مقالات

14.3: تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية - الرياضيات


لقد استخدمنا التكاملات المتكررة لتقييم التكاملات المزدوجة ، والتي تعطي الحجم الموقّع تحت السطح ، (z = f (x ، y) ) ، فوق منطقة (R ) من (xy ) - المستوى. المُتكامل هو ببساطة (f (x، y) ) ، ويتم تحديد حدود التكاملات بواسطة المنطقة (R ).

من السهل وصف بعض المناطق (R ) باستخدام إحداثيات مستطيلة - أي مع المعادلات على شكل (y = f (x) ) ، (x = a ) ، وما إلى ذلك ، ومع ذلك ، فإن بعض المناطق أسهل في التعامل معها إذا قمنا بتمثيل حدودها باستخدام المعادلات القطبية بالصيغة (r = f ( theta) ) ، ( theta = alpha ) ، إلخ.

الشكل الأساسي للتكامل المزدوج هو ( displaystyle iint_R f (x، y) dA ). نفسر هذا التكامل على النحو التالي: على المنطقة (R ) ، لخص الكثير من منتجات الارتفاعات (معطاة من خلال (f (x_i ، y_i) )) والمساحات (المعطاة بواسطة ( Delta A_i )) . وهذا يعني أن (dA ) يمثل "مساحة صغيرة". في الإحداثيات المستطيلة ، يمكننا وصف مستطيل صغير بأنه يحتوي على منطقة (dx dy ) أو (dy ، dx ) - مساحة المستطيل هي ببساطة الطول ( الأوقات ) العرض - تغيير طفيف في (س ) مرات تغيير طفيف في (ص ). لذلك نستبدل (دأ ) في التكامل المزدوج بـ (dx ، dy ) أو (dy ، dx ).

الشكل ( PageIndex {1} label {double_pol_intro} )

فكر الآن في تمثيل منطقة بإحداثيات قطبية. ضع في اعتبارك الشكل ( PageIndex {1} ) (أ). لنفترض أن (R ) هي المنطقة في الربع الأول الذي يحده المنحنى. يمكننا تقريب هذه المنطقة باستخدام الشكل الطبيعي للإحداثيات القطبية: أجزاء من قطاعات الدوائر. في الشكل ، إحدى هذه المناطق مظللة ، كما هو موضح مرة أخرى في الجزء (ب) من الشكل.

نظرًا لأن مساحة قطاع دائرة نصف قطرها (r ) ، يقابلها زاوية ( theta ) ، هي (A = frac12r ^ 2 theta ) ، يمكننا إيجاد مساحة المظللة منطقة. يحتوي القطاع بأكمله على مساحة ( frac12r_2 ^ 2 Delta theta ) ، بينما يحتوي القطاع الأصغر غير المظلل على مساحة ( frac12r_1 ^ 2 Delta theta ). مساحة المنطقة المظللة هي الفرق بين هذه المناطق:
$$ Delta A_i = frac12r_2 ^ 2 Delta theta- frac12r_1 ^ 2 Delta theta = frac12 big (r_2 ^ 2-r_1 ^ 2 big) big ( Delta theta big) = frac {r_2 + r_1} {2} big (r_2-r_1 big) Delta theta. $$

لاحظ أن ((r_2 + r_1) / 2 ) هو فقط متوسط ​​نصف القطر.

لتقريب المنطقة (R ) ، نستخدم العديد من هذه المناطق الفرعية ؛ يؤدي القيام بذلك إلى تقليص الفرق (r_2-r_1 ) بين نصف القطر إلى 0 وتقليص التغيير في الزاوية ( Delta theta ) أيضًا إلى 0. نحن نمثل هذه التغييرات اللامتناهية في نصف القطر والزاوية كـ (dr ) و (د ثيتا ) ، على التوالي. أخيرًا ، نظرًا لأن (د ) صغير ، (r_2 تقريبًا r_1 ) ، وهكذا ((r_2 + r_1) / 2 تقريبًا r_1 ). وهكذا ، عندما يكون (د ) و (د ثيتا ) صغيرين ،
$$ Delta A_i almost r_i ، dr ، d theta. $$

أخذ حد ، حيث يذهب عدد المناطق الفرعية إلى ما لا نهاية ويذهب كل من (r_2-r_1 ) و ( Delta theta ) إلى 0 ، نحصل على [dA = r ، dr ، d ثيتا. ]

لذلك لتقييم ( displaystyle iint_Rf (x، y) dA ) ، استبدل (dA ) بـ (r ، dr ، d theta ). قم بتحويل الوظيفة (z = f (x، y) ) إلى دالة ذات إحداثيات قطبية مع الاستبدالات (x = r cos theta ) ، (y = r sin theta ). أخيرًا ، ابحث عن الحدود (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ) و ( alpha leq theta leq beta ) التي تصف (R ). هذا هو المبدأ الأساسي لهذا القسم ، لذلك نعيد ذكره هنا كفكرة أساسية.

الفكرة الرئيسية: تقييم التكامل المزدوج مع الإحداثيات القطبية

لنفترض أن (R ) منطقة مستوية تحدها المعادلات القطبية ( alpha leq theta leq beta ) و (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ). ثم
$$ iint_Rf (x، y) dA = int_ alpha ^ beta int_ {g_1 ( theta)} ^ {g_2 ( theta)} f big (r cos theta، r sin ثيتا كبيرة) ، ص ، د ، د ثيتا. $$

ستساعدنا الأمثلة على فهم هذه الفكرة الرئيسية.

مثال ( PageIndex {1} ): تقييم تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية

أوجد الحجم الموقّع أسفل المستوى (z = 4-x-2y ) فوق الدائرة بالمعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

المحلول

يتم تحديد حدود التكامل فقط من خلال المنطقة (R ) التي نتكامل معها. في هذه الحالة ، تكون دائرة بالمعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). علينا إيجاد الحدود القطبية لهذه المنطقة. قد يكون من المفيد مراجعة القسم ref {sec: polar}؛ حدود هذه الدائرة هي (0 leq r leq 1 ) و (0 leq theta leq 2 pi ).

نستبدل (f (x، y) ) بـ (f (r cos theta، r sin theta) ). هذا يعني أننا نجري البدائل التالية:

$$ 4-x-2y quad Rightarrow quad 4-r cos theta-2r sin theta. $$

أخيرًا ، نستبدل (dA ) في التكامل المزدوج بـ (r ، dr ، d theta ). هذا يعطي التكامل النهائي المتكرر ، والذي نقوم بتقييمه:

[ ابدأ {محاذاة *}
iint_Rf (x، y) dA & = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 big (4-r cos theta-2r sin theta big) r ، dr ، d ثيتا
& = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 big (4r-r ^ 2 ( cos theta-2 sin theta) big) dr ، d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left. left (2r ^ 2- frac13r ^ 3 ( cos theta-2 sin theta) right) right | _0 ^ 1d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left (2- frac13 big ( cos theta-2 sin theta big) right) d theta
& = left. left (2 theta - frac13 big ( sin theta + 2 cos theta big) right) right | _0 ^ {2 pi}
& = 4 pi حوالي 12.566.000
نهاية {محاذاة *} ]

الشكل ( PageIndex {2} )

يظهر السطح والمنطقة (R ) في الشكل ( PageIndex {2} ).

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية

ابحث عن الحجم أسفل المكافئ (z = 4- (x-2) ^ 2-y ^ 2 ) فوق المنطقة التي تحدها الدوائر ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) و ((س -2) ^ 2 + ص ^ 2 = 4 ).

المحلول

للوهلة الأولى ، يبدو هذا وكأنه حجم يصعب حسابه لأن المنطقة (R ) (كما هو موضح في الشكل المرجع {الشكل: doublepol2} (أ)) بها ثقب ، مما يؤدي إلى قطع جزء غريب من السطح ، كما هو موضح في الجزء (ب) من الشكل. ومع ذلك ، من خلال وصف (R ) من حيث المعادلات القطبية ، ليس من الصعب جدًا حساب الحجم.

