مقالات

2.9: التعريف الدقيق للنهاية - الرياضيات


لقد تقدمت الآن من التعريف غير الرسمي للغاية للحد في مقدمة هذا الفصل إلى الفهم الحدسي للحد. فهم هذا التعريف هو المفتاح الذي يفتح الباب لفهم أفضل لحساب التفاضل والتكامل.

قياس القرب

قبل ذكر التعريف الرسمي للحد ، يجب أن نقدم بعض الأفكار الأولية. تذكر أن المسافة بين النقطتين أ وب على خط الأعداد مُعطاة بواسطة | (أ − ب ) |.

  • يمكن تفسير العبارة (| f (x) −L | <ε ) على النحو التالي: المسافة بين (f (x) ) و L أقل من (ε ).
  • يمكن تفسير العبارة (0 <| x − a | <δ ) على النحو التالي: (x ≠ a ) والمسافة بين (x ) و (a ) أقل من (δ ) .

من المهم أيضًا النظر إلى المعادلات التالية للقيمة المطلقة:

  • العبارة (| f (x) −L | <ε ) تعادل العبارة (L − ε
  • العبارة (0 <| x − a | <δ ) تعادل العبارة (a − δ

مع هذه التوضيحات ، يمكننا أن نقول الرسمي تعريف إبسيلون دلتا للحد.

التعريف: إن Eتعريف psilon-Delta للحد

دع (f (x) ) يتم تعريفه لجميع (x ≠ a ) عبر فاصل زمني مفتوح يحتوي على ملف. دع L يكون رقمًا حقيقيًا. ثم

[ displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ]

إذا ، لكل (ε> 0 ) ، يوجد (δ> 0 ) ، مثل إذا (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε ).

قد يبدو هذا التعريف معقدًا نوعًا ما من وجهة نظر رياضية ، ولكن يصبح من الأسهل فهمه إذا قسمناه عبارة تلو عبارة. البيان نفسه يتضمن شيئًا يسمى أ مُحدِّد عالمي (لكل (> 0 )) ، يعد ملف الكمي الوجودي (يوجد (δ> 0 )) ، وأخيراً ، أ عبارة شرطية (إذا (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε) ). دعونا نلقي نظرة على الجدول ، الذي يكسر التعريف ويترجم كل جزء.

تعريفترجمة
1. لكل (> 0 ) ،1. لكل مسافة موجبة (ε ) من (L ) ،
2. يوجد (δ> 0 ) ،2. توجد مسافة موجبة (δ ) من (أ ) ،
3. مثل هذا3. مثل هذا
4. إذا كان (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε ).4. إذا كانت x أقرب من (δ ) إلى (a ) و (x ≠ a ) ، فإن (f (x) ) أقرب من (ε ) إلى (L ) .

يمكننا الحصول على معالجة أفضل لهذا التعريف من خلال النظر إلى التعريف هندسيًا. يوضح الشكل القيم المحتملة لـ (δ ) للعديد من الاختيارات (ε> 0 ) لوظيفة معينة (f (x) ) ، ورقم a ، والحد الأقصى L عند a. لاحظ أنه عندما نختار قيمًا أصغر لـ ε (المسافة بين الوظيفة والحدود) ، يمكننا دائمًا العثور على (δ ) صغيرًا بدرجة كافية بحيث إذا اخترنا قيمة x ضمن (δ ) من a ، ثم تكون قيمة (f (x) ) ضمن (ε ) من الحد L.

الشكل ( PageIndex {1} ): تُظهر هذه الرسوم البيانية القيم المحتملة لـ (δ ) ، بالنظر إلى الاختيارات الأصغر على التوالي لـ ε.

ملاحظات الجبر

من الحقائق الجبرية المهمة للقيم المطلقة التي ستحتاجها للبراهين مع تعريف epsilon-delta للحد هو:

(| p |

حقيقة الجبر لعدم المساواة هي:

إذا كان (a> 0 ) و (b> 0 ) فإن (a frac {1} {b} )

يوضح المثال ( PageIndex {1} ) كيف يمكنك استخدام هذا التعريف لإثبات بيان حول حد دالة معينة عند قيمة محددة.

