مقالات

3.4: الأصفار المعقدة والنظرية الأساسية للجبر - الرياضيات


في القسم 3.3 ، ركزنا على إيجاد الأصفار الحقيقية لدالة كثيرة الحدود. ضع في اعتبارك كثير الحدود (p (x) = x ^ 2 + 1 ). أصفار (p ) هي حلول ​​(x ^ 2 + 1 = 0 ) أو (x ^ 2 = -1 ). لا تحتوي هذه المعادلة على حلول حقيقية ، ولكن قد تتذكر من الجبر المتوسط ​​أنه يمكننا رسميًا استخراج الجذور التربيعية لكلا الجانبين للحصول على (x = pm sqrt {-1} ). عادةً ما تتم إعادة تسمية الكمية ( sqrt {-1} ) (i ) ، أو ما يسمى وحدة خيالية، (i ) (بعض الكتب المدرسية في الرياضيات التقنية تسميه " (j )".) الرقم (i ) ، رغم أنه ليس رقمًا حقيقيًا ، يلعب بشكل جيد مع الأرقام الحقيقية ، ويتصرف مثل أي رقم آخر إلى حد كبير تعبير جذري. على سبيل المثال ، (3 (2i) = 6i ) ، (7i-3i = 4i ) ، ((2-7i) + (3 + 4i) = 5-3i ) ، وهكذا. الخصائص الرئيسية التي تميز (i ) عن الأرقام الحقيقية مذكورة أدناه.

التعريف 3.4: وحدة تخيلية

تحقق الوحدة التخيلية (i ) الخاصيتين التاليتين

  • (أنا ^ 2 = -1 )
  • إذا كان (c ) رقمًا حقيقيًا مع (c geq 0 ) ثم ( sqrt {-c} = i sqrt {c} )

تثبت الخاصية 1 في التعريف 3.4 أن (i ) يعمل كجذر تربيعي لـ (- 1 ) ، وتؤسس الخاصية 2 ما نعنيه بـ "الجذر التربيعي الأساسي" لعدد حقيقي سالب (لاحظ استخدام المقالة غير المحددة "أ". أيا كان الوحش الذي تم اختياره ليكون (i ) ، (- i ) هو الجذر التربيعي الآخر لـ (- 1 )). في الخاصية 2 ، من المهم تذكر التقييد على (ج ). على سبيل المثال ، من المقبول تمامًا أن نقول ( sqrt {-4} = i sqrt {4} = i (2) = 2i ). ومع ذلك ، ( sqrt {- (- 4)} neq i sqrt {-4} ) ، وإلا فسنحصل على

[2 = sqrt {4} = sqrt {- (- 4)} = i sqrt {-4} = i (2i) = 2i ^ 2 = 2 (-1) = -2، ]

وهو أمر غير مقبول. نريد تكبير نظام الأرقام حتى نتمكن من حل أشياء مثل (x ^ 2 = -1 ) ، ولكن ليس على حساب القواعد المعمول بها بالفعل. لهذا السبب ، فإن الخصائص العامة للجذور لا تنطبق ببساطة على الجذور الزوجية للكميات السالبة. نحن الآن في وضع يسمح لنا بتحديد الأعداد المركبة.

التعريف 3.5: رقم مركب

أ عدد مركب هو رقم من النموذج (a + bi ) ، حيث (a ) و (b ) أرقام حقيقية و (i ) هي الوحدة التخيلية.

تتضمن الأرقام المركبة الأشياء التي تتوقعها عادةً ، مثل (3 + 2i ) و ( frac {2} {5} - i sqrt {3} ). ومع ذلك ، لا تنس أن (a ) أو (b ) يمكن أن يكون صفرًا ، مما يعني أن الأرقام مثل (3i ) و (6 ) هي أيضًا أرقام معقدة. بمعنى آخر ، لا تنس أن الأعداد المركبة تضمن الأعداد الحقيقية ، لذلك (0 ) و ( pi - sqrt {21} ) كلاهما يعتبران عددًا مركبًا. حساب الأعداد المركبة كما هو متوقع. الأشياء الوحيدة التي تحتاج إلى تذكرها هي الخاصيتان في التعريف 3.4. يجب أن يساعد المثال التالي في تذكر سلوك هذه الحيوانات.

