مقالات

12.3: الحركة في الفضاء - الرياضيات


لقد رأينا الآن كيفية وصف المنحنيات في المستوى وفي الفضاء ، وكيفية تحديد خصائصها ، بما في ذلك مشتقاتها ، حيث تكون متجانسة ، ومتجهات الوحدة المماس. كل هذا يقودنا إلى الهدف الرئيسي لهذا الفصل ، وهو وصف الحركة على طول منحنيات المستوى ومنحنيات الفضاء. لدينا الآن كل الأدوات التي نحتاجها ؛ في هذا القسم ، نجمع هذه الأفكار معًا وننظر في كيفية استخدامها.

متجهات الحركة في الطائرة وفي الفضاء

تستخدم نقطة البداية وظائف ذات قيمة متجهة لتمثيل موضع كائن كدالة زمنية. يمكن تطبيق كل المواد التالية إما على منحنيات في المستوى أو على منحنيات الفضاء. على سبيل المثال ، عندما ننظر إلى مدار الكواكب ، فإن المنحنيات التي تحدد هذه المدارات تقع جميعها في مستوى لأنها بيضاوية الشكل. ومع ذلك ، فإن الجسيم الذي يسير على طول الحلزون يتحرك على منحنى في ثلاثة أبعاد.

التعريف: السرعة ، السرعة ، والتسارع

لنفترض أن ( vecs r (t) ) دالة ذات قيمة متجهة قابلة للتفاضل مرتين للمعلمة (t ) التي تمثل موضع الكائن كدالة للوقت.

يتم إعطاء متجه السرعة ( vecs v (t) ) للكائن بواسطة

[ text {السرعة} ، = vecs v (t) = vecs r ′ (t). التسمية {Eq1} ]

يتم تعريف متجه التسارع ( vecs a (t) ) على أنه

[ text {Acceleration} ، = vecs a (t) = vecs v ′ (t) = vecs r ″ (t). التسمية {Eq2} ]

ال سرعة يعرف بأنه

[ mathrm {Speed} ، = ‖ vecs v (t) ‖ = ‖ vecs r ′ (t) ‖ = dfrac {ds} {dt}. التسمية {Eq3} ]

نظرًا لأن ( vecs {r} (t) ) يمكن أن يكون في بعدين أو ثلاثة أبعاد ، يمكن أن تحتوي هذه الوظائف ذات القيمة المتجهة على مكونين أو ثلاثة مكونات. في بعدين ، نحدد ( vecs {r} (t) = x (t) hat { mathbf i} + y (t) hat { mathbf j} ) وفي ثلاثة أبعاد ( vecs r (t) = x (t) hat { mathbf i} + y (t) hat { mathbf j} + z (t) hat { mathbf k} ). ثم يمكن كتابة السرعة والعجلة والسرعة كما هو موضح في الجدول التالي.

الجدول ( PageIndex {1} ): صيغ الموضع ، والسرعة ، والتسارع ، والسرعة
كميةبعدينثلاثة أبعاد
موضع ( vecs {r} (t) = x (t) hat { mathbf i} + y (t) hat { mathbf j} ) ( vecs {r} (t) = x (t) hat { mathbf i} + y (t) hat { mathbf j} + z (t) hat { mathbf k} )
سرعة ( vecs {v} (t) = x ′ (t) قبعة { mathbf i} + y ′ (t) قبعة { mathbf j} ) ( vecs {v} (t) = x ′ (t) hat { mathbf i} + y ′ (t) hat { mathbf j} + z ′ (t) hat { mathbf k} )
التسريع ( vecs {a} (t) = x ″ (t) hat { mathbf i} + y ″ (t) hat { mathbf j} ) ( vecs {a} (t) = x ″ (t) hat { mathbf i} + y ″ (t) hat { mathbf j} + z ″ (t) hat { mathbf k} )
سرعة ( | vecs {v} (t) | = sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} ) ( | vecs {v} (t) | = sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2+ (z ′ (t)) ^ 2} )

مثال ( PageIndex {1} ): دراسة الحركة على طول القطع المكافئ

يتحرك جسيم في مسار مكافئ محدد بواسطة الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs {r} (t) = t ^ 2 hat { mathbf i} + sqrt {5 − t ^ 2} hat { mathbf j} ) ، حيث (t ) يقيس الوقت بالثواني.

  1. أوجد السرعة والعجلة والسرعة كوظائف زمنية.
  2. ارسم المنحنى مع متجه السرعة في الوقت (t = 1 ).
  3. اكتب المعادلات البارامترية لخط المماس لهذا المنحنى عند النقطة المحددة بواسطة (t = 1 ).

حل

  1. نستخدم المعادلات ref {Eq1} و ref {Eq2} و ref {Eq3}:

    [ start {align *} vecs v (t) & = vecs r ′ (t) = 2t hat { mathbf i} - dfrac {t} { sqrt {5-t ^ 2}} قبعة { mathbf j} vecs a (t) & = vecs v ′ (t) = 2 hat { mathbf i} −5 (5 − t ^ 2) ^ {- frac {3} { 2}} قبعة { mathbf j} || vecs v (t) || & = || vecs r ′ (t) || & = sqrt {(2t) ^ 2 + left (- dfrac {t} { sqrt {5-t ^ 2}} right) ^ 2} & = sqrt {4t ^ 2 + dfrac {t ^ 2} {5-t ^ 2}} & = sqrt { dfrac {21t ^ 2-4t ^ 4} {5-t ^ 2}}. النهاية {محاذاة *} ]

  2. يمثل الرسم البياني ( vecs r (t) = t ^ 2 hat { mathbf i} + sqrt {5 − t ^ 2} hat { mathbf j} ) جزءًا من القطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {1} )).

    عندما (t = 1 ) ، ( vecs r (1) = (1) ^ 2 mathbf { hat i} + sqrt {5- (1) ^ 2} mathbf { hat j} quad = quad mathbf { hat i} + sqrt {4} mathbf { hat j} quad = quad mathbf { hat i} + 2 mathbf { hat j} ).

    وبالتالي سيكون الجسيم موجودًا عند النقطة ((1 ، 2) ) عند (t = 1 ).

    متجه السرعة عند (t = 1 ) هو

    [ vecs v (1) = vecs r ′ (1) = 2 (1) hat { mathbf i} - frac {1} { sqrt {5-1 ^ 2}} hat { mathbf j} quad = quad 2 hat { mathbf i} - frac {1} {2} hat { mathbf j} ]

    ومتجه التسارع عند (t = 1 ) هو

    [ vecs a (1) = vecs v ′ (1) = 2 hat { mathbf i} −5 (5 - 1 ^ 2) ^ {- 3/2} hat { mathbf j} quad = quad 2 hat { mathbf i} - frac {5} {8} hat { mathbf j}. ]

    لاحظ أن متجه السرعة مماس للمسار ، كما هو الحال دائمًا.
  3. لإيجاد المعادلات البارامترية لخط المماس ، نحتاج إلى النقطة التي يكون عندها مماسًا للمنحنى ومتجه الاتجاه للخط. النقطة هي بالضبط ما وجدناه أعلاه ، ((1،2) ). واتضح أنه يمكننا استخدام متجه السرعة كمتجه اتجاه لخط المماس. هذا صحيح دائمًا ، ما لم تكن السرعة متجهًا صفريًا عند هذه النقطة.

    كما وجدنا أعلاه ، ( vecs v (1) = 2 hat { mathbf i} - frac {5} {8} hat { mathbf j}. ) هذا هو متجه الاتجاه لهذا الظل سطر حتى نتمكن من كتابة المعادلات البارامترية لخط المماس على النحو التالي: [ start {align *} x & = 1 + 2t y & = 2 - frac {5} {8} t z & = 0 نهاية {محاذاة *} ]

    ستكون معلمات المتجه المقابلة لخط الظل هذا: [ vecs L (t) = left (1 + 2t right) mathbf { hat i} + left (2 - frac {5} {8} t right) mathbf { hat j}. ]

تمرين ( PageIndex {1} )

يتحرك الجسيم في مسار محدد بواسطة دالة القيمة المتجهية ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) ، hat { mathbf i} + (2t − 4) ، hat { mathbf j} + (t + 2) ، hat { mathbf k} ) ، حيث (t ) يقيس الوقت بالثواني وأين تقاس المسافة بالأقدام. أوجد السرعة والعجلة والسرعة كوظائف زمنية.

تلميح

استخدم المعادلات ref {Eq1} و ref {Eq2} و ref {Eq3}.

إجابه

[ start {align *} vecs v (t) = vecs {r} '(t) & = (2t-3) ، hat { mathbf i} +2 ، hat { mathbf j } + ، hat { mathbf k} vecs a (t) & = vecs v ′ (t) = 2 ، hat { mathbf i} end {align *} ]

[|| vecs {r} ′ (t) || = sqrt {(2t-3) ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {4t ^ 2-12t + 14} ]

وحدات السرعة والسرعة هي قدم لكل ثانية ، ووحدات التسارع هي قدم لكل ثانية تربيع.

للحصول على فهم أفضل لمتجهات السرعة والتسارع ، تخيل أنك تقود على طريق متعرج. إذا لم تقم بإدارة عجلة القيادة ، فستستمر في خط مستقيم وتهرب من الطريق. تعطي السرعة التي تسافر بها عند الركض خارج الطريق ، إلى جانب الاتجاه ، متجهًا يمثل سرعتك ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ).

ومع ذلك ، فإن حقيقة أنه يجب عليك إدارة عجلة القيادة للبقاء على الطريق تشير إلى أن سرعتك تتغير دائمًا (حتى لو لم تكن سرعتك) لأن اتجاه يتغير باستمرار لإبقائك على الطريق. عندما تستدير إلى اليمين ، يشير متجه التسارع أيضًا إلى اليمين. عندما تستدير إلى اليسار ، يشير متجه التسارع إلى اليسار. يشير هذا إلى أن متجهات السرعة والتسارع تتغير باستمرار ، بغض النظر عما إذا كانت سرعتك الفعلية تختلف (الشكل ( PageIndex {3} )).

حركة المقذوفات

الآن دعونا نلقي نظرة على تطبيق وظائف المتجهات. على وجه الخصوص ، دعنا نفكر في تأثير الجاذبية على حركة الجسم أثناء انتقاله عبر الهواء ، وكيف يحدد المسار الناتج لذلك الجسم. فيما يلي نتجاهل تأثير مقاومة الهواء. تُعرف هذه الحالة ، عندما يتحرك جسم ما بسرعة ابتدائية ولكن بدون قوى مؤثرة عليه بخلاف الجاذبية ، بحركة المقذوفات. يصف حركة الأشياء من كرات الجولف إلى كرات البيسبول ، ومن الأسهم إلى كرات المدفع.

نحتاج أولاً إلى اختيار نظام إحداثيات. إذا كنا نقف عند أصل نظام الإحداثيات هذا ، فسنختار المحور الموجب (ص ) ليكون لأعلى ، والسالب (ص )-المحور لأسفل ، والإيجابي (س )-يجب أن يكون المحور للأمام (أي بعيدًا عن قاذف الكائن). يكون تأثير الجاذبية في اتجاه هبوطي ، لذلك يخبرنا قانون نيوتن الثاني أن القوة المؤثرة على الجسم الناتجة عن الجاذبية تساوي كتلة الجسم مضروبة في التسارع الناتج عن الجاذبية ، أو ( vecs F_g = m vecs أ ) ، حيث يمثل ( vecs F_g ) القوة من الجاذبية و ( vecs a = -g ، hat { mathbf j} ) يمثل التسارع الناتج عن الجاذبية على سطح الأرض. تبلغ قيمة (g ) في نظام القياس الإنجليزي 32 قدمًا / ثانية تقريبًا2 ويبلغ حوالي 9.8 م / ثانية2 في النظام المتري. هذه هي القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم. نظرًا لأن الجاذبية تعمل في اتجاه هبوطي ، فيمكننا كتابة القوة الناتجة عن الجاذبية بالصيغة ( vecs F_g = −mg ، hat { mathbf j} ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {4} ).

يخبرنا قانون نيوتن الثاني أيضًا أن (F = m vecs {a} ) ، حيث يمثل ( vecs a ) متجه التسارع للكائن. يجب أن تكون هذه القوة مساوية لقوة الجاذبية في جميع الأوقات ، لذلك نعرف ذلك

[ start {align *} vecs F & = vecs F_g m vecs {a} & = -mg ، hat { mathbf j} vecs {a} & = -g ، قبعة { mathbf ي}. النهاية {محاذاة *} ]

نستخدم الآن حقيقة أن متجه التسارع هو أول مشتق لمتجه السرعة. لذلك ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة الأخيرة في الصورة

[ vecs v '(t) = -g ، hat { mathbf j} ]

بأخذ المشتقة العكسية لكل جانب من هذه المعادلة نحصل عليها

[ vecs v (t) = int -g ، hat { mathbf j} ؛ dt = -gt ، hat { mathbf j} + vecs C_1 ]

لبعض المتجهات الثابتة ( vecs C_1 ). لتحديد قيمة هذا المتجه ، يمكننا استخدام سرعة الجسم في وقت محدد ، على سبيل المثال في الوقت (t = 0 ). نسمي هذه السرعة السرعة الأولية: ( vecs v (0) = vecs v_0 ). لذلك ، ( vecs v (0) = - g (0) ، hat { mathbf j} + vecs C_1 = vecs v_0 ) و ( vecs C_1 = vecs v_0 ). هذا يعطي متجه السرعة كـ ( vecs v (t) = - gt ، hat { mathbf j} + vecs v_0 ).

بعد ذلك نستخدم حقيقة أن السرعة ( vecs {v} (t) ) هي مشتق للموضع ( vecs {s} (t) ). هذا يعطي المعادلة

[ vecs '(t) = - gt ، hat { mathbf j} + vecs {v} _0. ]

يؤدي أخذ المشتقة العكسية لكلا طرفي هذه المعادلة إلى

[ start {align *} vecs s (t) & = int -gt ، hat { mathbf j} + vecs {v} _0 ؛ dt & = - dfrac {1} { 2} gt ^ 2 ، hat { mathbf j} + vecs {v} _0 t + vecs {C} _2 end {align *} ]

مع متجه ثابت آخر غير معروف ( vecs {C} _2 ). لتحديد قيمة ( vecs {C} _2 ) ، يمكننا استخدام موضع الكائن في وقت معين ، على سبيل المثال في الوقت (t = 0 ). نسمي هذا الموقف الوضعية الأولية: ( vecs {s} (0) = vecs {s} _0 ). لذلك ، ( vecs {s} (0) = - (1/2) g (0) ^ 2 ، hat { mathbf j} + vecs {v} _0 (0) + vecs {C} _2 = vecs {s} _0 ). هذا يعطي موضع الكائن في أي وقت كما

[ vecs {s} (t) = - 12gt ^ 2 ، hat { mathbf j} + vecs {v} _0 t + vecs {s} _0. ]

دعونا نلقي نظرة فاحصة على السرعة الابتدائية والموضع الأولي. على وجه الخصوص ، لنفترض أن الكائن قد تم طرحه لأعلى من الأصل بزاوية ( theta ) إلى الأفقي ، بسرعة أولية ( vecs {v} _0 ). كيف يمكننا تعديل النتيجة السابقة لتعكس هذا السيناريو؟ أولاً ، يمكننا أن نفترض أنه تم إلقاؤه من الأصل. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فيمكننا نقل الأصل إلى النقطة التي تم إلقاؤها فيها. لذلك ، ( vecs {s} _0 = vecs {0} ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5} ).

يمكننا إعادة كتابة متجه السرعة الابتدائية بالشكل ( vecs {v} _0 = v_0 cos theta ، hat { mathbf i} + v_0 sin theta ، hat { mathbf j} ) . ثم تصبح معادلة دالة الموضع ( vecs {s} (t) )

[ start {align *} vecs {s} (t) & = - dfrac {1} {2} gt ^ 2 ، hat { mathbf j} + v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + v_0 t sin theta ، hat { mathbf j} & = v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + v_0 t sin theta ، قبعة { mathbf j} - dfrac {1} {2} gt ^ 2 ، hat { mathbf j} & = v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + left ( v_0 t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 right) ، hat { mathbf j}. النهاية {محاذاة *} ]

يمثل معامل ( hat { mathbf i} ) المكون الأفقي لـ ( vecs {s} (t) ) وهو المسافة الأفقية للكائن من الأصل في الوقت (t ). تسمى القيمة القصوى للمسافة الأفقية (تقاس على نفس الارتفاع الأولي والنهائي) النطاق (R ). يمثل معامل ( hat { mathbf j} ) المكون الرأسي لـ ( vecs {s} (t) ) وهو ارتفاع الكائن في الوقت (t ). أقصى قيمة للمسافة العمودية هي الارتفاع (ح ).

مثال ( PageIndex {2} ): حركة قذيفة مدفع

خلال احتفال بعيد الاستقلال ، أطلقت قذيفة مدفعية من مدفع على جرف باتجاه الماء. المدفع موجه بزاوية 30 درجة فوق المستوى الأفقي والسرعة الأولية لقذيفة المدفع 600 قدم / ثانية. الجرف 100 قدم فوق الماء (الشكل ( PageIndex {6} )).

  1. أوجد أقصى ارتفاع لقذيفة المدفع.
  2. كم من الوقت سيستغرق وصول قذيفة المدفع إلى البحر؟
  3. إلى أي مدى ستضرب قذيفة المدفع الماء بعيدًا عن البحر؟

حل

نستخدم المعادلة

[ vecs {s} (t) = v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + left (v_0 t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 right ) ، قبعة { mathbf j} ]

مع ( theta = 30 ^ circ ) و (g = 32 dfrac { text {ft}} { text {sec} ^ 2} ) و (v_0 = 600 dfrac { text {قدم}} { نص {ثانية} ^ 2} ). ثم تصبح معادلة الموضع

[ start {align *} vecs {s} (t) & = 600 t ( cos 30 ^ circ) ، hat { mathbf i} + left (600t sin30 ^ circ - dfrac {1} {2} (32) t ^ 2 right) ، hat { mathbf j} & = 300t sqrt {3} ، hat { mathbf i} + left (300t - 16t ^ 2 right) ، hat { mathbf j} end {align *} ]

  1. تصل قذيفة المدفع إلى أقصى ارتفاع لها عندما يكون المكون الرأسي لسرعتها صفرًا ، لأن قذيفة المدفع لا ترتفع ولا تهبط عند تلك النقطة. متجه السرعة هو

    [ start {align *} vecs {v} (t) & = vecs s '(t) & = 300 sqrt {3} ، hat { mathbf i} + (300-32t) ، hat { mathbf j} end {align *} ]

    لذلك ، يُعطى المكون الرأسي للسرعة بالتعبير (300−32t ). جعل هذا المقدار يساوي صفر وحل من أجل ر يعطي (t = 9.375 ) ثانية. يتم تحديد ارتفاع قذيفة المدفع في هذا الوقت من خلال المكون الرأسي لمتجه الموقع ، والذي تم تقييمه عند (t = 9.375 ).

