مقالات

7.7: أنظمة القياس (الجزء الثاني) - الرياضيات


استخدم وحدات القياس المختلطة في النظام المتري

يتطلب إجراء العمليات الحسابية على القياسات باستخدام وحدات القياس المختلطة في النظام المتري نفس العناية التي استخدمناها في الولايات المتحدة ، ولكن قد يكون ذلك أسهل بسبب علاقة الوحدات بقوى 10. لا يزال يتعين علينا التأكد من الجمع أو الطرح مثل الوحدات.

مثال ( PageIndex {10} ):

يبلغ ارتفاع ريلاند 1.6 متر. يبلغ طول شقيقه الأصغر 85 سم. كم يبلغ طول ريلاند من أخيه الأصغر؟

حل

سنطرح الأطوال بالمتر. حوّل 85 سنتيمترًا إلى متر بتحريك العلامة العشرية 2 إلى اليسار ؛ 85 سم يساوي 0.85 م.

الآن بعد أن تم قياس كلا القياسين بالأمتار ، اطرح لمعرفة كم يبلغ طول ريلاند أطول من أخيه.

[ start {split} 1.60 ؛ & م - ؛ 0.85 ؛ & م خط 0.75 ؛ & م نهاية {تقسيم} ]

يبلغ طول ريلاند 0.75 مترًا أطول من أخيه.

التمرين ( PageIndex {19} ):

يبلغ ارتفاع مارييلا 1.58 مترًا. يبلغ طول ابنتها 75 سم. كم يبلغ طول مارييلا من ابنتها؟ اكتب الإجابة بالسنتيمتر.

إجابه

83 سم

التمرين ( PageIndex {20} ):

يبلغ ارتفاع السياج المحيط بساحة هانك مترين. طول هانك 96 سم. كم أقصر من السياج هانك؟ اكتب الإجابة بالأمتار.

إجابه

1.04 م

مثال ( PageIndex {11} ):

تتطلب وصفة دينا لحساء العدس 150 مليلترًا من زيت الزيتون. تريد دينا مضاعفة الوصفة ثلاث مرات. كم لتر من زيت الزيتون ستحتاج؟

حل

سنجد كمية زيت الزيتون بالملليلتر ثم نحولها إلى لتر.

ترجمة للجبر.3 • 150 مل
تتضاعف.450 مل
حول إلى لتر.450 دولارًا أمريكيًا ؛ مل ؛ cdot dfrac {0.001 ؛ L} {1 ؛ mL} $$
تبسيط.0.45 لتر

تحتاج دينا إلى 0.45 لتر من زيت الزيتون.

التمرين ( PageIndex {21} ):

وصفة لصلصة ألفريدو تتطلب 250 مل من الحليب. تصنع ريناتا المعكرونة بصلصة ألفريدو لحفلة كبيرة وتحتاج إلى مضاعفة كميات الوصفة في 8. كم لتر من الحليب ستحتاج؟

إجابه

2 لتر

التمرين ( PageIndex {22} ):

لصنع مقلاة واحدة من البقلاوة ، تحتاج دوروثيا إلى 400 جرام من عجينة الفيلو. إذا كانت دوروثيا تخطط لعمل 6 أواني من البقلاوة ، فكم عدد الكيلوجرامات من معجنات الفيلو التي ستحتاجها؟

إجابه

2.4 كجم

التحويل بين أنظمة القياس الأمريكية والمتري

يتم إجراء العديد من القياسات في الولايات المتحدة بالوحدات المترية. قد يأتي المشروب في زجاجات سعة 2 لتر ، وقد يأتي الكالسيوم في كبسولات 500 ملغ ، وقد نجري سباق 5-K. للعمل بسهولة في كلا النظامين ، نحتاج إلى أن نكون قادرين على التحويل بين النظامين. يعرض الجدول ( PageIndex {3} ) بعض التحويلات الأكثر شيوعًا.

جدول ( PageIndex {3} )
عوامل التحويل بين الولايات المتحدة والأنظمة المترية
طولوزنمقدار

1 بوصة = 2.54 سم

1 قدم = 0.305 م

1 ياردة = 0.914 م

1 ميل = 1.61 كم

1 رطل = 0.45 كجم

1 أوقية = 28 جم

1 كيو تي = 0.95 لتر

1 أونصة سائلة = 30 مل

1 م = 3.28 قدم1 كجم = 2.2 رطل1 لتر = 1.06 كوارت

نجري تحويلات بين الأنظمة تمامًا كما نفعل داخل الأنظمة - عن طريق الضرب في عوامل تحويل الوحدات.

مثال ( PageIndex {12} ):

تحتوي زجاجة ماء لي على 500 مل من الماء. كم عدد أوقية السوائل في الزجاجة؟ قرّب لأقرب جزء من عُشر أونصة.

حل

اضرب بمعامل تحويل الوحدة المتعلق بالمل والأوقية.$ 500 ؛ مل ؛ cdot dfrac {1 ؛ فلوريدا ؛ oz} {30 ؛ mL} tag {7.5.29} $$
تبسيط.$$ dfrac {500 ؛ فلوريدا ؛ oz} {30} tag {7.5.30} $$
يقسم.16.7 فلوريدا. أوقية

تحتوي زجاجة الماء على 16.7 أونصة سائلة.

التمرين ( PageIndex {23} ):

كم لتر من الصودا في زجاجة 2 لتر؟

إجابه

2.12 كوارت

التمرين ( PageIndex {24} ):

كم لتر في 4 ليترات من الحليب؟

إجابه

3.8 لتر

عوامل التحويل في Table ( PageIndex {3} ) ليست دقيقة ، لكن التقديرات التقريبية التي تقدمها قريبة بما يكفي للأغراض اليومية. في المثال ( PageIndex {12} ) ، قمنا بتقريب عدد أونصات السوائل لأقرب جزء من عشرة.

مثال ( PageIndex {13} ):

تعيش سولي في مينيسوتا لكنها تسافر غالبًا للعمل في كندا. أثناء القيادة على طريق سريع كندي ، مرت بإشارة تقول أن محطة الراحة التالية ستكون على بعد 100 كيلومتر. كم ميلا حتى توقف الراحة التالية؟ قرب إجابتك لأقرب ميل.

حل

اضرب في معامل تحويل الوحدات المتعلق بالكيلومترات والأميال.$ 100 ؛ كيلومترات cdot dfrac {1 ؛ ميل} {1.61 ؛ كيلومترات} tag {7.5.31} $$
تبسيط.$$ 100 cdot dfrac {1 ؛ ميل} {1.61 ؛ km} tag {7.5.32} $$
يقسم.62 ميل

إنه على بعد حوالى 62 ميلا من محطة الراحة التالية.

التمرين ( PageIndex {25} ):

يبلغ ارتفاع جبل كليمنجارو 5895 مترا. تحويل الارتفاع إلى قدم. قرّب لأقرب قدم.

إجابه

19328 قدمًا

التمرين ( PageIndex {26} ):

مسافة الطيران من مدينة نيويورك إلى لندن هي 5،586 كيلومتر. حول المسافة إلى أميال. قرّب لأقرب ميل.

إجابه

3،470 ميل

التحويل بين درجات حرارة فهرنهايت ودرجات حرارة مئوية

هل سبق لك أن زرت بلدًا أجنبيًا وسمعت توقعات الطقس؟ إذا كانت التوقعات 22 درجة مئوية. ماذا يعني ذلك؟

تستخدم الولايات المتحدة والأنظمة المترية مقاييس مختلفة لقياس درجة الحرارة. يستخدم نظام الولايات المتحدة درجات فهرنهايت ، مكتوبة درجة فهرنهايت. يستخدم النظام المتري درجات مئوية ، مكتوبة درجة مئوية. يوضح الشكل ( PageIndex {5} ) العلاقة بين النظامين.

الشكل ( PageIndex {5} ) - درجة حرارة 37 درجة مئوية تعادل 98.6 درجة فهرنهايت.

إذا عرفنا درجة الحرارة في نظام واحد ، فيمكننا استخدام صيغة لتحويلها إلى النظام الآخر.

التعريف: تحويل درجة الحرارة

للتحويل من درجة حرارة فهرنهايت ، F ، إلى درجة حرارة مئوية ، C ، استخدم الصيغة

[C = dfrac {5} {9} (F - 32) tag {7.5.33} ]

للتحويل من درجة حرارة مئوية ، C ، إلى درجة حرارة فهرنهايت ، F ، استخدم الصيغة

[F = dfrac {9} {5} C + 32 tag {7.5.34} ]

مثال ( PageIndex {14} ):

حول 50 درجة فهرنهايت إلى درجات مئوية.

حل

سنعوض بـ 50 درجة فهرنهايت في الصيغة لإيجاد C.

استخدم معادلة التحويل من درجة فهرنهايت إلى درجات مئوية$$ C = dfrac {5} {9} (إناث - 32) tag {7.5.35} $$
استبدل ( textcolor {red} {50} ) بـ F.$$ C = dfrac {5} {9} ( textcolor {red} {50} - 32) tag {7.5.36} $$
بسّط بين قوسين.$$ C = dfrac {5} {9} (18) tag {7.5.37} $$
تتضاعف.$$ C = 10 علامة {7.5.38} $$

درجة حرارة 50 درجة فهرنهايت تعادل 10 درجات مئوية.

التمرين ( PageIndex {27} ):

حول درجات حرارة فهرنهايت إلى درجات مئوية: 59 درجة فهرنهايت.

إجابه

15 درجة مئوية

التمرين ( PageIndex {28} ):

حول درجات حرارة فهرنهايت إلى درجات مئوية: 41 درجة فهرنهايت.

إجابه

5 درجات مئوية

مثال ( PageIndex {15} ):

توقعات الطقس لباريس تتنبأ بارتفاع 20 درجة مئوية. حول درجة الحرارة إلى درجات فهرنهايت.

حل

سنعوض بـ 20 ° C في الصيغة لإيجاد F.

استخدم معادلة التحويل من درجة فهرنهايت إلى درجات مئوية$$ F = dfrac {9} {5} C + 32 tag {7.5.39} $$
استبدل ( textcolor {red} {20} )$$ F = dfrac {9} {5} ( textcolor {red} {20}) + 32 tag {7.5.40} $$
تتضاعف.$$ F = 36 + 32 tag {7.5.41} $$
يضيف.$$ F = 68 علامة {7.5.42} $$

لذا فإن 20 درجة مئوية تعادل 68 درجة فهرنهايت.

التمرين ( PageIndex {29} ):

تحويل درجات الحرارة المئوية إلى درجات فهرنهايت: كانت درجة الحرارة في هلسنكي ، فنلندا 15 درجة مئوية.

إجابه

59 درجة فهرنهايت

التمرين ( PageIndex {30} ):

تحويل درجات الحرارة المئوية إلى درجات فهرنهايت: كانت درجة الحرارة في سيدني ، أستراليا 10 درجات مئوية.

إجابه

50 درجة فهرنهايت

مع التدريب يأتي الإتقان

قم بإجراء تحويلات الوحدة في نظام الولايات المتحدة

في التدريبات التالية ، قم بتحويل الوحدات.

