مقالات

3.8: قاعدة السلسلة - الرياضيات


لقد رأينا تقنيات التفريق بين الوظائف الأساسية ((x ^ n ، sin x ، cos x ، وما إلى ذلك) ) بالإضافة إلى المجاميع والاختلافات والمنتجات والحاصل والمضاعفات الثابتة لهذه الوظائف. في هذا القسم ، ندرس قاعدة إيجاد مشتق تكوين وظيفتين أو أكثر.

اشتقاق قاعدة السلسلة

عندما يكون لدينا وظيفة تتكون من وظيفتين أو أكثر ، يمكننا استخدام جميع التقنيات التي تعلمناها بالفعل لتمييزها. ومع ذلك ، فإن استخدام كل هذه الأساليب لتقسيم دالة إلى أجزاء أبسط يمكننا اشتقاقها يمكن أن يصبح أمرًا مرهقًا. بدلاً من ذلك ، نستخدم امتداد حكم السلسلة، والتي تنص على أن مشتق الدالة المركبة هو مشتق الدالة الخارجية التي يتم تقييمها عند الدالة الداخلية مضروبًا في مشتق الدالة الداخلية.

لوضع هذه القاعدة في السياق ، دعنا نلقي نظرة على مثال: (h (x) = sin (x ^ 3) ). يمكننا التفكير في مشتق هذه الوظيفة بالنسبة إلى (x ) كمعدل تغير ( sin (x ^ 3) ) بالنسبة للتغيير في (x ). وبالتالي ، نريد أن نعرف كيف تتغير ( sin (x ^ 3) ) عندما يتغير (x ). يمكننا التفكير في هذا الحدث على أنه تفاعل متسلسل: مع تغير (x ) يتغير (x ^ 3 ) ، مما يؤدي إلى تغيير في ( sin (x ^ 3) ). يعطينا هذا التفاعل المتسلسل تلميحات حول ما ينطوي عليه حساب مشتق ( sin (x ^ 3) ). بادئ ذي بدء ، يشير التغيير في (x ) بفرض تغيير في (x ^ 3 ) إلى أن مشتق (x ^ 3 ) متضمن بطريقة ما. بالإضافة إلى ذلك ، يشير التغيير في (x ^ 3 ) إلى إحداث تغيير في ( sin (x ^ 3) ) إلى أن مشتق ( sin (u) ) فيما يتعلق بـ (u ) ، حيث (u = x ^ 3 ) ، هو أيضًا جزء من المشتق النهائي.

يمكننا إلقاء نظرة أكثر رسمية على مشتق (h (x) = sin (x ^ 3) ) من خلال إعداد الحد الذي من شأنه أن يعطينا المشتق بقيمة محددة (a ) في المجال من (ح (س) = خطيئة (س ^ 3) ).

[h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac { sin (x ^ 3) - sin (a ^ 3)} {x − a} ]

لا يبدو هذا التعبير مفيدًا بشكل خاص ؛ ومع ذلك ، يمكننا تعديله عن طريق الضرب والقسمة على التعبير (x ^ 3 − a ^ 3 ) ) للحصول على

[h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac { sin (x ^ 3) - sin (a ^ 3)} {x ^ 3 − a ^ 3} ⋅ dfrac {x ^ 3 −a ^ 3} {x − a}. ]

من تعريف المشتق ، يمكننا أن نرى أن العامل الثاني هو مشتق (x ^ 3 ) في (x = a. ) أي ،

[ lim_ {x → a} dfrac {x ^ 3 − a ^ 3} {x − a} = dfrac {d} {dx} (x ^ 3) = 3a ^ 2. ]

ومع ذلك ، قد يكون من الصعب بعض الشيء إدراك أن المصطلح الأول مشتق أيضًا. يمكننا أن نرى ذلك من خلال السماح (u = x ^ 3 ) وملاحظة ذلك كـ (x → a، u → a ^ 3 ):

[ begin {align} lim_ {x → a} dfrac { sin (x ^ 3) - sin (a ^ 3)} {x ^ 3 − a ^ 3} & = lim_ {u → a ^ 3} dfrac { sin u− sin (a ^ 3)} {u − a ^ 3} & = dfrac {d} {du} ( sin u) _ {u = a ^ 3} & = cos (a3) ​​ نهاية {محاذاة}. ]

وهكذا ، (h ′ (a) = cos (a ^ 3) ⋅3a ^ 2 ).

بمعنى آخر ، إذا (h (x) = sin (x ^ 3) ) ، إذن (h ′ (x) = cos (x ^ 3) ⋅3x ^ 2 ). وبالتالي ، إذا فكرنا في (h (x) = sin (x ^ 3) ) كتكوين ((f∘g) (x) = f (g (x)) ) حيث (f ( x) = sin x ) و (g (x) = x ^ 3 ) ، ثم مشتق (h (x) = sin (x ^ 3) ) هو حاصل ضرب مشتق (g (x) = x ^ 3 ) ومشتق الدالة (f (x) = sin x ) التي تم تقييمها عند الدالة (g (x) = x ^ 3 ). في هذه المرحلة ، نتوقع أنه بالنسبة لـ (h (x) = sin (g (x)) ) ، من المحتمل جدًا أن (h ′ (x) = cos (g (x)) g ′ ( خ) ). كما حددنا أعلاه ، هذا هو الحال بالنسبة (h (x) = sin (x ^ 3) ).

الآن وقد استنتجنا حالة خاصة لقاعدة السلسلة ، فإننا نذكر الحالة العامة ثم نطبقها بشكل عام على الدوال المركبة الأخرى. يتم توفير دليل غير رسمي في نهاية القسم.

القاعدة: قاعدة السلسلة

لنفترض أن (f ) و (g ) وظائف. بالنسبة لجميع (x ) في مجال (g ) الذي يكون (g ) قابلاً للتفاضل عند (x ) و (f ) قابل للتفاضل عند (g (x) ) ، مشتق من الوظيفة المركبة

[h (x) = (f∘g) (x) = f (g (x)) ]

اعطي من قبل

[h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x). ]

بدلاً من ذلك ، إذا كانت (y ) دالة لـ (u ) ، و (u ) هي دالة (س ) ، إذن

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ).

إستراتيجية حل المشكلات: تطبيق قاعدة السلسلة

  1. للاشتقاق (h (x) = f (g (x)) ) ، ابدأ بتحديد (f (x) ) و (g (x) ).
  2. ابحث عن (f '(x) ) وقم بتقييمه عند (g (x) ) للحصول على (f ′ (g (x)) ).
  3. أوجد (g ′ (x). )
  4. اكتب (h ′ (x) = f ′ (g (x)) ⋅g ′ (x). )

ملحوظة: عند تطبيق قاعدة السلسلة على تكوين وظيفتين أو أكثر ، ضع في اعتبارك أننا نعمل في طريقنا من الوظيفة الخارجية. ومن المفيد أيضًا أن نتذكر أنه يمكن اعتبار مشتق تكوين وظيفتين على أنه جزئين؛ مشتق تكوين ثلاث وظائف من ثلاثة أجزاء ؛ وما إلى ذلك وهلم جرا. تذكر أيضًا أننا لا نوجد مشتقًا مطلقًا.

سلسلة وقواعد القوة مجتمعة

يمكننا الآن تطبيق قاعدة السلسلة على الدوال المركبة ، لكن لاحظ أننا نحتاج غالبًا إلى استخدامها مع قواعد أخرى. على سبيل المثال ، لإيجاد مشتقات الدوال بالصيغة (h (x) = (g (x)) ^ n ) ، نحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة جنبًا إلى جنب مع قاعدة القوة. للقيام بذلك ، يمكننا التفكير في (h (x) = (g (x)) ^ n ) كـ (f (g (x)) ) حيث (f (x) = x ^ n ) . ثم (f ′ (x) = nx ^ {n − 1} ). وهكذا ، (f ′ (g (x)) = n (g (x)) ^ {n − 1} ). هذا يقودنا إلى مشتقة دالة أس باستخدام قاعدة السلسلة ،

(h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) )

القاعدة: قاعدة السلطة لتكوين الوظائف

لجميع قيم (x ) التي تم تعريف المشتق لها ، إذا

(h (x) = (g (x)) ^ n ).

ثم

(h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) ).

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام قواعد الطاقة والسلسلة

أوجد مشتق (h (x) = dfrac {1} {(3x ^ 2 + 1) ^ 2} ).

حل

أولاً ، أعد كتابة (h (x) = dfrac {1} {(3x ^ 2 + 1) ^ 2} = (3x ^ 2 + 1) ^ {- 2} ).

بتطبيق قاعدة الأس مع (g (x) = 3x ^ 2 + 1 ) ، لدينا

(h ′ (x) = - 2 (3x ^ 2 + 1) ^ {- 3} (6x) ).

تعطينا إعادة الكتابة إلى النموذج الأصلي

(h ′ (x) = dfrac {−12x} {(3x ^ 2 + 1) ^ 3} )

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد مشتق (h (x) = (2x ^ 3 + 2x − 1) ^ 4 ).

تلميح

استخدم المعادلة مع (g (x) = 2x ^ 3 + 2x − 1 )

إجابه

(ح ′ (س) = 4 (2 س ^ 3 + 2 س − 1) ^ 3 (6 س + 2) = 8 (3 س + 1) (2 س ^ 3 + 2 س − 1) ^ 3 )

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام قواعد السلسلة والقوة مع الدالة المثلثية

أوجد مشتق (h (x) = sin ^ 3x ).

حل

تذكر أولاً أن (sin ^ 3x = ( sin x) ^ 3 ) ، لذا يمكننا إعادة كتابة (h (x) = sin ^ 3x ) كـ (h (x) = ( sin x) ^ 3 ).

بتطبيق قاعدة الأس مع (g (x) = sin x ) نحصل عليها

(h ′ (x) = 3 ( sin x) ^ 2 cos x = 3sin ^ 2x cos x ).

مثال ( PageIndex {3} ): إدخال معادلة خط الظل

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ (h (x) = dfrac {1} {(3x − 5) ^ 2} ) عند (x = 2 ).

حل

لأننا نجد معادلة خط مستقيم ، نحتاج إلى نقطة. إحداثي x للنقطة هو 2. لإيجاد إحداثي y ، استبدل 2 في (h (x) ). بما أن (h (2) = dfrac {1} {(3 (2) −5) ^ 2} = 1 ) ، فإن النقطة هي ((2،1) ).

بالنسبة إلى المنحدر ، نحتاج إلى (h ′ (2) ). لإيجاد (h ′ (x) ) ، نعيد كتابة (h (x) = (3x − 5) ^ {- 2} ) ونطبق قاعدة القوة للحصول على

(h ′ (x) = - 2 (3x − 5) ^ {- 3} (3) = - 6 (3x − 5) ^ {- 3} ).

بالتعويض ، لدينا (h ′ (2) = - 6 (3 (2) −5) ^ {- 3} = - 6. )

لذلك ، يحتوي الخط على معادلة (y − 1 = −6 (x − 2) ). إعادة الكتابة ، معادلة الخط هي (y = −6x + 13 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ (f (x) = (x ^ 2−2) ^ 3 ) عند (x = −2 ).

تلميح

استخدم المثال السابق كدليل.

إجابه

(ص = −48 س − 88 )

مشتق من الدالة الأسية الطبيعية

لنفترض أن (E (x) = e ^ x ) هي الدالة الأسية الطبيعية. ثم

(E ′ (x) = e ^ x. )

على العموم،

( frac {d} {dx} (e ^ {g (x)}) = e ^ {g (x)} g ′ (x) ).

مثال ( PageIndex {1} ): مشتق من دالة أسية

أوجد مشتق (f (x) = e ^ {tan (2x)} ).

حل:

باستخدام الصيغة المشتقة وقاعدة السلسلة ،

(f ′ (x) = e ^ {tan (2x)} frac {d} {dx} (tan (2x)) = e ^ {tan (2x)} sec ^ 2 (2x) ⋅2 ).

مثال ( PageIndex {2} ): دمج قواعد التمايز

أوجد مشتق (y = frac {e ^ {x ^ 2}} {x} ).

حل

استخدم مشتق الدالة الأسية الطبيعية وقاعدة خارج القسمة وقاعدة السلسلة.

(y ′ = frac {(e ^ {x ^ 2} ⋅2) x⋅x − 1⋅e ^ {x ^ 2}} {x ^ 2} ) طبق قاعدة خارج القسمة.

(= frac {e ^ {x ^ 2} (2x ^ 2−1)} {x ^ 2} ) بسّط.

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد مشتق (h (x) = xe ^ {2x} ).

تلميح

لا تنس استخدام قاعدة المنتج.

إجابه

(h ′ (x) = e ^ {2x} + 2xe ^ {2x} )

مثال ( PageIndex {3} ): تطبيق الدالة الأسية الطبيعية

مستعمرة البعوض يبلغ عدد سكانها الأولي 1000. بعد (t ) يومًا ، يتم تحديد عدد السكان بمقدار (A (t) = 1000e ^ {0.3t} ). بيّن أن نسبة معدل تغير السكان (A ′ (t) ) إلى عدد السكان (A (t) ) ثابتة.

حل

ابحث أولاً عن (A ′ (t) ). باستخدام قاعدة السلسلة ، لدينا (A ′ (t) = 300e ^ {0.3t}. ) وبالتالي ، فإن نسبة معدل تغير السكان إلى عدد السكان تُعطى بواسطة

(A ′ (t) = frac {300e ^ {0.3t}} {1000e ^ {0.3t}} = 0.3. )

نسبة معدل تغير السكان إلى عدد السكان هي 0.3.

تمرين ( PageIndex {2} )

إذا كان (A (t) = 1000e ^ {0.3t} ) يصف عدد البعوض بعد (t ) يومًا ، كما في المثال السابق ، فما هو معدل التغيير (A (t) ) بعد 4 أيام؟

تلميح

أوجد (A ′ (4) ).

إجابه

(996)

دمج قاعدة السلسلة مع القواعد الأخرى

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا الجمع بين قاعدة السلسلة وقاعدة القوة ، نفحص كيفية دمج قاعدة السلسلة مع القواعد الأخرى التي تعلمناها. على وجه الخصوص ، يمكننا استخدامه مع الصيغ الخاصة بمشتقات الدوال المثلثية أو مع قاعدة الضرب.