مثال ( PageIndex {1} ): إثبات بيان حول حدود دالة معينة

أثبت أن ( displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

حل

دع (ε> 0 ).

يبدأ الجزء الأول من التعريف "لكل (ε> 0 )." هذا يعني أنه يجب علينا إثبات أن كل ما يلي صحيح بغض النظر عن القيمة الإيجابية لـ ε المختارة. من خلال ذكر "Let (ε> 0 )" ، فإننا نشير إلى نيتنا للقيام بذلك.

اختر (δ = frac {ε} {2} ). لماذا نختار هذا؟ الشرح التالي.

يستمر التعريف بعبارة "يوجد (δ> 0 ). إن عبارة "يوجد" في بيان رياضي هي دائمًا إشارة لمطاردة الزبال. بمعنى آخر ، يجب أن نذهب ونبحث عن (δ ). إذن ، من أين بالضبط أتى (δ = frac {ε} {2} )؟

نحن نعالج المشكلة من وجهة نظر جبرية. هذه هي "رسومات الشعار المبتكرة للتحليل" لاكتشاف القيمة التي يجب استخدامها من أجل (δ ).

تحليل

بما أننا نريد في النهاية | ( (2x + 1) −3 | <ε ) ، نبدأ بمعالجة هذا التعبير: | ( (2x + 1) −3 ) | <يعادل | (2x−) 2 | <ε ) ، والذي بدوره يعادل (- ε <2x − 2 <) (انظر ملاحظة الجبر أعلاه) وهو ما يعادل (- frac {ε} {2}

شكل ( PageIndex {2} ) يوضح إعداد epsilon-delta الخاص بنا:

الشكل ( PageIndex {2} ): يوضح إعدادنا epsilon-delta لـ ( displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

بعد إزالة جميع الملاحظات ، إليك نسخة نهائية من الإثبات:

دع (ε> 0 ).

اختر (δ = ε / 2 ).

افترض (0 <| x − 1 | <δ ).

بعبارات أخرى:

(0 <| x − 1 | < frac {ε} {2} ) ،

لذلك (- frac {ε} {2}

ثم (- ε <2x − 2 <ε )

ثم | (2x − 2 | <ε ) ،

ثم | ( (2x + 1) −3 ) | <ε

وبالتالي ، إذا (0 <| x − 1 | <δ ) ، إذن | ( (2x + 1) −3 ) | <ε.

لذلك ، من خلال تعريف الحد ، ( displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

تلخص إستراتيجية حل المشكلات التالية نوع الدليل الذي عملنا فيه مثال ( PageIndex {1} ).

إستراتيجية حل المشكلات: إثبات ذلك ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) لوظيفة محددة (f (x) )

  1. لنبدأ الإثبات بالعبارة التالية: دعنا (ε> 0 ).
  2. بعد ذلك ، نحتاج إلى الحصول على خيارنا لـ (δ ) (استخدم رسم الشعار المبتكر للتحليل). رسم الشعار المبتكر للتحليل هو عمل تم إنجازه للعثور على خيارنا لـ (δ ). ضعها دائمًا في صفحة منفصلة ، أو في مربع مكتوب عليه "Scratch Work". اكتب البيان التالي ، واملأ الفراغ باختيارنا المكتشف لـ δ: اختر (δ = ) _______.
  3. يجب أن تكون العبارة التالية في الإثبات (في هذه المرحلة ، نملأ القيمة المعطاة لـ a): افترض (0 <| x − a | <δ ).
  4. بدءًا من (0 <| x − a | <δ ) ، استخدم اختيارنا (δ ) والجبر لتؤدي إلى (| f (x) −L | <ε ) ، حيث (f ( x) ) و L هما وظيفتنا (f (x) ) والحدود L.
  5. هذا يظهر (ويجب أن تذكر) إذا (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε ).
  6. نختتم برهاننا بالعبارة التالية: (( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ).

مثال ( PageIndex {2} ): إثبات بيان حول حد

أكمل الدليل على أن ( displaystyle lim_ {x → −1} (4x + 1) = - 3 ) بملء الفراغات.

يترك _____.

اختر (δ = ) _______.

افترض (0 <) | (س ) −_______ | (<δ ).

