحلول التي تهمه. قد يوقف DM البحث متى أراد ذلك. مزيد من المعلومات والأمثلة للطرق المختلفة في الفصول الأربعة ترد في الأقسام التالية.

يعد توسيع نطاق مشكلة التحسين متعددة الأهداف طريقة مسبقة ، مما يعني صياغة مشكلة تحسين أحادية الهدف بحيث تكون الحلول المثلى لمشكلة التحسين أحادية الهدف هي حلول باريتو المثلى لمشكلة التحسين متعددة الأهداف. [2] بالإضافة إلى ذلك ، غالبًا ما يكون مطلوبًا أن يتم الوصول إلى كل حل باريتو الأمثل مع بعض معلمات التوسع. [2] باستخدام معلمات مختلفة للتحجيم ، يتم إنتاج حلول باريتو المثلى المختلفة. وبالتالي ، فإن الصيغة العامة لتحجيم التحسين متعدد الأهداف هي

أمثلة معروفة جدا هي ما يسمى ب

الأمثلة الأكثر تقدمًا إلى حد ما هي:

  • تحقيق مشاكل التحجيم Wierzbicki. [39] يمكن صياغة أحد الأمثلة على مشاكل قياس الإنجاز على شكل
  • برمجة سين متعددة الأغراض[40]

عندما لا يوضح صانع القرار صراحة أي معلومات تفضيل ، يمكن تصنيف طريقة التحسين متعدد الأهداف على أنها طريقة عدم التفضيل. [2] من الأمثلة المعروفة طريقة المعيار العالمي ، [41] حيث توجد مشكلة متدرجة في الشكل

حلت. في المشكلة أعلاه ، يمكن أن يكون ‖ ⋅ ‖ < displaystyle | cdot |> أي L * < displaystyle L_

> القاعدة ، مع الاختيارات الشائعة بما في ذلك L 1 > L 2 > و L ∞ >. [1] طريقة المعيار العالمي حساسة لمقياس الوظائف الموضوعية ، وبالتالي ، يوصى بتوحيد الأهداف في مقياس موحد بلا أبعاد. [1] [38]

تتطلب الطرق المسبقة التعبير عن معلومات التفضيل الكافية قبل عملية الحل. [2] تشمل الأمثلة المعروفة للطرق المسبقة طريقة وظيفة المنفعةوطريقة المعجم وبرمجة الهدف.

ولكن من الناحية العملية ، من الصعب جدًا إنشاء وظيفة منفعة تمثل بدقة تفضيلات صانع القرار [1] - خاصة وأن واجهة Pareto غير معروفة قبل بدء التحسين.

تفترض الطريقة المعجمية أنه يمكن ترتيب الأهداف حسب الأهمية. يمكننا أن نفترض ، دون فقدان العمومية ، أن الدوال الموضوعية مرتبة حسب الأهمية بحيث أن f 1 < displaystyle f_ <1>> هي الأكثر أهمية و f k < displaystyle f_> الأقل أهمية بالنسبة لصانع القرار. تتكون الطريقة المعجمية من حل سلسلة من مشاكل التحسين ذات الهدف الواحد للنموذج

تهدف الطرق اللاحقة إلى إنتاج جميع حلول باريتو المثالية أو مجموعة فرعية تمثيلية من حلول باريتو المثلى. تقع معظم الطرق اللاحقة في إحدى الفئتين التاليتين: طرق لاحقة قائمة على البرمجة الرياضية ، حيث يتم تكرار خوارزمية وينتج كل تشغيل للخوارزمية حل باريتو الأمثل ، وخوارزميات تطورية حيث ينتج تشغيل واحد للخوارزمية مجموعة من الحلول المثلى باريتو.

من الأمثلة المعروفة للطرق اللاحقة القائمة على البرمجة الرياضية تقاطع الحدود الطبيعي (NBI) ، [42] تقاطع الحدود الطبيعي المعدل (NBIm) [43] القيد الطبيعي (NC) ، [44] [45] تحسين باريتو المتتالي ( SPO) [46] و Directed Search Domain (DSD) [47] طريقتان تحلان مشكلة التحسين متعددة الأهداف من خلال إنشاء عدة تحجيم. ينتج عن حل كل توسيع الحل الأمثل باريتو ، سواء محليًا أو عالميًا. يتم إنشاء تحجيم أساليب NBI و NBIm و NC و DSD بهدف الحصول على نقاط باريتو الموزعة بالتساوي والتي تعطي تقريبًا جيدًا موزعًا بالتساوي للمجموعة الحقيقية من نقاط باريتو.

الخوارزميات التطورية هي مناهج شائعة لتوليد حلول باريتو المثلى لمشكلة تحسين متعددة الأهداف. حاليًا ، تطبق معظم خوارزميات التحسين متعدد الأهداف التطورية (EMO) مخططات التصنيف القائمة على باريتو. أصبحت الخوارزميات التطورية مثل الخوارزمية الجينية للفرز غير المسيطر عليها -2 (NSGA-II) [48] وخوارزمية باريتو التطورية 2 (SPEA-2) [49] نهجًا قياسيًا ، على الرغم من أن بعض المخططات القائمة على تحسين سرب الجسيمات والمحاكاة التلدين [50] مهم. الميزة الرئيسية للخوارزميات التطورية ، عند تطبيقها لحل مشاكل التحسين متعددة الأهداف ، هي حقيقة أنها تولد عادةً مجموعات من الحلول ، مما يسمح بحساب تقريب لجبهة باريتو بأكملها. العيب الرئيسي للخوارزميات التطورية هو سرعتها المنخفضة ولا يمكن ضمان أمثلية باريتو للحلول. من المعروف فقط أنه لا أحد من الحلول التي تم إنشاؤها يهيمن على الحلول الأخرى.

تم مؤخرًا تحسين نموذج آخر للتحسين متعدد الأهداف استنادًا إلى الحداثة باستخدام الخوارزميات التطورية. [51] يبحث هذا النموذج عن حلول جديدة في الفضاء الموضوعي (أي البحث الجديد [52] في مساحة الهدف) بالإضافة إلى البحث عن حلول غير خاضعة للسيطرة. البحث المبتكر هو بمثابة نقطة انطلاق لتوجيه البحث إلى أماكن لم يتم استكشافها من قبل. إنه مفيد بشكل خاص في التغلب على التحيز والهضاب بالإضافة إلى توجيه البحث في مشاكل تحسين الأهداف المتعددة.

طرق لاحقة معروفة بشكل عام مذكورة أدناه:

  • طريقة القيود ε [53] [54]
  • متعدد الأهداف فرع وملزم [55] [56] [57]
  • تقاطع الحدود الطبيعي (NBI) [42]
  • تقاطع حد عادي معدل (NBIm) [43] القيد الطبيعي (NC) ، [44] [45]
  • تحسين باريتو المتتالي (SPO) [46]
  • مجال البحث الموجه (DSD) [47]
  • NSGA-II [48]
  • PGEN (توليد سطح باريتو لمثيلات محدبة متعددة الأهداف) [58] (التحسين غير المباشر على أساس التنظيم الذاتي)
  • SMS-EMOA (خوارزمية تطورية متعددة الأهداف للاختيار المتري S) [59]
  • التطور الموجه التقريبي (الخوارزمية الأولى للتنفيذ المباشر وتحسين المفهوم الرسمي للتقريب من علوم الكمبيوتر النظرية) [60] (باستخدام التعلم الآلي لتكييف الاستراتيجيات والأهداف) ، [61] [62] تم تنفيذه في LIONsolver لبرامج خطية موضوعية متعددة ولبرامج محدبة متعددة الأهداف
  • خوارزمية السكان الفرعية على أساس الجدة [51]

في الأساليب التفاعلية لتحسين المشكلات الموضوعية المتعددة ، تكون عملية الحل تكرارية ويتفاعل صانع القرار باستمرار مع الطريقة عند البحث عن الحل الأكثر تفضيلًا (انظر على سبيل المثال Miettinen 1999، [1] Miettinen 2008 [63]). بمعنى آخر ، من المتوقع أن يعبر صانع القرار عن التفضيلات في كل تكرار من أجل الحصول عليه الحلول المثلى باريتو التي تهم صانع القرار ومعرفة نوع الحلول التي يمكن تحقيقها.

الخطوات التالية موجودة بشكل شائع في طرق التحسين التفاعلية: [63]

  1. التهيئة (على سبيل المثال ، حساب متجهات الهدف النظير المثالي والتقريبي وعرضها على صانع القرار)
  2. إنشاء نقطة انطلاق مثالية باريتو (باستخدام على سبيل المثال بعض طرق عدم التفضيل أو الحل الذي يقدمه صانع القرار)
  3. اطلب معلومات التفضيل من صانع القرار (على سبيل المثال ، مستويات الطموح أو عدد الحلول الجديدة التي سيتم إنشاؤها)
  4. إنشاء حل (حلول) باريتو الأمثل الجديدة وفقًا للتفضيلات وإظهارها / وربما بعض المعلومات الأخرى حول المشكلة لصانع القرار
  5. إذا تم إنشاء عدة حلول ، اطلب من صانع القرار اختيار الحل الأفضل حتى الآن
  6. توقف (إذا أراد صانع القرار غير ذلك ، فانتقل إلى الخطوة 3).

تشير مستويات الطموح المذكورة أعلاه إلى قيم دالة موضوعية مرغوبة تشكل نقطة مرجعية. بدلاً من التقارب الرياضي الذي يستخدم غالبًا كمعيار توقف في طرق التحسين الرياضي ، غالبًا ما يتم التأكيد على التقارب النفسي في الأساليب التفاعلية. بشكل عام ، يتم إنهاء الطريقة عندما يكون صانع القرار واثقًا من أنه / أنها قد عثرت على أكثر الحلول المفضلة المتاحة.

أنواع معلومات التفضيل تحرير

هناك طرق تفاعلية مختلفة تتضمن أنواعًا مختلفة من معلومات التفضيل. يمكن تحديد ثلاثة من هذه الأنواع بناءً على


G.M Ademenko ، "طريقة تصغير لوظائف المتغيرات n" ، Izv. العقاد. Nauk BSSR ، سر. فيز مات. نوك ، رقم 2 ، 131-132 (1972).

