مقالات

2.4.1: تحويل المعادلات غير الخطية إلى معادلات قابلة للفصل (تمارين) - الرياضيات


Q2.4.1

في تمارين 2.4.1-2.4.4 حل معادلة برنولي المعطاة.

1. (ص '+ ص = ص ^ 2 )

2. ({7xy'-2y = - {x ^ 2 over y ^ 6}} )

3. (x ^ 2y '+ 2y = 2e ^ {1 / x} y ^ {1/2} )

4. ({(1 + x ^ 2) y '+ 2xy = {1 over (1 + x ^ 2) y}} )

Q2.4.2

في تمارين 2.4.5 و 2.4.6 تجد كل الحلول. ارسم أيضًا حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة على المنطقة المستطيلة المشار إليها.

5. (y'-xy = x ^ 3y ^ 3؛ quad {- 3 le x le 3، 2 le y ge 2 } )

6. ({y '- {1 + x over 3x} y = y ^ 4}؛ quad {- 2 le x le2، -2 le y le2 } )

Q2.4.3

في تمارين 2.4.7 - 2.4.11 حل مشكلة القيمة الأولية.

7. (y'-2y = xy ^ 3، quad y (0) = 2 sqrt2 )

8. (y'-xy = xy ^ {3/2}، quad y (1) = 4 )

9. (xy '+ y = x ^ 4y ^ 4، quad y (1) = 1/2 )

10. (y'-2y = 2y ^ {1/2}، quad y (0) = 1 )

11. ({y'-4y = {48x على y ^ 2}، quad y (0) = 1} )

Q2.4.4

في تمارين 2.4.12 و 2.4.13 حل مشكلة القيمة الأولية ورسم الحل بيانيًا.

12. (x ^ 2y '+ 2xy = y ^ 3، quad y (1) = 1 / sqrt2 )

13. (y'-y = xy ^ {1/2}، quad y (0) = 4 )

Q2.4.5

14. ربما لاحظت أن المعادلة اللوجستية [P '= aP (1- alpha P) ] من نموذج Verhulst للنمو السكاني يمكن كتابتها بصيغة برنولي كـ [P'-aP = -a alpha P ^ 2. ] هذا ليس مثيرًا للاهتمام بشكل خاص ، لأن المعادلة اللوجستية قابلة للفصل ، وبالتالي قابلة للحل بالطريقة المدروسة في القسم 2.2. لذلك دعونا نفكر في نموذج أكثر تعقيدًا ، حيث (a ) هو ثابت موجب و ( alpha ) دالة إيجابية مستمرة لـ (t ) على ([0، infty) ). معادلة هذا النموذج هي [P'-aP = -a alpha (t) P ^ 2، ] معادلة برنولي غير قابلة للفصل.

  1. بافتراض أن (P (0) = P_0> 0 ) ، ابحث عن (P ) لـ (t> 0 ).
  2. تحقق من أن النتيجة تقل إلى النتائج المعروفة للنموذج المالتوسي حيث ( alpha = 0 ) ، ونموذج Verhulst حيث ( alpha ) ثابت غير صفري.
  3. بافتراض أن [ lim_ {t to infty} e ^ {- at} int_0 ^ t alpha ( tau) e ^ {a tau} ، d tau = L ] موجود (محدود أو غير محدود ) ، ابحث عن ( lim_ {t to infty} P (t) ).

Q2.4.6

في تمارين 2.4.15-2.4.18 حل المعادلة صراحة.

15. (ص '= {ص + س أكثر من س} )

16. (y '= {y ^ 2 + 2xy أكثر من x ^ 2} )

17. (س ص ^ 3 ص = ص ^ 4 + س ^ 4 )

18. (y '= {y over x} + sec {y over x} )

Q2.4.7

في تمارين 2.4.19 - 2.4.21 حل المعادلة صراحة. ارسم أيضًا حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة على المنطقة المستطيلة المشار إليها.

19. (x ^ 2y '= xy + x ^ 2 + y ^ 2؛ quad {- 8 le x le 8، -8 le y le 8 } )

20. (xyy '= x ^ 2 + 2y ^ 2؛ quad {- 4 le x le 4، -4 le y le 4 } )

21. (y '= {2y ^ 2 + x ^ 2e ^ {- (y / x) ^ 2} over 2xy}؛ quad {- 8 le x le 8، -8 le y جنيه 8 } )

Q2.4.8

في تمارين 2.4.22-2.4.27 حل مشكلة القيمة الأولية.