    [ begin {align *} vecs {s} (9.375) = 300 (9.375) sqrt {3} ، hat { mathbf i} + (300 (9.375) −16 (9.375) ^ 2) ، hat { mathbf j} = 4871.39 ، hat { mathbf i} +1406.25 ، hat { mathbf j} end {align *} ]

    لذلك ، يبلغ الحد الأقصى لارتفاع المدفع 1406.39 قدمًا فوق المدفع ، أو 1506.39 قدمًا فوق مستوى سطح البحر.
  2. عندما تهبط قذيفة المدفع في الماء ، تكون 100 قدم تحت المدفع. لذلك ، فإن المكون الرأسي لمتجه الموقع يساوي 100. إعداد المكون الرأسي لـ ( vecs s (t) ) يساوي −100 والحل ، نحصل عليه

    [ start {align *} 300t-16t ^ 2 & = -100 16t ^ 2-300t-100 & = 0 4t ^ 2-75-25 & = 0 t & = dfrac {75 pm sqrt {(- 75) ^ 2} -4 (4) (- 25)} {2 (4)} & = dfrac {75 pm sqrt {6025}} {8} & = dfrac {75 pm 5 sqrt {241}} {8} end {align *} ]

    القيمة الموجبة لـ (t ) التي تحل هذه المعادلة هي تقريبًا 19.08. لذلك ، تضرب قذيفة المدفع الماء بعد حوالي 19.08 ثانية.
  3. لمعرفة المسافة إلى البحر ، نقوم ببساطة باستبدال الإجابة من الجزء (ب) في ( vecs {s} (t) ):

    [ start {align *} vecs s (19.08) & = 300 (19.08) sqrt {3} ، hat { mathbf i} + left (300 (19.08) −16 (19.08) ^ 2 right) ، hat { mathbf j} & = 9914.26 ، hat { mathbf i} −100.7424 ، hat { mathbf j} end {align *} ]

    لذلك ، اصطدمت الكرة بالماء على بعد حوالي 9914.26 قدمًا من قاعدة الجرف. لاحظ أن المكون الرأسي لمتجه الموقع قريب جدًا من -100 ، مما يخبرنا أن الكرة اصطدمت بالماء. لاحظ أن 9914.26 قدمًا ليس النطاق الحقيقي للمدفع لأن قذيفة المدفع تهبط في المحيط في موقع أسفل المدفع. يمكن تحديد مدى المدفع من خلال معرفة مدى بُعد المدفع عندما يكون ارتفاعه 100 قدم فوق الماء (نفس ارتفاع المدفع).

تمرين ( PageIndex {2} )

يطلق رامي سهامًا بزاوية 40 درجة فوق الأفقي بسرعة ابتدائية 98 م / ثانية. ارتفاع الرامي 171.5 سم. أوجد المسافة الأفقية التي يقطعها السهم قبل أن يصطدم بالأرض.

تلميح

يجب أن تحسب معادلة متجه الموقع ارتفاع رامي السهام بالأمتار.

إجابه

967.15 م

يبقى سؤال أخير: بشكل عام ، ما هي أقصى مسافة يمكن للقذيفة أن تقطعها ، بالنظر إلى سرعتها الأولية؟ لتحديد هذه المسافة ، نفترض إطلاق المقذوف من مستوى الأرض ونرغب في العودة إلى مستوى الأرض. بعبارة أخرى ، نريد تحديد معادلة النطاق. في هذه الحالة ، تكون معادلة حركة المقذوفات

[ vecs {s} = v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + left (v_0t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 right) ، قبعة { mathbf j}. ]

ضبط المكون الثاني على مساوٍ للصفر وحل من أجل (t ) ينتج

[ begin {align *} v_0 t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 & = 0 t left (v_0 sin theta - dfrac {1} {2} gt يمين) & = 0 نهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، إما (t = 0 ) أو (t = dfrac {2v_0 sin theta} {g} ). نحن مهتمون بالقيمة الثانية لـ (t ) ، لذلك نستبدلها بـ ( vecs {s} (t) ) ، مما يعطي

[ begin {align *} vecs {s} left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} right) & = v_0 left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} يمين) cos theta ، hat { mathbf i} + left (v_0 left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} right) sin theta - dfrac {1} {2 } g left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} right) ^ 2 right) ، hat { mathbf j} & = left ( dfrac {2v_0 ^ 2 sin theta cos theta} {g} right) ، hat { mathbf i} & = dfrac {v_0 ^ 2 sin2 theta} {g} ، hat { mathbf i}. النهاية {محاذاة *} ]

وبالتالي ، فإن التعبير عن مدى المقذوف الذي تم إطلاقه بزاوية ( theta ) هو

[R = dfrac {v_0 ^ 2 sin2 theta} {g} ، hat { mathbf i}. ]

المتغير الوحيد في هذا التعبير هو ( theta ). لتعظيم المسافة المقطوعة ، خذ مشتق المعامل أنا فيما يتعلق ( theta ) وضبطها على الصفر:

[ begin {align *} dfrac {d} {d theta} left ( dfrac {v_0 ^ 2 sin2 theta} {g} right) & = 0 dfrac {2v_0 ^ 2 cos2 theta} {g} & = 0 theta = 45 ^ circ end {align *} ]

هذه القيمة لـ ( theta) ) هي أصغر قيمة موجبة تجعل المشتق يساوي صفرًا. لذلك ، في حالة عدم وجود مقاومة الهواء ، فإن أفضل زاوية لإطلاق قذيفة (لتعظيم النطاق) هي بزاوية 45 درجة. يتم تحديد المسافة التي يقطعها

[ vecs {s} left ( dfrac {2v_0 sin 45 ^ circ} {g} right) = dfrac {v_0 ^ 2 sin 90 ^ circ} {g} ، hat { mathbf i} = dfrac {v_0 ^ 2} {g} ، hat { mathbf i} ]

لذلك ، فإن نطاق زاوية 45 درجة هو ( frac {v_0 ^ 2} {g} ) وحدات.

المفاهيم الرئيسية

  • إذا كان ( vecs {r} (t) ) يمثل موضع كائن في الوقت ر، ثم يمثل ( vecs {r} '(t) ) السرعة ويمثل ( vecs {r} ′ ′ (t) ) تسارع الجسم في الوقت المناسب ر. مقدار متجه السرعة هو السرعة.
  • يمكن تمثيل حركة المقذوف بالدالة ذات القيمة المتجهة [ vecs {r} (t) = v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + left (v_0 t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 right) ، hat { mathbf j} ] ، حيث يتم إعطاء السرعة الأولية من خلال ( vecs {v} _0 = v_0 cos theta ، hat { mathbf i} + v_0 sin theta ، hat { mathbf j} ).

المعادلات الرئيسية

  • سرعة [ vecs {v} (t) = vecs {r} ′ (t) nonumber ]
  • التسريع [ vecs {a} (t) = vecs {v} ′ (t) = vecs {r} ′ ′ (t) nonumber ]
  • سرعة [v (t) = || vecs {v} (t) || = || vecs {r} ′ (t) || = dfrac {ds} {dt} nonumber ]
  • حركة المقذوفات [ vecs {r} (t) = v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + left (v_0 t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 right ) ، قبعة { mathbf j} ]

قائمة المصطلحات

ناقلات التسارع
المشتق الثاني لمتجه الموقع
حركة المقذوفات
حركة جسم بسرعة ابتدائية ولكن لا توجد قوة مؤثرة عليه بخلاف الجاذبية
متجه السرعة
مشتق متجه الموقع

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • حرره بول سيبرغر
    أضاف Paul Seeburger نقطة إيجاد ((1، 2) ) عند (t = 1 ) وأضاف الجزء 3 (إيجاد معادلات خط الظل) في المثال ( PageIndex {1} ).
    كما أنشأ الشكل ( PageIndex {1} ).

12.3: الحركة في الفضاء - الرياضيات

مدرب: أكرم علي الشاهي
بريد إلكتروني: [email protected]
صفحة على الإنترنت: courseworks.columbia.edu و math.columbia.edu/

الشاهي / CalcIII.html
ساعات العمل: الإثنين: ظهرًا - 1 مساءً والأربعاء: 3 مساءً - 4 مساءً أو عن طريق التعيين في رياضيات 613

مساعدو التدريس:

غرفة المساعدة: مركز ميلشتاين للتعليم والتعلم الغرفة: 502

كتاب مدرسي: جيمس ستيوارت ، حساب التفاضل والتكامل: التجاوزات المبكرة، الطبعة الثامنة. لمزيد من المعلومات: http://www.math.columbia.edu/programs-math/undergraduate-program/calculus-classes/#textbook

تعد النسخة السابقة من الكتاب جيدة أيضًا وأرخص بكثير ، لكن مراجع الواجبات المنزلية تأتي من الطبعة الثامنة. الرجاء الحصول على المشاكل الصحيحة من المكتبة أو من صديق.

ملخص: مرحبًا بك في حساب التفاضل والتكامل III! الموضوعات التي ستتعلمها عن هذا الفصل الدراسي هي

  • المتجهات وهندسة الفضاء (القسم 10.5 والفصل 12)
  • دالات المتجهات (الفصل 13)
  • دوال المتغيرات المتعددة والمشتقات الجزئية (الفصل 14).

يتم تغطية المواد المطلوبة مسبقًا لهذه الدورة في حساب التفاضل والتكامل I. الإلمام بمواد حساب التفاضل والتكامل II مفيد ولكنه ليس ضروريًا. يرجى إعلامي إذا كان لديك أي أسئلة بخصوص ما إذا كانت هذه هي الدورة التدريبية المناسبة لك.

الواجب المنزلي: سيكون هناك مجموعات مشاكل كل أسبوع ، مستحقة في بداية الفصل يوم الاثنين ، ما لم يذكر خلاف ذلك. إذا كان بإمكانك & # 39t الوصول إلى الفصل ، ضعه في المربع المخصص خارج 410 Math.

مرحبًا بك للعمل على المهام معًا ، ولكن يجب أن تكتبها بكلماتك الخاصة.

لا يتم قبول الواجبات المنزلية المتأخرة. سيتم نشر حلول الواجبات المنزلية على الدورات الدراسية بعد استحقاق كل مهمة.

امتحان: سيكون هناك اختباران نصفيان في الفصل مدة كل منهما 75 دقيقة ، واختبارًا نهائيًا.

إذا كان لديك تعارض مع أي من مواعيد الامتحانات ، فيجب عليك الاتصال بي في وقت مبكر حتى نتمكن من اتخاذ الترتيبات اللازمة. (يفضل قبل أسبوع على الأقل). إذا كنت غير قادر على إجراء الاختبار بسبب مشكلة طبية ، فيجب عليك الذهاب إلى المركز الصحي والحصول على ملاحظة منهم - والاتصال بي في أقرب وقت ممكن.


رياضيات 231 حساب التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

وصف الكتاب الأزرق: الهندسة التحليلية في التمايز الجزئي والتطبيقات الفضائية. الطلاب الذين اجتازوا MATH 230 لا يمكنهم تحديد موعد لهذه الدورة.

المتطلبات المسبقة: MATH 141 أو MATH 141H

شرط مسبق ل: 412 ، رياضيات 414 ، 419 ، رياضيات 451

ليسانس الآداب: القياس الكمي

الكتاب المدرسي المقترح:
حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات: التجاوزات المبكرة ، الطبعة الثامنة ، بقلم جيمس ستيوارت ، نشرتها سينجاج.
تحقق مع مدرسك للتأكد من أن هذا هو الكتاب المدرسي المستخدم في القسم الخاص بك.

المواضيع:
الفصل 12: النواقل وهندسة الفضاء
12.1 نظم الإحداثيات ثلاثية الأبعاد
12.2 النواقل
12.3 المنتج النقطي
12.4 حاصل الضرب التبادلي
12.5 معادلات الخطوط والمستويات
12.6 الأسطوانات والأسطح الرباعية

الفصل 13: وظائف المتجه
13.1 وظائف المتجهات ومنحنيات الفضاء
13.2 مشتقات وتكاملات دوال المتجهات
13.3 طول القوس والانحناء
13.4 الحركة في الفضاء: السرعة والتسارع

الفصل الرابع عشر: المشتقات الجزئية
14.1 وظائف من عدة متغيرات
14.2 الحدود والاستمرارية
14.3 المشتقات الجزئية
14.4 المستويات المماسية والتقديرات الخطية
14.5 قاعدة السلسلة
14.6 المشتقات الاتجاهية ومتجه التدرج
14.7 القيم القصوى والدنيا
14.8 مضاعفات لاجرانج


محتويات

نظم الإحداثيات تحرير

في الرياضيات ، تصف الهندسة التحليلية (وتسمى أيضًا الهندسة الديكارتية) كل نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد عن طريق ثلاثة إحداثيات. تم إعطاء ثلاثة محاور إحداثيات ، كل منها عموديًا على المحورين الآخرين عند نقطة الأصل ، وهي النقطة التي يتقاطعان عندها. عادة ما يتم تصنيفهم x, ذ ، و ض . بالنسبة إلى هذه المحاور ، يُعطى موضع أي نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بثلاثية مرتبة من الأرقام الحقيقية ، كل رقم يعطي مسافة تلك النقطة من الأصل المقاسة على طول المحور المعطى ، وهو ما يساوي مسافة ذلك نقطة من المستوى يحددها المحاوران الآخران. [4]

تتضمن الطرق الشائعة الأخرى لوصف موقع نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد الإحداثيات الأسطوانية والإحداثيات الكروية ، على الرغم من وجود عدد لا حصر له من الطرق الممكنة. للمزيد ، انظر الفضاء الإقليدي.

فيما يلي صور للأنظمة المذكورة أعلاه.

تحرير الخطوط والطائرات

نقطتان مميزتان تحددان دائمًا خطًا (مستقيمًا). ثلاث نقاط مميزة إما تربطها علاقة خطية متداخلة أو تحدد مستوى فريدًا. من ناحية أخرى ، يمكن أن تكون أربع نقاط مميزة إما متداخلة أو مستوية أو تحدد المساحة بأكملها.

يمكن أن يتقاطع خطان متميزان أو يكونان متوازيين أو منحرفين. يوجد خطان متوازيان ، أو خطان متقاطعان ، في مستوى فريد ، لذا فإن خطوط الانحراف هي خطوط لا تلتقي ولا تقع في مستوى مشترك.

يمكن أن تلتقي طائرتان منفصلتان في خط مشترك أو متوازيتان (أي لا تلتقيان). يمكن لثلاث طائرات متميزة ، لا يوجد زوج منها متوازي ، إما أن تلتقي في خط مشترك ، أو تلتقي في نقطة مشتركة فريدة ، أو ليس لها أي نقطة مشتركة. في الحالة الأخيرة ، تكون خطوط التقاطع الثلاثة لكل زوج من المستويات متوازية بشكل متبادل.

يمكن أن يقع الخط في مستوى معين ، أو يتقاطع مع ذلك المستوى في نقطة فريدة ، أو أن يكون موازيًا للمستوى. في الحالة الأخيرة ، ستكون هناك خطوط في المستوى موازية للخط المحدد.

المستوى الفائق هو فضاء فرعي له بُعد واحد أقل من بُعد المساحة الكاملة. الطائرات الفائقة للفضاء ثلاثي الأبعاد هي المساحات الفرعية ثنائية الأبعاد ، أي المستويات. من حيث الإحداثيات الديكارتية ، تفي نقاط المستوى الفائق بمعادلة خطية واحدة ، لذلك يتم وصف المستويات في هذه الفراغات الثلاث بمعادلات خطية. يمكن وصف الخط بزوج من المعادلات الخطية المستقلة - كل منها يمثل مستوى له هذا الخط كتقاطع مشترك.

تنص نظرية فارينيون على أن نقاط المنتصف لأي رباعي في ℝ 3 تشكل متوازي أضلاع ، وبالتالي فهي متحد المستوى.

المجالات والكرات تحرير

كرة في 3 فضاء (وتسمى أيضًا أ 2-المجال لأنه كائن ثنائي الأبعاد) يتكون من مجموعة من جميع النقاط في 3 فضاء على مسافة ثابتة ص من نقطة مركزية P. المادة الصلبة المحاطة بالكرة تسمى أ كرة (أو بشكل أدق أ 3 الكرة). حجم الكرة مُعطى بواسطة

ينشأ نوع آخر من الكرة من 4 كرات يكون سطحها ثلاثي الأبعاد هو 3-المجال: النقاط على مسافة متساوية من أصل الفضاء الإقليدي ℝ 4. إذا كانت نقطة لها إحداثيات ، ص(x, ذ, ض, ث) ، ومن بعد x 2 + ذ 2 + ض 2 + ث 2 = 1 يميز تلك النقاط على الوحدة ثلاثية الكرات المتمركزة في الأصل.

تحرير Polytopes

في ثلاثة أبعاد ، هناك تسعة بوليتوبات منتظمة: المواد الصلبة الأفلاطونية الخمسة المحدبة والأربعة غير المتحدبة كبلر-بوينسو متعددات السطوح.

polytopes منتظم في ثلاثة أبعاد
صف دراسي المواد الصلبة الأفلاطونية متعدد الوجوه كبلر-بوينسوت
تناظر تيد اح أناح
مجموعة كوكستر أ3, [3,3] ب3, [4,3] ح3, [5,3]
ترتيب 24 48 120
عادي
متعدد الوجوه






<5/2,5>

<5,5/2>

<5/2,3>

<3,5/2>

سطوح الثورة تحرير

يُطلق على السطح الناتج عن تدوير منحنى مستوٍ حول خط ثابت في مستواه كمحور سطح ثورة. يسمى منحنى المستوى مولداتريكس من السطح. قسم السطح ، الذي تم إنشاؤه عن طريق تقاطع السطح مع مستوى متعامد (متعامد) على المحور ، عبارة عن دائرة.

تحدث أمثلة بسيطة عندما يكون المولد عبارة عن خط. إذا تقاطع خط المولد مع خط المحور ، فإن سطح الدوران يكون مخروطًا دائريًا قائمًا مع رأس (قمة) نقطة التقاطع. ومع ذلك ، إذا كان المولد والمحور متوازيان ، فإن سطح الدوران يكون أسطوانة دائرية.

الأسطح الرباعية تحرير

بالتشابه مع المقاطع المخروطية ، فإن مجموعة النقاط التي تتوافق إحداثياتها الديكارتية مع المعادلة العامة من الدرجة الثانية ، وهي:

A x 2 + B y 2 + C z 2 + F xy + G yz + H xz + J x + K y + L z + M = 0، + By ^ <2> + Cz ^ <2> + Fxy + Gyz + Hxz + Jx + Ky + Lz + M = 0 ،>

أين أ, ب, ج, F, جي, ح, ي, ك, إل و م هي أرقام حقيقية وليست كلها أ, ب, ج, F, جي و ح هي صفر ، يسمى أ سطح رباعي. [5]

هناك ستة أنواع من الأسطح الرباعية غير المتحللة:

الأسطح الرباعية المتدهورة هي المجموعة الفارغة ، ونقطة واحدة ، وخط واحد ، ومستوى واحد ، وزوج من المستويات أو أسطوانة تربيعية (سطح يتكون من قسم مخروطي غير متدهور في مستوى π وجميع خطوط 3 من خلال ذلك المخروط الطبيعي ل to). [5] تعتبر المخاريط الإهليلجية أحيانًا أسطحًا رباعية الأبعاد متدهورة أيضًا.

كل من القطع الزائد للورقة الواحدة والمكافئ القطعي عبارة عن أسطح مسطرة ، مما يعني أنه يمكن تكوينها من عائلة من الخطوط المستقيمة. في الواقع ، لكل منها عائلتان من خطوط التوليد ، وأفراد كل عائلة مفككون ويتقاطع كل فرد من عائلة واحدة ، مع استثناء واحد فقط ، كل فرد من أفراد الأسرة الأخرى. [6] تسمى كل عائلة ريجولوس.

