مقالات

7.3: النقاط الفردية وطريقة فروبينيوس - الرياضيات


في حين أن سلوك المعادلات التوضيحية عند نقاط مفردة أكثر تعقيدًا ، إلا أن بعض النقاط الفردية ليس من الصعب حلها بشكل خاص. قد نكون محظوظين ونحصل على حل سلسلة الطاقة باستخدام طريقة القسم السابق ، ولكن بشكل عام قد نضطر إلى تجربة أشياء أخرى.

مثال ( PageIndex {1} ):

دعونا أولاً نلقي نظرة على معادلة بسيطة من الدرجة الأولى

[2 س ص '- ص = 0. التسمية {ex1eq1} ]

لاحظ أن (x = 0 ) نقطة مفردة. إذا حاولنا فقط التوصيل

[y = sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ k، label {ex1eq2} ]

نحصل

[ begin {align} 0 & = 2 xy'-y & = 2x ، left ( sum_ {k = 1} ^ infty k a_k x ^ {k-1} right) - left ( sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ k right) & = a_0 + sum_ {k = 1} ^ infty (2 k a_k - a_k) ، x ^ {k}. نهاية {محاذاة} التسمية {ex1eq3} ]

أولاً ، (a_0 = 0 ). بعد ذلك ، الطريقة الوحيدة لحل (0 = 2 k a_k - a_k = (2k-1) ، a_k ) لـ (k = 1،2،3، dots ) ​​هي لـ (a_k = 0 ) للجميع (ك ). لذلك نحصل فقط على الحل التافه (y = 0 ). نحتاج إلى حل غير صفري للحصول على الحل العام. دعونا نحاول (y = x ^ r ) لبعض الأرقام الحقيقية (r ). وبالتالي فإن حلنا - إذا تمكنا من إيجاد حل - قد يكون منطقيًا فقط للإيجابي (x ). ثم (y '= r x ^ {r-1} ). وبالتالي

[ start {align} 0 & = 2 xy '- y & = 2 xrx ^ {r-1} - x ^ r & = (2r-1) x ^ r end {align}. ]

لذلك (r = dfrac {1} {2} ) أو بعبارة أخرى (y = x ^ {1/2} ). عند الضرب في ثابت ، فإن الحل العام للإيجابية (x ) هو

[y = C x ^ {1/2}. ]

إذا (C not = 0 ) فإن مشتق الحل "ينفجر" عند (x = 0 ) (نقطة المفرد). يوجد حل واحد فقط قابل للتفاضل عند (x = 0 ) وهذا هو الحل التافه (y = 0 ).

ليس كل مشكلة في نقطة مفردة لها حل بالصيغة (y = x ^ r ) ، بالطبع. لكن ربما يمكننا الجمع بين الأساليب. ما سنفعله هو محاولة حل النموذج

[y = x ^ r f (x) ]

حيث (f (x) ) دالة تحليلية.

مثال ( PageIndex {2} ):

افترض أن لدينا المعادلة

[4 x ^ 2 y '' - 4 x ^ 2 y '+ (1-2x) y = 0، label {ex2eq1} ]

ونلاحظ مرة أخرى أن (x = 0 ) نقطة مفردة. دعنا نحاول

[ begin {align} y & = x ^ r sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ k & = sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ {k + r}، تسمية {ex2eq2} نهاية {محاذاة} ]

حيث (r ) هو رقم حقيقي ، وليس بالضرورة عدد صحيح. مرة أخرى إذا كان هذا الحل موجودًا ، فقد يكون موجودًا فقط للإيجابية (س ). لنجد أولًا المشتقات

[ begin {align} y '& = sum_ {k = 0} ^ infty (k + r) ، a_k x ^ {k + r-1}، y' '& = sum_ {k = 0} ^ infty (k + r) ، (k + r-1) ، a_k x ^ {k + r-2}. تسمية {ex2eq3} نهاية {محاذاة} ]

إدخال المعادلات ref {ex2eq2} - ref {ex2eq3} في المعادلة التفاضلية الأصلية (المعادلة المرجع {ex2eq1}) التي نحصل عليها

[ begin {align} 0 & = 4x ^ 2y '' - 4x ^ 2y '+ (1-2x) y & = 4x ^ 2 ، left ( sum_ {k = 0} ^ infty ( k + r) ، (k + r-1) ، a_k x ^ {k + r-2} right) -4x ^ 2 ، left ( sum_ {k = 0} ^ infty (k + r) ، a_k x ^ {k + r-1} right) + (1-2x) left ( sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ {k + r} right) & = left ( sum_ {k = 0} ^ infty 4 (k + r) ، (k + r-1) ، a_k x ^ {k + r} right) - left ( sum_ {k = 0} ^ infty 4 (k + r) ، a_k x ^ {k + r + 1} right) + left ( sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ {k + r} يمين) - يسار ( sum_ {k = 0} ^ infty 2a_k x ^ {k + r + 1} right) & = left ( sum_ {k = 0} ^ infty 4 (k + r) ، (k + r-1) ، a_k x ^ {k + r} right) - left ( sum_ {k = 1} ^ infty 4 (k + r-1) ، a_ { ك-1} x ^ {k + r} right) + left ( sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ {k + r} right) - left ( sum_ {k = 1} ^ infty 2a_ {k-1} x ^ {k + r} right) & = 4r (r-1) ، a_0 x ^ r + a_0 x ^ r + sum_ {k = 1} ^ infty left (4 (k + r) ، (k + r-1) ، a_k - 4 (k + r-1) ، a_ {k-1} + a_k -2a_ {k-1} right ) ، x ^ {k + r} & = left (4r (r-1) + 1 right) ، a_0 x ^ r + sum_ {k = 1} ^ infty left ( left (4 (k + r) ، (k + r-1) + 1 right) ، a_k- left (4 (k + r-1) + 2 right) ، a_ {k-1} right) ، x ^ {k + r}. en د {محاذاة} ]

للحصول على حل ، يجب أن يكون لدينا أولاً ( left (4r (r-1) + 1 right) ، a_0 = 0 ). لنفترض أن (a_0 not = 0 ) حصلنا عليه

[4 ص (ص -1) + 1 = 0. ]

هذه المعادلة تسمى معادلة غير رسمية. هذه المعادلة غير الرسمية لها جذر مزدوج عند (r = dfrac {1} {2} ). حسنًا ، حتى نعرف ما يجب أن يكون (r ). تلك المعرفة التي حصلنا عليها ببساطة من خلال النظر إلى معامل (x ^ r ). يجب أيضًا أن تكون جميع معاملات (x ^ {k + r} ) الأخرى صفرًا

[ left (4 (k + r) ، (k + r-1) + 1 right) ، a_k- left (4 (k + r-1) + 2 right) ، a_ {k -1} = 0. ]

إذا أدخلنا (r = dfrac {1} {2} ) وحلنا من أجل (a_k ) نحصل على

[a_k = dfrac {4 (k + dfrac {1} {2} -1) + 2} {4 (k + dfrac {1} {2}) ، (k + dfrac {1} {2} - 1) + 1} ، a_ {k-1} = dfrac {1} {k} ، a_ {k-1}. ]

دعونا نضبط (a_0 = 1 ). ثم

[a_1 = dfrac {1} {1} a_0 = 1، qquad a_2 = dfrac {1} {2} a_1 = dfrac {1} {2}، qquad a_3 = dfrac {1} {3 } a_2 = dfrac {1} {3 cdot 2} ، qquad a_4 = dfrac {1} {4} a_3 = dfrac {1} {4 cdot 3 cdot 2} ، qquad dots ]