بمعنى آخر ، | (س ) −_______ | (<) _______ ، ثم _______________ ثم ________________ ثم _______________ ... ثم __________ (<).

وبالتالي ، إذا ____________________________ ، إذن ________________.

لذلك ، من خلال _______________________________ _____________________________.

حل

نبدأ بملء الفراغات حيث يتم تحديد الاختيارات بواسطة التعريف. وهكذا لدينا

دع ε (> 0 ).


عمل خدش:

اختر (δ ) = ؟؟.

إليك رسم الشعار المبتكر للتحليل:

نريد (| 4x + 1 - (- 3) | ) أن يكون أقل من (ε ) ، إذا (0 <) | (x - (- 1) ) | (<δ ) ).

لذلك ، قمنا بتعيين (| 4x + 1 - (- 3) | <ε ) وعبثنا للحصول على (x - (- 1) ) داخل القيمة المطلقة.

(| 4x + 1 - (- 3) | <ε ) يعني (- ε <4x + 4 <ε ) (- frac {ε} {4}

وهكذا نرى أنه يجب علينا اختيار (δ = frac {ε} {4} ).

نكمل الآن الكتابة النهائية للإثبات:


دع ε (> 0 ).

اختر (δ = frac {ε} {4} ).

افترض (0 <) | (x - (- 1) ) | (<δ ) (أو ما يعادله ، (0 <) | (x + 1 ) | (<δ ) .)

بعبارات أخرى:

(0 <| x + 1 | < frac {ε} {4} ) ،

لذلك (- frac {ε} {4}

ثم (- ε <4x + 4 <)

ثم | (4x + 4 | <ε ) ،

ثم | ( (4x + 1) - (- 3) ) | <ε

وبالتالي ، إذا (0 <| س - (- 1) | <δ ) ، إذن | ( (4x + 1) - (- 3) ) | <ε.

لذلك ، من خلال تعريف الحد ، ( displaystyle lim_ {x → -1} (4x + 1) = - 3 ).

( PageIndex {1} )

أكمل إثبات ( displaystyle lim_ {x → 2} (3x − 2) = 4 ) بملء الفراغات. (لم يتم كتابة رسم الشعار المبتكر للتحليل في الدليل الفعلي.)

يترك _______.

اختر (δ ) = _______.

افترض (0 <) | (x - ) ____ | (<) ____.

بمعنى آخر ، | (س ) −_______ | (<) _______ ، ثم _______________ ثم ________________ ثم _______________ ... ثم __________ (<).

وبالتالي ، إذا ____________________________ ، إذن ________________.

لذلك ، من خلال _______________________________ _____________________________.

تلميح

اتبع المخطط التفصيلي في إستراتيجية حل المشكلات التي وضعناها بالكامل في المثال ( PageIndex {2} ).

إجابه

دع ε (> 0 ) ؛ اختر (δ = frac {ε} {3} ) ؛ افترض (0 <| x − 2 | <δ ).

بعبارات أخرى:

(0 <| x - 2 | < frac {ε} {3} ) ،

لذلك (- frac {ε} {3}

ثم (- ε <3x - 6 <)

ثم | (3x - 6 | <ε ) ،

ثم | ( (3x - 2) −4 ) | <ε

وبالتالي ، إذا (0 <| x − 2 | <δ ) ، إذن | ( (3x - 2) −4 ) | <ε.

لذلك ، من خلال تعريف النهاية ، ( displaystyle lim_ {x → 2} 3x − 2 = 4 ).


تعريفات دقيقة للحدود في ما لا نهاية

في وقت سابق ، استخدمنا المصطلحات قريبة بشكل تعسفي ، وكبيرة بشكل تعسفي ، وكبيرة بما يكفي لتعريف الحدود اللانهائية بشكل غير رسمي. على الرغم من أن هذه المصطلحات تقدم وصفًا دقيقًا للحدود عند اللانهاية ، إلا أنها ليست دقيقة رياضيًا. فيما يلي تعريفات أكثر رسمية للحدود عند اللانهاية. ثم ننظر في كيفية استخدام هذه التعريفات لإثبات النتائج التي تنطوي على حدود عند اللانهاية.