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام قاعدة السلسلة في دالة جيب التمام العامة

أوجد مشتق (h (x) = cos (g (x)). )

حل

فكر في (h (x) = cos (g (x)) ) كـ (f (g (x)) ) حيث (f (x) = cos x ). بما أن (f ′ (x) = - sin x ). لدينا (f ′ (g (x)) = - sin (g (x)) ). ثم نقوم بالحسابات التالية.

(h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) ) طبق قاعدة السلسلة.

(= - sin (g (x)) g ′ (x) ) البديل ′ (g (x)) = - sin (g (x)).

وبالتالي ، فإن مشتق (h (x) = cos (g (x)) ) يُعطى بواسطة (h ′ (x) = - sin (g (x)) g ′ (x). )

في المثال التالي نطبق القاعدة التي اشتقناها للتو.

مثال ( PageIndex {5} ): استخدام قاعدة السلسلة في دالة جيب التمام

أوجد مشتق (h (x) = cos (5x ^ 2). )

حل

(دع g (x) = 5x ^ 2 ). ثم (g ′ (x) = 10x ). باستخدام النتيجة من المثال السابق ،

(ح ′ (س) = - الخطيئة (5 × 2) ⋅10 س = -10 س الخطيئة (5 × 2) )

مثال ( PageIndex {6} ): استخدام قاعدة السلسلة في دالة مثلثية أخرى

أوجد مشتق (h (x) = sec (4x ^ 5 + 2x). )

حل

طبق قاعدة السلسلة على (h (x) = sec (g (x)) ) للحصول عليها

(ح ′ (س) = ث (ز (س) تان (ز (س)) ج ′ (س). )

في هذه المشكلة ، (g (x) = 4x ^ 5 + 2x، ) لذلك لدينا (g ′ (x) = 20x ^ 4 + 2. ) لذلك نحصل عليها

(h ′ (x) = sec (4x ^ 5 + 2x) tan (4x ^ 5 + 2x) (20x ^ 4 + 2) = (20x ^ 4 + 2) sec (4x ^ 5 + 2x) tan (4x ^ 5 + 2x). )

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد مشتق (h (x) = sin (7x + 2). )

تلميح

طبق قاعدة السلسلة على (h (x) = sing (x) ) أولاً ثم استخدم (g (x) = 7x + 2 ).

إجابه

(ح ′ (س) = 7 كوس (7 س + 2) )

في هذه المرحلة ، نقدم قائمة بالصيغ المشتقة التي يمكن الحصول عليها من خلال تطبيق قاعدة السلسلة جنبًا إلى جنب مع صيغ مشتقات الدوال المثلثية. مشتقاتهم مماثلة لتلك المستخدمة في المثال والمثال. للراحة ، يتم تقديم الصيغ أيضًا في تدوين Leibniz ، والذي يجد بعض الطلاب أنه من الأسهل تذكره. (نناقش قاعدة السلسلة باستخدام تدوين Leibniz في نهاية هذا القسم.) ليس من الضروري تمامًا حفظها كصيغ منفصلة لأنها كلها تطبيقات لقاعدة السلسلة على الصيغ التي تم تعلمها مسبقًا.

استخدام قاعدة السلسلة مع الدوال المثلثية

لجميع قيم (x ) التي تم تعريف المشتق من أجلها ،

( dfrac {d} {dx} ( sin (g (x)) = cos (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} sin u = cos u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} ( cos (g (x)) = - sin (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} cos u = - sin u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (tan (g (x)) = sec ^ 2 (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} tanu = sec ^ 2u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (cot (g (x)) = - csc ^ 2 (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} cotu = −csc ^ 2u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (sec (g (x)) = sec (g (x) tan (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} secu = secutanu dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (csc (g (x)) = - csc (g (x)) cot (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} cscu = −cscucotu dfrac {du} {dx}. )

مثال ( PageIndex {7} ): دمج قاعدة السلسلة مع قاعدة المنتج

أوجد مشتق (h (x) = (2x + 1) ^ 5 (3x − 2) ^ 7 ).

حل

قم أولاً بتطبيق قاعدة المنتج ، ثم طبق قاعدة السلسلة على كل مصطلح في المنتج.

(h ′ (x) = dfrac {d} {dx} ((2x + 1) ^ 5) ⋅ (3x − 2) ^ 7 + dfrac {d} {dx} ((3x − 2) ^ 7 ) ⋅ (2x + 1) ^ 5 )

(= 5 (2x + 1) ^ 4⋅2⋅ (3x − 2) ^ 7 + 7 (3x − 2) ^ 6⋅3⋅ (2x + 1) ^ 5 )

(= 10 (2x + 1) ^ 4 (3x − 2) ^ 7 + 21 (3x − 2) ^ 6 (2x + 1) ^ 5 )

(= (2x + 1) ^ 4 (3x − 2) ^ 6 (10 (3x − 7) +21 (2x + 1)) )

(= (2x + 1) ^ 4 (3x − 2) ^ 6 (72x − 49) )

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد مشتق (h (x) = dfrac {x} {(2x + 3) ^ 3} ).

تلميح

ابدأ بتطبيق قاعدة خارج القسمة. تذكر أن تستخدم قاعدة السلسلة لاشتقاق المقام.

إجابه

(h ′ (x) = dfrac {3−4x} {(2x + 3) ^ 4} )

المركبات المكونة من ثلاث وظائف أو أكثر

يمكننا الآن دمج قاعدة السلسلة مع القواعد الأخرى لاشتقاق الدوال ، لكن عندما نفرق تكوين ثلاث دالات أو أكثر ، نحتاج إلى تطبيق قاعدة السلسلة أكثر من مرة. إذا نظرنا إلى هذا الموقف بعبارات عامة ، يمكننا إنشاء معادلة ، لكننا لسنا بحاجة إلى تذكرها ، حيث يمكننا ببساطة تطبيق قاعدة السلسلة عدة مرات.

بشكل عام ، دعونا أولا

[k (x) = h (f (g (x))). ]

ثم نطبق قاعدة السلسلة بمجرد الحصول عليها

[k ′ (x) = dfrac {d} {dx} (h (f (g (x))) = h '(f (g (x))) ⋅ dfrac {d} {dx} f ( (ز (خ))). ]

عند تطبيق قاعدة السلسلة مرة أخرى ، نحصل عليها

[k ′ (x) = h ′ (f (g (x)) f ′ (g (x)) g ′ (x)). ]

مثال ( PageIndex {8} ): القاعدة: قاعدة السلسلة لتكوين ثلاث وظائف

حل

لجميع قيم (x ) التي يمكن تفاضل الوظيفة ، إذا

(ك (س) = ح (و (ز (س))) ، )

ومن بعد

(ك ′ (س) = ح ′ (و (ز (س))) و ′ (ز (س)) ز ′ (س). )

بعبارة أخرى ، نحن نطبق قاعدة السلسلة مرتين.

لاحظ أن مشتق تكوين ثلاث وظائف يتكون من ثلاثة أجزاء. (وبالمثل ، فإن مشتق تكوين أربع وظائف يتكون من أربعة أجزاء ، وهكذا). تذكر ، يمكننا دائمًا العمل من الخارج إلى الداخل ، باستخدام مشتق واحد في كل مرة.

مثال ( PageIndex {9} ): تمييز مركب من ثلاث وظائف

أوجد مشتق (k (x) = cos ^ 4 (7x ^ 2 + 1). )

حل

أولاً ، أعد كتابة (k (x) ) بصيغة

(ك (س) = ( كوس (7 س ^ 2 + 1)) ^ 4 ).

ثم قم بتطبيق قاعدة السلسلة عدة مرات.

(ك ′ (x) = 4 ( cos (7x2 + 1)) 3 (ddx ( cos (7x2 + 1)) )

(= 4 ( cos (7x ^ 2 + 1)) ^ 3 (- sin (7x ^ 2 + 1)) ( dfrac {d} {dx} (7x ^ 2 + 1)) )

(= 4 ( cos (7x ^ 2 + 1)) ^ 3 (- sin (7x ^ 2 + 1)) (14x) )

(= - 56x sin (7x ^ 2 + 1) cos ^ 3 (7x ^ 2 + 1) )

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد مشتق (h (x) = sin ^ 6 (x ^ 3). )

تلميح

أعد كتابة (h (x) = sin ^ 6 (x ^ 3) = ( sin (x ^ 3)) ^ 6 ) واستخدم المثال كدليل.

إجابه

(h ′ (x) = 18x ^ 2sin ^ 5 (x ^ 3) cos (x ^ 3) )

مثال ( PageIndex {10} ): استخدام قاعدة السلسلة في مسألة السرعة

يتحرك الجسيم على طول محور إحداثيات.يتم تحديد موقعها في الوقت t بواسطة (s (t) = sin (2t) + cos (3t) ). ما سرعة الجسيم في الوقت (t = dfrac {π} {6} )؟

حل

لإيجاد (v (t) ) ، سرعة الجسيم في الوقت (t ) ، يجب أن نفرق (s (t) ). هكذا،

[v (t) = s ′ (t) = 2 cos (2t) −3 sin (3t). ]

إثبات قاعدة السلسلة

في هذه المرحلة ، نقدم دليلًا غير رسمي على قاعدة السلسلة. من أجل البساطة ، نتجاهل بعض المشكلات: على سبيل المثال ، نفترض أن (g (x) ≠ g (a) ) لـ (x ≠ a ) في بعض الفترات المفتوحة التي تحتوي على (a ). نبدأ بتطبيق تعريف حد المشتق على الوظيفة (h (x) ) للحصول على (h ′ (a) ):

(h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {x − a} ).

إعادة الكتابة ، نحصل عليها

(h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} ⋅ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} ).

على الرغم من أنه من الواضح أن

( lim_ {x → a} dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = g ′ (a) ) ،

ليس من الواضح أن

( lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} = f ′ (g (a)) ) .

لمعرفة أن هذا صحيح ، تذكر أولاً أنه بما أن g قابلة للتفاضل عند (a ، g ) فهي أيضًا مستمرة عند (a. ) وهكذا ،

( lim_ {x → a} g (x) = g (a) ).

بعد ذلك ، قم بإجراء الاستبدال (y = g (x) ) و (b = g (a) ) واستخدم تغيير المتغيرات في الحد للحصول على

( lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} = lim_ {y → b} dfrac { f (y) −f (b)} {y − b} = f ′ (b) = f ′ (g (a)). )

أخيرا،

(h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} ⋅ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = f ′ (g (a)) g ′ (a) ).

مثال ( PageIndex {11} ): استخدام قاعدة السلسلة مع القيم الوظيفية

دع (ح (س) = و (ز (س)). ) إذا (ز (1) = 4 ، ز ′ (1) = 3 ) ، و (و ′ (4) = 7 ) ، ابحث عن (h ′ (1). )

حل

استخدم قاعدة السلسلة ، ثم استبدلها.

(h ′ (1) = f ′ (g (1)) g ′ (1) ) طبق قاعدة السلسلة.

(= f ′ (4) ⋅3 ) البديل (g (1) = 4 ) و (g ′ (1) = 3. )

(= 7⋅3 ) البديل (f '(4) = 7. )

(= 21 ) بسّط

تمرين ( PageIndex {6} )

معطى (h (x) = f (g (x)) ). إذا (g (2) = - 3، g ′ (2) = 4، ) و (f ′ (- 3) = 7 ) ، ابحث عن (h ′ (2) ).

تلميح

اتبع المثال.

إجابه

28

قاعدة السلسلة باستخدام تدوين Leibniz

كما هو الحال مع المشتقات الأخرى التي رأيناها ، يمكننا التعبير عن قاعدة السلسلة باستخدام تدوين Leibniz. هذا الترميز لقاعدة السلسلة يستخدم بكثرة في تطبيقات الفيزياء.

إلى عن على (ح (س) = و (ز (س)) ، ) دعونا (ش = ز (س) ) و (ص = ح (س) = ز (ش). ) وهكذا ،

(h ′ (x) = dfrac {dy} {dx} ]

[f ′ (g (x)) = f ′ (u) = dfrac {dy} {du} ]

و

[g ′ (x) = dfrac {du} {dx}. ]

بالتالي،

( dfrac {dy} {dx} = h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ) .

القاعدة: قاعدة السلسلة باستخدام تدوين Leibniz

إذا كانت (y ) دالة لـ (u ) ، و (u ) هي دالة (x ) ، إذن

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ).

مثال ( PageIndex {12} ): أخذ مشتق باستخدام تدوين ليبنيز 1

أوجد مشتق [y = left ( dfrac {x} {3x + 2} right) ^ 5. ]

حل

أولاً ، دعنا (u = dfrac {x} {3x + 2} ). وهكذا ، (y = u ^ 5 ). بعد ذلك ، ابحث عن ( dfrac {du} {dx} ) و ( dfrac {dy} {du} ). باستخدام قاعدة خارج القسمة ،

( dfrac {du} {dx} = dfrac {2} {(3x + 2) ^ 2} )

و

( dfrac {dy} {du} = 5u ^ 4 ).

أخيرًا ، قمنا بتجميعها معًا.

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ) طبق قاعدة السلسلة.

(= 5u ^ 4⋅ dfrac {2} {(3x + 2) ^ 2} ) البديل = 5u4anddudx = 2 (3x + 2) 2.

(= 5 ( dfrac {x} {3x + 2}) ^ 4⋅ dfrac {2} {(3x + 2) ^ 2} ) البديل = x3x + 2.

(= dfrac {10x ^ 4} {(3x + 2) ^ 6} ) بسّط.

من المهم أن تتذكر أنه عند استخدام صيغة Leibniz لقاعدة السلسلة ، يجب التعبير عن الإجابة النهائية بالكامل من حيث المتغير الأصلي الوارد في المشكلة.

مثال ( PageIndex {13} ): أخذ مشتق باستخدام تدوين Leibniz II

أوجد مشتق [y = tan (4x ^ 2−3x + 1). ]

حل

أولاً ، دع (u = 4x ^ 2−3x + 1. ) ثم (y = tanu ). بعد ذلك ، ابحث عن ( dfrac {du} {dx} ) و ( dfrac {dy} {du} ):

( dfrac {du} {dx} = 8x − 3 ) و ( dfrac {dy} {du} = sec ^ 2u. )

أخيرًا ، قمنا بتجميعها معًا.