استقراء ، نلاحظ ذلك

[a_k = dfrac {1} {k (k-1) (k-2) cdots 3 cdot 2} = dfrac {1} {k!}. ]

بعبارات أخرى،

[y = sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ {k + r} = sum_ {k = 0} ^ infty dfrac {1} {k!} x ^ {k + 1/2 } = x ^ {1/2} sum_ {k = 0} ^ infty dfrac {1} {k!} x ^ {k} = x ^ {1/2} e ^ x. ]

كان ذلك محظوظا! بشكل عام ، لن نتمكن من كتابة المتسلسلة من حيث الوظائف الأولية. لدينا حل واحد ، دعونا نسميه (y_1 = x ^ {1/2} e ^ x ). لكن ماذا عن الحل الثاني؟ إذا أردنا حلًا عامًا ، فنحن بحاجة إلى حلين مستقلين خطيًا. اختيار (a_0 ) ليكون ثابتًا مختلفًا يجعلنا فقط مضاعفًا ثابتًا لـ (y_1 ) ، وليس لدينا أي (r ) آخر لتجربته ؛ لدينا حل واحد فقط للمعادلة غير الرسمية. حسنًا ، هناك قوى لـ (x ) عائمة ونأخذ المشتقات ، ربما يكون اللوغاريتم (المشتق العكسي لـ (x ^ {- 1} )) موجود أيضًا. اتضح أننا نريد محاولة حل آخر للشكل

[y_2 = sum_ {k = 0} ^ infty b_k x ^ {k + r} + ( ln x) y_1، ]

وهو في حالتنا

[y_2 = sum_ {k = 0} ^ infty b_k x ^ {k + 1/2} + ( ln x) x ^ {1/2} e ^ x. ]

نفرق الآن هذه المعادلة ، ونعوض بها في المعادلة التفاضلية ونحل من أجل (b_k ). يستتبع ذلك حساب طويل ونحصل على بعض العلاقة العودية لـ (b_k ). يمكن للقارئ (ويجب عليه) محاولة ذلك للحصول على المصطلحات الثلاثة الأولى على سبيل المثال

[b_1 = b_0 -1، qquad b_2 = dfrac {2b_1-1} {4}، qquad b_3 = dfrac {6b_2-1} {18}، qquad ldots ]

ثم نصلح (b_0 ) ونحصل على الحل (y_2 ). ثم نكتب الحل العام على النحو التالي (y = A y_1 + B y_2 ).

طريقة فروبينيوس

قبل إعطاء الطريقة العامة ، دعنا نوضح متى يتم تطبيق الطريقة. يترك

[p (x) y '+ q (x) y' + r (x) y = 0 ]

يكون ODE. كما في السابق ، إذا (p (x_0) = 0 ) ، إذن (x_0 ) هي نقطة مفردة. إذا ، علاوة على ذلك ، فإن الحدود

[ lim_ {x to x_0} ~ (x-x_0) dfrac {q (x)} {p (x)} qquad text {and} qquad lim_ {x to x_0} ~ (x -x_0) ^ 2 dfrac {r (x)} {p (x)} ]

كلاهما موجود ومحدود ، ثم نقول إن (x_0 ) هو أ نقطة مفردة عادية.

مثال ( PageIndex {3} ): التوسع حول نقطة مفردة عادية

في كثير من الأحيان ، وبالنسبة لبقية هذا القسم ، (x_0 = 0 ). انصح

[x ^ 2y '' + x (1 + x) y '+ ( pi + x ^ 2) y = 0. ]

كتابة

[ lim_ {x to 0} ~ x dfrac {q (x)} {p (x)} = lim_ {x to 0} ~ x dfrac {x (1 + x)} {x ^ 2} = lim_ {x to 0} ~ (1 + x) = 1، lim_ {x to 0} ~ x ^ 2 dfrac {r (x)} {p (x)} = lim_ {x to 0} ~ x ^ 2 frac {( pi + x ^ 2)} {x ^ 2} = lim_ {x to 0} ~ ( pi + x ^ 2) = pi. ]

لذا فإن (x = 0 ) هي نقطة مفردة عادية.

من ناحية أخرى إذا قمنا بإجراء تغيير طفيف

[x ^ 2y '' + (1 + x) y '+ ( pi + x ^ 2) y = 0، ]

ومن بعد

[ lim_ {x to 0} ~ x dfrac {q (x)} {p (x)} = lim_ {x to 0} ~ x dfrac {(1 + x)} {x ^ 2 } = lim_ {x to 0} ~ dfrac {1 + x} {x} = text {DNE}. ]

هنا DNE تعني غير موجود. النقطة (0 ) هي نقطة مفردة ، لكنها ليست نقطة مفردة عادية.

دعونا الآن نناقش العام طريقة فروبينيوس. دعونا نفكر فقط في الطريقة عند النقطة (س = 0 ) من أجل البساطة. الفكرة الرئيسية هي النظرية التالية.

نظرية: طريقة فروبينيوس

لنفترض أن

[p (x) y '+ q (x) y' + r (x) y = 0 ]

لديه نقطة مفردة منتظمة عند (س = 0 ) ، ثم يوجد حل واحد على الأقل للنموذج

[y = x ^ r sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ k. ]

حل من هذا النموذج يسمى حل فروبينيوس.

الطريقة عادة ما تنهار مثل هذا.

(ط) نبحث عن حل من نوع Frobenius للشكل

[y = sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ {k + r}. ]

نعوض بهذا (y ) في المعادلة (7.3.26). نجمع المصطلحات ونكتب كل شيء في سلسلة واحدة.

(2) يجب أن تكون السلسلة التي تم الحصول عليها صفرًا. ضبط المعامل الأول (عادةً معامل (x ^ r )) في السلسلة إلى الصفر نحصل على معادلة غير رسمية، وهي كثيرة الحدود من الدرجة الثانية في (r ).

(iii) إذا كانت المعادلة غير الرسمية لها جذران حقيقيان (r_1 ) و (r_2 ) مثل أن (r_1 - r_2 ) ليس عددًا صحيحًا ، إذن لدينا حلان مستقلان خطيًا من نوع Frobenius. باستخدام الجذر الأول ، نعوض

[y_1 = x ^ {r_1} sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ {k}، ]

ونحل للجميع (a_k ) للحصول على الحل الأول. ثم باستخدام الجذر الثاني ، نعوض

[y_2 = x ^ {r_2} sum_ {k = 0} ^ infty b_k x ^ {k}، ]

وحل من أجل الجميع (b_k ) للحصول على الحل الثاني.

(4) إذا كانت المعادلة غير الرسمية لها جذر مضاعف (r ) ، فعندئذ نجد حلًا واحدًا

[y_1 = x ^ {r} sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ {k}، ]

ثم نحصل على حل جديد عن طريق التوصيل

[y_2 = x ^ {r} sum_ {k = 0} ^ infty b_k x ^ {k} + ( ln x) y_1، ]

في المعادلة المرجع {7.3.26} وحل الثوابت (b_k ).

(v) إذا كانت المعادلة غير الرسمية لها جذران حقيقيان مثل (r_1-r_2 ) عدد صحيح ، فإن أحد الحلول هو

[y_1 = x ^ {r_1} sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ {k}، ]

والحل الثاني المستقل خطيًا هو من الشكل

[y_2 = x ^ {r_2} sum_ {k = 0} ^ infty b_k x ^ {k} + C ( ln x) y_1، ]

حيث نعوض (y_2 ) في (7.3.26) ونحل الثوابت (b_k ) و (C ).