G. M. Ademenko ، R. Gabasov ، و A. A.Edenovich ، "تصغير وظائف عدد محدود من المتغيرات بواسطة طرق الدرجة الثانية ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 5 ، 1139-1149 (1971).

G. M. Adel'son-Vel'skii، V. L. Arlazarov، and F.M Filler، “ابحث عن القيم القصوى لدالة من عدة متغيرات” في: Proc. المدرسة الشتوية الأولى في البرمجة الرياضية ، 1968 [بالروسية] ، العدد 2 ، موسكو (1969) ، الصفحات 205-215.

س. ع. العبر ويا I. Al'ber ، "تطبيق طريقة النسب التفاضلية لحل الأنظمة غير الخطية ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،7، رقم 1 ، 14–32 (1967).

يا. I. Al'ber ، "مخطط الاختلاف الضمني لتقليل الوظائف وحل الأنظمة غير الخطية ،" Izv. فيسش. أوشيب. Zaved.، Radiofiz.،10، رقم 7 ، 1035-1941 (1967).

أنتونوف وف. Katkovnik ، "تصفية وتجانس وظائف العديد من المتغيرات من أجل إيجاد الحد الأقصى العالمي ،" Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh.، No. 4، 32–38 (1970).

أرايس وإم. ن. جولوفشينير ، "تحسين وظائف الوادي ،" في: جوانب البرمجة وأتمتة التصميم [بالروسية] ، تومسك. جامعة ، تومسك (1971) ، ص 98-108.

جنرال موتورز باكان ، "استخدام طرق معينة لتحديد المواقع القصوى لدالة من عدة متغيرات في مشاكل التحسين" ، في: أنظمة التحكم المعقدة (All-Republic Inter-Institutional Collection ، No. 3) [بالروسية] (1967) ، ص 106-122.

P. I. Bartolomei ، "استخدام نهج مونت كارلو لحساب النظام الأمثل لنظام الطاقة على جهاز كمبيوتر رقمي ،" ترودي أورالسك. بوليتيك. Inst.، No. 154، 72–82 (1966).

D. I. Batishev ، "وظائف الاختبار للمقارنة بين طرق تحديد المواقع القصوى لوظائف متعددة المتغيرات" ، Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh.، No. 1، 16–19 (1968).

A. V. Buledza ، "تحسين التقديرات لطريقة الهبوط الحاد ،" Dopovidi Akad. نوك اوكر. RSR، No. 2، 150–153 (1962).

L.M Vasserman و B. B. Levi و Yu. نازاركين ، "أشد انحدارًا مع تباين في الأبعاد" ، ناوخ. ترودي كورسك. بوليتيك. Inst.، No. I، Part 2، 14–21 (1971).

M. K. Gavurin and Yu. B. Farforovskaya ، "طريقة تكرارية لتحديد الحد الأدنى لمجموع المربعات ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،6، رقم 6 ، 1094-1097 (1966).

أ. ل. جايدوكوف ، "البحث العشوائي في التخطيط الأمثل" ، في: المشكلات التطبيقية في علم التحكم الآلي الهندسي [بالروسية] ، Sov. راديو ، موسكو (1966) ، ص 420-434.

ب. أ. جالانوف ، "طريقة النسب التفاضلية المتصلة" ، في: الطرق الرياضية في الهندسة السيبرانية [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1970) ، ص 8-12.

B. A. Galanov ، "طرق التدرج لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية" ، Dopcvidi Akad. نوك اوكر. RSR ، العدد 12 ، 1519-1522 (1966).

B. A. Galanov و Yu. كريفونوس ، "طريقة تفاضلية النسب في المشاكل المتطرفة ،" في: Proc. سيمين. الطرق الرياضية في هندسة الكمبيوتر ذات الأغراض الخاصة [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1969) ، ص 38-47.

A. I. Galushkin ، "تحليل طريقة تكرارية لتحديد مكان الأطراف ،" Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh. ، العدد 2 ، 38-40 (1970).

إم جيلفاند وس في فومين ، حساب التفاضل والتكامل [بالروسية] ، فيزماتجيز ، موسكو (1961) ، 228 صفحة.

I.M. Gel'fand و M.L.Tsetlin ، "بعض تقنيات التحكم للأنظمة المعقدة ،" Usp. ماتيم. نوك ،17العدد 1 ، 3-25 (1962).

I.M. Gel'fand و M.L.Tsetlin ، "مبدأ بحث غير محلي لأنظمة التحسين التلقائي ،" Dokl. العقاد. Nauk SSSR ،137، العدد 2 ، 295 - 298 (1961).

S. M. Gerashchenko ، "تخصيص جوانب اليد اليمنى في نظام المعادلات التفاضلية لطريقة التدرج اللوني ،" الفوارق. أورافنين.3، العدد 12 ، 2144-2150 (1967).

S. M. Gerashchenko ، "تطبيق نظرية التحكم الآلي على طريقة النسب التفاضلي" ، في: Proc. مؤتمر عموم الجمهورية الثاني. علماء الرياضيات البيلاروسيين [بالروسية] ، بيلورسك. جامعة مينسك (1969) ، ص 179 - 191.

S. M. Gerashchenko ، "مقارنة بين تعديلات معينة من النسب التفاضلية من حيث معدل التقارب ،" الفوارق. أورافنين.6، رقم 10 ، 1810-1817 (1970).

G. I. Gershengom ، "طريقة الوديان والاتجاهات العشوائية ،" أبلغ. سبورن. ترودوف فيتشيسل. تسينترا ايركوتسك. الجامعة ، رقم 1 ، 59-71 (1966).

L. S. Gurin ، "خبرة في استخدام طرق مونت كارلو لإيجاد القيم المتطرفة للوظائف" ، في: جوانب الرياضيات الحاسوبية وهندسة الكمبيوتر [بالروسية] ، مشجيز ، موسكو (1963) ، ص 118-123.

L. S. Gurin ، "التحسين في النماذج العشوائية" ، Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،4، رقم 6 ، 1134-1137 (1964).

L. S. Gurin و V. P. Lobach ، "مزيج من طريقة مونت كارلو مع طريقة الانحدار الشديدة لحل بعض المشكلات المتطرفة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،2، رقم 3 ، 499-502 (1962).

يو. M. Danilin ، "طرق التصغير القائمة على تقريب الوظيفة الوظيفية بواسطة وظائف محدبة ،" في: Proc. سيمين. نظرية القرار الأمثل [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1969) ، ص 45-71.

يو. M. Danilin ، "تقدير كفاءة خوارزمية لتحديد موقع حد أدنى مطلق ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 4 ، 1026-1031 (1971).

يو. M. Danilin و S. A. Piyavskii ، "خوارزمية الحد الأدنى المطلق ،" في: Proc. سيمين. نظرية القرار الأمثل [بالروسية] ، رقم 2 ، كييف (1967) ، ص 25 - 37.

يو. M. Danilin و B. N. Pshenichnyi ، "تقنيات التصغير مع التقارب السريع ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،10، رقم 6 ، 1341–1354 (1970).

ف. ديميانوف وأ. م. روبينوف ، طرق التقريب لحل المشكلات المتطرفة [بالروسية] ، جامعة لينينغراد. (1968) ، 180 صفحة.

V. I. Denisov ، "مزيج من طريقتين لتحديد أقصى مكان في نظام متعدد العوامل ،" Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh.، No. 6، 32–36 (1968).

A. D. Dobysh ، "خوارزمية لتقليل وظيفة محسوبة بخطأ عشوائي" ، سبورن. ترودوف موسكوف. إنز.-سترويت. Inst.، No. 83، 124–139 ​​(1970).

يو. G. Evtushenko ، "الطريقة العددية لتحديد موقع الحد الأقصى العالمي للدالة (بحث مباشر على شبكة غير منتظمة) ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 6 ، 1390-1403 (1971).

N. P. Zhidkov و B. M. Shchedrin ، "طريقة لإيجاد الحد الأدنى لوظيفة من عدة متغيرات ،" في: الطرق الحسابية والبرمجة [بالروسية] ، رقم 10 ، موسكوف. جامعة موسكو (1968) ، ص 203 - 210.

Zoutendijk ، طرق الاتجاهات المجدية ، Elsevier ، نيويورك - أمستردام (1960).

AK Zuev، LA Rastrigin، and KK Ripa ، "تصحيح خوارزميات البحث العشوائي لحل مشاكل التجوال المتطرف ،" في: مشاكل التحسين الإحصائي [بالروسية] ، زيناتني ، ريجا (1971) ، ص 93-96 .

في. إيفانوف ، "مشاكل في تحسين الحسابات ،" في: برامج الكمبيوتر الرقمية [بالروسية] ، كييف (1972) ، ص 149 - 172.

في. إيفانوف ، "خوارزميات الانحدار السريع ،" Dokl. العقاد. Nauk SSSR ،143، رقم 4 ، 775 - 778 (1962).

في. إيفانوف وك. دزومايف ، "تحليل دقة خوارزمية باول (I) ،" في: Proc. سيمين. الطرق الرياضية وهندسة الكمبيوتر للأغراض الخاصة [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1968-1969) ، الصفحات 3-12.

في.إيفانوف وك.دزومايف ، "تحليل دقة خوارزمية باول (II) ،" في: الطرق الرياضية في الهندسة الإلكترونية [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1970) ، ص 21-25.

في. إيفانوف قاحل جي إيه كياشكو ، "الخوارزميات المثلى للتقليل في فئة الوظائف أحادية الوسائط" ، دوبوفيدي أكاد. نوك اوكر. RSR، No. 4، 313–316 (1972).

في.ن.إلين ، "تعديلات على طريقة الانحدار الشديد ،" ترودي موسكوف. إنست. الراديوتخ. إلكترون. Avtomat. ، العدد 46 ، 5-10 (1970).

A. N. Ioseliani ، "طريقة تحديد الموقع القصوى لوظائف متعددة المتغيرات" ، ترودي جروز. بوليتيك. المعهد رقم 5 (110) ، 203-207 (1966).

A. N. Ioseliani ، "تقارب خوارزمية تحديد المواقع القصوى لوظائف متعددة المتغيرات ،" ترودي جروز. بوليتيك. Inst.، No. 2 (114)، 59–64 (1967).