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ) طبق قاعدة السلسلة.

(= sec ^ 2u⋅ (8x − 3) ) استخدم ( dfrac {du} {dx} = 8x − 3 ) و ( dfrac {dy} {du} = sec ^ 2u ).

(= ثانية ^ 2 (4x ^ 2−3x + 1) ⋅ (8x − 3) ) البديل (u = 4x ^ 2−3x + 1 ).

تمرين ( PageIndex {7} )

استخدم تدوين Leibniz لإيجاد مشتق (y = cos (x ^ 3) ). تأكد من التعبير عن الإجابة النهائية بالكامل من حيث المتغير (x ).

تلميح

دعونا (u = x ^ 3 ).

إجابه

[ dfrac {dy} {dx} = - 3x ^ 2 sin (x ^ 3). ]

المفاهيم الرئيسية

  • تسمح لنا قاعدة السلسلة بالتفريق بين تركيبات وظيفتين أو أكثر. تنص على ذلك لـ (h (x) = f (g (x)) ، )

(ح ′ (س) = و ′ (ز (س)) ز ′ (س). )

في تدوين Leibniz ، تأخذ هذه القاعدة الشكل

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ).

  • يمكننا استخدام قاعدة السلسلة مع القواعد الأخرى التي تعلمناها ، ويمكننا اشتقاق الصيغ لبعضها.
  • تتحد قاعدة السلسلة مع قاعدة القوة لتكوين قاعدة جديدة:

إذا كان (h (x) = (g (x)) ^ n ) ، إذن (h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) ).

  • عند تطبيقها على تكوين ثلاث وظائف ، يمكن التعبير عن قاعدة السلسلة على النحو التالي: If (h (x) = f (g (k (x)))، ) ثم (h ′ (x) = f ′ (ز (ك (س)) ز ′ (ك (س)) ك ′ (س). )

المعادلات الرئيسية

  • قاعدة السلسلة

(ح ′ (س) = و ′ (ز (س)) ج ′ (س) )

  • قاعدة القوة للوظائف

(h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) )

قائمة المصطلحات

حكم السلسلة
تحدد قاعدة السلسلة مشتق دالة مركبة كمشتق للدالة الخارجية التي يتم تقييمها عند الدالة الداخلية مضروبًا في مشتق الدالة الداخلية

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


3.8: قاعدة السلسلة - الرياضيات

لقد أخذنا الكثير من المشتقات على مدار الأقسام القليلة الماضية. ومع ذلك ، إذا نظرت إلى الوراء ، فقد كانت جميعها وظائف مشابهة لأنواع الوظائف التالية.

[R left (z right) = sqrt z hspace <0.25in> f left (t right) = > hspace <0.25in> y = tan left (x right) hspace <0.25in> ، ، ، h left (w right) = << bf> ^ w> hspace <0.25in> ، ، ، g left (x right) = ، ln x ]

هذه كلها وظائف بسيطة إلى حد ما حيث أينما ظهر المتغير فهو بمفرده. ماذا عن وظائف مثل ما يلي ،

[يبدأR يسار (z right) = sqrt <5z - 8> & hspace <0.5in> f left (t right) = < left (<2+ cos left (t right)> right) ^ <50>> hspace <0.5in> hspace <0.25in> y = tan left (< sqrt [3] << 3>> + tan left (<5x> right)> right) h left (w right) = << bf>^ <- 3 + 9 >> & hspace <0.5in> ، ، ، g left (x right) = ، ln left (<> + > حق) نهاية]

لن تعمل أي من قواعدنا على هذه الوظائف ، ومع ذلك فإن بعض هذه الوظائف أقرب إلى المشتقات التي نتحمل مسؤوليتها عن التعامل معها من الوظائف في المجموعة الأولى.

لنأخذ الأول على سبيل المثال. بالعودة إلى القسم الخاص بتعريف المشتق ، استخدمنا التعريف لحساب هذا المشتق. وجدنا في هذا القسم ،

إذا استخدمنا فقط قاعدة القوة في هذا ، فسنحصل على ،

وهو ليس المشتق الذي حسبناه باستخدام التعريف. إنه قريب ، لكنه ليس هو نفسه. لذا ، فإن قاعدة القوة وحدها ببساطة لن تعمل للحصول على المشتق هنا.

دعونا نستمر في النظر إلى هذه الوظيفة ونلاحظ أنه إذا حددنا ،

[f left (z right) = sqrt z hspace <0.25in> hspace <0.25in> g left (z right) = 5z - 8 ]

ثم يمكننا كتابة الوظيفة كتكوين.

[R left (z right) = left ( يمين) يسار (ض يمين) = f يسار ( يمين) = sqrt <5z - 8> ]

واتضح أنه من السهل حقًا التمييز بين تركيبة دالة باستخدام حكم السلسلة. هناك نوعان من أشكال قاعدة السلسلة. ها هم.

حكم السلسلة

افترض أن لدينا وظيفتين (f left (x right) ) و (g left (x right) ) وكلاهما قابل للتفاضل.

  1. إذا حددنا (F left (x right) = left ( right) left (x right) ) ثم مشتق (F left (x right) ) هو [F ' left (x right) = f' left ( يمين) ، ، ، ز ' يسار (س يمين) ]
  2. إذا كان لدينا (y = f left (u right) ) و (u = g left (x right) ) فإن مشتق (y ) هو [ frac <><> = فارك <><> ، ، فارك <><>]

كل من هذه النماذج لها استخدامات خاصة بها ، ولكننا سنعمل في الغالب مع النموذج الأول في هذا الفصل. للاطلاع على إثبات قاعدة السلسلة ، راجع قسم إثبات الصيغ المشتقة المختلفة في فصل الإضافات.

الآن ، دعنا نعود ونستخدم قاعدة السلسلة في الوظيفة التي استخدمناها عندما فتحنا هذا القسم.

لقد حددنا بالفعل الوظيفتين اللتين نحتاجهما للتكوين ، ولكن دعنا نعيد كتابتهما على أي حال وأخذ مشتقاتهما.

[يبدأf يسار (z right) = sqrt z & hspace <0.5in> g يسار (z right) = 5z - 8 f 'left (z right) = displaystyle frac <1> << 2 sqrt z >> & hspace <0.5in> g ' left (z right) = 5 end]

لذلك ، باستخدام قاعدة السلسلة التي نحصل عليها ،

وهذا ما حصلنا عليه باستخدام تعريف المشتقة.

بشكل عام ، نحن لا نقوم بكل العناصر التركيبية باستخدام قاعدة السلسلة. يمكن أن يكون ذلك معقدًا بعض الشيء وفي الواقع يحجب حقيقة أن هناك طريقة سريعة وسهلة لتذكر قاعدة السلسلة التي لا تتطلب منا التفكير من حيث تكوين الوظيفة.

لنأخذ الوظيفة من المثال السابق ونعيد كتابتها قليلاً.

هذه الوظيفة لها "وظيفة داخلية" و "وظيفة خارجية". الدالة الخارجية هي الجذر التربيعي أو الأس لـ (< textstyle <1 over 2 >> ) اعتمادًا على الطريقة التي تريد التفكير بها والدالة الداخلية هي الأشياء التي نأخذ الجذر التربيعي لها أو ترفع إلى (< textstyle <1 over 2 >> ) ، مرة أخرى اعتمادًا على الطريقة التي تريد النظر إليها.

بشكل عام ، هذه هي الطريقة التي نفكر بها في قاعدة السلسلة. نحدد "الوظيفة الداخلية" و "الوظيفة الخارجية". ثم نفرق الدالة الخارجية مع ترك الدالة الداخلية وشأنها ونضرب كل هذا في مشتقة الدالة الداخلية. في شكله العام هذا هو ،

يمكننا دائمًا تحديد "الوظيفة الخارجية" في الأمثلة أدناه عن طريق سؤال أنفسنا عن كيفية تقييم الوظيفة. على سبيل المثال في حالة (R left (z right) ) إذا سألنا أنفسنا ما (R left (2 right) ) سنقيم أولاً الأشياء تحت الجذر ثم نأخذ في النهاية الجذر التربيعي لهذه النتيجة. الجذر التربيعي هو آخر عملية نقوم بها في التقييم وهذه أيضًا هي الوظيفة الخارجية. ستكون الوظيفة الخارجية دائمًا آخر عملية تقوم بها إذا كنت تنوي تقييم الوظيفة.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على قاعدة السلسلة.

  1. (f left (x right) = sin left (<3+ س> يمين) )
  2. (f left (t right) = < left (<2+ cos left (t right)> right) ^ <50>> )
  3. (ح يسار (ث يمين) = << bf>^ <- 3 + 9>>)
  4. (ز يسار (س يمين) = ، ln يسار (<> + > حق) )
  5. (ص = ثانية يسار (<1-5x> يمين) )
  6. (P left (t right) = < cos ^ 4> left (t right) + cos left (<> حق) )

يبدو أن الوظيفة الخارجية هي الجيب والوظيفة الداخلية هي 3× 2 + س. المشتق هو إذن.

أو مع القليل من إعادة الكتابة ،

[f ' يسار (x يمين) = يسار (<6x + 1> يمين) cos يسار (<3+ س> يمين) ]

في هذه الحالة ، الدالة الخارجية هي الأس 50 والدالة الداخلية هي كل الأشياء الموجودة داخل الأقواس. المشتق هو إذن.

كان تحديد الوظيفة الخارجية في الوظيفتين السابقتين أمرًا بسيطًا إلى حد ما نظرًا لأنها كانت بالفعل وظيفة "خارجية" بمعنى ما. في هذه الحالة يجب أن نكون حذرين بعض الشيء. تذكر أن الوظيفة الخارجية هي آخر عملية نقوم بها في التقييم. في هذه الحالة ، إذا أردنا تقييم هذه الدالة ، فستكون العملية الأخيرة هي الأسي. لذلك ، فإن الوظيفة الخارجية هي الدالة الأسية والدالة الداخلية هي الأس.

تذكر أننا نترك الدالة الداخلية بمفردها عندما نفرق الدالة الخارجية. لذا ، فإن مشتق الدالة الأسية (مع ترك الداخل وحده) هو الوظيفة الأصلية فقط.

هنا الوظيفة الخارجية هي اللوغاريتم الطبيعي والدالة الداخلية هي أشياء في داخل اللوغاريتم.

تذكر مرة أخرى ترك الوظيفة الداخلية بمفردها عند التفريق بين الوظيفة الخارجية. لذلك ، عند التفريق بين اللوغاريتم ، لا ينتهي بنا الأمر بـ 1 / (x ) ولكن بدلاً من ذلك مع 1 / (وظيفة داخلية).

في هذه الحالة ، تكون الوظيفة الخارجية هي القاطع والداخل هو (1 - 5x ).

في هذه الحالة ، يكون مشتق الدالة الخارجية ( sec left (x right) tan left (x right) ). ومع ذلك ، نظرًا لأننا نترك الوظيفة الداخلية بمفردها ، فإننا لا نحصل على (x ) 'في كليهما. بدلاً من ذلك نحصل على (1 - 5x ) في كليهما.

هناك نقطتان لهذه المشكلة. أولاً ، هناك فترتان وسيتطلب كل منهما تطبيقًا مختلفًا لقاعدة السلسلة. غالبًا ما يكون هذا هو الحال ، لذلك لا تتوقع مجرد قاعدة سلسلة واحدة عند القيام بهذه المشكلات. ثانيًا ، علينا توخي الحذر الشديد في اختيار الدالة الخارجية والداخلية لكل حد.

تذكر أنه يمكن كتابة المصطلح الأول على النحو التالي ،

إذن ، في المصطلح الأول ، الدالة الخارجية هي الأس 4 والدالة الداخلية هي جيب التمام. في الفصل الثاني ، الأمر عكس ذلك تمامًا. في المصطلح الثاني ، الدالة الخارجية هي جيب التمام والوظيفة الداخلية هي (). إليك مشتق هذه الوظيفة.

هناك نوعان من الصيغ العامة التي يمكننا الحصول عليها لبعض الحالات الخاصة لقاعدة السلسلة. دعونا نلقي نظرة سريعة على هؤلاء.

أ الدالة الخارجية هي الأس والداخل هو (g left (x right) ).

ب الوظيفة الخارجية هي الوظيفة الأسية والداخل هو (g left (x right) ).

ج الوظيفة الخارجية هي اللوغاريتم والداخل هو (g left (x right) ).

الصيغ في هذا المثال هي في الحقيقة مجرد حالات خاصة لقاعدة السلسلة ولكن قد يكون من المفيد تذكرها من أجل القيام بسرعة ببعض هذه المشتقات.

الآن ، دعونا أيضًا لا ننسى القواعد الأخرى التي لدينا لعمل المشتقات. بالنسبة للجزء الأكبر ، لن نحدد بشكل صريح الوظائف الداخلية والخارجية لبقية المشكلات في هذا القسم. سنفترض أنه يمكنك رؤية خياراتنا بناءً على الأمثلة السابقة والعمل الذي أظهرناه.

  1. (T left (x right) = < tan ^ <- 1 >> left (<2x> right) ، ، sqrt [3] << 1-3>>)
  2. (و يسار (ض يمين) = خطيئة يسار ( <>> ^ z >> right) )
  3. (displaystyle y = frac <<<< left (<+ 4> right)> ^ 5 >>> <<<< يسار (<1 - 2> right)> ^ 3 >>> )
  4. (displaystyle h left (t right) = > << 6 - >>> حق) ^ 3> )

دعنا نلاحظ أولاً أن هذه المشكلة هي أولاً وقبل كل شيء مشكلة تتعلق بقاعدة المنتج. هذا ناتج من دالتين ، المماس المعكوس والجذر ، ولذا فإن أول شيء علينا فعله لأخذ المشتق هو استخدام قاعدة حاصل الضرب. ومع ذلك ، عند استخدام قاعدة المنتج وكل مشتق سيتطلب تطبيق قاعدة السلسلة أيضًا.

في هذا الجزء كن حذرا مع معكوس الظل. نحن نعرف ذلك،

عند تنفيذ قاعدة السلسلة مع هذا ، نتذكر أنه يتعين علينا ترك الدالة الداخلية بمفردها. هذا يعني أنه حيث لدينا () في مشتق (< tan ^ <- 1 >> x ) سنحتاج إلى (< left (<< mbox>> يمين) ^ 2> ).