(6) أخيرًا ، إذا كانت المعادلة غير الرسمية لها جذور معقدة ، عندئذٍ يتم حل (a_k ) في الحل

[y = x ^ {r_1} sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ {k} ]

ينتج عن دالة ذات قيمة معقدة --- كل (a_k ) هي أرقام مركبة. نحصل على حلين مستقلين خطيًا عن طريق أخذ الأجزاء الحقيقية والخيالية من (y ).

الفكرة الرئيسية هي إيجاد حل واحد على الأقل من نوع Frobenius. إذا حالفنا الحظ ووجدنا اثنين ، فقد انتهينا. إذا حصلنا على واحدة فقط ، فإننا إما نستخدم الأفكار المذكورة أعلاه أو حتى طريقة مختلفة مثل تقليل الطلب (تمرين 2.1.8) للحصول على حل ثان.

وظائف بيسل

فئة مهمة من الوظائف التي تنشأ بشكل شائع في الفيزياء هي وظائف بيسل. على سبيل المثال ، تظهر هذه الوظائف عند حل معادلة الموجة في بعدين وثلاثة أبعاد. أولاً ، لدينا معادلة الطلب الخاصة بـ Bessel (p ):

[x ^ 2 y '' + xy '+ left (x ^ 2 - p ^ 2 right) y = 0. ]

نسمح (p ) أن يكون أي رقم ، وليس مجرد عدد صحيح ، على الرغم من أن الأعداد الصحيحة ومضاعفات ( dfrac {1} {2} ) هي الأكثر أهمية في التطبيقات. عندما نقوم بتوصيل

[y = sum_ {k = 0} ^ infty a_k x ^ {k + r} ]

في معادلة Bessel للترتيب (p ) نحصل على المعادلة غير الرسمية

[r (r-1) + r-p ^ 2 = (r-p) (r + p) = 0. ]

لذلك نحصل على جذرين (r_1 = p ) و (r_2 = -p ). إذا لم يكن (p ) عددًا صحيحًا يتبع طريقة Frobenius والإعداد (a_0 = 1 ) ، فإننا نحصل على حلول مستقلة خطيًا للنموذج

[y_1 = x ^ p sum_ {k = 0} ^ { infty} dfrac {(- 1) ^ kx ^ {2k}} {2 ^ {2k} k! (k + p) (k-1 + p) cdots (2 + p) (1 + p)}، y_2 = x ^ {- p} sum_ {k = 0} ^ { infty} dfrac {(- 1) ^ kx ^ { 2k}} {2 ^ {2k} k! (kp) (k-1-p) cdots (2-p) (1-p)}. ]

تمرين ( PageIndex {1} ):

  1. تحقق من أن المعادلة غير الرسمية لمعادلة Bessel للترتيب (p ) هي ((r-p) (r + p) = 0 ).
  2. افترض أن (p ) ليس عددًا صحيحًا. قم بإجراء الحساب للحصول على الحلول ​​(y_1 ) و (y_2 ) أعلاه.

ستكون دوال بيسيل مضاعفات ثابتة ملائمة لـ (y_1 ) و (y_2 ). أولا يجب علينا تحديد وظيفة جاما

[ Gamma (x) = int_0 ^ infty t ^ {x-1} e ^ {- t} ، dt. ]

لاحظ أن ( Gamma (1) = 1 ). وظيفة جاما أيضا لها خاصية رائعة

[ جاما (س + 1) = س جاما (س). ]

من هذه الخاصية ، يمكن للمرء أن يُظهر أن ( Gamma (n) = (n-1)! ) عندما (n ) عدد صحيح ، وبالتالي فإن دالة جاما هي نسخة مستمرة من العامل. نحسب:

[ Gamma (k + p + 1) = (k + p) (k-1 + p) cdots (2 + p) (1 + p) Gamma (1 + p)، Gamma (k -p + 1) = (kp) (k-1-p) cdots (2-p) (1-p) Gamma (1-p). ]

تمرين ( PageIndex {2} ):

تحقق من الهويات أعلاه باستخدام ( Gamma (x + 1) = x Gamma (x) ).

نحدد ال وظائف بيسل من النوع الأول من أجل (ع ) و (- ع ) مثل

[J_p (x) = dfrac {1} {2 ^ p Gamma (1 + p)} y_1 = sum_ {k = 0} ^ infty dfrac {{(- 1)} ^ k} {k ! Gamma (k + p + 1)} { left ( dfrac {x} {2} right)} ^ {2k + p}، J _ {- p} (x) = dfrac {1} { 2 ^ {-} Gamma (1-p)} y_2 = sum_ {k = 0} ^ infty dfrac {{(- 1)} ^ k} {k! Gamma (k-p + 1)} { left ( dfrac {x} {2} right)} ^ {2k-p}. ]

نظرًا لأن هذه مضاعفات ثابتة للحلول التي وجدناها أعلاه ، فهذان كلاهما حل لمعادلة Bessel للترتيب (p ). يتم اختيار الثوابت من أجل الملاءمة. عندما لا يكون (p ) عددًا صحيحًا ، يكون (J_p ) و (J _ {- p} ) مستقلين خطيًا. عندما (n ) عدد صحيح نحصل عليه

[J_n (x) = sum_ {k = 0} ^ infty dfrac {{(- 1)} ^ k} {k! (k + n)!} { left ( dfrac {x} {2} right)} ^ {2k + n}. ]

في هذه الحالة اتضح أن

[J_n (x) = {(-1)} ^ nJ _ {- n} (x) ، ]

ولذا فإننا لا نحصل على حل مستقل خطيًا ثانيًا. الحل الآخر هو ما يسمى ب دالة بيسل من النوع الثاني. هذه لا معنى لها إلا للطلبات الصحيحة (n ) ويتم تعريفها على أنها حدود التوليفات الخطية من (J_p (x) ) و (J _ {- p} (x) ) عند اقتراب (p ) (n ) بالطريقة التالية:

[Y_n (x) = lim_ {p n} dfrac { cos (p pi) J_p (x) - J _ {- p} (x)} { sin (p pi)}. ]

نظرًا لأن كل مجموعة خطية من (J_p (x) ) و (J _ {- p} (x) ) هي حل لمعادلة Bessel للترتيب (p ) ، عندئذٍ عندما نأخذ الحد كـ (p ) ينتقل إلى (n ) ، (Y_n (x) ) هو حل لمعادلة Bessel للترتيب (n ). اتضح أيضًا أن (Y_n (x) ) و (J_n (x) ) مستقلان خطيًا. لذلك عندما يكون (n ) عددًا صحيحًا ، يكون لدينا الحل العام لمعادلة Bessel للترتيب (n )

[y = A J_n (x) + B Y_n (x)، ]

للثوابت التعسفية (أ ) و (ب ). لاحظ أن (Y_n (x) ) ينتقل إلى اللانهاية السالبة عند (x = 0 ). تحتوي العديد من حزم البرامج الرياضية على هذه الوظائف (J_n (x) ) و (Y_n (x) ) محددة ، لذلك يمكن استخدامها تمامًا مثل القول ( sin (x) ) و ( cos (x)) ) ). في الواقع ، لديهم بعض الخصائص المتشابهة. على سبيل المثال ، (- J_1 (x) ) مشتق من (J_0 (x) ) ، وبشكل عام يمكن كتابة مشتق (J_n (x) ) كمجموعة خطية من (J_ {n-1} (x) ) و (J_ {n + 1} (x) ). علاوة على ذلك ، تتذبذب هذه الوظائف ، على الرغم من أنها ليست دورية. انظر الشكل 7.4 من أجل الرسوم البيانية لوظائف Bessel.