مثال 3.4.1: حساب رقم مركب

قم بإجراء العمليات المشار إليها. اكتب إجابتك بالصيغة حاشية سفلية {حسنًا ، سنقبل أشياء مثل (3-2i ) على الرغم من أنه يمكن كتابتها كـ (3 + (- 2) i ).} (a + bi ) ).

  1. ((1-2i) - (3 + 4 ط) )
  2. ((1-2i) (3 + 4 ط) )
  3. ( dfrac {1-2i} {3-4i} )
  4. ( sqrt {-3} sqrt {-12} )
  5. ( sqrt {(- 3) (- 12)} )
  6. ((x- [1 + 2i]) (x- [1-2i]) )

حل

  1. كما ذكرنا سابقًا ، نتعامل مع التعبيرات التي تتضمن (i ) كما نتعامل مع أي جذر آخر. نقوم بدمج المصطلحات المتشابهة للحصول على ((1-2i) - (3 + 4i) = 1-2i-3-4i = -2-6i ).
  2. باستخدام خاصية التوزيع ، نحصل على [(1-2i) (3 + 4i) = (1) (3) + (1) (4i) - (2i) (3) - (2i) (4i) = 3+ 4i-6i-8i ^ 2. ] منذ (i ^ 2 = -1 ) ، نحصل على [3 + 4i-6i-8i ^ 2 = 3-2i - (- 8) = 11-2i. ]
  3. كيف بحق السماء يفترض بنا تبسيط ( frac {1-2i} {3-4i} )؟ حسنًا ، نتعامل مع المقام (3-4i ) كما نفعل مع أي مقام آخر يحتوي على جذري ، ونضرب البسط والمقام في (3 + 4i ) (مرافق (3 - 4i )) . يؤدي القيام بذلك إلى إنتاج [ dfrac {1-2i} {3-4i} cdot dfrac {3 + 4i} {3 + 4i} = dfrac {(1-2i) (3 + 4i)} {(3- 4i) (3 + 4i)} = dfrac {11-2i} {25} = dfrac {11} {25} - dfrac {2} {25} ، i ]
  4. نستخدم الخاصية 2 من التعريف 3.4 أولاً ، ثم نطبق قواعد الجذور المطبقة على الجذور الحقيقية للحصول على [ sqrt {-3} sqrt {-12} = left (i sqrt {3} right) left (i sqrt {12} right) = i ^ 2 sqrt {3 cdot 12} = - sqrt {36} = -6. ]
  5. نلتزم بترتيب العمليات هنا ونجري الضرب قبل الجذر لنحصل على ( sqrt {(- 3) (- 12)} = sqrt {36} = 6 ).
  6. يمكننا ضرب القوة الغاشمة باستخدام خاصية التوزيع ونرى أن [ تبدأ {مجموعة} {rclr} (x- [1 + 2i]) (x- [1-2i]) & = & x ^ 2 -x [1 -2i] -x [1 + 2i] + [1-2i] [1 + 2i] & & = & x ^ 2-x + 2ix-x-2ix + 1-2i + 2i-4i ^ 2 & & = & x ^ 2 -2x +5 & end {array} ]

بعض الملاحظات حول المثال الأخير بالترتيب. لأول مرة المترافقة العدد المركب (a + bi ) هو الرقم (a-bi ). الترميز الشائع الاستخدام للاقتران هو 'bar': ( overline {a + bi} = a-bi ). على سبيل المثال ، ( overline {3 + 2i} = 3-2i ) ، ( overline {3-2i} = 3 + 2i ) ، ( overline {6} = 6 ) ، ( خط علوي {4i} = -4i ) و ( overline {3+ sqrt {5}} = 3+ sqrt {5} ). يتم تلخيص خصائص الاتحاد في النظرية التالية.

النظرية 3.12: خصائص المُقترن المركب

لنفترض أن (ض ) و (ث ) أرقام معقدة.