الآن قارن هذا مع المشكلة السابقة. في المشكلة السابقة كان لدينا منتج يتطلب منا استخدام قاعدة السلسلة في تطبيق قاعدة المنتج.في هذه المشكلة ، سنحتاج أولاً إلى تطبيق قاعدة السلسلة وعندما نبدأ في اشتقاق الدالة الداخلية ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة المنتج.

هنا جزء قاعدة السلسلة من المشكلة.

في هذه الحالة ، لم نقم بعمل مشتق من الداخل بعد. لقد تركناها في رمز المشتقة لتوضيح أنه لعمل مشتقة الدالة الداخلية ، أصبح لدينا الآن قاعدة حاصل الضرب.

هنا بقية العمل لهذه المشكلة.

بالنسبة لهذه المشكلة ، من الواضح أن لدينا تعبيرًا منطقيًا ، وبالتالي فإن أول شيء يتعين علينا القيام به هو تطبيق قاعدة خارج القسمة. في عملية استخدام قاعدة خارج القسمة ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة عند اشتقاق البسط والمقام.

هذه تميل إلى أن تكون فوضوية بعض الشيء. لاحظ أنه عندما نبدأ التبسيط ، سنكون قادرين على قدر معقول من التحليل في البسط وهذا غالبًا ما يؤدي إلى تبسيط المشتق إلى حد كبير.

بعد التحليل إلى عوامل ، تمكنا من حذف بعض حدود البسط مقابل المقام. لذا ، على الرغم من أن قاعدة السلسلة الأولية كانت فوضوية إلى حد ما ، فإن الإجابة النهائية أبسط بشكل ملحوظ بسبب التحليل.

على عكس المشكلة السابقة ، فإن الخطوة الأولى للمشتقة هي استخدام قاعدة السلسلة ، وبعد ذلك بمجرد أن نبدأ في اشتقاق الدالة الداخلية ، سنحتاج إلى تنفيذ قاعدة خارج القسمة.

هنا العمل لهذه المشكلة.

كما هو الحال مع الجزء الثاني أعلاه ، لم نفرق في البداية الدالة الداخلية في الخطوة الأولى لتوضيح أنها ستكون قاعدة خارج القسمة من تلك النقطة فصاعدًا.

كانت هناك عدة نقاط في المثال الأخير. الأول هو ألا ننسى أنه لا يزال لدينا قواعد مشتقات أخرى لا تزال مطلوبة في بعض الأحيان. فقط لأننا نمتلك الآن قاعدة السلسلة لا يعني أنه لن تكون هناك حاجة لقاعدة المنتج وحاصل القسمة.

بالإضافة إلى ذلك ، كما أوضح المثال الأخير ، سيختلف الترتيب الذي يتم إجراؤه به أيضًا. ستكون بعض المشكلات هي مشكلات قاعدة المنتج أو حاصل القسمة التي تتضمن قاعدة السلسلة. ومع ذلك ، ستتطلب المشكلات الأخرى أولاً استخدام قاعدة السلسلة وفي عملية القيام بذلك ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة المنتج و / أو حاصل القسمة.

لن تتضمن معظم الأمثلة في هذا القسم المنتج أو قاعدة حاصل القسمة لجعل المشكلات أقصر قليلاً. ومع ذلك ، من الناحية العملية ، سيكونون غالبًا في نفس المشكلة ، لذا عليك أن تكون مستعدًا لهذه الأنواع من المشاكل.

الآن ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأكثر تعقيدًا.

  1. (displaystyle h left (z right) = frac <2> <<<< left (<4z + << bf> ^ <- 9z >>> right)> ^ <10> >>> )
  2. (f يسار (y يمين) = sqrt <2y + << left (<3y + 4> right)> ^ 3 >> )
  3. (y = tan left (< sqrt [3] << 3>> + ln يسار (<5> right)> right) )
  4. (g left (t right) = < sin ^ 3> left (<<< bf> ^ <1 - t >> + 3 sin left (<6t> right)> right) )

في هذه الحالة ، دعنا أولاً نعيد كتابة الدالة بشكل يسهل التعامل معه.

الآن ، لنبدأ المشتق.

لاحظ أننا لم نقم بالفعل بمشتقة الدالة الداخلية حتى الآن. هذا يسمح لنا أن نلاحظ أنه عندما نفرق الحد الثاني فإننا سنطلب قاعدة السلسلة مرة أخرى. لاحظ أيضًا أننا سنحتاج فقط إلى قاعدة السلسلة على الحد الأسي وليس الحد الأول. في العديد من الوظائف ، سنستخدم قاعدة السلسلة أكثر من مرة ، لذا لا تتحمس حيال ذلك عند حدوثه.

دعونا نمضي قدمًا وننهي هذا المثال.

كن حذرًا مع التطبيق الثاني لقاعدة السلسلة. يتم ضرب الأس في "-9" فقط لأن هذا هو مشتق الدالة الداخلية لهذا المصطلح فقط. أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا في هذه الأنواع من المشاكل هو ضرب كل شيء في "-9" وليس فقط الحد الثاني.

لن نضع العديد من الكلمات في هذا المثال ، لكننا سنظل حريصين على هذا المشتق ، لذا تأكد من أنه يمكنك اتباع كل خطوة من الخطوات هنا.

كما هو الحال مع المثال الأول ، تطلب الحد الثاني من الدالة الداخلية قاعدة السلسلة لتمييزها. لاحظ أيضًا أنه علينا توخي الحذر مجددًا عند الضرب في مشتقة الدالة الداخلية عند تنفيذ قاعدة السلسلة في الحد الثاني.

دعنا ننتقل مباشرة إلى هذا.

في هذا المثال ، تطلب كلا المصطلحين في الوظيفة الداخلية تطبيقًا منفصلاً لقاعدة السلسلة.

سنحتاج إلى توخي الحذر قليلاً مع هذا.

تتطلب هذه المشكلة ما مجموعه 4 قواعد سلسلة لإكمالها.

في بعض الأحيان يمكن أن تصبح هذه الأشياء غير سارة وتتطلب العديد من التطبيقات لقاعدة السلسلة. في البداية ، في هذه الحالات ، من الأفضل عادة توخي الحذر كما فعلنا في هذه المجموعة السابقة من الأمثلة وكتابة خطوتين إضافيتين بدلاً من محاولة القيام بكل ذلك بخطوة واحدة في رأسك. بمجرد أن تتحسن في قاعدة السلسلة ، ستجد أنه يمكنك القيام بذلك بسرعة إلى حد ما في رأسك.

أخيرًا ، قبل أن ننتقل إلى القسم التالي ، هناك مشكلة أخرى نحتاج إلى معالجتها. في قسم مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية ، زعمنا أن ،

[f يسار (x يمين) = hspace <0.25in> hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> hspace <0.25in> f ' left (x right) = ln يسار (أ يمين) ]

لكن في ذلك الوقت لم تكن لدينا المعرفة للقيام بذلك. نحن نفعل الآن. ما كنا بحاجة إليه هو قاعدة السلسلة.

أولاً ، لاحظ أنه باستخدام خاصية اللوغاريتمات يمكننا كتابة (أ ) على النحو التالي ،

قد يبدو هذا سخيفًا نوعًا ما ، لكنه ضروري لحساب المشتق. الآن ، باستخدام هذا يمكننا كتابة الوظيفة على النحو التالي ،

حسنًا ، الآن بعد أن اعتنينا بكل ما نحتاج إلى تذكره هو أن (a ) ثابت وبالتالي فإن ( ln a ) ثابت أيضًا. الآن ، التفريق بين الإصدار النهائي من هذه الوظيفة هو (نأمل) مسألة بسيطة إلى حد ما في قاعدة سلسلة.

الآن ، كل ما علينا فعله هو إعادة كتابة الحد الأول مرة أخرى كـ () لتأخذ، لتمتلك،

[f ' يسار (x يمين) = ln يسار (أ يمين) ]

لذلك ، ليس سيئًا للغاية إذا كان بإمكانك رؤية الحيلة لإعادة كتابة (أ ) وباستخدام قاعدة السلسلة.


حساب التفاضل والتكامل المبكر المتعالي: التفاضل وحساب متعدد المتغيرات للعلوم الاجتماعية

دعنا (h (x) = sqrt <625-x ^ 2> text <.> ) القواعد المذكورة سابقًا لا تسمح لنا بالعثور على (h '(x) text <.> ) ومع ذلك ، (h (x) ) هو تكوين لوظيفتين. دع (f (x) = sqrt x ) و (g (x) = 625-x ^ 2 text <.> ) ثم نرى ذلك

من قواعدنا نعلم أن (f '(x) = frac <1> <2> x ^ <- 1/2> ) و (g' (x) = - 2x text <،> ) وبالتالي سيكون من الملائم وجود قاعدة تسمح لنا بالتفريق بين (f circ g ) من حيث (f ') و (g' text <.> ) وهذا يؤدي إلى ظهور.

نظرية 4.42. حكم السلسلة.

إذا كان (g ) قابلاً للتفاضل عند (x ) و (f ) قابل للتفاضل عند (g (x) text <،> ) فإن الوظيفة المركبة (h = f circ g ) يتم تعريف [الاستدعاء (f circ g ) على أنه (f (g (x)) )] قابل للتفاضل عند (x ) و (h '(x) ) بواسطة:

تحتوي قاعدة السلسلة على تعبير بسيط بشكل خاص إذا استخدمنا تدوين Leibniz للمشتق. الكمية (f '(g (x)) ) هي مشتق من (f ) مع (x ) تم استبداله بـ (g text <> ) ويمكن كتابة هذا (df / dg ) نص <.> ) كالعادة ، (g '(x) = dg / dx text <.> ) ثم تصبح قاعدة السلسلة

يبدو هذا وكأنه حساب تافه ، لكنه ليس: (dg / dx ) ليس كسرًا ، أي ليس قسمة حرفية ، ولكنه رمز واحد يعني (g '(x) text <.> ) ومع ذلك ، فقد تبين أن ما يبدو أنه عملية حسابية تافهة ، وبالتالي يسهل تذكره ، صحيح حقًا.

سوف يتطلب الأمر القليل من التدريب لجعل استخدام قاعدة السلسلة يأتي بشكل طبيعي - فهي أكثر تعقيدًا من قواعد التفاضل السابقة التي رأيناها.

مثال 4.43. حكم السلسلة.

احسب مشتق ( ds sqrt <625-x ^ 2> text <.> )

نحن نعلم بالفعل أن الإجابة هي ( ds -x / sqrt <625-x ^ 2> text <،> ) محسوبة مباشرة من الحد. في سياق قاعدة السلسلة ، لدينا ( ds f (x) = sqrt text <،> ) ( ds g (x) = 625-x ^ 2 text <.> ) نعلم أن ( ds f '(x) = (1/2) x ^ <- 1/2> text <،> ) لذا ( ds f '(g (x)) = (1/2) (625-x ^ 2) ^ <- 1/2> text <.> ) لاحظ أن هذه عملية حسابية من خطوتين: أولاً احسب (f '(x) text <،> ) ثم استبدل (x ) بـ (g (x) text <.> ) منذ ( g '(x) = - 2x ) لدينا

مثال 4.44. حكم السلسلة.

احسب مشتق ( ds 1 / sqrt <625-x ^ 2> text <.> )

هذا حاصل قسمة بسط ثابت ، لذا يمكننا استخدام قاعدة حاصل القسمة ، لكن من الأسهل استخدام قاعدة السلسلة. الوظيفة هي ( ds (625-x ^ 2) ^ <- 1/2> text <،> ) تكوين ( ds f (x) = x ^ <- 1/2> ) و ( ds g (x) = 625-x ^ 2 text <.> ) نحسب ( ds f '(x) = (- 1/2) x ^ <- 3/2> ) باستخدام قاعدة الطاقة ، ثم

افترض أن البيانات الوحيدة المتاحة لك هي بعض النقاط على الرسوم البيانية للدالة (y = f (x) ) ومشتقاتها (f '(x) text <.> )

مثال 4.45. قاعدة السلسلة ونقاط البيانات.

إذا أمكن ، ابحث عن المشتقات التالية:

( left (f circ g right) '(2) = f' left (g (2) right) cdot g '(2) = f' (2) cdot 7 = 4 cdot 7 = 28 )

( left (f circ f right) '(2) = f' left (f (2) right) cdot f '(2) = f' (- 1) cdot 4 = (-5 ) cdot 4 = -20 )

( left (g circ f right) '(- 1) = g' left (f (-1) right) cdot f '(- 1) = g' (3) cdot (-5) ) text <،> ) التي لا يمكن العثور عليها لأننا لا نعرف ما الذي يقيّمه (g '(- 3) ).

مثال 4.46. التحقيق (f (g (a)) ) و (g (f (a)) ).

الرسوم البيانية للوظائف (y = f (x) ) و (y = g (x) ) موضحة أدناه. افترض (h (x) = f (g (x)) ) و (k (x) = g (f (x)) text <.> )

أوجد (h (4) ) و (k (4) text <.> ) هل هاتان القيمتان متماثلتان؟

أوجد (h '(4) ) و (k' (4) text <.> ) هل هاتان القيمتان متماثلتان؟

من الرسم البياني لـ (g ) (باللون الأحمر) ، نقرأ ذلك (g (4) = 2 text <،> ) لذلك

من الرسم البياني لـ (f ) (باللون الأزرق) ، نقرأ ذلك (f (2) = 0 text <،> ) لذلك

بما أن (k (x) = g (f (x)) text <،> ) قرأنا بالمثل من الرسوم البيانية (f ) و (g ) على التوالي للحصول على

بمقارنة القيم ، نرى أن (h (4) neq k (4) text <.> )

حسب قاعدة السلسلة ، لدينا

نحن نعلم بالفعل من (1) أن (ز (4) = 2 نص <،> ) وهكذا

الآن ، تتم قراءة ميل الرسم البياني لـ (f ) عند (x = 2 ) كـ (- 2/1 = -2 نص <،> ) وميل الرسم البياني ( g ) في (x = 4 ) يُقرأ كـ (- 1/1 = -1 نص <.> ) نحن نحسب

بمقارنة القيم ، نستنتج أن (h '(4) neq k' (4) text <.> )

في الممارسة العملية ، بالطبع ، سوف تحتاج إلى استخدام أكثر من قاعدة قمنا بتطويرها لحساب مشتق دالة معقدة.