التعريف: الحد اللانهائي (رسمي)

نقول أن الوظيفة (f ) لها أ حد عند اللانهاية، إذا كان هناك رقم حقيقي (L ) بحيث يكون للجميع (ε> 0 ) ، يوجد (N> 0 ) بحيث

[| f (x) −L | <ε ]

للجميع (x> N. ) في هذه الحالة نكتب

[ lim_ {x → ∞} f (x) = L ]

الشكل ( PageIndex {3} ): لوظيفة ذات حد عند اللانهاية ، للجميع (x> N ، | f (x) −L | <ε. )

في وقت سابق من هذا القسم ، استخدمنا الدليل الرسومي في الشكل والأدلة العددية في الجدول لاستنتاج أن ( lim_ {x → ∞} ( frac {2 + 1} {x}) = 2 ). هنا نستخدم التعريف الرسمي للنهاية عند اللانهاية لإثبات هذه النتيجة بدقة.

مثال ( PageIndex {3} ):

استخدم التعريف الرسمي للنهاية عند اللانهاية لإثبات أن ( displaystyle lim_ {x → ∞} 2+ frac {1} {x} = 2 ).

حل

دع (ε> 0. ) دع (N = frac {1} {ε} ). لذلك ، بالنسبة للجميع (x> N ) ، لدينا

[| 2+ frac {1} {x} −2 | = | frac {1} {x} | = frac {1} {x} < frac {1} {N} = ε ]

لذلك ، ( displaystyle lim_ {x → ∞} 2+ frac {1} {x} = 2 ).

( PageIndex {2} )

استخدم التعريف الرسمي للنهاية عند اللانهاية لإثبات أن ( displaystyle lim_ {x → ∞} 3− frac {1} {x ^ 2} = 3 ).

تلميح

دعونا (N = frac {1} { sqrt {ε}} ).

إجابه

دع (ε> 0. ) دع (N = frac {1} { sqrt {ε}} ). لذلك ، لدينا جميع (x> N ، )

(∣3− frac {1} {x ^ 2} −3∣ = frac {1} {x ^ 2} < frac {1} {N ^ 2} = ε )

لذلك ، ( displaystyle lim_ {x → ∞} (3− frac {1} {x ^ 2}) = 3.)

نوجه انتباهنا الآن إلى تعريف أكثر دقة للنهاية اللانهائية.

التعريف: حد لانهائي عند اللانهاية (رسمي)

نقول أن الوظيفة (f ) لها امتداد حد لانهائي في اللانهاية واكتب

( displaystyle lim_ {x → f} f (x) = ∞ )

إذا كان للجميع (M> 0 ، ) يوجد (N> 0 ) من هذا القبيل

(و (س)> م )

لجميع (x> N ) (انظر الشكل).

نقول أن للدالة حد سالب لانهائي عند ما لا نهاية ونكتبها

( displaystyle lim_ {x → f} f (x) = - ∞ )

إذا كان للجميع (M <0 ) ، يوجد (N> 0 ) من هذا القبيل

(و (س) <م )

للجميع (x> N ).

وبالمثل ، يمكننا تعريف الحدود على أنها (x → −∞. )

الشكل ( PageIndex {4} ): لوظيفة ذات حد لانهائي عند اللانهاية ، لجميع (x> N ، f (x)> M. )

هنا نستخدم التعريف الرسمي للنهاية اللانهائية لإثبات ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞ ).

مثال ( PageIndex {4} ):

استخدم التعريف الرسمي للنهاية اللانهائية لإثبات ذلك ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞. )

تحليل رسومات الشعار المبتكرة: بالنسبة لبعض (M> 0 ) ، نحتاج إلى (N ) بحيث إذا (x> N ) ، نحصل على (x ^ 3> M ).

ابدأ بـ (x ^ 3> M ) ، وحل من أجل (x ). (x> sqrt [3] {M} ). لذا ، طالما (x> sqrt [3] {M} ) ، ثم (x ^ 3> M ). لذا اختر (N = sqrt [3] {M} ).

دليل:

دع (M> 0. ) اختر (N = sqrt [3] {M} ). ثم ، بالنسبة للجميع (x> N ) ، لدينا

(x ^ 3> N ^ 3 = ( sqrt [3] {M}) ^ 3 = M. )

لذلك ، من خلال تعريف الحد ، ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞ ).