  1. يبلغ طول مقعد الحديقة 6 أقدام. حول الطول إلى بوصة.
  2. يبلغ عرض بلاط الأرضية 2 قدم. تحويل العرض إلى بوصة.
  3. طول الشريط 18 بوصة. حول الطول إلى أقدام.
  4. يبلغ طول كارسون 45 بوصة. حول طوله إلى قدم.
  5. يبلغ طول جون 6 أقدام و 4 بوصات. حول طوله إلى بوصة.
  6. يبلغ طول فاي 4 أقدام و 10 بوصات. حول طولها إلى بوصة.
  7. يبلغ عرض ملعب كرة القدم 160 قدمًا. تحويل العرض إلى ياردة.
  8. على ماسة البيسبول ، تبلغ المسافة من لوحة المنزل إلى القاعدة الأولى 30 ياردة. حول المسافة إلى أقدام.
  9. يعيش أوليسيس على بعد 1.5 ميل من المدرسة. حول المسافة إلى أقدام.
  10. دنفر ، كولورادو ، على ارتفاع 5183 قدمًا فوق مستوى سطح البحر. تحويل الارتفاع إلى أميال.
  11. يزن الحوت القاتل 4.6 طن. تحويل الوزن إلى أرطال.
  12. يمكن أن يصل وزن الحيتان الزرقاء إلى 150 طنًا. تحويل الوزن إلى أرطال.
  13. تزن الحافلة الفارغة 35 ألف جنيه. حول الوزن إلى طن.
  14. تزن الطائرة عند الإقلاع 220 ألف رطل. حول الوزن إلى طن.
  15. استغرقت رحلة ماي فلاور شهرين و 5 أيام. تحويل الوقت إلى أيام.
  16. استغرقت رحلة لين البحرية 6 أيام و 18 ساعة. تحويل الوقت إلى ساعات.
  17. انتظر روكو (1 dfrac {1} {2} ) ساعة لموعده. حول الوقت إلى ثوان.
  18. استمرت جراحة ميستي (2 dfrac {1} {4} ) ساعة. حول الوقت إلى ثوان.
  19. كم ملعقة شاي في نصف لتر؟
  20. كم ملاعق كبيرة في الجالون؟
  21. تزن قطة JJ ، Posy ، 14 رطلاً. حول وزنها إلى أوقية.
  22. يزن كلب نيسان (أبريل) ، الفول ، 8 أرطال. حول وزنه إلى أوقية.
  23. كان وزن الطفل بريستون 7 أرطال و 3 أونصات عند الولادة. حول وزنه إلى أوقية.
  24. كان وزن الطفل أودري 6 أرطال 15 أوقية عند الولادة. حول وزنها إلى أوقية.
  25. ستقدم كريستا 20 كوبًا من العصير في حفل ابنها. حول الحجم إلى جالون.
  26. يحتاج لانس إلى 500 كوب من الماء للعدائين في السباق. حول الحجم إلى جالون.

استخدم وحدات القياس المختلطة في نظام الولايات المتحدة

في التمارين التالية ، حل واكتب إجابتك بوحدات مختلطة.

  1. اصطاد إيلي ثلاث سمكات. كانت أوزان السمكة 2 رطل و 4 أوقية و 1 رطل 11 أوقية و 4 أرطال و 14 أوقية. ما هو الوزن الإجمالي للأسماك الثلاثة؟
  2. اشترت جودي 1 باوند و 6 أونصات من اللوز و 2 باوند و 3 أونصات من الجوز و 8 أونصات من الكاجو. ما هو الوزن الإجمالي للمكسرات؟
  3. ذات يوم ، تتبعت أنيا عدد الدقائق التي قضتها في القيادة. سجلت رحلات 45 و 10 و 8 و 65 و 20 و 35 دقيقة. كم من الوقت (بالساعات والدقائق) أمضته أنيا في القيادة؟
  4. ذهب إريك العام الماضي في 6 رحلات عمل. كان عدد أيام كل منها 5 و 2 و 8 و 12 و 6 و 3. ما مقدار الوقت (بالأسابيع والأيام) الذي أمضاه إريك في رحلات العمل العام الماضي؟
  5. قامت رينيه بتوصيل سلك تمديد بطول 6 أقدام و 6 بوصات بسلك طاقة الكمبيوتر الذي يبلغ طوله 3 أقدام و 8 بوصات. ما هو الطول الإجمالي للأسلاك؟
  6. يبلغ طول سيارة فوزي الرياضية متعددة الاستخدامات 6 أقدام و 4 بوصات. إذا وضع صندوقًا بطول 2 قدم و 10 بوصات فوق سيارته الرياضية متعددة الاستخدامات ، فما هو الارتفاع الإجمالي للسيارة الرياضية متعددة الاستخدامات والصندوق؟
  7. يريد ليلاني صنع 8 مفارش. تحتاج إلى 18 بوصة من القماش لكل مفرش. كم عدد ياردات القماش التي ستحتاجها للمفارش الثمانية؟
  8. تحتاج ميراي إلى قص 24 بوصة من الشريط لكل فتاة من 12 فتاة في فصل الرقص. كم عدد الياردات من الشريط التي ستحتاجها تمامًا؟

إجراء تحويلات الوحدة في النظام المتري

في التدريبات التالية ، قم بتحويل الوحدات.

  1. ركض غالب 5 كيلومترات. تحويل الطول إلى متر.
  2. مشى كيتاكا 8 كيلومترات. حول الطول إلى متر.
  3. طول إستريلا 1.55 متر. حول طولها إلى سنتيمترات.
  4. عرض حوض الخوض 2.45 متر. حول العرض إلى سنتيمترات.
  5. يبلغ ارتفاع جبل ويتني 3072 مترا. حول الارتفاع إلى كيلومترات.
  6. يبلغ عمق خندق ماريانا 10911 مترًا. حول العمق إلى كيلومترات.
  7. تحتوي الفيتامينات المتعددة لشهر يونيو على 1500 ملليغرام من الكالسيوم. حول هذا إلى غرام.
  8. يبلغ وزن الطائر الطنان النموذجي الياقوتي الأحمر 3 جرام. حول هذا إلى ملليغرام.
  9. قطعة واحدة من الزبدة تحتوي على 91.6 جرام من الدهون. حول هذا إلى ملليغرام.
  10. حصة واحدة من الآيس كريم الفاخر تحتوي على 25 جرامًا من الدهون. حول هذا إلى ملليغرام.
  11. الحد الأقصى لكتلة البريد الجوي هو 2 كجم. حول هذا إلى غرام.
  12. كانت ابنة ديميتري تزن 3.8 كيلوجرام عند الولادة. حول هذا إلى غرام.
  13. زجاجة من النبيذ تحتوي على 750 ملليلتر. حول هذا إلى لتر.
  14. زجاجة من الدواء تحتوي على 300 ملليلتر. حول هذا إلى لتر.

استخدم وحدات القياس المختلطة في النظام المتري

في التمارين التالية ، حل واكتب إجابتك بوحدات مختلطة.

  1. ماتياس بطول 1.8 متر. يبلغ طول ابنه 89 سم. كم يبلغ طول ماتياس من ابنه بالسنتيمتر؟
  2. يبلغ طول ستافروس 1.6 متر. يبلغ طول أخته 95 سم. كم يبلغ طول ستافروس بالسنتيمتر من أخته؟
  3. تزن الحمامة النموذجية 345 جرامًا. تزن البطة النموذجية 1.2 كجم. ما الفرق بالجرام بين أوزان البطة والحمامة؟
  4. كان لدى كونسيتا كيس دقيق وزنه 2 كيلوغرام. استخدمت 180 جرامًا من الدقيق لصنع البسكوتي. كم كيلوجرام من الدقيق المتبقي في الكيس؟
  5. أرسل هاري 5 عبوات تزن كل منها 420 جرامًا. ما هو الوزن الإجمالي للحزم بالكيلوجرام؟
  6. كوب واحد من عصير البرتقال يوفر 560 ملليغرام من البوتاسيوم. تشرب ليندا كوبًا واحدًا من عصير البرتقال كل صباح. كم غرامًا من البوتاسيوم تحصل عليه ليندا من عصير البرتقال في 30 يومًا؟
  7. يشرب جوناس 200 مل من الماء 8 مرات في اليوم. كم لترًا من الماء يشربه جوناس في اليوم؟
  8. توفر حصة واحدة من خبز شطائر الحبوب الكاملة 6 جرامات من البروتين. كم عدد مليغرامات البروتين التي يتم توفيرها في 7 حصص من خبز شطائر الحبوب الكاملة؟

التحويل بين الولايات المتحدة والأنظمة المترية

في التدريبات التالية ، قم بإجراء تحويلات الوحدة. جولة إلى أقرب عشر.

  1. يبلغ طول بيل 75 بوصة. حول ارتفاعه إلى سنتيمترات.
  2. يبلغ طول فرانكي 42 بوصة. حول ارتفاعه إلى سنتيمترات.
  3. مر ماركوس كرة قدم 24 ياردة. تحويل طول التمريرة إلى متر.
  4. اشترت كوني 9 ياردات من القماش لصنع الستائر. قم بتحويل طول القماش إلى أمتار.
  5. يرمي كل أمريكي ما معدله 1650 رطلاً من القمامة سنويًا. حول هذا الوزن إلى كيلوجرام.
  6. سيرمي الأمريكي العادي 90 ألف رطل من القمامة طوال حياته. حول هذا الوزن إلى كيلوجرام.
  7. يبلغ طول الجري لمسافة 5 كيلومترات 5 كيلومترات. حول هذا الطول إلى أميال.
  8. يبلغ ارتفاع كاثرين 1.6 متر. حول طولها إلى قدم.
  9. كانت حقيبة داون تزن 20 كجم. تحويل الوزن إلى أرطال.
  10. تزن حقيبة ظهر جاكسون 15 كجم. تحويل الوزن إلى أرطال.
  11. وضع أوزي 14 جالونًا من الغاز في شاحنته. حول الحجم إلى لتر.
  12. اشترى برنارد 8 جالونات من الطلاء. حول الحجم إلى لتر.

التحويل بين درجة فهرنهايت ودرجة مئوية

في التمارين التالية ، قم بتحويل درجة حرارة الفهرنهايت إلى درجات مئوية. جولة إلى أقرب عشر.

  1. 86 درجة فهرنهايت
  2. 77 درجة فهرنهايت
  3. 104 درجة فهرنهايت
  4. 14 درجة فهرنهايت
  5. 72 درجة فهرنهايت
  6. 4 درجة فهرنهايت
  7. 0 درجة فهرنهايت
  8. 120 درجة فهرنهايت

في التمارين التالية ، قم بتحويل درجات الحرارة المئوية إلى درجات فهرنهايت. جولة إلى أقرب عشر.

  1. 5 درجات مئوية
  2. 25 درجة مئوية
  3. −10 درجة مئوية
  4. −15 درجة مئوية
  5. 22 درجة مئوية
  6. 8 درجة مئوية
  7. 43 درجة مئوية
  8. 16 درجة مئوية

الرياضيات اليومية

  1. تغذية يشرب جوليان علبة صودا واحدة كل يوم. تحتوي كل علبة صودا على 40 جرامًا من السكر. كم كيلو جرام من السكر يحصل عليه جوليان من الصودا في سنة واحدة؟
  2. عاكسات تتباعد العاكسات في كل شريط تعليم حارة على طريق سريع مسافة 16 ياردة. كم عدد العاكسات اللازمة لامتداد ميل واحد من الطريق السريع؟

تمارين الكتابة

  1. يعتقد بعض الناس أن 65 درجة إلى 75 درجة فهرنهايت هي النطاق المثالي لدرجة الحرارة.
    1. ما هو نطاق درجة الحرارة المثالي؟ لماذا تظن ذلك؟
    2. قم بتحويل درجات الحرارة المثالية من فهرنهايت إلى درجة مئوية.
  2. (أ) هل نشأت باستخدام نظام القياس المتعارف عليه في الولايات المتحدة أو النظام المتري؟ (ب) صف مثالين في حياتك عندما كان عليك التحويل بين أنظمة القياس. (ج) ما هو النظام الذي تعتقد أنه أسهل في الاستخدام؟ يشرح.

الاختيار الذاتي

(أ) بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

(ب) بشكل عام ، بعد الاطلاع على قائمة المراجعة ، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للفصل التالي؟ لما و لما لا؟


أفكار سبارطان

إذن هذه هي الدفعة الأخيرة من سلسلة & # 8220On القياس الكمي & # 8221. ربما وصلت إلى هنا من خلال قراءة جميع الأجزاء السابقة في جلسة واحدة (لقد سمعت عن مثل هذه المآثر في التعليقات). هذا هو التأليه: ما تستعد له كل هذه المنشورات. إذا كنت قد وصلت إلى هنا ، لسبب لا يعرفه سوى الإنترنت ، دون الاستفادة من الأقساط الستة الأولى ، فسأزودك برابط الدفعة الأولى ، لكنني ربحت & # 8217t ألخص جميع المنشورات ، من الاحترام لجميع القراء الذين وصلوا إلى هنا بالطريقة التقليدية.