الشكل ( PageIndex {3} )

من السهل توضيح أن الدائرة ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) لها معادلة قطبية (r = 2 cos theta ) ، وأن الدائرة ((x-2 ) ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) لها معادلة قطبية (r = 4 cos theta ). يتم تتبع كل دائرة من هذه الدوائر في الفاصل الزمني (0 leq theta leq pi ). الحدود على (r ) هي (2 cos theta leq r leq 4 cos theta. )

استبدال (x ) بـ (r cos theta ) في التكامل ، جنبًا إلى جنب مع استبدال (y ) بـ (r sin theta ) ، يجهزنا لتقييم التكامل المزدوج ( displaystyle iint_Rf (س ، ص) dA ):

[ ابدأ {محاذاة *}
iint_Rf (x، y) dA & = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} Big (4- big (r cos theta-2 كبير) ^ 2- كبير (r الخطيئة ثيتا كبير) ^ 2 كبير) r ، دكتور ، د ثيتا
٪ & = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} big (r ^ 3 cos ^ 2 theta + r ^ 3 sin ^ 2 theta - 4 ص ^ 2 كوس ثيتا + 4 ص كبير) د ، د ثيتا
& = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} big (-r ^ 3 + 4r ^ 2 cos theta big) dr ، d theta
& = int_0 ^ pi left. left (- frac14r ^ 4 + frac43r ^ 3 cos theta right) right | _ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} د ثيتا
& = int_0 ^ pi left ( left [- frac14 (256 cos ^ 4 theta) + frac43 (64 cos ^ 4 theta) right] - right.
& اليسار. اليسار [- frac14 (16 cos ^ 4 theta) + frac43 (8 cos ^ 4 theta) right] right) d theta
& = int_0 ^ pi frac {44} 3 cos ^ 4 theta ، d theta. نهاية {محاذاة *} ]

لدمج ( cos ^ 4 theta ) ، أعد كتابته كـ ( cos ^ 2 theta cos ^ 2 theta ) واستخدم صيغة تقليل الطاقة مرتين:

[ start {align *} cos ^ 4 theta & = cos ^ 2 theta cos ^ 2 theta
& = frac12 big (1+ cos (2 theta) big) frac12 big (1+ cos (2 theta) big)
& = frac14 كبير (1 + 2 cos (2 ثيتا) + cos ^ 2 (2 ثيتا) كبير)
& = frac14 Big (1 + 2 cos (2 theta) + frac12 big (1+ cos (4 theta) big) Big)
& = frac38 + frac12 cos (2 theta) + frac18 cos (4 theta). end {align *} ]

ننتقل من حيث توقفنا أعلاه ، لدينا

[ begin {align *} & = int_0 ^ pi frac {44} 3 cos ^ 4 theta ، d theta
& = int_0 ^ pi frac {44} 3 left ( frac38 + frac12 cos (2 theta) + frac18 cos (4 theta) right) d theta
& = left. frac {44} 3 left ( frac {3} 8 theta + frac14 sin (2 theta) + frac {1} {32} sin (4 theta) right) الحق | _0 ^ pi
& = frac {11} 2 pi حوالي 17.279.
نهاية {محاذاة *} ]

في حين أن هذا المثال لم يكن تافهاً ، إلا أن التكامل المزدوج كان كثير أصعب في التقييم لو استخدمنا إحداثيات مستطيلة.

مثال ( PageIndex {3} ): تقييم تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية

ابحث عن الحجم الموجود أسفل السطح (f (x، y) = dfrac1 {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} ) فوق قطاع الدائرة مع نصف قطر (a ) في نقطة الأصل في الأول الربع ، كما هو مبين في الشكل المرجع {fig: doublepol5}.

الشكل ( PageIndex {4} )

المحلول

المنطقة (R ) التي نقوم بدمجها هي دائرة نصف قطرها (أ ) ، مقيدًا بالربع الأول. وبالتالي ، في القطبية ، الحدود على (R ) هي (0 leq r leq a ) ، (0 leq theta leq pi / 2 ). تمت إعادة كتابة علامة Integrand في Polar as

$$ frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} Rightarrow frac {1} {r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta + 1} = frac1 {r ^ 2 + 1}. $$

نجد الحجم على النحو التالي:

[ ابدأ {محاذاة *}
iint_Rf (x، y) dA & = int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ a frac {r} {r ^ 2 + 1} dr ، d theta
& = int_0 ^ { pi / 2} frac12 big ( ln | r ^ 2 + 1 | big) Big | _0 ^ a ، d theta
& = int_0 ^ { pi / 2} frac12 ln (a ^ 2 + 1) d theta
& = left. left ( frac12 ln (a ^ 2 + 1) theta right) right | _0 ^ { pi / 2}
& = frac { pi} {4} ln (a ^ 2 + 1).
نهاية {محاذاة *} ]

يوضح الشكل المرجع {fig: doublepol5} أن (f ) يتقلص إلى ما يقرب من الصفر بسرعة كبيرة. بغض النظر ، كما ينمو (أ ) ، يزداد الحجم أيضًا بلا حدود.

ملحوظة: أظهر العمل السابق أن هناك حدودا منطقة تحت ( frac {1} {x ^ 2 + 1} ) على المحور (x ) بالكامل. ومع ذلك ، المثال المرجع {ex_doublepol5} يوضح أن هناك عددًا لا نهائيًا أربعة حجمالخامس تحت ( frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} ) على مستوى (xy ) بالكامل.

مثال ( PageIndex {4} ): إيجاد حجم الكرة

أوجد حجم كرة نصف قطرها (أ ).

المحلول
كرة نصف القطر (a ) ، المتمركزة في الأصل ، لها معادلة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = a ^ 2 ) ؛ لحل (z ) ، لدينا (z = sqrt {a ^ 2-x ^ 2-y ^ 2} ). هذا يعطي النصف العلوي من الكرة. نريد إيجاد الحجم تحت هذا النصف العلوي ، ثم ضاعفه لإيجاد الحجم الكلي.

المنطقة التي نحتاج إلى التكامل عليها هي دائرة نصف القطر (أ ) ، المتمركزة عند نقطة الأصل. الحدود القطبية لهذه المعادلة هي (0 leq r leq a ) ، (0 leq theta leq2 pi ).

معًا ، حجم الكرة ذات نصف القطر (أ ) هو:

[2 iint_R sqrt {a ^ 2-x ^ 2-y ^ 2} dA = 2 int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ a sqrt {a ^ 2- (r cos theta) ^ 2- (r sin theta) ^ 2} ، r ، dr ، d theta
= 2 int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ ar sqrt {a ^ 2-r ^ 2} ، dr ، d theta. ]

يمكننا إيجاد التكامل الداخلي بالتعويض. مع (u = a ^ 2-r ^ 2 ) ، (du = -2r ، dr ). حدود التكامل الجديدة هي (u (0) = a ^ 2 ) to (u (a) = 0 ). وهكذا لدينا:

[ begin {align *} & = int_0 ^ {2 pi} int_ {a ^ 2} ^ 0 big (-u ^ {1/2} big) du ، d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left. left (- frac23u ^ {3/2} right) right | _ {a ^ 2} ^ 0 ، d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left ( frac23a ^ 3 right) d theta
& = left. left ( frac23a ^ 3 theta right) right | _0 ^ {2 pi}
& = frac43 pi a ^ 3.
نهاية {محاذاة *} ]

بشكل عام ، تُعطى صيغة حجم الكرة بنصف قطر (r ) كـ (4/3 pi r ^ 3 ) ؛ لقد بررنا هذه الصيغة بحساباتنا.

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد حجم مادة صلبة

يريد النحات أن يصنع قالبًا صلبًا من البرونز من المصمت الموضح في الشكل المرجع {الشكل: doublepol4} ، حيث يكون لقاعدة المادة الصلبة حدود ، بالإحداثيات القطبية ، (r = cos (3 theta) ) ، ويتم تحديد القمة من خلال المستوى (ض = 1-س + 0.1 ص ). العثور على حجم الصلبة.

الشكل ( فهرس الصفحة {5} )

المحلول
منذ البداية ، يجب أن ندرك تلك المعرفة كيفيه التنصيب ربما تكون هذه المشكلة أكثر أهمية من المعرفة كيفية حساب التكاملات. التكامل المتكرر الذي سيأتي ليس "صعبًا" في التقييم ، على الرغم من طوله ، ويتطلب الكثير من الجبر. بمجرد تحديد التكامل المتكرر المناسب ، يمكن للمرء استخدام التكنولوجيا المتاحة بسهولة للمساعدة في حساب الإجابة النهائية.

