مقالات

9.2: المتتاليات الحسابية - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حدد ما إذا كان التسلسل حسابيًا
  • ابحث عن المصطلح العام ( (n ) الحد) للتسلسل الحسابي
  • أوجد مجموع (n ) المصطلحات الأولى من المتتالية الحسابية

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. احسب (4n − 1 ) للأعداد الصحيحة (1 ، 2 ، 3 ) ، و (4 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 1.6.
  2. حل نظام المعادلات: ( left { begin {array} {l} {x + y = 7} {3 x + 4 y = 23} end {array} right. ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 4.9.
  3. إذا (f (n) = frac {n} {2} (3 n + 5) ) ، ابحث عن (f (1) + f (20) ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 3.49.

حدد ما إذا كان التسلسل حسابيًا

قدم القسم الأخير التسلسلات والآن سننظر في نوعين محددين من التسلسلات ولكل منهما خصائص خاصة. في هذا القسم سنلقي نظرة على المتتاليات الحسابية وفي القسم التالي ، المتتاليات الهندسية.

ان تسلسل حسابي هو تسلسل حيث يكون الفرق بين المصطلحات المتتالية ثابتًا. الفرق بين المصطلحات المتتالية في متتالية حسابية ، a_ {n} -a_ {n-1} ، هو (d ) ، الفرق المشترك، لـ (n ) أكبر من أو يساوي اثنين.

التعريف ( PageIndex {1} )

ان تسلسل حسابي هو تسلسل حيث يكون الفرق بين المصطلحات المتتالية هو نفسه دائمًا.

الفرق بين المصطلحات المتتالية ، a_ {n} -a_ {n-1} ، هو (d ) ، الفرق المشترك، لـ (n ) أكبر من أو يساوي اثنين.

مثال ( PageIndex {1} )

حدد ما إذا كانت كل متتالية حسابية. إذا كان الأمر كذلك ، حدد الفرق المشترك.

  1. (5،9،13،17،21،25 ، نقاط )
  2. (4،9،12،17،20،25 ، نقاط )
  3. (10،3 ، -4 ، -11 ، -18 ، -25 ، نقاط )

حل:

لتحديد ما إذا كانت المتتالية حسابية ، نجد الفرق بين الحدود المتتالية الموضحة.

أ. ( start {array} {cccccc} {5،} & {9،} & {13،} & {17} & {21،} & {25، ldots} { text {اكتشف الفرق في المصطلحات المتتالية.}} & {9-5} & {13-9} & {17-13} & {21-17} & {25-21} & {4} & {4} & {4} & {4} & {4} end {array} )

التسلسل حسابي. الفرق المشترك هو (د = 4 ).

ب. ( start {array} {cccccc} {4،} & {9،} & {12،} & {17} & {20،} & {25، ldots} { text {اكتشف الفرق في المصطلحات المتتالية.}} & {9-4} & {12-9} & {17-12} & {20-17} & {25-20} & {2} & {3} & {5} & {3} & {5} end {array} )

التسلسل ليس حسابيًا لأن جميع الاختلافات بين المصطلحات المتتالية ليست متطابقة. لا يوجد فرق مشترك.

ج. ( begin {array} {cccccc} {10،} & {3،} & {-4،} & {-11} & {-18،} & {-25، ldots} { text { أوجد الفرق بين المصطلحات المتتالية.}} & {3-10} & {-4-3} & {-11 - (- 4)} & {-18 - (- 11)} & {-25 - (- 18)} & {-7} & {-7} & {-7} & {-7} & {- 7} end {array} )

إجابه:

التسلسل حسابي. الفرق المشترك هو (د = -7 ).

تمرين ( PageIndex {1} )

حدد ما إذا كانت كل متتالية حسابية. إذا كان الأمر كذلك ، حدد الفرق المشترك.

  1. (9،20،31،42،53،64، dots )
  2. (12،6،0، -6، -12، -18، dots )
  3. (7،1،10،4،13،7 ، النقاط )
إجابه
  1. التسلسل حسابي مع وجود فرق مشترك (د = 11 ).
  2. التسلسل حسابي مع الاختلاف المشترك (د = -6 ).
  3. التسلسل ليس حسابيًا لأن جميع الاختلافات بين المصطلحات المتتالية ليست متطابقة.

تمرين ( PageIndex {2} )

حدد ما إذا كانت كل متتالية حسابية. إذا كان الأمر كذلك ، حدد الفرق المشترك.

  1. (- 4،4،2،10،8،16 ، نقاط )
  2. (- 3، -1،1،3،5،7، نقاط )
  3. (7،2 ، -3 ، -8 ، -13 ، -18 ، نقاط )
إجابه
  1. التسلسل ليس حسابيًا لأن جميع الاختلافات بين المصطلحات المتتالية ليست متطابقة.
  2. التسلسل حسابي مع وجود فرق مشترك (د = 2 ).
  3. التسلسل حسابي بفارق مشترك (د = −5 ).

إذا عرفنا المصطلح الأول ، (a_ {1} ) ، والفرق المشترك ، (d ) ، فيمكننا سرد عدد محدود من مصطلحات التسلسل.

مثال ( PageIndex {2} )

اكتب أول خمسة حدود من المتتالية حيث يكون الحد الأول (5 ) والفرق المشترك هو (د = −6 ).

حل:

نبدأ بالمصطلح الأول ونجمع الفرق المشترك. ثم نضيف الفرق المشترك إلى تلك النتيجة لنحصل على الحد التالي ، وهكذا.

( start {array} {cccc} {a_ {1}} & {a_ {2}} & {a_ {3}} & {a_ {4}} & {a_ {5}} {5} & {5 + (- 6)} & {-1 + (- 6)} & {-7 + (- 6)} & {-13 + (- 6)} {} & {- 1} & {- 7} & {-13} & {-19} end {array} )

إجابه:

التسلسل هو (5، -1، -7، -13، -19، dots )

تمرين ( PageIndex {3} )

اكتب أول خمسة حدود من المتتالية حيث يكون الحد الأول (7 ) والفرق المشترك هو (د = −4 ).