توجد طريقة أخرى لمشاهدة الفضاء ثلاثي الأبعاد في الجبر الخطي ، حيث تكون فكرة الاستقلال أمرًا بالغ الأهمية. الفضاء له ثلاثة أبعاد لأن طول الصندوق مستقل عن عرضه أو عرضه. في اللغة التقنية للجبر الخطي ، الفضاء ثلاثي الأبعاد لأن كل نقطة في الفضاء يمكن وصفها بمجموعة خطية من ثلاثة نواقل مستقلة.

تعديل الضرب النقطي والزاوية والطول

يمكن تصوير المتجه كسهم. مقدار المتجه هو طوله ، واتجاهه هو الاتجاه الذي يشير إليه السهم. يمكن تمثيل المتجه في ℝ 3 بثلاثية مرتبة من الأعداد الحقيقية. هذه الأرقام تسمى عناصر من المتجه.

حاصل الضرب القياسي لمتجهين أ = [أ1, أ2, أ3] و ب = [ب1, ب2, ب3] يعرف بأنه: [7]

مقدار المتجه أ يُشار إليه بواسطة ||أ|| . حاصل الضرب القياسي للمتجه أ = [أ1, أ2, أ3] مع نفسه

صيغة الطول الإقليدي للمتجه.

بدون الإشارة إلى مكونات المتجهات ، حاصل الضرب النقطي لمتجهين إقليديين غير صفريين أ و ب مُعطى بواسطة [8]

أين θ هي الزاوية بين أ و ب .

عبر تحرير المنتج

المنتج المتقاطع أو ناقلات المنتج هي عملية ثنائية على متجهين في مساحة ثلاثية الأبعاد ويُشار إليها بالرمز ×. حاصل الضرب التبادلي أ × ب من النواقل أ و ب هو متجه عمودي على كليهما وبالتالي فهو طبيعي على المستوى الذي يحتوي عليهما. لها العديد من التطبيقات في الرياضيات والفيزياء والهندسة.

يشكل الفراغ والمنتج جبرًا فوق حقل ، وهو ليس تبادليًا ولا ترابطيًا ، ولكنه عبارة عن جبر لي مع حاصل الضرب المتقاطع هو قوس الكذب.

يمكن للمرء في ن أبعاد تأخذ نتاج ن - 1 متجه لإنتاج متجه عمودي عليها جميعًا. ولكن إذا كان المنتج مقصورًا على المنتجات الثنائية غير التافهة مع نتائج المتجهات ، فهو موجود فقط في ثلاثة وسبعة أبعاد. [9]

تحرير التدرج والتباعد والضفيرة

في نظام الإحداثيات المستطيل ، يتم إعطاء التدرج بواسطة

تباعد مجال متجه قابل للتفاضل باستمرار F = يو أنا + الخامس ي + دبليو ك تساوي الدالة ذات القيمة العددية:

موسعة في الإحداثيات الديكارتية (انظر Del في الإحداثيات الأسطوانية والكروية لتمثيلات الإحداثيات الكروية والأسطوانية) ، الضفيرة ∇ × F هو ل F تتألف من [Fx, Fذ, Fض]:

أين أنا, ي، و ك هي ناقلات الوحدة ل x-, ذ-، و ض- المحاور على التوالي. يتوسع هذا على النحو التالي: [10]

تكاملات الخط وتكاملات السطح وتكاملات الحجم تحرير

لبعض المجالات العددية F : يور نر، الخط لا يتجزأ على طول منحنى سلس متعدد التعريف جيو يعرف ب

أين ص: [أ ، ب] → ج هو حد تعسفي حيوي للمنحنى ج مثل ذلك ص(أ) و ص(ب) تعطي نقاط النهاية لـ ج و & lt ب < displaystyle a & ltb>.

لحقل متجه F : يور نر ن ، الخط لا يتجزأ على طول منحنى سلس متعدد التعريف جيو، في اتجاه ص، يعرف ب

أين · هو حاصل الضرب النقطي و ص: [أ ، ب] → ج هي معلمات حيوية للمنحنى ج مثل ذلك ص(أ) و ص(ب) تعطي نقاط النهاية لـ ج.

تكامل السطح هو تعميم للتكاملات المتعددة للتكامل على الأسطح. يمكن اعتباره التناظرية المزدوجة لا يتجزأ من الخط. للعثور على صيغة صريحة للتكامل السطحي ، نحتاج إلى تحديد معلمات سطح الاهتمام ، س، من خلال النظر في نظام الإحداثيات المنحنية على س، مثل خط الطول وخط العرض على الكرة. دع مثل هذه المعلمات تكون x(س, ر)، أين (س, ر) يختلف في بعض المناطق تي في الطائرة. ثم يتم إعطاء تكامل السطح بواسطة

حيث يكون التعبير بين الأعمدة على الجانب الأيمن هو حجم الضرب العرضي للمشتقات الجزئية لـ x(س, ر) ، ويُعرف باسم عنصر السطح. إعطاء مجال متجه الخامس على س، هذه وظيفة يتم تخصيصها لكل منها x في س ناقل الخامس(x) ، يمكن تعريف التكامل السطحي من حيث المكونات وفقًا لتعريف السطح المتكامل للحقل القياسي ، والنتيجة هي متجه.

يمكن أن يعني أيضًا تكاملًا ثلاثيًا داخل المنطقة د في ص 3 للدالة f (x ، y ، z) ، وعادة ما تكتب على النحو التالي:

النظرية الأساسية لتكاملات الخط تحرير

تقول النظرية الأساسية لتكاملات الخط ، أن الخط المتكامل من خلال حقل التدرج يمكن تقييمه من خلال تقييم الحقل القياسي الأصلي عند نقاط نهاية المنحنى.

تحرير نظرية ستوكس

ترتبط نظرية ستوكس بالتكامل السطحي لتجعيد الحقل المتجه F فوق سطح Σ في الفضاء الإقليدي ثلاثي المساحات إلى الخط المتكامل للحقل المتجه فوق حدوده ∂Σ:

نظرية الاختلاف تحرير

افترض أن V مجموعة فرعية من R n ^> (في حالة ن = 3, الخامس يمثل حجمًا في مساحة ثلاثية الأبعاد) وهو مضغوط وله حد سلس متعدد التعريف S (يشار إليه أيضًا بـ ∂الخامس = س ). إذا F هو حقل متجه قابل للتفاضل بشكل مستمر محدد في جوار V ، ثم تنص نظرية التباعد: [11]

الجانب الأيسر حجم متكامل على الحجم V ، والجانب الأيمن هو السطح المتكامل فوق حدود الحجم V. المشعب المغلق ∂الخامس بشكل عام ، تكون حدود V موجهة من خلال الأعراف التي تشير إلى الخارج ، و ن هو الحقل الطبيعي لوحدة التأشير الخارجية للحدود ∂الخامس . ( دس يمكن استخدامها كاختصار ل ندي اس .)

يحتوي الفضاء ثلاثي الأبعاد على عدد من الخصائص الطوبولوجية التي تميزه عن فراغات أرقام الأبعاد الأخرى. على سبيل المثال ، يلزم وجود ثلاثة أبعاد على الأقل لربط عقدة في قطعة من الخيط. [12]

في الهندسة التفاضلية ، تكون المساحات العامة ثلاثية الأبعاد عبارة عن 3 متشعبات ، والتي تشبه محليًا R 3 >^<3>> .

يمكن اختبار العديد من أفكار الأبعاد باستخدام هندسة محدودة. أبسط مثال هو PG (3،2) ، والذي يحتوي على طائرات فانو كمساحات فرعية ثنائية الأبعاد. إنه مثال على هندسة Galois ، وهي دراسة للهندسة الإسقاطية باستخدام الحقول المحدودة. وبالتالي ، لأي حقل جالوا GF (ف) ، هناك مساحة إسقاطية PG (3 ،ف) من ثلاثة أبعاد. على سبيل المثال ، أي ثلاثة خطوط منحرفة في PG (3 ،ف) في ريجولوس واحد بالضبط. [13]


12.3: الحركة في الفضاء - الرياضيات

ذكر إسحاق نيوتن في قانونه الثالث للحركة أن "لكل فعل رد فعل مساوٍ ومعاكس". بناءً على هذا المبدأ ، يعمل الصاروخ. يتم تجميع المواد الدافعة في غرفة الاحتراق حيث تتفاعل كيميائيًا لتكوين غازات ساخنة يتم تسريعها بعد ذلك وقذفها بسرعة عالية من خلال فوهة ، مما يضفي زخمًا على المحرك. قوة الدفع لمحرك الصاروخ هي رد الفعل الذي يحدث له هيكل المحرك بسبب طرد المادة عالية السرعة. هذه هي نفس الظاهرة التي تدفع خرطوم الحديقة للخلف مع تدفق المياه من الفوهة ، أو تجعل البندقية ترتد عند إطلاقها.

دفع هي القوة التي تدفع صاروخًا أو مركبة فضائية وتُقاس بالجنيه أو الكيلوجرامات أو النيوتن. من الناحية الفيزيائية ، هو نتيجة الضغط الذي يمارس على جدار غرفة الاحتراق.

يوضح الشكل 1.1 غرفة احتراق بها فتحة ، فوهة ، يمكن للغاز من خلالها الهروب. توزيع الضغط داخل الحجرة غير متماثل أي أن الضغط داخل الغرفة يختلف قليلاً ، ولكن بالقرب من الفوهة يتناقص إلى حد ما. لا يتم تعويض القوة الناتجة عن ضغط الغاز على قاع الحجرة من الخارج. القوة المحصلة F نظرًا لاختلاف الضغط الداخلي والخارجي ، يكون الدفع عكس اتجاه تدفق الغاز. يدفع الحجرة لأعلى.

لإنشاء غازات عادم عالية السرعة ، يتم الحصول على درجات الحرارة المرتفعة اللازمة وضغط الاحتراق باستخدام وقود عالي الطاقة ومن خلال خفض الوزن الجزيئي لغازات العادم إلى أدنى حد ممكن. من الضروري أيضًا تقليل ضغط الغاز قدر الإمكان داخل الفوهة عن طريق إنشاء نسبة قسم كبيرة. يتم تعريف نسبة القسم ، أو نسبة التوسع ، على أنها منطقة الخروج أه مقسومًا على منطقة الحلق أر.

الثقة F هو ناتج عن القوى الناتجة عن الضغوط التي تمارس على الجدران الداخلية والخارجية بواسطة غازات الاحتراق والجو المحيط ، مع أخذ الحدود بين الأسطح الداخلية والخارجية كمقطع عرضي لمخرج الفوهة. كما سنرى في القسم التالي ، فإن تطبيق مبدأ الحفاظ على الزخم يعطي

أين ف هو معدل تدفق الكتلة المقذوفة ، صأ ضغط الجو المحيط ، صه ضغط غازات العادم و الخامسه سرعة طردهم. يتم تحديد الاتجاه إما عند مستوى سطح البحر أو في الفراغ.

ال كمية الحركة الخطية (ص)، أو ببساطة قوة الدفع، من الجسيم هو حاصل ضرب كتلته وسرعته. هذا هو،

عبّر نيوتن عن قانونه الثاني للحركة من حيث الزخم ، والذي يمكن أن يُقال على أنه "نتيجة القوى المؤثرة على الجسيم تساوي معدل تغير الزخم الخطي للجسيم". في الشكل الرمزي يصبح هذا

وهو ما يعادل التعبير F = أماه.

إذا كان لدينا نظام من الجسيمات ، فإن الزخم الكلي ص النظام هو مجموع عزم الجسيمات الفردية. عندما تكون القوة الخارجية الناتجة المؤثرة على النظام تساوي صفرًا ، يظل الزخم الخطي الكلي للنظام ثابتًا. هذا يسمى مبدأ الحفاظ على الزخم الخطي. دعونا الآن نرى كيف يتم تطبيق هذا المبدأ على ميكانيكا الصواريخ.

فكر في صاروخ ينجرف في مساحة خالية من الجاذبية. محرك الصاروخ مشتعل للوقت ر وخلال هذه الفترة ، يقذف الغازات بمعدل ثابت وبسرعة ثابتة بالنسبة للصاروخ (سرعة العادم). افترض عدم وجود قوى خارجية ، مثل الجاذبية أو مقاومة الهواء.

يوضح الشكل 1.2 (أ) الوضع في الوقت المناسب ر. الصاروخ والوقود لهما كتلة إجمالية م والجمع يتحرك بسرعة الخامس كما يتضح من إطار مرجعي معين. في الوقت ر تم تغيير التكوين لاحقًا إلى ذلك الموضح في الشكل 1.2 (ب). كتلة م تم طرده من الصاروخ وهو يتحرك بسرعة ش كما يراه المراقب. يتم تقليل الصاروخ إلى كتلة مم والسرعة الخامس من الصاروخ إلى v + v.

لأنه لا توجد قوى خارجية ، ديسيبل / دينارا = 0. يمكننا الكتابة عن الفترة الزمنية ر

أين ص2 هو زخم النظام النهائي ، الشكل 1.2 (ب) ، و ص1 هو الزخم الأولي للنظام ، الشكل 1.2 (أ). نحن نكتب

إذا سمحنا ر تقترب من الصفر ، ت / ت اقتراب دي في / دي تي، تسارع الجسم. الكمية م هي الكتلة المقذوفة ر هذا يؤدي إلى انخفاض في الكتلة م من الجسم الأصلي. حيث دي إم / دينار، فإن التغير في كتلة الجسم مع الوقت يكون سالبًا في هذه الحالة ، في حدود الكمية م / ر لقد بدل بواسطة -dM / دينارا. الكمية ش- (v + v) هو الخامسrel، السرعة النسبية للكتلة المقذوفة بالنسبة للصاروخ. مع هذه التغييرات ، يمكن كتابة المعادلة (1.4) كـ

يعتمد المصطلح الأيمن على خصائص الصاروخ ، ومثل الحد الأيسر ، له أبعاد القوة. هذه القوة تسمى دفع، وهي قوة رد الفعل المؤثرة على الصاروخ بالكتلة التي تتركه. يمكن لمصمم الصاروخ أن يجعل الدفع كبيرًا قدر الإمكان من خلال تصميم الصاروخ لإخراج الكتلة بأسرع ما يمكن (دي إم / دينار كبير) وبأعلى سرعة نسبية ممكنة (الخامسrel كبير).

في علم الصواريخ ، تتم كتابة معادلة الدفع الأساسية كـ

أين ف هو معدل تدفق الكتلة المقذوفة ، الخامسه هي سرعة طرد غاز العادم ، صه هو ضغط غازات العادم عند مخرج الفوهة ، صأ هو ضغط الجو المحيط ، و أه هي منطقة خروج الفوهة. المنتج qVه، والتي استنتجناها أعلاه (الخامسrel & # 215 ديسيبل / دينارا) ، يسمى الزخم ، أو السرعة ، الدفع. المنتج ه-Pأه، يسمى دفع الضغط ، هو نتيجة لقوى الضغط غير المتوازنة عند مخرج الفوهة. كما سنرى الأخير ، يحدث أقصى دفع عندما صه= صأ.

انقر هنا للحصول على مثال المشكلة رقم 1.1
(استخدم وظيفة "رجوع" في متصفحك للعودة)

يمكن تبسيط المعادلة (1.6) من خلال تعريف سرعة غاز العادم الفعالة ، C ، معرف ك

ثم تقلل المعادلة (1.6) إلى

رأينا في القسم السابق أنه يمكن التعبير عن قانون نيوتن الثاني في الشكل

ضرب كلا الطرفين في د والاندماج من وقت ر1 الى وقت ر2، نحن نكتب

التكامل هو متجه يعرف باسم الدافع الخطي، أو ببساطة دفعةمن القوة F خلال الفترة الزمنية التي تم النظر فيها. تعبر المعادلة عن ذلك ، عندما يتم التأثير على الجسيم بواسطة القوة F خلال فترة زمنية معينة ، الزخم النهائي ص2 يمكن الحصول على الجسيم بإضافة زخمه الأولي ص1 ودافع القوة F خلال الفترة الزمنية.

عندما تعمل عدة قوى على جسيم ، يجب مراعاة اندفاع كل من القوى. عندما تنطوي مشكلة ما على نظام من الجسيمات ، يمكننا إضافة العزم الاتجاهي لجميع الجسيمات ونبضات جميع القوى المعنية. متى يمكن أن يكتب بعد ذلك

لفترة زمنية ر، قد نكتب المعادلة (1.10) بالصيغة

دعونا نرى الآن كيف يمكننا تطبيق مبدأ الدفع والزخم على ميكانيكا الصواريخ.

تأمل صاروخ كتلته الأولية م التي تم إطلاقها عموديًا في الوقت المناسب ر= 0. يتم استهلاك الوقود بمعدل ثابت ف ويتم طرده بسرعة ثابتة الخامسه بالنسبة للصاروخ. في الوقت ر، كتلة قذيفة الصاروخ والوقود المتبقي م-كيو تي، والسرعة الخامس. خلال الفترة الزمنية ر، كتلة من الوقود كيو تي مطرود. دلالة بواسطة ش السرعة المطلقة للوقود المطرود ، نطبق مبدأ الدافع والزخم بين الوقت ر و الوقت ر + ر. يرجى ملاحظة أن هذا الاشتقاق يهمل تأثير مقاومة الهواء.

نقسم من خلال ر واستبدالها ش- (v + v) مع الخامسه، سرعة الكتلة المطرودة بالنسبة للصاروخ. مثل ر تقترب من الصفر ، نحصل عليها

فصل المتغيرات والتكامل منها ر=0, الخامس= 0 إلى ر = ت ، ت = ت، نحصل

على المدى -Gt في المعادلة (1.15) هي نتيجة سحب جاذبية الأرض للصاروخ. لصاروخ ينجرف في الفضاء ، -Gt غير قابل للتطبيق ويمكن حذفه. علاوة على ذلك ، من الأنسب التعبير عن السرعة الناتجة كتغير في السرعة ، أو V. تصبح المعادلة (1.15) هكذا

لاحظ أن م يمثل الكتلة الأولية للصاروخ و م-كيو تي الكتلة النهائية. لذلك ، غالبًا ما تتم كتابة المعادلة (1.16) كـ

أين ما/ مF يسمى نسبة الجماعية. تُعرف المعادلة (1.17) أيضًا باسم معادلة صاروخ Tsiolkovsky ، والتي سميت على اسم رائد الصواريخ الروسي Konstantin E. Tsiolkovsky (1857-1935) الذي اشتقها لأول مرة.

في التطبيق العملي ، المتغير الخامسه عادة ما يتم استبداله بسرعة غاز العادم الفعالة ، ج. وبالتالي تصبح المعادلة (1.17)

بدلا من ذلك ، يمكننا الكتابة

أين ه هو ثابت رياضي يساوي 2.71828 تقريبًا.