A. N. Ioseliani ، "تعديل في البحث عن أقصى حد بواسطة طريقة مستويات الظل ،" Trudy Inst. إلكترون. أفتومات. تليمخان. العقاد. نوك جروز. SSR ،8، رقم 1 ، 74-80 (1970).

A. N. Ioseliani و M.E. Salukvadze ، "مقارنة بين بعض طرق تحديد موقع المتطرفة الحتمية ،" Trudy Inst. Élektron Avtomat. تليمخان. العقاد. نوك جروز. SSR ،8، رقم 1 ، 61-73 (1970).

L. V. Kantorovich and G. P. Akilov، Functional Analysis in Normed Spaces [بالروسية]، Fizmatgiz، Moscow (1959)، 634 صفحة.

V. يا. Katkovnik ، "حساسية مخططات التدرج" ، Avtomat. ط Telemekhan. ، العدد 12 ، 87-94 (1970).

V. يا. كاتكوفنيك ، "خوارزمية النسب المتدرجة المعممة ،" ترودي لينينغراد. بوليتيك. Inst.، No. 318، 143–146 (1971).

A. B. Kovrigin ، "تقدير معدل التقارب لطريقة التدرج K-step" ، جامعة فيستنيك لينينغراد ، رقم 13 ، 34-36 (1970).

يو. M. Krivonos و B. A. Galanov ، "طريقة النسب التفاضلية ،" ديلينتس. أورافنين.5، رقم 8 ، 1426-1430 (1969).

أ. كوزوفكين وف. إم تيخوميروف ، "حجم الحسابات لإيجاد الحد الأدنى لوظيفة محدبة ،" إيكونوم. أنا ماتيم. ميتودي3، رقم 1 ، 95-103 (1967).

في آي كوبتسوف وإي جي شورشكوفا ، "تقارب طريقة نيوتن المعدلة ،" شورن. رابوت فيتشيسل. تسينترا موسكوف. جامعة ،14, 157–165 (1970).

VA Lavrov و VA Khokhlov ، "برنامج لإيجاد الحد الأقصى المحلي لوظيفة عدة متغيرات على أجهزة الكمبيوتر من سلسلة Mir ،" في: Machines for Engineering Calculations [باللغة الروسية] ، رقم 5 ، كييف (1972) ، ص 8 - 17.

S. Lbov ، "بحث تكيفي عن الحد الأقصى لدالة المتغيرات المقاسة على مقياس من الطوائف ،" في: Computing Systems [باللغة الروسية] ، رقم 44 ، Nauka ، نوفوسيبيرسك (1971) ، ص 13 - 22.

في. ليونوف ، "الطريقة الحسابية لتركيب عمليات التحسين" في: Second All-Union Congr. الميكانيكا النظرية والتطبيقية [بالروسية] ، نوكا ، موسكو (1964).

في. ليونوف ، "طريقة تغطية لإيجاد الحد الأقصى العالمي لدالة متعددة المتغيرات ،" في: Cybernetics Research [بالروسية] ، Sov. راديو ، موسكو (1970) ، ص 41-52.

في. ليونوف ، "طريقة لإيجاد الحد الأقصى العالمي لوظيفة متعددة القدرات" ، سبورن. ترودوف إنست. ماتيم ، سيبيرسك. أوتد. العقاد. Nauk SSSR ، العدد 8 ، 43-50 (1971).

É. É. Loiter و L. A. Brichkin و É. A. Nedel'chik ، "تقنية لتسريع تقارب الإجراء التكراري في حل بعض مشاكل التحسين" ، ناوخ. ترودي كازاخسك. بوليتيك. إنست. (ألما آتا) (1971) ، ص 87-91.

يو. I. Lyubich ، "تقارب عملية الانحدار الحاد ،" Dokl. العقاد. Nauk SSSR ،179، العدد 5 ، 1054-1056 (1968).

M. D. Maergoiz ، "اختيار المعلمة في مشكلة التصغير ،" Dokl. العقاد. Nauk SSSR ،188، العدد 4 ، 752-755 (1969).

M. D. Maergoiz ، "تطبيق طريقة Aitkin-Steffensen المعممة لمشكلة تصغير الوظيفة" ، في: التحليل العددي [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1970) ، ص 56-78.

M. D. Maergoiz ، "تطبيق طريقة Aitkin-Steffensen المعممة على مشكلة تصغير الوظيفة ،" Sibirsk. ماتيم. زه. ،13، رقم 1 ، 133-141 (1972).

G. D. Maistrovskii ، "تقارب طريقة التدرج المترافق ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 5 ، 1291-1294 (1971).

ن. ن. مويسيف ، طرق التحسين [بالروسية] ، فيتشيسل. Tsentr. ، موسكو (1969) ، 96 صفحة ، الفصل.الأول: "مشكلة تحديد الموقع الأقصى لوظائف المتغيرات المتعددة ،"

ب.موتسكوس ، مشاكل متعددة الأطراف في التصميم [بالروسية] ، نوكا ، موسكو (1967).

A.M Myalkovskii و M. Kh. Tishavaeva ، "خوارزمية لإيجاد الحد الأقصى العالمي للوظائف متعددة الأطراف" ، في: جوانب علم التحكم الآلي والرياضيات الحاسوبية [بالروسية] ، رقم 11 ، فان ، طشقند (1967) ، ص 56-63.

يو. نازاركين ، "مسح وتصنيف طرق التحقيق للأنظمة المثلى" ، ناوخ. ترودي كورسك. بوليتيك. Inst.، No. 1، Part 2، 5–13 (1971).

في في ناليموف ون.أ.شيرنوفا ، الأساليب الإحصائية في التصميم التجريبي المتطرف [بالروسية] ، نوكا ، موسكو (1965) ، 340 صفحة.

I. I. Narozhnyi ، "مزيج من طريقة التدرج ومعادلة أويلر لتحسين مسارات طيران الطائرات ،" فيستنيك لينينغراد. الجامعة ، العدد 13 ، 118-125 (1971).

يو. I. Neimark و R.G. سترونجين ، "ابحث عن أقصى حد لوظيفة من خلال مبدأ المعلومات القصوى" ، Avtomat. ط Telemekhan. ، رقم 1 ، 113-118 (1966).

نيكولاييف ، "أقصى انحدار يعتمد على طريقة التدرج m العشوائي" ، Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh.، No. 3، 40-46 (1970).

نيكولاييف ، "طريقة للاختيار العشوائي لاتجاه النسب ،" في: جوانب من علم التحكم الآلي والرياضيات الحاسوبية [بالروسية] ، رقم 28 ، فان ، طشقند (1969) ، ص 160 - 167.

L. Ya. Oblomskaya ، "معدل تقارب طريقة التدرج المترافق للوظائف التربيعية ،" في: Proc. المدرسة الشتوية الثانية حول البرمجة الرياضية والمواضيع ذات الصلة ، 1969 [بالروسية] ، رقم 3 ، موسكو (1969) ، ص 550-568.

E. V. Oganesyan ، G. S. Gekchyan ، and S. A. Piliposyan ، "عدم تكافؤ طرق تحديد المواقع القصوى ،" في: أتمتة عمليات الهندسة الكيميائية [بالروسية] ، Erevan (1966) ، الصفحات 68-74.

أ. بيرفوزفانسكي ، بحث [بالروسية] ، ناوكا ، موسكو (1970) ، 164 صفحة.

ا. ش. Pinsker و B. M. Tseitlin ، "مشكلة تحسين غير خطية ،" Avtomat. أنا Tele-mekhan. ،13، رقم 12 ، 1611-1619 (1962).

ا. ش. Pinsker and B. M. Tseitlin ، "حل مشكلة التحسين بأسلوب البحث المستقل ،" في: التحكم الآلي وهندسة الكمبيوتر [بالروسية] ، رقم 6 ، ماشينوسترويني ، موسكو (1964) ، ص 213-231.

S. A. Piyavskii ، "خوارزمية لإيجاد الحد الأدنى المطلق لوظيفة ،" في: Proc. سيمين. نظرية القرار الأمثل [بالروسية] ، رقم 2 ، كييف (1967) ، ص 13-24.

S. A. Piyavskii ، "خوارزمية لإيجاد الحد الأقصى المطلق للدالة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،12، رقم 4 ، 888-896 (1972).

V. استطلاع ، "طرق لتحديد النقاط الثابتة لوظائف متعددة المتغيرات" ، Eesti NSV Tead. العقاد. تويميتيد. فوز مات. ،16، رقم 1 ، 35-44 (1967).

V. استطلاع ، "تقارب طرق معينة لتحديد مواقع نقاط ثابتة لوظائف متعددة المتغيرات" ، Eesti NSV Tead. العقاد. تويميتيد. فوز مات. ،16، العدد 2 ، 157–167 (1967).

V. استطلاع ، "طرق تحديد موقع النقاط الثابتة ،" Eesti NSV Tead. العقاد. تويميتيد. فوز مات. ،16، رقم 3 ، 382-384 (1967).

B. T. Polyak ، "تقنيات لتسريع تقارب الأساليب التكرارية ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،4، رقم 5 ، 791-803 (1964).

B. T. Polyak ، "طرق التصغير لوظائف متعددة المتغيرات" Ékonom. أنا ماتيم. ميتودي3، رقم 6 ، 881-901 (1967).

B. T. Polyak ، "طريقة التدرج المترافق ،" في: Proc. المدرسة الشتوية الثانية حول البرمجة الرياضية والمواضيع ذات الصلة ، 1969 [بالروسية] ، رقم 1 ، موسكو (1969) ، ص 152 - 201.

B. T. Polyak ، "طريقة التدرج المترافق في المشاكل المتطرفة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،9، رقم 4 ، 807-821 (1969).

B. T. Polyak ، "تقارب أساليب الاتجاهات الممكنة في مشاكل المتطرفة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 4 ، 855 - 869 (1971).

B. T. Polyak و B. I. Shostakovskii ، "مشكلة في الحد الأقصى لوظيفة من عدة متغيرات ،" في: Sborn. رابوت فيتشيسل. تسينترا موسكوف. جامعة ،5, 107–114 (1966).

A. F. Potapova ، "تسريع التقارب لأشد طريقة هبوط ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 3 ، 749-752 (1971).