الشكل 7.4: رسم (J_0 (x) ) و (J_1 (x) ) في الرسم البياني الأول و (Y_0 (x) ) و (Y_1 (x) ) في الرسم البياني الثاني.

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام دوال Bessel لحل ODE

يمكن أحيانًا حل المعادلات الأخرى من حيث وظائف Bessel. على سبيل المثال ، بإعطاء ثابت موجب ( lambda ) ،

[x y '' + y '+ lambda ^ 2 x y = 0، ]

يمكن تغييره إلى (x ^ 2 y '' + x y '+ lambda ^ 2 x ^ 2 y = 0 ). ثم تغيير المتغيرات (t = lambda x ) نحصل عليها عبر قاعدة السلسلة المعادلة في (y ) و (t ):

[t ^ 2 y '' + t y '+ t ^ 2 y = 0، ]

والتي يمكن التعرف عليها على أنها معادلة Bessel للطلب 0. وبالتالي فإن الحل العام هو (y (t) = A J_0 (t) + B Y_0 (t) ) ، أو من حيث (x ):

[y = A J_0 ( lambda x) + B Y_0 ( lambda x). ]

تظهر هذه المعادلة على سبيل المثال عند العثور على أنماط أساسية من اهتزاز أسطوانة دائرية ، لكننا نستطرد.


نقطة مفردة غير منتظمة وشكل فروبينيوس

حيث $ lambda $ ثابت. أعتقد أنني أثبتت أنه عند $ z = 0 ، يكون لدى ODE نقطة مفردة غير منتظمة. لقد تعلمت دائمًا أنه لا يمكنك استخدام طريقة Frobenius الآن. لكن السؤال في الكتاب المدرسي يقول: من خلال التفكير في حل لشكل Frobenius:

أظهر أن قيمة واحدة فقط من r ممكنة.

هل من الممكن ان يساعدنى احد ما. لأنني اعتقدت أنه غير ممكن. عندما أستخدم المعادلة الأساسية ، لا يمكنني الحصول على p (0) و q (0) ، فكيف يجب علي الاستمرار؟


ملاحظات رياضيات 342

في هذا القسم ، نعتبر طريقة لإيجاد حل عام لـ ODE من الدرجة الثانية حول نقطة مفردة ، مكتوبة بأي من الشكلين المكافئين أدناه:

نظرية 1.1.1 طريقة فروبينيوس

افترض أ (2 ^) طلب ODE في النموذج (1.1.1) أو (1.1.2). دع المعامِلات (b (x)، c (x) ) تحليلية حول (x = 0 text <.> ) ثم ، يمكن كتابة حل واحد في النموذج

حيث (r ) هو جذر (حقيقي أو معقد) للمعادلة غير الرسمية الواردة أدناه.

ملاحظة 1.1.2

الحل (1.1.3) ليس سلسلة أس عندما يكون (r ) إما سالبًا أو عددًا غير صحيح.

التعريف 1.1.3 المعادلة غير الرسمية

افترض أن (ب (س) ، ج (س) ) تحليلي حول (س = 0 نص <،> ) ثم لكل منهما سلسلة تايلور حول (س = 0 )

المعادلة غير الرسمية هي المعادلة التربيعية

ملاحظة 1.1.4

المعادلة غير الرسمية مماثلة للمعادلة المميزة التي تظهر في المعادلات التفاضلية العادية. بمعنى ، إذا كان النموذج (1.1.3) مدرجًا في (1.1.1) (أو (1.1.2)) ، فيجب تلبية (1.1.4) حتى يكون (1.1.3) حلاً.

ملاحظة 1.1.5

بعد استبدال النموذج (1.1.3) في (1.1.1) ، تنشأ المعادلة غير الرسمية من تحديد معامل أدنى ترتيب ، (x ^ r text <،> ) إلى الصفر.

خذ الصيغة المفترضة (1.1.3) وزع (x ^ r ) وابحث عن (y '، y' ' text <:> )

تنويه: لم يتغير مؤشر البداية على عكس الأقسام السابقة.

عوّض (y، y '، y' ') في (1.1.1) للحصول عليها

الآن ، نعيد ترتيب الشروط للحصول على:

إذا كان الطرف الأيسر يساوي صفرًا بشكل مماثل ، فيجب أن تكون جميع المعاملات متساوية مع الصفر. على وجه الخصوص ، يجب أن يكون لدينا

باستخدام علاقة التكرار المرتبطة ، نختار (a_m's ) بحيث تكون معاملات (x ^، x ^، dots ) ​​صفر.

نظرية 1.1.6

افترض (r_1، r_2 ) استيفاء المعادلة غير الرسمية ( (r_1 geq r_2 ) إذا كانت الجذور حقيقية). الحل الأول لـ (1.1.1) هو

هناك ثلاث حالات يجب مراعاتها للحل الثاني:

حالة 1: (r_1 neq r_2 ) و (r_1 - r_2 ) هو ليس عدد صحيح. ثم (y_2 ) هو

الحالة 2: (r_1 = r_2 =: r text <.> ) ثم ، (y_2 ) هو

(تنويه: لا يوجد حد ثابت ، أي (A_0 = 0 text <.> )

الحالة 3: (r_1 neq r_2 ) لكن (r_1 - r_2 ) عدد صحيح. ثم (y_2 ) هو

حيث (K ) ثابت قد يكون صفرًا.

ملاحظة 1.1.7

تنويه: استخدام الرموز الكبيرة (A_m ) في الحالات 1-3 يهدف إلى التمييز بين المعاملات (a_m ) المستخدمة في (y_1 (x) text <.> )

مثال 1.1.8

لاحظ أن (x = 0 ) نقطة مفردة. اضرب في (x / 4 ) لوضع المعادلة في الصورة القياسية.

قد نلاحظ أن (b_0 = frac <1> <2> ) و (c_0 = 0 ) منذ ذلك الحين

وهكذا ، فإن المعادلة غير الرسمية

نختار (r_1 = frac <1> <2> ) ليكون الجذر الأكبر و (r_2 = 0 text <.> ) تختلف الجذور بمقدار غير صحيح ، لذلك نحن في الحالة 1 .

لتحديد علاقة التكرار بين المعاملات ، استبدل الصيغة المفترضة (y (x) = x ^ r sum_^ < infty> a_m x ^ m ) إلى (1.1.5) ، قم بتحويل المؤشرات ، وقطع المصطلح (m = -1 ) للحصول على

حيث (d (x) = [4r (r-1) + 2r] a_0x ^ ) يحتوي على (م = -1 ) شروط. تنويه: معامل (x ^) هو صفر باختيارنا لـ (r text <،> ) الذي يفي بالمعادلة الأساسية. نحل علاقة التكرار ،

حتى الآن ، لم نستخدم المعلومات الخاصة بـ (y_1 (x) text <.> ) نحن نستبدل (r = r_1 = frac <1> <2> ) للحصول على علاقة التكرار لـ (y_1 (خ) نص <:> )

نبحث عن نمط في المعاملات ،

وبالتالي ، فإن الحل الأول هو (لمجموعة البساطة (a_0 = 1 ))

نظرًا لأننا في الحالة الأولى ، معاملات الحل الثاني ، (y_2 (x) = x ^مجموع_يمكن الحصول على ^ < infty> A_mx ^ m text <،> ) عن طريق استبدال الرمز (a_m ) بـ (A_m ) واستبدال (r = r_2 = 0 text <:> )

نظرية 1.1.9 تخفيض النظام

لنفترض أن (y_1 ) حل معروف للمعادلة

بافتراض شكل الحل الثاني (y_2 (x) text <،> )

حيث (u (x) ) دالة غير معروفة ، تقلل المعادلة التفاضلية إلى معادلة من الدرجة الأولى.

