مقالات

5.2: الدوال الأسية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • تقييم الدوال الأسية.
  • أوجد معادلة دالة أسية.
  • استخدم صيغ الفائدة المركبة.
  • تقييم الدوال الأسية باستخدام base (e ).

الهند هي ثاني أكبر دولة في العالم من حيث عدد السكان حيث يبلغ عدد سكانها حوالي (1.25 ) مليار شخص في عام 2013. يتزايد عدد السكان بمعدل حوالي (. 2 ٪ ) كل عام. إذا استمر هذا المعدل ، فسوف يتجاوز عدد سكان الهند عدد سكان الصين بحلول عام 2031. عندما ينمو السكان بسرعة ، غالبًا ما نقول إن النمو "أسي" ، مما يعني أن شيئًا ما ينمو بسرعة كبيرة. بالنسبة لعالم الرياضيات ، ومع ذلك ، فإن هذا المصطلح النمو الأسي له معنى محدد للغاية. في هذا القسم ، سوف نلقي نظرة على وظائف أسيةالتي تمثل هذا النوع من النمو السريع.

تحديد الوظائف الأسية

عند استكشاف النمو الخطي ، لاحظنا معدل تغير ثابت - وهو رقم ثابت يزداد به الناتج لكل وحدة زيادة في المدخلات. على سبيل المثال ، في المعادلة (f (x) = 3x + 4 ) ، يخبرنا المنحدر أن الناتج يزيد بمقدار (3 ) في كل مرة يزيد فيها الإدخال بمقدار (1 ). السيناريو في مثال سكان الهند مختلف لأن لدينا نسبه مئويه التغيير لكل وحدة زمنية (بدلاً من التغيير المستمر) في عدد الأشخاص.

تحديد دالة أسية

وجدت دراسة أن نسبة السكان النباتيين في الولايات المتحدة تضاعفت من عام 2009 إلى عام 2011. في عام 2011 ، كان (2.5٪ ) من السكان نباتيين ، يلتزمون بنظام غذائي لا يشمل أي منتجات حيوانية - لا لحوم أو دواجن أو أسماك أو ألبان أو بيض. إذا استمر هذا المعدل ، فإن النباتيين سيشكلون (10 ​​٪ ) من سكان الولايات المتحدة في عام 2015 ، (40 ٪ ) في عام 2019 ، و (80 ٪ ) في عام 2050.

ماذا يعني ذلك بالضبط تنمو أضعافا مضاعفة؟ ما الكلمة مزدوج لديكم من القواسم المشتركة مع زيادة في المئة؟ يقذف الناس هذه الكلمات بشكل خاطئ. هل هذه الكلمات مستخدمة بشكل صحيح؟ من المؤكد أن الكلمات تظهر بشكل متكرر في وسائل الإعلام.

  • التغيير في المئة يشير إلى أ يتغيرون استنادا إلى أ نسبه مئويه من المبلغ الأصلي.
  • النمو الأسي يشير إلى زيادة بناءً على معدل تغير مضاعف ثابت على زيادات زمنية متساوية ، أي أ نسبه مئويه زيادة المبلغ الأصلي بمرور الوقت.
  • تسوس الأسي يشير إلى أ تخفيض بناءً على معدل تغير مضاعف ثابت على زيادات زمنية متساوية ، أي أ نسبه مئويه انخفاض المبلغ الأصلي بمرور الوقت.

بالنسبة لنا لاكتساب فهم واضح ل النمو الأسي، دعونا نقارن النمو الأسي مع النمو الخطي. سنقوم ببناء وظيفتين. الوظيفة الأولى هي الأسية. سنبدأ بإدخال (0 ) ، ونزيد كل إدخال بمقدار (1 ). سنضاعف النواتج المتتالية المقابلة. الوظيفة الثانية خطية. سنضيف (2 ) إلى المخرجات المتتالية المقابلة (Table ( PageIndex {1} )).

من الجدول ( PageIndex {1} ) يمكننا أن نستنتج أنه بالنسبة لهاتين الوظيفتين ، النمو الأسي يقزم النمو الخطي.

  • النمو الأسي يشير إلى القيمة الأصلية من النطاق الذي يزيد بمقدار نفس النسبة على زيادات متساوية وجدت في المجال.
  • النمو الخطي يشير إلى القيمة الأصلية من النطاق الذي يزيد بمقدار نفس المبلغ على زيادات متساوية وجدت في المجال.
جدول ( PageIndex {1} )
(س ) (و (س) = 2 ^ س ) (ز (س) = 2 س )
010
122
244
386
4168
53210
66412

من الواضح أن الفرق بين "نفس النسبة" و "نفس المبلغ" كبير جدًا. للنمو الأسي ، على زيادات متساوية ، أدى معدل التغيير المضاعف الثابت إلى مضاعفة الناتج كلما زاد المدخل بمقدار واحد. للنمو الخطي ، أدى المعدل الإضافي الثابت للتغيير على الزيادات المتساوية إلى إضافة (2 ) إلى المخرجات كلما زاد الإدخال بمقدار واحد.

الشكل العام لـ دالة أسية هو (f (x) = ab ^ x ) ، حيث (a ) هو أي رقم غير صفري ، (b ) هو رقم حقيقي موجب لا يساوي (1 ).

  • إذا (ب> 1 ) ، فإن الوظيفة تنمو بمعدل يتناسب مع حجمها.
  • إذا (0 <ب <1 ) ، تتحلل الوظيفة بمعدل يتناسب مع حجمها.

لنلقِ نظرة على الوظيفة (f (x) = 2 ^ x ) من مثالنا. سننشئ جدولاً (Table ( PageIndex {2} )) لتحديد المخرجات المقابلة خلال فترة زمنية في المجال من (- 3 ) إلى (3 ).

جدول ( PageIndex {2} )
(س )(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)

(و (س) = 2 ^ س )

(2 ^ {- 3} = dfrac {1} {8} )

(2 ^ {- 2} = dfrac {1} {4} )

(2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} )

(2^0=1)

(2^1=2)

(2^2=4)

(2^3=8)

دعونا نفحص الرسم البياني لـ (f ) عن طريق رسم الأزواج المرتبة من Table ( PageIndex {2} ) ثم قم ببعض الملاحظات ( PageIndex {1} ).

دعونا نحدد سلوك الرسم البياني للدالة الأسية (f (x) = 2 ^ x ) ونبرز بعض خصائصها الرئيسية.

  • المجال هو ((- infty، infty) ) ،
  • النطاق هو ((0 ، infty) ) ،
  • مثل (x rightarrow infty ) ، (f (x) rightarrow infty ) ،
  • مثل (x rightarrow - infty ) ، (f (x) rightarrow 0 ) ،
  • (f (x) ) يتزايد دائمًا ،
  • لن يلمس الرسم البياني (f (x) ) أبدًا ملف x-المحور لأن القاعدة الثانية المرفوعة إلى أي أس لا تنتج أبدًا عن صفر.
  • (y = 0 ) هو الخط المقارب الأفقي.
  • ال ذ- التقاطع هو (1 ).

التعريف: الدالات الأسية

بالنسبة لأي رقم حقيقي (س ) ، فإن الدالة الأسية هي دالة بالشكل

[f (x) = أب ^ x ]

أين

  • (أ ) هو رقم حقيقي غير صفري يسمى القيمة الأولية و
  • (b ) هو أي رقم حقيقي موجب مثل (b ≠ 1 ).
  • مجال (f ) هو كل الأرقام الحقيقية.
  • نطاق (f ) هو جميع الأرقام الحقيقية الموجبة إذا (a> 0 ).
  • نطاق (f ) هو جميع الأرقام الحقيقية السالبة إذا (a <0 ).
  • ال ذ-المقطع هو ((0 ، أ) ) ، والخط المقارب الأفقي (ص = 0 ).

مثال ( PageIndex {1} ): تحديد الدوال الأسية

أي من المعادلات التالية تكون ليس وظائف أسية؟

  • (و (س) = 4 ^ {3 (س − 2)} )
  • (ز (س) = س ^ 3 )
  • (h (x) = left ( dfrac {1} {3} right) ^ x )
  • (ي (س) = (- 2) ^ س )

حل

بحكم التعريف ، فإن الدالة الأسية لها ثابت كأساس ومتغير مستقل كأسس. وبالتالي ، لا يمثل (g (x) = x ^ 3 ) دالة أسية لأن القاعدة متغير مستقل. في الواقع ، (g (x) = x ^ 3 ) هي دالة طاقة.

تذكر أن قاعدة (b ) الدالة الأسية هي دائمًا ثابت موجب ، و (b ≠ 1 ). وبالتالي ، لا يمثل (j (x) = {(- 2)} ^ x ) دالة أسية لأن الأساس ، (- 2 ) ، أقل من (0 ).