B. N. Pshenichnyi ، "خوارزمية النسب ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،8، رقم 3 ، 647-652 (1968).

B. N. Pshenichnyi و D.N. Marchenko ، "نهج لتحديد موقع الحد الأدنى العالمي ،" في: Proc. سيمين. نظرية القرار الأمثل [بالروسية] ، رقم 2 ، كييف (1967) ، ص 3-12.

T. L. Razinkova ، "خوارزمية لتحديد الموقع بمساعدة الكمبيوتر للوظيفة القصوى ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،5، رقم 4 ، 734-742 (1965).

راستريجين ، البحث العشوائي في مشاكل التحسين للأنظمة متعددة المعلمات [بالروسية] ، زيناتني ، ريجا (1965).

L. A. Rastrigin ، "أصل ماركوفيان وغير ماركوفي للتحكم المتطرف في بيئة صاخبة (II) ،" Izv. العقاد. نوك لاتف. SSR ، Ser. فيز. تك. نوك ، رقم 6 ، 80-87 (1965).

راستريجين ، طرق البحث الإحصائي [بالروسية] ، نوكا ، موسكو (1968).

راستريجين ، البحث العشوائي مع التوقيت الخطي [بالروسية] ، زيناتني ، ريجا (1971) ، 192 صفحة.

راستريجين ، "مبادئ البحث العشوائي" في: نظرية وتطبيق الأنظمة التكيفية [بالروسية] ، ألما آتا (1971) ، ص 55-74.

في بي ريفاكين ، جي إس لبوف ، يو. S. Lbov ، و G.M. Shishkin ، "خوارزمية بحث عشوائي تكيفية لحل المشكلات القصوى" ، Izv. ايركوتسك. Sel'skokhoz. إنست ،3، رقم 28 ، 97-113 (1970).

O. K. Romanov ، "طريقة إرشادية للتحسين المتتالي لحل مشكلة التحسين العامة ،" Uch. انطلق. موسكوف. أوب. بيداغوج. إنست ،202، العدد 6 ، 247-260 (1968).

M. E. Salukadze ، "البحث الأمثل عن الحد الأقصى لوظيفة من عدة متغيرات" ، في: التحكم الآلي [بالروسية] ، تبليسي (1967).

B. A. Samokish ، "تحليل معدل التقارب لأشد طريقة منحدر ،" Usp. ماتيم. نوك ،12، رقم 1 ، 238-240 (1957).

سيرينكو ، "أسلوب لحل مشاكل القيمة القصوى" ، أفتوماتيكا (كييف) ، العدد 5 ، 15-24 (1964).

B. P. Serebryakov و V. F. Gurskii ، "خوارزميات الاستيفاء لتحديد الحد الأقصى لوظيفة متماثلة" ، ترودي موسكوف. أفياتس. Inst.، No. 229، 90-99 (1971).

في A. Skokov ، "خوارزمية لتقليل وظائف العديد من المتغيرات ،" في: Abstr. علوم. أسيوط. علماء جامعة موسكو الحكومية [بالروسية] ، MGU ، موسكو (1968) ، الصفحات 18-19.

V. S. Spiridonov ، "تطبيق طريقة الاسترخاء التدرج لحل أنظمة المعادلات غير الخطية ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،8، رقم 4 ، 872 - 873 (1968).

Starosel'skii و G. A. Shelud'ko و B. Ya. Kantor ، "تحقيق واحد لطريقة الوديان مع التكيف مع تباعد الوادي من خلال قانون أسي ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،8، رقم 5 ، 1161-1167 (1968).

R. I. Stakhovskii ، "مقارنة بين طرق بحث معينة لمحسن تلقائي ،" في: نظرية وتطبيق الأنظمة الأوتوماتيكية المنفصلة [بالروسية] ، Izd. AN SSSR ، موسكو (1960).

R.G Strongin ، "ابحث عن الحد الأقصى لوظيفة من عدة متغيرات من خلال مبدأ المعلومات القصوى مع نموذج تم تكييفه تلقائيًا" ، في: Proc. جميع الندوات بين المؤسسات الاتحاد. الرياضيات التطبيقية وعلم التحكم الآلي [بالروسية] ، Gor'kii (1967) ، ص 113 - 130.

R.G Strongin ، "تصغير الوظائف على أساس فرضية الفرق الأقصى" ، في: Abstr. الندوة الرابعة لعموم الاتحاد. مشاكل التحسين الإحصائي [بالروسية] ، زيناتني ، ريجا (1967).

R.G Strongin ، "تصغير الوظائف على أساس فرضية الحد الأقصى للاختلاف" ، في: مشاكل التحسين الإحصائي [بالروسية] ، ريجا (1968) ، ص 41-50.

R.G Strongin ، "خوارزمية تصغير عالمية ،" Izv. فيسش. أوشيب. Zaved.، Radiofiz.،13، رقم 4 ، 539-545 (1970).

R.G Strongin ، "تصغير وظائف متعددة الأطراف لمتغيرات متعددة ،" Izv. العقاد. Nauk SSSR ، Tekh. Kibernet. ، العدد 6 ، 39-46 (1971).

R.G. سترونجين ، "خوارزميات لإيجاد حد أدنى مطلق ،" في: مشاكل التحسين الإحصائي [بالروسية] ، زيناتني ، ريجا (1971) ، ص 51-68.

A. G. Sukharev ، "الأمثل استراتيجيات البحث القصوى" ، Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 4 ، 910-924 (1971).

L. T. Tarushkina ، "طريقة لتحديد الحد الأقصى لوظيفة مكونة من أشكال ثنائية الخطوط ،" ترودي سيبيرسك. فيز تيك. إنست. بري تومسك. الجامعة ، العدد 51 ، 100-103 (1970).

V. E. Truten '، "تقدير الخطأ الكلي لخوارزمية لإيجاد الحد الأدنى العالمي ،" Vychisl. أنا بريكل. ماتيم ، مزحف. نوش. سبرن ، رقم 8 ، 182-186 (1969).

دي جي وايلد ، طرق البحث المثلى ، برنتيس هول ، إنجليوود كليفس ، إن جيه (1964).

D. K. Faddeev and V.N Faddeeva، Computational Methods of Linear Algebra [in Russian]، Fizmatgiz، Moscow (1960)، 656 page.

فيياكو وجي بي ماكورميك ، البرمجة غير الخطية: تقنيات التصغير المتسلسلة غير المقيدة ، وايلي ، نيويورك (1968).

K. Fujii ، Y. Nishimura ، و H. Taguchi ، "تحسين طريقة الانحدار الشديد لتحسين أنظمة التحكم ،" J. Japan. مساعد. آلي. مهندسو التحكم ،11، رقم 1 ، 38-43 (1967).

O. K. Khanmamedov ، "حول مشكلة البحث العالمية ،" Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh.، No. 3، 66–67 (1972).

Hsin-kuei Ho ، "حول طريقة نيوتن وطريقة التدرج" ، Intyun Shusyué Yui Tszi-suan 'Shusyué ،3، رقم 3 ، 167-173 (1966).

I. V. Tsaritsyna ، "تقنية لتسريع تقارب أساليب الحد الأدنى من البحث لوظائف متعددة المتغيرات" ، جامعة فيستنيك لينينغراد ، العدد 7 ، 47-51 (1971).

B. M. Tseitlin و L.B Lasovskaya ، "خوارزمية وبرنامج للطريقة التربيعية لإيجاد المعلمات المثلى" ، في: التحليل الآلي والتحكم في الدقة في الهندسة الميكانيكية [بالروسية] ، Nauka ، موسكو (1967) ، ص 53-68.

تسورورو ، "حالة ومستقبل أساليب مونت كارلو ،" نيبون جينشيريوكو غاكايشي ،6، رقم 9 ، 523-527 (1964).

F. L. Chernous'ko ، "البحث الأمثل عن الحد الأقصى لوظيفة أحادية النموذج ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،10، رقم 4 ، 922-933 (1970).

F. L. Chernous'ko ، "البحث الأمثل عن الحد الأدنى لوظيفة محدبة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،10، رقم 6 ، 1355–1366 (1970).

في إي شامانسكي ، "بعض المخططات الحسابية للعمليات التكرارية" ، أوكرانيسك. ماتيم. زه. ،14، رقم 1 ، 100-109 (1962).

في إي شامانسكي ، "تعديل لطريقة نيوتن ،" أوكراينسك. ماتيم. زه. ،19، رقم 1 ، 133-138 (1967).

V. E. Shamanskii ، "تطبيق طريقة نيوتن في حالة خاصة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،7، رقم 4 ، 774-783 (1967).

N. Z. Shor ، هيكل الخوارزميات للحل العددي للتخطيط الأمثل ومشاكل التصميم [بالروسية] ، Inst. كيبرنت ، عقاد. نوك اوكر. SSSR ، كييف (1964).

N. Z. Shor ، "معدل تقارب النسب المتدرج المعمم ،" Kibernetika ، رقم 3 ، 98-99 (1968).

N. Z. Shor ، "النسب المتدرج المعمم ،" في: Proc. المدرسة الشتوية للبرمجة الرياضية ، دروغوبيتش [بالروسية] ، رقم 3 ، موسكو (1969).

N. Z. Shor ، "تطبيق عملية تمدد الفضاء على مشاكل التصغير للوظائف المحدبة ،" Kibernetika ، رقم 1 ، 6-12 (1970).

N. Z. Shor ، "معدل تقارب طريقة التدرج-النسب المعمم مع اتساع الفراغ" ، Kibernetika ، رقم 2 ، 80-85 (1970).

N. Z. Shor و V. I. Biletskii ، "طريقة تمدد الفضاء لتسريع التقارب في مشاكل من نوع الوادي ،" في: Proc. سيمين. The Optimal Decision Theory [بالروسية]، No. 2، Kiev (1969)، pp.3–18.

N. Z. Shor و N.G. Zhurbenko ، "طريقة تقليل باستخدام عملية تمدد الفضاء في اتجاه الاختلاف بين تدرجين متتاليين ،" Kibernetika ، رقم 3 ، 51-59 (1971).

S. I. Shudrova ، "-Parametric modification of the steep-Descent method،" Uch. انطلق. موردوفسك. الجامعة ، العدد 18 ، 197-204 (1961).

D. B. Yudin و É. خازن ، "جوانب رياضية معينة لطرق البحث الإحصائي" ، في: الأتمتة وهندسة الحاسبات [بالروسية] ، العدد 13 ، زيناتني ، ريغا ، (1966) ، ص 29-41.