بالنسبة للعديد من مناورات المركبات الفضائية ، من الضروري حساب مدة حرق المحرك المطلوبة لتحقيق تغيير معين في السرعة. إعادة ترتيب المتغيرات ، لدينا

تتضمن عملية الاحتراق أكسدة المكونات الموجودة في الوقود والتي يمكن أن تتأكسد ، وبالتالي يمكن تمثيلها بمعادلة كيميائية. أثناء عملية الاحتراق ، تظل كتلة كل عنصر كما هي. ضع في اعتبارك تفاعل الميثان مع الأكسجين

تنص هذه المعادلة على أن مولًا واحدًا من الميثان يتفاعل مع مولين من الأكسجين لتكوين مول واحد من ثاني أكسيد الكربون ومولان من الماء. وهذا يعني أيضًا أن 16 جرامًا من الميثان تتفاعل مع 64 جرامًا من الأكسجين لتكوين 44 جرامًا من ثاني أكسيد الكربون و 36 جرامًا من الماء. جميع المواد الأولية التي تخضع لعملية الاحتراق تسمى المتفاعلات، والمواد التي تنتج عن عملية الاحتراق تسمى منتجات.

تفاعل الاحتراق أعلاه هو مثال على أ خليط متكافئ، أي أن هناك ما يكفي من الأكسجين للتفاعل كيميائيًا مع كل الوقود. يتم تحقيق أعلى درجة حرارة للهب في ظل هذه الظروف ، ولكن من المرغوب غالبًا تشغيل محرك صاروخي بنسبة خليط "غني بالوقود". نسبة الخليط يُعرَّف بأنه التدفق الكتلي للمؤكسد مقسومًا على تدفق كتلة الوقود.

ضع في اعتبارك التفاعل التالي للكيروسين (1) مع الأكسجين ،

بالنظر إلى الوزن الجزيئي لـ C12ح26 هو 170 و O2 هو 32 ، لدينا نسبة خليط من

وهو نموذجي للعديد من محركات الصواريخ التي تستخدم وقود الكيروسين أو RP-1.

عادةً ما تكون نسبة المزج المثلى هي تلك التي ستوفر أعلى أداء للمحرك (تقاس بـ دافع محدد) ، ولكن في بعض الحالات ، تؤدي نسبة O / F المختلفة إلى نظام شامل أفضل. بالنسبة لمركبة محدودة الحجم ذات وقود منخفض الكثافة مثل الهيدروجين السائل ، يمكن تحقيق تخفيضات كبيرة في حجم السيارة عن طريق التحول إلى نسبة O / F أعلى. في هذه الحالة ، يتم تعويض الخسائر في الأداء عن طريق انخفاض متطلبات خزان الوقود. ضع في اعتبارك أيضًا مثال أنظمة bipropellant باستخدام NTO / MMH ، حيث ينتج عن نسبة خليط تبلغ 1.67 خزانات وقود ومؤكسد متساوية الحجم. يبسط الحجم المتساوي تصنيع الخزان وتعبئة النظام والتكامل.

كما رأينا سابقًا ، فإن الدفع النبضي يساوي ناتج معدل تدفق كتلة الوقود وسرعة طرد غاز العادم. يتم إعطاء سرعة العادم المثالية

أين ك هي نسبة الحرارة النوعية ، ص * هو ثابت الغاز العالمي (8،314.4621 J / kmol-K بوحدات SI ، أو 49720 قدم - رطل / (سبيكة - مول) - o R في الوحدات الأمريكية) ، تيج هي درجة حرارة الاحتراق ، م هو متوسط ​​الوزن الجزيئي لغازات العادم ، صج هو ضغط غرفة الاحتراق ، و صه هو الضغط عند مخرج الفوهة.

تختلف نسبة الحرارة النوعية (2) تبعًا لتكوين غازات العادم ودرجة حرارتها ، ولكنها عادة ما تكون حوالي 1.2. تعتبر الديناميكا الحرارية المتضمنة في حساب درجات حرارة الاحتراق معقدة للغاية ، ومع ذلك ، تتراوح درجات حرارة اللهب عمومًا من حوالي 2500 إلى 3600 درجة مئوية (4500-6500 درجة فهرنهايت). يمكن أن تتراوح ضغوط الغرفة من حوالي 7 إلى 250 ضغط جوي. صه يجب أن يكون مساوياً للضغط المحيط الذي سيعمل عنده المحرك ، والمزيد حول هذا لاحقًا.

من المعادلة (1.22) نرى أن ارتفاع درجة حرارة الغرفة والضغط ، وانخفاض الوزن الجزيئي لغاز العادم يؤدي إلى سرعة طرد عالية ، وبالتالي قوة دفع عالية. بناءً على هذا المعيار ، يمكننا أن نرى سبب رغبة الهيدروجين السائل كوقود للصواريخ.

وتجدر الإشارة إلى أنه في عملية الاحتراق سيكون هناك تفكك للجزيئات بين المنتجات. أي أن الحرارة العالية للاحتراق تؤدي إلى فصل الجزيئات إلى مكونات أبسط تكون قادرة بعد ذلك على إعادة الاتحاد. ضع في اعتبارك تفاعل الكيروسين مع الأكسجين. ستكون المنتجات الحقيقية للاحتراق عبارة عن مزيج متوازن من الذرات والجزيئات التي تتكون من C ، و CO ، و CO2، ح ح2، ح2O و H O و O و O2. التفكك له تأثير كبير على درجة حرارة اللهب.

إذا كنت ترغب في معرفة المزيد عن الديناميكا الحرارية لمحركات الصواريخ ، يرجى قراءة الملحق الديناميكا الحرارية للصواريخ.

أو يمكنك تخطي كل العلوم والبحث فقط عن الأرقام التي تحتاجها. انظر مخططات احتراق الوقود لإيجاد نسبة الخليط المثلى ، ودرجة حرارة اللهب الحافظة للحرارة ، والوزن الجزيئي للغاز ، ونسبة الحرارة النوعية لبعض أنواع وقود الصواريخ الشائعة.

الدافع المحدد للصاروخ ، أناص، هي نسبة الدفع إلى معدل تدفق الوزن المقذوف ، أي

أين F هو التوجه ، ف هو معدل التدفق الشامل ، و زا هي الجاذبية القياسية (9.80665 م / ث 2).

يتم التعبير عن الدافع المحدد في ثوانٍ. عندما يظل الدفع ومعدل التدفق ثابتًا طوال فترة احتراق الوقود الدافع ، يكون الدافع المحدد هو الوقت الذي يوفر فيه محرك الصاروخ قوة دفع مساوية لوزن المادة الدافعة المستهلكة.

بالنسبة لمحرك معين ، فإن الدافع المحدد له قيم مختلفة على الأرض وفي فراغ الفضاء لأن الضغط المحيط متضمن في التعبير عن الدفع. لذلك من المهم تحديد ما إذا كان الدافع المحدد هو القيمة عند مستوى سطح البحر أو في الفراغ.

هناك عدد من الخسائر داخل محرك الصاروخ ، أهمها تتعلق بعدم كفاءة عملية التفاعل الكيميائي (الاحتراق) ، والخسائر بسبب الفوهة ، والخسائر الناجمة عن المضخات. بشكل عام ، تؤثر الخسائر على كفاءة الدافع المحدد. هذه هي نسبة الدافع الحقيقي المحدد (عند مستوى سطح البحر ، أو في الفراغ) والدافع النوعي النظري الذي تم الحصول عليه بفوهة مثالية من الغازات القادمة من تفاعل كيميائي كامل. القيم المحسوبة لنبض معين أعلى بعدة بالمائة من تلك التي تم تحقيقها في الممارسة.

من المعادلة (1.8) يمكننا التعويض qC ل F في المعادلة (1.23) ، وبالتالي الحصول على

المعادلة (1.24) مفيدة جدًا عند حل المعادلات (1.18) حتى (1.21). من النادر أن نحصل على قيمة ج بشكل مباشر ، ومع ذلك ، فإن الدافع المحدد لمحرك الصاروخ هو معلمة شائعة يمكننا من خلالها الحساب بسهولة ج.

شخصية أخرى مهمة لتقييم أداء الصاروخ هي سرعة العادم المميزة ، C * (تُنطق "C star") ، وهي مقياس للطاقة المتاحة من عملية الاحتراق وتعطى بواسطة

أين صج هو ضغط غرفة الاحتراق و أر هي منطقة فوهة الحلق. سلمت قيم ج * تتراوح من حوالي 1،333 م / ث للهيدرازين أحادي الوقود إلى حوالي 2360 م / ث للأكسجين / الهيدروجين المبرد.

يتكون المحرك الصاروخي النموذجي من الفوهة وغرفة الاحتراق والحاقن ، كما هو موضح في الشكل 1.4. غرفة الاحتراق هي المكان الذي يتم فيه حرق الوقود الدافع تحت ضغط عالٍ.يجب أن تكون الغرفة قوية بما يكفي لاحتواء الضغط العالي الناتج عن عملية الاحتراق ودرجة الحرارة المرتفعة الناتجة عنها. بسبب ارتفاع درجة الحرارة وانتقال الحرارة ، عادة ما يتم تبريد الحجرة والفوهة. يجب أن تكون الحجرة بطول كافٍ لضمان الاحتراق الكامل قبل دخول الغازات إلى الفوهة.

تتمثل وظيفة الفوهة في تحويل الطاقة الكيميائية الحرارية المتولدة في غرفة الاحتراق إلى طاقة حركية. تقوم الفوهة بتحويل الغاز البطيء الحركة والضغط العالي ودرجة الحرارة المرتفعة في غرفة الاحتراق إلى غاز عالي السرعة ذي ضغط ودرجة حرارة منخفضين. نظرًا لأن الدفع هو ناتج الكتلة والسرعة ، فمن المستحسن الحصول على سرعة غاز عالية جدًا. تتكون الفوهات من قسم متقارب ومتباعد. تسمى منطقة التدفق الدنيا بين القسم المتقارب والمتباعد بفوهة الحلق. تسمى منطقة التدفق في نهاية قسم التباعد منطقة خروج الفوهة. عادة ما تكون الفوهة طويلة بما يكفي (أو تكون منطقة الخروج كبيرة بما يكفي) بحيث يتم تقليل الضغط في غرفة الاحتراق عند خروج الفوهة إلى الضغط الموجود خارج الفوهة. تحت هذا الشرط ، صه= صأ أين صه هو الضغط عند مخرج الفوهة و صأ هو الضغط المحيط الخارجي ، وهذا الدفع هو الحد الأقصى ويقال أن الفوهة تتكيف ، وتسمى أيضًا التمدد الأمثل أو الصحيح. متي صه أكبر من صأ، الفوهة تحت ممتدة. عندما يكون العكس صحيحًا ، يتم تمديده بشكل مفرط.

لذلك نرى أن الفوهة مصممة للارتفاع الذي يجب أن تعمل عليه. على سطح الأرض ، عند الضغط الجوي لمستوى سطح البحر (0.1 ميجا باسكال أو 14.7 رطل / بوصة مربعة) ، يكون تصريف غازات العادم محدودًا بفصل النفاثة عن جدار الفوهة. في الفراغ الكوني ، هذا القيد المادي غير موجود. لذلك ، يجب أن يكون هناك نوعان مختلفان من المحركات والفوهات ، تلك التي تدفع المرحلة الأولى من مركبة الإطلاق عبر الغلاف الجوي ، وتلك التي تدفع المراحل اللاحقة أو تتحكم في اتجاه المركبة الفضائية في فراغ الفضاء.

منطقة فوهة الحلق ، أر، يمكن العثور عليها إذا كان معدل التدفق الكلي للوقود الدافع معروفًا وتم اختيار الوقود الدافع وظروف التشغيل. بافتراض نظرية قانون الغاز المثالي ، لدينا

أين ف هو معدل تدفق الكتلة الدافعة ، صر هو ضغط الغاز في فوهة الحلق ، تير هي درجة حرارة الغاز في فوهة الحلق ، ص * هو ثابت الغاز العام ، و ك هي نسبة الحرارة النوعية. صر و تير أعطيت من قبل

أين صج هو ضغط غرفة الاحتراق و تيج هي درجة حرارة اللهب في غرفة الاحتراق.

يجب أن تتمدد الغازات الساخنة في القسم المتباعد من الفوهة للحصول على أقصى قوة دفع. سينخفض ​​ضغط هذه الغازات مع استخدام الطاقة لتسريع الغاز. يجب أن نجد تلك المنطقة من الفوهة حيث يكون ضغط الغاز مساويًا للضغط الجوي الخارجي. ستكون هذه المنطقة بعد ذلك منطقة خروج الفوهة.

عدد ماخ نم هي نسبة سرعة الغاز إلى سرعة الصوت المحلية. يتم الحصول على رقم Mach عند مخرج الفوهة من خلال التعبير المثالي لتمدد الغاز

أين صأ هو ضغط الجو المحيط.

منطقة خروج الفوهة ، أه، المقابلة لرقم خروج ماخ معطاة

يتم تعريف نسبة القسم ، أو نسبة التوسع ، على أنها منطقة الخروج أه مقسومًا على منطقة الحلق أر.

بالنسبة لمركبات الإطلاق (خاصة المراحل الأولى) حيث يتغير الضغط المحيط أثناء فترة الاحتراق ، يتم إجراء حسابات المسار لتحديد ضغط الخروج الأمثل. ومع ذلك ، فإن القيد الإضافي هو أقصى قطر مسموح به لمخروط خروج الفوهة ، والذي يكون في بعض الحالات هو القيد المحدد. هذا صحيح بشكل خاص في المراحل الأخرى غير الأولى ، حيث قد لا يكون قطر الفوهة أكبر من القطر الخارجي للمرحلة أدناه. بالنسبة للمحركات الفضائية ، حيث يكون الضغط المحيط صفرًا ، يزداد الدفع دائمًا مع زيادة نسبة تمدد الفوهة. في هذه المحركات ، يتم زيادة نسبة تمدد الفوهة بشكل عام حتى يكلف الوزن الإضافي للفوهة الأطول أداءً أعلى من الدفع الإضافي الذي تولده.

(للحصول على معلومات إضافية ، يرجى الاطلاع على الملحق رقم 1: تحسين التوسع لتحقيق أقصى قوة دفع.)

نظرًا لأن سرعة تدفق الغازات في القسم المتقارب من فوهة الصاروخ منخفضة نسبيًا ، فإن أي قسم فوهات متقاربة أملس ومستدير جيدًا سيكون له فقد طاقة منخفض للغاية. على النقيض من ذلك ، فإن محيط قسم الفوهة المتباينة مهم جدًا للأداء ، بسبب سرعات التدفق العالية جدًا التي ينطوي عليها الأمر. يتأثر اختيار شكل الفوهة الأمثل لنسبة توسع معينة بشكل عام باعتبارات وأهداف التصميم التالية: (1) تدفق غاز موحد ومتوازي ومحوري عند مخرج الفوهة لأقصى قوة دفع ، (2) الحد الأدنى من خسائر الفصل والاضطراب داخل الفوهة ، (3) أقصر طول للفوهة ممكن للحد الأدنى من مساحة المغلف والوزن وفقد الاحتكاك بالجدار ومتطلبات التبريد و (4) سهولة التصنيع.

فوهة مخروطية: في التطبيقات المبكرة لمحركات الصواريخ ، تم استخدام الفوهة المخروطية ، والتي أثبتت أنها مرضية في معظم النواحي ، بشكل حصري تقريبًا. تتيح الفوهة المخروطية سهولة التصنيع والمرونة في تحويل التصميم الحالي إلى نسبة تمدد أعلى أو أقل دون إعادة تصميم كبيرة.

يظهر تكوين فوهة مخروطية نموذجية في الشكل 1.4. يحتوي قسم فوهة الحلق على محيط قوس دائري بنصف قطر صتتراوح من 0.25 إلى 0.75 مرة قطر الحلق ، در. يمكن أن تتراوح نصف زاوية قسم المخروط المتقارب للفوهة من 20 إلى 45 درجة. يتراوح نصف الزاوية المخروطي المتباين من حوالي 12 إلى 18 درجة. أصبحت الفوهة المخروطية بزاوية نصف متباعدة بمقدار 15 درجة معيارًا تقريبًا لأنها حل وسط جيد على أساس الوزن والطول والأداء.

نظرًا لحدوث خسائر أداء معينة في فوهة مخروطية نتيجة للمكون غير المحوري لسرعة غاز العادم ، يتم تطبيق عامل التصحيح في حساب زخم خروج الغاز. هذا العامل (كفاءة الدفع) هو النسبة بين زخم خروج الغاز للفوهة المخروطية وزخم الفوهة المثالية ذات التدفق الغازي المنتظم والمتوازي والمحوري. يمكن التعبير عن قيمة بالمعادلة التالية:

فوهة الجرس: للحصول على أداء أعلى وطول أقصر ، طور المهندسون فوهة على شكل جرس. يستخدم قسمًا سريع التمدد (تدفق شعاعي) في منطقة التباعد الأولية ، مما يؤدي إلى تدفق موحد وموجه محوريًا عند مخرج الفوهة. يتم تغيير محيط الجدار تدريجياً بما يكفي لمنع الصدمات المائلة.

تُستخدم فوهة مخروطية نصف زاوية مكافئة بزاوية 15 درجة كمعيار لتحديد فوهات الجرس. على سبيل المثال ، يبلغ طول فوهة الجرس 80٪ (المسافة بين الحلق ومستوى الخروج) 80٪ من فوهة مخروطية نصف زاوية 15 درجة لها نفس منطقة الحلق ونصف القطر أسفل الحلق ونسبة توسيع المنطقة. لا تساهم أطوال فوهة الجرس التي تزيد عن 80٪ تقريبًا في الأداء ، خاصةً عند مراعاة عقوبات الوزن. ومع ذلك ، يمكن أن تكون أطوال فوهة الجرس التي تصل إلى 100٪ مثالية للتطبيقات التي تشدد على الأداء العالي جدًا.

تستخدم إحدى الطرق الملائمة لتصميم محيط فوهة جرس الدفع الأمثل تقريبًا إجراءات التقريب المكافئ التي اقترحها G.V.R. راو. يظهر تكوين تصميم فوهة جرس تقريب مكافئ في الشكل 1.5. محيط الفوهة مباشرة في أعلى الحلق تي قوس دائري نصف قطره 1.5 صر. يتكون محيط فوهة القسم المتباين من قسم مدخل دائري نصف قطره 0.382 صر من الحلق تي الى حد، الى درجة ن والقطع المكافئ من هناك إلى المخرج ه.

يتطلب تصميم فوهة معينة البيانات التالية: قطر الحلق در، الطول المحوري للفوهة من الحلق إلى الخروج من الطائرة إلن (أو الطول الكسري المطلوب ، إلF، على أساس فوهة مخروطية 15 درجة) ، نسبة التمدد ، زاوية الجدار الأولية للقطع المكافئ ن، وزاوية خروج فوهة الحائط ه. زوايا الحائط ن و ه في الشكل 1.6 كدالة لنسبة التوسع. يمكن تقريب حدود الفوهة المثلى بدقة شديدة عن طريق اختيار المدخلات المناسبة. على الرغم من عدم وجود السماح بتركيبات دافعة مختلفة ، فقد أظهرت التجربة تأثيرًا صغيرًا فقط لنسبة الحرارة المحددة على المحيط.