دليل

في المعادلة الأصلية للحصول على

عن طريق إجراء تغيير المتغير

مثال 1.1.10 تقليل أسلوب الطلب

افترض أن (y_1 (x) = sin (x) ) هو حل معين للمعادلة

بعد الاستبدال ، نحصل عليها

إجراء تغيير المتغير (v = u ' text <،> ) نحصل عليه

نجد الأس كل جانب واستخدام (K ) باعتباره الثابت التعسفي المعدل


5.1 المصفوفات والأنظمة الخطية

النظام الخطي ، تمثيل المصفوفة عبر المنتج

تعريف المنتج ، التوزيع على الجمع ، الضرب القياسي ، عدم التبادلية

معادلة خطية عامة دxد = ص(ر)x + F(ر)

ما هو الحل ، الوجود إذا P ، f مستمر على بعض I مفتوح لأي IC

معادلة متجانسة مرتبطة ، نظرية التراكب (c_i) ، برهان ، مثال

تعريف الاعتماد الخطي

محدد Wronskian ، نظرية حول الحل في الفترة المفتوحة إذا كانت P مستمرة ، على سبيل المثال

الحل العام من حيث n الحلول المستقلة خطيًا على الفتح I ، P المستمر

وجود مجموعة مستقلة خطيًا عبر أساس معيار IC

معادلات غير متجانسة: نظرية ، دالة تكميلية ويعرف أيضًا باسم حل معين


7.3: النقاط الفردية وطريقة فروبينيوس - الرياضيات

إذا كانت نقطة عادية في المعادلة التفاضلية العادية ، فقم بالتوسع في سلسلة Taylor about ، والسماح

قم بتوصيله مرة أخرى بـ ODE وقم بتجميع المعاملات حسب الطاقة. الآن ، احصل على علاقة متكررة للمصطلح العاشر ، واكتب سلسلة تايلور بدلالة s. التوسعات للمشتقات القليلة الأولى هي

إذا كانت نقطة مفردة منتظمة في المعادلة التفاضلية العادية ،

يمكن إيجاد الحلول بطريقة Frobenius أو عن طريق التوسع في سلسلة Laurent. في طريقة Frobenius ، افترض حلاً للنموذج

الآن ، قم بالتوصيل مرة أخرى بـ ODE وقم بتجميع المعاملات حسب القوة للحصول على صيغة عودية للمصطلح ، ثم اكتب سلسلة Taylor بدلالة s. ستؤدي معادلة المصطلح إلى 0 إلى ما يسمى بالمعادلة غير الرسمية ، والتي ستعطي القيم المسموح بها في سلسلة تايلور.

تضمن نظرية Fuchs الحصول على حل واحد على الأقل لسلسلة Power عند تطبيق طريقة Frobenius إذا كانت نقطة التوسيع عادية أو عادية ، نقطة مفردة. بالنسبة لنقطة Singular العادية ، يمكن أيضًا استخدام توسعة Laurent Series. توسع في سلسلة Laurent ، السماح

قم بتوصيله مرة أخرى بـ ODE وقم بتجميع المعاملات حسب الطاقة. الآن ، احصل على صيغة التكرار للمصطلح العاشر ، واكتب توسيع تايلور بدلالة s.

Arfken ، G. `` Series Solutions - Frobenius 'Method.' '& # 1678.5 in Mathematical Methods for Physics، 3rd ed. أورلاندو ، فلوريدا: مطبعة أكاديمية ، ص 454-467 ، 1985.


تعميم لطريقة فروبينيوس للمعادلات التفاضلية العادية بنقاط مفردة منتظمة

تم تمديد طريقة Frobenius التقليدية للمعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ذات النقاط المفردة العادية إلى المعادلات التفاضلية للطلبات الأعلى والأدنى. يتم تناول شروط النقطة التي تكون مفردة عادية. يتضح أيضًا أن المعادلات التفاضلية Cauchy-Euler هي حالة خاصة من المعادلات التفاضلية العادية ذات النقاط المفردة العادية.

تم النشر في: 31 مارس 2005

كيف تستشهد: Chou، J. & Wu، R. (2005). تعميم لطريقة فروبينيوس للمعادلات التفاضلية العادية بنقاط مفردة منتظمة. مجلة الرياضيات والإحصاء, 1(1) ، 3-7. https://doi.org/10.3844/jmssp.2005.3.7

حقوق النشر: © 2021 Jung-Hua Chou و Raylin Wu. هذا مقال مفتوح الوصول يتم توزيعه بموجب شروط ترخيص Creative Commons Attribution License ، والذي يسمح بالاستخدام غير المقيد والتوزيع والاستنساخ في أي وسيط ، بشرط ذكر المؤلف والمصدر الأصليين.


المعادلات ذات الترتيب الأعلى

تمارين 4.9

في التدريبات 1-4 ، حدد النقاط الفردية لكل معادلة. لكل معادلة ، صنف النقطة (النقاط) المفردة على أنها منتظمة أو غير منتظمة.

في التدريبات 5-14 ، استخدم طريقة Frobenius للحصول على حلين مستقلين خطيًا حول النقطة المفردة العادية x = 0.

ص ″ + 8 3 س - 1 ص ′ - 2 3 س - 2-1 ص = 0

ص ″ + ٦ ١ ٣ س - ١ - ١ ص ′ - ٦ ١ ٣ س - ٢ ص = ٠

ص ″ + 1 2 س - 1-2 ص ′ - 3 5 1 6 س - 2 ص = 0

ص ″ - س - 1 + 2 ص ′ + س - 2 + س ص = 0

في التدريبات 15-17 ، حل المعادلة التفاضلية باستخدام مفكوك متسلسلة حول x = 0. قارن هذه النتائج مع الحل الذي تم الحصول عليه عن طريق حل المشكلة في صورة معادلة كوشي أويلر.

المعادلة التفاضلية ذ″ + ص(x)ذ′ + ف(x)ذ = 0 لديه نقطة مفردة عند اللانهاية إذا بعد استبدال ث = 1/x المعادلة الناتجة لها نقطة مفردة عند ث = 0. وبالمثل ، فإن المعادلة لها النقطة العادية عند اللانهاية إذا كانت المعادلة المحولة لها نقطة عادية عند ث = 0. استخدم قاعدة السلسلة والاستبدال ث = 1/x لبيان أن المعادلة التفاضلية ذ″ + ص(x)ذ′ + ف(x)ذ = 0 ، حيث بالنسبة ل x، ما يعادل

استخدم التعريف الموجود في التمرين 18 لتحديد ما إذا كانت اللانهاية نقطة عادية أم نقطة مفردة في المعادلة التفاضلية المحددة.

س 2 ص ″ + س ص ′ + س 2 - ك 2 ص = 0

1 - س 2 ص ″ - 2 س ص ′ + ك (ك + 1) ص = 0

ال معادلة فوق هندسية اعطي من قبل

في تمارين 21-23 ، حل كل معادلة فوق هندسية. إذا لزم الأمر ، عبر عن الحلول من حيث الوظيفة F(أ,ب,جx). (ملحوظة: عندما إما أ أو ب هو عدد صحيح سالب ، والحل هو كثير الحدود.) (انظر التمرين 20.)