تمرين ( PageIndex {1} )

أي من المعادلات التالية يمثل الدوال الأسية؟

  • (f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 )
  • (ز (س) = {0.875} ^ س )
  • (ح (س) = 1.75 س + 2 )
  • (j (x) = {1095.6} ^ {- 2x} )
إجابه

(g (x) = {0.875} ^ x ) و (j (x) = {1095.6} ^ {- 2x} ) تمثل الدوال الأسية.

تقييم الدوال الأسية

تذكر أن قاعدة الدالة الأسية يجب أن تكون عددًا حقيقيًا موجبًا بخلاف (1 ). لماذا نحصر القاعدة bb على القيم الموجبة؟ للتأكد من أن المخرجات ستكون أرقامًا حقيقية. لاحظ ما يحدث إذا كانت القاعدة غير موجبة:

  • دعونا (b = −9 ) و (x = dfrac {1} {2} ). ثم (f (x) = f left ( dfrac {1} {2} right) = {(- 9)} ^ { dfrac {1} {2}} = sqrt {−9} ) ، وهو ليس رقمًا حقيقيًا.

لماذا نقصر الأساس على قيم موجبة بخلاف (1 )؟ لأن القاعدة (1 ) ينتج عنها دالة ثابتة. لاحظ ما يحدث إذا كانت القاعدة (1 ):

  • دعونا (ب = 1 ). ثم (f (x) = 1 ^ x = 1 ) لأي قيمة لـ (x ).

لتقييم دالة أسية بالصيغة (f (x) = b ^ x ) ، نقوم ببساطة باستبدال (x ) بالقيمة المعطاة ، وحساب القوة الناتجة. على سبيل المثال:

دع (f (x) = 2 ^ x ). ما هو (f (3) )؟

[ begin {align *} f (x) & = 2 ^ x f (3) & = 2 ^ 3 qquad text {البديل} x = 3 & = 8 qquad text {تقييم الطاقة} النهاية {محاذاة *} ]

لتقييم دالة أسية بصيغة أخرى غير النموذج الأساسي ، من المهم اتباع ترتيب العمليات. على سبيل المثال:

دع (f (x) = 30 {(2)} ^ x ). ما هو (f (3) )؟

[ begin {align *} f (x) & = 30 {(2)} ^ x f (3) & = 30 {(2)} ^ 3 qquad text {البديل} x = 3 & = 30 (8) qquad text {تبسيط القوة أولاً} & = 240 qquad text {Multiply} end {align *} ]

لاحظ أنه في حالة عدم اتباع ترتيب العمليات ، ستكون النتيجة غير صحيحة:

[f (3) = 30 {(2)} ^ 3 ≠ {60} ^ 3 = 216000 بدون رقم ]

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم الدوال الأسية

دع (f (x) = 5 {(3)} ^ {x + 1} ). احسب (f (2) ) بدون استخدام الآلة الحاسبة.

حل

اتبع ترتيب العمليات. تأكد من الانتباه إلى الأقواس.

[ begin {align *} f (x) & = 5 {(3)} ^ {x + 1} f (2) & = 5 {(3)} ^ {2 + 1} qquad text {البديل} x = 2 & = 5 {(3)} ^ 3 qquad text {Add the exponents} & = 5 (27) qquad text {Simplify the power} & = 135 qquad text {Multiply} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

دع (f (x) = 8 {(1.2)} ^ {x − 5} ). أوجد (f (3) ) باستخدام الآلة الحاسبة. قرّب لأربعة منازل عشرية.

إجابه

(5.5556)

تحديد النمو الأسي

نظرًا لأن ناتج الدوال الأسية يزداد بسرعة كبيرة ، غالبًا ما يستخدم مصطلح "النمو الأسي" في اللغة اليومية لوصف أي شيء ينمو أو يزداد بسرعة. ومع ذلك ، يمكن تعريف النمو الأسي بشكل أكثر دقة بالمعنى الرياضي. إذا كان معدل النمو متناسبًا مع المبلغ الحالي ، فإن نماذج الوظيفة النمو الأسي.

التعريف: النمو الأسي

تنمو الوظيفة التي تمثل النمو الأسي بمعدل يتناسب مع المقدار الحالي. لأي رقم حقيقي (س ) وأي أرقام حقيقية موجبة (أ ) و (ب ) مثل (ب ≠ 1 ) ، فإن دالة النمو الأسي لها الشكل

[f (x) = أب ^ x ]

أين

  • (a ) هي القيمة الأولية أو القيمة الأولية للدالة.
  • (ب ) هو عامل النمو أو مضاعف النمو لكل وحدة (س ).

بعبارات أكثر عمومية ، لدينا ملف دالة أسية، حيث يتم رفع أساس ثابت إلى أس متغير. للتمييز بين الدوال الخطية والأسية ، دعنا نأخذ في الاعتبار شركتين ، A و B. تمتلك الشركة A (100 ) مخازن وتتوسع من خلال فتح (50 ) متاجر جديدة في السنة ، لذلك يمكن تمثيل نموها من خلال الوظيفة (أ (س) = 100 + 50 س). تمتلك الشركة "ب" (100 ) مخازن وتتوسع عن طريق زيادة عدد المتاجر بمقدار (50 ٪ ) كل عام ، لذلك يمكن تمثيل نموها بالدالة (B (x) = 100 {(1 + 0.5) )} ^ x ).

تم توضيح بضع سنوات من النمو لهذه الشركات في Table ( PageIndex {3} ).

جدول ( PageIndex {3} )
السنة ، (س )مخازن ، شركة أمخازن ، شركة ب
(0)(100+50(0)=100)(100{(1+0.5)}^0=100)
(1)(100+50(1)=150)(100{(1+0.5)}^1=150)
(2)(100+50(2)=200)(100{(1+0.5)}^2=225)
(3)(100+50(3)=250)(100{(1+0.5)}^3=337.5)
(س ) (أ (س) = 100 + 50 س ) (ب (س) = 100 {(1 + 0.5)} ^ س )

تظهر الرسوم البيانية التي تقارن عدد المتاجر لكل شركة خلال فترة خمس سنوات في الشكل ( PageIndex {2} ). يمكننا أن نرى أنه مع النمو الأسي ، يزداد عدد المتاجر بسرعة أكبر بكثير من النمو الخطي.

لاحظ أن مجال كلتا الوظيفتين هو ([0، infty) ) ، ونطاق كلتا الوظيفتين هو ([100، infty) ). بعد العام الأول ، تمتلك الشركة "ب" دائمًا متاجر أكثر من الشركة "أ".

الآن سنوجه انتباهنا إلى الوظيفة التي تمثل عدد المتاجر للشركة (B ) ، (B (x) = 100 {(1 + 0.5)} ^ x ). في هذه الدالة الأسية ، يمثل (100 ) العدد الأولي للمخازن ، ويمثل (0.50 ) معدل النمو ، ويمثل (1 + 0.5 = 1.5 ) عامل النمو. للتعميم أكثر ، يمكننا كتابة هذه الوظيفة كـ (B (x) = 100 {(1.5)} ^ x ) ، حيث (100 ) هي القيمة الأولية ، (1.5 ) تسمى يتمركز، و (x ) يسمى الأس.

مثال ( PageIndex {3} ): تقييم نموذج أسي في العالم الحقيقي

علمنا في بداية هذا القسم أن عدد سكان الهند بلغ حوالي (1.25 ) مليار نسمة في عام 2013 ، بمعدل نمو سنوي يقارب (1.2 ٪ ). يتم تمثيل هذا الموقف من خلال دالة النمو (P (t) = 1.25 {(1.012)} ^ t ) ، حيث (t ) هو عدد السنوات منذ عام 2013. إلى أقرب ألف ، كم عدد السكان تكون الهند في عام 2031؟

حل

لتقدير عدد السكان في عام 2031 ، نقوم بتقييم النماذج لـ (t = 18 ) ، لأن 2031 هي (18 ) سنة بعد 2013. التقريب لأقرب جزء من الألف ،

[P (18) = 1.25 {(1.012)} ^ {18} ≈1.549 nonumber ]

سيكون هناك حوالي (1.549 ) مليار شخص في الهند عام 2031.