تعمل غرفة الاحتراق كغلاف للاحتفاظ بالوقود الدافع لفترة كافية لضمان الخلط والاحتراق الكاملين. وقت البقاء المطلوب ، أو وقت بقاء الاحتراق ، هو دالة للعديد من المعلمات. حجم غرفة الاحتراق المطلوب نظريًا هو دالة لمعدل تدفق الكتلة للوقود ، ومتوسط ​​كثافة منتجات الاحتراق ، ووقت البقاء اللازم للاحتراق الفعال. يمكن التعبير عن هذه العلاقة بالمعادلة التالية:

أين الخامسج هو حجم الغرفة ، ف هو معدل تدفق الكتلة الدافعة ، الخامس هو متوسط ​​الحجم المحدد ، و رس هو وقت بقاء الدافع.

المعلمة المفيدة المتعلقة بحجم الغرفة ووقت الإقامة هي الطول المميز ، L * (تُنطق "L star") ، حجم الغرفة مقسومًا على منطقة فوهة الحلق الصوتية

ال لام * مفهوم تصور أسهل بكثير من "وقت بقاء الاحتراق" بعيد المنال ، معبراً عنه في أجزاء صغيرة من الثانية. منذ قيمة أر يتناسب بشكل مباشر تقريبًا مع منتج ف و الخامس, لام * هي في الأساس وظيفة رس.

الطريقة المعتادة لإنشاء لام * يعتمد تصميم غرفة الدفع الجديدة إلى حد كبير على الخبرة السابقة مع الوقود الدافع وحجم المحرك المماثل. في ظل مجموعة معينة من ظروف التشغيل ، مثل نوع الوقود الدافع ، ونسبة الخليط ، وضغط الغرفة ، وتصميم الحاقن ، وهندسة الحجرة ، فإن قيمة الحد الأدنى المطلوب لام * لا يمكن تقييمها إلا من خلال عمليات الإطلاق الفعلية لغرف الدفع التجريبية. عادي لام * يتم عرض القيم لمختلف أنواع الوقود في الجدول أدناه. مع منطقة الحلق والحد الأدنى المطلوب لام * تم إنشاؤه ، يمكن حساب حجم الغرفة بالمعادلة (1.33).

الجدول 1: الطول المميز للغرفة ، L *

مزيج دافع L * ، سم
حمض النيتريك / وقود قاعدة الهيدرازين 76-89
رابع أكسيد النيتروجين / وقود قاعدة الهيدرازين 76-89
بيروكسيد الهيدروجين / RP-1 (بما في ذلك طبقة المحفز) 152-178
الأكسجين السائل / RP-1 102-127
الأكسجين السائل / الأمونيا 76-102
الأكسجين السائل / الهيدروجين السائل (GH2 حقنة) 56-71
الأكسجين السائل / الهيدروجين السائل (LH2 حقنة) 76-102
الفلور السائل / الهيدروجين السائل (GH2 حقنة) 56-66
الفلور السائل / الهيدروجين السائل (LH2 حقنة) 64-76
الفلور السائل / الهيدرازين 61-71
الكلور ثلاثي فلوريد / وقود قاعدة الهيدرازين 51-89

تم استخدام ثلاثة أشكال هندسية في تصميم غرفة الاحتراق - كروية وشبه كروية وأسطوانية - مع استخدام الغرفة الأسطوانية بشكل متكرر في الولايات المتحدة. بالمقارنة مع الغرفة الأسطوانية من نفس الحجم ، توفر الغرفة الكروية أو شبه الكروية ميزة سطح تبريد ووزن أقل ، ومع ذلك ، فإن الغرفة الكروية أكثر صعوبة في التصنيع وقدمت أداءً ضعيفًا في نواحٍ أخرى.

تتطلب عملية الاحتراق الكلي ، بدءًا من حقن المواد المتفاعلة حتى اكتمال التفاعلات الكيميائية وتحويل المنتجات إلى غازات ساخنة ، كميات محدودة من الوقت والحجم ، كما يعبر عنها الطول المميز لام *. قيمة هذا العامل أكبر بكثير من الطول الخطي بين وجه الحاقن ومستوى الحلق. ال نسبة الانكماش تُعرَّف بأنها المنطقة المستعرضة الرئيسية للحارق مقسومة على منطقة الحلق. عادةً ما يتم تصنيع المحركات الكبيرة بنسبة تقلص منخفضة وتستخدم الغرف الطويلة نسبيًا والحجرات الأصغر نسبة انكماش كبيرة بطول أقصر ، مع توفير ما يكفي من لام * للتبخير الكافي والاحتراق في الوقت المناسب.

كمكان جيد للبدء ، تفحص عملية تحديد حجم غرفة الاحتراق الجديدة أبعاد التصميمات الناجحة سابقًا في نفس فئة الحجم وتخطيط هذه البيانات بطريقة عقلانية. يمكن إنشاء حجم الحلق للمحرك الجديد بدرجة معقولة من الثقة ، لذلك من المنطقي رسم البيانات من المصادر التاريخية فيما يتعلق بقطر الحلق. الشكل 1.7 يرسم طول الغرفة كدالة لقطر الحلق (مع معادلة تقريبية). من المهم ألا يتم تطبيق ناتج أي برنامج نمذجة بطريقة عبودية ، ولكن يتم اعتباره نقطة انطلاق منطقية لحجم محرك معين.

تم تحديد العناصر الأساسية لغرفة الدفع الأسطوانية في الشكل 1.4. في ممارسة التصميم ، تم تعريفًا تعسفيًا أن حجم غرفة الاحتراق يشتمل على المسافة بين وجه الحاقن ومستوى حلق الفوهة. يمكن التعبير عن الحجم التقريبي لغرفة الاحتراق بالمعادلة التالية:

معادلة إعادة الترتيب (1.34) نحصل على ما يلي ، والذي يمكن حله لقطر الغرفة عن طريق التكرار:

يقوم الحاقن ، كما يوحي الاسم ، بحقن المواد الدافعة في غرفة الاحتراق بالنسب الصحيحة والظروف المناسبة لإنتاج عملية احتراق فعالة ومستقرة. عند وضعه في الطرف الأمامي أو العلوي من غرفة الاحتراق ، يؤدي الحاقن أيضًا المهمة الهيكلية لإغلاق الجزء العلوي من غرفة الاحتراق مقابل الضغط العالي ودرجة الحرارة التي تحتويها. تمت مقارنة الحاقن بالمكربن ​​لمحرك السيارة ، لأنه يوفر الوقود والمؤكسد بالمعدلات المناسبة وبالنسب الصحيحة ، قد تكون هذه مقارنة مناسبة. ومع ذلك ، فإن الحاقن ، الموجود مباشرة فوق الاحتراق عالي الضغط ، يؤدي العديد من الوظائف الأخرى المتعلقة بعمليات الاحتراق والتبريد وهو أكثر أهمية لوظيفة محرك الصاروخ من المكربن ​​لمحرك السيارة.

لا يوجد أي مكون آخر لمحرك الصاروخ له تأثير كبير على أداء المحرك مثل تأثير الحاقن. في التطبيقات المختلفة والمختلفة ، قد يكون للحاقنات المصممة جيدًا انتشار واسع إلى حد ما في كفاءة الاحتراق ، وليس من غير المألوف بالنسبة للحاقن باستخدام ج * كفاءة منخفضة تصل إلى 92٪ تعتبر مقبولة. يمكن تحسين المحركات الصغيرة المصممة لأغراض خاصة ، مثل التحكم في الموقف ، للاستجابة وخفة الوزن على حساب كفاءة الاحتراق ، ويمكن اعتبارها مرضية للغاية حتى إذا انخفضت الكفاءة عن 90٪. بشكل عام ، ومع ذلك ، فقد أثبتت أنظمة الحقن المصممة جيدًا مؤخرًا ج * تقترب الكفاءات من 100٪ من الناحية النظرية لدرجة أن القدرة على قياس هذه المعلمة هي العامل المحدد في تحديدها. تنبع المستويات العالية من كفاءة الاحتراق من التوزيع المنتظم لنسبة الخليط المرغوبة والترذيذ الدقيق للوقود السائل. يجب أن يتم الخلط الموضعي في نمط رش عنصر الحقن على مستوى مجهري تقريبًا لضمان كفاءة احتراق تقترب من 100٪.

يعد استقرار الاحتراق أيضًا مطلبًا مهمًا جدًا لتصميم حاقن مرضٍ. في ظل ظروف معينة ، تتولد موجات الصدمة والانفجار عن طريق الاضطرابات المحلية في الغرفة ، والتي ربما تكون ناجمة عن التقلبات في الخلط أو تدفق الوقود. قد يؤدي ذلك إلى تذبذبات الضغط التي يتم تضخيمها والحفاظ عليها من خلال عمليات الاحتراق. هذه الموجات عالية السعة - يشار إليها باسم عدم استقرار الاحتراق - تنتج مستويات عالية من الاهتزاز وتدفق الحرارة يمكن أن تكون مدمرة للغاية. لذلك فإن جزءًا كبيرًا من جهود التصميم والتطوير يتعلق بالاحتراق المستقر. يمكن أن يصبح الأداء العالي ثانويًا إذا تم تشغيل الحاقن بسهولة في حالة عدم استقرار مدمر ، ويبدو أن العديد من معلمات الحاقن التي توفر أداءً عاليًا تقلل من هامش الاستقرار.

يمكن تصنيف محركات الصواريخ البيبروبيلان السائل وفقًا لدورات طاقتها ، أي كيفية اشتقاق الطاقة لتغذية الوقود الدافع إلى غرفة الاحتراق الرئيسية. الموصوفة أدناه هي بعض الأنواع الأكثر شيوعًا.

دورة مولد الغاز: دورة مولد الغاز ، وتسمى أيضًا دورة مفتوحة، يستخرج كمية صغيرة من الوقود والمؤكسد من التدفق الرئيسي (عادة من 2 إلى 7 في المائة) لتغذية موقد يسمى مولد الغاز. يمر الغاز الساخن من هذا المولد عبر التوربينات لتوليد الطاقة للمضخات التي ترسل الوقود الدافع إلى غرفة الاحتراق. ثم يتم إلقاء الغاز الساخن في البحر أو إرساله إلى الفوهة الرئيسية في اتجاه مجرى النهر. تؤدي زيادة تدفق الوقود الدافع إلى مولد الغاز إلى زيادة سرعة التوربين ، مما يزيد من تدفق الوقود الدافع إلى غرفة الاحتراق الرئيسية ، وبالتالي كمية الدفع الناتجة. يجب أن يحرق مولد الغاز الوقود بنسبة خليط أقل من الأمثل للحفاظ على درجة حرارة منخفضة لشفرات التوربينات. وبالتالي ، فإن الدورة مناسبة لمتطلبات الطاقة المعتدلة ولكن ليست أنظمة الطاقة العالية ، والتي سيتعين عليها تحويل جزء كبير من التدفق الرئيسي إلى تدفق مولد الغاز الأقل كفاءة.

كما هو الحال في معظم محركات الصواريخ ، يتم استخدام بعض الوقود الدافع في دورة مولد الغاز لتبريد الفوهة وغرفة الاحتراق ، مما يزيد من الكفاءة ويسمح بارتفاع درجة حرارة المحرك.

دورة الاحتراق المرحلي: في دورة احتراق مرحلية ، تسمى أيضًا دورة مغلقة، يتم حرق الوقود على مراحل. مثل دورة مولد الغاز ، تحتوي هذه الدورة أيضًا على موقد ، يسمى بريبورنر ، لتوليد الغاز من أجل التوربينات. ينفجر المحرق المسبق ويحرق كمية صغيرة من دافع واحد وكمية كبيرة من الآخر ، مما ينتج عنه خليط غاز ساخن غني بالمؤكسد أو غني بالوقود يكون في الغالب دافعًا مبخرًا غير محترق. ثم يتم تمرير هذا الغاز الساخن عبر التوربين ، وحقنه في الحجرة الرئيسية ، وحرقه مرة أخرى مع الوقود الدافع المتبقي. الميزة على دورة مولد الغاز هي أن جميع الوقود الدافع يتم حرقه بنسبة خليط مثالية في الغرفة الرئيسية ولا يتم تفريغ أي تدفق في البحر. غالبًا ما تُستخدم دورة الاحتراق المرحلية للتطبيقات عالية الطاقة. كلما زاد ضغط الغرفة ، كلما كان المحرك أصغر وأخف وزنًا يمكن أن ينتج نفس الدفع. تكلفة التطوير لهذه الدورة أعلى لأن الضغوط العالية تعقد عملية التطوير. العيوب الأخرى هي ظروف التوربينات القاسية ، والأنابيب ذات درجة الحرارة المرتفعة اللازمة لنقل الغازات الساخنة ، وتصميمات تحكم معقدة للغاية.

اخترع المهندسون السوفييت الاحتراق التدريجي وظهر لأول مرة في عام 1960.في الغرب ، تم بناء أول محرك اختبار احتراق على مراحل في ألمانيا في عام 1963.

دورة المتوسع: تشبه دورة الموسع دورة الاحتراق المرحلية ولكنها لا تحتوي على جهاز حرق مسبق. تعمل الحرارة في غلاف التبريد لغرفة الاحتراق الرئيسية على تبخير الوقود. ثم يُمرر بخار الوقود عبر التوربين ويُحقن في الحجرة الرئيسية ليحترق بالمؤكسد. تعمل هذه الدورة مع أنواع الوقود مثل الهيدروجين أو الميثان ، والتي لها نقطة غليان منخفضة ويمكن تبخيرها بسهولة. كما هو الحال مع دورة الاحتراق المرحلي ، يتم حرق جميع الوقود الدافع بنسبة الخليط الأمثل في الغرفة الرئيسية ، وعادة لا يتم تفريغ أي تدفق في الخارج ، ومع ذلك ، فإن نقل الحرارة إلى الوقود يحد من الطاقة المتاحة للتوربين ، مما يجعل هذه الدورة مناسبة للمحركات الصغيرة والمتوسطة الحجم. أحد أشكال النظام هو دورة التوسيع المفتوحة أو النازفة ، والتي تستخدم جزءًا فقط من الوقود لتشغيل التوربين. في هذا الاختلاف ، يتم تفريغ عادم التوربين في البحر للضغط المحيط لزيادة نسبة ضغط التوربين وخرج الطاقة. يمكن أن يحقق هذا ضغوطًا أعلى للغرفة من دورة الموسع المغلقة على الرغم من انخفاض الكفاءة بسبب التدفق الزائد.

دورة الضغط: أبسط نظام ، دورة التغذية بالضغط ، لا يحتوي على مضخات أو توربينات ولكنه يعتمد بدلاً من ذلك على ضغط الخزان لتغذية الوقود الدافع إلى الغرفة الرئيسية. من الناحية العملية ، تقتصر الدورة على ضغوط الغرفة المنخفضة نسبيًا لأن الضغوط العالية تجعل خزانات السيارة ثقيلة جدًا. يمكن أن تكون الدورة موثوقة ، نظرًا لتقليل عدد الأجزاء وتعقيدها مقارنةً بالأنظمة الأخرى.

يتم احتواء الحرارة الناتجة أثناء الاحتراق في محرك الصاروخ داخل غازات العادم. يتم طرد معظم هذه الحرارة مع الغاز الذي يحتويها ، ومع ذلك ، يتم نقل الحرارة إلى جدران غرفة الدفع بكميات كافية تتطلب الانتباه.

يتم تصنيف تصميمات غرفة الدفع بشكل عام أو تحديدها بواسطة طريقة تبريد جدار الغاز الساخن أو تكوين ممرات سائل التبريد ، حيث قد يصل ضغط سائل التبريد بالداخل إلى 500 ضغط جوي. تمثل درجات حرارة الاحتراق المرتفعة (2500 إلى 3600 درجة مئوية) ومعدلات نقل الحرارة المرتفعة (حتى 16 كيلو جول / سم 2-ثانية) في غرفة الاحتراق تحديًا هائلاً للمصمم. لمواجهة هذا التحدي ، تم استخدام العديد من تقنيات تبريد الغرفة بنجاح. يعتمد اختيار طريقة التبريد المثلى لغرفة الدفع على العديد من الاعتبارات ، مثل نوع الوقود الدافع ، وضغط الغرفة ، وضغط سائل التبريد المتاح ، وتكوين غرفة الاحتراق ، ومواد غرفة الاحتراق.

التبريد التجديدي هي الطريقة الأكثر استخدامًا لتبريد غرفة الدفع ويتم تحقيقها عن طريق تدفق سائل التبريد عالي السرعة على الجانب الخلفي لجدار الغاز الساخن للغرفة لتبريد بطانة الغاز الساخنة بالحمل. يتم بعد ذلك تفريغ المبرد مع المدخلات الحرارية من تبريد البطانة في الحاقن واستخدامه كوقود دافع.

تصميمات غرفة الدفع السابقة ، مثل V-2 و Redstone ، كانت ذات ضغط منخفض للغرفة ، وتدفق حرارة منخفض ومتطلبات ضغط تبريد منخفض ، والتي يمكن تلبيتها من خلال تصميم مبسط "لغرفة مزدوجة الجدار" مع تبريد متجدد وغشاء. ومع ذلك ، بالنسبة للتطبيقات اللاحقة لمحركات الصواريخ ، تم زيادة ضغط الغرفة وأصبح تلبية متطلبات التبريد أكثر صعوبة. أصبح من الضروري تصميم تكوينات جديدة للمبرد تكون أكثر كفاءة من الناحية الهيكلية وتحسن خصائص نقل الحرارة.

أدى ذلك إلى تصميم غرف الدفع "ذات الجدار الأنبوبي" ، وهي إلى حد بعيد نهج التصميم الأكثر استخدامًا في الغالبية العظمى من تطبيقات محركات الصواريخ الكبيرة. تم استخدام تصميمات الغرف هذه بنجاح في Thor و Jupiter و Atlas و H-1 و J-2 و F-1 و RS-27 والعديد من تطبيقات محركات الصواريخ الأخرى التابعة للقوات الجوية ووكالة ناسا. الميزة الأساسية للتصميم هي خفة وزنه وقاعدة الخبرة الكبيرة التي تراكمت. ولكن مع استمرار زيادة ضغوط الغرفة وتدفق حرارة جدار الغاز الساخن (& gt100 atm) ، لا تزال هناك حاجة إلى طرق أكثر فاعلية.

كان أحد الحلول هو غرف الدفع "جدار القناة" ، وقد سميت بذلك لأن تبريد جدار الغاز الساخن يتم عن طريق تدفق سائل التبريد عبر قنوات مستطيلة ، والتي يتم تشكيلها أو تشكيلها في بطانة غاز ساخنة مصنوعة من مادة عالية التوصيل ، مثل النحاس أو سبيكة نحاسية. مثال رئيسي على غرفة احتراق جدار القناة هو SSME ، التي تعمل عند 204 ضغط جوي اسمي للغرفة عند 3600 كلفن لمدة 520 ثانية. نقل الحرارة والخصائص الهيكلية ممتازة.

بالإضافة إلى التصميمات المبردة المتجددة المذكورة أعلاه ، تم تصنيع تصميمات أخرى لغرفة الدفع لمحركات الصواريخ باستخدام تبريد التفريغ وتبريد الغشاء وتبريد النتح والبطانات الجر والتبريد الإشعاعي. على الرغم من أن غرف الاحتراق المبردة بشكل متجدد قد أثبتت أنها أفضل طريقة لتبريد محركات الصواريخ الكبيرة السائلة ، فقد تم أيضًا استخدام طرق أخرى للتبريد بنجاح في تبريد مجموعات غرف الدفع. الامثله تشمل:

تفريغ التبريد، وهو مشابه للتبريد التجديدي لأن المبرد يتدفق عبر ممرات صغيرة على الجانب الخلفي لجدار غرفة الدفع. ومع ذلك ، فإن الاختلاف هو أنه بعد تبريد غرفة الدفع ، يتم تفريغ المبرد في الخارج من خلال الفتحات الموجودة في الطرف الخلفي للفوهة المتباينة. هذه الطريقة محدودة التطبيق بسبب فقدان الأداء الناتج عن تفريغ المبرد في الخارج. حتى الآن ، لم يتم استخدام التبريد التفريغ في التطبيق الفعلي.