( PageIndex {3} )

استخدم التعريف الرسمي للنهاية اللانهائية لإثبات ذلك ( displaystyle lim_ {x → ∞} 3x ^ 2 = ∞. )

تلميح

دعونا (N = sqrt { frac {M} {3}} ).

إجابه

دع (M> 0. ) دع (N = sqrt { frac {M} {3}}) ). ثم ، بالنسبة لجميع (x> N ، ) لدينا

(3x ^ 2> 3N ^ 2 = 3 ( sqrt { frac {M} {3}}) ^ 22 = frac {3M} {3} = M )


حدود من جانب واحد

مثلما اكتسبنا أولاً فهمًا بديهيًا للحدود ثم انتقلنا إلى تعريف أكثر صرامة للحدود ، نعيد النظر الآن في الحدود أحادية الجانب. للقيام بذلك ، نقوم بتعديل تعريف epsilon-delta للحد لإعطاء تعريفات epsilon-delta الرسمية للحدود من اليمين واليسار عند نقطة ما. تتطلب هذه التعريفات تعديلات طفيفة فقط من تعريف الحد. في تعريف الحد من اليمين ، تحل المتباينة (0

تعريف

حد من اليمين: دع تعريف (f (x) ) عبر فاصل زمني مفتوح من النموذج ((a، b) ) حيث (a

[ lim_ {x → a ^ +} f (x) = L ]

إذا كان لكل (ε> 0 ) ، يوجد (δ> 0 ) ، مثل (0

الحد من اليسار: دع (f (x) ) يتم تعريفه عبر فاصل زمني مفتوح من النموذج ((b، c) ) حيث (b

[ lim_ {x → c ^ -} f (x) = L ]

إذا كان لكل (ε> 0 ) ، يوجد (δ> 0 ) مثل (−δ

مثال ( PageIndex {5} ): إثبات بيان حول حد من اليمين

اثبت ذلك

[lim_ {x → 4 ^ +} sqrt {x − 4} = 0. ]

حل

دع ε> 0.

اختر (δ = ε ^ 2 ). نظرًا لأننا نريد في النهاية (∣ sqrt {x − 4} −0∣ <ε ) ، فإننا نتعامل مع هذه المتباينة للحصول على ( sqrt {x − 4} <ε ) أو ، بشكل مكافئ ، (0

افترض (0

( PageIndex {4} )

ابحث عن (δ ) المقابل لـ (ε ) لإثبات أن ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ -} sqrt {1 − x} = 0 ).

تلميح

ارسم الرسم البياني واستخدم المثال كدليل للحل.

إجابه

(δ = ε ^ 2 )

حدود لانهائية

نختتم عملية تحويل أفكارنا البديهية لأنواع مختلفة من الحدود إلى تعريفات رسمية صارمة من خلال اتباع تعريف رسمي للحدود اللانهائية. للحصول على ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ) ، نريد أن تصبح قيم الدالة (f (x) ) أكبر وأكبر كلما اقتربت x من a. بدلاً من المطلب الذي (| f (x) −L | <ε ) لـ () صغير بشكل تعسفي عندما (0 <| x − a | <δ ) لصغير بما يكفي (δ ) ، نريد (f (x)> M ) للإيجابية الكبيرة بشكل تعسفي M عندما (0 <| x − a | <δ ) لصغير بما يكفي (δ ). يوضح الشكل هذه الفكرة من خلال إظهار قيمة (δ ) لقيم أكبر على التوالي من M.

الشكل ( PageIndex {5} ): هذه الرسوم البيانية ترسم قيم (δ ) لـ M لتظهر أن ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ).

تعريف

دع (f (x) ) يتم تعريفه لجميع (x ≠ a ) في فاصل مفتوح يحتوي على ملف. ثم ، لدينا حد لانهائي

[ lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ]

إذا كان لكل (M> 0 ) ، يوجد (δ> 0 ) بحيث إذا (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (f (x)> M ).