  • ( overline { overline {z}} = z )
  • ( overline {z} + overline {w} = overline {z + w} )
  • ( overline {z} ، overline {w} = overline {zw} )
  • ( left ( overline {z} right) ^ n = overline {z ^ {n}} ) ، لأي رقم طبيعي (n )
  • (z ) هو رقم حقيقي فقط إذا ( overline {z} = z ).

بشكل أساسي ، تقول النظرية 3.12 أن الاقتران المعقد يعمل جيدًا مع الجمع والضرب والقوى. يمكن تحقيق أفضل إثبات لهذه الخصائص من خلال كتابة (z = a + bi ) و (w = c + di ) للأرقام الحقيقية (a ) ، (b ) ، (c ) ) و (د ). بعد ذلك ، نحسب الجانبين الأيسر والأيمن لكل معادلة ونتحقق من أنهما متماثلان. إثبات الملكية الأولى هو تمرين سريع للغاية. لإثبات الخاصية الثانية ، نقارن ( overline {z} + overline {w} ) و ( overline {z + w} ). لدينا ( overline {z} + overline {w} = overline {a + bi} + overline {c + di} = a-bi + c-di ). لإيجاد ( overline {z + w} ) ، نحسب أولاً

[z + w = ​​(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i ]

وبالتالي

[ overline {z + w} = overline {(a + c) + (b + d) i} = (a + c) - (b + d) i = a - bi + c - di ]

على هذا النحو ، أنشأنا ( overline {z} + overline {w} = overline {z + w} ). إثبات الضرب يعمل بالمثل. يمكن النظر إلى الدليل على أن الاتحاد يعمل جيدًا مع القوى على أنه تطبيق متكرر لقاعدة المنتج ، وأفضل إثبات باستخدام تقنية تسمى الاستقراء الرياضي. الخاصية الأخيرة هي توصيف الأعداد الحقيقية. إذا كان (z ) حقيقيًا ، إذن (z = a + 0i ) ، لذلك ( overline {z} = a - 0i = a = z ). من ناحية أخرى ، إذا (z = overline {z} ) ، إذن (a + bi = a - bi ) مما يعني (b = -b ) لذا (b = 0 ). ومن ثم ، (z = a + 0i = a ) وهو حقيقي.

نعود الآن إلى عمل الأصفار. لنفترض أننا نرغب في إيجاد أصفار (f (x) = x ^ 2-2x + 5 ). لحل المعادلة (x ^ 2-2x + 5 = 0 ) ، نلاحظ أن المعادلة التربيعية لا تعمل بشكل جيد ، لذلك نلجأ إلى الصيغة التربيعية ونحصل عليها

[x = dfrac {- (- 2) pm sqrt {(- 2) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)} = dfrac {2 pm sqrt {- 16}} {2} = dfrac {2 pm 4i} {2} = 1 pm 2i. ]

شيئين مهمين أن نلاحظهما. أولاً ، الأصفار (1 + 2i ) و (1-2i ) عبارة عن اتحادات معقدة. إذا حصلنا على أصفار غير حقيقية لدالة تربيعية مع معاملات تسطير {حقيقي} ، فستكون الأصفار زوجًا مترافقًا معقدًا. (هل ترى لماذا؟) بعد ذلك ، نلاحظ أنه في المثال 3.4.1 ، الجزء 6 ، وجدنا

[(x- [1 + 2i]) (x- [1-2i]) = x ^ 2-2x + 5. ]

يوضح هذا أن نظرية العوامل تنطبق حتى على الأصفار غير الحقيقية ، على سبيل المثال ، (x = 1 + 2i ) هي صفر من (f ) ، وبالتأكيد ، ((x- [1 + 2i] ) ) هو عامل (f (x) ). اتضح أن القسمة متعددة الحدود تعمل بنفس الطريقة مع جميع الأعداد المركبة ، الحقيقية وغير الحقيقية على حد سواء ، لذا فإن نظريتي العامل والباقي تنطبقان أيضًا. ولكن كيف نعرف ما إذا كانت كثيرة الحدود العامة بها أي أصفار معقدة على الإطلاق؟ لدينا العديد من الأمثلة على كثيرات الحدود بدون أصفار حقيقية. هل يمكن أن يكون هناك كثيرات حدود بدون أصفار على الإطلاق؟ الجواب على هذا السؤال الأخير هو "لا" والنظرية التي تقدم هذه الإجابة هي النظرية الأساسية في الجبر.