س (1 - س) ص ″ + 1 2 - 3 س ص ′ - ص = 0

معادلة لاجير اعطي من قبل

عالم الرياضيات الفرنسي ادمون نيكولاس لاغير (1834-1886) مشهور بكثرة الحدود الخاصة التي سميت باسمه والتي تمت مناقشتها في هذا التمرين. على الرغم من أن الرياضيات كانت مهمة لاغير ، كذلك كانت عائلته. وفقًا لبرنكوبف ، "لقد صور معاصرو لاجير لاجير على أنه رجل هادئ ولطيف كان مخلصًا بشغف لأبحاثه وتدريسه وتعليم ابنتيه". قضى الكثير من الوقت والطاقة للتأكد من حصول ابنتيه على أفضل تعليم ممكن في ذلك الوقت.

أين ك ثابت (عادة ، يُفترض أن ك & GT 0). (أ) أظهر ذلك x = 0 هي نقطة مفردة عادية في معادلة لاجير. (ب) استخدم طريقة Frobenius لتحديد حل واحد لمعادلة Laguerre. (ج) أظهر ذلك إذا ك هو عدد صحيح موجب ، فالحل هو كثير الحدود. هذا كثير الحدود ، يشار إليه إلك(x) ، يسمى كثير حدود لاجير من أجل ك.

(العلاقات بين دوال بيسل) (أ) استخدام المعادلات (4.48) و Γ(x + 1) = (x) ، أظهر أن d d x x μ J μ (x) = x μ J μ - 1 (x). (ب) باستخدام المعادلة (4.48) ، أظهر أن d d x x - μ J μ (x) = - x - μ J μ + 1 (x). (ج) باستخدام نتائج الجزأين (أ) و (ب) ، أظهر ذلك يميكرومتر−1(x) − يميكرومتر+1(x) = 2J ′(x). (د) أوجد قيمة ∫ x μ J μ - 1 (x) d x.

اظهر ذلك ذ = ي0(ككس) أين ك هل الثابت هو حل معادلة Bessel البارامترية من الرتبة صفر ، س ص″ + ذ′ + ك 2 س ص = 0.

ابحث عن حل عام لكل معادلة.

س 2 ص ″ + س ص ′ + س 2-1 4 ص = 0

س 2 ص ″ + س ص ′ + ٦ ١ × ٢ - ٢ ٥ ص = ٠

استخدم توسيع سلسلة الطاقة لوظيفة Bessel من النوع الأول من الترتيب ن (ن عدد صحيح) ، المعادلة (4.48) للتحقق من ذلك ي0(x) = −ي1(x).

استخدم تغيير المتغيرات ذ = الخامس(x)x −1/2 لتحويل معادلة بيسل x 2 y ″ + x y ″ + x 2 - k 2 y = 0 إلى المعادلة v ″ + 1 + 1 4 - k 2 x - 2 v = 0. بالتبديل ك = 1/2 في المعادلة المحولة ، قم باشتقاق حل معادلة Bessel ك = 1/2.

أظهر أن حل س ص″ + ذ′ + الخامس −1 ذ = 0 هي y = J 0 2 x ∕ v حيث الخامس ثابت.

استخدم التكامل بالأجزاء للتحقق من ذلك Γ(ص + 1) = ص(ص), ص & GT 0. ملاحظة: ص هو أي رقم حقيقي.

(أ) بيّن أن Γ (1 ∕ 2) = 2 ∫ 0 ∞ e - x 2 d x. (تلميح: يترك ش = x 2.) (ب) استخدم الإحداثيات القطبية لإيجاد قيمة ∫ 0 ∞ e - x 2 d x ∫ 0 ∞ e - y 2 d y = ∫ 0 ∞ ∫ 0 e - (x 2 + y 2) d x d y. (ج) استخدم نتائج (أ) و (ب) للتقييم Γ(1/2) وبعد ذلك Γ(3/2).

(أ) استخدم حل متسلسل لتقريب الحل إلى IVP x y ″ + (2 - x) y ′ + 1 4 x - 1 y = 0 ، ذ(1) = 1, ذ′ (1) = -1. (ب) استخدام نظام الجبر الحاسوبي لتوليد حل رقمي لـ IVP ومقارنة هذه النتائج مع تلك التي تم الحصول عليها في (أ) عن طريق رسم التقريبين معًا.

معادلة لاجير (ارجع إلى التمرين 24 حسب الحاجة.) (أ) أظهر أن كثيرات حدود لاجير تفي بالصيغة L n (x) = 1 n! e x d n d x n x n e - x. (ب) بيّن أن ∫ 0 ∞ e - x L m (x) L n (x) d x = 0 من أجل نم، مما يدل على أن كثيرات حدود لاجير هي متعامد. (ج) حدد قيمة ∫ 0 e - x L n (x) 2 d x بالتجربة باستخدام ن = 1, 2, ….


جدول المحتويات

مقدمة
1 تحليل المتجهات
1.1 النهج الابتدائي
1.2 حاصل الضرب القياسي أو النقطي
1.3 ناقل أو منتج متقاطع
1.4 منتج عددي ثلاثي ، منتج متجه ثلاثي
1.5 التدرج ، ∇
1.6 الاختلاف ، ∇
1.7 حليقة ، ∇x
1.8 التطبيقات المتتالية لـ ∇
1.9 تكامل المتجهات
1.10 Gauss & # 39 Theorem
1.11 نظرية ستوكس & # 39
1.12 النظرية المحتملة
1.13 معادلة Gauss & # 39 Law و Poisson & # 39s
1.14 وظيفة ديراك دلتا
2 تحليل المتجهات في الإحداثيات المنحنية والموتر
2.1 أنظمة الإحداثيات الخاصة: مقدمة
2.2 إحداثيات الأسطوانة الدائرية
2.3 الإحداثيات المتعامدة
2.4 معاملات المتجهات التفاضلية
2.5 الإحداثيات القطبية الكروية
2.6 تحليل موتر
2.7 الانكماش ، المنتج المباشر
2.8 قاعدة الحصة
2.9 الموترات المزدوجة
3 المحددات والمصفوفات
3.1 المحددات
3.2 المصفوفات
3.3 المصفوفات المتعامدة
3.4 المصفوفات Hermitian ، المصفوفات الموحدة
3.5 قطرية المصفوفات
4 نظرية المجموعة
4.1 مقدمة في نظرية المجموعة
4.2 مولدات المجموعات المستمرة
4.3 الزخم الزاوي المداري
4.4 مجموعة لورنتز المتجانسة
5 سلسلة لانهائية
5.1 المفاهيم الأساسية
5.2 اختبارات التقارب
5.3 سلسلة متناوبة
5.4 الجبر من المتسلسلة
5.5 سلسلة من الوظائف
5.6 توسع تايلور و # 39 ثانية
5.7 سلسلة الطاقة
5.8 التكاملات الإهليلجية
5.9 أرقام برنولي ، صيغة أويلر ماكلورين
5.10 سلسلة مقاربة
6 وظائف لمتغير مركب 389
6.1 الجبر المركب
6.2 شروط كوشي-ريمان
6.3 نظرية كوشي المتكاملة
6.4 صيغة Cauchy & # 39s المتكاملة
6.5 توسع لوران
6.6 رسم الخرائط
6.7 رسم الخرائط المطابقة
7 وظائف لمتغير معقد II
7.1 التفردات
7.2 حساب المخلفات
7.3 طريقة المنحدرات الشديدة
8 معادلات تفاضلية
8.1 مقدمة
8.2 المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى
8.3 المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية
8.4 نقاط فردية
8.5 سلسلة الحلول - طريقة Frobenius & # 39s
8.6 حل ثاني
8.7 الحلول العددية
8.8 مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية
8.9 فصل المتغيرات
9 نظرية Sturm-Liouville - وظائف متعامدة
9.1 معاهد التطوير المعتمد (ODEs) ذاتية القيادة
9.2 مشغلي Hermitian
9.3 تقويم غرام شميدت
9.4 اكتمال الوظائف الذاتية
10 وظيفة جاما (وظيفة العوامل)
10.1 تعاريف ، خصائص بسيطة
10.2 وظائف Digamma و Polygamma
10.3 سلسلة Stirling & # 39s
10.4 وظيفة جاما غير المكتملة والوظائف ذات الصلة
11 Legendre متعدد الحدود والتوافقيات الكروية
11.1 مقدمة
11.2 علاقات التكرار والخصائص الخاصة
11.3 التعامد
11.4 التعريفات البديلة لمجموعات الحدود الأسطورية
11.5 وظائف Legendre المرتبطة
12 وظائف بيسيل
12.1 وظائف Bessel من النوع الأول Jv (x)
12.2 وظائف Neumann ، وظائف Bessel من النوع الثاني
12.3 التوسعات المقاربة
12.4 وظائف بيسيل كروية
13 هيرمايت ولاجير متعدد الحدود
13.1 كثيرات الحدود هيرمايت
13.2 وظائف لاجير
14 سلسلة فورييه
14.1 الخصائص العامة
14.2 مزايا ، استخدامات سلسلة فورييه
14.3 سلسلة فورييه المعقدة
14.4 خصائص سلسلة فورييه
15 تحويلات متكاملة
15.1 مقدمة ، تعريفات
15.2 تحويل فورييه
15.3 تطوير تحويلات فورييه المعكوسة
15.4 نظرية فورييه للتحولات والانعكاس
15.5 تحويل فورييه للمشتقات
15.6 نظرية الالتواء
15.7 تمثيل الزخم
15.8 تحويلات لابلاس
15.9 تحويل لابلاس للمشتقات
15.10 خصائص أخرى
15.11 نظرية الالتواء أو فالتونغس
15.12 تحويل لابلاس المعكوس
16 معادلات تفاضلية جزئية
16.1 أمثلة على PDEs وشروط الحدود
16.2 تدفق الحرارة أو الانتشار PDE
16.3 وظيفة PDE-Green & # 39s غير المتجانسة
17 الاحتمالية
17.1 تعاريف ، خصائص بسيطة
17.2 المتغيرات العشوائية
17.3 التوزيع ذو الحدين
17.4 توزيع بواسون
17.5 Gauss & # 39 التوزيع الطبيعي
17.6 الإحصاء
18 حساب الاختلافات
18.1 متغير تابع ومستقل
18.2 Several Dependent Variables
18.3 Several Independent Variables
18.4 Several Dependent and Independent Variables
18.5 Lagrangian Multipliers: Variation with Constraints
18.6 Rayleigh-Ritz Variational Technique
19 Nonlinear Methods and Chaos
19.1 Introduction
19.2 The Logistic Map
19.3 Sensitivity to Initial Conditions and Parameters
19.4 Nonlinear Differential Equations
Appendix: Real Zeros of a Function
Index