مثال 4.47. مشتق من الحاصل.

احسب مشتق

العملية "الأخيرة" هنا هي القسمة ، لذلك للبدء ، نحتاج إلى استخدام قاعدة الحاصل أولاً. هذا يعطي

الآن نحتاج إلى حساب مشتق ( ds x sqrt text <.> ) هذا منتج ، لذلك نستخدم قاعدة المنتج:

أخيرًا ، نستخدم قاعدة السلسلة:

وتجميعها معًا:

يمكن تبسيط هذا بالطبع ، لكننا أجرينا كل حسابات التفاضل والتكامل ، بحيث يتبقى الجبر فقط.

باستخدام قاعدة السلسلة ، وقاعدة الطاقة ، وقاعدة المنتج ، من الممكن تجنب استخدام قاعدة الحاصل بالكامل.

مثال 4.48. مشتق من حاصل بدون قاعدة حاصل.

احسب مشتق ( ds f (x) = نص <.> )

لاحظ أنه لدينا بالفعل المشتقة في السطر الثاني ، وكل ما تبقى هو التبسيط. من الأسهل الوصول إلى هذه الإجابة باستخدام قاعدة Quotient ، لذلك هناك مقايضة: المزيد من العمل لصيغ يتم حفظها أقل.

مثال 4.49. قاعدة السلسلة وخط الظل.

أوجد ميل خط المماس لمنحنى الدالة

عند النقطة ( left (0، frac <1> <8> right) text <.> )

يتم إعطاء ميل خط الظل إلى الرسم البياني (f ) في أي نقطة بواسطة (f '(x) text <.> ) لحساب (f' (x) text <،> ) نستخدم قاعدة القوة العامة متبوعة بقاعدة الحاصل للحصول على ،

على وجه الخصوص ، يُعطى ميل خط المماس للرسم البياني عند ( left (0، frac <1> <8> right) ) بواسطة

المثال 4.50. سلسلة التكوين.

حساب مشتق ( ds sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>> نص <.> )

لدينا هنا سلسلة أكثر تعقيدًا من التركيبات ، لذلك نستخدم قاعدة السلسلة ثلاث مرات. في "الطبقة" الخارجية لدينا الوظيفة ( ds g (x) = 1 + sqrt <1+ sqrt> ) متصل بـ ( ds f (x) = sqrt text <،> ) لذا فإن تطبيق قاعدة السلسلة يعطي مرة واحدة

نحتاج الآن إلى مشتق ( ds sqrt <1+ sqrt> text <.> ) استخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى:

لذا فإن المشتق الأصلي هو

لمعرفة القوة الكاملة لقاعدة السلسلة ، سننظر في تركيبات أكثر تعقيدًا للوظائف.

المثال 4.51. سلسلة معقدة من التكوين.

لنفترض أننا حصلنا على الوظائف (f (x) = sqrt [5]) ، (g (x) = left (x ^ <2> + 3x right) ^ <24> text <،> ) و ، (h (x) = frac <1> text <.> ) أوجد المشتق الأول للتركيبات التالية:

( يسار (f circ h circ g right) (x) )

( يسار (g circ f circ h right) (x) )

سنقدم أولا بعض الملاحظات العامة. من خلال تطبيق قاعدة السلسلة مرتين ، نجد أن مشتق ( left (f circ g circ h right) (x) ) هو

مشتق ((f circ h circ g) (x) ) يُعطى بواسطة

يمكننا الآن استخدام مشتقات (f text <،> ) (g ) و (h ) التي حسبناها أعلاه وتقييمها في الوظائف الداخلية المناسبة.

يمكننا أخيرًا تجميع المشتق الذي نسعى إليه ،

بطريقة مماثلة ، نجد المشتق الأول لـ ( left (g circ f circ h right) (x) ) ليكون

مثال 4.52. معدل تطبيق التغيير.

عضوية مركز اللياقة البدنية ، الذي افتتح قبل بضع سنوات ، تقترب من الوظيفة

حيث (N (t) ) يعطي عدد الأعضاء في بداية الأسبوع (t text <.> )

ما مدى سرعة زيادة عضوية المركز في البداية ( (t = 0 ))؟

ما مدى سرعة زيادة العضوية في بداية الأسبوع (40 )؟

ما هي العضوية عند افتتاح المركز لأول مرة؟ في بداية الأسبوع (40 )؟

باستخدام قاعدة القوة العامة ، نحصل عليها

معدل زيادة العضوية عند افتتاح المركز لأول مرة تم إعطاؤه بواسطة

أو ما يقرب من (67 ) شخص في الأسبوع.

يتم إعطاء معدل زيادة العضوية في بداية الأسبوع (40 ) بمقدار

او ما يقارب (44 ) شخص اسبوعيا.

يتم إعطاء العضوية عند فتح المركز لأول مرة بواسطة

او قرابة (1600 ) شخص. يتم منح العضوية في بداية الأسبوع (40 ) بحلول

او ما يقارب (3688 ) شخص.

تمارين للقسم 4.4.
تمرين 4.4.1.

أوجد مشتقات التوابع. لمزيد من التدريب ، وللتحقق من إجاباتك ، قم ببعض هذه الأسئلة بأكثر من طريقة إن أمكن.


3.8: قاعدة السلسلة - الرياضيات

لقد رأينا حتى الآن كيفية حساب مشتق دالة مبنية من وظائف أخرى عن طريق الجمع والطرح والضرب والقسمة. هناك طريقة أخرى مهمة جدًا نجمع بها وظائف بسيطة لعمل وظائف أكثر تعقيدًا: تكوين الوظيفة ، كما تمت مناقشته في القسم 2.3. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك $ ds sqrt <625-x ^ 2> $. تحتوي هذه الوظيفة على العديد من المكونات الأبسط ، مثل 625 و $ ds x ^ 2 $ ، ثم هناك رمز الجذر التربيعي ، لذا فإن دالة الجذر التربيعي $ ds sqrt= x ^ <1/2> $ متورط. السؤال الواضح هو: هل يمكننا حساب المشتق باستخدام مشتقات المكونات $ ds 625-x ^ 2 $ و $ ds sqrt$؟ يمكننا بالفعل. بشكل عام ، إذا كانت $ f (x) $ و $ g (x) $ دالات ، فيمكننا حساب مشتقات $ f (g (x)) $ و $ g (f (x)) $ بدلالة $ f '(x) $ and $ g' (x) $.

مثال 3.5.1 قم بتكوين التركيبين المحتملين لـ $ ds f (x) = sqrt$ و $ ds g (x) = 625-x ^ 2 $ واحسب المشتقات. أولاً ، $ ds f (g (x)) = sqrt <625-x ^ 2> $ ، والمشتق $ ds -x / sqrt <625-x ^ 2> $ كما رأينا. ثانيًا ، $ ds g (f (x)) = 625 - ( sqrt) ^ 2 = 625-x $ بمشتق $ -1 $. بالطبع ، لا تستخدم هذه الحسابات أي شيء جديد ، وبالأخص مشتق $ f (g (x)) $ كان مملاً إلى حد ما للحساب من التعريف.

تحتوي قاعدة السلسلة على تعبير بسيط بشكل خاص إذا استخدمنا تدوين Leibniz للمشتق. الكمية $ f '(g (x)) $ هي مشتق $ f $ مع استبدال $ x $ بـ $ g $ وهذا يمكن كتابته $ df / dg $. كالعادة ، $ g '(x) = dg / dx $. ثم تصبح قاعدة السلسلة $ = $ هذا يبدو كعملية حسابية تافهة ، لكنه ليس كذلك: $ dg / dx $ ليس كسرًا ، أي ليس قسمة حرفية ، ولكنه رمز واحد يعني $ g '(x) $. ومع ذلك ، فقد تبين أن ما يبدو أنه عملية حسابية تافهة ، وبالتالي يسهل تذكره ، صحيح حقًا.

سوف يستغرق الأمر بعض التدريب لجعل استخدام قاعدة السلسلة يأتي بشكل طبيعي و mdashit أكثر تعقيدًا من قواعد التفاضل السابقة التي رأيناها.

مثال 3.5.2 احسب مشتق $ ds sqrt <625-x ^ 2> $. نعلم بالفعل أن الإجابة هي $ ds -x / sqrt <625-x ^ 2> $ ، محسوبة مباشرة من الحد الأقصى. في سياق قاعدة السلسلة ، لدينا $ ds f (x) = sqrt$، $ ds g (x) = 625-x ^ 2 $. نعلم أن $ ds f '(x) = (1/2) x ^ <- 1/2> $ ، لذا $ ds f' (g (x)) = (1/2) (625-x ^ 2) ^ <- 1/2> دولار. لاحظ أن هذه عملية حسابية من خطوتين: أولاً احسب $ f '(x) $ ، ثم استبدل $ x $ بـ $ g (x) $. بما أن $ g '(x) = - 2x $ لدينا $ f' (g (x)) g '(x) = <1 over 2 sqrt <625-x ^ 2 >> (- 2x) = <- x over sqrt <625-x ^ 2 >>. $

مثال 3.5.3 احسب مشتق $ ds 1 / sqrt <625-x ^ 2> $. هذا خارج قسمة بسط ثابت ، لذا يمكننا استخدام قاعدة خارج القسمة ، لكن من الأسهل استخدام قاعدة السلسلة. الوظيفة هي $ ds (625-x ^ 2) ^ <- 1/2> $ ، تكوين $ ds f (x) = x ^ <- 1/2> $ و $ ds g (x) = 625-س ^ 2 دولار.نحسب $ ds f '(x) = (- 1/2) x ^ <- 3/2> $ باستخدام قاعدة القوة ، ثم $ f' (g (x)) g '(x) = <- 1 على 2 (625-x ^ 2) ^ <3/2 >> (- 2x) =>. $

في الممارسة العملية ، بالطبع ، سوف تحتاج إلى استخدام أكثر من قاعدة قمنا بتطويرها لحساب مشتق دالة معقدة.

مثال 3.5.4 احسب مشتق $ f (x) =>. $ العملية "الأخيرة" هنا هي القسمة ، لذلك للبدء ، نحتاج إلى استخدام قاعدة خارج القسمة أولاً. هذا يعطي $ eqalign - (x ^ 2-1) (x sqrt) ' over x ^ 2 (x ^ 2 + 1)> cr & = <2x ^ 2 sqrt- (x ^ 2-1) (x sqrt) ' over x ^ 2 (x ^ 2 + 1)>. cr> $ الآن نحتاج إلى حساب مشتق $ ds x sqrt$. هذا منتج ، لذلك نستخدم قاعدة المنتج: $x sqrt= س مربع+ مربعأخيرًا ، نستخدم قاعدة السلسلة: $ مربع=(x ^ 2 + 1) ^ <1/2> = <1 over 2> (x ^ 2 + 1) ^ <- 1/2> (2x) =>. $ وتجميعها معًا: $ eqalign - (x ^ 2-1) (x sqrt) ' على x ^ 2 (x ^ 2 + 1)>. cr & = <2x ^ 2 sqrt- (x ^ 2-1) left (x < ds>> + مربع right) over x ^ 2 (x ^ 2 + 1)>. cr> $ يمكن تبسيط هذا بالطبع ، لكننا قمنا بحساب التفاضل والتكامل ، لذلك لم يتبق سوى الجبر.

المثال 3.5.5 احسب مشتق $ ds sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>> $. لدينا هنا سلسلة أكثر تعقيدًا من التركيبات ، لذلك نستخدم قاعدة السلسلة مرتين. في "الطبقة" الخارجية لدينا الوظيفة $ ds g (x) = 1 + sqrt <1+ sqrt> $ موصول بـ $ ds f (x) = sqrt$ ، لذا فإن تطبيق قاعدة السلسلة مرة واحدة يعطي $ sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>> = <1 أكثر من 2> يسار (1+ sqrt <1+ sqrt> يمين) ^ <- 1/2> يسار (1+ sqrt <1+ sqrt> right). $ الآن نحتاج إلى مشتق $ ds sqrt <1+ sqrt> دولار. استخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى: $ sqrt <1+ sqrt> = <1 أكثر من 2> يسار (1+ sqrt right) ^ <- 1/2> <1 over 2> x ^ <- 1/2>. $ لذا فإن المشتق الأصلي هو $ eqalign < sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>> & = <1 أكثر من 2> يسار (1+ sqrt <1+ sqrt> right) ^ <-1/2> <1 over 2> left (1+ sqrt right) ^ <- 1/2> <1 over 2> x ^ <- 1/2>. cr & = <1 over 8 sqrt sqrt <1+ sqrt> sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>>> >$

باستخدام قاعدة السلسلة وقاعدة القوة وقاعدة المنتج ، من الممكن تجنب استخدام قاعدة خارج القسمة بالكامل.


موارد الرياضيات العليا

.

1. حول قاعدة السلسلة

للتعرف على قاعدة السلسلة ، يرجى النقر على رابط نظرية التفاضل والتكامل الإضافية (HSN) والقراءة من الصفحة 151. يرجى أيضًا الاطلاع في القسمين 2 و 3 أدناه على مقاطع الفيديو والخرائط الذهنية (انظر تحت حساب التفاضل والتكامل الإضافي) وأوراق العمل حول هذا الموضوع لمساعدتك فهم. يوصى بشدة باستخدام ورقة عمل المهارات الأساسية 22 ، جنبًا إلى جنب مع أوراق العمل بما في ذلك أسئلة امتحان SQA الفعلية.

إذا كنت ترغب في المزيد من المساعدة في فهم حكم السلسلة هناك حلول كاملة وسهلة المتابعة وعملية خطوة بخطوة لعشرات من أسئلة اختبار الرياضيات العليا في الماضي والممارسة حول جميع الموضوعات في حزمة الدراسة عبر الإنترنت. يرجى إعطاء نفسك كل فرصة للنجاح ، والتحدث مع والديك ، والاشتراك في ركز الامتحان حزمة الدراسة عبر الإنترنت اليوم.