المنطقة (R ) التي نقوم بدمجها مرتبطة بـ (0 leq r leq cos (3 theta) ) ، لـ (0 leq theta leq pi ) (لاحظ ذلك تم تتبع منحنى الوردة هذا على الفاصل الزمني ([0، pi] ) ، وليس ([0،2 pi] )). هذا يعطينا حدود التكامل. المُدمج هو (z = 1-x + 0.1y ) ؛ التحويل إلى القطب ، لدينا أن الحجم (V ) هو:

$$ V = iint_R f (x، y) dA = int_0 ^ pi int_0 ^ { cos (3 theta)} big (1-r cos theta + 0.1r sin theta كبير) ص ، د ، د ثيتا. $$

توزيع (r ) التكامل الداخلي سهل التقييم ، مما يؤدي إلى

$$ int_0 ^ pi left ( frac12 cos ^ 2 (3 theta) - frac13 cos ^ 3 (3 theta) cos theta + frac {0.1} 3 cos ^ 3 (3 ثيتا) الخطيئة ثيتا الحق) د ثيتا. $$

هذا التكامل يستغرق وقتًا لحسابه يدويًا ؛ إنه طويل إلى حد ما ومرهق. يجب تقليل قوى جيب التمام ، ويجب تحويل المنتجات مثل ( cos (3 theta) cos theta ) إلى مبالغ باستخدام صيغ Product To Sum في الغلاف الخلفي لهذا النص.

نعيد كتابة ( frac12 cos ^ 2 (3 theta) ) كـ ( frac14 (1+ cos (6 theta)) ). يمكننا أيضًا إعادة كتابة ( frac13 cos ^ 3 (3 theta) cos theta ) على النحو التالي:

$$ frac13 cos ^ 3 (3 ثيتا) cos theta = frac13 cos ^ 2 (3 theta) cos (3 theta) cos theta = frac13 frac {1+ cos (6 ثيتا)} 2 كبير ( كوس (4 ثيتا) + كوس (2 ثيتا) كبير). $$

لا يزال هذا التعبير الأخير بحاجة إلى التبسيط ، ولكن في النهاية يمكن اختزال جميع المصطلحات إلى الشكل (a cos (m theta) ) أو (a sin (m theta) ) لقيم مختلفة لـ (a ) و (م ).

نتخلى عن الجبر وننصح القارئ بتوظيف التكنولوجيا ، مثل WolframAlpha ، لحساب الإجابة الرقمية. هذه التكنولوجيا تعطي:

$$ int_0 ^ pi int_0 ^ { cos (3 theta)} big (1-r cos theta + 0.1r sin theta big) r dr d theta = frac { pi } {4} حوالي 0.785u ^ 3. $$

نظرًا لعدم تحديد الوحدات ، نترك النتيجة تقريبًا (0.8 ) وحدات مكعبة (متر ، قدم ، وما إلى ذلك) إذا أراد الفنان قياس القطعة بشكل موحد ، بحيث يكون طول كل بتلة وردة غير 1 ، يجب أن تضع في اعتبارك أن القياس بمعامل (ك ) يقيس الحجم بمعامل (ك ^ 3 ).

لقد استخدمنا التكاملات المتكررة لإيجاد مناطق مناطق وأحجام تحت الأسطح. تمامًا كما يمكن استخدام التكامل الفردي لحساب أكثر بكثير من "المنطقة الواقعة تحت المنحنى" ، يمكن استخدام التكاملات المتكررة لحساب أكثر بكثير مما رأيناه حتى الآن. يُظهر القسمان التاليان اثنان ، من بين العديد ، تطبيقات متكررة التكاملات.


حساب التفاضل والتكامل النشط - متعدد المتغيرات

ما هي الإحداثيات القطبية لنقطة في مسافتين؟

كيف نحول بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات المستطيلة؟

ما هو عنصر المنطقة في الإحداثيات القطبية؟

كيف نحول تكامل مزدوج في إحداثيات مستطيلة إلى تكامل مزدوج في الإحداثيات القطبية؟

بينما قمنا بتعريف التكاملات المزدوجة بشكل طبيعي في نظام الإحداثيات المستطيلة ، بدءًا من المجالات التي هي مناطق مستطيلة ، هناك العديد من هذه التكاملات التي يصعب ، إن لم يكن من المستحيل ، تقييمها. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المجال (D ) الذي يمثل دائرة الوحدة و (f (x، y) = e ^ <- x ^ 2 - y ^ 2> text <.> ) لدمج (f ) على (D text <،> ) سنستخدم التكامل المتكرر

بالنسبة لهذا التكامل المعين ، بغض النظر عن ترتيب التكامل ، لا يمكننا العثور على المشتقة العكسية للتكامل بالإضافة إلى ذلك ، حتى لو تمكنا من إيجاد المشتق العكسي ، فإن الحدود الداخلية للتكامل تتضمن وظائف معقدة نسبيًا.

لذلك ، من المفيد أن تكون قادرًا على الترجمة إلى أنظمة إحداثيات أخرى حيث تكون حدود التكامل وتقييم التكاملات المعنية أبسط. نقدم في هذا القسم مناقشة سريعة لأحد هذه الأنظمة - الإحداثيات القطبية - ثم نقدم ونحقق في تشعباتها للتكاملات المزدوجة. يتيح لنا نظام الإحداثيات المستطيلة النظر في المجالات والرسوم البيانية المتعلقة بالشبكة المستطيلة. نظام الإحداثيات القطبية هو نظام إحداثيات بديل يسمح لنا بالنظر في المجالات الأقل ملاءمة للإحداثيات المستطيلة ، مثل الدوائر.

معاينة النشاط 11.5.1.

إحداثيات نقطة تحدد موقعها. على وجه الخصوص ، يتم إعطاء إحداثيات مستطيلة من نقطة (P ) بواسطة زوج مرتب ((س ، ص) نص <،> ) حيث (س ) هي المسافة (الموقعة) التي تقع النقطة منها (ص ) - المحور إلى (ف ) و (ص ) هي المسافة (الموقعة) التي تقع فيها النقطة من (س ) - المحور إلى (ف نص <.> ) في الإحداثيات القطبية ، نحدد موقع النقطة من خلال النظر في المسافة التي تقع فيها النقطة من الأصل ، (O = (0،0) text <،> ) والزاوية التي تقسمها قطعة الخط من الأصل إلى أشكال (P ) بالمحور (س ) - الموجب.

حدد الإحداثيات المستطيلة للنقاط التالية:

النقطة (P ) التي تقع على بعد وحدة واحدة من الأصل على المحور الموجب (x ).

النقطة (Q ) التي تقع على بعد وحدتين من الأصل وتلك ( overline) يصنع زاوية ( frac < pi> <2> ) مع المحور الموجب (x ).

النقطة (R ) التي تقع على بعد 3 وحدات من الأصل بحيث ( overline) يصنع زاوية ( frac <2 pi> <3> ) مع المحور الموجب (x ).

يشير الجزء (أ) إلى أن قطعتين من المعلومات تحددان تمامًا موقع نقطة ما: إما إحداثيات ((س ، ص) ) التقليدية ، أو بالتناوب ، المسافة (r ) من النقطة إلى الأصل على طول بالزاوية ( theta ) التي يصنعها الخط عبر الأصل والنقطة مع المحور (x ) - الموجب. نكتب " ((r، theta) )" للإشارة إلى موقع النقطة في تمثيل إحداثياتها القطبية. أوجد الإحداثيات القطبية للنقاط ذات الإحداثيات المستطيلة المعطاة.

حدد إحداثيات مستطيلة للنقطة لكل نقطة من النقاط التالية التي ترد إحداثياتها في شكل قطبي.