7.3: Singular Points and the Method of Frobenius - Mathematics

ꔟ ib ]ۥ#0 t) >(Ea X +G c BْJ G^ ^dV V H6A endstream endobj 10 0 obj >>/BBox[0 0 505 770]/Length 165>>stream x 0 E ޫ l # (h gH % q = yҕ^q V j o a s" ƀ ? ˆ [ Q a D 0 8N Usr

ꔟ ib ]ۥ#0 t) >(Ea X +G c BْJ G^ ^dV V H6A endstream endobj 3 0 obj >>/BBox[0 0 504 720]/Length 165>>stream x 0 E ޫ l #> H 4 3$ Hl !v n t W ꊀ [email protected]! e!7 ( g ޾j U A` D,$ R HxP GW i j8? ޮ ) 躞 g i N2 j >v*T ) 8 DVe^ ? b 6 endstream endobj 9 0 obj >>/BBox[0 0 505 770]/Length 165>>stream x 0 E ޫ l # (h gH % q = yҕ^q V j o a s" ƀ ? ˆ [ Q a D 0 8N Usr

ꔟ ib ]ۥ#0 t) >(Ea X +G c BْJ G^ ^dV V H6A endstream endobj 12 0 obj >>/BBox[0 0 505 770]/Length 165>>stream x 0 E ޫ l # (h gH % q = yҕ^q V j o a s" ƀ ? ˆ [ Q a D 0 8N Usr

ꔟ ib ]ۥ#0 t) >(Ea X +G c BْJ G^ ^dV V H6A endstream endobj 11 0 obj >>/BBox[0 0 505 770]/Length 165>>stream x 0 E ޫ l # (h gH % q = yҕ^q V j o a s" ƀ ? ˆ [ Q a D 0 8N Usr

ꔟ ib ]ۥ#0 t) >(Ea X +G c BْJ G^ ^dV V H6A endstream endobj 15 0 obj >stream 2021-07-01T08:03:15-07:00 2010-08-06T12:58:20-04:00 2021-07-01T08:03:15-07:00 DVIPSONE 2.2.6 http://www.YandY.com application/pdf nmsf TeX output 2007.09.20:1252 Andi Arumugam (Venture India) 4859 2001 Oct 10 11:10:29 uuid:87651cb2-30b4-47fb-8cdc-552571253c87 uuid:08232f50-2743-4b7a-bb65-205a01574dd4

Acrobat Distiller 5.0 (Windows) modified using iText 4.2.0 by 1T3XT

endstream endobj 16 0 obj >stream x + | endstream endobj 17 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 LS | @ @. endstream endobj 18 0 obj >stream x + | endstream endobj 19 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 LCC | @ @. p endstream endobj 20 0 obj >stream x + | endstream endobj 21 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c#= Lc | @ @. endstream endobj 22 0 obj >stream x + | endstream endobj 23 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 L | @ @. endstream endobj 24 0 obj >stream x + | endstream endobj 25 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 L3 | @ @. endstream endobj 26 0 obj >stream x + | endstream endobj 27 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 L | @ @. endstream endobj 28 0 obj >stream x + | endstream endobj 29 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 Ls | @ @. endstream endobj 30 0 obj >stream x + | endstream endobj 31 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 LK | @ @. endstream endobj 32 0 obj >stream x + | endstream endobj 33 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 LC | @ @. g endstream endobj 34 0 obj >stream x + | endstream endobj 35 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 LC | @ @. endstream endobj 36 0 obj >stream x + | endstream endobj 37 0 obj >stream x S * *T0T0 BC =c# #9WA?" H %_! + endstream endobj 38 0 obj >stream x + | endstream endobj 39 0 obj >stream x S * *T0T0 BC S c3 L | @ @. endstream endobj 41 0 obj >stream H TM 6 W h ^ , m ]4 " X w׭ N J dzI " X 3 e Q 6 ` ", k w0F[ OE ٧ f%


4. Between object realism and mathematical platonism

Object realism says there exist abstract mathematical objects, whereas platonism adds Independence, which says that mathematical objects are independent of intelligent agents and their language, thought, and practices. This final section surveys some lightweight forms of object realism that stop short of full-fledged platonism.

4.1 How To Understand Independence

A natural gloss on Independence is the counterfactual conditional that, had there not been any intelligent agents, or had their language, thought, or practices been suitably different, there would still have been mathematical objects.

This counterfactual independence (as we may call it) is accepted by most analytic philosophers. To see why, consider the role that mathematics plays in our reasoning. We often reason about scenarios that aren&rsquot actual. Were we to build a bridge across this canyon, say, how strong would it have to be to withstand the powerful gusts of wind? Sadly, the previous bridge collapsed. Would it have done so had the steel girders been twice as thick? This form of reasoning about counterfactual scenarios is indispensable both to our everyday deliberations and to science. The permissibility of such reasoning has an important consequence. Since the truths of pure mathematics can freely be appealed to throughout our counterfactual reasoning, it follows that these truths are counterfactually independent of us humans, and all other intelligent life for that matter. That is, had been there been no intelligent life, these truths would still have remained the same.