22. (y '= {xy + y ^ 2 over x ^ 2}، quad y (-1) = 2 )

23. (y '= {x ^ 3 + y ^ 3 over xy ^ 2}، quad y (1) = 3 )

24. (xyy '+ x ^ 2 + y ^ 2 = 0 ، quad y (1) = 2 )

25. (y '= {y ^ 2-3xy-5x ^ 2 over x ^ 2}، quad y (1) = - 1 )

26. (x ^ 2y '= 2x ^ 2 + y ^ 2 + 4xy، quad y (1) = 1 )

27. (xyy '= 3x ^ 2 + 4y ^ 2، quad y (1) = sqrt {3} )

Q2.4.9

في تمارين 2.4.28-2.4.34 حل المعادلة المتجانسة المعطاة ضمنيًا.

28. (y '= {x + y over x-y} )

29. ((y'x-y) ( ln | y | - ln | x |) = x )

30. (y '= {y ^ 3 + 2xy ^ 2 + x ^ 2y + x ^ 3 على x (y + x) ^ 2} )

31. (y '= {x + 2y أكثر من 2x + y} )

32. (y '= {y over y-2x} )

33. (y '= {xy ^ 2 + 2y ^ 3 over x ^ 3 + x ^ 2y + xy ^ 2} )

34. (y '= {x ^ 3 + x ^ 2y + 3y ^ 3 over x ^ 3 + 3xy ^ 2} )

Q2.4.10

35.

  1. ابحث عن حل لمشكلة القيمة الأولية [x ^ 2y '= y ^ 2 + xy-4x ^ 2، quad y (-1) = 0 tag {A} ] على الفاصل ((- infty ، 0) ). تحقق من أن هذا الحل صالح بالفعل على ((- infty، infty) ).
  2. استخدم Theorem 2.3.1 لتوضيح أن (A) له حل فريد في ((- infty، 0) ).
  3. ارسم حقل اتجاه للمعادلة التفاضلية في (A) على مربع [ {- r le x le r، -r le y le r } ، ] حيث (r ) هي أي قيمة موجبة عدد. ارسم الحل الذي حصلت عليه في (أ) في هذا المجال.
  4. ارسم حلولاً أخرى لـ (أ) التي تم تحديدها في ((- infty، infty) ).
  5. ارسم الحلول الأخرى لـ (أ) التي تم تعريفها فقط على فترات من النموذج ((- infty ، أ) ) ، حيث يوجد رقم موجب محدد.

36.

  1. حل المعادلة [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2 tag {A} ] ضمنيًا.
  2. ارسم حقل اتجاه لـ (A) على مربع [ {0 le x le r ، 0 le y le r } ] حيث (r ) هو أي رقم موجب.
  3. لنفترض أن (K ) عددًا صحيحًا موجبًا. (قد تضطر إلى تجربة عدة اختيارات لـ (K ).) حلول الرسم البياني لمشاكل القيمة الأولية [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2، quad y (r / 2) = {kr أكثر من K} ، ] لـ (k = 1 ) ، (2 ) ، ... ، (K ). بناءً على ملاحظاتك ، ابحث عن شروط على الأرقام الموجبة (x_0 ) و (y_0 ) بحيث تكون مشكلة القيمة الأولية [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2، quad y (x_0) = y_0 ، tag {B} ] لها حل فريد (i) في ((0، infty) ) أو (ii) فقط على فاصل زمني ((a، infty) ) ، حيث (a > 0 )؟
  4. ماذا يمكنك أن تقول عن الرسم البياني لحل (B) كـ (x to infty )؟ (مرة أخرى ، افترض أن (x_0> 0 ) و (y_0> 0 ).)

37.

  1. حل المعادلة [y '= {2y ^ 2-xy + 2x ^ 2 over xy + 2x ^ 2} tag {A} ] ضمنيًا.
  2. ارسم حقل اتجاه لـ (A) على مربع [ {- r le x le r، -r le y le r } ] حيث (r ) هو أي رقم موجب. من خلال رسم حلول بيانية لـ (A) ، حدد الشروط الضرورية والكافية على ((x_0، y_0) ) بحيث يكون (A) لديه حل على (i) ((- infty، 0) ) أو (ii) ((0، infty) ) مثل (y (x_0) = y_0 ).