دع (f (x) ) يتم تعريفه لجميع (x ≠ a ) في فاصل مفتوح يحتوي على ملف. ثم لدينا حد سالب لانهائي

[ lim_ {x → a} f (x) = - ∞ ]

إذا كان لكل (M> 0 ) ، يوجد (δ> 0 ) بحيث إذا (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (f (x) <- M ).

مواضيع متقدمة

فيما يلي بعض المشاكل الأكثر تعقيدًا باستخدام التعريف الدقيق للنهاية. لا تتردد في إلقاء نظرة عليها ؛ ومع ذلك ، لا يلزمك معرفة الموضوعات المتبقية في هذا القسم.


في الأمثلة ( PageIndex {1} ) و ( PageIndex {2} ) ، كانت البراهين واضحة إلى حد ما ، نظرًا لأن الوظائف التي كنا نعمل بها كانت خطية. في المثال ، نرى كيفية تعديل البرهان ليلائم وظيفة غير خطية.

مثال ( PageIndex {6} ): إثبات بيان حول حدود دالة تربيعية

أثبت أن ( displaystyle lim_ {x → −1} (x ^ 2−2x + 3) = 6. )

حل

دعنا نستخدم مخططنا من استراتيجية حل المشكلات:

1. دعونا (ε> 0 ).

2. اختر (δ = min ) { (1، ε / 5 )}. قد يبدو اختيار (δ ) غريبًا للوهلة الأولى ، ولكن تم الحصول عليه من خلال إلقاء نظرة على عدم المساواة النهائي المطلوب: ∣ ((x ^ 2−2x + 3) −6 ) ∣ (<ε ). هذه المتباينة تعادل (| x + 1 | ⋅ | x − 3 | <ε ). في هذه المرحلة ، يكون إغراء اختيار (δ = frac {ε} {x − 3} ) أمرًا قويًا للغاية. لسوء الحظ ، يجب أن يعتمد اختيارنا لـ (δ ) على ε فقط وليس متغيرًا آخر. إذا استطعنا استبدال (| x − 3 | ) بقيمة عددية ، فيمكن حل مشكلتنا. هذا هو المكان الذي يلعب فيه افتراض (δ≤1 ). اختيار (δ≤1 ) هنا تعسفي. كان بإمكاننا استخدام أي رقم موجب آخر بنفس السهولة. في بعض البراهين ، قد يكون من الضروري عناية أكبر في هذا الاختيار. الآن ، منذ (δ≤1 ) و (| x + 1 | <1 ) ، يمكننا إظهار ذلك (| x − 3 | <5 ). وبالتالي ، (| x + 1 | ⋅ | x − 3 | <| x + 1 | ⋅5 ). في هذه المرحلة ، ندرك أننا نحتاج أيضًا إلى (δ≤ε / 5 ). لذلك نختار (δ = min ) { (1، ε / 5 )}.

3. افترض (0 <| x + 1 | <δ ). هكذا،

[| x + 1 | <1 ] و [| x + 1 | < frac {ε} {5}. ]

منذ (| x + 1 | <1 ) ، قد نستنتج أن (- 1

[∣ (x ^ 2−2x + 3) −6∣ = | x + 1 | ⋅ | x − 3 | < frac {ε} {5} ⋅5 = ε. ]

لذلك،

[ displaystyle lim_ {x → −1} (x ^ 2−2x + 3) = 6. ]

( PageIndex {5} )

أكمل الدليل على أن ( displaystyle lim_ {x → 1} x ^ 2 = 1 ).

دع (ε> 0 ) ؛ اختر (δ = min ) { (1، ε / 3 )} ؛ افترض (0 <| x − 1 | <δ ).

منذ (| x − 1 | <1 ) ، قد نستنتج أن (- 1

تلميح

استخدم المثال كدليل.

إجابه

(∣x ^ 2−1∣ = | x − 1 | ⋅ | x + 1 |

إثبات قوانين الحد

نوضح الآن كيفية استخدام تعريف epsilon-delta للحد لإنشاء دليل صارم على أحد قوانين الحد. ال عدم المساواة في المثلث تُستخدم في نقطة رئيسية في الإثبات ، لذلك نراجع أولاً هذه الخاصية الرئيسية ذات القيمة المطلقة.

تعريف

ال عدم المساواة في المثلث ينص على أنه إذا كان a و b عبارة عن أرقام حقيقية ، فعندئذٍ (| a + b | ≤ | a | + | b | ).