تبريد الفيلم يوفر الحماية من الحرارة الزائدة عن طريق إدخال غشاء رقيق من المبرد أو الدافع من خلال الفتحات حول محيط الحاقن أو من خلال الفتحات المتعددة في جدار الغرفة بالقرب من الحاقن أو منطقة الحلق. تُستخدم هذه الطريقة عادةً في مناطق التدفق الحراري المرتفع وبالاقتران مع التبريد المتجدد.

النتح يوفر التبريد المبرد (سواء كان وقودًا غازيًا أو سائلًا) من خلال جدار حجرة مسامي بمعدل كافٍ للحفاظ على جدار الغاز الساخن للغرفة إلى درجة الحرارة المطلوبة. هذه التقنية هي بالفعل حالة خاصة لتبريد الغشاء.

مع التبريد بالجر، يتم التضحية بمواد جدار غاز الاحتراق عن طريق الصهر والتبخير والتغييرات الكيميائية لتبديد الحرارة. نتيجة لذلك ، تتدفق الغازات الباردة نسبيًا على سطح الجدار ، مما يؤدي إلى خفض درجة حرارة الطبقة الحدودية والمساعدة في عملية التبريد.

مع التبريد الإشعاعي، تشع الحرارة من السطح الخارجي لغرفة الاحتراق أو جدار تمديد الفوهة. يستخدم التبريد الإشعاعي عادةً في غرف الدفع الصغيرة ذات مادة الجدار ذات درجة الحرارة العالية (المقاومة للصهر) وفي مناطق التدفق المنخفض الحرارة ، مثل امتداد الفوهة.

تخزن محركات الصواريخ الصلبة الوقود الدافع في شكل صلب. وعادة ما يكون الوقود عبارة عن مسحوق من الألومنيوم والمؤكسد هو فوق كلورات الأمونيوم. مادة رابطة من المطاط الصناعي مثل البولي بوتادين تحافظ على الوقود ومساحيق المؤكسد معًا. على الرغم من أن أداء محرك الصاروخ الصلب أقل أداءً من صواريخ الوقود السائل ، إلا أنه غالبًا ما يجعله نظام الدفع المفضل.

تحدد هندسة الوقود الصلب مساحة الأسطح المكشوفة وخطوطها ، وبالتالي نمط الاحتراق. هناك نوعان رئيسيان من كتل الوقود الصلب المستخدمة في صناعة الفضاء. هذه كتل أسطوانية ، مع احتراق في المقدمة أو السطح ، وكتل أسطوانية مع احتراق داخلي. في الحالة الأولى ، تنتقل مقدمة اللهب في طبقات من طرف فوهة الكتلة باتجاه الجزء العلوي من الغلاف. ينتج هذا الموقد النهائي المزعوم دفعًا ثابتًا طوال الحرق. في الحالة الثانية ، الأكثر شيوعًا ، يتطور سطح الاحتراق على طول القناة المركزية. في بعض الأحيان يكون للقناة شكل نجمة ، أو شكل هندسي آخر لتخفيف نمو هذا السطح.

يتم اختيار شكل كتلة الوقود للصاروخ لنوع المهمة التي سينفذها. نظرًا لأن احتراق الكتلة يتقدم من سطحها الحر ، مع نمو هذا السطح ، تحدد الاعتبارات الهندسية ما إذا كان الدفع يزيد أو ينقص أو يظل ثابتًا.

تعمل كتل الوقود ذات القناة الأسطوانية (1) على تطوير قوة الدفع بشكل تدريجي. أولئك الذين لديهم قناة وأيضًا أسطوانة مركزية للوقود (2) تنتج دفعًا ثابتًا نسبيًا ، مما يقلل إلى الصفر بسرعة كبيرة عند استهلاك الوقود. يطور المظهر الجانبي للنجمة الخماسية (3) قوة دفع ثابتة نسبيًا تنخفض ببطء إلى الصفر مع استهلاك الوقود الأخير. ينتج المظهر الجانبي "الصليبي" (4) قوة دفع أقل بشكل تدريجي. ينتج الوقود الموجود في كتلة ذات شكل "مرساة مزدوجة" (5) قوة دفع متناقصة تسقط بسرعة بالقرب من نهاية الحرق. ينتج المظهر الجانبي "الترس" (6) دفعًا داخليًا قويًا ، يليه دفع منخفض ثابت تقريبًا.

يتراجع السطح المحترق لحبوب دافع الصواريخ في اتجاه عمودي على هذا السطح المحترق. يُطلق على معدل الانحدار ، الذي يُقاس عادةً بالمليمترات في الثانية (أو بوصة في الثانية) معدل الاحتراق. يمكن أن يختلف هذا المعدل اختلافًا كبيرًا بالنسبة للدفعات المختلفة ، أو لوقود دفع معين ، اعتمادًا على ظروف التشغيل المختلفة بالإضافة إلى الصياغة. إن معرفة معدل احتراق مادة دافعة من الناحية الكمية ، وكيف يتغير في ظل ظروف مختلفة ، أمر ذو أهمية أساسية في التصميم الناجح لمحرك صاروخي صلب.

    يتأثر معدل الحرق بشدة بضغط الغرفة. التمثيل المعتاد لاعتماد الضغط على معدل الحرق هو قانون سانت روبرت ،

أين ص هو معدل الحرق ، أ هو معامل معدل الحرق ، ن هو الأس الضغط ، و صج هو ضغط غرفة الاحتراق. قيم أ و ن يتم تحديدها تجريبيًا لتركيبة دافعة معينة ولا يمكن التنبؤ بها نظريًا. من المهم أن ندرك أن مجموعة واحدة من أ ، ن القيم عادة صالحة على مدى ضغط مميز. قد يكون من الضروري وجود أكثر من مجموعة واحدة لتمثيل نظام الضغط الكامل للمصلحة بدقة.

مثال أ ، ن القيم هي 5.6059 * (الضغط في ميجا باسكال ، ومعدل الاحتراق بالملم / ثانية) و 0.35 على التوالي لمكوك الفضاء SRBs ، والتي تعطي معدل حرق يبلغ 9.34 ملم / ثانية عند متوسط ​​ضغط الغرفة 4.3 ميجا باسكال.

من المستحسن في بعض الأحيان تعديل معدل الحرق بحيث يكون أكثر ملاءمة لتكوين معين للحبوب. على سبيل المثال ، إذا رغب المرء في تصميم حبة نهاية الموقد ، والتي تحتوي على مساحة احتراق صغيرة نسبيًا ، فمن الضروري أن يكون لديك دافع سريع الاحتراق. في ظروف أخرى ، قد يتم البحث عن معدل حرق مخفض. على سبيل المثال ، قد يكون للمحرك نسبة L / D كبيرة لتوليد قوة دفع عالية بما فيه الكفاية ، أو قد يكون من الضروري لتصميم معين لتقييد قطر المحرك. سيكون الويب بالتالي ضعيفًا ، مما ينتج عنه مدة حرق قصيرة. سيكون من المفيد تقليل معدل الحرق.

    يبدو أن تأثير حجم جسيم المؤكسد على معدل الاحتراق يتأثر بنوع المؤكسد. الدوافع التي تستخدم فوق كلورات الأمونيوم (AP) كمؤكسد لها معدل حرق يتأثر بشكل كبير بحجم جسيم AP. ينتج هذا على الأرجح عن تحلل الـ AP باعتباره الخطوة المحددة للمعدل في عملية الاحتراق.

معدل توليد المنتج

يتم التعبير عن معدل إنتاج نواتج الاحتراق من حيث سرعة الانحدار للحبوب. معدل توليد المنتج المتكامل على مساحة سطح الميناء هو

أين ف هو معدل توليد منتج الاحتراق على سطح الوقود ، ص هي كثافة الوقود الصلب ، أب هي مساحة السطح المحترق ، و ص هو معدل حرق الوقود.

إذا كانت كثافة الوقود غير معروف ، فيمكن اشتقاقها من جزء الكتلة وكثافة المكونات الفردية ، على النحو التالي:

أين ث هو الكسر الكتلي والرقم السفلي أنا يدل على المكونات الفردية. هذا ال مثالي كثافة فعلي عادة ما تكون الكثافة 94٪ -97٪ من الكثافة المثالية ، بسبب الفراغات الصغيرة في الحبوب ، وتعتمد على تقنية التصنيع.

من المهم ملاحظة أن منتجات الاحتراق قد تتكون من كل من الكتلة الغازية والطور المكثف. قد تكون المرحلة المكثفة ، التي تظهر على شكل دخان ، إما جسيمات صلبة أو سائلة. تساهم المنتجات الغازية فقط في تطوير الضغط. من المؤكد أن المرحلة المكثفة تساهم في دفع محرك الصاروخ ، بسبب كتلته وسرعته.

  • لا يمكن لهذا الجزء من كتلة الاحتراق القيام بأي عمل تمدد ، وبالتالي لا يساهم في تسريع تدفق العادم.
  • يقلل الوزن الجزيئي الفعال الأعلى لهذه المنتجات من سرعة العادم المميزة ، C *.
  • بسبب القصور الذاتي الحراري ، يتم إخراج حرارة الأنواع المكثفة جزئيًا من الفوهة قبل نقل هذه الحرارة إلى الغاز المحيط ، وبالتالي لا يتم تحويلها إلى طاقة حركية. هذا هو المعروف باسم التأخر الحراري للجسيمات.
  • وبالمثل ، نظرًا للكتلة الكبيرة نسبيًا للجسيمات (مقارنة بالغازات) ، لا يمكن لهذه الجزيئات أن تتسارع بنفس سرعة الغازات المحيطة ، خاصة في ذلك الجزء من الفوهة حيث يكون تسارع التدفق مرتفعًا للغاية (منطقة الحلق). يعتمد تسريع الجسيمات على مقاومة الاحتكاك في تدفق الغاز ، مما يستلزم سرعة تفاضلية. النتيجة النهائية هي أن جسيمات المرحلة المكثفة تخرج من الفوهة بسرعة أقل من الغازات. يشار إلى هذا باسم تأخر سرعة الجسيمات.

يُظهر منحنى الضغط لمحرك الصاروخ سلوك حالة عابر وثابت. المراحل العابرة هي عندما يتغير الضغط بشكل كبير مع الوقت و - أثناء مرحلة الإشعال وبدء التشغيل ، وبعد استهلاك الحبوب الكامل (أو شبه الكامل) عندما ينخفض ​​الضغط إلى المستوى المحيط أثناء مرحلة الذيل. تباين ضغط الغرفة أثناء مرحلة حرق الحالة المستقرة يرجع أساسًا إلى اختلاف هندسة الحبوب مع اختلاف معدل الاحتراق المصاحب. ومع ذلك ، قد تلعب عوامل أخرى دورًا ، مثل تآكل فوهة الحلق وزيادة معدل الحرق التآكلي.

  • عندما يشير نظام التحكم في الموقف إلى تشغيل الدافع ، يتم فتح صمام كهربائي لولبي للسماح بتدفق الهيدرازين. قد يكون الإجراء نابضًا (قصيرًا يصل إلى 5 مللي ثانية) أو لمدة طويلة (حالة ثابتة).
  • الضغط في خزان الوقود يدفع الهيدرازين السائل إلى الحاقن. يدخل كرذاذ في غرفة الدفع ويتصل بأسرة المحفز.
  • يتكون طبقة المحفز من حبيبات الألومينا المشبعة بالإيريديوم. يسخن الهيدرازين الوارد إلى نقطة التبخر من خلال ملامسة طبقة المحفز والغازات الساخنة التي تترك جزيئات المحفز. ترتفع درجة حرارة الهيدرازين إلى درجة يصبح فيها معدل تحللها مرتفعًا جدًا بحيث تكون التفاعلات الكيميائية مكتفية ذاتيًا.
  • من خلال التحكم في متغيرات التدفق وهندسة حجرة المحفز ، يمكن للمصمم تخصيص نسبة المنتجات الكيميائية ودرجة حرارة العادم والوزن الجزيئي وبالتالي المحتوى الحراري لتطبيق معين. بالنسبة لتطبيق الدافع حيث يكون الدافع المحدد أمرًا بالغ الأهمية ، يحاول المصمم توفير تفكك الأمونيا بنسبة 30-40 ٪ ، وهو أقل نسبة يمكن الحفاظ عليها بشكل موثوق. بالنسبة لتطبيق مولدات الغاز ، حيث تكون غازات درجات الحرارة المنخفضة مرغوبة عادة ، يوفر المصمم مستويات أعلى من تفكك الأمونيا.
  • أخيرًا ، في الدافع الفضائي ، تترك منتجات تحلل الهيدرازين طبقة المحفز وتخرج من الغرفة عبر فوهة عادم ذات نسبة تمدد عالية لإنتاج قوة الدفع.

تنتج دفعات الهيدرازين أحادية المادة نبضة محددة تتراوح من 230 إلى 240 ثانية.

الدوافع المناسبة الأخرى لمحركات التحلل التحفيزي هي بيروكسيد الهيدروجين وأكسيد النيتروز ، ومع ذلك فإن الأداء أقل بكثير من ذلك الذي تم الحصول عليه باستخدام نبضة خاصة بالهيدرازين تبلغ حوالي 150 ثانية مع H2ا2 وحوالي 170 ثانية مع N.2س.

لقد نجحت أنظمة monopropellant في توفير وظائف صيانة المدار والتحكم في الموقف ، ولكنها تفتقر إلى الأداء لتوفير الوزن الفعال الكبير الخامس المناورات المطلوبة لإدخال المدار. تعتبر أنظمة Bipropellant جذابة لأنها يمكن أن توفر جميع الوظائف الثلاث مع نظام أداء أعلى واحد ، لكنها أكثر تعقيدًا من الصواريخ الصلبة الشائعة والأنظمة أحادية المادة المركبة. البديل الثالث نمط مزدوج الأنظمة. هذه الأنظمة عبارة عن تصميمات هجينة تستخدم الهيدرازين كوقود لمحركات ثنائية الدفع عالية الأداء وكمادة أحادية الاتجاه مع محركات الدفع الحفازة التقليدية منخفضة الدفع. يتم تغذية الهيدرازين إلى كل من المحركات ثنائية الاتجاه والدفاعات أحادية الحركة من خزان وقود مشترك.

دفع الغاز البارد هو مجرد مصدر غاز مضغوط مضغوط وفوهة. إنه يمثل أبسط شكل لمحرك الصواريخ. للغاز البارد العديد من التطبيقات حيث تكون البساطة و / أو الحاجة إلى تجنب الغازات الساخنة أكثر أهمية من الأداء العالي. وحدة المناورة المأهولة التي يستخدمها رواد الفضاء هي مثال على مثل هذا النظام.

تسمح الصواريخ متعددة المراحل بقدرة حمولة محسنة للمركبات التي تتطلب متطلبات V عالية مثل مركبات الإطلاق أو المركبات الفضائية بين الكواكب. في صاروخ متعدد المراحل ، يتم تخزين الوقود الدافع في خزانات أصغر ومنفصلة بدلاً من خزان واحد أكبر كما هو الحال في صاروخ أحادي المرحلة. نظرًا لأنه يتم التخلص من كل خزان عندما يكون فارغًا ، لا يتم إنفاق الطاقة لتسريع الخزانات الفارغة ، لذلك يتم الحصول على إجمالي V أعلى. بدلاً من ذلك ، يمكن تسريع كتلة حمولة أكبر إلى نفس إجمالي V. للراحة ، يتم عادةً تجميع الخزانات المنفصلة مع محركاتها الخاصة ، مع كل وحدة قابلة للتخلص تسمى a المسرح.

يتم وصف أداء الصواريخ متعددة المراحل في نفس معادلة الصواريخ مثل الصواريخ أحادية المرحلة ، ولكن يجب تحديدها على أساس مرحلة بمرحلة. زيادة السرعة Vأنا، لكل مرحلة يتم احتسابها كما كان من قبل ،

أين مأوي يمثل إجمالي كتلة السيارة عند المرحلة أنا اشتعلت و مفاي هي الكتلة الكلية للمركبة عند المرحلة أنا محترق ولكن لم يتم التخلص منها بعد. من المهم أن ندرك أن كتلة الحمولة لأي مرحلة تتكون من كتلة جميع المراحل اللاحقة بالإضافة إلى الحمولة النهائية نفسها. زيادة السرعة للمركبة إذن هي مجموع تلك للمراحل الفردية حيث ن هو العدد الإجمالي للمراحل.

نحدد ال جزء الحمولة كنسبة كتلة الحمولة إلى الكتلة الأولية ، أو مرر/ ما.

بالنسبة لمركبة متعددة المراحل ذات مراحل غير متشابهة ، يعتمد جزء الحمولة الإجمالية للمركبة على كيفية تقسيم متطلبات V بين المراحل. سيتم تقليل كسور الحمولة الصافية إذا تم تقسيم V بشكل غير مثالي. يمكن تحديد التوزيع الأمثل عن طريق التجربة والخطأ. يتم افتراض توزيع V وحساب جزء الحمولة الناتج. يتنوع توزيع V حتى يتم تكبير جزء الحمولة الصافية. بمجرد تحديد التوزيع V ، يتم إنجاز حجم السيارة بالبدء بالمرحلة العلوية أو النهائية (التي تكون حمولتها هي الحمولة الفعلية القابلة للتسليم) وحساب الكتلة الأولية لهذا التجميع. ثم يشكل هذا التجميع الحمولة للمرحلة السابقة وتتكرر العملية حتى يتم تحديد حجم جميع المراحل. تكشف النتائج أنه لتعظيم جزء الحمولة النافعة لمتطلبات V معينة:

1. مراحل مع أعلى أناص يجب أن يكون فوق المراحل مع المستوى الأدنى Iص.
2. يجب توفير المزيد من V بالمراحل ذات المستوى الأعلى Iص.
3. يجب أن تكون كل مرحلة لاحقة أصغر من سابقتها.
4. يجب أن توفر المراحل المماثلة نفس V.

تم جمعها وتحريرها وكتابتها جزئيًا بواسطة Robert A. Braeunig ، 1997 ، 2005 ، 2007 ، 2009 ، 2012.
فهرس


محتويات

يُعطى لاغرانج في النظرية بمجموع كثافات أويلر الممتدة الأبعاد ، ويمكن كتابتها على النحو التالي

أين صμν αβ يمثل موتر ريمان وأين دلتا كرونيكر المعممة δ يُعرَّف بأنه المنتج غير المتماثل

حيث يرى المرء هذا الاقتران α0 يتوافق مع الثابت الكوني Λ ، بينما αن مع ن ≥ 2 عبارة عن ثوابت اقتران للمصطلحات الإضافية التي تمثل تصحيحات فوق بنفسجية لنظرية أينشتاين ، والتي تتضمن تقلصات ذات رتبة أعلى لموتّر ريمان صμν αβ . على وجه الخصوص ، مصطلح من الدرجة الثانية

هو بالضبط مصطلح Gauss – Bonnet التربيعي ، وهو النسخة الموسعة الأبعاد لكثافة أويلر رباعية الأبعاد.