38. اتبع تعليمات تمرين 2.4.37 للمعادلة [y '= {xy + x ^ 2 + y ^ 2 over xy}. ]

39. اختر أي معادلة غير خطية متجانسة (y '= q (y / x) ) تريدها ، وقم برسم حقول الاتجاه على المربع ( {- r le x le r، -r le y le r } ) ، حيث (r> 0 ). ماذا يحدث لحقل الاتجاه عندما تختلف (r )؟ لماذا ا؟

40. إثبات: إذا (ad-bc ne 0 ) ، يمكن تحويل المعادلة [y '= {ax + by + alpha over cx + dy + beta} ] إلى معادلة غير خطية متجانسة [{ dY over dX} = {aX + bY over cX + dY} ] بالتعويض (x = X-X_0 ، y = Y-Y_0 ) ، حيث (X_0 ) و (Y_0 ) هي ثوابت مختارة بشكل مناسب.

Q2.4.11

في تمارين 2.4.21 - 2.4.43 استخدم طريقة اقترحها تمرين 2.4.40 لحل المعادلة المعطاة ضمنيًا.

41. (y '= {-6x + y-3 أكثر من 2x-y-1} )

42. (y '= {2x + y + 1 over x + 2y-4} )

43. (y '= {-x + 3y-14 أكثر من x + y-2} )

Q2.4.12

في تمارين 2.4.44 - 2.4.51 ابحث عن دالة (y_ {1} ) بحيث يحول الاستبدال (y = uy_ {1} ) المعادلة المعطاة إلى معادلة قابلة للفصل بالشكل (2.4.6). ثم حل المعادلة المعطاة صراحة.

44. (3xy ^ 2y '= y ^ 3 + x )

45. (xyy '= 3x ^ 6 + 6y ^ 2 )

46. ​​ (x ^ 3y '= 2 (y ^ 2 + x ^ 2y-x ^ 4) )

47. (y '= y ^ 2e ^ {- x} + 4y + 2e ^ x )

48. (y '= {y ^ 2 + y tan x + tan ^ 2 x over sin ^ 2x} )

49. (x ( ln x) ^ 2y '= - 4 ( ln x) ^ 2 + y ln x + y ^ 2 )

50. (2x (y + 2 sqrt x) y '= (y + sqrt x) ^ 2 )

51. ((y + e ^ {x ^ 2}) y '= 2x (y ^ 2 + ye ^ {x ^ 2} + e ^ {2x ^ {2}} )

Q2.4.13

52. حل مشكلة القيمة الأولية [y '+ {2 over x} y = {3x ^ 2y ^ 2 + 6xy + 2 over x ^ 2 (2xy + 3)}، quad y (2) = 2 . ]

53. حل مشكلة القيمة الأولية [y '+ {3 over x} y = {3x ^ 4y ^ 2 + 10x ^ 2y + 6 over x ^ 3 (2x ^ 2y + 5)}، quad y ( 1) = 1. ]

54. إثبات: إذا كان (y ) حلًا لمعادلة غير خطية متجانسة (y '= q (y / x) ) ، كذلك (y_1 = y (ax) / a ) ، حيث ( أ ) هو أي ثابت غير صفري.

55. أ المعممة معادلة ريكاتي على شكل [y '= P (x) + Q (x) y + R (x) y ^ 2. العلامة {A} ] (إذا كان (R equiv-1 ) ، (أ) هو ملف معادلة ريكاتي.) لنكن (y_1 ) حلاً معروفًا و (ص ) حلًا عشوائيًا لـ (أ). دعونا (z = y-y_1 ). أظهر أن (z ) هو حل لمعادلة برنولي مع (n = 2 ).

Q2.4.14

في تمارين 2.4.56 - 2.4.59، نظرًا لأن (y_ {1} ) هو حل للمعادلة المحددة ، استخدم الطريقة المقترحة من قبل تمرين 2.4.55 لإيجاد حلول أخرى.

56. (ص '= 1 + س - (1 + 2 س) ص + س ص ^ 2 ) ؛ (y_1 = 1 )

57. (y '= e ^ {2x} + (1-2e ^ x) y + y ^ 2 ) ؛ (y_1 = ه ^ س )

58. (xy '= 2-x + (2x-2) y-xy ^ 2 ) ؛ (y_1 = 1 )

59. (xy '= x ^ 3 + (1-2x ^ 2) y + xy ^ 2 ) ؛ (y_1 = س )


شاهد الفيديو: كل انواع المعادلات في الرياضيات مع امثلة (ديسمبر 2021).