إن تفسير كوبنهاجن لميكانيكا الكم ، كما كنت متأكدًا من أنكم جميعًا الذين وصلوا إلى الجزء السابع على دراية ، هو وجهة نظر لمعنى ميكانيكا الكم نشرها في الغالب الفيزيائي الدنماركي نيلز بور ، وتم تدوينها في عشرينيات القرن الماضي هي & # 8220heydays & # 8221 لفيزياء الكم. يمكن أن تكون ميكانيكا الكم محيرة بالتأكيد ، وهناك محاولات متعددة لمواءمة ما نلاحظه تجريبياً مع الفطرة السليمة. يعتبر تفسير كوبنهاجن وجهة نظر متطرفة (في رأيي) لكيفية فهم انعكاس العالم الكمي في أجهزة القياس الكلاسيكية لدينا. لذلك ، في جوهره ، يتأمل تفسير كوبنهاجن في العلاقة بين الكلاسيكي وعالم الكم.

عندما كنت طالبًا صغيرًا في ميكانيكا الكم في أوائل الثمانينيات ، شعرت بالحيرة تجاه هذا الأمر على الفور.عندما تكون الفيزياء الأساسية الحقيقية هي الكم (تأملت) ، وبالتالي فإن العالم الكلاسيكي هو مجرد تقريب للكم ، فكيف يمكننا الحصول على & # 8220 النظريات & # 8221 التي تقنن العلاقة بين الكم والأنظمة الكلاسيكية؟

ربحت & # 8217t أكتب هنا أطروحة حول تفسير كوبنهاجن. لقد قمت بالفعل بربط مقالة Wikipedia حول هذا الموضوع ، والتي يجب أن تجعل أولئك منكم الذين لم يئنوا من السرعة. أنا & # 8217ll فقط أدرج اثنين من العناصر المركزية & # 8220 & # 8221 التي يتم تدريسها في كل مكان يتم فيه تدريس ميكانيكا الكم ، ويمكن تتبع ذلك بشكل مباشر إلى مدرسة Bohr & # 8217s.

1. ليس للأنظمة الفيزيائية خصائص محددة قبل قياسها ، ولكن بدلاً من ذلك يجب وصفها بمجموعة من الاحتمالات
2. يغير فعل القياس النظام الكمي ، بحيث يأخذ واحدًا فقط من الاحتمالات السابقة (انهيار دالة الموجة ، أو تقليلها)

نعم ، الفهم العام لتفسير كوبنهاجن متعدد الأوجه ، لكن لغرض هذا المنشور سأركز على انهيار دالة الموجة. عندما فهمت تمامًا ما يعنيه ذلك لأول مرة ، اتضح لي على الفور أن هذا مجرد حمولة من الهراء. لم أكن أعرف أي قانون فيزيائي يمكن أن يولد مثل هذا الانهيار ، وقد انتهك كل ما أؤمن به (مثل الحفاظ على الاحتمالات). أنت من تقرأ هذه المدونة بحماس تعرف هذا بالفعل: لا معنى لها من وجهة نظر نظرية المعلومات.

الآن ، لم تكن نظرية المعلومات الكمومية موجودة في زمن بور (وهايزنبرغ ، الذي يجب أن يتحمل بعض اللوم عن تفسير كوبنهاجن). وربما يجب أن يحصل الاثنان على تصريح لهذا السبب البسيط ، باستثناء حقيقة أن جون فون نيومان ، كما أشرت في منشور آخر) ، قد تم بالفعل وضع أسس نظرية المعلومات الكمومية في عام 1932 ، بعد عامين من الأول. & # 8220definitive & # 8221 أطروحة حول & # 8220Copenhagen Spirit & # 8221 تم نشرها بواسطة Heisenberg.

لذا أنت ، أيها القارئ المخلص ، تعال إلى هذا المنشور مستعدًا جيدًا. أنت تعلم بالفعل أن هانز بيث أخبرني وزميلي نيكولاس سيرف أننا أظهرنا أن الدالات الموجية لا تنهار ، كما تعلمون أن جون فون نيومان قد اكتشف تقريبًا نظرية المعلومات الكمومية في الثلاثينيات ، وأن القياس الكمي يختلف كثيرًا عن نظيره الكلاسيكي لأنه النسخ غير مسموح به في عالم الكم. أنت تعرف من أين تأتي قاعدة Born & # 8217s ، وتفكرت في فائدة مخططات Venn الكمومية. لقد تلقيت وعودًا بمناقشة قط شرودنجر ، لكن ذلك لم يتحقق أبدًا. بدلاً من ذلك ، تم إعطاؤك مناقشة حول الممحاة الكمومية. يمكن القول إن هذا نظام أكثر إثارة للاهتمام ، لكنني أفهم ما إذا كنت منزعجًا. ولكن لاختلاقها ، نصل الآن إلى الأب الكمي لهم جميعًا. سأريكم أن تفسير كوبنهاجن ليس فقط نخبًا من الناحية النظرية ، ولكن من الممكن تصميم تجارب توضح ذلك. أو سيظهرون أنني & # 8217m مليئة بالحماقات المذكورة أعلاه. في كلتا الحالتين ، ستكون مثيرة.

في هذا المنشور ، سأكشف لك عن الجمال الرياضي والأناقة للقياسات المتتالية التي أجريت على نفس النظام الكمي. سأوضح لك أيضًا كيف سيكشف لك النظر إلى ثلاثة قياسات متتالية (ولكن ليس اثنين) أن تفسير كوبنهاجن هو الآن تاريخ ، وقد حان الآن لكومة من القمامة من المفاهيم الخاطئة في الفيزياء النظرية. كل ما سأخبرك به هو امتداد للصورة التي كتبنا عنها أنا ونيكولاس سيرف في عام 1996 ، والتي فهمها بيته فورًا بعد أن أظهرنا له نتائجنا ، بينما استغرقنا ستة أشهر لفهم ما قاله لنا . لكنه امتداد استغرق بعض الوقت للتوضيح ، بحيث يكون اتهام بوهر (وضمنيًا هايزنبرغ) وصورة انهيار القياس واضحًا ، والأهم من ذلك ، يمكن التحقق منه تجريبيًا.

دع & # 8217s تدخل مباشرة في خضم الأشياء. لكن البدء قد يكون بالفعل أصعب شيء هنا. لنفترض أنك تريد قياس نظام كمي. لكنك لا تعرف شيئًا على الإطلاق عن ذلك. كيف تكتب مثل هذا النظام الكمي؟

بشكل عام ، يكتب الأشخاص حالات كمومية عشوائية مثل هذا: (| Q rangle = sum_i alpha_i | i rangle ) ، مع معاملات معقدة αi التي ترضي (| Q rangle = sum_i alpha_i | i rangle ). لكن قد تسأل ، & # 8220 من أخبرك ما هو الأساس الذي يجب أن تكتب فيه هذه الحالة الكمية؟ ينص الأساس على ( alpha_i ) ، أعني & # 8221. بعد كل شيء ، السعات ( alpha_i ) منطقية فقط فيما يتعلق بنظام أساس معين (إذا قمت بتحويل هذا الأساس إلى آخر ، كما سنفعل الكثير في هذا المنشور) فإنه يغير المعاملات. & # 8220 إذاً ملاذ & # 8217t لقد افترضت بالفعل الكثير من خلال كتابة الحالة الكمومية من هذا القبيل؟ & # 8221 (قد تتذكر أسئلة من هذا القبيل من منشور مدونة على معلومات كلاسيكية ، وهذا ليس من قبيل الصدفة).

إذا فكرت في هذه المشكلة لبعض الوقت ، فأنت تدرك أن المعاملات والأساس الذي تختاره أمران حاسمان بالفعل. تمامًا كما في نظرية المعلومات الكلاسيكية حيث أخبرتك أن إنتروبيا نظام ما غير محددة ، ويتم تحديدها فقط بواسطة جهاز القياس الذي كنت على وشك استخدامه للتعرف عليه ، فإن حالة النظام الكمي التعسفي تكون منطقية فقط بالنسبة إلى الحالات الكمية للكاشف التي أنت على وشك استخدامها لقياسه. هذا ، في الأساس ، هو ما يقع في قلب & # 8220 النسبية الحالة & # 8221 الشكلية لميكانيكا الكم ، بسبب إيفريت بالطبع. لا يحصل هذا الزميل هيو إيفريت على الكثير من التقدير الذي يستحقه ، لذلك سأسمح لك بالتحديق إليه لبعض الوقت.

إيفريت الثالث (1930-1982) المصدر: ويكيميديا

طوّر نظريته كطالب دراسات عليا ، ولكن نظرًا لعدم تصديق نظريته في ذلك الوقت ، ترك فيزياء الكم وأصبح محلل دفاع.

قد تتوقع مني البدء في وصف ومناقشة تفسير & # 8220 العديد من العوالم & # 8221 لميكانيكا الكم ، والذي أصبح موضة في السبعينيات ، لكنني فزت & # 8217t. من السخف تسمية صورة الحالة النسبية بتفسير & # 8220 العديد من العوالم & # 8221 ، لأنها لا تقترح على الإطلاق أنه في كل حدث قياس كمي ، ينقسم الكون إلى عوالم كثيرة حيث توجد حالات متعامدة. هذا أمر سخيف في الواقع (لم يدافع عنه إيفريت على الإطلاق) ، ويجب على الأشخاص الذين قاموا بصرف هذه المصطلحات أن يخجلوا من أنفسهم (لكنني لم أفز بتسميتها هنا). يمكن قراءة إعادة تصريحي لنظرية Everett & # 8217s في اللغة الحديثة لنظرية المعلومات الكمومية هنا ، وعلى أي حال ، فهم Zeh (في 1973) و Deutsch (في 1985) قبل لي الكثير عن نظرية Everett & # 8217s دون تخيل البعض. فودو عوالم متعددة.

لذلك دعونا نتحدث بالفعل عن حالة كمومية من خلال كتابتها من حيث الحالات الأساسية لجهاز القياس الذي نحن على وشك فحصه به. لأن هذا هو كل ما يمكننا القيام به ، على الإطلاق. تمامًا كما تعلمنا في الأجزاء الستة الأولى من هذه السلسلة ، سنقوم بقياس الحالة الكمومية باستخدام ancilla A ، مع حالات الأساس المتعامد (| i rangle_A ) كتبت & # 8216A & # 8217 كرمز للتمييز إنه من الحالات الكمومية ، لكن لاحقًا سأقوم بإسقاط الرمز بمجرد أن تعتاد على التدوين.

انظر الآن إلى ما يحدث إذا قمت بقياس (| Q rangle = sum_i alpha_i | a_i rangle ) مع A (لتمييز الحالات الكمومية ، المكتوبة على أساس A & # 8217s من مساحة A Hilbert ، نكتب ببساطة عليها كـ (| a_i rangle )). احتمال مراقبة الحالة الكمومية في الحالة أنا هو (تتذكر بالطبع الجزء 4)

احصل الآن على هذا: من المفترض أن تقوم بقياس حالة عشوائية ، لكن توزيع الاحتمالات الذي تحصل عليه ليس عشوائيًا على الإطلاق ، ولكنه يُعطى من خلال التوزيع الاحتمالي pi ، وهو ليس موحدًا. هذا لا معنى له على الإطلاق. إذا كان (| Q rangle ) تعسفيًا حقًا ، فيجب أن ترى في المتوسط ​​ (p_i = 1 / d ) (التوزيع المنتظم) ، حيث d هو بُعد مساحة هيلبرت. لذا فإن الحالة الكمية التعسفية غير المعروفة ، المكتوبة من حيث الحالات الأساسية للجهاز الذي سنقوم بقياسه بها ، يجب (ويجب) كتابتها على أنها

الآن ، كل نتيجة من المحتمل أن تكون متساوية ، كما ينبغي أن تكون إذا كنت تقيس حالة لا أحد مستعد مسبقا. حالة عشوائية. مع أقصى إنتروبيا.