تمرين ( PageIndex {3} )

بلغ عدد سكان الصين حوالي (1.39 ) مليار نسمة عام 2013 ، بمعدل نمو سنوي يقارب (0.6 ٪ ). يتم تمثيل هذا الموقف من خلال دالة النمو (P (t) = 1.39 {(1.006)} ^ t ) ، حيث (t ) هو عدد السنوات منذ عام 2013. تكون الصين لعام 2031؟ كيف يقارن هذا بالتنبؤ السكاني الذي أجريناه للهند في مثال ( PageIndex {3} )؟

إجابه

حوالي (1.548 ) مليار شخص ؛ بحلول عام 2031 ، سيتجاوز عدد سكان الهند سكان الصين بنحو (0.001 ) مليار ، أو (1 ) مليون شخص.

إيجاد معادلات الدوال الأسية

في الأمثلة السابقة ، حصلنا على دالة أسية ، قمنا بعد ذلك بتقييمها لمدخل معين. في بعض الأحيان يتم إعطاؤنا معلومات حول دالة أسية دون معرفة الوظيفة صراحةً. يجب أن نستخدم المعلومات لكتابة شكل الوظيفة أولاً ، ثم تحديد الثوابت (أ ، أ ) و (ب ، ب ) ، وتقييم الوظيفة.

الكيفية: باستخدام نقطتي بيانات ، اكتب نموذجًا أسيًا

  1. إذا كانت إحدى نقاط البيانات بالشكل ((0 ، أ) ) ، فإن (أ ) هي القيمة الأولية. باستخدام (a ) ، استبدل النقطة الثانية في المعادلة (f (x) = a {(b)} ^ x ) ، وحل من أجل (b ).
  2. إذا لم تكن أي من نقطتي البيانات على الشكل ((0، a) ) ، فاستبدل النقطتين في معادلتين بالصيغة (f (x) = a {(b)} ^ x ). حل النظام الناتج من معادلتين في مجهولين لإيجاد (أ ) و (ب ).
  3. باستخدام (a ) و (b ) الموجودين في الخطوات أعلاه ، اكتب الدالة الأسية بالصيغة (f (x) = a {(b)} ^ x ).

مثال ( PageIndex {4} ): كتابة نموذج أسي عندما تكون القيمة الأولية معروفة

في عام 2006 ، تم إدخال (80 ) أيل إلى ملجأ للحياة البرية. بحلول عام 2012 ، نما عدد السكان إلى (180 ) غزال. كان عدد السكان ينمو باطراد. اكتب دالة جبرية (N (t) ) تمثل السكان ((N) ) الغزلان بمرور الوقت (t ).

حل

تركنا متغيرنا المستقل (t ) هو عدد السنوات بعد عام 2006. وبالتالي ، يمكن كتابة المعلومات الواردة في المسألة كأزواج من المدخلات والمخرجات: (0 ، 80) و (6 ، 180). لاحظ أنه باختيار متغير الإدخال الخاص بنا ليتم قياسه على أنه سنوات بعد عام 2006 ، فقد قدمنا ​​لأنفسنا القيمة الأولية للدالة ، (a = 80 ). يمكننا الآن استبدال النقطة الثانية في المعادلة (N (t) = 80b ^ t ) لإيجاد (b ):

[ begin {align *} N (t) & = 80b ^ t 180 & = 80b ^ 6 qquad text {استبدال باستخدام النقطة} (6 ، 180) dfrac {9} {4} & = ب ^ 6 qquad text {قسّم واكتب بأدنى العبارات} b & = { left ( dfrac {9} {4} right)} ^ { tfrac {1} {6}} qquad text {عزل b باستخدام خصائص الأس} b & almost 1.1447 qquad text {تقريب إلى 4 منازل عشرية} end {align *} ]

ما لم يُنص على خلاف ذلك ، لا تقم بتقريب أي حسابات وسيطة. ثم قرب الإجابة النهائية لأربعة أماكن لبقية هذا القسم.

النموذج الأسي لتعداد الغزلان هو (N (t) = 80 {(1.1447)} ^ t ). (لاحظ أن هذه الدالة الأسية تمثل نموًا قصير المدى. ومع زيادة حجم المدخلات ، سيزداد حجم الناتج بشكل متزايد ، لدرجة أن النموذج قد لا يكون مفيدًا على المدى الطويل.)

يمكننا رسم نموذجنا البياني لملاحظة النمو السكاني للغزلان في الملجأ بمرور الوقت. لاحظ أن الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {3} ) يمر عبر النقاط الأولية الواردة في المشكلة ، ((0 ، 80) ) و ((6 ، 180) ). يمكننا أيضًا أن نرى أن مجال الوظيفة هو ([0، infty) ) ، ونطاق الوظيفة هو ([80، infty) ).

تمرين ( PageIndex {4} )

عدد السكان الذئب ينمو باطراد. في عام 2011 تم إحصاء (129 ) ذئاب. بحلول عام 2013 ، وصل عدد السكان إلى (236 ) ذئب. ما النقطتان اللتان يمكن استخدامهما لاشتقاق معادلة أسية لنمذجة هذا الموقف؟ اكتب المعادلة التي تمثل سكان (N ) الذئاب بمرور الوقت (t ).

إجابه

((0،129) ) و ((2،236) ) ؛ (N (t) = 129 {(1.3526)} ^ t )

مثال ( PageIndex {5} ): كتابة نموذج أسي عندما تكون القيمة الأولية غير معروفة

ابحث عن دالة أسية تمر عبر النقطتين ((- 2،6) ) و ((2،1) ).

حل

نظرًا لعدم وجود القيمة الأولية لدينا ، فإننا نستبدل كلا النقطتين في معادلة بالصيغة (f (x) = ab ^ x ) ، ثم نحل نظام (a ) و (b ) .

  • استبدال ((- 2،6) ) يعطي (6 = ab ^ {- 2} )
  • استبدال ((2،1) ) يعطي (1 = أب ^ 2 )

استخدم المعادلة الأولى لحل (أ ) بدلالة (ب ):

[ begin {align *} 6 & = ab ^ {- 2} dfrac {6} {b ^ {- 2}} & = a qquad text {Divide} a & = 6b ^ 2 qquad text {استخدم خصائص الأس لإعادة كتابة المقام} end {align *} ]

عوّض عن a في المعادلة الثانية وحل من أجل (b ):

[ begin {align *} 1 & = ab ^ {2} 1 & = 6b ^ 2 b ^ 2 & = 6b ^ 4 qquad text {البديل a} b & = left ( dfrac { 1} {6} right) ^ { tfrac {1} {4}} qquad text {الجولة 4 منازل عشرية أعد كتابة المقام} b & حوالي 0.6389 end {align *} ]

استخدم قيمة (ب ) في المعادلة الأولى لحل قيمة (أ ):

[ start {align *} a & = 6b ^ {2} & almost 6 (0.6389) ^ 2 & almost 2.4492 end {align *} ]

وبالتالي ، فإن المعادلة هي (f (x) = 2.4492 {(0.6389)} ^ x ).

يمكننا رسم نموذجنا بالرسم البياني للتحقق من عملنا. لاحظ أن الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {4} ) يمر عبر النقاط الأولية الواردة في المشكلة ، ((- 2 ، 6) ) و ((2 ، 1) ). الرسم البياني هو مثال على دالة الانحلال الأسي.

تمرين ( PageIndex {5} )

بالنظر إلى النقطتين ((1،3) ) و ((2،4.5) ) ، أوجد معادلة الدالة الأسية التي تمر عبر هاتين النقطتين.

إجابه

(و (س) = 2 {(1.5)} ^ س )

سؤال وجواب: هل تحدد نقطتان دائمًا دالة أسية فريدة؟

نعم ، بشرط أن تكون النقطتان إما فوق المحور x أو كليهما أسفل المحور x وأن يكون لهما إحداثيات x مختلفة. لكن ضع في اعتبارك أننا نحتاج أيضًا إلى معرفة أن التمثيل البياني ، في الواقع ، دالة أسية. ليس كل رسم بياني يبدو أسيًا حقًا. نحتاج إلى معرفة أن الرسم البياني يعتمد على نموذج يُظهر نفس النسبة المئوية للنمو مع زيادة كل وحدة في (x ) ، والتي تتضمن في العديد من حالات العالم الحقيقي الوقت.

الكيفية: بالنظر إلى الرسم البياني للدالة الأسية ، اكتب معادلتها

  1. أولاً ، حدد نقطتين على الرسم البياني. اختر (y ) - التقاطع كواحدة من النقطتين كلما أمكن ذلك. حاول اختيار النقاط المتباعدة قدر الإمكان لتقليل خطأ التقريب.
  2. إذا كانت إحدى نقاط البيانات هي (y ) - التقاطع ((0، a) ) ، فإن (a ) هي القيمة الأولية. باستخدام (a ) ، استبدل النقطة الثانية في المعادلة (f (x) = a {(b)} ^ x ) ، وحل من أجل (b )
  3. إذا لم تكن أي من نقطتي البيانات على الشكل ((0، a) ) ، فاستبدل النقطتين في معادلتين بالصيغة (f (x) = a {(b)} ^ x ). حل النظام الناتج من معادلتين في مجهولين لإيجاد (أ ) و (ب ).
  4. اكتب الدالة الأسية ، (f (x) = a {(b)} ^ x ).