القسم الفرعي 11.5.1 الإحداثيات القطبية

يعتبر نظام الإحداثيات المستطيل هو الأنسب للرسوم البيانية والمناطق التي يتم اعتبارها بشكل طبيعي عبر شبكة مستطيلة. نظام الإحداثيات القطبية هو بديل يوفر خيارات جيدة للوظائف والمجالات التي لها خصائص دائرية أكثر. النقطة (P ) في الإحداثيات المستطيلة الموصوفة بواسطة زوج مرتب ((x، y) text <،> ) حيث (x ) هو الإزاحة من (P ) إلى ( y ) - المحور و (y ) هو الإزاحة من (P ) إلى (x ) - المحور ، كما هو موضح في نشاط المعاينة 11.5.1 ، يمكن أيضًا وصفه بالإحداثيات القطبية ((r ، theta) text <،> ) حيث (r ) هي المسافة من (P ) إلى الأصل و ( theta ) هي الزاوية التي شكلتها قطعة السطر ( overline) والمحور الموجب (س ) - كما هو موضح على اليسار في الشكل 11.5.1.

يسمح علم المثلثات ونظرية فيثاغورس بالتحويل المباشر من المستطيل إلى القطب ، والعكس صحيح.

التحويل بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية.
التحويل من مستطيل إلى قطبي ..

إذا أعطينا الإحداثيات المستطيلة ((س ، ص) ) لنقطة (ف نص <،> ) فإن الإحداثيات القطبية ((ص ، ثيتا) ) من (ف ) ترضي

التحويل من قطبي إلى مستطيل ..

إذا أعطينا الإحداثيات القطبية ((r ، theta) ) لنقطة (P text <،> ) فإن الإحداثيات المستطيلة ((x ، y) ) لـ (P ) تفي

ملحوظة: الزاوية ( theta ) في الإحداثيات القطبية لنقطة ليست فريدة. يمكننا استبدال ( theta ) بـ ( theta + 2 pi ) وما زلنا في نفس النقطة الطرفية. بالإضافة إلى ذلك ، فإن علامة ( tan ( theta) ) لا تحدد بشكل فريد الربع الذي يقع فيه ( theta ) ، لذلك علينا تحديد قيمة ( ثيتا ) من موقع النقطة. بمعنى آخر ، يجب إيلاء المزيد من العناية عند استخدام الإحداثيات القطبية بدلاً من الإحداثيات المستطيلة.

يمكننا رسم الرسوم البيانية للمنحنيات في الإحداثيات القطبية بنفس الطريقة التي نرسمها في الإحداثيات المستطيلة. ومع ذلك ، عند رسم الإحداثيات القطبية ، نستخدم شبكة تراعي التغيرات في الزوايا والتغيرات في المسافة من الأصل. على وجه الخصوص ، تقسم الزوايا ( ثيتا ) والمسافات (r ) الطائرة إلى أسافين صغيرة كما هو موضح على اليمين في الشكل 11.5.1.

النشاط 11.5.2.

يمكن لمعظم أجهزة الرسم البياني القطبية رسم المنحنيات في الإحداثيات القطبية بالشكل (r = f ( theta) text <.> ) استخدم مثل هذا الجهاز لإكمال هذا النشاط.

قبل رسم المنحنى القطبي (r = 1 ) (حيث ( ثيتا ) يمكن أن يكون له أي قيمة) ، فكر في الشكل الذي يجب أن يكون عليه ، في ضوء كيفية توصيل (r ) بـ (س ) ) و (y text <.> ) ثم استخدم التكنولوجيا المناسبة لرسم الرسم البياني واختبار حدسك.

لا تحدد المعادلة ( theta = 1 ) (r ) كدالة ( theta text <،> ) لذلك لا يمكننا رسم هذه المعادلة على العديد من الراسمات القطبية. ما رأيك في شكل المنحنى القطبي ( ثيتا = 1 )؟ لماذا ا؟

قبل رسم المنحنى القطبي (r = theta text <،> ) كيف يبدو الرسم البياني برأيك؟ لماذا ا؟ استخدم التكنولوجيا لرسم المنحنى ومقارنة حدسك.

كيف تبدو المنطقة المحددة بواسطة (1 leq r leq 3 ) (حيث ( theta ) يمكن أن يكون لها أي قيمة)؟ (تلميح: قارن بإجابتك من الجزء (أ).)

كيف تبدو المنطقة المحددة بواسطة (1 leq r leq 3 ) و ( pi / 4 leq theta leq pi / 2 )؟

ضع في اعتبارك المنحنى (r = sin ( theta) text <.> ) بالنسبة لبعض قيم ( theta ) سيكون لدينا (r lt 0 text <.> ) في هذه الحالات ، نرسم النقطة ((r، theta) ) كـ ((| r |، theta + pi) ) (بعبارة أخرى ، عندما (r lt 0 text <،> ) نعكس النقطة من خلال الأصل). مع أخذ ذلك في الاعتبار ، ما رأيك في شكل الرسم البياني (r = sin ( theta) )؟ ارسم هذا المنحنى باستخدام التكنولوجيا وقارن مع حدسك.

القسم الفرعي 11.5.2 التكامل في الإحداثيات القطبية

ضع في اعتبارك التكامل المزدوج

حيث (D ) هو قرص الوحدة. بينما لا يمكننا تقييم هذا التكامل بشكل مباشر في الإحداثيات المستطيلة ، فإن التغيير في الإحداثيات القطبية سيحوله إلى واحد يمكننا بسهولة إيجاد قيمته.

لقد رأينا كيفية تقييم تكامل مزدوج ( displaystyle iint_D f (x، y) ، dA ) كتكامل متكرر من النموذج

بإحداثيات مستطيلة ، لأننا نعلم أن (dA = dy ، dx ) في إحداثيات مستطيلة. لإجراء التغيير على الإحداثيات القطبية ، لا نحتاج فقط إلى تمثيل المتغيرات (x ) و (y ) في الإحداثيات القطبية ، ولكن يجب علينا أيضًا فهم كيفية كتابة عنصر المنطقة ، (dA text <، > ) في الإحداثيات القطبية. بمعنى ، يجب علينا تحديد كيفية كتابة عنصر المنطقة (dA ) من حيث (د ) و (د ثيتا ) في سياق الإحداثيات القطبية. نعالج هذا السؤال في النشاط التالي.

النشاط 11.5.3.

ضع في اعتبارك مستطيلًا قطبيًا (R text <،> ) مع (r ) بين (r_i ) و (r_) و ( theta ) بين ( theta_j ) و ( theta_) كما هو موضح على اليسار في الشكل 11.5.2. دع ( Delta r = r_-r_i ) و ( Delta theta = theta_- theta_j text <.> ) فليكن ( Delta A ) هي منطقة هذه المنطقة.

اشرح لماذا المنطقة ( Delta A ) في الإحداثيات القطبية ليست ( Delta r ، Delta theta text <.> )

الآن ابحث عن ( Delta A ) باتباع الخطوات التالية:

أوجد مساحة الحلقة (المنطقة التي تشبه الغسالة) بين (r_i ) و (r_) text <،> ) كما هو موضح على اليمين في الشكل 11.5.2. ستكون هذه المنطقة من حيث (r_i ) و (r_ نص <.> )

لاحظ أن المنطقة (R ) ليست سوى جزء من الحلقة ، لذا فإن مساحة ( Delta A ) من (R ) ليست سوى جزء من مساحة الحلقة. على سبيل المثال ، إذا ( theta_ - theta_i ) كانت ( frac < pi> <4> text <،> ) فإن الإسفين الناتج سيكون

من الحلقة بأكملها. في هذا السياق الأكثر عمومية ، باستخدام الإسفين بين الزاويتين الملاحظتين ، أي جزء من مساحة الحلقة هو المنطقة ( Delta A text <؟> )

اكتب تعبيرًا عن ( Delta A ) بدلالة (r_i text <،> ) (r_ text <،> ) ( theta_j text <،> ) و ( theta_ نص <.> )

أخيرًا ، اكتب المنطقة ( Delta A ) من حيث (r_i text <،> ) (r_ text <،> ) ( Delta r text <،> ) و ( Delta theta text <،> ) حيث تظهر كل كمية مرة واحدة فقط في التعبير. (تلميح: فكر في كيفية تحليل اختلاف المربعات.)