إجابه

(7،3 ، -1 ، -5 ، -9 ، نقاط )

تمرين ( PageIndex {4} )

اكتب الحدود الخمسة الأولى من المتتالية حيث يكون الحد الأول (11 ) والفرق المشترك هو (د = −8 ).

إجابه

(11،3، -5، -13، -21، نقاط )

ابحث عن المصطلح العام ( (n ) المصطلح) للتتابع الحسابي

مثلما وجدنا صيغة للحد العام من المتتالية ، يمكننا أيضًا إيجاد صيغة للمصطلح العام في المتتالية الحسابية.

لنكتب المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل حيث يكون المصطلح الأول (a_ {1} ) والفرق المشترك هو (d ). ثم سنبحث عن نمط.

عندما نبحث عن نمط نرى أن كل مصطلح يبدأ بـ (a_ {1} ).

يضيف المصطلح الأول (0d ) إلى (a_ {1} ) ، ويضيف المصطلح الثاني (1d ) ، ويضيف المصطلح الثالث (2d ) ، ويضيف المصطلح الرابع (3d ) ، ويضيف الفصل الخامس (4 د ). عدد (ds ) الذي تمت إضافته إلى (a_ {1} ) أقل بمقدار واحد من رقم المصطلح. هذا يقودنا إلى ما يلي

(أ_ {n} = أ_ {1} + (n-1) د )

التعريف ( PageIndex {2} )

المصطلح العام في المتتالية الحسابية مع المصطلح الأول (a_ {1} ) والفرق المشترك (d ) هو

(a_ {n} = أ_ {1} + (n-1) د )

سنستخدم هذه الصيغة في المثال التالي لإيجاد 15العاشر مصطلح التسلسل.

مثال ( PageIndex {3} )

أوجد الحد الخامس عشر من السلسلة حيث يكون الحد الأول (3 ) والفرق المشترك هو (6 ).

حل:

( start {array} {cc} { text {للبحث عن المصطلح الخامس عشر ،} a_ {15} text {، استخدم الصيغة مع} a_ {1} = 3 : text {and} : d = 6.} & {a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d} { text {استبدال القيم.}} & {a_ {15} = 3 + (15-1) 6} { text {Simplify.}} & {a_ {15} = 3 + (14) 6} {} & {a_ {15} = 87} end {array} )

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد الحد السابع والعشرين من المتتالية حيث الحد الأول هو (7 ) والفرق المشترك هو (9 ).

إجابه

(241)

تمرين ( PageIndex {6} )

أوجد الحد الثامن عشر من المتتالية حيث الحد الأول (13 ) والفرق المشترك هو (- 7 ).

إجابه

(-106)

في بعض الأحيان لا نعرف المصطلح الأول وعلينا استخدام المعلومات الأخرى المعطاة للعثور عليه قبل أن نجد المصطلح المطلوب.

مثال ( PageIndex {4} )

أوجد الحد الثاني عشر من المتوالية حيث الحد السابع هو (10 ​​) والفرق المشترك هو (- 2 ). اكتب صيغة المصطلح العام.

حل:

لإيجاد المصطلح الأول ، (a_ {1} ) ، استخدم الصيغة مع (a_ {7} = 10 ) ، (n = 7 ) ، و (d = −2 ). عوّض بالقيم. تبسيط.

(a_ {n} = أ_ {1} + (n-1) د )
(10 ​​= أ_ {1} + (7-1) (- 2) )
(10 ​​= أ_ {1} + (6) (- 2) )
(10 ​​= أ_ {1} -12 )
(أ_ {1} = 22 )

ابحث عن الحد الثاني عشر ، (a_ {12} ) ، باستخدام الصيغة مع (a_ {1} = 22 ) ، (n = 12 ) ، و (d = -2 ). تبسيط.

(أ_ {n} = أ_ {1} + (n-1) د )
(أ_ {12} = 22 + (12-1) (- 2) )
(أ_ {12} = 22 + (11) (- 2) )
(أ_ {12} = 0 )

الحد الثاني عشر من التسلسل هو (0، a_ {12} = 0 )

لإيجاد المصطلح العام ، استبدل القيم في الصيغة.

(أ_ {n} = أ_ {1} + (n-1) د )
(أ_ {n} = 22 + (س -1) (- 2) )
(أ_ {n} = 22-2 ن + 2 )

إجابه:
المصطلح العام هو (a_ {n} = - 2 n + 24 )

تمرين ( PageIndex {7} )

أوجد الحد الحادي عشر من المتوالية حيث الحد التاسع (8 ) والفرق المشترك هو (- 3 ). اكتب صيغة المصطلح العام.

إجابه

(a_ {11} = 2. ) المصطلح العام هو (a_ {n} = - 3 n + 35 )

تمرين ( PageIndex {8} )

أوجد الحد التاسع عشر من المتتالية حيث الحد الخامس (1 ) والفرق المشترك هو (- 4 ). أعط صيغة المصطلح العام.

إجابه

(a_ {19} = - 55. ) المصطلح العام هو (a_ {n} = - 4 n + 21 )

تقودنا المعلومات المعطاة أحيانًا إلى معادلتين في مجهولين. ثم نستخدم طرقنا لحل أنظمة المعادلات لإيجاد القيم المطلوبة.

مثال ( PageIndex {5} )

أوجد الحد الأول والاختلاف المشترك في تسلسل حيث الحد الخامس (19 ) والحد الحادي عشر (37 ). اكتب صيغة المصطلح العام.

حل:

بما أننا نعرف حدين ، يمكننا عمل نظام معادلات باستخدام صيغة المصطلح العام.

نحن نعلم قيمة (a_ {5} ) و (a_ {11} ) ، لذلك سنستخدم (n = 5 ) و (n = 11 ).