مثال ( PageIndex {6} ): كتابة دالة أسية بمعرفة الرسم البياني الخاص بها

ابحث عن معادلة للدالة الأسية المرسومة في الشكل ( PageIndex {5} ).

حل

يمكننا اختيار (ص )-مقطع الرسم البياني ((0،3) ) كنقطة أولى. هذا يعطينا القيمة الأولية ، (أ = 3 ). بعد ذلك ، اختر نقطة على المنحنى تبعد مسافة ما عن ((0،3) ) التي تحتوي على إحداثيات عدد صحيح. إحدى هذه النقاط هي ((2،12) ).

[ begin {align *} y & = ab ^ x qquad text {اكتب الصيغة العامة للمعادلة الأسية} y & = 3b ^ x qquad text {استبدل القيمة الأولية} 3 text {for} a 12 & = 3b ^ 2 qquad text {استبدال في 12 لـ} y text {and} 2 text {for} x 4 & = b ^ 2 qquad text {Divide by} 3 b & = pm 2 qquad text {خذ الجذر التربيعي} end {align *} ]

لأننا نقصر أنفسنا على القيم الإيجابية لـ (ب ) ، سنستخدم (ب = 2 ). عوّض (a ) و (b ) في النموذج القياسي للحصول على المعادلة (f (x) = 3 {(2)} ^ x ).

تمرين ( PageIndex {6} )

ابحث عن معادلة للدالة الأسية المرسومة في الشكل ( PageIndex {6} ).

إجابه

(f (x) = sqrt {2} {( sqrt {2})} ^ x ). قد تختلف الإجابات بسبب خطأ التقريب. يجب أن تكون الإجابة قريبة جدًا من (1.4142 {(1.4142)} ^ x ).

الكيفية: بالنظر إلى نقطتين على منحنى الدالة الأسية ، استخدم حاسبة الرسوم البيانية للعثور على المعادلة

  1. صحافة [إحصائيات].
  2. امسح أي إدخالات موجودة في الأعمدة L1 أو L2.
  3. في L1، دخول x- التنسيق المعطى.
  4. في L2، أدخل المطابق ذ- التنسيق.
  5. صحافة [إحصائيات] تكرارا. حق المؤشر على CALC، قم بالتمرير لأسفل إلى ExpReg (الانحدار الأسي)، و اضغط [أدخل].
  6. تعرض الشاشة قيم أ و ب في المعادلة الأسية (y = a⋅b ^ x ).

مثال ( PageIndex {7} ): استخدام حاسبة الرسوم البيانية لإيجاد دالة أسية

استخدم حاسبة الرسوم البيانية لإيجاد المعادلة الأسية التي تتضمن النقاط ((2،24.8) ) و ((5،198.4) ).

حل

اتبع الإرشادات أعلاه. الضغط الأول [إحصائيات], [تعديل], [1: تحرير ...] ، وامسح القوائم L1 و L2. بعد ذلك ، في L1 العمود ، أدخل (س ) - الإحداثيات ، (2 ) و (5 ). افعل نفس الشيء في L2 عمود للإحداثيات (ص ) ، (24.8 ) و (198.4 ).

الآن اضغط [إحصائيات], [CALC], [0: ExpReg] و اضغط [أدخل]. سيتم عرض القيم (أ = 6.2 ) و (ب = 2 ). المعادلة الأسية هي (y = 6.2⋅2 ^ x ).

تمرين ( PageIndex {7} )

استخدم آلة حاسبة بيانية لإيجاد المعادلة الأسية التي تتضمن النقاط ((3، 75.98) ) و ((6، 481.07) ).

إجابه

(ص 12≈ {1.85} ^ س )

تطبيق صيغة الفائدة المركبة

أدوات الادخار التي يتم فيها إعادة استثمار الأرباح باستمرار ، مثل الصناديق المشتركة وحسابات التقاعد ، تستخدم الفائدة المركبة. على المدى يضاعف يشير إلى الفائدة المكتسبة ليس فقط على القيمة الأصلية ، ولكن على القيمة المتراكمة للحساب.

ال معدل النسبة السنوية (APR) من حساب ، ويسمى أيضًا المعدل الاسمي، هو معدل الفائدة السنوي الذي يكتسبه حساب الاستثمار. على المدى اسمى، صورى شكلى، بالاسم فقط يستخدم عندما يحدث المركب عدة مرات بخلاف مرة واحدة في السنة. في الواقع ، عندما تتضاعف الفائدة أكثر من مرة في السنة ، ينتهي سعر الفائدة الفعلي أكبر من السعر الاسمي! هذه أداة قوية للاستثمار.

يمكننا حساب الفائدة المركبة باستخدام معادلة الفائدة المركبة ، وهي دالة أسية للمتغيرات الوقت (t ) ، الأساسي (P ) ، (أبريل ) (r ) ، وعدد الفترات المركبة في عام (n ):

[A (t) = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} nonumber ]

على سبيل المثال ، لاحظ الجدول ( PageIndex {4} ) ، والذي يعرض نتيجة الاستثمار (1000 دولار ) في (10 ​​٪ ) لمدة عام واحد. لاحظ كيف تزداد قيمة الحساب مع زيادة التردد المركب.

جدول ( PageIndex {4} )
تكررالقيمة بعد (1 ) سنة
سنويا($1100)
نصف سنوى($1102.50)
ربعي($1103.81)
شهريا($1104.71)
اليومي($1105.16)

التعريف: الفائدة المركبة

الفائدة المركبة يمكن حسابها باستخدام الصيغة

[A (t) = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} ]

أين

  • (A (t) ) هي قيمة الحساب ،
  • (t ) يقاس بالسنوات ،
  • (P ) هو مبلغ بداية الحساب ، ويطلق عليه غالبًا القيمة الأساسية ، أو القيمة الحالية بشكل عام ،
  • (r ) هو معدل النسبة المئوية السنوية (APR) معبرًا عنه كرقم عشري ، و
  • (n ) هو عدد الفترات المركبة في سنة واحدة.

مثال ( PageIndex {8} ): حساب الفائدة المركبة

إذا استثمرنا ($ 3،000 ) في حساب استثماري يدفع (3 ٪ ) فائدة مضاعفة كل ثلاثة أشهر ، كم ستكون قيمة الحساب في (10 ​​) سنوات؟

حل

لأننا نبدأ بـ ($ 3،000 ) ، (P = 3000 ). معدل الفائدة لدينا هو (3 ٪ ) ، لذلك (r = 0.03 ). نظرًا لأننا نضاعف كل ثلاثة أشهر ، فإننا نضاعف (4 ) مرات في السنة ، لذلك (n = 4 ). نريد معرفة قيمة الحساب في (10 ​​) سنوات ، لذلك نبحث عن (A (10) ) ، القيمة عند (t = 10 ).

[ start {align *} A (t) & = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} qquad text {استخدام صيغة الفائدة المركبة} A (10) & = 3000 { left (1+ dfrac {0.03} {4} right)} ^ {(4) cdot (10)} qquad text {استبدل باستخدام القيم المعطاة} & تقريبًا $ 4045.05 qquad text {تقريب لأقرب منزلتين عشريتين} end {align *} ]

ستكون قيمة الحساب حوالي (4،045.05 $ ) في (10 ​​) سنوات.

تمرين ( PageIndex {8} )

استثمار مبدئي بقيمة (100،000 دولار ) بسعر الفائدة (12 ٪ ) يتضاعف أسبوعيًا (استخدم (52 ) أسبوعًا في السنة). كم ستكون قيمة الاستثمار في غضون (30 ) سنة؟

إجابه

حول ($ 3،644،675.88 )

مثال ( PageIndex {9} ): استخدام صيغة الفائدة المركبة لحل الأساسي

خطة 529 هي خطة ادخار جامعية تسمح للأقارب باستثمار الأموال لدفع الرسوم الجامعية المستقبلية للطفل ؛ ينمو الحساب معفاة من الضرائب. تريد Lily إنشاء حساب 529 لحفيدتها الجديدة وتريد أن ينمو الحساب إلى ($ 40،000 ) على مدار (18 ) سنة. وهي تعتقد أن الحساب سيكسب (6 ٪ ) مضاعفة نصف سنوية (مرتين في السنة). إلى أقرب دولار ، ما المبلغ الذي ستحتاجه Lily للاستثمار في الحساب الآن؟

حل

معدل الفائدة الاسمي هو (6 ٪ ) ، لذلك (r = 0.06 ). تتضاعف الفائدة مرتين في السنة ، لذلك (ك = 2 ).