عندما نأخذ الحد مثل ( Delta r ) و ( Delta theta ) ننتقل إلى 0 ، ( Delta r ) يصبح (dr text <،> ) ( Delta theta ) يصبح (d theta text <،> ) و ( Delta A ) يصبح (dA text <،> ) عنصر المنطقة. باستخدام عملك في (iv) ، اكتب (dA ) من حيث (r text <،> ) (dr text <،> ) و (d theta text <.> )

من نتيجة النشاط 11.5.3 ، نرى أنه عندما نحول جزءًا لا يتجزأ من الإحداثيات المستطيلة إلى الإحداثيات القطبية ، لا يجب علينا فقط تحويل (x ) و (y ) إلى من حيث (r ) و ( theta text <،> ) ولكن علينا أيضًا تغيير عنصر المنطقة إلى (dA = r ، dr ، d theta ) في الإحداثيات القطبية. كما رأينا في النشاط 11.5.3 ، يرجع السبب في العامل الإضافي لـ (r ) في عنصر المنطقة القطبية إلى حقيقة أنه في الإحداثيات القطبية ، يزداد عنصر منطقة المقطع العرضي كلما زاد (r ) ، بينما عنصر منطقة المقطع العرضي في الإحداثيات المستطيلة ثابت. لذلك ، بالنظر إلى تكامل مزدوج ( iint_D f (x، y) ، dA ) في إحداثيات مستطيلة ، لكتابة تكامل متكرر مقابل في الإحداثيات القطبية ، نستبدل (x ) بـ (r cos ( theta) text <،> ) (y ) with (r sin ( theta) ) و (dA ) مع (r ، dr ، d theta text <.> ) بالطبع نحتاج إلى وصف المنطقة (د ) بالإحداثيات القطبية أيضًا. كي تختصر:

التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية.

يمكن تحويل التكامل المزدوج ( iint_D f (x، y) ، dA ) في الإحداثيات المستطيلة إلى تكامل مزدوج في الإحداثيات القطبية كـ ( iint_D f (r cos ( theta)، r sin ( ثيتا)) ، r ، د ، د ثيتا نص <.> )

مثال 11.5.3.

دع (f (x، y) = e ^) على القرص (D = <(x، y): x ^ 2 + y ^ 2 leq 1 > text <.> ) سنقوم بتقييم ( iint_D f (x، y) ، dA نص <.> )

في الإحداثيات المستطيلة ، يمكن كتابة التكامل المزدوج ( iint_D f (x، y) ، dA ) باعتباره التكامل المتكرر

لا يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل المتكرر ، لأن (e ^) لا يحتوي على مشتق عكسي أولي فيما يتعلق إما (x ) أو (y text <.> ) ومع ذلك ، منذ (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) والمنطقة (D ) دائري ، من الطبيعي أن نتساءل عما إذا كان التحويل إلى إحداثيات قطبية سيسمح لنا بتقييم التكامل الجديد. للقيام بذلك ، نستبدل (x ) بـ (r cos ( theta) text <،> ) (y ) بـ (r sin ( theta) text <،> ) و (dy ، dx ) مع (r ، دكتور ، د ثيتا ) للحصول على

القرص (D ) موصوف في الإحداثيات القطبية بواسطة القيود (0 leq r leq 1 ) و (0 leq theta leq 2 pi text <.> ) لذلك ، يتبع الذي - التي

يمكننا تقييم التكامل القطبي المتكرر الناتج على النحو التالي:

على الرغم من عدم وجود قاعدة ثابتة بشأن متى يمكن أو يجب استخدام الإحداثيات القطبية ، فهي بديل طبيعي في أي وقت يمكن التعبير عن مجال التكامل ببساطة في شكل قطبي ، و / أو عندما يتضمن التكامل وتعبيرات مثل ( sqrt.)

النشاط 11.5.4.

ارسم المنطقة (د ) ثم اكتب التكامل المزدوج لـ (و ) فوق (د ) كمتكامل متكرر في الإحداثيات المستطيلة.

اكتب تكاملًا مزدوجًا لـ (f ) على (D ) كمتكامل متكرر في الإحداثيات القطبية.

احسب قيمة أحد التكاملات المتكررة. لماذا القيمة النهائية التي وجدتها ليست مفاجئة؟

النشاط 11.5.5.

ضع في اعتبارك الدائرة المعطاة بواسطة (x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 ) كما هو موضح في الشكل 11.5.4.

حدد منحنى قطبي بالصيغة (r = f ( theta) ) الذي يتتبع الدائرة (x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 text <.> ) (تلميح: تذكر ذلك يمكن وصف الدائرة المتمركزة في أصل نصف القطر (r ) بالمعادلات (x = r cos ( theta) ) و (y = r sin ( theta) text <.> ))

أوجد القيمة المتوسطة الدقيقة لـ (g (x، y) = sqrt) فوق الجزء الداخلي من الدائرة (x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 text <.> )

ابحث عن الحجم الموجود أسفل السطح (h (x، y) = x ) فوق المنطقة (D text <،> ) حيث (D ) هي المنطقة التي يحدها السطر أعلاه (y = x ) وأسفل الدائرة (هذه هي المنطقة المظللة في الشكل 11.5.4).

اشرح لماذا من المفيد استخدام الإحداثيات القطبية في (ب) و (ج).

ملخص القسم الفرعي 11.5.3

التمثيل القطبي للنقطة (P ) هو الزوج المرتب ((r ، theta) ) حيث (r ) هو المسافة من الأصل إلى (P ) و ( ثيتا ) هي الزاوية التي يمر بها الشعاع من خلال الأصل و (P ) مع المحور (x ) - الموجب.

الإحداثيات القطبية (r ) و ( ثيتا ) لنقطة ((س ، ص) ) في الإحداثيات المستطيلة تلبي

الإحداثيات المستطيلة (س ) و (ص ) لنقطة ((ص ، ثيتا) ) في الإحداثيات القطبية تلبي

يتم تحديد عنصر المساحة (dA ) في الإحداثيات القطبية من خلال مساحة شريحة الحلقة ويعطى بواسطة

لتحويل التكامل المزدوج (< iint_D f (x، y) ، dA> ) إلى تكامل متكرر في الإحداثيات القطبية ، نستبدل (r cos ( theta) ) بـ (x text < ،> ) (r sin ( theta) ) لـ (y text <،> ) و (r ، dr ، d theta ) لـ (dA ) للحصول على المتكرر متكامل


تكامل مزدوج في الإحداثيات القطبية

مرحبًا ، لقد حصلت & # x27ve على مشكلة صغيرة في هذا التكامل ، ويرجع ذلك أساسًا إلى أنه بعد تحويل ln (x² + y²) / (x² + y²) إلى ln (r²) / r² وإلغاء المربع الموجود في المقام باستخدام jacobian و دمج ln (r²) / r أحصل على ln² (r²) / 4 تم تقييمها عند 0 و 1 ، لكن ln (0) غير معرّف. أتساءل عما إذا كنت قد فعلت شيئًا خاطئًا أو إذا كان السؤال خاطئًا. وفقًا لمحاضرتي ، فإن الإجابة هي ln² (2) ، لكنني بجدية لا أرى كيف يمكن أن يكون الأمر كذلك ولديها تاريخ طويل في ارتكاب الأخطاء. شكرا مقدما.

تبدو متباينة بالنسبة لي أيضًا.

كما أن & lt 0 في كل مكان ، لذا يبدو πln² (2) غير قابل للتصديق.

حسنًا ، شكرًا لتأكيد شكوكي.

حسنًا ، هذا & # x27s ليس صحيحًا وتم تنسيقه أيضًا بطريقة تقترح أنك لم تفعل ذلك بطريقة صحيحة.

ومع ذلك ، فإن إجابة المعلم & # x27s خاطئة أيضًا. سيكون من المناسب لـ r الانتقال من 1 إلى 2 ولكن ليس من 0 إلى 1.

لقد استخدمت u-sub ثم التكامل بالأجزاء. كان الجزء -∫vdu هو نفس الجزء الذي كنت أحاول حله ، لذا قمت بنقله إلى الجانب الآخر ثم قمت بتوصيل r² بـ u. لقد سألت للتو ولفرام ألفا ويبدو أنها الإجابة الصحيحة.