لذا فقد خرجنا الآن من الطريق: نحن نعرف كيف نكتب الحالة التي سيتم قياسها. إلا أننا افترضنا أن النظام س لم يتفاعل أبدًا مع أي شيء (أو تم قياسه بأي شيء) من قبل. هذا أيضا افتراض هراء. جميع الحالات الكمومية متشابكة: لا يوجد شيء مثل نظام الكم & # 8220 pristine & # 8221. لحسن الحظ ، نعرف بالضبط كيف نصف ذلك: يمكننا كتابة دالة الموجة الكمومية بحيث تتشابك مع & # 8220 مرجع & # 8221 حالة R:

يمكنك التفكير في R على أنها جميع أجهزة القياس التي تفاعل معها Q في الماضي: من نحن لنقول إن A هو الأول حقًا؟ الآن نحن لا نعرف حقًا ما هي كل حالات R هذه ، لذلك نحن فقط نتتبعها ، بحيث تكون مصفوفة كثافة Q هي المألوفة

( rho_Q = frac1d sum_i | a_i rangle langle a_i |. )

بعد أن قمنا بقياس الحالة بـ A ، أصبحت الحالة المشتركة QRA الآن (تخبرك المشاركات السابقة بكيفية القيام بذلك)

لا تقلق بشأن نظام R كثيرًا: لا تزال مصفوفة كثافة Q هي نفسها كما هو مذكور أعلاه ، ولا بد لي من تخطي سبب ذلك هنا. يمكنك أن تقرأ عنها في الجريدة. أوه نعم ، هناك ورقة. واصل القراءة.

هذا ، بعد كل شيء ، هو المنشور حول القياسات المتتالية ، لذلك سنقوم بقياس Q مرة أخرى ، ولكن هذه المرة مع ancilla B ، والتي ليست على نفس الأساس مثل A. (إذا كانت كذلك ، فستكون النتيجة تافهة: أنت & # 8217d فقط احصل على نفس النتيجة مرارًا وتكرارًا: إنها مثل جميع قطع جهاز القياس A جميعها متفقة على النتيجة).

لذلك سوف نقول أن B eigenstates هي بزاوية مع A eigenstates:

هذا يعني فقط أن ما هو صفر أو واحد في أحد أجهزة القياس (إذا كنا نقيس كيوبتات) سيكون تراكبًا في الأساس الآخر & # 8217. U هي مصفوفة وحدوية. بالنسبة للكيوبت ، ستبدو U النموذجية كما يلي:

أين θ هي الزاوية بين القاعدتين. (نعم ، إنها حالة خاصة ، لكنها كافية.)

لقياس Q مع B (بعد أن قمنا بقياسها بـ A ، بالطبع) علينا كتابة Q من حيث eigenstates B & # 8217s ، ثم القياس. ما تحصل عليه هو دالة موجية تتشابك Q ليس فقط مع ماضيها (R) ، ولكن أيضًا مع كل من A و B:

قد تعتقد أن هذا يبدو معقدًا للغاية ، لكن النتيجة بسيطة جدًا حقًا. وهو يتفق مع كل ما تم كتابته عن القياسات المتتالية حتى الآن ، سواء أيدوا صورة الانهيار أو الصورة الوحدوية & # 8220 relative state & # 8221. على سبيل المثال ، مصفوفة الكثافة المشتركة للكاشفين فقط ، ( rho_)، انه ببساطة

( rho_= frac1d sum_i | i rangle langle i | otimes sum_j | U_| ^ 2 | j rangle langle j |. )

أن هذه هي النتيجة & # 8220standard & # 8221 ستظهر عليك عندما تلاحظ أن (| U_| ^ 2 ) هو الاحتمال الشرطي لقياس النتيجة ي مع B نظرًا لأن القياس السابق (مع A) أعطاك النتيجة أنا (مع احتمال (1 / د ) بالطبع).

إنه تحذير عادل أنه إذا لم تفهم هذه النتيجة ، فمن المحتمل ألا تستمر في القراءة. استمر إذا كان يجب عليك ذلك ، لكن تذكر أن تعود إلى هذه النتيجة.

أيضًا ، ضع في اعتبارك أنني سأستخدم الفهرس من الآن فصاعدًا أنا بالنسبة للنظام A ، فإن الفهرس j للنظام B ، وسأستخدم لاحقًا ك بالنسبة للنظام C. وفزت & # 8217t باستمرار بالإشارة إلى الحالة ذات الرمز المنخفض المزعج مثل (| i rangle_A ). لأن هذه هي الطريقة التي أتدحرج بها.

إذن هذا ما حققناه. لقد كتبنا فيزياء القياسات الكمومية المتتالية التي أجريت على نفس النظام بشكل شكلي وحدوي واضح ، حيث لا تنهار الدوال الموجية ، والدالة الموجية المشتركة للنظام الكمومي ، متشابكة مع الكل القياسات التي سبقت قياساتنا ، إلى جانب محاولاتنا الأخيرة مع A و B ، موجودة في تراكب ، فهل ستظل جميع الاحتمالات (المحققة أم لا) موجودة. ومصفوفة الكثافة الناتجة جنبًا إلى جنب مع جميع الاحتمالات تتفق بدقة مع ما كان معروفًا منذ بوهر ، عطاء أو أخذ.

وهامسات & # 8220Chris ، ما هي الطرق الأخرى التي تعرفها لتضييع وقتك ، إلى جانب أعني التدوين؟ & # 8221 تزداد صوتًا.

لكن انتظر. هناك القياس مع C الذي أعلن عنه. قد تعتقد (ربما مع أي شخص سبق له التفكير في هذا الحساب) & # 8220 لماذا ستتغير الأشياء؟ & # 8221 لكنهم سيفعلون. سيُظهر القياس الثالث فرقًا كبيرًا ، وبمجرد الانتهاء من ذلك & # 8217 ، سنعرف السبب.

أولاً ، نقوم بالحسابات المملة. يمكنك القيام بذلك بنفسك (نظرًا لأنك اتبعت ما يكفي لتكون قادرًا على اشتقاق المعادلات. (1) و (2). ما عليك سوى استخدام U ′ لترميز الزاوية بين نظام القياس C والنظام B (فقط مثل U وصف الدوران بين الأنظمة A و B) ، والنتيجة (بعد تتبع النظام الكمي Q والنظام المرجعي R ، حيث لا أحد ينظر إلى هؤلاء) تبدو غير ضارة بما فيه الكفاية:

إلا بعد النظر إلى هذه الصيغة عدة مرات ، فأنت تحدق. ثم انتقل & # 8220 استمر ، وانتظر & # 8221.

& # 8220 القياس ب! & # 8221 ، أنت الزفير. بعد القياس باستخدام B ، كان الجهاز قطريًا في أساس القياس (وهذا يعني أن مصفوفة الكثافة كانت مثل (| j rangle langle j | )). لكنك الآن قمت بقياس Q مرة أخرى ، والآن لم يعد B قطريًا (الآن & # 8217s مثل (| j rangle langle j & # 8217 | )). كيف يعقل ذلك؟

حسنًا ، هذا هو القانون ، كل ما يمكنني إخبارك به. ميكانيكا الكم تتطلب ذلك. بعد كل شيء ، تخبرنا مصفوفات الكثافة فقط بجزء من القصة (بما أنك تتتبع التاريخ الكامل للقياسات). قد تكون هذه القصة مليئة بالأكاذيب ، وهنا اتضح أنها كذلك بالفعل.

انها الاخير قياس يعطي مصفوفة كثافة قطرية في أساس القياسات ، دائمًا. أوه ، والأول ، إذا قمت بقياس حالة عشوائية مجهولة. هذا & # 8217 ثانية. لكي ترى أن الأشياء يمكن أن تكون مختلفة ، فأنت بحاجة إلى الثلث. في المنتصف.

لرؤية ذلك المعادل. (3) لا يشبه ما اعتدت عليه ، دع & # 8217s يرى ما ستعطيكه صورة الانهيار. سيؤدي الحساب التفصيلي باستخدام الشكلية التقليدية إلى (الرمز المرتفع & # 8220coll & # 8221) لتذكيرك بأن هذا ليس نتيجة حساب أحادي

( rho_^ << rm coll >> = frac1d sum_i | i rangle langle i | otimes sum_j | U_| ^ 2 | j rangle langle j | otimes sum_k | U & # 8217_| ^ 2 | ك rangle langle ك |. ) (4)

يجب أن يكون الفرق بين (3) و (4) واضحًا لك على الفور. تحصل على (4) من (3) إذا قمت بتعيين j = j ′ ، أي إذا قمت بإزالة المصطلحات غير القطرية الموجودة في (3). لكن ، كما ترى ، لا يوجد قانون فيزيائي يسمح لك فقط بالحصول على بعض المصطلحات غير القطرية وإخراجها من المصفوفة. هذا يعني أن (3) نتيجة لميكانيكا الكم ، و (4) ليست مشتقة من أي شيء. إنه حقا مجرد تمني.

& # 8220 لذا & # 8221 ، يمكنني سماع صوتك تتمتم من مسافة بعيدة ، & # 8220 هل يمكنك إجراء قياس يدعم أحد الأساليب أو الأخرى؟ هل يمكن للتجارب معرفة الفرق بين طريقتين لفهم القياس الكمي؟ & # 8221

هذا أيها المحقق هو السؤال الصحيح.

كيف نميز الفرق بين مصفوفتين كثافة؟ دعونا نركز على كيوبتات هنا (د = 2). ولجعل الأمور أكثر واقعية ، دع & # 8217s أصلح الزوايا بين القياسات المتتالية.

القياس A هو القياس الأول ، لذلك لا توجد زاوية. في الواقع ، يحدد A المرحلة وستكون جميع القياسات اللاحقة متعلقة بذلك. سنأخذ B عند 45 درجة إلى A. وهذا يعني أن B سيكون لديها فرصة 50/50 لتسجيل 0 أو 1 ، بغض النظر عما إذا كان A مسجلاً 0 أو 1. لاحظ أن A أيضًا سيسجل 0 أو 1 نصف الوقت ، كما يجب أن يكون في الحالة الأولية عشوائيًا وغير معروف.

سنأخذ C لنقيسها بزاوية 45 درجة إلى B أيضًا ، بحيث تكون إنتروبيا C & # 8217s بت واحد أيضًا. وبالتالي ، يجب أن تكون جميع الكاشفات الثلاثة & # 8217s إنتروبيا بت واحد. سيكون هذا صحيحًا ، بالمناسبة ، في كلٍّ من الوحدوي والصورة المنهارة. ومع ذلك ، فإن الحالات النسبية بين أجهزة الكشف الثلاثة تختلف تمامًا بين الوصفين. أدناه يمكنك رؤية مخطط Venn الكمي للصورة الموحدة على اليسار ، وصورة الانهيار على اليمين.

لقد علمنا أنه يجب أن يكون الأمر كذلك ، على حساب الزوايا π / 4 وجميعها. نعم ، الشكلان البيانيان مختلفان تمامًا. على سبيل المثال ، انظر إلى الكاشف B. إذا أعطيتك A و C ، فإن حالة B تُعرف تمامًا باسم S (B | AC) = 0). هذا & # 8217s ليس صحيحًا في صورة الانهيار: إعطاء A أو C لا يفعل شيئًا لـ B.

هذا في حد ذاته يشبه ناقوس الموت للصورة الموحدة: كيف يمكن لتجربة الماضي والمستقبل أن تحدد بشكل كامل الحالة الكمومية في الوقت الحاضر؟ اتضح أن مثل هذه الأسئلة قد تم طرحها من قبل! أظهر Aharonov و Bergmann و Lebowitz (ABL) في عام 1964 أنه من الممكن إعداد قياس بحيث تسمح لك معرفة النتائج من A و C بالتنبؤ على وجه اليقين بما قد يسجله B [1]. كما يمكنك أن تقول من عنوان ورقتهم ، كانت ABL قلقة بشأن عدم التناسق الواضح في القياس الكمي.

بالطبع هناك عدم تناسق! يمكن للقياس أن يخبرك عن الماضي ، لكنه لا يخبرك عن المستقبل! يا له من عدم تناسق!

تمهل ، هناك. هذه & # 8217s ليست مقارنة عادلة. السببية هي في النهاية تحكم علينا جميعًا: ما لم يحدث يختلف عما حدث. السؤال الحقيقي هو ما إذا كان هناك ، بعد كل ما قيل وفعل ، عدم تناسق بين ما كان وما كان يمكن أن يكون. بلغة القياس الكمي ، يجب علينا بدلاً من ذلك طرح السؤال التالي: إذا كانت القياسات السابقة تؤثر على ما يمكنني تسجيله في المستقبل ، فهل تقيِّد القياسات المستقبلية ما كان سابقًا بطريقة متساوية؟ أو بعبارة أخرى ، هل يمكن للقياسات اليوم أن تخبرني بالكثير عن الحالة التي أجريت عليها ، كما أن معرفة الحالة اليوم يخبرك عن القياسات المستقبلية؟

إلى حد ما ، أجابت ABL على هذا السؤال بالإيجاب. بالنسبة لسيناريو قياس مفتعل إلى حد ما ، فقد أظهروا أنه إذا أعطيتني سجل القياس في الماضي ، بالإضافة إلى ما تم قياسه في المستقبل ، يمكنني أن أخبرك بما أنت عليه يجب قاسوا في الوقت الحاضر. بعبارة أخرى ، قالوا إن الماضي والمستقبل ، معًا ، سيتنبأ بالحاضر تمامًا.