هو ثابت طوبولوجي ، يمكننا حذف مصطلح موتر Riemann وبالتالي يمكننا وضع Lovelock Lagrangian في النموذج


12.3: الحركة في الفضاء - الرياضيات

كود المصدر الاختياري وبرامج العرض التوضيحي بتنسيق بورلاند بيسك (التفاصيل هنا) 15.95 دولارًا

كود المصدر الاختياري وبرامج العرض التوضيحي بتنسيق بورلاند باسكال (التفاصيل هنا) 15.95 دولارًا

أساسيات الميكانيكا السماوية هو نص تمهيدي يجب أن يكون في متناول أي قارئ لديه خلفية في حساب التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية الأولية. تمت مراجعة النسخة الأصلية (المنشورة في عام 1962) بشكل جذري ، ويتم التركيز على الحساب. يتم اشتقاق التحليل العددي المطلوب للحسابات ، ويتم تضمين نماذج البرامج (التي يتم تشغيلها على كمبيوتر شخصي من نوع IBM). هناك فصول تمهيدية عن الخلفية الفلكية وميكانيكا الاتجاه. تشمل الأقسام التي تتناول مشكلة الهيئتين استخدام المتغيرات العامة ، وعدة طرق (بما في ذلك طريقة Laguerre) لحل معادلة كبلر ، وثلاث طرق لحل مشكلة قيمة حد النقطتين. يتضمن الفصل الخاص بتحديد المدارات نسختين من طريقة جاوس ، تطبيق المربعات الصغرى ومقدمة للطرق العودية. تم توسيع الفصل الخاص بالطرق العددية ، ليشمل ثلاث طرق للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية ، أحدها يحتوي على تحكم كامل في حجم الخطوات. هناك أيضًا فصول عن الاضطرابات ، ومشاكل الجسم الثلاثي والني ، وحركة القمر ودوران الأرض والقمر. يتضمن الملحق جداول رقمية ومشتقات لخصائص المقاطع المخروطية المستخدمة في النص. يتضمن النص عدة مئات من المشاكل ، ومشروعات حاسوبية مقترحة. تتوفر قوائم الكمبيوتر الموجودة في الكتاب بشكل منفصل ، إلى جانب مجموعة مختارة من البرامج الأخرى ، على قرص مدمج.

النص متاح للطلاب الجامعيين أو طلاب الدراسات العليا في الرياضيات أو الفيزياء أو الهندسة أو علم الفلك. كحد أدنى من المتطلبات ، يُفترض أن المستخدم قد تلقى دورات تمهيدية في حساب التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية والميكانيكا. يتم تطوير موضوعات أخرى ، مثل التحليل العددي ، في النص حسب الحاجة. هناك الكثير من المواد لفصلين دراسيين لذلك يمكن تصميم دورة فصل دراسي واحد بعدة طرق (حتى مع استبعاد جميع الحوسبة).

من المحكمين:

... تعتبر المجموعة المختارة من العلماء والمهندسين الذين كرسوا حياتهم المهنية للميكانيكا السماوية أن كتاب المؤلف ذا أهمية أساسية. ظهرت النسخة الأصلية لعام 1962 عندما عمل المؤلف في جامعة ييل مع العديد من العمالقة في مجالنا (بروير ، كليمنس ، إيكرت ، هاجيهارا ، هرجيت ، إلخ). تم تجاوز التأثير الكبير للطبعة الأصلية في مجالنا من خلال الإصدار الثاني الحالي والمعدّل والموسّع بشكل ملحوظ. غالبًا ما أشار المؤلف إلى كتابه على أنه & quotFun في الميكانيكا السماوية & quot ؛ وبينما كان هذا صحيحًا بالتأكيد بالنسبة للإصدار الأصلي ، إلا أنه ينطبق بشكل أكبر على الطبعة الثانية. تؤكد الإضافات المهمة التي تظهر في هذا الإصدار على الحسابات والتحليل العددي الأساسيين في الميكانيكا السماوية. إن إدراج المؤلف لقائمة بعض البرامج موضع ترحيب كبير وسيساعد الطلاب وسيوفر وقتًا كبيرًا. قد يكون استخدامه للغة BASIC كلغة لإدراج البرامج اختيارًا مثيرًا للجدل ولكنه يعتبر أحد اللغات الممتازة للحسابات العلمية.

يتم تمثيل كفاءة المؤلف كمدرس يقدم رؤية بانورامية لموضوعه بشكل أفضل في الفصل المخصص للإجراءات العددية. توضح مناقشته لمفاهيم & quotr الاحترام الأخطاء & quot (أخطاء التقريب والاقتطاع) و & quotblunders & quot كيف يقود القارئ على طول الطريق الجميل ولكن الصعب للميكانيكا السماوية العددية. يحتوي الكتاب على العديد من الأمثلة والمشكلات المختارة جيدًا ، ويقدم خلفية فلكية صلبة ، ويعطي تفاصيل العناصر المادية والمدارية للكواكب والمذنبات ، ويسرد المراجع الأساسية.

منذ أن تم وضع أول قمر صناعي في المدار ، مما أدى إلى بدء عصر الفضاء ، ظهرت العديد من الكتب المدرسية التمهيدية في الأدبيات. يتميز كتاب المؤلف & # 146s عن نظرائه لعدة أسباب تجعله أحد النصوص البارزة: أسلوب واضح ومقروء ومفهوم ، والتركيز على المناهج العددية ، وتقديم خلفية فلكية واستخدام تحليل المتجهات. يوصى بشدة بهذا الكتاب التمهيدي الممتاز لدورات البكالوريوس في الميكانيكا السماوية وديناميكيات المدار والديناميكا الفلكية.

المراجعات الرياضية & # 151 الجمعية الرياضية الأمريكية

إصدار جديد من أساسيات الميكانيكا السماوية هو مشهد مرحب به لأولئك منا الذين يقومون بتدريس هذا الموضوع للطلاب الجامعيين المتقدمين أو طلاب الدراسات العليا المبتدئين. . . كانت إحدى أفضل ميزات النسخة الأصلية هي تنوعها الكبير في المشاكل والتمارين ، والإصدار الجديد يحتوي على أكثر من ذلك. أدت الأقسام الموسعة والمواد الجديدة إلى توسيع نطاق تطبيقات النص. . . هذه الطبعة الثانية من Danby's Fundamentals of Celestial Mechanics ستصبح أيضًا كلاسيكية.

تمت مراجعة هذا الإصدار الثاني وتوسيعه بشكل كبير ويوضح بطريقة مثيرة كيف أن استخدام أجهزة الكمبيوتر من جميع الأحجام سمح للمعلمين والطلاب على حد سواء باكتساب فهم أعمق لموضوع يتطلب حسابًا رقميًا كبيرًا. (إنها) بالتأكيد إضافة قيمة إلى مكتبة شخصية أي معلم. كما أنها رخيصة بما يكفي للطلاب المهتمين بالتفاصيل الدقيقة للحساب العددي للمدارات ، لشراء نسختهم الخاصة.
المرصد

1. الخلفية الفلكية 1
1.1 مقدمة 1
1.2 بعض التعاريف 2
1.3 التعريفات المدارية 3
1.4 قوانين Kepler & # 146s 4
1.5 الوحدة الفلكية 5
1.6 قانون Bode & # 146s 5
1.7 الملاحظات الفلكية 6
1.8 الكرة السماوية 6
1.9 السبق والتعديل والتباين في خط العرض 9
1.10. الأماكن الحقيقية والظاهرية لجسم سماوي 10
1.11. قياس الوقت 11
2. مقدمة في النواقل 13
2.1. المقاييس والمتجهات 13
2.2. قانون الإضافة 15
2.3 المنتج العددي 19
2.4 منتج المتجه 22
2.5 سرعة المتجه 27
2.6. السرعة الزاوية 29
2.7. محاور دوارة 31
2.8 انحدار عددي 36
2.9 علم المثلثات الكروية 37
3. مقدمة في ميكانيكا الاتجاه 41
3.1. القوى كمتجهات 41
3.2 التعريفات الأساسية 41
3.3 قانون نيوتن & # 146 للحركة 44
3.4. قوانين الطاقة والزخم 45
3.5 الحركة التوافقية البسيطة 47
3.6 الحركة في مجال موحد ، تخضع للمقاومة المتناسبة
إلى السرعة 48
3.7 الحركة الخطية في حقل مربع معكوس 49
3.8 Foucault & # 146s البندول 50
3.9 52- معادلة حركة الصاروخ الخاضع لقوة الدفع الخاصة به
3.10. المشاكل 53
4. المدارات المركزية 57
4.1 خصائص عامة 57
4.2 59- إحتياطي
4.3 62 الصيغ الأساسية الإضافية
4.4 63- الجاذبية
4.5 تعديل آينشتاين & # 146s لمعادلة المدار 67
4.6 الحالة f (r) = n 2 r 68
4.7 الحالة f (r) = m / r3: Cotes & # 146 Spirals 69
4.8 لإيجاد قانون القوة ، بالنظر إلى المدار 71
4.9 The & # 147Universality & # 148 of Newton & # 146s Law 74
4.10. أمثلة عملية 78
4.11. مشاكل 82
5 بعض خواص الأجسام الصلبة 89
5.1 مركز الكتلة ومركز الثقل 89
5.2 لحظات ونواتج القصور الذاتي: موتر القصور الذاتي 90
5.3 احتمالية الكرة 96
5.4. إمكانات جسم بعيد: MacCullagh & # 146s Formula 100
5.5 حقل إليبسويد متجانس 102
5.6 Laplace & # 146s Equation، Legendre Polynomials، Potential of the Earth 112
5.7 تشويه المد والجزر للكرة السائلة تحت تأثير
من كتلة نقطة بعيدة 117
5.8 الأشكال البيضاوية لكتل ​​السوائل الدوارة 120
6. الفصل السادس مشكلة الجسمين 125
6.1 حركة مركز الكتلة 125
6.2 الحركة النسبية 127
6.3 المدار في الزمن 129
6.4. بعض خصائص الحركة 138
6.5. اختيار الوحدات 146
6.6. حل معادلة Kepler & # 146s 149
6.7 162
6.8 مشكلة القيمة الأولية أنا 165
6.9 المتغيرات العالمية 168
6.10. مشكلة القيمة الأولية 2 178
6.11. مشكلة قيمة الحد ذات النقطتين 1 & # 151 تطبيق
نظرية لامبرت و # 146 ثانية 180
6.12. مشكلة قيمة الحد ذات النقطتين II & # 151Gauss & # 146 الطريقة 191
6.13. مشكلة قيمة الحد ذات النقطتين III & # 151 الطريقة هيريك
وليو 195
6.14. بعض التوسعات في Elliptic Motion 198
6.15. المدار في الفضاء 201
6.16. 206
6.17. آثار الانحراف الكوكبي والمنظر 207
6.18. المشاريع 209
7. تحديد المدارات 213
7.1. مقدمة 213
7.2 طريقة لابلاس & # 146 ثانية 217
7.3. Gauss & # 146 طريقة 226
7.4. طريقة Herget & # 146s لمدار أولي يستخدم أكثر من
ثلاث ملاحظات 235
7.5 التصحيح التفاضلي للمدارات 238
7.5.1. مشاريع 244
7.6. استخدام تقدير سابق: الطرق العودية 246
8. مشكلة الأجسام الثلاثة 253
8.1 مشكلة الأجسام الثلاثة المقيدة: Jacobi & # 146s Integral 253
8.2 معيار Tisserand & # 146s لتعريف المذنبات 254
8.3 سطوح السرعة النسبية الصفرية 255
8.4 مواقف التوازن 260
8.5 استقرار نقاط التوازن 262
8.6 حلول لاغرانج لحركة الأجسام المحدودة 266
8.7 مشاكل 270
9. مشكلة الجسم n 273
9.1 مركز الكتلة والمستوى الثابت 273
9.2. تكامل الطاقة ووظيفة القوة 274
9.3 النظرية الفيروسية 276
9.4 نقل الأصل: القوى المقلقة 276
9.5 التطبيق على النظام الشمسي 278
9.6 مشاكل 280
10. الإجراءات العددية 283
10.1. الفروق والمجاميع 283
10.2. الاستيفاء 285
10.3. التفاضل 290
10.4. التكامل 291
10.5. الأخطاء 293
10.6. التكامل العددي للمعادلات التفاضلية & # 151Runge-Kutta
الطرق 296
10.7. التكامل العددي للمعادلات التفاضلية & # 151A متعدد الخطوات
طريقة لأنظمة الترتيب الأول 302
10.8. التكامل العددي للمعادلات التفاضلية & # 151 أنظمة
معادلات الدرجة الثانية 306
11. الاضطرابات 315
11.1. مقدمة 315
11.2. طريقة كويل & # 146 س 319
11.3. طريقة Encke & # 146s 320
11.4. 322- مسعود
11.5. تأثير النبضات الصغيرة على العناصر 323
11.6. المعادلة لـ e 327
11.7. التعديلات عندما تكون المكونات مماسية و
328- مسعود
11.8 331
11.9 المعادلات من حيث & الفقرة R ، والفقرة أ إلخ 331
11.10. بدائل لـ Small e أو i 337
11.11. النهج العام لحل لاجرانج & # 146s الكواكب
المعادلات 337
11.12. 339ـ مصلح
11.13. مناقشة عامة لحل الكواكب من الدرجة الأولى
المعادلات 341
11.14. الاضطرابات العلمانية 343
11.15. حركة قمر صناعي في حقل كوكب مفلطح 345
11.16. حساب تباينات العناصر 349
11.17. مجال النشاط 352
11.18. الطرق العامة 353
11.19. مشاكل 359
12. حركة القمر 371
12.1. مقدمة 371
12.2. القوات المقلقة 372
12.3. إضطراب العقد 374
12.4. اضطراب الميول 376
12.5. اضطرابات؟ و ه 377
12.6. التباين 379
12.7. اضطراب الفترة والمعادلة السنوية 380
12.8 المتفاوت Parallactic Inequality 381
12.9 التسارع العلماني للقمر 382
12.10. نظريات حركة القمر 384
12.11. مشاكل 385
13. الأرض ودورانها 389
13.1. حركة أويلريان للأرض 389
13.2. الزوجان اللذان يمارسهما جسم بعيد على الأرض 391
13.3. الأزواج التي تمارسها الشمس والقمر على الأرض 392
13.4. 395
13.5. 397ـ عقله
13.6. مشاكل 399
14. الفصل 14 القمر ودورانه 401
14.1. 401
14.2. معادلات أويلريان 401
14.3. الليبراسيون في خط الطول 403
14.4. التذبذبات الأخرى 405
14.5. المشاكل 411
الملحق أ. خصائص المخروطيات 413
أ .1. خصائص عامة 413
أ .2. 416
أ -3. بارابولا 418
أ .4. القطع الزائد 420
أ -5. قطب وقطبي 422
الملحق ب. دوران المحاور 425
الملحق ج.القيم العددية 427
ج 1. العناصر المدارية للكواكب 427
ج 2. الأقمار الصناعية: البيانات المدارية والفيزيائية 430
ج 3. العناصر الفيزيائية للكواكب 432
ج 4. الارض 433
ج 5. القمر 434
ج 6. الشمس 435
ج 7. الثوابت الفيزيائية 435
ج 8. بيانات متنوعة 436
الملحق د. توسعات متنوعة في السلسلة 437
د 1. سلسلة f و g 437
د 2. 437- محلول أقراص
الملحق (هـ) حل الأنظمة الخطية 439
الملحق و. الجيل على الكمبيوتر من انحرافات Gaussian 443
الملحق ز.بعض مدارات المذنبات والكواكب الصغرى 445
الملحق هـ الأبجدية اليونانية 449
الملحق الأول المتغيرات العشوائية والمربعات الصغرى 451
الملحق ي. ملاحظات حول ميكانيكا هاميلتوني 457
ي 1. عناصر ميكانيكا لاغرانج 457
ي .2. 458
ي 3. محاضرات عطية 460
ي 4. 462- مسعود عبدالمجيد
ي 5. معادلة هاملتون-جاكوبي 463
ي 6. مشكلة الجسدين 464
ي 7. 465ـ طهيه
المراجع والببليوغرافيا 469
الفهرس 477

تحتوي هذه الأقراص المضغوطة على نفس قوائم برامج IBM-PC BASIC الموجودة في أساسيات الميكانيكا السماوية وسيتم تشغيلها بدون مترجم. يشتمل القرص المضغوط أيضًا على مجموعة من البرامج المكتوبة بلغة Turbo Pascal (الإصدار 3) أو Turbo BASIC. يتم توفير كود المصدر & # 151 ، ستحتاج إلى مترجم Borland المناسب لتشغيل هذه البرامج إذا كنت تريد معالجة الكود دون تعديله لمترجم آخر. تنقسم البرامج إلى ثلاث فئات.

  • الإجراءات المستخدمة أو التي يمكن استخدامها في برامج أخرى.
  • البرامج التي تعنى بالحسابات المتعلقة بالحركة المدارية.
  • البرامج المصممة للاستخدام كعروض توضيحية.

ترتبط الفئة الثانية ارتباطًا وثيقًا بالنص ، أساسيات الميكانيكا السماوية ، الطبعة الثانية. في هذا النص ، يتم تقديم قوائم بالعديد من البرامج في IBM BASIC. تظهر كل هذه البرامج هنا ، بلغة باسكال ، وقد تمت إضافة العديد من البرامج الإضافية.

العديد من البرامج لديها إجراءات مشتركة ، مثل تلك الخاصة بتوليد وظائف Stumpff ، أو لحل معادلة كبلر في المتغيرات العامة. تظهر هذه الإجراءات على القرص المضغوط كملفات منفصلة ، وتتم إضافتها إلى البرامج ذات الصلة بواسطة عبارات "include": على سبيل المثال ، قد يتسبب $ I Kepler في إضافة ملف Kepler إلى البرنامج. تشتمل الأقراص المدمجة على قوائم البرامج الـ 18 من أساسيات البروفيسور دانبي للميكانيكا السماوية وأكثر من 80 عرضًا أو إجراءً.


حساب التفاضل والتكامل الثالث

فيما يلي مجموعة من مشاكل التدريب لملاحظات حساب التفاضل والتكامل III. اضغط على "حل"رابط لكل مشكلة للذهاب إلى الصفحة التي تحتوي على الحل.

لاحظ أن بعض الأقسام ستواجه مشاكل أكثر من غيرها وبعضها سيواجه أكثر أو أقل من مجموعة متنوعة من المشاكل. يجب أن تحتوي معظم الأقسام على مجموعة من مستويات الصعوبة في المشكلات على الرغم من أن هذا سيختلف من قسم إلى آخر.

فيما يلي قائمة بالأقسام التي تمت كتابة مشاكل الممارسة لها بالإضافة إلى وصف موجز للمادة التي تمت تغطيتها في الملاحظات الخاصة بهذا القسم المحدد.