عوّض بالقيمين (a_ {5} = 19 ) و (a_ {11} = 37 ).
تبسيط.
استعد لحذف الحد (a_ {1} ) بضرب المعادلة العليا في (- 1 ).
أضف المعادلات.
استبدال (د = 3 ) بالعودة إلى المعادلة الأولى.
حل من أجل (a_ {1} ).
استخدم الصيغة مع (a_ {1} = 7 ) و (d = 3 ).
عوّض بالقيم.
تبسيط.
المصطلح الأول هو (a_ {1} = 7 ).
الفرق المشترك هو (د = 3 ).
المصطلح العام للتسلسل هو (a_ {n} = 3n + 4 ).
الجدول 12.2.1

إجابه:

المصطلح العام للتسلسل هو (a_ {n} = 3n + 4 ).

تمرين ( PageIndex {9} )

أوجد الحد الأول والاختلاف المشترك في تسلسل حيث الحد الرابع (17 ) والحد الثالث عشر هو (53 ). اكتب صيغة المصطلح العام.

إجابه

(a_ {1} = 5، d = 4. ) المصطلح العام هو (a_ {n} = 4 n + 1 ).

تمرين ( PageIndex {10} )

أوجد الحد الأول والاختلاف المشترك في تسلسل حيث الحد الثالث هو (2 ) والحد الثاني عشر (- 25 ). اكتب صيغة المصطلح العام.

إجابه

(a_ {1} = 8، d = -3. ) المصطلح العام (a_ {n} = - 3 n + 11 ).

ابحث عن مجموع (n ) شروط المتتابعة الحسابية

كما هو الحال مع المتتاليات العامة ، غالبًا ما يكون من المفيد إيجاد مجموع المتتالية الحسابية. تتم كتابة مجموع (S_ {n} ) المصطلحات (n ) الأولى لأي تسلسل حسابي على النحو التالي (S_ {n} = a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + ldots + a_ {n} ). يمكن أن يكون العثور على المجموع عن طريق إضافة كل المصطلحات أمرًا شاقًا. لذا يمكننا أيضًا تطوير صيغة لإيجاد مجموع متسلسلة باستخدام الحد الأول والأخير من المتسلسلة.

يمكننا تطوير هذه الصيغة الجديدة عن طريق كتابة المجموع أولاً بالبدء بالمصطلح الأول (a_ {1} ) ، والاستمرار في إضافة (d ) للحصول على المصطلح التالي على النحو التالي:

(S_ {n} = a_ {1} + left (a_ {1} + d right) + left (a_ {1} +2 d right) + ldots + a_ {n} ).

يمكننا أيضًا عكس ترتيب المصطلحات وكتابة المجموع بالبدء بـ (a_ {n} ) والاستمرار في طرح (d ) للحصول على المصطلح التالي

إذا أضفنا هذين التعبيرين لمجموع المصطلحات (n ) الأولى للتسلسل الحسابي ، فيمكننا اشتقاق صيغة لمجموع (n ) المصطلحات الأولى من أي سلسلة حسابية.

نظرًا لوجود (n ) مجاميع ((a_ {1} + a_ {n}) ) في الجانب الأيمن من المعادلة ، نعيد كتابة الجانب الأيمن كـ (n (a_ {1} + a_ { ن})).

(2 S_ {n} = n يسار (a_ {1} + a_ {n} يمين) )

نقسم على اثنين لإيجاد قيمة (S_ {n} ).

(S_ {n} = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) )

هذا يعطينا صيغة عامة لمجموع (n ) المصطلحات الأولى من المتتالية الحسابية.

التعريف ( PageIndex {3} )

مجموع (S_ {n} ) المصطلحات (n ) الأولى في التسلسل الحسابي هو

(S_ {n} = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) )

حيث (a_ {1} ) هو المصطلح الأول و (a_ {n} ) هو (n ) المصطلح رقم.

نطبق هذه الصيغة في المثال التالي حيث يتم إعطاء المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل.

مثال ( PageIndex {6} )

أوجد مجموع (30 ) حدود المتتالية الحسابية: (8 ، 13 ، 18 ، 23 ، 28 ، ... )

حل:

لإيجاد المجموع ، سنستخدم الصيغة (S_ {n} = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) ). نعلم (a_ {1} = 8 ، d = 5 ) و (n = 30 ) ، لكننا نحتاج إلى إيجاد (a_ {n} ) لاستخدام صيغة الجمع.

ابحث عن (a_ {n} ) حيث (a_ {1} = 8، d = 5 ) و (n = 30 ). تبسيط.

( start {align} a_ {n} & = a_ {1} + (n-1) d a_ {30} & = 8 + (30-1) 5 a_ {30} & = 8 + (29) 5 a_ {30} & = 153 end {align} )

مع معرفة (a_ {1} = 8 ، n = 30 ) ، و (a_ {30} = 153 ) ، استخدم صيغة الجمع. تبسيط. تبسيط.

( start {align} S_ {n} & = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) S_ {30} & = frac {30} { 2} (8 + 153) S_ {30} & = 15 (161) S_ {30} & = 2،415 end {align} )

تمرين ( PageIndex {11} )

أوجد مجموع (30 ) حدود المتتالية الحسابية: (5 ، 9 ، 13 ، 17 ، 21 ، ... )

إجابه

(1,890)

تمرين ( PageIndex {12} )

أوجد مجموع (30 ) حدود المتتالية الحسابية: (7 ، 10 ، 13 ، 16 ، 19 ، ... )

إجابه

(1,515)

في المثال التالي ، يُعطينا المصطلح العام للتسلسل ويطلب منا إيجاد مجموع المصطلحات (50 ) الأولى.

مثال ( PageIndex {7} )

أوجد مجموع (50 ) حدود المتتالية الحسابية التي يكون حدها العام (a_ {n} = 3n − 4 ).

حل:

لإيجاد المجموع ، سنستخدم الصيغة (S_ {n} = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) ). نحن نعلم (n = 50 ) ، لكننا بحاجة إلى إيجاد (a_ {1} ) و (a_ {n} ) لاستخدام صيغة الجمع.