نريد إيجاد الاستثمار الأولي ، (P ) ، المطلوب حتى تكون قيمة الحساب تساوي (40.000 دولار ) في (18 ) سنة. عوّض بالقيم المعطاة في صيغة الفائدة المركبة ، وحل من أجل (P ).

[ start {align *} A (t) & = P { left (1+ dfrac {r} {n} right)} ^ {nt} qquad text {استخدام صيغة الفائدة المركبة} 40000 & = P { left (1+ dfrac {0.06} {2} right)} ^ {2 (18)} qquad text {استبدال باستخدام القيم المعطاة} A ، r ، n ، t 40000 & = P {(1.03)} ^ {36} qquad text {Simplify} dfrac {40،000} {{(1.03)} ^ {36}} & = P qquad text {Isolate} P P & تقريبًا $ 13،801 qquad text {قسمة وتقريب لأقرب دولار} end {align *} ]

ستحتاج Lily إلى الاستثمار ($ 13،801 ) للحصول على ($ 40،000 ) في (18 ) سنة.

تمرين ( PageIndex {9} )

راجع المثال ( PageIndex {9} ). إلى أقرب دولار ، ما المبلغ الذي ستحتاجه ليلي للاستثمار إذا كان الحساب مركبًا كل ثلاثة أشهر؟

إجابه

($13,693)

تقييم الوظائف بالقاعدة (هـ )

كما رأينا سابقًا ، يزداد المبلغ المكتسب على الحساب مع زيادة التكرار المركب. يوضح الجدول ( PageIndex {5} ) أن الزيادة من المركب السنوي إلى المركب نصف السنوي أكبر من الزيادة من المركب الشهري إلى المركب اليومي. قد يقودنا هذا إلى التساؤل عما إذا كان هذا النمط سيستمر.

افحص قيمة ($ 1 ) المستثمرة في (100 ٪ ) فائدة لمدة (1 ) عام ، مركبة على ترددات مختلفة ، مدرجة في الجدول ( PageIndex {5} ).

جدول ( PageIndex {5} )

تكرر (A (t) = { left (1+ dfrac {1} {n} right)} ^ n )قيمة
سنويا ({ left (1+ dfrac {1} {1} right)} ^ 1 )($2)
نصف سنوى ({ left (1+ dfrac {1} {2} right)} ^ 2 )($2.25)
ربعي ({ left (1+ dfrac {1} {4} right)} ^ 4 )($2.441406)
شهريا ({ left (1+ dfrac {1} {12} right)} ^ {12} )($2.613035)
اليومي ({ left (1+ dfrac {1} {365} right)} ^ {365} )($2.714567)
ساعيا ({ left (1+ dfrac {1} {8760} right)} ^ {8760} )($2.718127)
مرة في الدقيقة ({ left (1+ dfrac {1} {525600} right)} ^ {525600} )($2.718279)
مرة في الثانية ({ left (1+ dfrac {1} {31536000} right)} ^ {31536000} )($2.718282)

يبدو أن هذه القيم تقترب من الحد مع زيادة (n ) بلا حدود. في الواقع ، نظرًا لأن (n ) يكبر أكثر فأكثر ، فإن التعبير ({ left (1+ dfrac {1} {n} right)} ^ n ) يقترب من رقم مستخدم بشكل متكرر في الرياضيات لدرجة أنه له اسمه الخاص: الحرف (هـ ). هذه القيمة هي رقم غير نسبي ، مما يعني أن توسعها العشري يستمر إلى الأبد دون تكرار. يتم عرض تقريبه إلى ستة منازل عشرية أدناه.

التعريف: الرقم هـ

يمثل الحرف (e ) الرقم غير المنطقي

[{ left (1+ dfrac {1} {n} right)} ^ n ]

كما (n ) يزيد بلا حدود

يستخدم الحرف (e ) كأساس للعديد من النماذج الأسية في العالم الحقيقي. للعمل مع القاعدة (e ) ، نستخدم التقريب (e≈2.718282 ). تم تسمية الثابت بواسطة عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر (1707-1783) الذي بحث واكتشف العديد من خصائصه لأول مرة.

مثال ( PageIndex {10} ): استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قوى (e )

احسب (e ^ {3.14} ). قرّب لأقرب خمس منازل عشرية.

حل

في الآلة الحاسبة ، اضغط على الزر المسمى ([e ^ x] ). تظهر النافذة ([e {} ^ (] ). اكتب (3.14 ) ثم أغلق الأقواس ، ([)] ). اضغط دخول]. التقريب إلى (5 ) منازل عشرية ، (e ^ {3.14} ≈23.10387 ). تحذير: العديد من الآلات الحاسبة العلمية بها زر "Exp" ، والذي يستخدم لإدخال الأرقام في التدوين العلمي. لا يتم استخدامه لإيجاد صلاحيات (هـ ).

تمرين ( PageIndex {10} )

استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد (e ^ {- 0.5} ). قرّب لأقرب خمس منازل عشرية.

إجابه

(ه ^ {- 0.5} ≈0.60653 )

التحقيق في النمو المستمر

لقد عملنا حتى الآن مع القواعد المنطقية للوظائف الأسية. ومع ذلك ، بالنسبة لمعظم ظواهر العالم الحقيقي ، يتم استخدام (e ) كأساس للوظائف الأسية. النماذج الأسية التي تستخدم (e ) كقاعدة تسمى نماذج النمو المستمر أو الاضمحلال. نرى هذه النماذج في التمويل وعلوم الكمبيوتر ومعظم العلوم ، مثل الفيزياء وعلم السموم وديناميكيات السوائل.

التعريف: معادلة النمو المستمر / الاضمحلال

بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية (t ) ، وجميع الأرقام الموجبة (أ ) و (r ) ، يتم تمثيل النمو المستمر أو الاضمحلال بالصيغة

[A (t) = ae ^ {rt} ]

أين

  • (أ ) هي القيمة الأولية ،
  • (r ) هو معدل النمو المستمر لكل وحدة زمنية ،
  • (t ) هو الوقت المنقضي.

إذا (r> 0 ) ، فإن الصيغة تمثل النمو المستمر. إذا (r <0 ) ، فإن الصيغة تمثل الانحلال المستمر.

بالنسبة لتطبيقات الأعمال ، تسمى معادلة النمو المستمر معادلة التركيب المستمر وتأخذ الشكل

[A (t) = Pe ^ {rt} ]

أين

  • (P ) هو رأس المال أو الاستثمار الأولي ،
  • (r ) هو النمو أو معدل الفائدة لكل وحدة زمنية ،
  • (t ) هي فترة أو مدة الاستثمار.

الكيفية: بالنظر إلى القيمة الأولية ، ومعدل النمو أو الاضمحلال ، والوقت (t ) ، حل دالة النمو أو الانحلال المستمر

  1. استخدم المعلومات الواردة في المشكلة لتحديد (a ) ، القيمة الأولية للدالة.
  2. استخدم المعلومات الموجودة في المشكلة لتحديد معدل النمو (r ).
    • إذا كانت المشكلة تشير إلى النمو المستمر ، إذن (r> 0 ).
    • إذا كانت المشكلة تشير إلى الاضمحلال المستمر ، إذن (r <0 ).
  3. استخدم المعلومات الموجودة في المشكلة لتحديد الوقت (t ).
  4. استبدل المعلومات المعطاة في صيغة النمو المستمر وحل من أجل (A (t) ).

مثال ( PageIndex {11} ): حساب النمو المستمر

استثمر الشخص (1000 دولار ) في حساب ربح رمزي (10 ​​٪ ) سنويًا يتضاعف بشكل مستمر. كم كان في الحساب في نهاية عام واحد؟

حل

نظرًا لأن قيمة الحساب تزداد ، فهذه مشكلة تتفاقم باستمرار مع معدل النمو (r = 0.10 ). كان الاستثمار الأولي (1000 دولار ) ، لذلك (P = 1000 ). نستخدم صيغة التركيب المستمر لإيجاد القيمة بعد (t = 1 ) السنة:

[ begin {align *} A (t) & = Pe ^ {rt} qquad text {استخدام الصيغة المركبة المستمرة} & = 1000 {(e)} ^ {0.1} qquad text {بديل القيم المعروفة لـ} P ، r ، t & almost 1105.17 qquad text {استخدم آلة حاسبة لتقريب} end {align *} ]

يستحق الحساب (1،105.17 $ ) بعد عام واحد.