مرحبًا ، لقد حصلت & # x27ve على مشكلة صغيرة في هذا التكامل ، ويرجع ذلك أساسًا إلى أنه بعد تحويل ln (x² + y²) / (x² + y²) إلى ln (r²) / r² وإلغاء المربع الموجود في المقام باستخدام jacobian و دمج ln (r²) / r أحصل على ln² (r²) / 4 تم تقييمها عند 0 و 1 ، لكن ln (0) غير معرّف. أتساءل عما إذا كنت قد فعلت شيئًا خاطئًا أو إذا كان السؤال خاطئًا. وفقًا لمحاضرتي ، فإن الإجابة هي ln² (2) ، لكنني بجدية لا أرى كيف يمكن أن يكون الأمر كذلك ولديها تاريخ طويل في ارتكاب الأخطاء. شكرا مقدما.

للمساعدة في الحفاظ على الأسئلة والأجوبة ، هذه نسخة آلية من النص الأصلي.

أنا روبوت ، وتم تنفيذ هذا الإجراء تلقائيًا. لو سمحت اتصل بوسطاء هذا subreddit إذا كان لديك أي أسئلة أو مخاوف.


14.3: تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية - الرياضيات

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

نحن نتكامل على المناطق في الإحداثيات القطبية.

أين هي وظيفة. عند العمل مع المعادلات البارامترية من هذا النموذج ، من الشائع تدوين ذلك ونذكر أننا نعمل فيه الإحداثيات القطبية.

التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية

الشكل الأساسي للتكامل المزدوج هو:

في بعض المناطق ، لخص منتجات الارتفاعات والمناطق.

بالطبع إذا كنت ترغب في تقييم التكامل (وبصدق ، من لا يفعل ذلك؟) فعليك التغيير إلى منطقة محددة في التنسيق ، والتغيير إلى التكاملات المتكررة أو تركها

فكر الآن في تمثيل منطقة ذات إحداثيات قطبية.

اسمحوا أن تكون المنطقة في الربع الأول يحدها منحنى. يمكننا تقريب هذه المنطقة باستخدام الشكل الطبيعي للإحداثيات القطبية: أجزاء من قطاعات الدوائر. في الشكل ، إحدى هذه المناطق مظللة ، كما هو موضح أدناه:

لذلك ، لتقييم الاستبدال وتحويل الدالة إلى دالة الإحداثيات القطبية: أخيرًا ، ابحث عن الحدود التي تصفها. دعنا نذكر هذا كنظرية:

أخيرًا ، دعنا نشتق حجم الكرة باستخدام تكامل مزدوج في الإحداثيات القطبية.

المنطقة التي نحتاج إلى التكامل عليها هي دائرة نصف القطر ، المتمركزة عند نقطة الأصل. وبالتالي ، فإن حجم الكرة بنصف قطرها هو:

The formula for the volume of a sphere with radius is given as . We have justified this formula with our calculation!

One may wonder how polar coordinates could be extended to triple integrals…read on!


Midterm 2

Solutions to Midterm 2 are posted here.

  • 13.3: Parametric equations of curves. Velocity and unit tangent vectors. Arclength of curves. Parametrization by arclength.
  • 13.4: Curvature and normal vector of a curve.
  • 13.5: Torsion and binormal vector of a curve. The TNB frame. Tangential and normal components of acceleration.
  • 16.1: Line integrals of scalar fields with respect to arclength along curves.
  • 16.2: Line integrals of vector fields. Arclength, parametric, vector, component, and differential form expressions for line integrals. Work done by forces. Circulation of a vector field around a curve. Flux of a vector field across a curve in the plane.
  • 16.3: Conservative vector fields. Equivalence of gradient vector fields and path-independent vector fields. Line integral of a gradient field is the difference of the potential between the endpoints. Zero curl condition for a gradient vector field and determination of the potential from the vector field. Equivalence of gradient vector fields and exact differential forms.
  • 16.4: Positively oriented boundary of a region in the plane. Green's theorem in the plane. Circulation-curl and flux-divergence interpretations.

Section 15.8 (on Jacobians and change of variables in multiple integrals) won't be covered on Midterm 2, but it will be covered on the Final.

Some sample midterm problems are here. Some formulas you should know are here.

Solutions to the sample midterm problems are here.


Lecture Materials

Below you will find blank copies of the lecture outlines that you will find in my lecture videos. Some students tell me they like to print or download these to help them take notes on. After we finish pass a topic, I will also post a filled in handwritten copy of my notes on this page.

NOTE: Please ignore any homework due dates one page one of these outlines, instead always go off the course calendar and the due dates on Webassign. Not all of these have been updated to perfectly match the lecture videos, but they are very close (sometimes the lecture video or notes may have an extra or different example, but mostly they match up).

12.1 Lecture Outline - 12.1 Notes: Intro to 3D, axes, coordinate planes, distance, and spheres.
12.2 Lecture Outline - 12.2 Notes: Intro to vectors: addition, magnitude, scalar multiplication, unit vector Then Intro to dot products.
12.3 Lecture Outline - 12.3 Notes: Dot Products: Definition, Big Theorems/Facts, Orthogonality, Angle between vectors, Projections Then Intro to Cross-Product.
12.4 Lecture Outline - 12.4 Notes: Cross Products: Defintion, Computing/Checking, Big Facts, Right-Hand Rules, Area of Parallelogram Then intro to Lines.
12.5 Lecture Outline - 12.5 Notes 1: Lines and Planes in 3D.
12.5 Notes 2: Lines and Planes in 3D - How to approach problems.
12.6 Summary: Intro to Surfaces in 3D, traces, then 7 important names: Cylinders, Paraboloids (Two Types: Elliptical or Hyperbolic), Hyperboloids (Two Types: One Sheet or Two Sheets), Cones, Spheres/Ellipsoids. You must know how to identify all these shapes and generally know what they look like.
Ch. 12 - Quick Fact Sheet
Exam 1 Overview, Review, and Study Tips
EXAM 1 - on Chapter 12.

13.1 Lecture Outline - 13.1 Notes: Intro to vector curves: how to visualize (surface of motion), thinking in terms of points or position vectors.
13.2 Lecture Outline - 13.2 Notes: Calculus on vector curves: Tangent/Derivative Vector, Unit Tangent, Tangent Line, Intergral/Antidervative.
13.3 Lecture Outline - 13.3 Notes: Measurement on 3D curves: Unit Tangent, Principal Unit Normal, Arc Length, Curvature.
13.4 Lecture Outline - 13.4 Notes: Acceleration and Velocity in 3D: Antidertivative to go from acceleration to velocity to position, tangent and normal components of acceleration.
Ch. 12 & 13 Fact Sheet - Vector Tools and Vector Calculus on 3D curves
EXAM 2 - on Chapter 13.

14.1/3 Lecture Outline - 14.1/3 Notes: Intro to 3D Surfaces and Partial Derivatives Domain, Traces, Level Curves, Contour Map, partial derivatives and interpretting.
14.3/4 Lecture Outline - 14.3/4 Notes: More on partial derivatives as well as Tangent Planes and linear approximation
14.4/7 Lecture Outline - 14.7 Notes 1: Discussion of Critical Points and Local Max/Min
14.7 Lecture 2 Outline - 14.7 Notes 2: Discussion of Global Max/Min (boundaries of a region)
Ch. 14 Full Review
EXAM 3 - on Chapter 14.

15.1 Lecture Outline - 15.1 Notes: Intro to double integrals.
15.2 Lecture Outline - 15.2 Notes: Double integrals over general regions, reversing order, setting up, evaluating.
10.3 Lecture Outline - 10.3 Notes: Polar Coordinates (a tool we need in order to work with circular regions).
15.3 Lecture Outline - 15.3 Notes: Double integrals over polar regions, how to integral above circular regions!
15.4 Lecture Outline - 15.4 Notes: Center of Mass
Exam 4 Facts - Ch. 15 Review
EXAM 4 - on Chapter 15.