أداتشي ، "في الخوارزميات المتغيرة المترية ،" تطبيق نظرية التحسين ، ج.7، رقم 6 ، 391-410 (1971).

F. Andreuzzi و G.P. Mattolini ، "Ricerca del minimo vincolato di una funzione dotata di derivate prima seconda،" Calcolo،8، الأعداد 1-2 ، 89-105 (1971).

H. A. Antosiewicz و W. C. Reinboldt ، "التحليل العددي والتحليل الوظيفي" ، في: Survey of Numerical Analysis (J. Todd ، ed.) ، McGraw-Hill ، New York (1962) ، Chap. 14.

أرميجو ، "تصغير الوظائف ذات المشتقات الجزئية الأولى المستمرة ليبشيتز ،" باسيفيك ج.ماث. ،16، رقم 1 ، 1-3 (1966).

إي إس أرمسترونج ، تقنية نيوتن رافسون المدمجة وتصحيح معامل التدرج لحل مشاكل التحكم الأمثل ، ناسا للتكنولوجيا. مندوب R-293 (1968).

S. Atluri ، "تقنية تقليل التدرج المقترن في تحسين العملية" ، في: Proc. السابع آن. أليرتون كونف. نظرية الدائرة والنظام ، مونتايسلو ، إلينوي ، 1969 ، نيويورك (1969) ، ص 586-594.

A. Auslender ، "Méthodes numériques pour la décomposition et la minimization de fonctions non différentiables،" Numer. رياضيات ،18، رقم 3 ، 213-223 (1971).

A. Auslender ، "Une méthode de générale pour la décomposition et la minimization de fonctions non differentiables،" Compt. رند.271، رقم 21 ، A1078-A1081 (1970).

R. M. Baer ، "ملاحظة حول خوارزمية تحديد المواقع القصوى ،" Comput. J. ،5، رقم 3 ، 193 (1962).

Y. Bard ، "مقارنة طرق التدرج لحل مشاكل تقدير المعلمات غير الخطية ،" SIAM J. Numer. شرجي.،7، رقم 1 ، 157-186 (1970).

ر.باس ، "خوارزمية من المرتبة الثانية للتقليل غير المقيد ،" الرياضيات. كمبيوت. ،26، العدد 117 ، 129-143 (1972).

M. Bassetti و R.M Buonanni ، طريقة نيوتن رافسون المحسنة ، معمل. ناز. ممثل فراسكاتي رقم 4 (1967) ، 9 صفحات.

إس بيكمان ، "حل المعادلات الخطية بطريقة التدرج المترافق ،" في: الطرق الرياضية للحواسيب الرقمية ، وايلي ، نيويورك - لندن (1960) ، ص 62-72.

R. D. Bell ، "تطبيق الاختلافات الثالثة لوظيفة التصغير ،" Internat. J. التحكم ،12، رقم 1 ، 17-24 (1970).

A. Bensasson ، “Résolution automatique des systèmes d'équations algébriques par la méthode du gradient،” Internat. J. إلكترون.23، رقم 3 ، 43-52 (1968).

L. D. Berkovitz ، "الأساليب المتغيرة في مشاكل التحكم والبرمجة ،" J. Math. شرجي. تطبيق ،3، رقم 1 ، 145–169 (1961).

جي بيرمان ، "التصغير بالتقريب المتتالي" ، SIAM J. Numer. شرجي.،3، رقم 1 ، 123-133 (1966).

G. أفضل طريقة لتقليل الوزن الهيكلي مناسبة لأجهزة الكمبيوتر الرقمية عالية السرعة ، مجلة AIAA ،1، رقم 2 ، 478-479 (1963).

M. C. Biggs ، "خوارزميات التصغير التي تستخدم الخصائص غير التربيعية للوظيفة الموضوعية ،" J. Inst. رياضيات. تطبيق ،8، رقم 3 ، 315-327 (1971).

جيه آر بلوم ، "طرق التقريب التي تتقارب مع احتمال واحد ،" آن. رياضيات. دولة. ،125، العدد 2 ، 382-386 (1954).

أ. Bonnemay ، "Un algorithme rapide de Minisation statique: Comparaison avec d'autres algorithmes،" Compt. رند.272، رقم 23 ، A1514-A1517 (1971).

A. D. Booth، Numerical Methods، Butterworths، London (1955)، 195 صفحة.

جي إي بي بوكس ​​وكيه بي ويلسون ، "الإنجاز التجريبي للظروف المثلى" ، جي روي. دولة. المجتمع ،ب 13, 1–38 38–45 (1951).

M. J. Box ، "مقارنة بين العديد من طرق التحسين الحالية ، واستخدام التحولات في المشكلات المقيدة ،" Comput. J. ،9، رقم 1 ، 67-77 (1966).

بريس ، "Über Dämpfung bei Minimalisierungsverfahren،" Comput.،1، العدد 3 ، 264-272 (1966).

J. P. Brannen ، "طريقة تكرارية لتحسين التوقعات ،" J. Soc. تطبيق Ind. رياضيات ،13، العدد 2 ، 545-554 (1965).

H. Bremermann ، "طريقة للتحسين العالمي غير المقيد ،" الرياضيات. Biosci. ،9, 1–15 (1970).

S. H. Brooks ، "مناقشة الأساليب العشوائية للبحث عن الحد الأقصى ،" أوبرا. الدقة ،6، العدد 2 ، 244-251 (1958).

R. R. Brown ، "إجراء حاسوبي معمم لتصميم الأنظمة المثلى ، الجزء الأول ،" Commun. إلكترون ، رقم 43 ، 285 - 289 (1959).

R. R. Brown ، "إجراء كمبيوتر معمم لتصميم الأنظمة المثلى ، الجزء الثاني ،" Commun. إلكترون ، رقم 43 ، 289-293 (1959).

C. G. Broyden ، "طرق شبه نيوتن وتطبيقها على وظيفة التصغير ،" الرياضيات. كمبيوت.21، رقم 99 ، 368-381 (1967).

C. G. Broyden ، "تقارب من رتبة واحدة أساليب شبه نيوتن ،" الرياضيات. كمبيوت.24، رقم 110 ، 365-382 (1970).

C.G.Broyden ، "تقارب فئة من خوارزميات تصغير الرتب المزدوجة. 1.اعتبارات عامة ، "J. Inst.، Math. تطبيق ،6، رقم 1 ، 76-90 (1970).

C.G.Broyden ، "تقارب فئة من خوارزميات تصغير الرتب المزدوجة. 2. الخوارزمية الجديدة ، "J. Inst. رياضيات. تطبيق ،6، رقم 3 ، 222-231 (1970).

C. G. Broyden ، "تقارب خوارزمية لحل النظم غير الخطية المتفرقة ،" الرياضيات. كمبيوت.25، العدد 114 ، 285 - 294 (1971).

آر سي باك ، "صعود ستوكاستيك" ، نمر. رياضيات ،4، رقم 3 ، 177-186 (1962).

R. J. Buehler ، B.V Shah ، و O. Kempthorne ، The Method of Parallel Tangents (PARTAN) for Finding an Optimum ، ONR Tech. النائب رقم 2 ، العقد رقم 5030 (05) ، جامعة ولاية آيوا. دولة. مختبر. (أبريل 1961 مراجعة أغسطس 1962.).

جي دبليو كانتريل ، "العلاقة بين طريقة التدرج في الذاكرة وطريقة فليتشر-ريفز ،" تطبيق نظرية التحسين ، ج.4، رقم 1 ، 67-71 (1969).

سي دبليو كارول ، نهج أبحاث العمليات لتحسين اقتصاديات عملية استخلاص اللب بطريقة كرافت (دكتوراه أطروحة) ، إنست. كيمياء الورق ، أبليتون ويس. (1959).

سي دبليو كارول ، "تقنية سطح الاستجابة التي تم إنشاؤها لتحسين الأنظمة المقيدة غير الخطية ،" أوبرا. الدقة ،9، رقم 2 ، 169-185 (1961).

R. Chattopadhyay ، "دراسة وظائف الاختبار لخوارزميات التحسين ،" J. Optimization Theory Appl.،8، العدد 3 ، 231-236 (1971).

تشارنس و دبليو دبليو كوبر ، "رسالة إلى المحرر:" مثل هذه الحلول لم يتم حلها إلا قليلاً "، أوبرا. الدقة ،3، رقم 3 ، 345–346 (1955).

شازان و دبليو إل ميرانكر ، "خوارزمية غير متدرجة ومتوازية للتصغير غير المقيد ،" SIAM J. Control ،8، العدد 2 ، 207-217 (1970).

E.W. Cheney و A. A. Goldstein ، "طريقة نيوتن للبرمجة المحدبة وتقريب Tcheby-cheff ،" Numer. رياضيات ،1، العدد 5 ، 253-268 (1959).

في. ك. تشيتشينادزي ، إن آي. جابلادزي ، وآر ج. فاكانادزي ، "نهج جديد لحل مشكلات التحسين" ، في: IEEE Systems ، Man. ومجموعة علم التحكم الآلي آن. ندوة. Rec.، Anaheim، California، 1971، New York (1971)، pp.162–164.

أ. كوهين ، "معدل تقارب العديد من خوارزميات التدرج المترافق ،" SIAM J. Numer. شرجي.،9، العدد 2 ، 248-259 (1972).

E. E. Cragg و A. V. Levy ، "دراسة حول طريقة التدرج اللوني للذاكرة الفائقة لتقليل الوظائف" ، J. Optimization Theory Appl.،4، رقم 3 ، 191-205 (1969).

J.B Crockett and H. Chernoff، “Gradient Methods of Maximization،” Pacific J. Math.،5، رقم 1 ، 30-50 (1955).

J.W. دانيال ، "تقارب طريقة التدرج المترافق مع تعديلات ملائمة حسابيًا ،" Numer. رياضيات ،10، العدد 2 ، 125-131 (1967).

J.W. دانيال ، "طريقة التدرج المترافق لمعادلات المعامل الخطية وغير الخطية ،" SIAM J. Numer. شرجي.،4، العدد 1 ، 10-26 (1967).