النظرية 3.13: النظرية الأساسية للجبر

لنفترض أن (f ) دالة كثيرة الحدود ذات معاملات عدد معقدة من الدرجة (n geq 1 ) ، ثم (f ) بها صفر مركب واحد على الأقل.

النظرية الأساسية في الجبر هي مثال على نظرية "الوجود" في الرياضيات. مثل نظرية القيمة المتوسطة ، النظرية 3.1 ، تضمن النظرية الأساسية للجبر وجود صفر واحد على الأقل ، لكنها لا تعطينا أي خوارزمية لاستخدامها في إيجاده. في الواقع ، كما ذكرنا في القسم 3.3 ، هناك كثيرات الحدود التي لا يمكن التعبير عن أصفارها الحقيقية ، على الرغم من وجودها ، باستخدام المجموعات "المعتادة" للرموز الحسابية ، ويجب تقريبها. يدرك المؤلفون تمامًا أن التأثير الكامل والطبيعة العميقة للنظرية الأساسية للجبر ضاع لدى معظم الطلاب في هذا المستوى ، ولا بأس بذلك. لقد استغرق علماء الرياضيات حرفياً مئات السنين لإثبات النظرية في عموميتها الكاملة. لاحظ أن النظرية الأساسية للجبر لا تنطبق فقط على الدوال متعددة الحدود ذات المعاملات الحقيقية ، ولكن أيضًا على تلك التي لها معاملات أعداد معقدة.

افترض أن (f ) هو كثير حدود الدرجة (n geq 1 ). تضمن لنا النظرية الأساسية للجبر صفرًا معقدًا واحدًا على الأقل ، (z_ 1 ) ، وعلى هذا النحو ، تضمن نظرية العامل أن (f (x) ) عوامل مثل (f (x) = left (x) - z_ 1 right) q_ 1 (x) ) لوظيفة متعددة الحدود (q_ 1 ) ، من الدرجة بالضبط (n-1 ). إذا كان (n-1 geq 1 ) ، فإن النظرية الأساسية للجبر تضمن صفرًا معقدًا لـ (q_ 1 ) أيضًا ، قل (z_ 2 ) ، لذا فإن نظرية العامل تعطينا (q_ 1 (x) = left (x - z_ 2 right) q_ 2 (x) ) ، وبالتالي (f (x) = left (x - z_ 1 right) left (x - z_ 2 يمين) q_ 2 (x) ). يمكننا متابعة هذه العملية بالضبط (n ) مرات ، وعند هذه النقطة يكون ناتجنا متعدد الحدود (q_ n ) درجة (0 ) لذا فهو ثابت. تعطينا هذه الحجة نظرية العوامل التالية.

نظرية 3.14: نظرية العوامل المعقدة

افترض أن (f ) دالة كثيرة الحدود ذات معاملات عدد مركب. إذا كانت درجة (f ) هي (n ) و (n geq 1 ) ، إذن (f ) تحتوي على (n ) أصفار معقدة ، يتم حساب التعدد. إذا كانت (z_ 1 ) ، (z_ 2 ) ، ... ، (z_ k ) هي الأصفار المميزة لـ (f ) ، مع المضاعفات (m_ 1 ) ، (m_ 2 ) ) ، dots ، (m_ k ) ، على التوالي ، ثم (f (x) = a left (x - z_ 1 right) ^ {m_ 1} left (x - z_ 2 right) ^ { m_ 2} dots left (x - z_ k right) ^ {m_ k} ).

لاحظ أن القيمة (a ) في النظرية 3.14 هي المعامل الرئيسي لـ (f (x) ) (هل يمكنك أن ترى لماذا؟) وعلى هذا النحو ، نرى أن كثير الحدود يتم تحديده تمامًا من خلال أصفارها ، وتعددها ، ومعاملها الرئيسي. نضع هذه النظرية في الاستخدام الجيد في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {2} ): إيجاد الأصفار المركبة

دع (f (x) = 12x ^ 5 - 20x ^ 4 + 19x ^ 3-6x ^ 2-2x + 1 ).