ابحث عن (a_ {1} ) باستبدال (n = 1 ).
ابحث عن (a_ {n} ) باستبدال (n = 50 ).
تبسيط.
مع العلم بأن (n = 50، a_ {1} = - 1، ) و (a_ {50} = 146 ) استخدم صيغة الجمع.
عوّض بالقيم.
تبسيط.
تبسيط.
الجدول 12.2.2

تمرين ( PageIndex {13} )

أوجد مجموع (50 ) حدود المتتالية الحسابية التي يكون حدها العام (a_ {n} = 2n − 5 ).

إجابه

(2,300)

تمرين ( PageIndex {14} )

أوجد مجموع (50 ) حدود المتتالية الحسابية التي يكون حدها العام (a_ {n} = 4n + 3 ).

إجابه

(5,250)

في المثال التالي ، يتم إعطاء المجموع في التدوين التجميعي. ستكون إضافة جميع المصطلحات أمرًا شاقًا ، لذلك نقوم باستخراج المعلومات اللازمة لاستخدام الصيغة للعثور على مجموع المصطلحات (n ) الأولى.

مثال ( PageIndex {8} )

أوجد المجموع: ( sum_ {i = 1} ^ {25} (4 i + 7) ).

حل:

لإيجاد المجموع ، سنستخدم الصيغة (S_ {n} = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) ). نحن نعلم (n = 25 ) ، لكننا نحتاج إلى إيجاد (a_ {1} ) و (a_ {n} ) لاستخدام صيغة الجمع.

قم بتوسيع تدوين الجمع.
تبسيط.
حدد (a_ {1} ).
حدد (a_ {25} ).
مع العلم بأن (n = 25 ، a_ {1} = 11 ) ، و (a_ {25} = 107 ) استخدم صيغة الجمع.
عوّض بالقيم.
تبسيط.
تبسيط.
الجدول 12.2.3

تمرين ( PageIndex {15} )

أوجد المجموع: ( sum_ {i = 1} ^ {30} (6 i-4) ).

إجابه

(2,670)

تمرين ( PageIndex {16} )

أوجد المجموع: ( sum_ {i = 1} ^ {35} (5 i-3) ).

إجابه

(3,045)

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسة إضافية باستخدام المتواليات الحسابية

  • المتتاليات الحسابية
  • المتتاليات الحسابية: صيغة للمصطلح "العدد"
  • المتسلسلة الحسابية

المفاهيم الرئيسية

  • المصطلح العام ( (n ) المصطلح الرابع) للتتابع الحسابي
    المصطلح العام في المتتالية الحسابية المصطلح الأول (a_ {1} ) والفرق المشترك (d ) هو

    (a_ {n} = أ_ {1} + (n-1) د )

  • مجموع (n ) شروط المتتابعة الحسابية
    مجموع (S_ {n} ) ، أول (n ) مصطلحات متتابعة حسابية ، حيث (a_ {1} ) هو المصطلح الأول و (a_ {n} ) هو الحد (n ) هو

    (S_ {n} = frac {n} {2} left (a_ {1} + a_ {n} right) )

قائمة المصطلحات

تسلسل حسابي
التسلسل الحسابي هو تسلسل يكون فيه الفرق بين الحدود المتتالية ثابتًا.
الفرق المشترك
الفرق بين المصطلحات المتتالية في تسلسل حسابي ، (a_ {n} −a_ {n − 1} ) ، هو (d ) ، الفرق المشترك ، لـ (n ) أكبر من أو يساوي اثنين.

حاسبة التسلسل الحسابي

حاسبة التسلسل الحسابي هي حل عبر الإنترنت لحساب التقدم المستمر والحساب للفرق. تأخذ حاسبة الفروق الشائعة قيم الإدخال للتسلسل والاختلاف وتعرض لك النتائج الفعلية.

يحتوي التسلسل الحسابي أيضًا على علاقة بالمتوسط ​​الحسابي والأرقام المعنوية ، استخدم حاسبة المتوسطات الحسابية وحاسبة الأرقام المعنوية لمعرفة المزيد عن حساباتهم.

لمزيد من التفاصيل والتعلم المتعمق فيما يتعلق بآلة حاسبة الفرق المشتركة لدينا ، ابحث عن برنامج تعليمي كامل للتسلسل الحسابي


9.2 المتتاليات الحسابية والمجاميع الجزئية

9.2 المتتاليات الحسابية والمجاميع الجزئية

المتتاليات الحسابية - متتالية لها اختلاف مشترك بين مصطلحاتها المتتالية

أ- تعريف المتتاليات الحسابية:
يكون التسلسل حسابيًا إذا كانت الاختلافات بين المصطلحات المتتالية هي نفسها. إذن ، التسلسل

حسابي إذا كان هناك رقم d مثل ذلك

الرقم د هو الفرق المشترك في المتتالية الحسابية.

مثال 1: إعطاء التسلسل أن = 1 + (n - 1) 4 ، أوجد أول خمسة حدود من التسلسل والفرق المشترك:
أ2 = 1 + (2 - 1)4 = 1 + (1)(4) = 1 + 4 = 5
أ3 = 1 + (3 - 1)4 = 1 + (2)(4) = 1 + 8 = 9
أ4 = 1 + (4 - 1)4 = 1 + (3)(4) = 1 + 12 = 13
أ5 = 1 + (5 - 1)4 = 1 + (5)(4) = 1 + 20 = 21

9-5 = 13-9 = 21-13 = 4 = د

ب. الحد التاسع من المتتالية الحسابية: في العام الماضي تعلمتها على أنها

أن = أ1 + (ن - 1) د
توزيع د نحصل على: أن = أ1 + dn - d = dn + (a1 - د) لذلك دع & # 8217s تجعل c = (a1 - د) لذلك لدينا

حيث d هو الفرق المشترك بين المصطلحات المتتالية للتسلسل و c = a1 - د

مثال 2: اكتب أول خمسة حدود من المتتالية الحسابية ، وأوجد الفرق المشترك ، واكتب الحد النوني من المتتابعة كدالة في n.