لا أعتقد أن كل من قرأ تلك الورقة في عام 1964 كان على دراية بتداعيات هذا الاكتشاف. لا أعتقد أن الناس الآن. ما نعرضه في ورقتنا البحثية هو أن ما أظهرته ABL يثبت في موقف مفتعل إلى حد ما ، في الواقع صحيح عالميًا ، طوال الوقت.

& # 8220 ما هي الورقة؟ & # 8221 ، أنت تسأل. & # 8220 تعال نظيفة بالفعل! & # 8221

هل & # 8217t تنتظر قليلاً فقط؟ أعدك أنه سيكون في نهاية المدونة. يمكنك التمرير للأمام إذا كان يجب عليك.

في الواقع ، نظهر أن نتيجة ABL هي مجرد حالة خاصة تنطبق بشكل عام.بالنسبة لأي تسلسل لقياسات نفس النظام الكمي ، أثبتت أنا وجينيفر جليك أن القياسات الأولى والأخيرة فقط غير مؤكدة. كل تلك القياسات بينهما يمكن التنبؤ بها تمامًا. (ينطبق هذا على حالة قياس الحالات الكمية غير المعدة فقط). وهذا منطقي من وجهة النظر التي دافعت عنها للتو: لا يمكنك معرفة القياس الأخير تمامًا لأن المستقبل لم يحدث بعد. ولا يمكنك معرفة القياس الأول لأنه لا يوجد شيء في ماضيه. كل شيء آخر يمكن معرفته تمامًا.

الآن ، لا تعني & # 8220knowable & # 8221 & # 8220known & # 8221 ، لأنه بشكل عام لا يمكنك استخدام نتائج القياسات الفردية لعمل تنبؤات حول الكاشفات الوسيطة: تحتاج إلى بعض المصطلحات غير المائلة لمصفوفة الكثافة ، مما يعني أنه يجب عليك إجراء قياسات مفصلية أكثر تعقيدًا. لكنك تحتاج فقط إلى أجهزة القياس ، ولا شيء آخر.

نعرض عددًا من الأشياء الأخرى غير الشائعة إلى حد ما لتسلسل القياسات الكمومية في الورقة بعنوان & # 8220 ميكانيكا الكم للقياسات المتتالية & # 8221 ، والتي يمكنك قراءتها على arXiv هنا. على سبيل المثال ، نظهر أن تسلسل القياسات يفعل ليس تشكل سلسلة ماركوف ، كما هو متوقع لصورة الانهيار. نوضح أيضًا أن مصفوفة الكثافة أي زوج من أجهزة الكشف في تلك السلسلة المتسلسلة هو & # 8220classical & # 8221 ، والذي نحدده هنا بـ & # 8220 diagonal في أساس منتج الكاشف & # 8221. هناك العديد من النتائج العامة: تأكد من قراءة المادة التكميلية ، حيث توجد جميع البراهين.

& # 8220 لذا تقول الرياضيات أن الدوال الموجية لا تنهار. هل يمكنك إثبات ذلك بشكل تجريبي؟ & # 8221

هذا أيضا سؤال ممتاز. الرياضيات ، بعد كل شيء ، مجرد بديل يساعدنا على فهم قوانين الطبيعة. ما نقوله هو أن قوانين الطبيعة ليست كما كنت تعتقد أنها كانت. وإذا أدليت ببيان من هذا القبيل ، فيجب أن يكون قابلاً للتزوير. إذا كانت نظريتك تتخطى حقًا الشريعة المقبولة ، فيجب أن تكون هناك تجربة تدعم النظرية الجديدة (لا يمكن إثباتها ، ضع في اعتبارك) عن طريق إرسال النظرية القديمة إلى حيث & # 8230. النظريات القديمة تموت.

ما هي تلك التجربة؟ اتضح أنها ليست تجربة سهلة. أو ، على الأقل ، بالنسبة لهذا السيناريو المحدد (ثلاثة قياسات متتالية لنفس النظام الكمي) ، فإن التجربة ليست سهلة. يتم توقع إحصائيات عدد أجهزة القياس الثلاثة بواسطة قطري مصفوفة كثافة المفصل ( rho_) ، وهذا هو نفسه في صورة الحالة النسبية الوحدوية وصورة الانهيار. الفرق في العناصر غير القطرية لمصفوفة الكثافة. الآن ، هناك طرق تسمح لك بقياس العناصر خارج القطر للحالة الكمومية ، باستخدام ما يُسمى & # 8220 كمومية التصوير المقطعي للحالة & # 8221. نظرًا لأن مصفوفة الكثافة المعنية كبيرة (مصفوفة 8 & # 2158 لقياسات كيوبت) ، يعد هذا قياسًا شديد الأهمية. لحسن الحظ ، هناك طرق مختصرة. اتضح أنه بالنسبة للحالة المطروحة ، كل فرد الوقت الحاضر من مصفوفة الكثافة مختلفة. يتم تحديد اللحظات التاسعة لمصفوفة الكثافة بواسطة (< rm Tr> rho ^ n ) ، واتضح أن اللحظة الثانية بالفعل ، وهي (< rm Tr> rho ^ 2 ) هي مختلف. يعد قياس العزم الثاني لمصفوفة الكثافة أبسط بكثير من قياس المصفوفة بأكملها عن طريق التصوير المقطعي للحالة الكمومية ، ولكن نظرًا لأنه نظام ثلاثي كيوبت ، فإنه لا يزال ليس بالمحاولة البسيطة. لكنها واحدة أتمنى أن يقتنعها شخص ما بأنها تستحق القيام بها. لأن التجربة هي التي سترسل حزمة ترجمة كوبنهاجن إلى الأبد.

لذا سألت نفسي ، & # 8220 كيف أقوم بإغلاق مثل هذه السلسلة الطويلة حول القياس الكمي ، وهذه المشاركة الأخيرة التي لا تنتهي؟ & # 8221 آمل أن أخرج القياس الكمي قليلاً من الزاوية الغامضة حيث ينزل إليه أحيانًا. يمكن فهم الكثير عن القياس الكمي بسهولة ، وأنا واثق من أنه يمكن حل الألغاز التي لا تزال موجودة أيضًا. الانهيار لم يكن له أي معنى مادي في البداية ، لكن لم يحدث أيضًا تفرع الكون. نحن نعلم أن ميكانيكا الكم وحدوية ، ونعلم الآن أن سلسلة القياسات هي أيضًا. ما يتبقى حله ، حقًا ، هو مجرد العشوائية التي نختبرها في القياس الأخير ، عندما لا يزال المستقبل غير مؤكد.

من أين تأتي هذه العشوائية؟ ماذا تعني هذه الاحتمالات؟ لدي بعض الأفكار حول ذلك ، ولكن هذا سيتعين عليه انتظار مشاركة مدونة أخرى. أو سلسلة.

[1] Y. Aharonov ، P. G. Bergmann و J.L Lebowitz ، "تناظر الوقت في العملية الكمومية للقياس ،" فيز. القس ب 134 ، 1410 - 16 (1964).


7.1 حل المعادلات في متغيرين

المعادلة d = 40f تزاوج المسافة d لكل مرة t. على سبيل المثال،


إذا كانت t = 1 ، فإن d = 40
إذا كانت t = 2 ، فإن d = 80
إذا كانت t = 3 ، فإن d = 120

يُطلق على زوج العددين 1 و 40 معًا ، حل المعادلة d = 40r لأننا عندما نعوض بـ 1 عن t و 40 عن d في المعادلة ، نحصل على بيان صحيح. إذا اتفقنا على الإشارة إلى الأرقام المزدوجة بترتيب محدد حيث يشير الرقم الأول إلى الوقت والرقم الثاني يشير إلى المسافة ، فيمكننا اختصار الحلول المذكورة أعلاه على النحو التالي (1 ، 40) ، (2 ، 80) ، (3 ، 120) ، وهكذا. نسمي هذه الأزواج من الأرقام أزواجًا مرتبة ، ونشير إلى الرقمين الأول والثاني في الأزواج كمكونات. مع هذا الاتفاق ، تكون حلول المعادلة d - 40t عبارة عن أزواج مرتبة (t ، d) تفي مكوناتها بالمعادلة. بعض الأزواج المرتبة لـ t يساوي 0 و 1 و 2 و 3 و 4 و 5 هي

(0،0) ، (1،40) ، (2،80) ، (3،120) ، (4،160) ، (5،200)

تظهر مثل هذه الأزواج أحيانًا في أحد الأشكال الجدولية التالية.

في أي معادلة معينة تتضمن متغيرين ، عندما نقوم بتعيين قيمة لأحد المتغيرات ، يتم تحديد قيمة المتغير الآخر وبالتالي تعتمد على الأول. من المريح التحدث عن المتغير المرتبط بالمكون الأول للزوج المرتب باعتباره المتغير المستقل والمتغير المرتبط بالمكون الثاني للزوج المرتب باعتباره المتغير التابع. إذا تم استخدام المتغيرين x و y في معادلة ، فمن المفهوم أن بدائل x هي مكونات أولى ، وبالتالي فإن x هي المتغير المستقل وبدائل y هي مكونات ثانية وبالتالي y هي المتغير التابع. على سبيل المثال ، يمكننا الحصول على أزواج للمعادلة

عن طريق استبدال قيمة معينة لمتغير واحد في المعادلة (1) وحل المتغير الآخر.

أوجد المكون المفقود بحيث يكون الزوج المرتب حلاً له

إذا كانت س = 0 ، فإن 2 (0) + ص = 4
ص = 4

إذا كانت س = 1 ، فإن 2 (1) + ص = 4
ص = 2

إذا كانت س = 2 ، فإن 2 (2) + ص = 4
ص = 0

يمكن الآن عرض الأزواج الثلاثة كأزواج ثلاثة مرتبة

التعبير عن متغير بشكل صريح

يمكننا إضافة -2x إلى كلا العضوين 2x + y = 4 للحصول على

-2 س + 2 س + ص = -2 س + 4
ص = -2 س + 4

في المعادلة (2) ، حيث تكون y وحدها ، نقول إن y يتم التعبير عنها صراحةً بدلالة x. غالبًا ما يكون الحصول على حلول أسهل إذا تم التعبير عن المعادلات لأول مرة في مثل هذا الشكل لأن المتغير التابع يتم التعبير عنه صراحةً من حيث المتغير المستقل.

على سبيل المثال ، في المعادلة (2) أعلاه ،

إذا كانت x = 0 ، فإن y = -2 (0) + 4 = 4
إذا كانت x = 1 ، فإن y = -2 (1) + 4 = 2
إذا كانت x = 2 ثم y = -2 (2) + 4 = 0

نحصل على نفس الأزواج التي حصلنا عليها باستخدام المعادلة (1)

حصلنا على المعادلة (2) بإضافة نفس الكمية ، -2x ، لكل عضو في المعادلة (1) ، بهذه الطريقة نحصل على y بمفرده. بشكل عام ، يمكننا كتابة معادلات متكافئة في متغيرين باستخدام الخصائص التي قدمناها في الفصل 3 ، حيث قمنا بحل معادلات الدرجة الأولى في متغير واحد.

المعادلات متكافئة إذا:

  1. يتم إضافة نفس الكمية أو طرحها من كميات متساوية.
  2. يتم ضرب الكميات المتساوية أو قسمة نفس الكمية غير الصفرية.

حل 2y - 3x = 4 صراحة من أجل y بدلالة x واحصل على حلول من أجل x = 0 و x = 1 و x = 2.

حل
أولاً ، نضيف 3x لكل عضو نحصل عليه

2 ص - 3 س + 3 س = 4 + 3 س
2y = 4 + 3x (تابع)

الآن ، بقسمة كل عضو على 2 ، نحصل على

في هذه الصورة ، نحصل على قيم y لقيم معينة لـ x على النحو التالي:

في هذه الحالة ، ثلاثة حلول هي (0 ، 2) ، (1 ، 7/2) ، (2 ، 5).