تمرين ( PageIndex {11} )

يستثمر الشخص (100.000 دولار ) بفائدة رمزية (12 ٪ ) في السنة تتضاعف باستمرار. كم ستكون قيمة الاستثمار في (30 ) سنة؟

إجابه

($3,659,823.44)

مثال ( PageIndex {12} ): حساب التدهور المستمر

(Radon-222 ) يضمحل بمعدل مستمر قدره (17.3 ٪ ) في اليوم. ما مقدار (100 مجم ) من (الرادون -222 ) في (3 ) أيام؟

حل

بما أن المادة تتحلل ، فإن المعدل (17.3 ٪ ) سالب. إذن ، (r = −0.173 ). كانت الكمية الأولية من (Radon-222 ) هي (100 ) مجم ، لذلك (أ = 100 ). نستخدم معادلة الاضمحلال المستمر لإيجاد القيمة بعد (t = 3 ) أيام:

[ begin {align *} A (t) & = ae ^ {rt} qquad text {استخدام صيغة النمو المستمر} & = 100e6 {-0.173 (3)} qquad text {استبدل القيم المعروفة لـ} a ، r ، t & حوالي 59.5115 qquad text {استخدم آلة حاسبة لتقريب} end {align *} ]

لذلك سيبقى (59.5115 ) ملغ من (Radon-222 ).

تمرين ( PageIndex {12} )

باستخدام البيانات الموجودة في المثال ( PageIndex {12} ) ، ما مقدار (Radon-222 ) الذي سيبقى بعد عام واحد؟

إجابه

(3.77E-26 ) (هذا هو تدوين الآلة الحاسبة للرقم المكتوب كـ (3.77 × 10 ^ {- 26} ) بالتدوين العلمي. في حين أن ناتج الدالة الأسية ليس صفرًا أبدًا ، فإن هذا الرقم قريب جدًا إلى الصفر ، يمكننا قبول الصفر كإجابة لجميع الأغراض العملية).

وسائط

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام الوظائف الأسية.

  • دالة النمو الأسي
  • الفائدة المركبة

المعادلات الرئيسية

تعريف الدالة الأسية (و (س) = ب ^ س ) ، حيث (ب> 0 ) ، (ب ≠ 1 )
تعريف النمو الأسي (و (س) = أب ^ س ) ، حيث (أ> 0 ) ، (ب> 0 ) ، (ب ≠ 1 )
صيغة الفائدة المركبة

(A (t) = P {(1+ dfrac {r} {n})} ^ {nt} ) ،

حيث (A (t) ) هي قيمة الحساب في الوقت (t )

(t ) هو عدد السنوات

(P ) هو الاستثمار الأولي ، وغالبًا ما يطلق عليه رأس المال

(r ) هو معدل النسبة المئوية السنوية (APR) ، أو المعدل الاسمي

(n ) هو عدد الفترات المركبة في سنة واحدة

صيغة النمو المستمر(A(t)=ae^{rt}), where (t) is the number of unit time periods of growth (a) is the starting amount (in the continuous compounding formula a is replaced with (P), the principal) (e) is the mathematical constant, (e≈2.718282)

المفاهيم الرئيسية

  • An exponential function is defined as a function with a positive constant other than (1) raised to a variable exponent. See Example.
  • A function is evaluated by solving at a specific value. See Example and Example.
  • An exponential model can be found when the growth rate and initial value are known. See Example.
  • An exponential model can be found when the two data points from the model are known. See Example.
  • An exponential model can be found using two data points from the graph of the model. See Example.
  • An exponential model can be found using two data points from the graph and a calculator. See Example.
  • The value of an account at any time (t) can be calculated using the compound interest formula when the principal, annual interest rate, and compounding periods are known. See Example.
  • The initial investment of an account can be found using the compound interest formula when the value of the account, annual interest rate, compounding periods, and life span of the account are known. See Example.
  • The number (e) is a mathematical constant often used as the base of real world exponential growth and decay models. Its decimal approximation is (e≈2.718282).
  • Scientific and graphing calculators have the key ([ex]) or ([exp(x)]) for calculating powers of (e). See Example.
  • Continuous growth or decay models are exponential models that use (e) as the base. Continuous growth and decay models can be found when the initial value and growth or decay rate are known. See Example and Example.

How to solve exponential equations

As you might've noticed, an exponential equation is just a special type of equation. It's an equation that has exponents that are $ ed< variables>$.

Steps to Solve

There are different kinds of exponential equations. We will focus on exponential equations that have a single term on both sides. These equations can be classified into 2 types.

Part I. Solving Exponential Equations with Same Base

مثال 1

Ignore the bases, and simply set the exponents equal to each other

We can verify that our answer is correct by substituting our value back into the original equation . .

Exponential Equation Solver

Enter any exponential equation into the algebra solver below :

مثال 2
مثال 3

II. Solving Exponential Equations with الأمم المتحدة-like bases

What do they look like?

$ ed 4^3 = ed 2^x $
$ ed 9^x = ed < 81 >$
$ left( ed<2>> ight)^ < x+1>= ed 4^3 $
$ ed 4^ <2x>+1 = ed < 65 >$

In each of these equations, the base is different. Our goal will be to rewrite both sides of the equation so that the base is the same.

مثال 4

Forget about the exponents for a minute and focus on the bases:
Rewrite the bases as powers of a common base . Do this by asking yourself :

Answer : They are both powers of 2

Rewrite equation so that both exponential expressions use the same base

Substitute $ ed 6 $ into the original equation to verify our work.

Example with Negative Exponent

Unlike bases often involve negative or fractional bases like the example below. We are going to treat these problems like any other exponential equation with different bases--by converting the bases to be the same.

مثال 5

Practice Problems (الأمم المتحدة-like bases)

Problem 1

Solve the following exponential Equation: $9^x = 81$

Forget about the exponents for a minute and focus on the bases:
Rewrite the bases as powers of a common base . Ask yourself :

You can use either 3 or 9 . I will use 9.

Substitute the rewritten bases into original equation

Problem 2

Solve the equation : $ 4^ <2x>+1 = 65 $

Rewrite this equation so that it looks like the other ones we solved. Isolate the exponential expression as follows:

Forget about the exponents for a minute and focus on the bases:
Rewrite the bases as powers of a common base . Ask yourself :

They are both powers of 2 and of 4 . You could use either base to solve this. I will use base 4

Substitute the rewritten bases into original equation

Problem 3

Solve the exponential Equation : $ left( frac<1> <4> ight)^x = 32 $

Since these equations have different bases, follow the steps for unlike bases

Forget about the exponents for a minute and focus on the bases:
Rewrite the bases as powers of a common base . Ask yourself :

They are both powers of 2

Rewrite as a negative exponent and substitute the rewritten bases into original equation

$ left( frac<1> <4> ight)^x = 32 left( frac<1> <2^2> ight)^x = 32 left( ed 2 ^<lue<-2>> ight)^x = ed 2^ <lue 5>$

Problem 4

Solve this exponential equation: $ left( frac<1> <9> ight)^x-3 = 24 $

Rewrite this equation so that it looks like the other ones we solved. Isolate the exponential expression as follows:

$ left( frac<1> <9> ight)^x -3 ed <+3>=24 ed <+3> left( frac<1> <9> ight)^x=27 $

Forget about the exponents for a minute and focus on the bases:
Rewrite the bases as powers of a common base . Ask yourself :


What is exponential growth in real-life?

There are many real-life examples of exponential growth. For example, suppose that the population of Florida was 16 million in 2000. Then every year after that, the population has grown by 2%. This is an example of exponential growth.

Notice that the rate of growth is 2% or 0.02 and it is constant. This is important since the rate of growth cannot change.

Let us find the exponential function.

Year 2001 or 1 year after: 

16,000,000 + 16,000,000 x 0.02  = 16,000,000 (1 + 0.02 )

16,000,000 + 16,000,000 x 0.02  = 16,000,000(1.02)     

16,000,000 + 16,000,000 x 0.02  = 16,000,000(1.02) 1

Year 2002 or 2 years after:

16,000,000(1.02) + 16,000,000(1.02) x 0.02 = 16,000,000(1.02) [1 + 0.02]

16,000,000(1.02) + 16,000,000(1.02) x 0.02 = 16,000,000(1.02)(1.02)

16,000,000(1.02) + 16,000,000(1.02) x 0.02 = 16,000,000(1.02) 2

Following this pattern, suppose that

  • x is the number of years since 2000
  • 16,000,000 is the starting amount
  • 1.02 is the rate or growth factor

Comparing this exponential function with y = ab x , we see that a = 16,000,000 and b = 1.02.