TN 1 Lecture Outline - TN 1 Notes: tangent lines and intro to error bounds
TN 2-3 Lecture Outline - TN 2-3 Notes: higher order Taylor polynomials and Taylor's inequality
TN 4 Lecture Outline - TN 4 Notes: Taylor Series
TN 5 Lecture Outline - TN 5 Notes: Manipulating Taylor Series
Taylor Notes Fact Sheet
EXAM 5 - on Tayloy Polynomials/Series


5.3 Double Integrals in Polar Coordinates

Double integrals are sometimes much easier to evaluate if we change rectangular coordinates to polar coordinates. However, before we describe how to make this change, we need to establish the concept of a double integral in a polar rectangular region.

Polar Rectangular Regions of Integration

Using the same idea for all the subrectangles and summing the volumes of the rectangular boxes, we obtain a double Riemann sum as

As we have seen before, we obtain a better approximation to the polar volume of the solid above the region R R when we let m m and n n become larger. Hence, we define the polar volume as the limit of the double Riemann sum,

This becomes the expression for the double integral.

تعريف

Again, just as in Double Integrals over Rectangular Regions, the double integral over a polar rectangular region can be expressed as an iterated integral in polar coordinates. Hence,

Note that all the properties listed in Double Integrals over Rectangular Regions for the double integral in rectangular coordinates hold true for the double integral in polar coordinates as well, so we can use them without hesitation.

Example 5.24

Sketching a Polar Rectangular Region

Solution

Now that we have sketched a polar rectangular region, let us demonstrate how to evaluate a double integral over this region by using polar coordinates.

Example 5.25

Evaluating a Double Integral over a Polar Rectangular Region

Solution

First we sketch a figure similar to Figure 5.30 but with outer radius 2 . 2 . From the figure we can see that we have

Example 5.26

Evaluating a Double Integral by Converting from Rectangular Coordinates

Solution

Using the conversion x = r cos θ , y = r sin θ , x = r cos θ , y = r sin θ , and d A = r d r d θ , d A = r d r d θ , we have

Example 5.27

Evaluating a Double Integral by Converting from Rectangular Coordinates

Solution

Hence, using the conversion x = r cos θ , y = r sin θ , x = r cos θ , y = r sin θ , and d A = r d r d θ , d A = r d r d θ , we have

General Polar Regions of Integration

To evaluate the double integral of a continuous function by iterated integrals over general polar regions, we consider two types of regions, analogous to Type I and Type II as discussed for rectangular coordinates in Double Integrals over General Regions. It is more common to write polar equations as r = f ( θ ) r = f ( θ ) than θ = f ( r ) , θ = f ( r ) , so we describe a general polar region as R = < ( r , θ ) | α ≤ θ ≤ β , h 1 ( θ ) ≤ r ≤ h 2 ( θ ) > R = < ( r , θ ) | α ≤ θ ≤ β , h 1 ( θ ) ≤ r ≤ h 2 ( θ ) >(see the following figure).

Double Integrals over General Polar Regions

Example 5.28

Evaluating a Double Integral over a General Polar Region

Solution

Polar Areas and Volumes

We illustrate this idea with some examples.

Example 5.29

Finding a Volume Using a Double Integral

Find the volume of the solid that lies under the paraboloid z = 1 − x 2 − y 2 z = 1 − x 2 − y 2 and above the unit circle on the x y x y -plane (see the following figure).

Solution

By the method of double integration, we can see that the volume is the iterated integral of the form ∬ R ( 1 − x 2 − y 2 ) d A ∬ R ( 1 − x 2 − y 2 ) d A where R = < ( r , θ ) | 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π >. R = < ( r , θ ) | 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π >.

This integration was shown before in Example 5.26, so the volume is π 2 π 2 cubic units.

Example 5.30

Finding a Volume Using Double Integration

Find the volume of the solid that lies under the paraboloid z = 4 − x 2 − y 2 z = 4 − x 2 − y 2 and above the disk ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 on the x y x y -plane. See the paraboloid in Figure 5.35 intersecting the cylinder ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 above the x y x y -plane.

Solution

Hence the volume of the solid bounded above by the paraboloid z = 4 − x 2 − y 2 z = 4 − x 2 − y 2 and below by r = 2 cos θ r = 2 cos θ is

Notice in the next example that integration is not always easy with polar coordinates. Complexity of integration depends on the function and also on the region over which we need to perform the integration. If the region has a more natural expression in polar coordinates or if f f has a simpler antiderivative in polar coordinates, then the change in polar coordinates is appropriate otherwise, use rectangular coordinates.

Example 5.31

Finding a Volume Using a Double Integral

Solution

First examine the region over which we need to set up the double integral and the accompanying paraboloid.

As you can see, this integral is very complicated. So, we can instead evaluate this double integral in rectangular coordinates as

To answer the question of how the formulas for the volumes of different standard solids such as a sphere, a cone, or a cylinder are found, we want to demonstrate an example and find the volume of an arbitrary cone.

Example 5.32

Finding a Volume Using a Double Integral

Use polar coordinates to find the volume inside the cone z = 2 − x 2 + y 2 z = 2 − x 2 + y 2 and above the x y -plane . x y -plane .

Solution

We find the equation of the circle by setting z = 0 : z = 0 :

∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = 2 ( 2 − r ) r d r d θ = 2 π 4 3 = 8 π 3 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = 2 ( 2 − r ) r d r d θ = 2 π 4 3 = 8 π 3 cubic units.

Analysis

Note that if we were to find the volume of an arbitrary cone with radius a a units and height h h units, then the equation of the cone would be z = h − h a x 2 + y 2 . z = h − h a x 2 + y 2 .

We can still use Figure 5.37 and set up the integral as ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = a ( h − h a r ) r d r d θ . ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = a ( h − h a r ) r d r d θ .

Evaluating the integral, we get 1 3 π a 2 h . 1 3 π a 2 h .

Use polar coordinates to find an iterated integral for finding the volume of the solid enclosed by the paraboloids z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 and z = 16 − x 2 − y 2 . z = 16 − x 2 − y 2 .

As with rectangular coordinates, we can also use polar coordinates to find areas of certain regions using a double integral. As before, we need to understand the region whose area we want to compute. Sketching a graph and identifying the region can be helpful to realize the limits of integration. Generally, the area formula in double integration will look like

Example 5.33

Finding an Area Using a Double Integral in Polar Coordinates

Evaluate the area bounded by the curve r = cos 4 θ . r = cos 4 θ .

Solution

Example 5.34

Finding Area Between Two Polar Curves

Find the area enclosed by the circle r = 3 cos θ r = 3 cos θ and the cardioid r = 1 + cos θ . r = 1 + cos θ .

Solution

First and foremost, sketch the graphs of the region (Figure 5.39).

We can from see the symmetry of the graph that we need to find the points of intersection. Setting the two equations equal to each other gives

Evaluating each piece separately, we find that the area is

Find the area enclosed inside the cardioid r = 3 − 3 sin θ r = 3 − 3 sin θ and outside the cardioid r = 1 + sin θ . r = 1 + sin θ .

Example 5.35

Evaluating an Improper Double Integral in Polar Coordinates

Evaluate the integral ∬ R 2 e −10 ( x 2 + y 2 ) d x d y . ∬ R 2 e −10 ( x 2 + y 2 ) d x d y .

Solution

This is an improper integral because we are integrating over an unbounded region R 2 . R 2 . In polar coordinates, the entire plane R 2 R 2 can be seen as 0 ≤ θ ≤ 2 π , 0 ≤ θ ≤ 2 π , 0 ≤ r ≤ ∞ . 0 ≤ r ≤ ∞ .

Using the changes of variables from rectangular coordinates to polar coordinates, we have

Evaluate the integral ∬ R 2 e −4 ( x 2 + y 2 ) d x d y . ∬ R 2 e −4 ( x 2 + y 2 ) d x d y .

Section 5.3 Exercises

In the following exercises, express the region D D in polar coordinates.

In the following exercises, the graph of the polar rectangular region D D is given. Express D D in polar coordinates.

In the following graph, the region D D is bounded by y = x y = x and y = x 2 . y = x 2 .

In the following exercises, evaluate the double integral ∬ R f ( x , y ) d A ∬ R f ( x , y ) d A over the polar rectangular region D . D .