في بعض الأحيان ، نستخدم تدوينًا خاصًا لتسمية المكون الثاني للزوج المرتب المقترن بمكون أول محدد. يمكن أيضًا استخدام الرمز f (x) ، والذي يستخدم غالبًا لتسمية تعبير جبري في المتغير x ، للإشارة إلى قيمة التعبير عن قيم محددة لـ x. على سبيل المثال ، إذا

يشار إلى الرمز f (x) عادة باسم تدوين الوظيفة.

إذا كانت f (x) = -3x + 2 ، فأوجد f (-2) و f (2).

استبدل x ب -2 لتحصل على
و (-2) = -3 (-2) + 2 = 8

استبدل x بـ 2 لتحصل على
و (2) = -3 (2) + 2 = -4


درس: السعة والوزن الجزء 2

كما تتذكر من الأمس ، لقياس السعة ، نستخدم الأكواب ، والأوقية ، والمكاييل ، والكوارت ، والغالون. دعنا نصنع مخططًا ثابتًا لكيفية ارتباطهم جميعًا. (قم بإنشاء مخطط مرساة - يجب أن يعرف الطلاب معظم العلاقات من الصف الرابع ورجل الجالون).

باستخدام هذا المخطط ، يمكنني حل المشكلات. 1. كم عدد الكؤوس في 2 ليتر؟ إذا علمت أن هناك 4 أكواب في 1 لتر ، فهناك 8 أكواب في 2 ليتر. كم عدد المكاييل في 4 أكواب؟

يوجد كوبان في كل مكاييل لذا عندما أقسم ، أحصل على 2 مكاييل.

لقياس الوزن ، أستخدم الجنيهات أو الأوقية أو الأطنان. دعونا نضيفها إلى مخططنا الأساسي.

كم أوقية في 2 رطل؟ إذا كان كل رطل يحتوي على 16 أوقية ، فإن 2 رطل يساوي 32 أوقية.

دعنا نجرب التحويلات القليلة الأولى على جدول البيانات معًا. # 1-4: الممارسة الموجهة

الآن سوف تكمل المهمة بنفسك

ما الوحدات المستخدمة لقياس السعة؟ ما الوحدات التي تقيس الوزن؟

كيف تختلف الوحدات المترية عن الوحدات العرفية؟

قدم ، ساحة ، بوصة ، ميل ، سنتيمتر ، ملليمتر ، ديسيميتر ، متر ، كيلومتر


في الغالب لأنه أسهل وأرخص.

تخيل أنك تريد أن تعرف ما يفكر فيه البلد بأكمله. لا يمكنك أن تسأل الملايين من الناس ، لذا بدلاً من ذلك تسأل ربما 1000 شخص

هناك اقتباس جميل (ربما من صموئيل جونسون):

"ليس عليك أن تأكل الحيوان كله لتعلم أن اللحم قاسي."

هذه هي الفكرة الأساسية لأخذ العينات. لمعرفة معلومات حول السكان (مثل المتوسط ​​والانحراف المعياري) ، لا نحتاج إلى إلقاء نظرة عليها الكل من السكان نحتاج فقط إلى عينة.


درس: منطقة مخطط Paralellogram

يمكنني حل مساحة ومحيط المثلث والمستطيل. يمكنني تحديد المنطقة أو المثلث ومتوازيات الأضلاع والمستطيلات.

ماذا تتذكر؟ ماذا تحتاج للتدرب؟

المساحة ، المحيط ، القاعدة ، الارتفاع ، الطول ، العرض ، المساحة (متوازي الأضلاع)

سنقوم بسرعة كبيرة بمراجعة المنطقة والمحيط وسأمنحك الكثير من الوقت للتدرب بمفردك. ما هو الفرق بين المنطقة والمحيط؟ أعد صياغة تعريفات واضحة لكل منها. راجع البحث عن مستطيل ومتوازي أضلاع. بصفتنا الصف الخامس ، كافحنا حقًا لإيجاد مساحة المثلث في هذه الفترة الانتقالية الأخيرة. ما الذي يميز إيجاد مساحة المثلث؟ لماذا يجب أن أقسم على 2؟أعد التأكيد بوضوح على أنه نظرًا لأن المثلث هو نصف مستطيل ، فيجب عليك القسمة على 2. قدم أيضًا الصيغة وتأكد من أن الطلاب يعرفون كيفية استخدامها.

سنحاول معًا المشكلات القليلة الأولى لعملكم المستقل.

الآن ستكمل العمل المتبقي بنفسك. عندما أقوم بسحب المجموعات ، من المتوقع أن تعمل بشكل مستقل.

لماذا من المناسب القسمة على 2 لإيجاد مساحة المثلث؟ لماذا تكون معادلة مساحة المستطيل مماثلة لمعادلة متوازي الأضلاع؟


الرياضيات للهندسة الدقيقة الحديثة

الهدف من الهندسة الدقيقة هو التحكم الدقيق في الهندسة. لهذا السبب ، للرياضيات ارتباط طويل بالهندسة الدقيقة: من حساب وتصحيح المقاييس الزاويّة المستخدمة في المسح والأجهزة الفلكية إلى تقنيات المتوسط ​​الإحصائي المستخدمة لزيادة الدقة. توضح هذه الدراسة الدور التمكيني الذي تلعبه العلوم الرياضية في الهندسة الدقيقة: نمذجة العمليات الفيزيائية والأدوات والهندسة المعقدة والتوصيف الإحصائي لأنظمة القياس وتعويض الخطأ.

1 المقدمة

الهدف من الهندسة الدقيقة هو التحكم الدقيق في الهندسة. تتميز الهندسة الدقيقة عادة بنسبة التفاوتات الهندسية إلى حجم الجسم. تتناقص هذه النسبة بمرور الوقت حيث تصبح الهندسة الدقيقة أكثر دقة. في الثمانينيات ، كانت هذه النسبة من جزء واحد في 10 4 [1]. اليوم ، عادةً ما يكون بترتيب جزء واحد في 10 6 ، وبالنسبة لبعض المشاريع الهندسية الرئيسية في القرن الحادي والعشرين التي تم اقتراحها ، فإنها تقترب من جزء واحد في 10 8. على سبيل المثال ، في التلسكوب الأوروبي الكبير للغاية الذي يبلغ طوله 42 مترًا ، كل مقطع من القطع السداسية 984 يتراوح قطرها بين 1 و 2 متر مع تفاوت شكل محدد أفضل من 25 نانومتر [2].

العلوم الرياضية لها تاريخ طويل ولامع مع الهندسة للهندسة الدقيقة. في مصر القديمة ، تظهر المشاكل الهندسية في كل من بردية Rhind الرياضية (RMP) [3،4] وبردية موسكو الرياضية (MMP) [5]. توضح هذه الأمثلة أن قدماء المصريين عرفوا كيفية حساب السمات الهندسية المختلفة ووضع هذه المعرفة في المنفعة العملية ، لا سيما في إعادة إنشاء النظم الميدانية بعد فيضان النيل ، وبناء الأهرامات ، وما إلى ذلك.

على وجه الخصوص ، تناقش المشكلات 56-59 الخاصة بخطة إدارة المبردات "مشكلات الهرم" المختلفة التي تستخدم متسلسل (أو تلاه) المفهوم المصري للمنحدر. ال متسلسل يُعرَّف بأنه الإزاحة الجانبية في النخيل لقطرة ذراع واحدة (سبع كفرات). على سبيل المثال ، في المشكلة 56 ، يلزم البحث عن ملف متسلسل لهرم قاعدته 360 ذراعا وارتفاعه 250 ذراعا (الشكل 1). علاوة على ذلك ، في المشكلة 14 من MMP ، يتم حساب حجم الهرم المقطوع (frustum). ال متسلسل هو مفهوم رياضي تجريدي يستخدم في بناء الأهرامات - الهياكل الهندسية الدقيقة في ذلك الوقت.

الشكل 1. جزء من بردية ريند الرياضية يوضح المسائل 56-60.

2. المصطلحات والتعريفات الرياضية

ال متسلسل هو مثال على المصطلح والتعريف الرياضي. تتمثل قيمة المصطلحات والتعريفات الرياضية في تقديم مصطلح مشترك أولاً ثم فهم مشترك للمفهوم الكامن وراء المصطلح من خلال التعريف. كما توضح البرديات الرياضية ، بمجرد تعريف المصطلح ، يمكن استخدامه لتوفير إجراءات وأمثلة حسابية موحدة باستخدام المفاهيم الرياضية.

قيمة المصطلحات والتعريفات الرياضية صحيحة بشكل خاص للمفاهيم الهندسية. العمل القديم العظيم في الهندسة (والنسخة اليونانية القديمة من نظرية الأعداد الأولية) هو عمل إقليدس عناصر [6] ، والذي يتكون من 13 كتابًا معروفًا ويضم مجموعة من التعريفات والبديهيات والتركيبات والنظريات والبراهين. وضع إقليدس ملف عناصر من خلال جمع النتائج الهندسية التي طورها الآخرون معًا واستكمالها ببعض الأعمال الأصلية. أثبتت المعالجة البديهية / الاستنتاجية للهندسة أنها مفيدة في تطوير المنطق والعلم الحديث ولم يتم تجاوزها حتى القرن التاسع عشر.

المصطلحات والتعريفات الرياضية ، المفيدة للهندسة الدقيقة ، لها أيضًا تاريخ طويل ، من عمل أرخميدس على البراغي والرافعات [7] ، نظام إحداثيات ديكارت [8] ، قوانين نيوتن للحركة [9] إلى الرياضيات الحالية للمعايير الدولية على مواصفات المنتج الهندسي والتحقق منها. إنها توفر إطارًا مفاهيميًا مثاليًا يتم من خلاله تحديد وإدراك وتوفير إجراءات حسابية للكيانات الرياضية التي تعتبر مثالية لكائنات العالم الحقيقي مثل الكائنات المصممة بدقة.

3. القياس والمقاييس

القياس أساسي لجميع العلوم بدون قياس ، لا يمكن أن يكون هناك علم. تتطلب الكائنات المصممة بدقة التحقق من أنها مصنعة وفقًا للمواصفات ، وإجراءات القياس هي المكون الرئيسي لعملية التحقق. على الرغم من وجود نظريات رياضية للقياس ، إلا أنها لم تستخدم في الهندسة الدقيقة حتى وقت قريب جدًا [10]. جانب القياس الذي تمت مناقشته في هذا القسم هو مفهوم المقياس. كان تطوير المقاييس الأكثر دقة أمرًا مهمًا للهندسة الدقيقة من الأجهزة الفلكية المبكرة مثل الأسطرلاب إلى الأجهزة الفلكية الحديثة ، من خلال أجهزة المسح إلى المقاييس على أدوات القياس والإحداثيات ، وأدوات الآلات الدقيقة ، إلخ.

المقياس عبارة عن هيكل رقمي مرتب بالكامل يتم تعيين الكميات المادية عليه ، مع الحفاظ على بنية الكمية المادية الأصلية. مقياسا الاهتمام هنا هما مقياس الطول والزاوية ، وكلاهما تم تحقيقه باستخدام المفاهيم الرياضية. على الرغم من أن المقاييس الأخرى مفيدة للهندسة الدقيقة ، على سبيل المثال الصلابة ودرجة الحرارة والمقاييس البيئية الأخرى ، يتم تحقيقها باستخدام مفاهيم من الفيزياء بدلاً من الرياضيات.

كل من مقاييس الطول والزاوية هي مقاييس خطية. الطول يتطلب تحديد طول الوحدة. تم تحقيق معايير طول الوحدة المبكرة كأعمدة نهاية ، حيث كانت الوحدة الأساسية هي المسافة بين طرفي الشريط. ومع ذلك ، لتحديد المسافة باستخدام قضيب طرفي بأي دقة ، يلزم أن يكون الطرفان مسطحين ومتوازيين لبعضهما البعض ، وهي خصائص يصعب تصنيعها ويصعب الحفاظ عليها مع الاستخدام. في وقت لاحق ، تم استبدال القضبان الطرفية بمعايير الخط حيث تكون الوحدة الأساسية هي المسافة بين خطين (متوازيين) على شريط قياسي ، للتغلب على المشاكل المرتبطة بأشرطة النهاية. وحدة الطول SI هي المتر ، وبين 1889 و 1960 تم تعريفها بواسطة معيار خط البلاتين - الإيريديوم المحفوظ في Bureau International des Poids et Mesures في باريس ، فرنسا. الزاوية ذاتية التحديد مع وجود عدد الوحدات الزاويّة فقط في دائرة كاملة المطلوب تحديدها للراديان ، وهذا هو 2π.