أ1 = 200 ، أك + 1 = أك - 20
أ2 = أ1+1 = أ1 - 20 = 200 - 20 = 180
أ3 = أ2+1 = أ2 - 20 = 180 - 20 = 160
أ4 = أ3+1 = أ3 - 20 = 160 - 20 = 140
أ5 = أ4+1 = أ4 - 20 = 140 - 20 = 120
لذلك د = -20 و ج = أ1 - د = 200 - -20 = 220
لذلك أن = dn + c = -20n + 220

مثال 3: تم إعطاء أول حدين من المتواليات الحسابية. أوجد الحد المفقود.
أ1 = 3 ، أ2 = 13 ، أ9 = ____

د = 13 - 3 = 10
ج = أ1 - د = 3-10 = -7
لذلك أن = dn + c = 10n - 7

أ9 = 10 ن - 7 = 10 (9) - 7 = 90-7 = 83

مثال 4: ابحث عن صيغة لـن للتسلسل الحسابي:
أ1 = 15 ، د = 4

ج = أ1 - د = 15-4 = 11
لذلك أن = dn + c = 4n +11

مثال 5: أوجد صيغة للتسلسل الحسابي:
أ1 = -4 ، أ5 = 16

ربما لاحظت الآن أن ملفن = dn + c هي دالة خطية ، لذا فإن d هو ميل الخط ، لذا باستخدام هذا المفهوم لصيغة الميل & # 9653y / & # 9653x لدينا:

ج = أ1 - د = - 4-5 = -9
لذلك أن = dn + c = 5n - 9

ج- مجموع متتابعة حسابية منتهية

كان كارل فريدريش جاوس (1777 - 1855) يبلغ من العمر عشر سنوات ، وطلب منه معلمه إضافة جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى 100. تمكن غاوس من الإجابة على المعلم في غضون لحظات قليلة ، وقد اندهش المعلم. إليك كيف فعل ذلك:

1 + 2 + 3 + 4 + . + 97 + 98 + 99 + 100

لقد أخذ 1 + 100 = 101 ، 2 + 99 = 101 ، 3 + 98 = 101 لذلك أخذ 100/2 = 50 ، ثم 50 * 101 = 5050.

مجموع متتالية حسابية منتهية:
مجموع متتالية حسابية محدودة ذات عدد n من الحدود

مثال 6: أوجد المجموع الجزئي التاسع المشار إليه للتسلسل الحسابي:

الفرق المشترك هو -2 - -6 = 2 - -2 = 6-2 = 4
ج = أ1 - د = - 6 - 4 = -10
لذلك أن = dn + c = 4n - 10


مقدمة في المتتاليات والاحتمالات ونظرية العد

فائز اليانصيب لديه بعض القرارات المهمة التي يجب أن يتخذها بشأن ما يجب فعله بالمكاسب. شراء فيلا في سانت بارتيليمي؟ فاخرة مكشوفة؟ رحلة بحرية حول العالم؟

احتمالية الفوز باليانصيب ضئيلة ، لكننا جميعًا نحب أن نتخيل ما يمكننا شراؤه بالمكاسب. من أول الأشياء التي يجب على الفائز باليانصيب أن يقررها هو ما إذا كان سيأخذ المكاسب في شكل مبلغ مقطوع أو كسلسلة من الدفعات المنتظمة ، تسمى الأقساط السنوية ، على مدار الثلاثين عامًا القادمة أو نحو ذلك.

غالبًا ما يعتمد هذا القرار على العديد من العوامل ، مثل الآثار الضريبية وأسعار الفائدة واستراتيجيات الاستثمار. هناك أيضًا أسباب شخصية يجب مراعاتها عند اتخاذ القرار ، ويمكن للمرء أن يقدم العديد من الحجج لأي قرار. ومع ذلك ، فإن معظم الفائزين باليانصيب يختارون المبلغ المقطوع.

في هذا الفصل ، سوف نستكشف الرياضيات الكامنة وراء مثل هذه المواقف. سوف نلقي نظرة متعمقة على الأقساط السنوية. سننظر أيضًا في فرع الرياضيات الذي يسمح لنا بحساب عدد الطرق لاختيار أرقام اليانصيب واحتمال الفوز.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: جاي أبرامسون
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: College Algebra
    • تاريخ النشر: 13 فبراير 2015
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/college-algebra/pages/1-introduction-to-prerequisites
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/college-algebra/pages/9-introduction-to-sequences-probability-and-counting-theory

    © 12 كانون الثاني (يناير) 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    المتسلسلة الحسابية

    متسلسلة حسابية مجموع حدود المتتالية الحسابية. هو مجموع شروط المتتالية الحسابية. على سبيل المثال ، مجموع المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل المحدد بواسطة n = 2 n - 1 يتبع:

    S 5 = Σ n = 1 5 (2 n - 1) = [2 (1) - 1] + [2 (2) - 1] + [2 (3) - 1] + [2 (4) - 1] + [2 (5) - 1] = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

    إضافة 5 أعداد صحيحة فردية موجبة ، كما فعلنا أعلاه ، يمكن التحكم فيها. ومع ذلك ، ضع في اعتبارك إضافة أول 100 عدد صحيح فردي موجب. سيكون هذا مملاً للغاية. لذلك ، نطور بعد ذلك صيغة يمكن استخدامها لحساب مجموع الأول ن المصطلحات التي يُشار إليها بـ S n لأي متتالية حسابية. على العموم،

    S n = a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2 d) +… + a n

    كتابة هذه السلسلة في الاتجاه المعاكس لدينا ،

    S n = a n + (a n - d) + (a n - 2 d) +… + a 1

    وجمع هاتين المعادلتين معًا ، حيث تتضمن الحدود د أضف إلى الصفر ونحصل ن عوامل a 1 + a n:

    2 S n = (a 1 + a n) + (a 1 + a n) +… + (a n + a 1) 2 S n = n (a 1 + a n)

    قسمة كلا الجانبين على 2 يقودنا إلى صيغة نمجموع جزئي من متتالية حسابية مجموع الأول ن شروط متتالية حسابية معطاة بالصيغة: S n = n (a 1 + a n) 2. :

    استخدم هذه الصيغة لحساب مجموع أول 100 حد من التسلسل المحدد بواسطة n = 2 n - 1. هنا 1 = 1 و 100 = 199.