Pure mathematics is in this respect very different from ordinary empirical truths. Had intelligent life never existed, this article would not have been written. More interestingly, pure mathematics also contrasts with various social conventions and constructions, with which it is sometimes compared (Cole 2009, Feferman 2009, Hersh 1997). Had intelligent life never existed, there would have been no laws, contracts, or marriages&mdashyet the mathematical truths would have remained the same.

Thus, if Independence is understood merely as counterfactual independence, then anyone who accepts object realism should also accept platonism.

It is doubtful that this understanding of Independence is sufficient, however. For Independence is meant to substantiate an analogy between mathematical objects and ordinary physical objects. Just as electrons and planets exist independently of us, so do numbers and sets. And just as statements about electrons and planets are made true or false by the objects with which they are concerned and these objects&rsquo perfectly objective properties, so are statements about numbers and sets. In short, mathematical objects are just as &ldquoreal&rdquo as ordinary physical objects (if not even more so, as Plato thought).

Let us now consider some views that reject this stronger understanding of Independence in terms of the mentioned analogy. These views are thus lightweight forms of object realism, which stop short of full-blown platonism.

4.2 Plenitudious platonism

One lightweight form of object realism is the &ldquofull-blooded platonism&rdquo of Balaguer 1998. This view is characterized by a plenitude principle to the effect that any mathematical objects that could exist actually do exist. For instance, since the Continuum Hypothesis is independent of the standard axiomatization of set theory, there is a universe of sets in which the hypothesis is true and another in which it is false. And neither universe is metaphysically privileged. By contrast, traditional platonism asserts that there is a unique universe of sets in which the Continuum Hypothesis is either determinately true or determinately false. [15]

One alleged benefit of this plenitudinous view is in the epistemology of mathematics. If every consistent mathematical theory is true of some universe of mathematical objects, then mathematical knowledge will, in some sense, be easy to obtain: provided that our mathematical theories are consistent, they are guaranteed to be true of some universe of mathematical objects.

However, &ldquofull-blooded platonism&rdquo has received much criticism. Colyvan and Zalta 1999 criticize it for undermining the possibility of reference to mathematical objects, and Restall 2003, for lacking a precise and coherent formulation of the plenitude principle on which the view is based. Martin (2001) proposes that different universes of sets be amalgamated to yield a single maximal universe, which will be privileged by fitting our conception of set better than any other universe of sets.

A different version of plenitudinous platonism is developed in Linsky & Zalta 1995 and a series of further articles. (See, for instance, Linsky & Zalta 2006 and other articles cited therein.) Traditional platonism goes wrong by &ldquoconceiv[ing] of abstract objects on the model of physical objects&rdquo (Linsky & Zalta 1995, p. 533), including in particular the idea that such objects are &ldquosparse&rdquo rather than plenitudinous. Linsky & Zalta develop an alternative approach on the basis of the second author&rsquos &ldquoobject theory&rdquo. The main feature of object theory is a very general comprehension principle which asserts the existence of a plenitude of abstract objects: for any collection of properties, there is an abstract object which &ldquoencodes&rdquo precisely these properties. In object theory, moreover, two abstract objects are identical just in case they encode precisely the same properties. Object theory&rsquos comprehension principle and identity criterion are said to &ldquoprovide the link between our cognitive faculty of understanding and abstract objects&rdquo (ibid., p. 547). (See Ebert & Rossberg 2007 for critical discussion.)

4.3 Lightweight semantic values

Assume that object realism is true. For convenience, assume also Classical Semantics. These assumptions ensure that the singular terms and quantifiers of mathematical language refer to and range over abstract objects. Given these assumptions, should one also be a mathematical platonist? In other words, do the objects that mathematical sentences refer to and quantify over satisfy Independence or some similar condition?

It will be useful to restate our assumptions in more neutral terms. We can do this by invoking the notion of a semantic value, which plays an important role in semantics and the philosophy of language. In these fields it is widely assumed that each expression makes some definite contribution to the truth-value of sentences in which the expression occurs. This contribution is known as the semantic value of the expression. It is widely assumed that (at least in extensional contexts) the semantic value of a singular term is just its referent.

Our assumptions can now be stated neutrally as the claim that mathematical singular terms have abstract semantic values and that its quantifiers range over the kinds of item that serve as semantic values. Let&rsquos focus on the claim about singular terms. What is the philosophical significance of this claim? In particular, does it support some version of Independence? The answer will depend on what is required for a mathematical singular term to have a semantic value.

Some philosophers argue that not very much is required (Frege 1953, Dummett 1981, Dummett 1991a, Wright 1983, Hale & Wright 2000, Rayo 2013, and Linnebo 2012 and 2018). It suffices for the term t to make some definite contribution to the truth-values of sentences in which it occurs. The whole purpose of the notion of a semantic value was to represent such contributions. It therefore suffices for a singular term to possess a semantic value that it makes some such suitable contribution.

This may even open the way for a form of non-eliminative reductionism about mathematical objects (Dummett 1991a, Linnebo 2018). Although it is perfectly true that the mathematical singular term t has an abstract object as its semantic value, this truth may obtain in virtue of more basic facts which do not mention or involve the relevant abstract object. Compare for instance the relation of ownership that obtains between a person and her bank account. Although it is perfectly true that the person owns the bank account, this truth may obtain in virtue of more basic sociological or psychological facts which do not mention or involve the bank account.

If some lightweight account of semantic values is defensible, we can accept the assumptions of object realism and Classical Semantics without committing ourselves to any traditional or robust form of platonism.

4.4 Two further lightweight forms of object realism

We conclude by describing two further examples of lightweight forms of object realism that reject the platonistic analogy between mathematical objects and ordinary physical objects.

First, perhaps mathematical objects exist only in a potential manner, which contrasts with the actual mode of existence of ordinary physical objects. This idea is at the heart of the ancient notion of potential infinity (Lear 1980, Linnebo & Shapiro 2017). According to Aristotle, the natural numbers are potentially infinite in the sense that, however large a number we have produced (by instantiating it in the physical world), it is possible to produce an even larger number. But Aristotle denies that the natural numbers are actually infinite: this would require the physical world to be infinite, which he argues is impossible.

Following Cantor, most mathematicians and philosophers now defend the actual infinity of the natural numbers. This is made possible in part by denying the Aristotelian requirement that every number needs to be instantiated in the physical world. When this is denied, the actual infinity of the natural numbers no longer entails the actual infinity of the physical world.

However, a form of potentialism about the hierarchy of sets continues to enjoy considerable support, especially in connection with the iterative conception of sets (Parsons 1977, Jané 2010, Linnebo 2013, Studd 2013). No matter how many sets have been formed, it is possible to form even more. If true, this would mean that sets have a potential form of existence which distinguishes them sharply from ordinary physical objects.

Second, perhaps mathematical objects are ontologically dependent or derivative in a way that distinguishes them from independently existing physical objects (Rosen 2011, Donaldson 2017). For example, on the Aristotelian view just mentioned, a natural number depends for its existence on some instantiation or other in the physical world. There are other versions of the view as well. For example, Kit Fine (1995) and others argue that a set is ontologically dependent on its elements. (This view is also closely related to the set-theoretic potentialism mentioned above.)


شاهد الفيديو: العدد الزوجي والعدد الفردي (ديسمبر 2021).