(أ) تحقيق العداد

في عام 1791 ، اختارت الأكاديمية الفرنسية للعلوم تعريفا لواحد من عشرة ملايين من مسافة الزوال بين القطب الشمالي وخط الاستواء عبر باريس كتعريف لطول الوحدة ، والذي سمته بالمتر. بعد ذلك ، في عام 1792 ، تم تكليف جان ديلامبر وبيير ميتشين بقيادة رحلة استكشافية لقياس المسافة بين برج الجرس في دونكيرك ، فرنسا ، وقلعة مونتجويك ، برشلونة ، إسبانيا ، لتقدير طول قوس الزوال عبر دونكيرك. باستخدام التثليث وخطوط القاعدة الدقيقة بين 1 و 10 كم ، قاموا ببناء سلسلة من المثلثات الخيالية بين دونكيرك وبرشلونة لتحديد مسافة الزوال المطلوبة ، واستكملوا عملهم في عام 1799 [11].

ومع ذلك ، في عام 1793 ، اعتمدت فرنسا كوحدة رسمية لطول المتر بناءً على النتائج الأولية للبعثة.تم تحديد هذا لاحقًا على أنه قصير بنحو خمس المليمتر بسبب سوء تقدير تسطيح الأرض. وهكذا ، تم تحقيق دقة تبلغ 1: 5000.

تم تحقيق المقياس في شكل مادي حتى عام 1960 ، عندما أعيد تعريفه ليكون 1 650 763.73 من الأطوال الموجية لخط الانبعاث البرتقالي والأحمر في الطيف الكهرومغناطيسي لذرة الكريبتون 86 في الفراغ. التعريف الحالي للمتر هو من حيث الثانية وسرعة الضوء [12] ،

المقياس هو طول المسار الذي يقطعه الضوء في الفراغ خلال فترة زمنية قدرها 1 / 299،792،458 من الثانية.

وهكذا ، فإن المقياس ، وهو الوحدة الأساسية للطول ، يتم تعريفه الآن من مفاهيم الفيزياء بدلاً من استناده إلى نتائج مسح رياضي لقطعة أثرية جغرافية.

(ب) تقسيم الوحدة الأساسية إلى مقياس

بعد أن أدركت الوحدة الأساسية ، فإن المرحلة التالية هي تقسيم الوحدة الأساسية إلى مقياس لزيادة الدقة. رياضيا ، الانقسام هو الاستيفاء ، وهو حساب نقاط البيانات الجديدة من نقاط منفصلة معروفة. بالنسبة لمقاييس الطول ، يتكون هذا من قسمة طول الوحدة ، المحدد بواسطة مقياس خطي ، إلى أطوال متساوية وللمقاييس الزاويّة تقسيم الدائرة إلى زوايا متساوية.

إقليدس عناصر يوفر إنشاءات هندسية مختلفة لتقسيم الأطوال إلى أجزاء متساوية وبنى لزوايا معينة وتنصيف زاوي. تستخدم طريقة المستعرضات بنية هندسية واحدة للسماح بتقسيم أدق للمقياس. تتكون المستعرضات الخطية (الشكل 2) من سلسلة من الخطوط المتوازية المتعامدة مع المقياس لتشكيل شبكة مع خطوط مقياس موسعة يتم إنشاء خطوط قطرية (المستعرضات) من الزاوية العلوية لعمود في الشبكة إلى الزاوية السفلية المقابلة. عندما يتقاطع المستعرض مع أحد الخطوط المتوازية ، فإنه يشكل تدريجيًا أدق للمقياس. المستعرضات الدائرية للمقاييس الزاويّة ممكنة أيضًا ، لكن بناء الشبكة أكثر تعقيدًا بشكل ملحوظ. تم استخدام المستعرضات الخطية لتقريب المقاييس الزاويّة الدقيقة ، فكلما كان المقياس الزاوي الأصلي أدق ، كان التقريب المستعرض الخطي أفضل.

الشكل 2. عرضي خطي يظهر قراءة 2.34. (نسخة ملونة على الإنترنت.)

تتطلب الإنشاءات الدقة لأن أي أخطاء ستبقى في التقسيم النهائي. الطرق التكرارية ، القائمة على إيجاد التقسيمات التقريبية (على سبيل المثال عن طريق الإنشاءات الهندسية) والتعديل من خلال مقارنة الأطوال / الزوايا ، سهلة التنفيذ عمليًا وتسمح بإزالة أي أخطاء أثناء استمرار التكرار [13].

حل مقياس Vernier إلى حد كبير محل طريقة المستعرضات. هنا ، يتم استخدام مقياس منزلق ثانٍ مع تدريجات ​​أصغر قليلاً (Vernier مباشرة) أو أكبر (Vernier رجعي) ، على سبيل المثال تسعة أو 11 تخرج على المقياس الثاني مقابل 10 تخرج على المقياس الرئيسي. من خلال مطابقة علامات التخرج على المقياسين ، من الممكن تحقيق دقة أعلى.

تتشابه رياضيات مقياس Vernier إلى حد بعيد مع المستعرض الخطي مع المسافة بين العلامات على مقياس Vernier المباشر مساوية للمسافة على طول المقياس من الزاوية السفلية في عمود إلى تقاطع المستعرض في العمود التالي في الأعلى لكن خط واحد متوازي.

طريقة بديلة لتقسيم الطول من خلال المسمار. من الناحية الحسابية ، يعتبر اللولب لولبًا يربط مقاييس الطول بالمقاييس الزاويّة عبر علاقة خطية. بالنظر إلى ميل اللولب ، يمكن استخدام المقياس الزاوي المستخدم لدوران المسمار لقراءة المسافات الخطية. تعتمد دقة هذا النهج على دقة المسمار (وكذلك المقياس الزاوي وتحديد طول الملعب). تتضمن تقنيات تحسين دقة اللولب استخدام صامولة ذات تعشيق طويل لمعدل الأخطاء المحلية المرنة (المتوسط ​​الإحصائي) في المسمار في تصنيع برغي أكثر دقة.

تم إنتاج الموازين يدويًا في الأصل ، ولكن سرعان ما أصبحت "محركات التقسيم" الآلية التي تتضمن التقنيات الرياضية المذكورة سابقًا هي القاعدة. تم تقديم مراجعة تاريخية جيدة لمحركات التقسيم الدائري والخطي في إيفانز [14].

4. التحكم في التباين الهندسي

الهدف من الهندسة الدقيقة هو التحكم الدقيق في الهندسة. إقليدس عناصر يتعامل مع الكيانات الهندسية المثالية (أو الاسمية) فقط (أي الدوائر الكاملة ، والخطوط المستقيمة المثالية ، والزوايا القائمة المثالية ، وما إلى ذلك). تم تصميم كائنات العالم الحقيقي عادةً لتأخذ شكل هذه الكائنات الهندسية المثالية ، لكن تقنيات التصنيع لا يمكنها إلا إنتاج أشكال هندسية مثالية تقريبية تخضع للتباين.

يمكن ربط المصنوعات اليدوية الدقيقة بأربعة عوالم مفاهيمية: عالم التصميم ، حيث يتم تحديد القطع الأثرية كما يتخيلها المصمم في عالم التصنيع ، حيث يتم إنشاء المصنوعات اليدوية في عالم التحقق ، حيث يتم قياس القطع الأثرية من أجل المطابقة مع المواصفات وعالم حياة المنتج ، حيث يتم استخدام المصنوعات اليدوية. 1 يجب أن يؤخذ التحكم في التباين الهندسي في الاعتبار في جميع العوالم الأربعة ، لا سيما عند تحديد هندسة المنتج وإدارة عمليات التصنيع. مطلوب آلية للتمييز بين الأشكال الهندسية المسموح بها وغير المقبولة.

تتضمن الآليات المبكرة للتحكم في التباين الهندسي ما يلي:

- استخدام مكون رئيسي يمكن من خلاله مقارنة الجزء المصنّع ثم تعديله حسب الحاجة.

- (أوائل القرن التاسع عشر) استخدام القياس الصلب الذي مكّن من تصنيع الأجزاء بدقة كافية ليتم تجميعها بالتبادل. أجهزة القياس الصلبة هي أجهزة مادية لها ميزات محددة للحجم / الطول يمكن مقارنة المكونات المصنعة بها من أجل التحقق من حجم / طول المكون المصنّع. (لم يتم تطوير النظرية الرياضية الأساسية وراء القياس الصعب بشكل كامل حتى مبدأ تايلور [16] في عام 1905.)

— (كاليفورنيا 1850) رسومات الأبعاد: تسمح تقنية القياس باستخدام رسومات الأبعاد ، بدلاً من الرسومات أو النماذج التمثيلية ، كمواصفات تصميم. على الرغم من أن الرسومات ذات الأبعاد لا تهتم بشكل مباشر بالتغير الهندسي ، إلا أنها نموذج رياضي رمزي للهندسة المرغوبة ، مقدمة لتحمل الأبعاد.

- (أوائل القرن العشرين) تحمل الأبعاد: نظام لتحديد حدود صريحة لمتطلبات الأبعاد في الرسومات ذات الأبعاد من أجل التحكم في تغير قطعة العمل. في عام 1905 ، صاغ ويليام تايلور مبدأ تايلور في براءة الاختراع رقم. 6900 من أجل تحسينات في مقاييس البراغي [16]. أهم مبدأ مرتبط بتصميم أجهزة القياس الصلبة هو كما يلي: يجب أن يتحقق مقياس go-gauge من الميزة الكاملة (الحد الأقصى للمواد) بينما يجب أن يتحقق مقياس no-go من كل ميزة أو بُعد فردي.

- (الأربعينيات) التحمل الهندسي: نظام لتحديد مناطق التسامح في الرسومات الهندسية من أجل التحكم في تباين قطع العمل. تم تطوير التسامح الهندسي لتحسين ضعف أنظمة التسامح السابقة للتعامل مع الشكل غير الكامل والمراجع الغامضة. لا يزال التسامح الهندسي في صميم أنظمة التسامح الحالية: مواصفات المنتج الهندسي والتحقق منها تم تعريفه من قبل المنظمة الدولية للتوحيد القياسي (ISO).

هناك ثلاث طرق أساسية للتحقق من أن المكون المُصنَّع يتوافق مع مواصفاته [17]: قياس يدوي قوي باستخدام ميكرومتر أو أجهزة مماثلة ، وعلم القياس الرقمي الذي يستخدم نقاط عينات تم جمعها بواسطة نظام قياس إحداثيات ثلاثي الأبعاد.

في عام 1988 ، أصدر ريتشارد ووكر من شركة Westinghouse Corporation تنبيهًا أمريكيًا GIDEP [18] حول اختلاف الأسلوب بين طرق القياس الرقمية والمقاييس التقليدية القائمة على القياس الثابت واليد. أدى هذا التنبيه في النهاية إلى عملية إعادة تعريف مفاهيم التسامح الهندسي من حيث الرياضيات المحددة جيدًا ، أي لإنتاج معايير وطنية ودولية قائمة على الرياضيات. أظهرت هذه العملية أن رياضيات التسامح الهندسي لم تكن كاملة ، حيث تتطلب العديد من المفاهيم تعريفات رياضية دقيقة لتجنب عدم اليقين في التعريف [19]. على سبيل المثال ، قام معيار ISO المنشور مؤخرًا بشأن الأحجام الخطية [20] بتوسيع تعريف واحد غامض للحجم إلى تعريف دقيق لما يشكل "ميزة" للحجم ، جنبًا إلى جنب مع مجموعة أدوات لا لبس فيها من التقنيات لتحديد أنواع مختلفة من الحجم ، اعتمادًا على على المتطلبات الوظيفية لتلك الهندسة. على سبيل المثال ، عملة المملكة المتحدة 50 بنس لها قطر ثابت من نقطتين ، وبالتالي يكون لها حجم نقطتين محدد جيدًا ، مما يضمن أنها يمكن أن تتدحرج لأسفل في الفتحة ، على الرغم من أنها بعيدة عن أن تكون دائرية (الشكل 3).