  1. ابحث عن جميع الأصفار المركبة لـ (f ) وحدد تعددها.
  2. حلل (f (x) ) إلى عوامل باستخدام النظرية 3.14

حل

1- نظرًا لأن (f ) هو متعدد الحدود من الدرجة الخامسة ، فنحن نعلم أننا بحاجة إلى إجراء ثلاثة أقسام ناجحة على الأقل لخفض حاصل القسمة إلى دالة تربيعية. عند هذه النقطة ، يمكننا إيجاد الأصفار المتبقية باستخدام الصيغة التربيعية ، إذا لزم الأمر. باستخدام التقنيات المطورة في القسم 3.3 ، نحصل عليها

حاصل القسمة هو (12x ^ 2 - 12x + 12 ) ، والذي نجد أن أصفاره هي ( frac {1 pm i sqrt {3}} {2} ). من النظرية 3.14 ، نعلم أن (f ) يحتوي بالضبط على (5 ) أصفار ، عد المضاعفات ، وعلى هذا النحو لدينا صفر ( frac {1} {2} ) مع تعدد (2 ) ، والأصفار (- frac {1} {3} ) ، ( frac {1 + i sqrt {3}} {2} ) و ( frac {1 - i sqrt {3} } {2} ) ، كل من تعدد (1 ).

2. بتطبيق النظرية 3.14 ، نضمن أن (f ) عوامل مثل

[f (x) = 12 left (x- dfrac {1} {2} right) ^ 2 left (x + dfrac {1} {3} right) left (x - left [ dfrac {1 + i sqrt {3}} {2} right] right) left (x - left [ dfrac {1 - i sqrt {3}} {2} right] right) ]

سيكون الاختبار الحقيقي للنظرية 3.14 (وهمة الطالب!) هو أخذ الشكل المحلل إلى عوامل (f (x) ) في المثال السابق وضربه في حاشية سفلية {عليك فعل ذلك مرة واحدة في حياتك اقنع نفسك أن كل النظرية تعمل بالفعل!} لترى أنها بالفعل تختزل إلى الصيغة الأصلية

[f (x) = 12x ^ 5 - 20x ^ 4 + 19x ^ 3-6x ^ 2-2x + 1. ]

عند تحليل كثير الحدود باستخدام نظرية 3.14 ، نقول إنها كذلك محللة بالكامل على الأعداد المركبة، مما يعني أنه من المستحيل تحليل كثير الحدود إلى عوامل أخرى باستخدام الأعداد المركبة. إذا أردنا تحليل (f (x) ) بالكامل فوق أرقام حقيقية ثم توقفنا عن إيجاد الأصفار غير الحقيقية لـ (f ) وعوملنا (f ) باستخدام عملنا من القسمة التركيبية للكتابة

[f (x) = left (x - frac {1} {2} right) ^ 2 left (x + frac {1} {3} right) left (12x ^ 2 - 12x + 12 حق) ]

أو

[(f (x) = 12 left (x - frac {1} {2} right) ^ 2 left (x + frac {1} {3} right) left (x ^ 2 - س + 1 يمين). ]

نظرًا لأن أصفار (x ^ 2-x + 1 ) غير حقيقية ، فإننا نسمي (x ^ 2-x + 1 ) an غير قابل للاختزال التربيعي مما يعني أنه من المستحيل تقسيمه إلى أي استخدام آخر حقيقة أعداد.

توضح النتيجتان الأخيرتان من القسم أنه ، على الأقل من الناحية النظرية ، إذا كانت لدينا دالة متعددة الحدود مع معاملات حقيقية ، فيمكننا دائمًا تحليلها بما يكفي بحيث تأتي أي أصفار غير حقيقية من تربيعات غير قابلة للاختزال.

نظرية 3.15: نظرية الأزواج المترافقة

إذا كانت (f ) دالة كثيرة الحدود مع معاملات عدد حقيقي و (z ) هي صفر من (f ) ، فإن كذلك ( overline {z} ).