دليل

نثبت قانون الحد التالي: إذا ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) و ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = M ) ، إذن (displaystyle lim_ {x → a} (f (x) + g (x)) = L + M).

دع (ε> 0 ).

اختر (δ_1> 0 ) بحيث إذا (0 <| x − a | <_1 ) ، ثم (| f (x) −L |

اختر (δ_2> 0 ) بحيث إذا (0 <| x − a | <δ_2 ) ، ثم (| g (x) −M |

اختر (δ = min ) { (δ_1، δ_2 )}.

افترض (0 <| x − a | <δ ).

هكذا،

(0 <| x − a | <δ_1 ) و (0 <| x − a | <_2 ).

لذلك،

(| (f (x) + g (x)) - (L + M) | = | (f (x) −L) + (g (x) −M) | )

(≤ | و (س) −L | + | ز (س) − م | )

(< frac {ε} {2} + frac {ε} {2} = ε ).

نستكشف الآن ما يعنيه عدم وجود حد. الحد ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) غير موجود إذا لم يكن هناك رقم حقيقي L له ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) . وبالتالي ، بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية L، ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ≠ L ). لفهم ما يعنيه هذا ، ننظر إلى كل جزء من تعريف ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) مع العكس. وترد ترجمة التعريف في الجدول.

تعريفعكس
1. يوجد (ε> 0 ) بحيث
2. يوجد (δ> 0 ) ، لذلك2. لكل (> 0 ) ،
3. إذا كان (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε ).3. يوجد x مرضي (0 <| x − a | <δ ) بحيث (| f (x) −L | ≥ε ).

أخيرًا ، قد نذكر ما يعنيه عدم وجود حد. الحد ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) غير موجود إذا كان لكل رقم حقيقي L يوجد عدد حقيقي (ε> 0 ) بحيث يكون للجميع (δ> 0 ) ، هناك x مرضي (0 <| x − a | <δ ) ، بحيث يكون (| f (x) −L | ≥ε ). دعنا نطبق هذا في المثال لتوضيح عدم وجود حد.

مثال ( PageIndex {7} ): إظهار عدم وجود حد

بيّن أن ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {| x |} {x} ) غير موجود. يظهر الرسم البياني لـ (f (x) = | x | / x ) هنا:

حل

افترض أن L مرشح للحد. اختر (= 1/2 ).

دع (δ> 0 ). إما (L≥0 ) أو (L <0 ). إذا كان (L≥0 ) ، فدع (س = −δ / 2 ).

هكذا،

(| س − 0 | = ∣− فارك {δ} {2} −0∣ = فارك {δ} {2} <δ )

و

(∣ frac {∣− frac {δ} {2} ∣} {- frac {δ} {2}} - L∣ = | −1 − L | = L + 1≥1> frac {1 } {2} = ε ).

من ناحية أخرى ، إذا (L <0 ) ، فدع (س = δ / 2 ). هكذا،

(| س − 0 | = ∣ فارك {δ} {2} −0∣ = فارك {δ} {2} <δ )

و

(∣ frac {∣ frac {δ} {2} ∣} { frac {δ} {2}} - L∣ = | 1 − L | = | L | + 1≥1> frac {1} {2} = ε ).

وبالتالي ، لأي قيمة لـ L ، ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {| x |} {x} ≠ L. )

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن تحويل الفكرة البديهية للحد إلى تعريف رياضي صارم يعرف باسم تعريف إبسيلون دلتا للحد.
  • يمكن استخدام تعريف إبسيلون-دلتا لإثبات عبارات حول الحدود.
  • يمكن تعديل تعريف epsilon-delta للحدود من جانب واحد.

قائمة المصطلحات

تعريف إبسيلون دلتا للحد
( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) إذا كان لكل (> 0 ) وجود (δ> 0 ) بحيث إذا (0 <| x−) أ | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε )
عدم المساواة في المثلث
إذا كان a و b أي رقمين حقيقيين ، فإن (| a + b | ≤ | a | + | b | )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


شاهد الفيديو: تعريف النهاية المعنى الهندسى (شهر نوفمبر 2021).