General rule for modeling exponential growth

Exponential growth can be modeled with the function

a is the starting amount when x  = 0

b is the base, rate, or growth factor and it is a constant and it is greater than 1 .


Graphing Exponential Functions

The general form of an exponential function is ذ = b n , where ب > 0 and ب &ne 1 and ن is a real number.

Characteristics of Exponential Graph

From the graph above, we notice the following characteristics or properties of the exponential graph (curve) ذ = b n , where ب > 0 and ب &ne 1 and ن is a real number:

a) As the value of x increases, the value of ذ increases far more than the increase of value of x.

b) The range (or values of ذ) are positve real numbers (never zero).

c) The graph is asymptotic to the x-axis that is it gets very close to the x-axis but does not touch it or cross it.

d) The graph always crosses the ذ-axis at (0, 1)

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


محتويات

satisfying the initial condition y ( 0 ) = 1.

By way of the binomial theorem and the power series definition, the exponential function can also be defined as the following limit: [8] [7]

The exponential function arises whenever a quantity grows or decays at a rate proportional to its current value. One such situation is continuously compounded interest, and in fact it was this observation that led Jacob Bernoulli in 1683 [9] to the number

now known as ه . Later, in 1697, Johann Bernoulli studied the calculus of the exponential function. [9]

From any of these definitions it can be shown that the exponential function obeys the basic exponentiation identity,

exp ⁡ ( x + y ) = exp ⁡ x ⋅ exp ⁡ y

which justifies the notation ه x for exp x .

The derivative (rate of change) of the exponential function is the exponential function itself. More generally, a function with a rate of change متناسب to the function itself (rather than equal to it) is expressible in terms of the exponential function. This function property leads to exponential growth or exponential decay.

The exponential function extends to an entire function on the complex plane. Euler's formula relates its values at purely imaginary arguments to trigonometric functions. The exponential function also has analogues for which the argument is a matrix, or even an element of a Banach algebra or a Lie algebra.

The importance of the exponential function in mathematics and the sciences stems mainly from its property as the unique function which is equal to its derivative and is equal to 1 when x = 0 . هذا هو،

Functions of the form ce x for constant ج are the only functions that are equal to their derivative (by the Picard–Lindelöf theorem). Other ways of saying the same thing include:

  • The slope of the graph at any point is the height of the function at that point.
  • The rate of increase of the function at x is equal to the value of the function at x .
  • The function solves the differential equationذ′ = ذ .
  • exp is a fixed point of derivative as a functional.

If a variable's growth or decay rate is proportional to its size—as is the case in unlimited population growth (see Malthusian catastrophe), continuously compounded interest, or radioactive decay—then the variable can be written as a constant times an exponential function of time. Explicitly for any real constant ك , a function F: صص satisfies F′ = kf إذا وفقط إذا F(x) = ce kx for some constant ج . The constant ك is called the decay constant, disintegration constant, [10] rate constant, [11] or transformation constant. [12]

Furthermore, for any differentiable function F(x) , we find, by the chain rule:

A continued fraction for ه x can be obtained via an identity of Euler:

The following generalized continued fraction for ه ض converges more quickly: [13]

with a special case for ض = 2 :

This formula also converges, though more slowly, for ض > 2 . على سبيل المثال:

As in the real case, the exponential function can be defined on the complex plane in several equivalent forms. The most common definition of the complex exponential function parallels the power series definition for real arguments, where the real variable is replaced by a complex one:

Alternatively, the complex exponential function may defined by modelling the limit definition for real arguments, but with the real variable replaced by a complex one:

For the power series definition, term-wise multiplication of two copies of this power series in the Cauchy sense, permitted by Mertens' theorem, shows that the defining multiplicative property of exponential functions continues to hold for all complex arguments:

The definition of the complex exponential function in turn leads to the appropriate definitions extending the trigonometric functions to complex arguments.

In particular, when ض = it ( t real), the series definition yields the expansion

In this expansion, the rearrangement of the terms into real and imaginary parts is justified by the absolute convergence of the series. The real and imaginary parts of the above expression in fact correspond to the series expansions of cos ر and sin ر ، على التوالى.

This correspondence provides motivation for defining cosine and sine for all complex arguments in terms of exp ⁡ ( ± i z ) and the equivalent power series: [14]

These definitions for the exponential and trigonometric functions lead trivially to Euler's formula:

We could alternatively define the complex exponential function based on this relationship. إذا ض = x + iy , where x and y are both real, then we could define its exponential as

exp ⁡ z = exp ⁡ ( x + i y ) := ( exp ⁡ x ) ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y )

where exp , cos , and sin on the right-hand side of the definition sign are to be interpreted as functions of a real variable, previously defined by other means. [15]

starting from ض = 1 in the complex plane and going counterclockwise. Based on these observations and the fact that the measure of an angle in radians is the arc length on the unit circle subtended by the angle, it is easy to see that, restricted to real arguments, the sine and cosine functions as defined above coincide with the sine and cosine functions as introduced in elementary mathematics via geometric notions.

The complex exponential function is periodic with period 2πi and exp ⁡ ( z + 2 π i k ) = exp ⁡ z holds for all z ∈ C , k ∈ Z ,kin mathbb > .

When its domain is extended from the real line to the complex plane, the exponential function retains the following properties:

Extending the natural logarithm to complex arguments yields the complex logarithm log ض , which is a multivalued function.

We can then define a more general exponentiation:

for all complex numbers ض و ث . This is also a multivalued function, even when ض is real. This distinction is problematic, as the multivalued functions log ض و ض ث are easily confused with their single-valued equivalents when substituting a real number for ض . The rule about multiplying exponents for the case of positive real numbers must be modified in a multivalued context:

(e z ) ث
e zw , but rather (e z ) ث
= ه (ض + 2niπ)ث multivalued over integers ن

See failure of power and logarithm identities for more about problems with combining powers.

The exponential function maps any line in the complex plane to a logarithmic spiral in the complex plane with the center at the origin. Two special cases exist: when the original line is parallel to the real axis, the resulting spiral never closes in on itself when the original line is parallel to the imaginary axis, the resulting spiral is a circle of some radius.


Fractional Exponents

The reciprocal of the number associated with the radical is the power needed.

If the radicand (number under the radical sign) has a power in it, the same method still works:

This can be simplified to get #9^(1/2)# .

You can just remember this rule, or you can learn about why this is:

fractional exponent #1/b#

So first we're going to look at an expression of the form: #x^(1/b)# .
To investigate what this means, we need to go from #x to x^(1/b)# and then deduce something from it.

#x^1 = x^(b/b) = x^(1/b*b)#
What does multiplication mean? Repeated addition. So we can instead of multiplying by b, adding the number to itself #b# times.
#x^(1/b+1/b+1/b+1/b +. )# (b times)

There is a rule you use when multiplying numbers with the same radical: add the exponents. If we reverse this rule, we get:
#x^(1/b)*x^(1/b)*x^(1/b)*x^(1/b)*x^(1/b). # (b times)

Now, we still know that this number is equal to #x# . So now we have to think a bit. What number, multiplied by itself b times, gives you #x# .
It's the bth-root of #x# => #x^(1/b)=rootbx#

For example: #8^(1/3)#
If we multiply this by itself 3 times we get:
#8^(1/3)*8^(1/3)*8^(1/3) = 8^(3/3) = 8#
What number multiplied by itself 3 times, gives you 8.
It's of course #root3(8) = 2#

What about #a/b# ?
To know what #x^(a/b)# means, we can further rely on our previous findings:
#x^(a/b) = x^(a*1/b) = x^(1/b+1/b+1/b+1/b. ) # (a times)
#= x^(1/b)*x^(1/b)*x^(1/b). # (a times)

Repeated multiplication is equal to exponentiation, so we can write:
#= (x^(1/b))^a = (rootbx)^a#

You can also bring the exponent in the root:
#= rootb(x^a)#


( herefore) a logarithm is equal to the reciprocal of its inverse.

Simplify the following using a change of base:

If (log <3>= ext<0,477>) and (log <2>= ext<0,301>), determine (correct to ( ext<2>) decimal places):

Logarithms using a calculator (EMCFM)

Calculating a logarithmic value

There are many different types and models of scientific calculators. It is very important to be familiar with your own calculator and the different function buttons. Some calculators only have two buttons for logarithms: one for calculating the common logarithm (base is equal to ( ext<10>)) and another for calculating the natural log (base is equal to (e)). Newer models will have a third button which allows the user to calculate the logarithm of a number to a certain base.