قاعدة السلسلة

تُستخدم قاعدة السلسلة في حساب التفاضل والتكامل الإضافي.

  • يذهب n إلى مقدمة القوس
  • داخل القوس يبقى كما هو ⇒ (فأس + ب)
  • اضرب بالقوس الأول المتمايز ⇒ أ
  • قم بالتبسيط بإحضار & # 8216a & # 8217 إلى مقدمة الحامل
  • تذهب القوة إلى الأمام
  • ثم يتم خصم القوة بمقدار 1
  • القوس الأول يبقى كما هو
  • القوس الثاني هو القوس الأول متمايزًا

2. التمايز وأوراق العمل # 8211

بفضل SQA والمؤلفين لجعل الموارد الممتازة أدناه متاحة مجانًا. يرجى استخدامها بانتظام للمراجعة قبل التقييمات والاختبارات والامتحان النهائي. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع أوراق العمل أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

أوراق عمل
___________________________
عنوان
_____________________________
الإجابات
________
ممارسة امتحان المهارات الأساسية 3التفاضلالإجابات
ممارسة اختبار المهارات الأساسية 9مزيد من حساب التفاضل والتكاملالإجابات
المهارات الأساسية 4معادلة المماس لمنحنىالإجابات
المهارات الأساسية 5النقاط الثابتةالإجابات
المهارات الأساسية 17الرسوم البيانية للوظائف المشتقةالإجابات
المهارات الأساسية 22مزيد من التمايزالإجابات
المهارات الأساسية 23مزيد من التكاملالإجابات
أسئلة الامتحان العاليالرسوم البيانية المشتقةالإجابات
أسئلة الامتحان العاليالتمايز - 1الإجابات
أسئلة الامتحان العاليالتمايز - 2الإجابات
أسئلة الامتحان العاليالتمايز (التحسين)الإجابات
أسئلة الامتحان العاليمزيد من حساب التفاضل والتكاملالإجابات

3. التمايز & # 8211 مقاطع فيديو وأدلة نظرية وخرائط ذهنية

نشكر المؤلفين على إتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا. يرجى استخدامها بانتظام للمراجعة قبل التقييمات والاختبارات والامتحان النهائي.

فيديو لاربرت الرياضيات
__________________________________
maths180.com مقاطع الفيديو
______________________________________
أدلة نظرية HSN
____________________________
خرائط العقل
____________________________
تطبيقات المشتقاتقاعدة السلسلة - زيادة / تناقصنظرية التمايز (HSN)التمايز (HSN)
حكم السلسلةالتحسين - أمثلة أكثر تحديانظرية التفاضل والتكامل الإضافية (HSN)التمايز (التحضير)
فترات مغلقةمعدل التغيير وأمبير الظل إلى منحنى التمايز 1
التمايز المعقدوظائف التشغيل وقاعدة سلسلة أمبير التمايز 2
منحنى رسم التمايز (إضافي)
الرسوم البيانية المشتقة
معادلات الظل
الكسور والجذور
وظائف زيادة وخفض أمبير
مقدمة في التمايز
تدوين لايبنيز
الاقوي
النقاط الثابتة
Sin x & amp Cos x

4. مهارات الرياضيات العليا الأساسية

شكرًا للسيد G Rennie على إتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا. يمكن استخدام أوراق عمل المهارات الأساسية للمراجعة العامة ، والواجبات المنزلية ، وتوحيد موضوع أو التحضير للتقييمات والاختبارات والامتحانات. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع أوراق عمل المهارات الأساسية البالغ عددها 33 أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

مهارات اساسيه
__________________
عنوان
________________________________
الإجابات
________
مهارات اساسيه
_______________
عنوان
_________________________
الإجابات
___________
كتيب ممارسة الامتحانكتيب التدريب على الامتحان مع الإجاباتالإجاباتالمهارات الأساسية 17الرسوم البيانية للوظائف المشتقةالإجابات
المهارات الأساسية 1متوسط ​​المثلثالإجاباتالمهارات الأساسية 18المعادلات اللوغاريتميةالإجابات
المهارات الأساسية 2منصفات عموديةالإجاباتالمهارات الأساسية 19إثبات الهويات المثلثيةالإجابات
المهارات الأساسية 3ارتفاع المثلثالإجاباتالمهارات الأساسية 20الرسوم البيانية ذات الصلةالإجابات
المهارات الأساسية 4معادلة المماس لمنحنىالإجاباتالمهارات الأساسية 21المنتج العدديالإجابات
المهارات الأساسية 5النقاط الثابتةالإجاباتالمهارات الأساسية 22مزيد من التمايزالإجابات
المهارات الأساسية 6المتباينات التربيعيةالإجاباتالمهارات الأساسية 23مزيد من التكاملالإجابات
المهارات الأساسية 7استكمال الساحةالإجاباتالمهارات الأساسية 24التكرار: شروط متتاليةالإجابات
المهارات الأساسية 8الظل لدائرةالإجاباتالمهارات الأساسية 25المعادلات التفاضليةالإجابات
المهارات الأساسية 9تقاطع الخطوط والدوائر أمبيرالإجاباتالمهارات الأساسية 26تكاملات محددةالإجابات
المهارات الأساسية 10صيغة المقطعالإجاباتالمهارات الأساسية 27وظائف مركبةالإجابات
المهارات الأساسية 11صيغة Trigالإجاباتالمهارات الأساسية 28وظائف معكوسةالإجابات
المهارات الأساسية 12الزوايا ذات الصلةالإجاباتالمهارات الأساسية 29الزاوية بين الخط ومحور x أمبيرالإجابات
المهارات الأساسية 13المعادلات المثلثية (صيغة الزاوية المزدوجة)الإجاباتالمهارات الأساسية 30الزاوية بين المتجهاتالإجابات
المهارات الأساسية 14تقسيم الاصطناعيةالإجاباتالمهارات الأساسية 31اللوغاريتمات الطبيعيةالإجابات
المهارات الأساسية 15حد تكرار العلاقةالإجاباتالمهارات الأساسية 32السجلات: توصيل متغيرينالإجابات
المهارات الأساسية 16وظيفة الموجةالإجاباتالمهارات الأساسية 33باستخدام التمييزالإجابات

.

5. أوراق عمل امتحان الرياضيات العليا حسب الموضوع

بفضل SQA والمؤلفين لجعل الموارد الممتازة أدناه متاحة مجانًا. تعد أوراق العمل حسب الموضوع مصدرًا رائعًا للدراسة لأنها أسئلة اختبار ورقي سابقة فعلية. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع أسئلة الرياضيات العليا الجديدة الخاصة بـ CfE أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

عدد
______
عنوان
___________________________
الإجابات
____________
عدد
______
عنوان
___________________________
الإجابات
_____________
1الدوائر الإجابات21كثيرات الحدودالإجابات
2الدوائر (القديمة العليا)وشملت الجواب22كثيرات الحدود (القديمة العليا)وشملت الجواب
3التمايز - 1الإجابات23التربيعيةالإجابات
4التمايز - 2الإجابات24التربيعية (العليا القديمة)وشملت الجواب
5التمايز (التحسين)الإجابات25علاقات التكرار - 1الإجابات
6التمايز (القديم العالي)وشملت الجواب26علاقات التكرار - 2الإجابات
7الأسي وسجلات أمبيرالإجابات27علاقات التكرار (القديم العالي)وشملت الجواب
8الأسي وسجلات أمبير (القديم الأعلى)وشملت الجواب28الخطوط المستقيمة - 1الإجابات
9المهامالإجابات29الخطوط المستقيمة - 2الإجابات
10الوظائف والرسوم البيانية أمبيرالإجابات30الخطوط المستقيمة (القديمة العليا)وشملت الجواب
11الوظائف (القديمة العليا)وشملت الجواب31الصيغ المثلثية ومعادلات أمبير - 1الإجابات
12مزيد من حساب التفاضل والتكاملالإجابات32الصيغ المثلثية ومعادلات أمبير - 2الإجابات
13حساب التفاضل والتكامل الإضافي (القديم العالي)وشملت الجواب33صيغة إضافة المثلثات (القديمة الأعلى)وشملت الجواب
14الرسوم البيانية للوظائفالإجابات34الرسوم البيانية المثلثية والمعدلات (العليا القديمة)وشملت الجواب
15الرسوم البيانية للدوال (القديمة العليا)وشملت الجواب35ثلاثة أبعادالإجابات
16التكامل - 1الإجابات36المتجهات (القديمة العليا)وشملت الجواب
17التكامل - 2الإجابات37وظيفة الموجةالإجابات
18التكامل - المنطقة الواقعة تحت منحنىالإجابات38وظيفة الموجة (القديمة الأعلى)وشملت الجواب
19الاندماج (القديم العالي)وشملت الجواب39مراجعة أولية خاصةالإجابات
20كثيرات الحدود ورباعيات أمبيرالإجابات

6. أوراق ممارسة الرياضيات العليا في الماضي وأبحاث الممارسة حسب الموضوع

بفضل SQA لجعل الموارد الممتازة أدناه متاحة مجانًا. تم تقسيم الأسئلة والأجوبة حسب الموضوع لتسهيل الرجوع إليها. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع الأسئلة أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

.

7. مقاطع فيديو أعلى للرياضيات ، أدلة نظرية ، خرائط ذهنية وأوراق عمل

تقدم العشرات من مقاطع الفيديو الخاصة بالرياضيات العليا دروسًا جيدة حسب الموضوع. يتم تضمين أيضًا أدلة نظرية ممتازة وخرائط ذهنية وأوراق عمل مراجعة مع أسئلة امتحان الرياضيات العليا الفعلية. يرجى النقر على صفحة جديدة مخصصة للرياضيات العليا وأوراق عمل حسب الموضوع.

8. أوراق ممارسة الرياضيات العليا في الماضي

بفضل SQA لجعل الموارد الممتازة أدناه متاحة مجانًا. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع أوراق CfE العليا أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

.

9. 40 أسئلة الرياضيات العليا غير الحاسبة وأجوبة أمبير

بفضل SQA والمؤلفين لجعل الموارد الممتازة أدناه متاحة مجانًا. ابدأ بهذه الأسئلة للمساعدة في بناء ثقتك بنفسك. بمجرد الانتهاء ، قد ترغب في الانتقال إلى 200 سؤال لامتحان الرياضيات العالي في القسم التالي للتحقق من إجاباتك كما تذهب. إذا واجهتك مشكلة ، فاطلب دائمًا من معلمك المساعدة في أسرع وقت ممكن. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع الأسئلة الأربعين أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

أسئلة الامتحان
_______________________
الإجابات
__________
الورقة أ - 10 أسئلةالإجابات
الورقة ب - 10 أسئلةالإجابات
ورقة ج - 10 أسئلةالإجابات
الورقة د - 10 أسئلةالإجابات
كتيب كامل للطباعةالإجابات

10. 200 الرياضيات العليا أسئلة وأجوبة أمبير

بفضل SQA والمؤلفين لإتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا. يرجى محاولة القيام بأكبر عدد ممكن من الأسئلة ، والتحقق من إجاباتك كما تذهب. إذا واجهتك مشكلة ، فاطلب دائمًا من معلمك المساعدة في أسرع وقت ممكن. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لجميع الأسئلة الـ 200 أدناه في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

أسئلة الامتحان
_____________________
الإجابات
___________
أسئلة الامتحان 1 - 20الإجابات
أسئلة الامتحان 21-40الإجابات
أسئلة الامتحان 41-60الإجابات
أسئلة الامتحان 61-80الإجابات
أسئلة الامتحان 81 - 100الإجابات
أسئلة الامتحان 101 - 120الإجابات
أسئلة الامتحان 121 - 140الإجابات
أسئلة الامتحان 141 - 160الإجابات
أسئلة الامتحان 161-180الإجابات
أسئلة الامتحان 181-200الإجابات
كتيب كامل للطباعةالإجابات

.

11. تم تضمين أوراق الامتحان التدريبي من A إلى H & # 8211 الإجابات

بفضل أكاديمية SQA و Larkhall لتوفير الموارد الممتازة أدناه مجانًا. يرجى استخدامها بانتظام للمراجعة قبل التقييمات والاختبارات والامتحان النهائي. تتوفر حلول عملية واضحة وسهلة المتابعة وخطوة بخطوة لأوراق الممارسة من A إلى E في حزمة الدراسة عبر الإنترنت.

ورقة تدريب
_____________
ورقة 1
_____________
ورقة 2
_____________
الأوراق 1 و 2
_____________________
الإجابات
_____________
ورقة أورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورقة بورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورقة جورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورقة دورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
الورق Eورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورقة Fورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورقة Gورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
ورق حورقة 1ورقة 2الأوراق 1 و 2الإجابات
بريليم سبيشالأسئلة أسئلة وأجوبةالإجابات
بريليم سبيشالموضوع X-Mas أسئلة وأجوبةالإجابات

.

12. 264 امتحان SQA أسئلة الاختيار من متعدد & أمبير الأجوبة

بفضل SQA والمؤلفين لجعل الموارد الممتازة أدناه متاحة مجانًا. الاختيار من متعدد هي في الأساس أسئلة من المستوى C ومكان رائع لبدء المراجعة. إذا واجهتك مشكلة ، فاطلب دائمًا من معلمك المساعدة في أسرع وقت ممكن.

أسئلة
__________
سنة
______
امتحان الاختيار من متعدد
__________________
امتحان الاختيار من متعدد
__________________
امتحان الاختيار من متعدد
__________________
1 - 202015أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
21 - 402014أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
41 - 602013أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
61 - 802012أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
81 - 1002011أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
101 - 1202010أسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط
121 - 264مختلطأسئلة فقطأسئلة وأجوبةالإجابات فقط


13. قوائم مراجعة امتحان الرياضيات العالي

بفضل SQA والمؤلفين لجعل الموارد الممتازة أدناه متاحة مجانًا. هذه قوائم مراجعة رائعة لتقييم معرفتك العليا في الرياضيات. يرجى محاولة استخدامها بانتظام للمراجعة قبل الاختبارات ، والاختبارات التمهيدية والامتحان النهائي.