    100 S = 100 (أ 1 + أ 100) 2 = 100 (1 + 199) 2 = 10000

    مثال 5

    أوجد مجموع أول 50 حدًا من التسلسل المحدد: 4 ، 9 ، 14 ، 19 ، 24 ، ...

    حدد ما إذا كان هناك فرق مشترك بين المصطلحات المحددة أم لا.

    لاحظ أن الفرق بين أي حدين متتاليين هو 5. إن المتتالية هي بالفعل تقدم حسابي ويمكننا الكتابة

    أ ن = أ 1 + (ن - 1) د = 4 + (ن - 1) ⋅ 5 = 4 + 5 ن - 5 = 5 ن - 1

    لذلك ، فإن المصطلح العام هو أ ن = 5 ن - 1. لحساب المجموع الجزئي الخمسين لهذه المتتابعة ، نحتاج إلى الحد الأول والحد الخمسين:

    أ 1 = 4 أ 50 = 5 (50) - 1 = 249

    بعد ذلك ، استخدم الصيغة لتحديد المجموع الجزئي الخمسين للمتتالية الحسابية المحددة.

    S n = n (a 1 + a n) 2 S 50 = 50. (a 1 + a 50) 2 = 50 (4 + 249) 2 = 25 (253) = 6،325

    مثال 6

    احسب: Σ n = 1 35 (10 - 4 n).

    في هذه الحالة ، مطلوب منا إيجاد مجموع أول 35 حدًا من متتالية حسابية ذات حد عام أ ن = 10 - 4 ن. استخدم هذا لتحديد الحد الأول والخامس والثلاثين.

    أ 1 = 10-4 (1) = 6 أ 35 = 10-4 (35) = - 130

    بعد ذلك ، استخدم الصيغة لتحديد المجموع الجزئي الخامس والثلاثين.

    S n = n (a 1 + a n) 2 S 35 = 35 ⋅ (a 1 + a 35) 2 = 35 [6 + (- 130)] 2 = 35 (- 124) 2 = - 2170

    مثال 7

    الصف الأول للجلوس في مدرج خارجي يحتوي على 26 مقعدًا ، والصف الثاني يحتوي على 28 مقعدًا ، والصف الثالث يحتوي على 30 مقعدًا ، وهكذا. إذا كان هناك 18 صفًا ، فما هي سعة الجلوس الإجمالية للمسرح؟

    ابدأ بإيجاد صيغة توضح عدد المقاعد في أي صف. هنا يشكل عدد المقاعد في كل صف تسلسلاً:

    لاحظ أن الفرق بين أي حدين متتاليين هو 2. التسلسل هو تقدم حسابي حيث 1 = 26 و d = 2.

    أ ن = أ 1 + (ن - 1) د = 26 + (ن - 1) ⋅ 2 = 26 + 2 ن - 2 = 2 ن + 24

    لذلك ، فإن عدد المقاعد في كل صف مُعطى بـ n = 2 n + 24. لحساب سعة الجلوس الإجمالية للصفوف الـ18 ، نحتاج إلى حساب المجموع الجزئي الثامن عشر. للقيام بذلك ، نحتاج إلى المصطلحين الأول والثامن عشر:

    أ 1 = 26 أ 18 = 2 (18) + 24 = 60

    استخدم هذا لحساب المجموع الجزئي الثامن عشر على النحو التالي:

    S n = n (a 1 + a n) 2 S 18 = 18 ⋅ (a 1 + a 18) 2 = 18 (26 + 60) 2 = 9 (86) = 774

    الجواب: هناك 774 مقعدا في المجموع.

    جرب هذا! أوجد مجموع أول 60 حدًا من التسلسل المحدد: 5 ، 0 ، −5 ، −10 ، −15 ، ...

    الماخذ الرئيسية

    • المتتالية الحسابية هي عبارة عن تسلسل يكون فيه الفرق د بين المصطلحات المتتالية ثابت.
    • يمكن كتابة المصطلح العام للمتتالية الحسابية بدلالة حدها الأول 1 ، وهو الفرق المشترك د، والفهرس ن على النحو التالي: أ ن = أ 1 + (ن - 1) د.
    • المتسلسلة الحسابية هي مجموع شروط المتتالية الحسابية.
    • ال نيمكن حساب المجموع الجزئي لمتسلسلة حسابية باستخدام المصطلحين الأول والأخير على النحو التالي: S n = n (a 1 + a n) 2.

    تمارين الموضوع

    الجزء أ: المتتاليات الحسابية

    اكتب أول 5 حدود من المتتابعة الحسابية بمعلومية حدها الأول والاختلاف المشترك. ابحث عن صيغة لمصطلحها العام.


    المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

    المتتالية الحسابية هي سلسلة من الأرقام بحيث يكون الفرق بين أي عضوين متتاليين من المتسلسلة ثابتًا.

    2،4،6،8،10…. هو تسلسل حسابي مع وجود فرق مشترك 2.

    إذا كان الحد الأول من المتتالية الحسابية هو أ1 والفرق المشترك هو د، ثم نيُعطى المصطلح العاشر للتسلسل من خلال:

    المتسلسلة الحسابية هي مجموع المتتالية الحسابية. نوجد المجموع بجمع الأول أ1 والمدة الأخيرة ، أن، قسّم على 2 للحصول على متوسط ​​القيمتين ثم اضرب في عدد القيم ، n:

    أوجد مجموع المتسلسلة الحسابية التالية 1،2،3… ..99،100

    لدينا إجمالي 100 قيمة ، وبالتالي ن = 100. القيمة الأولى هي 1 والأخيرة هي 100. نعوض بهذه القيم في صيغتنا ونحصل على:


    9.2: المتتاليات الحسابية - الرياضيات

    المتتالية الحسابية هي سلسلة من الأرقام يكون فيها الفرق بين الحدود المتتالية ثابتًا.