J.W. Daniel ، "تصحيح يتعلق بمعدل التقارب لطريقة التدرج المترافق." سيام ج. نومر. شرجي.،7، العدد 2 ، 277-280 (1970).

دبليو سي دافيدون ، طريقة القياس المتغير للتقليل ، أرجون نات. مختبر. الدقة. وتطوير. مندوب ANL-5990 (مراجعة) ، هيئة الطاقة الذرية الأمريكية (1959).

دبليو سي دافيدون ، "خوارزمية التباين لـ minimizaton ،" Comput. J. ،10، رقم 4 ، 406-410 (1968).

S. Dietze و H. Schwetlick ، ​​"Über die Schrittweitenwahl bei Abstiegsverfahren zur Minimisierung konvexer Funktionen ،" J. Angew. رياضيات. ميكانيكي ،51، رقم 6 ، 451-454 (1971).

B. Dijkhuis ، "خوارزمية تكيفية لتقليل دالة أحادية من متغير واحد ،" Z. Angew. رياضيات. ميكانيكي ،51، Sonderheft ، 45-46 (1971).

V. Drzymala ، "O zbiezności algorytmu poszukiwania ekstremum metodą najszybszego spadku،" Biul. ووجسك. العقاد. تقنية. J. Dbrowskiego،18، رقم 3 ، 39-49 (1969).

R. Elkin ، نظريات التقارب لـ Gauss-Seidel وخوارزميات التصغير الأخرى (أطروحة) ، جامعة. ماريلاند (1968) ، 129 صفحة أطروحة. أبستر ،ب 29، رقم 8 ، 2970 (1969).

فابيان ، "طرق التقريب العشوائية ،" التشيكية. رياضيات. J. ،10، رقم 1 ، 123-159 (1960).

P. Faure و P. Huard ، "Resolution de programmes mathématiques à fonction non linéaire par la méthode du gradient reduit،" القس فرانس. ريش. أوبرا.9، العدد 36 ، 167-205 (1965).

A. V. Fiacco and G. P. McCormick، "Extensions of SUMT for nonlinear programme: Equality limits and extrapolation،" Management Sci.،12، رقم 11 ، 816-828 (1966).

A.V. Fiacco and G.P. McCormick ، ​​"أسلوب التصغير المتسلسل غير المقيد للبرمجة غير الخطية طريقة أولية ثنائية ،" علوم الإدارة ،10، العدد 2 ، 360–366 (1964).

A. V. Fiacco و G.P. McCormick ، ​​"الخوارزمية الحسابية لتقنية التصغير التسلسلي غير المقيد للبرمجة غير الخطية ،" Management Sci. ،10، رقم 4 ، 601-617 (1964).

أ. فيياكو وجي بي ماكورميك ، "تقنية التصغير غير المقيدة غير المقيدة للبرمجة المحدبة" ، SIAM J.App. رياضيات ،15، رقم 3 ، 505-515 (1967).

أ. و. فيرث ، "مشاكل التحسين: الحل بواسطة كمبيوتر تناظري" ، Comput. J. ،4، رقم 1 ، 68-72 (1961).

ر. فليتشر ، "تصغير الوظيفة دون تقييم المشتقات - مراجعة" ، Comput. J. ،8، رقم 1 ، 33-41 (1965).

ر. فليتشر ، "نهج جديد للخوارزميات المترية المتغيرة ،" Comput. J. ،13، رقم 3 ، 317-322 (1970).

R. Fletcher و M.J.D Powell ، "طريقة النسب المتقاربة بسرعة للتقليل ،" Comput. J. ،6، رقم 2 ، 163–168 (1963).

R. Fletcher و C.M Reeves ، "تصغير الوظيفة بالتدرجات المترافقة" ، Comput. J. ،7، رقم 2 ، 149-154 (1964).

Forsythe ، "في الاتجاهات المقاربة لطريقة التدرج الأمثل للأبعاد S ،" Numer. رياضيات ، 11 ، رقم 1 ، 57-76 (1968).

Forsythe و T. S. Motzkin ، "الخصائص المقاربة لطريقة التدرج الأمثل ،" الثور. عامر. رياضيات. المجتمع ،57, 183 (1951).

I. مقلي ، "مخطط تقليل التدرج المترافق بخطوة N للوظائف غير التربيعية" ، مجلة AIAA ،9، العدد 11 ، 2286 - 2287 (1971).

S.N Ghani ، "طريقة" معقدة "محسنة لتقليل الوظائف ،" تصميم بمساعدة الكمبيوتر ،4، العدد 2 ، 71-78 (1972).

بي إي جيل و دبليو موراي ، طرق شبه نيوتن للتحسين غير المقيد ، نات. فيز. مختبر. النائب N. Maths 97 (1971) ، 29 صفحة.

P. E. Gill ، W. Murray ، و R.A Pitfield ، تنفيذ خوارزميتين شبه نيوتن المنقحتين للتحسين غير المقيد ، Nat. فيز. مختبر. ، شعبة. رقم. شرجي. Comput. ، N NAC 11 (1972) ، 131 صفحة.

د. Goldfarb ، "شروط كافية لتقارب الخوارزميات المتغيرة المترية ،" في: Optimization (R. Fletcher، ed.)، Academic Press، New York (1969).

أ. غولدشتاين ، "طريقة كوشي للتقليل ،" عدد. رياضيات ،4، العدد 2 ، 146-150 (1962).

A. A. Goldstein و B. R. Kripke ، "البرمجة الرياضية بتقليل الوظائف القابلة للتفاضل ،" Numer. رياضيات ،6، رقم 1 ، 47-48 (1964).

A. A. Goldstein و J.F Price ، "خوارزمية فعالة للتقليل ،" Numer. رياضيات ،10, 184–189 (1967).

A. A. Goldstein و J. F. برايس ، "على النسب من الحدود الدنيا المحلية ،" الرياضيات. كمبيوت.25، رقم 115 ، 569-574 (1971).

D. S. Gordon و D.W.G Shen ، "خوارزمية Davidon المعجلة لحل معادلات الشبكة النشطة التي تمثلها وظائف التكلفة غير التربيعية ،" في: Proc. رابع هاواي إنترنات. أسيوط. علوم النظم ، هونولولو ، 1971 ، شمال هوليوود ، كاليفورنيا ، (1971) ، ص 608-610.

J. Greenstadt ، "حول الكفاءات النسبية لطرق التدرج ،" الرياضيات. كمبيوت.21، رقم 99 ، 360–367 (1967).

J. Greenstadt ، "طريقة شبه نيوتن بدون مشتقات ،" Math. كمبيوت.26، رقم 117 ، 145–166 (1972).

B. Gruber ، "التحديد العددي للحد الأدنى النسبي لوظيفة من عدة متغيرات عن طريق الاستيفاء التربيعي ،" Apl. حصيرة.،12، رقم 2 ، 87-100 (1967).

J. Guigou ، "Expériences numériques Comparatives بخصوص la méthode du gradient conjugué ،" Bull. Direct، et Études Rech. ج ، رقم 2 ، 79-92 (1968).

K. P. Hadeler ، "Bemerkungen zum Gradientenverfahren ،" Numer. رياضيات ،18، العدد 5 ، 413-422 (1972).

R.M. Hayes ، "الأساليب التكرارية لحل المشكلات الخطية في فضاء هيلبرت ،" نات. بور. الوقوف. رياضيات. Ser.، No. 39، 71–103 (1954).

جيه هيلر ، "نهج مونت كارلو للحل التقريبي لمشاكل التسلسل ،" نات. أسيوط. مساعد. الحوسبة Mach. ، 1962 ، Digest Tech. أوراق ، نيويورك (1962) ، ص. 41.

M. R. Hestenes ، "طريقة التدرج المترافق لحل الأنظمة الخطية ،" في: Proc. ندوات. الرياضيات التطبيقية ، نيويورك - تورنتو - لندن (1956) ، ص 83-102.

M. R. Hestenes ، "انعكاس المصفوفات عن طريق التقنين الحيوي والنتائج ذات الصلة" ، J. Soc. تطبيق Ind. رياضيات ،6، رقم 1 ، 51-90 (1958).

M.R Hestenes و E. Stiefel ، "طرق التدرج المترافق لحل الأنظمة الخطية ،" J. Res. رياضيات. حصيرة. بور. يقف.،49، رقم 6 ، 409-436 (1952).

ج. هيلدريث ، "تقديرات النقاط لإحداثيات الوظائف المقعرة" ، ج. عامر. دولة. مساعد.49، رقم 267 ، 598-619 (1954).

R. Hooke و T. A. Jeeves ، "حل" البحث المباشر "للمشكلات العددية والإحصائية" ، J. Assoc. الحوسبة ماخ.8، العدد 2 ، 212-229 (1961).

J. Hrouda ، "Reklový algorithmus pro určení minima funkce několika proměnných،" Apl. حصيرة.،11، رقم 4 ، 271-277 (1966).

H. Y. Huang ، "نهج موحد للخوارزميات المتقاربة من الدرجة الثانية لتقليل الوظائف" ، J. Optimization Theory Appl.،5، الأرقام 1-6 ، 405-523 (1970).

A. V. Levy ، "التجارب العددية على الخوارزميات المتقاربة من الدرجة الثانية لتقليل الوظائف" ، J. Optimization Theory Appl. ،6، العدد 3 ، 269-282 (1970).

س. إينوماتا وم. كومادا ، "على طريقة الجولف" ، بول. الكتروتك. مختبر. (اليابان)،25، رقم 7 ، 495-512 (1961).

جاكوبسون و دبليو أوكسمان ، "خوارزمية تقلل الوظائف المتجانسة لمتغيرات N في تكرار N + 2 وتقلل بسرعة الوظائف العامة ،" J. Math. شرجي. تطبيق ،38، العدد 3 ، 535-552 (1972).

دي إتش جاكوبسون و دبليو أوكسمان ، "خوارزميات جديدة لتقليل الوظائف ،" في: Proc. ندوة IEEE التاسعة. العمليات التكيفية والقرار والتحكم ، أوستن ، تكساس ، 1970 ، نيويورك (1970) ، ص 21. 1/1-xxi. 1/4.

J. Janko ، "حل أنظمة المعادلات غير الخطية بطريقة نيوتن وطريقة التدرجات ،" Apl. حصيرة.،10، رقم 3 ، 230-234 (1965).

جارات ، "طريقة تكرارية لتحديد نقاط التحول ،" كمبيوت. J. ،10، رقم 1 ، 82-84 (1967).