وصف
___________________________________________________
نهاية لهذه الغاية
________
شكر وتقدير
_________________________
توصيف مقررات الرياضيات العلياهنا
قائمة صيغ اختبار الرياضيات العالي SQAهنابإذن من SQA
قائمة الاختيار 1 - اختبار الرياضيات العالي كامل الدورة
هنابإذن من زيتا ماثس
قائمة التحقق 2 - قائمة صيغ الرياضيات العليا غير معطاة في الامتحانهنا
قائمة التحقق 3 - اختبار الرياضيات العالي كامل الدورةهنا
قائمة التحقق 4 - ورقة مراجعة حساب المثلثات العليا لامتحان الرياضياتهنا
قائمة التحقق 5 - دليل ملخص صفحة واحدة الوحدة 1 (HSN)هنابإذن من HSN
قائمة التحقق 6 - دليل ملخص صفحة واحدة الوحدة 2 (HSN)هنابإذن من HSN
قائمة التحقق 7 - دليل ملخص صفحة واحدة الوحدة 3 (HSN)هنابإذن من HSN

14. قديم أسئلة امتحان الرياضيات العليا حسب الموضوع

بفضل SQA لجعل الموارد الممتازة أدناه متاحة مجانًا. تعد أوراق العمل حسب الموضوع مصدرًا دراسيًا إضافيًا رائعًا.

عنوان
________
اسم الموضوع
___________________________
نهاية لهذه الغاية
________
ملاحظات
___________________
الموضوع 1الدوائرهناوشملت الإجابات
الموضوع 2التفاضلهناوشملت الإجابات
الموضوع 3الأسي واللوغاريتمات أمبيرهناوشملت الإجابات
الموضوع 4المهامهناوشملت الإجابات
الموضوع 5مزيد من حساب التفاضل والتكاملهناوشملت الإجابات
الموضوع 6الرسوم البيانية للوظائفهناوشملت الإجابات
الموضوع 7دمجهناوشملت الإجابات
الموضوع 8كثيرات الحدودهناوشملت الإجابات
الموضوع 9التربيعيةهناوشملت الإجابات
الموضوع 10علاقات التكرارهناوشملت الإجابات
الموضوع 11خط مستقيمهناوشملت الإجابات
الموضوع 12صيغ الإضافة المثلثيةهناوشملت الإجابات
الموضوع 13الرسوم البيانية المثلثية ومعادلات أمبيرهناوشملت الإجابات
الموضوع 14ثلاثة أبعادهناوشملت الإجابات
الموضوع 15وظيفة الموجةهناوشملت الإجابات

15. حلول الكتب النصية العليا في الرياضيات

شكرًا لـ AHS لتوفير حلول الكتب النصية Heinemann Higher Maths أدناه. ستكون هذه مفيدة للغاية في المساعدة على تطوير معرفتك العليا بالرياضيات. يرجى ملاحظة أنه قد يكون هناك خطأ حسابي فردي.

عنوان
______________
اسم الموضوع
____________________
الموضوع 1خط مستقيم1 أ1 ب1 د1E1F1G11 ك1 م1N1O1O
الموضوع 2الوظائف والرسوم البيانية أمبير 12 أ2 ب2 ج2 د2F2G2 أنا
الموضوع 3الوظائف والرسوم البيانية 2 3 أ3 ج3 ك3N3O3 ص
الموضوع 4تكرار5 أ5 ب5 ب5 ج5 د5F5 ح5 أنا
الموضوع 5التفاضل6 أ6 ج6 د6E6F6 ز6 ح6 أنا6J6 لتر6 م6N6O6 ص6Q6R6S
الموضوع 6كثيرات الحدود7 ب7 ج7 د7E7F7 ز7 ح7 أنا7J
الموضوع 7التربيعية8 ج8 د8E8F8 ح8 أنا8J8 كيلو
الموضوع 8دمج9G9 ح9 أنا9 لتر9N9 ص9Q
الموضوع 9علم المثلثات11 ب11 ج11 د11 هـ11F11G11 ح
الموضوع 10الدوائر12 ب12 د12F12 ح12J12 ك12 لتر
الموضوع 11ثلاثة أبعاد13 أ13 ج13 د13 هـ13F13 ز13 أنا13 ك13 لتر13 م13N13O13 ص13 س13R13 ثانية13U
الموضوع 12مزيد من حساب التفاضل والتكامل14 ب14 ج14 ج14 هـ14 ز14 ح14 أنا14J14 ك
الموضوع 13إكسب & أمبير ؛ سجلات15 ج15 د15 هـ15F15 ز15 ح15 ط15 ط15J15 ألف15 لتر
الموضوع 14وظيفة الموجة16 أ16 ج16 د16 هـ16F16 ز16 ح

16. أدلة نظرية الرياضيات العليا

بفضل HSN لإتاحة أدلة نظرية الرياضيات العليا الممتازة مجانًا ليستخدمها الجميع. ستثبت هذه المصادر أنها مورد رائع في مساعدتك على ترسيخ فهمك للرياضيات العليا.

أدلة النظرية
_________________
عنوان
____________________________________________
نهاية لهذه الغاية
_______
دليل النظرية 1نظرية الوحدة الأولى لكل الموضوعات (HSN)هنا
دليل النظرية 2كل المواضيع الوحدة 1 - دليل موجز من صفحة واحدة (HSN)هنا
دليل النظرية 3نظرية الوحدة الثانية لكل الموضوعات (HSN)هنا
دليل النظرية 4كل المواضيع الوحدة 2 - دليل موجز من صفحة واحدة (HSN)هنا
دليل النظرية 5نظرية الوحدة الثالثة لكل الموضوعات (HSN)هنا
دليل النظرية 6كل المواضيع الوحدة 3 - دليل موجز من صفحة واحدة (HSN)هنا
دليل النظرية 7جميع وحدات المواضيع 1،2 و 3 نظرية (HSN)هنا
دليل النظرية 8نظرية الدوائر (HSN)هنا
دليل النظرية 9نظرية التمايز (HSN)هنا
دليل النظرية 10نظرية الأسي واللوغاريتمات (HSN)هنا
دليل النظرية 11نظرية الوظائف والرسوم البيانية (HSN)هنا
دليل النظرية 12نظرية التفاضل والتكامل الإضافية (HSN)هنا
دليل النظرية 13نظرية تحولات الرسوم البيانية (الحركة والانعكاس)هنا
دليل النظرية 14ورقة ملخص تحولات الرسوم البيانيةهنا
الدليل النظري 15نظرية التكامل (HSN)هنا
الدليل النظري 16نظرية كثيرات الحدود والمربعات (HSN)هنا
الدليل النظري 17نظرية التسلسلات (HSN)هنا
دليل النظرية 18نظرية الخط المستقيم (HSN)هنا
الدليل النظري 19نظرية علم المثلثات (HSN)هنا
الدليل النظري 19نظرية المتجهات (HSN)هنا
دليل النظرية 20نظرية وظيفة الموجة (HSN)هنا

17. الخرائط الذهنية للرياضيات العليا

شكرا للمؤلفين لتوفير الموارد الممتازة أدناه. ستثبت هذه الموارد الرائعة في مساعدتك على الاستعداد للتقييمات والاختبارات والامتحان النهائي.

خريطة ذهنية
____________
عنوان
____________________________
خريطة ذهنية
___________
عنوان
____________________________
الخريطة الذهنية 1الدائرة 1 الخريطة الذهنية 16كثيرات الحدود ورباعيات أمبير
الخريطة الذهنية 2الدائرة 2الخريطة الذهنية 17كثيرات الحدود
الخريطة الذهنية 3وظائف مركبةالخريطة الذهنية 18التربيعية
خريطة ذهنية 4صيغة الزاوية المركبةالخريطة الذهنية 19علاقات التكرار 1
الخريطة الذهنية 5التمايز (التحضير)20 الخريطة الذهنيةعلاقات التكرار 2
الخريطة الذهنية 6التمايز 1الخريطة الذهنية 21خطوط مستقيمة 1
الخريطة الذهنية 7التمايز 2الخريطة الذهنية 22خطوط مستقيمة 2
الخريطة الذهنية 8التمايز (إضافي)الخريطة الذهنية 23علم المثلثات 1
الخريطة الذهنية 9الوظائف والرسوم البيانية أمبيرالخريطة الذهنية 24علم المثلثات 2
الخريطة الذهنية 10تحويلات الرسم البيانيخريطة ذهنية 25النواقل 1
الخريطة الذهنية 11التكامل (التحضير)خريطة ذهنية 26المتجهات 2
الخريطة الذهنية 12التكامل 1الخريطة الذهنية 27النواقل 3
الخريطة الذهنية 13التكامل 2الخريطة الذهنية 28وظيفة الموجة 1
الخريطة الذهنية 14السجلات & amp ؛ أمبير ؛ الأسية 1الخريطة الذهنية 29وظيفة الموجة 2
الخريطة الذهنية 15السجلات & أمبير ؛ أمبير الأسي 2

18. تقييمات وحدة ممارسة الرياضيات العليا & # 8211 الحلول متضمنة

نشكر المؤلفين على إتاحة الموارد الممتازة أدناه مجانًا للجميع لاستخدامها. يرجى استخدامها بانتظام للمراجعة قبل التقييمات والاختبارات والامتحان النهائي.

وحدة
_________
ورق
____________
حلول
___________
الوحدة الأولىالممارسة أحلول
الوحدة الأولىالممارسة بحلول
الوحدة الثانيةالممارسة أحلول
الوحدة الثانيةالممارسة بحلول
الوحدة الثالثةالممارسة أحلول
الوحدة الثالثةالممارسة بحلول
الوحدة الرابعةالممارسة أحلول

19. الرياضيات العليا الماضي ورقة حلول الفيديو

الرجاء النقر فوق DLB Maths لعرض حلول فيديو الورقة السابقة للرياضيات العليا. سيثبت هذا أنه مورد ممتاز لمساعدتك في الاستعداد للتقييمات والاختبارات والامتحان النهائي.

20. كتاب نصي ينصح به الرياضيات العليا

يرجى الاطلاع أدناه على كتابنا النصي الموصى به للغاية والذي يمكن طلبه بالضغط على الكتاب / الرابط.

21. حزمة دراسة الرياضيات العليا عبر الإنترنت

من خلال الحلول العملية خطوة بخطوة لأسئلة الاختبار المتوفرة في حزمة الدراسة عبر الإنترنت ، نغطي كل ما تحتاج لمعرفته حول قاعدة السلسلة لاجتياز الاختبار النهائي.

بالنسبة للطلاب الذين يبحثون عن تمريرة "جيدة" في الرياضيات العليا ، قد ترغب في التفكير في الاشتراك في الموارد الإضافية الرائعة التي تركز على الامتحان والمتوفرة في حزمة الدراسة عبر الإنترنت. قد ينتهي الأمر بالاشتراك ليكون أحد أفضل استثماراتك على الإطلاق.

يرجى إعطاء نفسك كل فرصة للنجاح ، والتحدث مع والديك ، والاشتراك في ركز الامتحان حزمة الدراسة عبر الإنترنت اليوم.

نأمل أن تكون الموارد الموجودة على هذا الموقع مفيدة ونتمنى لك كل النجاح في دورة الرياضيات العليا في عام 2022.

تقول ابنتي إن موقع الويب العالي كان مفيدًا حقًا. لقد حصلت على & # 8216A & # 8217 للرياضيات العليا هذا العام وهي تتولى الآن الرياضيات العليا المتقدمة التي ترغب في الاشتراك في موقع AH الخاص بك. سأذهب وأفعل ذلك الآن & # 8211 شكرا مرة أخرى.


مدونة Symbolab

في مقالنا السابق ، تحدثنا عن كيفية إيجاد حد دالة باستخدام قاعدة L'Hopital. هناك طريقة أخرى مفيدة لإيجاد النهاية وهي قاعدة السلسلة. عندما تتبادر إلى الذهن قاعدة السلسلة ، غالبًا ما نفكر في قاعدة السلسلة التي نستخدمها عند اشتقاق دالة. ومع ذلك ، فإن قاعدة السلسلة المستخدمة لإيجاد النهاية تختلف عن قاعدة السلسلة التي نستخدمها عند الاشتقاق.

قاعدة السلسلة:


ماذا تعني قاعدة السلسلة؟

بالنظر إلى الدالة f (g (x)) ، نجعل الدالة الداخلية مساوية لـ g (x) ونوجد النهاية b عندما يقترب x من a. ثم نستبدل g (x) في f (g (x)) بـ u لنحصل على f (u). باستخدام b ، نجد النهاية L لـ f (u) عندما تقترب u من b. نهاية f (g (x)) عندما تقترب x من a تساوي L.

هذا يبدو وكأنه فم. سننتقل هنا خطوة بخطوة إلى المشكلة الأولى لفهم قاعدة السلسلة بشكل أفضل (انقر هنا):

نظرًا لأن g (x) هي الوظيفة الداخلية ، فإننا نضع g (x) = sin (x ^ 2). ثم نستبدل g (x) في f (g (x)) بـ u. وبالتالي ، f (u) = e ^ u.

2. أوجد النهاية ، b ، لـ g (x)

3. أوجد النهاية L لـ f (u)

قد يكون فهم قاعدة السلسلة أمرًا صعبًا بعض الشيء ، ولكن بمجرد ممارسة بعض المشكلات ، والتي يمكنك العثور عليها على موقعنا على الويب ، تصبح قاعدة السلسلة أسهل كثيرًا.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع الإلكتروني أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر وموقعه الدقيق ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


حكم السلسلة

ربما تتذكر مشتقات $ sin (x) $ و $ x ^ <8> $ و $ e ^$. ولكن ماذا عن دوال مثل $ sin (2x-1) $ أو $ (3x ^ <2> -4x + 1) ^ <8> $ أو $ e ^ <- x ^ <2>> $؟ كيف نأخذ مشتق تراكيب الوظائف؟

ال تكوين $ f (g (x)) $ ، غالبًا ما يُرمز إليه بـ $ f circ g $ ، للوظائف $ f $ و $ g $ هي الوظيفة التي تم الحصول عليها عن طريق تطبيق الوظيفة $ f $ على $ g (x) $.