∬ D ( e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ) arctan ( y x ) d A , D = < ( r , θ ) | 1 ≤ r ≤ 2 , π 4 ≤ θ ≤ π 3 > ∬ D ( e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ) arctan ( y x ) d A , D =

In the following exercises, the integrals have been converted to polar coordinates. Verify that the identities are true and choose the easiest way to evaluate the integrals, in rectangular or polar coordinates.

∫ 1 2 ∫ 0 x ( x 2 + y 2 ) d y d x = ∫ 0 π 4 ∫ sec θ 2 sec θ r 3 d r d θ ∫ 1 2 ∫ 0 x ( x 2 + y 2 ) d y d x = ∫ 0 π 4 ∫ sec θ 2 sec θ r 3 d r d θ

∫ 2 3 ∫ 0 x x x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 2 sec θ 3 sec θ r cos θ d r d θ ∫ 2 3 ∫ 0 x x x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 2 sec θ 3 sec θ r cos θ d r d θ

∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ d r d θ ∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ d r d θ

∫ 0 1 ∫ x 2 x y x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ d r d θ ∫ 0 1 ∫ x 2 x y x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ d r d θ

In the following exercises, convert the integrals to polar coordinates and evaluate them.

∫ 0 3 ∫ 0 9 − y 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y ∫ 0 3 ∫ 0 9 − y 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y

∫ 0 2 ∫ − 4 − y 2 4 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d x d y ∫ 0 2 ∫ − 4 − y 2 4 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 d x d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 2 ( x + y ) d y d x ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 2 ( x + y ) d y d x

∫ 0 4 ∫ − 16 − x 2 16 − x 2 sin ( x 2 + y 2 ) d y d x ∫ 0 4 ∫ − 16 − x 2 16 − x 2 sin ( x 2 + y 2 ) d y d x

Find the total area of the region enclosed by the four-leaved rose r = sin 2 θ r = sin 2 θ (see the figure in the previous exercise).

Find the volume of the solid situated in the first octant and bounded by the paraboloid z = 1 − 4 x 2 − 4 y 2 z = 1 − 4 x 2 − 4 y 2 and the planes x = 0 , y = 0 , x = 0 , y = 0 , and z = 0 . z = 0 .

Find the volume of the solid bounded by the paraboloid z = 2 − 9 x 2 − 9 y 2 z = 2 − 9 x 2 − 9 y 2 and the plane z = 1 . z = 1 .

For the following two exercises, consider a spherical ring, which is a sphere with a cylindrical hole cut so that the axis of the cylinder passes through the center of the sphere (see the following figure).

Find the volume of the solid that lies under the double cone z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 , z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 , inside the cylinder x 2 + y 2 = x , x 2 + y 2 = x , and above the plane z = 0 . z = 0 .

Find the volume of the solid that lies under the paraboloid z = x 2 + y 2 , z = x 2 + y 2 , inside the cylinder x 2 + y 2 = x , x 2 + y 2 = x , and above the plane z = 0 . z = 0 .

Find the volume of the solid that lies under the plane x + y + z = 10 x + y + z = 10 and above the disk x 2 + y 2 = 4 x . x 2 + y 2 = 4 x .

Find the volume of the solid that lies under the plane 2 x + y + 2 z = 8 2 x + y + 2 z = 8 and above the unit disk x 2 + y 2 = 1 . x 2 + y 2 = 1 .

Use the information from the preceding exercise to calculate the integral ∬ D ( x 2 + y 2 ) 3 d A , ∬ D ( x 2 + y 2 ) 3 d A , where D D is the unit disk.

Apply the preceding exercise to calculate the integral ∬ D y 2 x 2 d A , ∬ D y 2 x 2 d A , where D = < ( r , θ ) | 1 ≤ r ≤ 2 , π 6 ≤ θ ≤ π 3 >. D = < ( r , θ ) | 1 ≤ r ≤ 2 , π 6 ≤ θ ≤ π 3 >.

A spherical cap is the region of a sphere that lies above or below a given plane.

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Want to cite, share, or modify this book? This book is Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 and you must attribute OpenStax.

    If you are redistributing all or part of this book in a print format, then you must include on every physical page the following attribution:

  • Use the information below to generate a citation. We recommend using a citation tool such as this one.
    • Authors: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Publisher/website: OpenStax
    • Book title: Calculus Volume 3
    • Publication date: Mar 30, 2016
    • Location: Houston, Texas
    • Book URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/5-3-double-integrals-in-polar-coordinates

    © Dec 21, 2020 OpenStax. Textbook content produced by OpenStax is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 license. The OpenStax name, OpenStax logo, OpenStax book covers, OpenStax CNX name, and OpenStax CNX logo are not subject to the Creative Commons license and may not be reproduced without the prior and express written consent of Rice University.


    MathematicsStep-by-Step Solutions

    Math24.pro – this is a modern way of solving mathematics, including for comparing independent solutions with machine calculations.

    Using the service is convenient and understandable for every person who comes to the site for the first time. Immediately select the desired calculator, enter the necessary data for your task and click the "Compute" button. In a matter of seconds, the answer is ready.

    New mathematical calculators are added as far as possible. To date, there are more than 85 of them.

    If you can't find the right calculator that can solve your math problem, or if you have any suggestions for improving the existing calculator, please let us know by email [email protected]

    1. Free of charge
    Solving math problems online will not cost you a cent. Our service is absolutely free and available to any Internet user.

    2. No registration required
    To use the calculators, you do not need to register on the site, taking time to fill in mailboxes and other personal data.

    3. Step-by-Step Solutions
    For many tasks, you will receive a step-by-step detailed answer, which allows you to understand how the solution to the problem was obtained.

    4. Different ways to solving problems
    For popular calculators, different methods of solving problems are available, if they are applicable, which allows, first, to better understand how the problem is solved in the way you know, and, secondly, to learn how to solve the same problem using alternative methods.

    5. Accuracy of calculations
    There is no doubt about the answer, because the powerful calculation system provides high accuracy when solving mathematical problems online.

    However we do not exclude the possibility of any errors, because it is known that algorithms are written by very smart people, but still people. If you find an error, please do not be lazy and let us know about it.


    PLOT THE GIVEN POLAR COORDINATES POINT IN THE POLAR GRID 

    The given polar coordinate will always be in the form (r,  θ).

    r is the distance from the origin to the point and  θ is the angle of rotation from positive x axis 

    As in trigonometry, we measure  θ as positive when moving anticlockwise and negative when moving clockwise. 

    If r > 0, then P is on the terminal side of θ. If r < 0 then P is on the terminal side of  π +  θ.

    Let us see some examples to understand the concept.

    Plot the following points in polar grid.

    Here r  =  3 and  θ  =   π/4 both r and  θ are positive, we can take anti clock wise rotation

    Here r  =  -4 < 0  then P is on the terminal side of  π +  θ.

    Here r  =  2 and  θ is negative, so we can perform clock wise direction. 

    Here r  =  2 and θ is positive and its measure is  7 π/4  =  315.

    Here r  =  -5 < 0  then P is on the terminal side of  π +  θ and  θ is negative, so we move clock wise direction and move 150 degree. 

    Apart from the stuff given above,  if  you need any other stuff in math, please use our google custom search here.

    If you have any feedback about our math content, please mail us : 

    We always appreciate your feedback. 

    You can also visit the following web pages on different stuff in math. 


    Wolfram Web Resources

    The #1 tool for creating Demonstrations and anything technical.

    Explore anything with the first computational knowledge engine.

    Explore thousands of free applications across science, mathematics, engineering, technology, business, art, finance, social sciences, and more.

    Join the initiative for modernizing math education.

    Solve integrals with Wolfram|Alpha.

    Walk through homework problems step-by-step from beginning to end. Hints help you try the next step on your own.

    Unlimited random practice problems and answers with built-in Step-by-step solutions. Practice online or make a printable study sheet.

    Collection of teaching and learning tools built by Wolfram education experts: dynamic textbook, lesson plans, widgets, interactive Demonstrations, and more.


    شاهد الفيديو: التكامل الثنائي باستخدام الاحداثيات القطبية Changing Cartesian Integrals into Polar Coordinates (ديسمبر 2021).