    أهداف التعلم

    احسب الحد التاسع من المتتالية الحسابية ووصف خصائص المتتاليات الحسابية

    الماخذ الرئيسية

    النقاط الرئيسية

    • يعتمد سلوك المتوالية الحسابية على الاختلاف المشترك [لاتكس] د [/ لاتكس].
    • يمكن أن تكون المتتاليات الحسابية محدودة أو غير محدودة.

    الشروط الاساسية

    • تسلسل حسابي: قائمة مرتبة من الأرقام حيث يكون الفرق بين المصطلحات المتتالية ثابتًا.
    • لانهائي: بلا حدود ، لا نهاية لها ، بلا نهاية أو حدود لا حصر لها.

    التقدم الحسابي ، أو التسلسل الحسابي ، هو سلسلة من الأرقام بحيث يكون الفرق بين الحدود المتتالية ثابتًا. على سبيل المثال ، التسلسل [لاتكس] 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، cdots [/ لاتكس] هو تسلسل حسابي مع اختلاف مشترك بين [لاتكس] 2 [/ لاتكس].

    • [اللاتكس] a_1 [/ اللاتكس]: المصطلح الأول من التسلسل
    • [اللاتكس] d [/ اللاتكس]: الاختلاف المشترك بين المصطلحات المتعاقبة
    • [اللاتكس] a_n [/ اللاتكس]: المصطلح [اللاتكس] n [/ اللاتكس] من التسلسل

    يعتمد سلوك المتوالية الحسابية على الاختلاف المشترك [لاتكس] د [/ لاتكس].

    إذا كان الاختلاف المشترك ، [لاتكس] د [/ لاتكس] ، هو:

    • إيجابي ، سيتقدم التسلسل نحو اللانهاية ([اللاتكس] + اللانهاية [/ اللاتكس])
    • سلبي ، سيتراجع التسلسل نحو اللانهاية السالبة ([اللاتكس] - infty [/ اللاتكس])

    لاحظ أن المصطلح الأول في التسلسل يمكن اعتباره [اللاتكس] a_1 + 0 cdot d ، [/ latex] المصطلح الثاني يمكن اعتباره [latex] a_1 + 1 cdot d ، [/ latex] the يمكن اعتبار المصطلح الثالث [latex] a_1 + 2 cdot d، [/ latex] ولذا فإن المعادلة التالية تعطي [latex] a_n [/ latex]:

    [اللاتكس] a_n = a_1 + (n − 1) cdot d [/ اللاتكس]

    بالطبع ، يمكن للمرء دائمًا كتابة كل مصطلح حتى الحصول على المصطلح المطلوب - ولكن إذا كانت هناك حاجة إلى المصطلح الخمسين ، فقد يكون القيام بذلك مرهقًا.


    الحد الثاني والتاسع من المتتالية الحسابية هما 2 و 30 على التوالي. ما هو مصطلح الخمسين؟

    هذه سمة من سمات المتتالية الحسابية ، كل مصطلح مفصول بفارق مشترك:

    إذن ، الفصل الخامس:
    #a_ (50) = أ_2 + د (50-2) #

    تفسير:

    يتم إعطاء المصطلح التاسع للتسلسل الحسابي بواسطة:

    # bba # هو المصطلح الأول ، و # bbd # هو الفرق المشترك و # bbn # هو المصطلح nth.

    نحتاج إلى إيجاد # bba # و # bbd #.

    حل # [1] # و # [2] # في وقت واحد:

    سيكون الفصل الخمسون بالتالي:

    تفسير:

    # "الحد n من المتتالية الحسابية هو" #

    # • اللون (أبيض) (x) a_n = a + (n-1) d #

    # "حيث a هو المصطلح الأول و d الفرق المشترك" #

    # a_2 = أ + د = 2 إلى (1) #

    # a_9 = أ + 8 د = 30 إلى (2) #

    # (2) - (1) "يعطي" #

    # 7d = 28rArrd = 4 #

    # "بديل في" (1) a + 4 = 2rArra = -4 #

    #rArra_ (50) = - 2+ (49xx4) = - 2 + 196 = 194 #


    MathHelp.com

    ينتقل التسلسل الهندسي من حد إلى آخر عن طريق الضرب (أو القسمة) دائمًا بنفس القيمة. إذن 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16. هندسية ، لأن كل خطوة تتضاعف في اثنين و 81 ، 27 ، 9 ، 3 ، 1 ،. هندسية ، لأن كل خطوة تقسم على 3.

    يُطلق على العدد المضاعف (أو المقسم) في كل مرحلة من مراحل التسلسل الهندسي "النسبة المئوية & quot ص ، لأنك إذا قسمت (أي إذا وجدت نسبة) الحدود المتتالية ، فستحصل دائمًا على هذه القيمة المشتركة.

    أوجد الفرق المشترك والحد التالي من التسلسل التالي:

    لإيجاد الفرق المشترك ، يجب أن أطرح زوجًا متتاليًا من المصطلحات. لا يهم أي زوج أختار ، طالما أنهما بجوار بعضهما البعض. لأكون دقيقًا ، سأفعل جميع عمليات الطرح:

    يكون الاختلاف دائمًا 8 ، لذا فإن الاختلاف المشترك هو د = 8 .

    أعطوني خمسة حدود ، لذا فإن الحد السادس من المتتالية سيكون الحد التالي تمامًا. أجد الحد التالي عن طريق إضافة الفرق المشترك إلى الحد الخامس:

    أوجد النسبة المشتركة والحد السابع من التسلسل التالي:

    لإيجاد النسبة المشتركة ، يجب أن أقسم زوجًا متتاليًا من المصطلحات. لا يهم أي زوج أختار ، طالما أنهما بجوار بعضهما البعض. لأكون دقيقًا ، سأفعل كل الأقسام:

    النسبة دائمًا 3 ، لذلك ص = 3 .

    لقد أعطوني خمسة حدود ، لذا فإن الحد السادس هو الحد التالي تمامًا ، وسيكون الحد السابع هو المصطلح بعد ذلك. لإيجاد قيمة الحد السابع ، سأضرب الحد الخامس في النسبة العامة مرتين:

    نظرًا لأن المتتاليات الحسابية والهندسية لطيفة جدًا ومنتظمة ، فلديها صيغ.