ال حكم السلسلة يسمح لنا باستخدام معرفتنا بمشتقات الدوال $ f (x) $ و $ g (x) $ لإيجاد مشتق التركيب $ f (g (x)) $:

لنفترض أن دالة $ g (x) $ قابلة للتفاضل عند $ x $ وأن $ f (x) $ قابلة للتفاضل عند $ g (x) $. إذن فإن التركيب $ f (g (x)) $ قابل للتفاضل عند $ x $.

ترك $ y = f (g (x)) $ و $ u = g (x) $، $ frac= فارك cdot فارك. باستخدام طريقة الترميز البديلة ، تبدأ فارك يسار [f (g (x)) يمين] & amp = & amp f '(g (x)) g' (x)، frac left [f (u) right] & amp = & amp f '(u) frac. نهاية

لنفترض أن $ g (x) $ قابل للتفاضل عند $ x $ و $ f (x) $ يكون قابلاً للتفاضل عند $ g (x) $. دع $ y = f (g (x)) $ و $ u = g (x) $.

سنستخدم حقيقة أنه إذا كان $ y = h (x) $ قابل للتفاضل عند $ x $ فإن $ Delta y = h '(x) Delta x + varepsilon Delta x $ حيث $ varepsilon rightarrow 0 $ كـ $ Delta x rightarrow 0 $. لدينا ذلك ابدأ Delta u & amp = & amp g '(x) Delta x + varepsilon_1 Delta x mbox varepsilon_1 rightarrow 0 mbox Delta x rightarrow 0، Delta y & amp = & amp f '(u) Delta u + varepsilon_2 Delta u mbox varepsilon_2 rightarrow 0 mbox Delta u rightarrow 0. end استبدال $ Delta u $ من المعادلة الأولى إلى الثانية ، $ frac < Delta y> < Delta x> = left [f '(u) + varepsilon_2 right] left [g' (x) + varepsilon_1 right]. $ أخذ الحد $ Delta x rightarrow 0 $، begin فارك & amp = & amp f '(u) cdot g' (x) & amp = & amp frac cdot فارك نهاية (مأخوذ من حساب التفاضل والتكاملبقلم هوارد أنطون.)

الصياغات الثلاث لقاعدة السلسلة الواردة هنا متطابقة في المعنى. بالكلمات ، مشتق $ f (g (x)) $ هو مشتق $ f $ ، مقدّرًا بـ $ g (x) $ ، مضروبًا في مشتق $ g (x) $.

أمثلة

يبدأ فارك يسار [ sin (2x-1) يمين] & amp = & amp frac left [ sin (u) right] cdot frac يسار [2x-1 يمين] & amp = & amp cos (u) cdot 2 & amp = & amp 2 cos (2x-1). نهاية

يبدأ فارك يسار [ يسار (3x ^ <2> & # 8211 4x + 1 right) ^ <8> right] & amp = & amp frac يسار [u ^ 8 right] cdot frac left [3x ^ 2-4x + 1 right] & amp = & amp 8u ^ 7 cdot (6x-4) & amp = & amp 8 (6x-4) left (3x ^ <2> & # 8211 4x + 1 right) ^ <7>. نهاية

يبدأ فارك يسار [e ^ <- x ^ <2>> right] & amp = & amp frac يسار [e ^ u right] cdot frac left [-x ^ 2 right] & amp = & amp e ^ u cdot (-2x) & amp = & amp -2xe ^ <- x ^ 2>. نهاية

ستحتاج أحيانًا إلى تطبيق قاعدة السلسلة عدة مرات للتمييز بين دالة.

مثال

سنشتق $ sqrt < sin ^ <2> (3x) + x> $. $ تبدأ فارك يسار [ sqrt < sin ^ <2> (3x) + x> right] & amp = & amp frac <1> <2 sqrt < sin ^ <2> (3x) + x >> cdot شجار يسار [ sin ^ <2> (3x) + x right] & amp f (u) = sqrt & amp = & amp frac <1> <2 sqrt < sin ^ <2> (3x) + x >> cdot left (2 sin (3x) frac يسار [ sin (3x) يمين] + 1 يمين) & amp start f (u) & amp = & amp u ^ 2 frac [x] & amp = & amp 1 end & amp = & amp frac <1> <2 sqrt < sin ^ <2> (3x) + x >> cdot left (2 sin (3x) cos (3x) frac [3x] + 1 right) & amp f (u) = sin (u) & amp = & amp frac <1> <2 sqrt < sin ^ <2> (3x) + x >> cdot يسار (2 sin (3x) cos (3x) cdot 3 + 1 right) & amp = & amp displaystyle frac <6 sin (3x) cos (3x) + 1> <2 sqrt < sin ^ <2> (3x) + x >> end $

المفاهيم الرئيسية

لنفترض أن $ g (x) $ يكون قابلاً للتفاضل عند $ x $ و $ f (x) $ يكون قابلاً للتفاضل عند $ f (g (x)) $. ثم ، إذا كان $ y = f (g (x)) $ و $ u = g (x) $ ، $ frac = فارك cdot فارك. $


أمثلة باستخدام قاعدة السلسلة

أثناء تطبيقنا لقاعدة السلسلة ، سنركز دائمًا على معرفة ما هي الدالتان & # 8220outside & # 8221 و & # 8220inside & # 8221 أولاً. من هناك ، يتعلق الأمر فقط بالتوافق مع الصيغة.

مثال

أوجد مشتق (f (x) = (3x + 1) ^ 5 ).

حل

في هذا المثال ، توجد دالة (3x + 1 ) تؤخذ إلى الأس الخامس. إذن ، هناك قطعتان: (3x + 1 ) (الوظيفة الداخلية) وأخذها إلى القوة الخامسة (الوظيفة الخارجية). أنت تعلم من خلال قاعدة الأس أن مشتق (x ^ 5 ) هو (5x ^ 4 ). لذا ، قم بتغطية هذا (3x + 1 ) ، وتظاهر بأنه (س ) لمدة دقيقة. الصفقة الوحيدة هي أنه سيتعين عليك دفع غرامة. نظرًا لأنه لم يكن مجرد (x ) ، فسيتعين عليك الضرب بمشتق (3x + 1 ).

بسّط للحصول على الإجابة النهائية:

مثال

أوجد مشتق (f (x) = ln (x ^ 2-1) ).

حل

نفس الفكرة ستعمل هنا. عادةً ، إذا كان ( ln (x) ) فقط ، يمكنك القول أن المشتق هو ( dfrac <1>). ومع ذلك ، هناك شيء آخر غير (x ) (الوظيفة الداخلية). لذا ، قم بتغطيته وخذ المشتق على أي حال. فقط لا تنس الضرب في مشتق الدالة الداخلية بعد الانتهاء.

يمكنك الآن التبسيط للحصول على الإجابة النهائية:


8.3: قاعدة السلسلة

  • بمساهمة مارسيا ليفيتوس
  • أستاذ مشارك (معهد Biodesign) بجامعة ولاية أريزونيا

نعلم جميعًا أنه يمكن تحديد موضع نقطة في الفضاء بإحداثيين ، (س ) و (ص ) ، يسميان الإحداثيات الديكارتية. نعلم أيضًا أنه يمكننا بدلاً من ذلك اختيار تحديد موضع النقطة باستخدام المسافة من الأصل ( (r )) والزاوية التي يصنعها المتجه مع (س ) المحور ( ( ثيتا ) ). هذا الأخير هو ما نسميه الإحداثيات القطبية المستوية ، والتي سنغطيها بمزيد من التفصيل في الفصل العاشر.

الشكل ( PageIndex <1> ): الإحداثيات الديكارتية والقطبية. (CC BY-NC-SA Marcia Levitus)

يرتبط نظاما الإحداثيات بما يلي:

لنفترض & rsquos أننا حصلنا على وظيفة في الإحداثيات القطبية ، على سبيل المثال (f (r، theta) = e ^ <-3r> cos < theta> ) ، ومطلوب منا إيجاد المشتقات الجزئية في الديكارتي الإحداثيات ، (( f / جزئي x) _y ) و (( f / جزئي y) _x ). يمكننا بالطبع إعادة كتابة الدالة من حيث (x ) و (y ) وإيجاد المشتقات التي نحتاجها ، لكن سيكون من الرائع لو كان لدينا صيغة عالمية تحول المشتقات في الإحداثيات القطبية ( (( part f / part r) _ theta ) و (( part f / part theta) _r )) إلى المشتقات في الإحداثيات الديكارتية؟ سيسمح لنا ذلك بأخذ المشتقات في النظام الذي يتم التعبير عن المعادلة به (وهو أمر سهل) ، ثم ترجمة المشتقات إلى النظام الآخر دون التفكير كثيرًا. ستسمح لنا قاعدة السلسلة بإنشاء هذه & lsquouniversal & rsquo العلاقات بين مشتقات أنظمة الإحداثيات المختلفة.

قبل استخدام قاعدة السلسلة ، دع & rsquos تحصل على (( جزئي f / جزئي x) _y ) و (( جزئي f / جزئي y) _x ) بإعادة كتابة الوظيفة من حيث (x ) ) و (ص ). أريد أن أوضح لك مقدار العمل الذي قد يتطلبه هذا ، حتى تتمكن من تقدير مدى فائدة استخدام قاعدة السلسلة. باستخدام المعادلات المرجع و المرجع، يمكننا إعادة كتابة (f (r، theta) = e ^ <-3r> cos < theta> ) بالشكل

يمكننا بسهولة الحصول على (( جزئي f / جزئي x) _y ) و (( جزئي f / جزئي y) _x ) ، لكنه بالتأكيد يتطلب القليل من العمل. ماذا لو أخبرتك أن (( جزئي f / جزئي x) _y ) هو ببساطة

بصرف النظر عن الوظيفة (و )؟ سنستنتج هذه النتيجة قريبًا ، لكن دعوني الآن أذكر فقط أن الإجراء يتضمن استخدام قاعدة السلسلة. ربما تتنهد بارتياح ، لأن الحصول على المشتقات (( part f / part r) _ theta ) و (( part f / part theta) _r ) أسهل بكثير:

واستخدام المعادلة المرجعيمكننا الحصول على المشتق الذي نبحث عنه:

نأمل أن يكون هذا & rsquot مؤلمًا جدًا ، أو على الأقل أقل مللًا لأنه كان من الممكن أن يكون قد استخدمنا قاعدة السلسلة. ماذا عن (( جزئي و جزئي ص) _x )؟ يمكننا إنشاء تعبير مشابه للمعادلة المرجع واستخدمه لربط (( جزئي f / جزئي y) _x ) بـ (( جزئي f / جزئي r) _ theta ) و (( جزئي f / جزئي ثيتا) _r ).

في هذه المرحلة ، قد تفكر في أن كل هذا نجح بشكل جيد لأن الوظيفة التي كانت لدينا كانت أسهل في الاشتقاق في الإحداثيات القطبية منها في الإحداثيات الديكارتية. صحيح ، لكن هذا هو بيت القصيد. يتم وصف العديد من الأنظمة الفيزيائية في الإحداثيات القطبية بشكل طبيعي أكثر من الإحداثيات الديكارتية (خاصة في الأبعاد الثلاثة). هذا له علاقة بتماثل النظام. بالنسبة للذرة ، على سبيل المثال ، من الطبيعي استخدام الإحداثيات الكروية أكثر من استخدام الإحداثيات الديكارتية. يمكننا استخدام الديكارتي ، لكن التعبيرات ستكون أكثر تعقيدًا ويصعب العمل معها. إذا كانت لدينا معادلات يسهل التعبير عنها في الإحداثيات القطبية ، فسيكون الحصول على المشتقات في الإحداثيات القطبية أسهل دائمًا. لكن لماذا نريد المشتقات في الإحداثيات الديكارتية إذن؟ وخير مثال على ذلك هو معادلة Schr & oumldinger ، التي تقع في صميم ميكانيكا الكم. سنتحدث أكثر عن هذا عندما نناقش العوامل ، ولكن في الوقت الحالي ، تعد معادلة Schr & oumldinger معادلة تفاضلية جزئية (ما لم يتحرك الجسيم في بُعد واحد) يمكن كتابتها على النحو التالي:

بسبب تناظر النظام ، من الأسهل بالنسبة للذرات والجزيئات التعبير عن موضع الجسيم ( ( vec)) في إحداثيات كروية. ومع ذلك ، يتم تعريف عامل التشغيل ( nabla ^ 2 ) (المعروف باسم Laplacian) في الإحداثيات الديكارتية على النحو التالي:

بعبارة أخرى ، يرشدك لابلاسيان إلى أخذ المشتقات الثانية للدالة فيما يتعلق بـ (س ) ، فيما يتعلق (ص ) وفيما يتعلق بـ (ض ) ، وإضافة الثلاثة معًا. يمكننا التعبير عن الوظائف (V ( vec) ) و ( psi <( vec)> ) في الإحداثيات الديكارتية ، ولكن مرة أخرى ، سيؤدي هذا إلى معادلة تفاضلية معقدة بشكل رهيب. بدلاً من ذلك ، يمكننا التعبير عن Laplacian في إحداثيات كروية ، وهذا في الواقع هو أفضل نهج. للقيام بذلك ، علينا ربط المشتقات في الإحداثيات الكروية بالمشتقات في الإحداثيات الديكارتية ، ويتم ذلك باستخدام قاعدة السلسلة.

نأمل أن يكون كل هذا قد أقنعك باستخدام قاعدة السلسلة في العلوم الفيزيائية ، لذلك نحتاج الآن فقط لمعرفة كيفية استخدامها لأغراضنا. في بعدين ، تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت لدينا وظيفة في نظام إحداثيات واحد (u (x ، y) ) ، وهذه الإحداثيات هي وظائف لمتغيرين آخرين (على سبيل المثال (x = x ( theta، r ) ) و (y = y ( ثيتا ، r) )) ثم:

يجد بعض الطلاب أن الإنشاءات التالية & rsquotree & rsquo مفيدة:

الشكل ( PageIndex <2> ): قاعدة السلسلة (CC BY-NC-SA Marcia Levitus)

يمكننا أيضًا التفكير في (u = u (r ، theta) ) ، و ( theta = theta (x ، y) ) و (r = r (x ، y) ) ، مما يعطي:


شاهد الفيديو: قاعدة السلسلة في الاشتقاق 020. رياضيات توجيهي علمي (ديسمبر 2021).