لإثبات النظرية ، افترض أن (f ) كثير حدود مع معاملات عدد حقيقي. على وجه التحديد ، دعونا

[f (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n- 1} x ^ {n- 1} + dots + a_ 2 x ^ 2 + a_ 1 x + a_ 0. ]

إذا كان (z ) هو صفر من (f ) ، إذن (f (z) = 0 ) ، مما يعني

[a_ {n} z ^ {n} + a_ {n- 1} z ^ {n- 1} + dots + a_ 2 z ^ 2 + a_ 1 z + a_ 0 = 0. ]

بعد ذلك ، نأخذ في الاعتبار (f left ( overline {z} right) ) ونطبق النظرية 3.12 أدناه.

يوضح هذا أن ( overline {z} ) هو صفر من (f ). لذلك ، إذا كانت (f ) دالة متعددة الحدود مع معاملات عدد حقيقي ، تخبرنا النظرية 3.15 أنه إذا كان (a + bi ) صفرًا غير حقيقي لـ (f ) ، فسيكون كذلك (a-bi ) ). بمعنى آخر ، تأتي الأصفار غير الحقيقية لـ (f ) في أزواج مترافقة. تبدأ نظرية العوامل لتعطينا كلاً من ((x- [a + bi]) ) و ((x- [a-bi]) ) كعوامل (f (x) ) مما يعني ((x- [a + bi]) (x- [a-bi]) = x ^ 2 + 2a x + left (a ^ 2 + b ^ 2 right) ) عامل تربيعي غير قابل للاختزال لـ ( F). نتيجة لذلك ، لدينا آخر نظرية لدينا للقسم.

نظرية 3.16: نظرية العوامل الحقيقية

افترض أن (f ) دالة كثيرة الحدود مع معاملات عدد حقيقي. ثم يمكن تحليل (f (x) ) إلى منتج من العوامل الخطية المقابلة للأصفار الحقيقية لـ (f ) والعوامل التربيعية غير القابلة للاختزال التي تعطي الأصفار غير الحقيقية لـ (f ). الفهرس {Real Factorization Theorem}

نقدم الآن مثالاً يجمع كل الأفكار الرئيسية في هذا القسم.

مثال ( PageIndex {3} ):

دع (f (x) = x ^ 4 + 64 ).

  1. استخدم القسمة التركيبية لتوضيح أن (x = 2 + 2i ) هو صفر من (f ).
  2. أوجد الأصفار المعقدة المتبقية لـ (f ).
  3. حلل بالكامل (f (x) ) على الأعداد المركبة.
  4. حلل بالكامل (f (x) ) على الأعداد الحقيقية.

حل

  1. تذكر إدخال (0 ) في لوحة التقسيم التركيبي لدينا

2. نظرًا لأن (f ) هو كثير حدود من الدرجة الرابعة ، فنحن بحاجة إلى إجراء قسمين ناجحين للحصول على حاصل قسمة تربيعي. بما أن (2 + 2i ) هو صفر ، فنحن نعلم من النظرية 3.15 أن (2-2i ) هو أيضًا صفر. نستمر في لوحة التقسيم التركيبية.

كثير الحدود هو (x ^ 2 + 4x + 8 ). باستخدام الصيغة التربيعية ، نحصل على الأصفار المتبقية (- 2 + 2i ) و (- 2-2i ).

3. باستخدام النظرية 3.14 ، نحصل على (f (x) = (x- [2-2i]) (x- [2 + 2i]) (x - [- 2 + 2i]) (x - [- 2- 2i]) ).

4. نضرب العوامل الخطية لـ (f (x) ) التي تتوافق مع أزواج مقترنة معقدة. نجد ((x- [2-2i]) (x- [2 + 2i]) = x ^ 2-4x + 8 ) و ((x - [- 2 + 2i]) (x- [ -2-2i]) = x ^ 2 + 4x + 8 ). إجابتنا النهائية هي (f (x) = left (x ^ 2-4x + 8 right) left (x ^ 2 + 4x + 8 right) ).

يقلب مثالنا الأخير الجداول ويطلب منا تصنيع كثير حدود بخصائص معينة من الرسم البياني والأصفار.