    بالنسبة إلى المتتاليات الحسابية ، يكون الاختلاف الشائع هو د ، والمدة الأولى أ غالبًا ما يُشار إلى الرقم 1 ببساطة باسم & quotأ& مثل. نظرًا لأننا نحصل على الحد التالي عن طريق إضافة الفرق المشترك ، فإن قيمة أ 2 هو فقط:

    استمرار ، الفترة الثالثة هي:

    في كل مرحلة ، كان الفارق المشترك مضروبًا في قيمة أقل بمقدار واحد من الفهرس. باتباع هذا النمط ، فإن ن على المدى أن سيكون النموذج:

    بالنسبة للتتابعات الهندسية ، فإن النسبة الشائعة هي ص ، والمدة الأولى أ غالبًا ما يُشار إلى الرقم 1 ببساطة باسم & quotأ& مثل. نظرًا لأننا نحصل على الحد التالي عن طريق الضرب في النسبة المشتركة ، فإن قيمة أ 2 هو فقط:

    استمرار ، الفترة الثالثة هي:

    في كل مرحلة ، تم رفع النسبة المشتركة إلى قوة أقل بمقدار واحد من المؤشر. باتباع هذا النمط ، فإن ن على المدى أن سيكون النموذج:

    احفظ هذه ن الصيغ من الفصل الدراسي قبل الاختبار التالي.

    أوجد الحد العاشر و ن - الفصل الثالث من التسلسل التالي:

    أول شيء يجب أن أفعله هو معرفة أي نوع من التسلسل هو: حسابي أم هندسي. أرى بسرعة أن الاختلافات لا تتطابق على سبيل المثال ، الفرق بين المصطلحين الثاني والأول هو 2 & ndash 1 = 1 ، لكن الفرق بين المصطلحين الثالث والثاني هو 4 & ndash 2 = 2. إذن هذه ليست متتالية حسابية.

    من ناحية أخرى ، فإن نسب المصطلحات المتتالية هي نفسها:

    (لم أقم بالقسمة مع المصطلح الأول ، لأن ذلك يتضمن الكسور وأنا كسول. ومع ذلك ، فإن القسمة ستعطي نفس النتيجة بالضبط).

    من الواضح أن هذا متتالية هندسية ذات نسبة مشتركة ص = 2 ، والحد الأول هو أ =. لتجد ال ن على المدى ، يمكنني فقط إدخال الصيغة أن = أر ( ن & ndash 1):

    لإيجاد قيمة الحد العاشر ، يمكنني التعويض ن = 10 في ن صيغة المصطلح الثالث وتبسيطها:

    أعثر على ن الحد -th وأول ثلاثة مصطلحات من المتتالية الحسابية لها أ 6 = 5 و د =

    ال ن - الحد الثالث من المتتالية الحسابية من الشكل أن = أ + (ن & ndash 1)د . في هذه الحالة ، تعطيني هذه الصيغة. أحصل على حل هذه الصيغة لقيمة الحد الأول من المتتالية أ =. ثم:

    هذا يعطيني أول ثلاثة حدود في المتتابعة. نظرًا لأن لدي قيمة الحد الأول والفرق المشترك ، يمكنني أيضًا إنشاء التعبير الخاص بـ ن - المصطلح ، وتبسيطه:

    أعثر على ن الحد -th وأول ثلاثة مصطلحات من المتتالية الحسابية لها أ 4 = 93 و أ 8 = 65 .

    حيث أ 4 و أ 8 هي أربعة أماكن متباعدة ، ثم أعرف من تعريف المتتالية الحسابية التي سأحصل عليها من الحد الرابع إلى الحد الثامن عن طريق إضافة الفرق المشترك أربع مرات إلى الحد الرابع بعبارة أخرى ، التعريف يخبرني بذلك أ 8 = أ 4 + 4د . باستخدام هذا ، يمكنني بعد ذلك إيجاد الفرق المشترك د :

    أعلم أيضًا أن الحد الرابع يتعلق بالمصطلح الأول بالصيغة أ 4 = أ + (4 و - 1)د ، لذلك ، باستخدام القيمة التي وجدتها للتو د ، يمكنني إيجاد قيمة المصطلح الأول أ :

    الآن بعد أن حصلت على قيمة الحد الأول وقيمة الفرق المشترك ، يمكنني plug-n-chug لإيجاد قيم المصطلحات الثلاثة الأولى والصيغة العامة لـ ن - الفصل الثالث:


    في التسلسل نحن بحاجة إلى إيجاد الاختلافات.

    . ثم ابحث عن الاختلافات أولئك (اتصل الاختلافات الثانية)، مثله:

    ال الاختلافات الثانية في هذه الحالة هي 1.

    مع الفروق الثانية نضرب في ن 2 2

    الفرق في حالتنا هو 1 ، لذلك دعونا نجرب فقط ن 2 2 :

    ن: 1 2 3 4 5
    شروط (xن): 1 2 4 7 11
    ن 2 2 : 0.5 2 4.5 8 12.5
    خطأ من قبل: 0.5 0 -0.5 -1 -1.5

    نحن قريبون ، ولكن يبدو أننا ننجرف بمقدار 0.5 ، لذلك دعونا نجرب: ن 2 2ن2

    ن 2 2ن2 0 1 3 6 10
    خطأ من قبل: 1 1 1 1 1

    خطأ بنسبة 1 الآن ، لذا دعونا نضيف 1:

    ن 2 2ن2 + 1 1 2 4 7 11
    خطأ من قبل: 0 0 0 0 0

    الصيغة ن 2 2ن2 + 1 يمكن تبسيطها إلى ن (ن -1) / 2 + 1

    لذلك من خلال "التجربة والخطأ" اكتشفنا قاعدة تعمل:

    التسلسل: 1 ، 2 ، 4 ، 7 ، 11 ، 16 ، 22 ، 29, 37, .


    شاهد الفيديو: الرياضيات:المتتاليات العددية الهندسية و الحسابية الرتابة درس + تطبيقات الجزء - 1 - part (ديسمبر 2021).