B. Kacprzyński ، "Sekwencyjna methoda poszukowania ekstremum ،" القوس. Automat ، i Telemech. ،11، رقم 2 ، 147–164 (1966).

إتش جي كيلي ، جي إي مايرز ، وإي إل جونسون جونيور ، "إجراء محسن لتقليل الاتجاه المترافق ،" مجلة AIAA ،8، رقم 11 ، 2091-2093 (1970).

إتش جي كيلي وجيه إل شباير ، "الإسقاط المتدرج السريع" ، في: ملاحظات محاضرة في الرياضيات ، "رقم 132 ، سبرينغر ، برلين (1970) ، ص 151-158.

J. Kiefer ، "بحث minimax تسلسلي بحد أقصى ،" Proc. عامر. رياضيات. المجتمع ،4، رقم 3 ، 502-506 (1953).

J. Kiefer و J. Wolfowitz ، "Stochastic تقدير الحد الأقصى لوظيفة الانحدار ،" آن. رياضيات. دولة. ،23, 463–466 (1952).

كينغ ، "عائلة من الدرجة الخامسة لأساليب نيوتن المعدلة ،" BIT (السويد) ،11، العدد 4 ، 409-412 (1971).

دبليو كولار ، Zur Methode des steilsten Abstieges ، Ber. Kernforschungsanlage Jülich ، رقم 445 (1966).

H. P. Künzi، H.G Tzschach، and C.A Zehnder، Numerical Methods of Mathematical with ALGOL and FORTRAN Programs، Academic Press، New York (1971)، viii + 219 صفحة.

Lapidus ، E. Shapiro ، S. Shapiro ، and R. Stillman ، "Optimization of process performance ،" AIChE Journal ،7, 288–294 (1961).

F. Lehmann ، "Allgemeiner Bericht über Monte-Carlo-Methoden ،" Bl. تثنية. جيس. Versicherungsmath. ،8، رقم 3 ، 431-456 (1967).

لايتمان (محرر) ، تقنيات التحسين مع تطبيقات لأنظمة الفضاء ، Academic Press ، نيويورك - لندن (1962) ، 453 صفحة.

ليون ، "مقارنة بين ثمانية إجراءات تحسين معروفة ،" في: التطورات الحديثة في تقنيات التحسين (1966).

D.G Leunberger ، التحسين عن طريق أساليب فضاء المتجهات ، وايلي ، نيويورك (1969) ، xvii +326 صفحة.

مانس ، Minimierung konvexer Funktionen (أطروحة) (1971).

د. مانز ، "Über die Konvergenz von Einzelschrittvervahren zur Minimierung konvexer Funktionen ،" Manuscr. رياضيات ،6، رقم 1 ، 33-51 (1972).

دي دبليو ماركوارت ، "خوارزمية لتقدير المربعات الصغرى للمعلمات غير الخطية ،" J. Soc. تطبيق Ind. رياضيات ،11، رقم 2 ، 431-441 (1963).

أ. ماثيوز وديفيز ، "مقارنة بين أساليب نيوتن المعدلة للتحسين غير المقيد" ، Comput. J. ،14، العدد 3 ، 293-294 (1971).

ماكورميك وجي دي بيرسون ، "طريقة القياس المتغير والتحسين غير المقيد" ، في: التحسين (ر. فليتشر ، محرر) ، مطبعة أكاديمية ، نيويورك - لندن (1969) ، ص 307-325.

D.G McDowell ، خوارزميات تقليل الوظائف (أطروحة الدكتوراه) ، جامعة ولاية ميشيغان. (1970) ، 85 صفحة أطروحة. أبستر. إنترنات. ،ب 31، رقم 11 ، 6755 (1971).

A. Miele و J.W. Cantrell ، "دراسة حول طريقة تدرج الذاكرة لتقليل الوظائف ،" J. Optimiz. النظرية التطبيقية.3، رقم 6 ، 459-470 (1969).

A. Miele و J.W. Cantrell ، طرق التدرج في البرمجة الرياضية ، الجزء 2: طريقة التدرج في الذاكرة ، جامعة رايس. رائد فضاء. مندوب رقم 56 (1969).

أ. ميلي وجيه دبليو كانتريل ، "طريقة التدرج في الذاكرة لتقليل الوظائف" ، في: ملاحظات محاضرة في الرياضيات ، رقم 132 ، سبرينغر ، برلين (1970) ، ص 252-263.

J. J. More ، "التقارب العالمي لأساليب نيوتن-غاوس-سايدل ،" SIAM J. Numer. شرجي.،8، رقم 2 ، 325-336 (1971).

موريسون ، "التحسين حسب المربعات الصغرى" ، SIAM J. Numer. شرجي.،5، رقم 1 ، 83-88 (1968).

K. F. Muller و V. W. Eveleigh ، "خوارزمية تعليمية للحساب المتري باستخدام المشتقات الأولى والخطوات التعسفية لتحقيق تصغير الوظيفة ،" في: Proc. رابع هاواي إنترنات. أسيوط. علوم النظم ، هونولولو ، 1971 ، شمال هوليوود ، كاليفورنيا (1971) ، ص 73-75.

دبليو موراي ، الطرق المشتقة الثانية ، نات. فيز. مختبر. ممثل ، تم تقديمه في ندوة IMA / NPL. الطرق العددية للتحسين غير المقيد.

B. A. Murtagh و R.WH Sargent ، "الخبرة الحسابية مع طرق التقليل المتقاربة من الدرجة الثانية ،" Computing J. ،13، العدد 2 ، 185-194 (1970).

جي إي مايرز ، "خصائص طرق التدرج المترافق ودافيدون ،" J. E. Optimization Theory Appl.،2، العدد 4 ، 209-219 (1968).

JA Nelder and R. Mead ، "طريقة بسيطة لتقليل الوظائف ،" Comput. J. ،7، العدد 4 ، 308-313 (1965).

دي جي نيومان ، "موقع الحد الأقصى على الأسطح أحادية الطراز ،" J. Assoc. حاسوب. ماك.12، رقم 3 ، 395-398 (1965).

A. M. Ostrowski ، "مساهمات في نظرية طريقة الانحدار الشديد ،" القوس. رشيد ميكانيكي. شرجي.،26، العدد 4 ، 257-280 (1967).

K. J. Overholt ، "تسريع أيتكين الممتد ،" نورد. تيدسكر. معلومات5، رقم 2 ، 122-132 (1965).

J.R Palmer ، "إجراء محسّن لتعامد متجهات البحث في أساليب تحسين البحث المباشر لـ Rosen-brock's و Swann ،" Comput. J. ،12، رقم 1 ، 69-71 (1969).

جي دي بيرسون ، حول طرق القياس المتغيرة للتقليل ، الدقة ، الشرج. كورب تك. رقم الورقة RAC-Tp 302 (1968).

T. Pietrzykowski ، "تطبيق أسلوب الصعود الأكثر انحدارًا في البرمجة المقعرة" ، في: معالجة المعلومات 1962 ، شمال هولندا ، أمستردام (1963) ، ص 185 - 189.

T. Pietrzykowski ، "الطريقة المحتملة للحد الأقصى الشرطي في المساحات المترية المدمجة محليًا ،" Numer. رياضيات ،14، رقم 4 ، 325-329 (1970).

M. Pincus ، "طريقة مونت كارلو لحل تقريبي لأنواع معينة من مشاكل التحسين المقيدة ،" أوبرا. الدقة ،18، رقم 6 ، 1225-1228 (1970).

بولاك وج. ريبير ، "ملاحظة حول التقارب في الاتجاهات المقترنة ،" القس فرانك. يخبر. وآخرون ريش. أوبرا.3، رقم 16 ، 35-43 (1969).

T. A. Porsching ، "حول معدلات تقارب أساليب جاكوبي وجاوس سايدل للوظائف M ،" SIAM ، J. Numer. شرجي.،8، رقم 3 ، 575-582 (1971).

M. J. D. Powell ، "طريقة تكرارية لإيجاد القيم الثابتة لوظيفة من عدة متغيرات ،" Comput. J. ،5، رقم 2 ، 147-151 (1962).

M. J. D. Powell ، "طريقة فعالة لإيجاد الحد الأدنى لوظيفة من عدة متغيرات دون حساب المشتقات ،" Comput. J. ،7، العدد 2 ، 155–162 (1964).

M.J.D Powell ، "مسح للأساليب العددية للتحسين غير المقيد ،" SIAM Rev. ،12، رقم 1 ، 79-97 (1970).

P. S. Pütter ، "Ein allgemeines Maximalisierungsverfahren ،" Z. Angew. رياضيات. ميكانيكي ،39، العدد 12 ، 466-472 (1959).

J. O. Ramsay ، "عائلة من طرق التدرج من أجل التحسين ،" Comput. J. ،13، رقم 4 ، 413-417 (1970).

ج. ريد ، "حول طريقة التدرجات المترافقة لحل أنظمة متفرقة كبيرة من المعادلات الخطية ،" في: مجموعات متفرقة كبيرة من المعادلات الخطية ، لندن - نيويورك (1971) ، ص 231-252.

ج.ريبير ، "Sur la méthode de Davidon-Fletcher-Powell pour la minimization des fonctions،" Management Sci.،16، رقم 9 ، 572-592 (1970).

إف إس جي ريتشاردز ، "حول إيجاد الحد الأقصى المحلي لوظائف متغير حقيقي" ، Biometrika ،54، الأعداد 1–2 ، 310–311 (1967).

P. D. Roberts و R.H Davis ، "التدرجات المترافقة ،" التحكم.13، رقم 129 ، 206-210 (1969).

R. A. Rohrer ، "تحديد حجم الخطوة الصريح في تقنيات تقليل استغلال التدرج" ، IEEE Trans. نظرية الدائرةسي تي - 17، رقم 1 ، 154-155 (1970).

I. B. Rosen ، "مراجعة لأساليب شبه نيوتن في حل المعادلات غير الخطية والتحسين غير المقيد ،" في: Proc. الحادية والعشرون نات. أسيوط. مساعد. الحوسبة ماخ ، واشنطن دي سي (1966).