مثال ( PageIndex {4} ):

ابحث عن كثير الحدود (p ) من أدنى درجة لها معاملات عدد صحيح وتفي بجميع المعايير التالية:

  1. الرسم البياني لـ (y = p (x) ) اللمسات (ولكن لا يتقاطع) المحور (x ) - عند ( left ( frac {1} {3}، 0 right) )
  2. (x = 3i ) هو صفر من (p ).
  3. مثل (x rightarrow - infty )، (p (x) rightarrow - infty )
  4. كـ (x rightarrow infty ) ، (p (x) rightarrow - infty )

حل

لحل هذه المشكلة ، سنحتاج إلى فهم جيد للعلاقة بين (س ) - تقاطعات الرسم البياني للدالة وأصفار الدالة ، نظرية العامل ، دور التعددية ، الاتحادات المعقدة ، المركب نظرية العوامل ، وسلوك النهاية لوظائف كثيرة الحدود. (باختصار ، ستحتاج إلى معظم المفاهيم الرئيسية لهذا الفصل.) نظرًا لأن الرسم البياني (p ) يلامس (x ) - المحور عند ( left ( frac {1} {3} ، 0 right) ) ، نعلم أن (x = frac {1} {3} ) صفر للتعدد الزوجي. نظرًا لأننا نتبع كثير الحدود من أدنى درجة ، فنحن بحاجة إلى (x = frac {1} {3} ) للحصول على التعددية بالضبط (2 ).

تخبرنا نظرية العوامل الآن أن ( left (x- frac {1} {3} right) ^ 2 ) هو عامل (p (x) ). بما أن (x = 3i ) هو صفر وإجابتنا النهائية هي الحصول على معاملات عدد صحيح (حقيقي) ، فإن (x = -3i ) يساوي صفرًا أيضًا. ال نظرية العامل يبدأ مرة أخرى ليعطينا ((x-3i) ) و ((x + 3i) ) كعوامل (p (x) ). لم يتم تزويدنا بمزيد من المعلومات حول الأصفار أو الاعتراضات ، لذلك نستنتج ، من خلال نظرية العوملة المعقدة أن (p (x) = a left (x- frac {1} {3} right) ^ 2 (x-3i) (x + 3i) ) لبعض الأرقام الحقيقية (a ). توسيع هذا ، نحصل عليه

[p (x) = ax ^ 4- frac {2a} {3} x ^ 3 + frac {82a} {9} x ^ 2-6ax + a. ]

من أجل الحصول على معاملات عدد صحيح ، نعلم أن (أ ) يجب أن يكون عددًا صحيحًا مضاعفًا لـ (9 ). شاغلنا الأخير هو السلوك النهائي. نظرًا لأن المصطلح الرئيسي (p (x) ) هو (ax ^ 4 ) ، نحتاج إلى (a <0 ) للحصول على (p (x) rightarrow - infty ) كـ (x rightarrow pm infty ). وبالتالي ، إذا اخترنا (x = -9 ) ، نحصل على

[p (x) = -9x ^ 4 + 6 x ^ 3 - 82 x ^ 2 + 54x-9. ]

يمكننا التحقق من عملنا اليدوي باستخدام التقنيات المطورة في هذا الفصل.

يختتم هذا المثال دراستنا للوظائف متعددة الحدود. حاشية سفلية {باستثناء التمارين في الصفحة التالية ، بالطبع.} احتوت الأقسام القليلة الأخيرة على ما يعتبره الكثيرون رياضيات "ثقيلة". مثل الوجبة الثقيلة ، تستغرق الرياضيات الثقيلة وقتًا في الهضم. لا تفرط في القلق إذا لم يبدُ أنها تغرق في آنٍ واحد ، وأسرع في التدريبات وإلا كنت معرضًا للإصابة بتشنجات عقلية. لكن قبل أن نصل إلى التمارين ، نود أن نقدم القليل من الخاتمة.