SOLUTION: exponential equation whose graph passes through given points (1,5)(2,7)

If the two given points are on the graph of an exponential equation, then they must fit the equation. Substituting the first point into the general equation we get:

which simplifies to:
5 = a*b
Substituting the second point into the general equation we get:


we have a system of two equations with two variables. We should be able to solve such a system. We will use the Substitution Method. Solving the first equation for a we get:

Substituting this expression into the other equation for a we get:

which simplifies to:
7 = 5b
Dividing by 5 we get:

Substituting this value for b into we get:


Now that we have values for a and b we can write the exponential equation:

This is probably the desired equation. But since there is two powers of 7 and two powers of 5, we can simplify this a bit:


The rule for exponents when dividing is to subtract the exponents so:

This equation is good, too. And some would prefer it. But your teacher probably wants something the "looks" like the classic exponential equation. IOW:


Exponential growth functions

We have dealt with linear functions earlier. All types of equations containing two unknown (x and y) variables may be inserted in a coordinate system. These types of equations are known as المهام. A straight line is known as a linear function.

The function need not necessarily respond like a straight line equation. For example: If we have $50 000 deposited in the bank, and receive a 2 % interest annually, our investment shall increase as follows:

Year عاصمة Interest Sum
1 50 000 50 000 · 0.02 = 1 000 51 000
2 51 000 51 000 · 0.02 = 1 020 52 020
3 52 020 52 020 · 0.02 = 1040.40 53 060.40

Compare that with what we would have with a linear increase (2%):

Year عاصمة Increase Sum
1 50 000 50 000 · 0.02 = 1000 51 000
2 51 000 50 000 · 0.02 = 1000 52 000
3 52 000 50 000 · 0.02 = 1000 53 000

In this case we may note that the increase was constant each year. The investment may be described as:

أين x equals the number of years.

However in the first case, the structure proceeds as:

$investment :: after : x : number : of: years$

$= initial: capital cdot compound: interest^$

Here we have an x-variable in the exponent. The interest and thus also the function are exponentials.

Now we shall examine the differences displayed with the functions in our example above in a coordinate system.

The lower straight line represents the linear increase and the upper bowed curve represents the exponential increase. In other words it is more profitable to have a compounded interest than a fixed return.

An exponential function is a nonlinear function that has the form of

An exponential function with a > 0 and b > 1, like the one above, represents an exponential growth and the graph of an exponential growth function rises from left to right.

An exponential function where a > 0 and 0 < b < 1 represents an exponential decay and the graph of an exponential decay function falls from left to right.

When a quantity increases or decreases exponentially it increases or decreases by the same percent over equal time periods in comparison to when a compound increases or decreases linearly when a quantity increases or decreases with the same amount over equal time periods.


انسايت الرياضيات

The exponential function is one of the most important functions in mathematics (though it would have to admit that the linear function ranks even higher in importance). To form an exponential function, we let the independent variable be the exponent. A simple example is the function $f(x)=2^x.$

As illustrated in the above graph of $f$, the exponential function increases rapidly. Exponential functions are solutions to the simplest types of dynamical systems. For example, an exponential function arises in simple models of bacteria growth

An exponential function can describe growth or decay. The function $g(x)=left(frac<1><2> ight)^x$ is an example of exponential decay. It gets rapidly smaller as $x$ increases, as illustrated by its graph.

In the exponential growth of $f(x)$, the function doubles every time you add one to its input $x$. In the exponential decay of $g(x)$, the function shrinks in half every time you add one to its input $x$. The presence of this doubling time or half-life is characteristic of exponential functions, indicating how fast they grow or decay.

Parameters of the exponential function

As with any function, the action of an exponential function $f(x)$ can be captured by the function machine metaphor that takes inputs $x$ and transforms them into the outputs $f(x)$.

The function machine metaphor is useful for introducing parameters into a function. The above exponential functions $f(x)$ and $g(x)$ are two different functions, but they differ only by the change in the base of the exponentiation from 2 to 1/2. We could capture both functions using a single function machine but dials to represent parameters influencing how the machine works.

We could represent the base of the exponentiation by a parameter $b$. Then, we could write $f$ as a function with a single parameter (a function machine with a single dial): $f(x)=b^.$ When $b=2$, we have our original exponential growth function $f(x)$, and when $b=frac<1><2>$, this same $f$ turns into our original exponential decay function $g(x)$. We could think of a function with a parameter as representing a whole family of functions, with one function for each value of the parameter.

We can also change the exponential function by including a constant in the exponent. For example, the function $h(x)=2^<3x>$ is also an exponential function. It just grows faster than $f(x)=2^x$ since $h(x)$ doubles every time you add only $1/3$ to its input $x$. We can introduce another parameter $k$ into the definition of the exponential function, giving us two dials to play with. If we call this parameter $k$, we can write our exponential function $f$ as $f(x)=b^.$ You can explore the influence of both parameters $b$ and $k$ in the following applet.

The exponential function. The exponential function $f(x)=b^$ for base $b >0$ and constant $k$ is plotted in green. You can change the parameters $b$ and $k$ by typing new values in the corresponding boxes. It turns out the parameters $b$ and $k$ can change the function $f$ in the same way, so you really only need to change one of them to see all the different functions $f$. To see how they do the same thing, you can click the &ldquofix function&rdquo checkbox, which will fix the function $f(x)$. When that box is checked, if you change the parameters $b$ or $k$, the other parameter will change in a way to leave the function $f(x)$ unchanged. For the function $f(x)=b^$, the value $f(0)=1$ for all parameters. To change the value of $f(0)$, you can allow scaling of the function by clicking the corresponding checkbox. Then, the function changes to $f(x)=c b^$ with an additional parameter $c$ that scales (multiplies) the whole function so that $f(0)=c$. You can change the value of $c$ by dragging the red point. You can change range of the $x$ and $y$-axes buttons labeled $x+$, $x-$, $y+$, and $y-$. Since $f(x)$ is always non-negative, only the positive $y$-axis is shown.

It turns out that adding both parameters $b$ and $k$ to our definition of $f$ is really unnecessary. We can still get the full range of functions if we eliminate either $b$ or $k$. You can see this fact through the above applet. For example, you can see that the function $f(x)=3^<2x>$ ($k=2$, $b=3$) is exactly the same as the function $f(x)=9^x$ ($k=1$, $b=9$). In fact, for any change you make to $k$, you can make a compensating change in $b$ to keep the function the same. To see this, check the &ldquofix function&rdquo checkbox. Then, if you change either $b$ or $k$, the applet will automatically make a compensatory change in the other parameter to keep the function the same. If you are curious why this is true, you can check out the calculation showing the two parameters are redundant.

Since it is silly to have both parameters $b$ and $k$, we will typically eliminate one of them. The easiest thing to do is eliminate $k$ and go back to the function $f(x)=b^x.$ We will use this function a bit at first, changing the base $b$ to make the function grow or decay faster or slower.

However, once you start learning some calculus, you'll see that it is more natural to get rid of the base parameter $b$ and instead use the constant $k$ to make the function grow or decay faster or slower. Except, we can't exactly get rid of the base $b$. If we set $b=1$, we'd have the boring function $f(x)=1$, or, if we set $b=0$, we'd have the even more boring function $f(x)=0$. We need to choose some other value of $b$.

If we didn't have calculus, we'd probably choose $b=2$, writing our exponential function as $f(x)=2^$. Or, since we like the decimal system so well, maybe we'd choose $b=10$ and write our exponential function of $f(x)=10^$. According to the above discussion, it shouldn't matter whether we use $b=2$ or $b=10$, as we can get the same functions either way (just with different values of $k$).

But, it turns out that calculus tells us there is a natural choice for the base $b$. Once you learn some calculus, you'll see why the most common base $b$ throughout the sciences is the irrational number $e= 2.718281828459045 ldots .$ Fixing $b=e$, we can write the exponential functions as $f(x) = e^.$ (The applet understands the value of $e$, so you can type $e$ in the box for $b$.) Using $e$ for the base is so common, that $e^x$ (&ldquoe to the $xrdquo) is often referred to simply as the exponential function.

To increase the possibilities for the exponential function, we can add one more parameter $c$ that scales the function: $f(x)=c b^.$ Since $f(0)=cb^ = c$, we can see that the parameter $c$ does something completely different than the parameters $b$ and $k$. We'll often use two parameters for the exponential function: $c$ and one of $b$ or $k$. For example, we might set $k=1$ and use $f(x)=cb^x$ or set $b=e$ and use $f(x)=ce^.$ You can add the parameter $c$ to the applet by checking the &ldquoscale function&rdquo checkbox.


شاهد الفيديو: #رياضيات 5 - الدوال الأسية - شرح الدرس (شهر نوفمبر 2021).