الفضاء ثلاثي الأبعاد - في هذا الفصل سنبدأ في النظر إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد. هذا الفصل هو بشكل عام العمل التحضيري لحساب التفاضل والتكامل III ولذا سنغطي نظام الإحداثيات القياسي ثلاثي الأبعاد بالإضافة إلى نظامين من أنظمة الإحداثيات البديلة. سنناقش أيضًا كيفية إيجاد معادلات الخطوط والمستويات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. سنلقي نظرة على بعض الأسطح القياسية ثلاثية الأبعاد ومعادلاتها. بالإضافة إلى ذلك ، سنقدم وظائف المتجهات وبعض تطبيقاتها (المتجهات المماسية والعادية وطول القوس والانحناء والسرعة والتسارع).


12.3: الحركة في الفضاء - الرياضيات

مدرب: جاستن كانتو
بريد إلكتروني: [email protected]
مكتب: BLOC328B
ساعات العمل: الخميس 2:00 م - 4:00 م او عن طريق موعد (رابط التكبير)
أوقات الدراسة: القسم 301: MWF 10:00 صباحًا - 11:25 صباحًا (رابط التكبير / التصغير)
القسم 302: MWF 2:00 مساءً - 3:25 مساءً (رابط التكبير)

امتحان 1 الموارد (للدراسة وليس للامتحان)

  • إخلاء المسؤولية: لا ينبغي استخدام ما يلي كمصدر وحيد للتحضير للامتحان. يجب عليك أيضًا مراجعة ملاحظات المحاضرات / مقاطع الفيديو ، وملاحظات / مقاطع فيديو الأسبوع في المراجعة ، والاختبارات القصيرة ، والواجب المنزلي.والحلول (من الدورة التدريبية الخاصة بي في Spring2020 ، سأحاول الحصول على هذا المشفر في eCampus للتدرب عليه)
  • الاختبار السابق 1 والحلول (مقدمة من إيمي أوستن ربيع 2017)
  • الامتحان 1 "ملخص"
  • الامتحان 1 ورقة الصيغة
  • ورقة صيغة الاختبار 1 (مكثف)
  • جدول الأسطح الرباعية (pdf) ، جدول الأسطح الرباعية (png)
  • إيمي أوستن ربيع 2020 WIR

امتحان 2 الموارد (للدراسة وليس للامتحان)

  • إخلاء المسؤولية: لا ينبغي استخدام ما يلي كمصدر وحيد للتحضير للامتحان. يجب عليك أيضًا مراجعة ملاحظات المحاضرات / مقاطع الفيديو ، وملاحظات / مقاطع فيديو الأسبوع في المراجعة ، والاختبارات القصيرة ، والواجب المنزلي.
  • الاختبار السابق 2 والحلول (من دورة Spring2020 التي تم ترميزها في eCampus)والحلول (بإذن من إيمي أوستن ربيع 2017 حلول Errata الخاصة بي للمشاكل 17،19)
  • الامتحان 2 الصيغ
  • إيمي أوستن ربيع 2020 WIR

امتحان 3 الموارد (للدراسة وليس للامتحان)

  • إخلاء المسؤولية: لا ينبغي استخدام ما يلي كمصدر وحيد للتحضير للامتحان. يجب عليك أيضًا مراجعة ملاحظات المحاضرات / مقاطع الفيديو ، وملاحظات / مقاطع فيديو الأسبوع في المراجعة ، والاختبارات القصيرة ، والواجب المنزلي.
  • الاختبار السابق 3 والحلول (ملاحظة إيمي أوستن خريف 2018 ، الترتيب الكروي للتكامل هو "rho، phi، theta" مشفر في eCampus)
  • الاختبار السابق 3 والحلول (من دورة Spring2020 الخاصة بي ، كل الخيارات من متعدد وتم حذف 15.9)
  • إيمي أوستن ربيع 2020 WIR

موارد الاختبار النهائي (للدراسة وليس للامتحان)

  • إخلاء المسؤولية: لا ينبغي استخدام ما يلي كمصدر وحيد للتحضير للامتحان. يجب عليك أيضًا مراجعة ملاحظات المحاضرات / مقاطع الفيديو ، وملاحظات / مقاطع فيديو الأسبوع في المراجعة ، والاختبارات القصيرة ، والواجب المنزلي.
  • الاختبار النهائي السابق والحلول (مجاملة من Amy Austin Spring 2017 مشفرة في eCampus)
  • الاختبار النهائي السابق والحلول (من دورة Spring2020 ، جميعها خيارات متعددة)
  • صيغ الاختبار النهائي
  • ربيع 2020 WIR


ملاحظات المحاضرة والجدول المؤقت والإعلانات:


12.3: الحركة في الفضاء - الرياضيات

في هذا القسم ، نحتاج إلى إلقاء نظرة على معادلة الخط المستقيم في (< mathbb^ 3> ). كما رأينا في القسم السابق ، لا تصف المعادلة (y = mx + b ) خطًا في (< mathbb^ 3> ) ، بدلاً من ذلك يصف مستوى. هذا لا يعني مع ذلك أنه لا يمكننا كتابة معادلة لخط في مسافة ثلاثية الأبعاد. سنحتاج فقط إلى طريقة جديدة لكتابة معادلة المنحنى.

لذا ، قبل أن ندخل في معادلات الخطوط ، نحتاج أولاً إلى إلقاء نظرة مختصرة على دوال المتجهات. سنلقي نظرة أكثر تعمقًا على وظائف المتجهات لاحقًا. في هذه المرحلة ، كل ما نحتاج إلى القلق بشأنه هو القضايا الترميزية وكيف يمكن استخدامها لإعطاء معادلة المنحنى.

أفضل طريقة للحصول على فكرة عن ماهية وظيفة المتجه وكيف يبدو الرسم البياني الخاص بها هي إلقاء نظرة على مثال. لذلك ، ضع في اعتبارك وظيفة المتجه التالية.

[ vec r left (t right) = left langle يمين rangle ]

دالة المتجه هي دالة تأخذ متغيرًا واحدًا أو أكثر ، واحدًا في هذه الحالة ، وترجع متجهًا. لاحظ أيضًا أن دالة المتجه يمكن أن تكون دالة لمتغيرين أو أكثر. ومع ذلك ، في هذه الحالات ، قد لا يكون الرسم البياني منحنى في الفضاء.

يمكن أن يكون المتجه الذي تعطيه الدالة متجهًا في أي بُعد نريده. في المثال أعلاه ، تقوم بإرجاع متجه في (< mathbb^ 2> ). عندما نصل إلى الموضوع الحقيقي لهذا القسم ، معادلات الخطوط ، سنستخدم دالة متجه تُرجع متجهًا في (< mathbb^3>)

الآن ، نريد تحديد الرسم البياني لدالة المتجه أعلاه. من أجل العثور على الرسم البياني لوظيفتنا ، سنفكر في المتجه الذي ترجع إليه دالة المتجه كمتجه موضع للنقاط على الرسم البياني. تذكر أن متجه الموقع ، قل ( vec v = left langle يمين rangle ) ، متجه يبدأ من الأصل وينتهي عند النقطة ( يسار ( حق)).

لذا ، للحصول على الرسم البياني لوظيفة متجهية ، كل ما نحتاج إليه هو إدخال بعض قيم المتغير ثم رسم النقطة التي تتوافق مع كل متجه موضع نحصل عليه من الدالة ونقوم بتشغيل توصيل النقاط. فيما يلي بعض التقييمات لمثالنا.

[ vec r left (<- 3> right) = left langle <- 3،1> right rangle hspace <0.25in> hspace <0.25in> vec r left (<- 1> right) = left langle <- 1،1> right rangle hspace <0.25in> hspace <0.25in> vec r left (2 right) = left langle <2 ، 1> يمين rangle hspace <0.25in> hspace <0.25in> vec r left (5 right) = left langle <5،1> right rangle ]

إذن ، كل منها عبارة عن متجهات موضع تمثل نقاطًا على الرسم البياني لدالة المتجه. النقاط،

هي جميع النقاط التي تقع على الرسم البياني لدالة المتجه.

إذا أجرينا المزيد من التقييمات ورسمنا جميع النقاط ، فسنحصل على الرسم التخطيطي التالي.

في هذا الرسم التخطيطي ، قمنا بتضمين متجه الموضع (باللون الرمادي والمتقطع) للعديد من التقييمات بالإضافة إلى (t ) (فوق كل نقطة) التي استخدمناها لكل تقييم. يبدو ، في هذه الحالة ، أن الرسم البياني لمعادلة المتجه هو في الواقع الخط (y = 1 ).

إليك مثال سريع آخر. هذا هو الرسم البياني لـ ( vec r left (t right) = left langle <6 cos t، 3 sin t> right rangle ).

في هذه الحالة نحصل على قطع ناقص. من المهم ألا تخرج من هذا القسم بفكرة أن المتجه يعمل فقط لرسم الخطوط. سننظر في الخطوط في هذا القسم ، ولكن لا يجب أن تكون الرسوم البيانية لوظائف المتجهات خطوطًا كما يوضح المثال أعلاه.

سنترك هذه المناقشة الموجزة لوظائف المتجهات بطريقة أخرى للتفكير في الرسم البياني لدالة المتجه. تخيل أن قلم رصاص / قلم متصل بنهاية متجه الموضع وكلما نزيد المتغير يتحرك متجه الموضع الناتج وعندما يحرك القلم / القلم في النهاية يرسم منحنى دالة المتجه.

حسنًا ، نحتاج الآن إلى الانتقال إلى الموضوع الفعلي لهذا القسم. نريد كتابة معادلة الخط في (< mathbb^ 3> ) وكما هو مقترح في العمل أعلاه ، سنحتاج إلى وظيفة متجه للقيام بذلك. لنرى كيف سنفعل ذلك ، دعونا نفكر فيما نحتاجه لكتابة معادلة الخط في (< mathbb^ 2> ). في بعدين نحتاج إلى الميل ( (م )) والنقطة التي كانت على الخط لكتابة المعادلة.

في (< mathbb^ 3> ) هذا لا يزال كل ما نحتاجه إلا في هذه الحالة لن يكون "المنحدر" رقمًا بسيطًا كما كان في بعدين. في هذه الحالة ، علينا أن ندرك أن الخط يمكن أن يكون له ميل ثلاثي الأبعاد. لذلك ، نحتاج إلى شيء يسمح لنا بوصف اتجاه من المحتمل أن يكون في ثلاثة أبعاد. لدينا بالفعل كمية من شأنها أن تفعل ذلك من أجلنا. تعطي المتجهات اتجاهات ويمكن أن تكون كائنات ثلاثية الأبعاد.

لذلك ، لنبدأ بالمعلومات التالية. افترض أننا نعرف نقطة على الخط ، ( = يسار (<,,> right) ) وهذا ( vec v = left langle right rangle ) عبارة عن متجه موازٍ للخط. لاحظ ، على الأرجح ، لن يكون ( vec v ) على السطر نفسه. نحتاج فقط إلى أن يكون ( vec v ) موازيًا للخط. أخيرًا ، دع (P = left ( right) ) أي نقطة على الخط.

الآن ، نظرًا لأن "المنحدر" لدينا هو متجه ، فلنتحدث أيضًا عن النقطتين على الخط كمتجهات. سنفعل هذا مع متجهات الموقع. لذلك ، دعونا ( overrightarrow <> ) و ( vec r ) يكونان متجهي الموضع لـ ص0 و (P ) على التوالي. أيضًا ، بدون سبب واضح ، دعنا نحدد ( vec a ) لنكون المتجه مع التمثيل ( overrightarrow <ف> ).

لدينا الآن الرسم التخطيطي التالي مع كل هذه النقاط والمتجهات عليه.

الآن ، لقد أظهرنا المتجه المتوازي ، ( vec v ) ، كمتجه للموضع ولكنه لا يحتاج إلى أن يكون متجهًا للموضع. يمكن أن يكون في أي مكان ، متجه موقع ، على الخط أو خارج الخط ، يحتاج فقط إلى أن يكون موازيًا للخط.

بعد ذلك ، لاحظ أنه يمكننا كتابة ( vec r ) على النحو التالي ،

[ vec r = overrightarrow <> + vec a ]

إذا لم تكن متأكدًا من ذلك ، فارجع وتحقق من الرسم التخطيطي لإضافة المتجه في قسم حساب المتجه. الآن ، لاحظ أن المتجهات ( vec a ) و ( vec v ) متوازيتان. لذلك يوجد رقم ، (t ) ، مثل هذا

هذا يسمى شكل متجه لمعادلة الخط. الجزء الوحيد غير المعروف من هذه المعادلة هو (t ). لاحظ أن (t ، vec v ) سيكون متجهًا يقع على طول الخط ويخبرنا إلى أي مدى يجب أن نتحرك بعيدًا عن النقطة الأصلية. إذا كان (t ) موجبًا ، فإننا نبتعد عن النقطة الأصلية في اتجاه ( vec v ) (في مخططنا الصحيح) وإذا كانت (t ) سلبية ، فإننا نبتعد عن النقطة الأصلية في الاتجاه المعاكس لـ ( vec v ) (اليسار في مخططنا). نظرًا لأن (t ) يختلف في جميع القيم الممكنة ، فسنغطي الخط بالكامل. يوضح الرسم التالي هذا الاعتماد على (t ) رسمنا التخطيطي.

هناك عدة أشكال أخرى لمعادلة الخط المستقيم. للحصول على النموذج البديل الأول ، فلنبدأ بالشكل المتجه ونقوم بإعادة كتابة بسيطة.

[يبدأ vec r & = left langle <,,> يمين rangle + t يسار langle يمين rangle يسار langle يمين rangle & = يسار langle <+ تا ، + tb ، + tc> يمين rangle نهاية]

الطريقة الوحيدة لكي يتساوى متجهان هي أن تكون المكونات متساوية. بعبارات أخرى،

هذه المجموعة من المعادلات تسمى الشكل البارامترى لمعادلة الخط. لاحظ أيضًا أن هذا ليس أكثر من امتداد للمعادلات البارامترية التي رأيناها سابقًا. الاختلاف الوحيد هو أننا نعمل الآن في ثلاثة أبعاد بدلاً من بعدين.

للحصول على نقطة على السطر ، كل ما نقوم به هو اختيار (t ) والتوصيل بأي شكل من أشكال السطر. في الشكل المتجه للخط نحصل على متجه موضع للنقطة وفي الصورة البارامترية نحصل على الإحداثيات الفعلية للنقطة.

هناك شكل آخر للخط الذي نريد النظر إليه. إذا افترضنا أن (أ ) و (ب ) و (ج ) كلها أرقام غير صفرية يمكننا حل كل من المعادلات في الصيغة البارامترية للخط لـ (t ). يمكننا بعد ذلك تعيينهم جميعًا على قدم المساواة مع بعضهم البعض لأن (t ) سيكون نفس الرقم في كل منهما. يعطي القيام بذلك ما يلي ،

هذا يسمى المعادلات المتماثلة للخط.

إذا كان أحد (أ ) أو (ب ) أو (ج ) صفرًا ، فلا يزال بإمكاننا كتابة المعادلات المتماثلة. لرؤية هذا ، لنفترض أن (ب = 0 ). في هذه الحالة (t ) لن يكون موجودًا في المعادلة البارامترية لـ (y ) ولذا سنقوم فقط بحل المعادلات البارامترية لـ (x ) و (z ) لـ (t ). ثم نضع تلك المساواة ونعترف بالمعادلة البارامترية لـ (y ) على النحو التالي ،

دعونا نلقي نظرة على مثال.

للقيام بذلك ، نحتاج إلى المتجه ( vec v ) الذي سيكون موازيًا للخط. يمكن أن يكون هذا أي متجه طالما أنه موازٍ للخط. بشكل عام ، لن يقع ( vec v ) على الخط نفسه. ومع ذلك ، في هذه الحالة سوف. كل ما نحتاج إلى فعله هو ترك ( vec v ) المتجه الذي يبدأ من النقطة الثانية وينتهي عند النقطة الأولى. نظرًا لأن هاتين النقطتين على الخط ، فإن المتجه بينهما سيكون أيضًا على الخط ، وبالتالي سيكون موازيًا للخط. وبالتالي،

[ vec v = left langle <1، - 5،6> right rangle ]

لاحظ أنه تم اختيار ترتيب النقاط لتقليل عدد علامات الطرح في المتجه. كان بإمكاننا السير في الاتجاه الآخر بسهولة.

بمجرد أن نحصل على ( vec v ) لا يوجد شيء آخر نفعله. لاستخدام شكل المتجه ، سنحتاج إلى نقطة على الخط. لدينا اثنان ولذا يمكننا استخدام أي منهما. سنستخدم النقطة الأولى. هذا هو الشكل المتجه للخط.

[ vec r = left langle <2، - 1،3> right rangle + t left langle <1، - 5،6> right rangle = left langle <2 + t، - 1-5 طن ، 3 + 6 طن> يمين rangle ]

بمجرد أن نحصل على هذه المعادلة ، يتبع الشكلان الآخران. فيما يلي المعادلات البارامترية للخط.

[يبدأx & = 2 + t y & = - 1-5t z & = 3 + 6t end]

ها هو الشكل المتماثل.

للإجابة على هذا ، سنحتاج أولاً إلى كتابة معادلة الخط المستقيم. نعرف نقطة على الخط ونحتاج فقط إلى متجه متوازي. نعلم أن الخط الجديد يجب أن يكون موازيًا للخط المعطى بواسطة المعادلات البارامترية في بيان المشكلة. هذا يعني أن أي متجه يوازي الخط المعطى يجب أن يكون موازيًا للخط الجديد.

تذكر الآن أنه في الصيغة البارامترية للخط ، فإن الأرقام المضروبة في (t ) هي مكونات المتجه الموازي للخط. لذلك ، فإن المتجه

[ vec v = left langle <3،12، - 1> right rangle ]

موازٍ للخط المعطى ولذا يجب أن يكون موازيًا للخط الجديد.

معادلة الخط الجديد إذن ،

[ vec r = left langle <0، - 3،8> right rangle + t left langle <3،12، - 1> right rangle = left langle <3t، - 3 + 12t، 8 - t> right rangle ]

إذا كان هذا الخط يمر عبر (xz ) - المستوى فإننا نعلم أن إحداثي (y ) - لتلك النقطة يجب أن يكون صفراً. لذلك ، دعونا نضبط مكون (y ) من المعادلة مساويًا للصفر ومعرفة ما إذا كان بإمكاننا حلها من أجل (t ). إذا استطعنا ، فسيعطي هذا قيمة (t ) التي ستمر من خلالها النقطة عبر (xz ) - المستوى.

[- 3 + 12t = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> t = frac <1> <4> ]

إذن ، الخط يمر عبر الطائرة (xz ). للحصول على الإحداثيات الكاملة للنقطة ، كل ما نحتاج إليه هو توصيل (t = frac <1> <4> ) في أي من المعادلات. سنستخدم شكل المتجه.

[ vec r = left langle <3 left ( <4>> right) ، - 3 + 12 left ( <4>> right) ، 8 - frac <1> <4>> يمين rangle = يسار langle <4>،0،frac<<31>> <4>> right rangle ]

تذكر أن هذا المتجه هو متجه الموضع للنقطة الموجودة على الخط ، وبالتالي فإن إحداثيات النقطة التي سيمر فيها الخط عبر (xz ) - الطائرة هي ( يسار (< frac<3> <4> ، 0، frac <<31>> <4>> right) ).


شاهد الفيديو: تصحيح الصفحة 99 فضاء الرياضيات المستوى الثالث ابتدائي (شهر نوفمبر 2021).