ملخص

كان هدفنا الرئيسي في تقديم المادة على الأصفار المعقدة لكثير الحدود هو إعطاء الفصل إحساسًا بالاكتمال. بالنظر إلى أنه يمكن إثبات أن بعض كثيرات الحدود لها أصفار حقيقية لا يمكن التعبير عنها باستخدام العمليات الجبرية المعتادة ، ولا يزال البعض الآخر لا يحتوي على أصفار حقيقية على الإطلاق ، كان من الجيد اكتشاف أن كل كثير الحدود من الدرجة (n geq 1 ) به (n ) أصفار معقدة. لذا كما قلنا ، فإنه يعطينا إحساسًا بالإغلاق. لكن القارئ الملاحظ سيلاحظ أننا لم نعط أي أمثلة للتطبيقات التي تتضمن أرقامًا مركبة. غالبًا ما يتساءل الطلاب متى سيتم استخدام الأرقام المركبة في تطبيقات "العالم الحقيقي". بعد كل شيء ، ألم نستدعي (i ) وحدة تسطير {تخيلي}؟ كيف يمكن استخدام الأشياء الخيالية في الواقع؟ اتضح أن الأعداد المركبة مفيدة جدًا في العديد من المجالات التطبيقية مثل ديناميات السوائل والكهرومغناطيسية وميكانيكا الكم ، لكن معظم التطبيقات تتطلب الرياضيات إلى ما بعد كلية الجبر لفهمها تمامًا. هذا لا يعني أنك لن تكون قادرًا على فهمها ؛ في الواقع ، يأمل المؤلفون الصادق أن تصلوا جميعًا إلى نقطة في دراستكم عندما ينكشف لكم مجد الأعداد المركبة ورعبها وروعتها. في الوقت الحالي ، ومع ذلك ، فإن الأشياء الجيدة حقًا خارج نطاق هذا النص. ندعوك أنت وزملائك في الفصل للعثور على بعض الأمثلة لتطبيقات الأرقام المعقدة ومعرفة ما يمكنك الاستفادة منها. يجب أن يبدأ البحث البسيط على الإنترنت بعبارة "الأعداد المعقدة في الحياة الواقعية". تعتبر فصول الإلكترونيات الأساسية مكانًا آخر للبحث ، ولكن تذكر ، قد يستخدمون الحرف (ي ) حيث استخدمنا (أنا ).

بالنسبة لبقية النص ، باستثناء القسم 11.7 وبعض التدريبات الاستكشافية المتناثرة حوله ، سنقتصر اهتمامنا على الأرقام الحقيقية. نقوم بهذا في المقام الأول لأن أول تسلسل حساب التفاضل والتكامل الذي ستأخذه ، ظاهريًا هو التسلسل الذي يعدك هذا النص له ، يدرس فقط وظائف المتغيرات الحقيقية. أيضًا ، لا تتطلب الكثير من الأشياء العلمية الرائعة حقًا أي فهم عميق للأعداد المعقدة لدراستها ، لكنها تحتاج إلى المزيد من الرياضيات مثل الدوال الأسية واللوغاريتمية والمثلثية. نعتقد أنه من المنطقي أكثر من الناحية التربوية أن تتعلم عن هذه الوظائف الآن ، ثم تأخذ دورة في نظرية الوظيفة المعقدة في سنتك الصغيرة أو العليا بمجرد الانتهاء من تسلسل التفاضل والتكامل. في هذا المسار يتم تحرير القوة الحقيقية للأعداد المركبة. ولكن في الوقت الحالي ، من أجل إعدادك بشكل كامل للحياة بعد كلية الجبر مباشرة ، سنقول أن وظائف مثل (f (x) = frac {1} {x ^ {2} + 1} ) لها مجال جميع الأعداد الحقيقية ، على الرغم من أننا نعلم أن (x ^ {2} + 1 = 0 ) لها حلين مركبين ، وهما (x = pm i ). لأن (x ^ {2} + 1> 0 ) لجميع emph {real} الأرقام (x ) ، فإن الكسر ( frac {1} {x ^ {2} + 1} ) ليس أبدًا غير محدد في الإعداد المتغير الحقيقي.


شاهد الفيديو: قضة أكبر عالم في الرياضيات غاوس كيف بدأ اكتشاف قوانين الرياضات (شهر نوفمبر 2021).