H.H. Rosenbrock ، "طريقة تلقائية لإيجاد أكبر قيمة للدالة أو أقلها" ، Comput. J. ،3، رقم 3 ، 175-183 (1960).

J. ساكس ، "التوزيع المقارب لإجراءات التقريب العشوائية ،" آن. رياضيات. دولة. ،29، العدد 2 ، 373-405 (1958).

G. N. Saridis ، "التعلم المطبق على خوارزميات التقريب المتتالية ،" IEEE Trans. علوم النظم وعلم التحكم الآلي ،SSC-6رقم 2 (1970).

S. Schechter ، "طرق التكرار للمشاكل غير الخطية ،" Trans. عامر. رياضيات. المجتمع ،104، رقم 1 ، 179-189 (1962).

J.W. Schmidt and H. F. Trinkaus، “Extremwertermittelung mit Funktionsverten bei Functionen von mehreren Veränderlichen،” Computing،1، رقم 3 ، 224-232 (1966).

B.V Shah و R.J Buehler و O. Kempthorne ، "بعض الخوارزميات لتقليل دالة من عدة متغيرات ،" J. Soc. تطبيق Ind. رياضيات ،12، رقم 1 ، 74-92 (1964).

D. F. Shanno ، "تكييف طرق شبه نيوتن لتقليل الوظيفة ،" الرياضيات. كمبيوت. ،24، رقم 111 ، 647-656 (1970).

D. F. Shanno ، "اختيار المعلمة لطرق نيوتن المعدلة لتقليل الوظائف ،" SIAM J. Numer. شرجي.،7، العدد 3 ، 366–372 (1970).

D. F. Shanno و P. C. Kettler ، "التكييف الأمثل لأساليب شبه نيوتن ،" الرياضيات. كمبيوت. ،24، رقم 111 ، 657-664 (1970).

C. S. Smith ، الحساب التلقائي لتقديرات الاحتمالية القصوى ، "NCB Scientific Dept. Rep. SC 846 / MR / 40 (1962).

H.W.Sorenson ، "مقارنة بين بعض إجراءات الاتجاه المترافق لتقليل الوظائف ،" J. Franklin Inst.،288، رقم 6 ، 421-441 (1969).

H. A. Spang ، "مراجعة لتقنيات التصغير للوظائف غير الخطية ،" SIAM Rev. ،4، العدد 4 ، 343–365 (1962).

دبليو سبندلي ، جي آر هيكست ، وإف آر هيمسورث ، "التطبيق المتسلسل للتصاميم البسيطة في التحسين والعملية التطورية ،" Technometrics ،4, 441 (1962).

جي دبليو ستيوارت الثالث ، "تعديل لطريقة تصغير دافيدون لقبول الفرق التقريبي للمشتقات ،" جيه أسوك. الحوسبة ماخ.14، رقم 1 ، 72-83 (1967).

E. Stiefel ، “Über einige Methoden der Relaxationsrechnung ،” Z. Angew. رياضيات. فيز. ،3، رقم 1 ، 1–33 (1952).

T. A. Straeter ، مقارنة بين الأساليب المعتمدة على التدرج لتقليل وظيفة غير مقيدة للعديد من المتغيرات ، ورقة AIAA رقم 951 (1969) ، 5 صفحات.

L.K Schubert ، "تعديل طريقة شبه نيوتن للمعادلات غير الخطية ذات أسلوب يعقوبي متفرق ،" الرياضيات. كمبيوت. ،24، العدد 109 ، 27-30 (1970).

دبليو إتش سوان ، تقرير عن تطوير أسلوب بحث مباشر جديد للتحسين ، Central Inst. مختبر. الدقة. الملاحظة 64/3 (1964).

R. P. Tewarson ، "حول استخدام الانعكاسات المعممة في تقليل الوظائف ،" الحوسبة ،6، الأعداد 3-4 ، 241-248 (1970).

T. Tsuda و T. Kiyono ، "تطبيق طريقة مونت كارلو على أنظمة المعادلات الجبرية غير الخطية ،" Numer. رياضيات ،6، رقم 2 ، 59-67 (1964).

A. M. Vercoustre ، “Étude Comparative des méthodes de minimization de Fletcher et Powell et de Davidon،” Bull. مباشر. وآخرون Rech. رقم 1 ، 57-75 (1970).

J. Warga ، "تصغير وظائف محدبة معينة ،" J. Soc. تطبيق Ind. رياضيات ،11، رقم 3 ، 588-593 (1963).

T.M Whitney و R.K Meany ، "خوارزميتان تتعلقان بطريقة الهبوط الحاد ،" SIAM J. Numer. شرجي.،4، رقم 1 ، 109-118 (1967).

جيه.ويستكوت ، "الأساليب الحسابية العددية للتحسين في التحكم ،" أوتوماتيكيا ،5، رقم 6 ، 831-843 (1969).

P. Wolfe ، "شروط التقارب لطرق الصعود" ، SIAM Rev. ،11، العدد 2 ، 226-235 (1969).

W. I. Zangwill ، "تصغير دالة دون حساب المشتقات" ، Comput. J. ،10، العدد 3 ، 293-296 (1967).

W. I. Zangwill، Nonlinear Programming by Sequential Unconstrained Maximization، Working Paper 131، Cent. الدقة. علوم الإدارة ، جامعة. كاليفورنيا ، بيركلي (1965).

R. Zieliński ، "حول تقييم مونت كارلو للقيمة القصوى للدالة ،" Algorytmy ،2، رقم 4 ، 7-13 (1965).

R. Zieliński ، "حول تقدير مونت كارلو للحد الأقصى للدالة" ، Algorytmy ،7، رقم 13 ، 5-7 (1970).

R. Zieliński ، Stochastyczne algorytmy w zagadnieniach optymizacji ، Komentowany przeglad bibliograficzny ، "Algorytmy ،3، رقم 6 ، 127-138 (1966).


استخدام الرياضيات الرمزية مع أدوات التحسين & # 8482 Solvers

يوضح هذا المثال كيفية استخدام وظائف Symbolic Math Toolbox & # 8482 دالة jacobian و matlab لتوفير مشتقات تحليلية لمن يحلون التحسين. عادةً ما تكون أدوات التحسين Optimization Toolbox & # 8482 أكثر دقة وكفاءة عندما تقوم بتزويد التدرجات و Hessians للوظائف الموضوعية والقيدية.

يمكن للتحسين المستند إلى المشكلات حساب واستخدام التدرجات اللونية تلقائيًا ، انظر التمايز التلقائي في مربع أدوات التحسين. للحصول على مثال مستند إلى مشكلة باستخدام التفاضل التلقائي ، راجع التحسين غير الخطي للكهرباء الساكنة المقيّد ، المستند إلى المشكلات.

هناك عدة اعتبارات في استخدام الحسابات الرمزية مع وظائف التحسين:

يجب تحديد هدف التحسين ووظائف القيد من حيث المتجه ، على سبيل المثال x. ومع ذلك ، فإن المتغيرات الرمزية هي عددية أو ذات قيمة معقدة ، وليست ذات قيمة متجهة. هذا يتطلب منك الترجمة بين المتجهات والكميات.

من المفترض أن يتم حساب تدرجات التحسين ، وأحيانًا الهسّيين ، داخل جسم وظائف الهدف أو القيد. هذا يعني أنه يجب وضع التدرج اللوني الرمزي أو Hessian في المكان المناسب في ملف دالة الهدف أو القيد أو مقبض الوظيفة.

يمكن أن يكون حساب التدرجات و Hessians رمزياً مضيعة للوقت. لذلك يجب عليك إجراء هذا الحساب مرة واحدة فقط ، وإنشاء رمز ، عبر matlabFunction ، للاتصال أثناء تنفيذ الحل.

يستغرق تقييم التعبيرات الرمزية باستخدام الوظيفة الفرعية وقتًا طويلاً. يعتبر استخدام دالة matlab أكثر كفاءة.

تقوم دالة matlab بإنشاء رمز يعتمد على اتجاه متجهات الإدخال. نظرًا لأن fmincon يستدعي الوظيفة الهدف مع متجهات العمود ، يجب أن تكون حريصًا على استدعاء دالة matlab مع متجهات العمود للمتغيرات الرمزية.

المثال الأول: تصغير غير مقيد باستخدام Hessian

الوظيفة الموضوعية للتقليل هي:

f (x 1، x 2) = log (1 + 3 (x 2 - (x 1 3 - x 1)) 2 + (x 1-4 / 3) 2).

هذه الوظيفة موجبة ، مع بلوغ قيمة دنيا فريدة من الصفر عند x1 = 4/3 ، x2 = (4/3) ^ 3 - 4/3 = 1.0370.

نكتب المتغيرات المستقلة كـ x1 و x2 لأنه في هذه الصورة يمكن استخدامها كمتغيرات رمزية. كمكونات للمتجه x ، سيتم كتابتهما x (1) و x (2). الوظيفة لها واد ملتوي كما هو موضح في المؤامرة أدناه.


مثال 1

بيّن أن الدالة $ f (x، y) = x ^ 2 - y ^ 2 $ لا تحتوي على قيم قصوى.

نلاحظ أولاً أن $ f $ ليس له نقاط مفردة أو حدية ، وبالتالي يمكن لـ $ f $ الحصول على قيم قصوى فقط في النقاط الحرجة. لنحدد أولاً التدرج اللوني لـ $ f $. لدينا هذا:

الآن $ nabla f (x، y) = 0 $ عند النقطة $ (0، 0) في D (f) $. لذا $ (0، 0) $ هي النقطة الحرجة الوحيدة لدينا. لاحظ الآن أن $ f (x، 0) & gt 0 $ لـ $ (x، 0) in D (f) $ مثل $ x neq 0 $. بالمثل ، لاحظ أن $ f (0، y) & lt 0 $ لـ $ (0، y) in D (f) $ بحيث يكون $ y neq 0 $. وبالتالي ، فإن $ f $ ليس له قيمة قصوى عند $ (0، 0) in D (f) $. الصورة التالية هي جزء من الرسم البياني لـ $ f $. كما ترى ، الأصل ليس قيمة قصوى لـ $ f $.


شاهد الفيديو: حساب التفاضل والتكامل 3. الوحدة 1. قاعدة السلسلة في الاشتقاق الجزئي (ديسمبر 2021).