الشكل 3. 50p المملكة المتحدة المتداول.

يتمثل التحدي الذي يواجه "إضفاء الطابع الرياضي" على معايير المنتجات الهندسية في دمج التقليدي مع الرقمي باستخدام رياضيات محددة جيدًا تتيح فائدة للوظيفة والتصميم والقياس وإدارة عمر المنتج. يعد هذا وقتًا مثيرًا لتوحيد المنتج الهندسي مع وجود العديد من المناقشات الفلسفية التي لا تزال قائمة حول ما يعنيه مفهوم معين حقًا وكيف يمكن تمثيله رياضيًا. سيكون لمخرجات هذه المناقشات عواقب بالنسبة للهندسة الدقيقة.

5. النموذج الرقمي

المقاييس التقليدية هي في الأساس تماثلية ، تستخدم مقاييس صلبة ومقاييس يدوية للتحقق من أن القطع الأثرية مطابقة للمواصفات. يتم تغليف الرياضيات ضمن الإعداد الميكانيكي (الرقص والتركيبات) وعلاقات المقاييس (الشكل 4). يعد الحساب اللاحق للقياس بسيطًا نسبيًا ويتم تنفيذه يدويًا تقليديًا. اقتصرت المقاييس التقليدية بشكل أساسي على الأشكال الهندسية البسيطة (الطائرات ، والمجالات ، والأسطوانات ، والأقماع ، وما إلى ذلك) التي وصفت الهندسة المثالية للمصنوعات اليدوية في ذلك اليوم [21].

الشكل 4. قياس زاوية الاستدقاق باستخدام المترولوجيا التقليدية. (نسخة ملونة على الإنترنت.)

توفر المقاييس الرقمية ، من خلال أخذ العينات في نظام إحداثيات ، تمثيلًا رقميًا للقطعة الأثرية ، مما يتيح تطبيق التقنيات الحسابية (الشكل 5). يتم تغليف الرياضيات في حسابات ما بعد القياس من خلال خوارزميات تنفيذ البرامج التي تزداد تعقيدًا. عندما ظهرت المقاييس الرقمية لأول مرة في الستينيات ، كانت المعايير والمنهجيات لا تزال تعكس لغة ومفاهيم المقاييس التقليدية. لكن المترولوجيا الرقمية تمتد إلى ما هو أبعد من مجال القياس التقليدي.

الشكل 5. قياس تفتق مع النموذج الرقمي. (نسخة ملونة على الإنترنت.)

في العديد من الصناعات المتقدمة تقنيًا ، مثل البصريات ، أصبحت أشكال أسطح الأشياء المصنعة أكثر تعقيدًا بكثير من الأشكال الهندسية البسيطة. على عكس الأسطح التقليدية ، لا تحتوي هذه الأسطح المتقدمة على محاور دوران أو تناظرات أخرى ويمكن أن يكون لها في المستقبل أي شكل مصمم تقريبًا. هذه الأشكال السطحية الهندسية الأخيرة تسمى الأسطح ذات الشكل الحر [22]. على مدار العقد الماضي ، بدأ تصميم وتصنيع البصريات المتقدمة في تضمين عناصر بصرية حرة الشكل وأسطح بصرية دقيقة التنظيم ، والتي تعد مكونات مهمة في المنتجات ذات القيمة المضافة العالية مثل كاميرات الهواتف المحمولة وطابعات الليزر والماسحات الضوئية ذات القاعدة المسطحة وشاشات العرض. وأجهزة الاتصالات السلكية واللاسلكية وأجهزة الضوئيات ، على سبيل المثال موصلات الألياف الضوئية ذات النطاق العريض. تسمح الأسطح ذات الشكل الحر لهذه المكونات الضوئية باحتواء "زجاج" أقل ، مما يجعلها أخف وزناً وأرخص في التصنيع ، وفي معظم الحالات ، تؤدي بشكل أفضل [23 ، 24].

ومع ذلك ، فإن الاستخدام المتزايد بسرعة للأسطح الحرة فائقة الدقة لا يقتصر على مجال البصريات: تستخدم النباتات الحيوية مثل الأطراف الاصطناعية للركبة أسطحًا حرة الشكل كمكونات محمل. أحد التطورات الأولية في مجال الطب الحيوي هو الأزواج ذات الشكل الحر شديد التحمل ، والتي تتطلب تحكمًا في شكل مقياس ميكرومتر مع التحكم في طبوغرافيا السطح النانومترية [25،26].

في العوالم الأربعة للقطع الأثرية الدقيقة ، لأن عالم التصميم يأتي أولاً ، تحدد المواصفات النمط الذي تتبعه العوالم الثلاثة الأخرى. تتكون مواصفات القطع الأثرية الدقيقة من العديد من وسائل الشرح المستقلة ، كل منها يتطلب تحديد ثلاثة عناصر: ميزات السطح التي تشكل المقاييس ، والخصائص لتحديد الخاصية الهندسية المرغوبة للسمات ، وقاعدة المقارنة لتحديد حدود مقبولة / غير مقبولة لقيمة الخاصية.

يتم تحديد ميزات السطح من خلال سلسلة من أربع عمليات أساسية يتم تنفيذها على السطح: أخذ العينات، والانتقال من كائن مستمر إلى كائن منفصل ، إعادة الإعمار، والانتقال من كائن منفصل إلى كائن مستمر ، تقسيم من سطح إلى ميزات مختلفة و تكوين، بناء سطح من ميزات مختلفة. للتحلل ، هناك العديد من الأنواع الفرعية المختلفة ، بما في ذلك: تقسيم قطعة أثرية إلى أسطح وظيفية مختلفة ، ترشيح السطح إلى ميزات مختلفة الأحجام ، أي تحديد السطح الهندسي الاسمي الأفضل ملاءمة للنقاط التي تم أخذ عينات منها ، وما إلى ذلك. التحديات الرياضية الرئيسية هي: تحديد الأنواع الفرعية المناسبة للعمليات الأربع التي لها فائدة وظيفية لتحديد استراتيجيات أخذ العينات الفعالة لسطح هندسي للحصول على نقاط كافية لتنفيذ عمليات لاحقة من أجل التحقق من مطابقتها لمواصفاتها (أحد المضاعفات هو أنها ليست كذلك من الممكن أخذ عينات بشكل موحد رياضيًا على معظم الأسطح الهندسية ، انظر بيرجر [27]) لتحديد منهجيات مناسبة "أفضل ملاءمة" لأنواع الأسطح الهندسية المختلفة ، ومواصفات أنواع الأسطح الهندسية المختلفة (تمت مناقشة هذا بالتفصيل في دراسة الحالة في الفقرة 5)أ) ، لتحديد الترشيح لجميع أنواع الأسطح الهندسية.

هناك نوعان رئيسيان من الخصائص: جوهرية (خاصية لميزة واحدة) وعلائقية (خاصية العلاقة بين ميزتين أو أكثر). يتمثل التحدي الرياضي الرئيسي في تحديد الخصائص المستقرة والقوية للمنفعة الوظيفية. هنا ، تعني الخاصية المستقرة أن "التغييرات الصغيرة" في قيمة الخاصية تعني "تغييرات صغيرة" في السطح (انظر سكوت [10] للحصول على وصف رياضي كامل) والخاصية القوية تعني أن الأحداث الخارجية (مثل المسامير والخدوش ، خطوات ، فواصل الاستمرارية) لا تؤدي إلى "تغييرات كبيرة" في قيمة الخاصية.

قواعد المقارنة هي جزء من استدعاء يحد من التباين الهندسي. هناك ثلاث طرق لتحديد الحدود المسموح بها: حسب البعد والمنطقة والإحصاءات. يتمثل التحدي الرياضي في دمج عدم اليقين (انظر الفقرة 8) في قاعدة المقارنة.

أحد التحديات الحالية المهمة للغاية هو تحديد الأشكال الهندسية ذات الشكل الحر والحتمية (مثل الهيكلية). تم تنفيذ بعض الأعمال الأولية [28،29] لكنها لا تزال في الأيام الأولى.

(أ) دراسة حالة: مواصفات الأسطح الهندسية

عادةً ما يتم تحديد مواصفات الشكل المثالي للسطح من حيث:

- العناصر الهندسية: الطائرات ، والمجالات ، والأسطوانات ، والأقماع ، والتوري ،

- (أكثر عمومية) أسطح الثورة: شبه كروية ، بارابولويدات ، أسطوانية زائدة ، و

- الأسطح البارامترية الحرة: شرائح بارامترية ، خطوط B منطقية غير موحدة (NURBSs).

بشكل عام ، يمكن تعريف الهندسة كسطح رياضي ، حيث ش هي معلمات التصحيح أو نقطة القدم و ب هي المعلمات التي تحدد الموقع في بعض الإطارات المرجعية الثابتة وحجم وشكل السطح. من الممكن أيضًا تحديد السطح بشكل ضمني في النموذج F(x,ب) = 0 حيث مرة أخرى ب تحديد موضع وشكل الأسطح. حتى في حالة العناصر الهندسية القياسية مثل المجالات والأسطوانات ، فإن معلمات العنصر ليست مباشرة. نحن نسمح ه تكون مساحة العناصر الهندسية ، على سبيل المثال اسطوانات. البارامتر هو محلي واحد لواحد وعلى رسم الخرائط.

الباراميتورات ليست بالضرورة علاقة فردية على مستوى العالم. على سبيل المثال ، الاسطوانة ذات المحور العادي ن هو نفسه الذي تم تعريفه بواسطة -ن. المعلمات ليست فريدة من نوعها. على سبيل المثال ، يتم تعريف المخروط بستة معلمات. معلمتان قياسيتان لمخروط يتماشى محوره تقريبًا مع ض-المحور هو (i) رأس مخروط (ثلاثة معلمات) ، اتجاه المحور (اثنان) ، على سبيل المثال زوايا دوران حول x- و ذ- المحاور ، زاوية المخروط (واحد) ، أي الزاوية بين مولد المخروط ومحوره و (2) تقاطع محور المخروط مع المستوى ض= 0 (اثنان) ، اتجاه المحور (اثنان) ، نصف القطر (اثنان) على مسافتين ح1 و ح2 على طول محور المخروط من نقطة التقاطع مع ض= 0. هاتان المعلمتان ليستا متكافئتين ، حيث تنهار المعلمات الأولى عندما تقترب زاوية المخروط من الصفر ، في حين أن المعلمة الثانية لا تتساوى.

لا يمكن ، بشكل عام ، تعزيز الشرط الذي تكون فيه المعلمات محليًا لتكون على مستوى العالم. والسبب في ذلك هو أن طوبولوجيا ه لا يلزم أن تكون مسطحة مثل ص ن . على سبيل المثال ، الفضاء ن من نواقل اتجاه محور الاسطوانة ن هو كرة في ص 3 مع ن تم تحديده بـ -ن ولها طبولوجيا غير مسطحة. بالنسبة لمساحات العناصر ذات الطوبولوجيا غير المسطحة ، فإن أي معلمات لها تفرد واحد على الأقل. هذا له آثار على مطوري خوارزميات تركيب العناصر لأن الخوارزميات قد تحتاج إلى تغيير المعلمات مع تقدم خوارزمية التحسين. أي تطبيق يستخدم معلمات واحدة فقط (على الأرجح) سوف ينهار للبيانات التي تمثل عنصرًا عند (أو قريبًا) من التفرد لتلك المعلمات المعينة.

تصبح مشكلة البارامتر أكثر صعوبة بالنسبة للأسطح الحرة المحددة بواسطة خطوط B البارامترية أو NURBSs الأكثر عمومية [30]. يتكون منحنى الشريحة (مكعب) من خلال ضم أقسام متعددة الحدود (مكعب) معًا. تسمى مواقع نقاط الانضمام بالعقد. يعد تركيب منحنيات الشريحة على البيانات فعالًا للغاية لأن المصفوفات المعنية يتم ربطها ويمكن استغلال هذا الهيكل. كما هو الحال مع الحسابات التي تنطوي على كثيرات الحدود [31] ، كان ذلك فقط مع تطوير خوارزميات مستقرة عدديًا [32،33] باستخدام ما يسمى بوظائف الأساس B-spline ني(x) أن استخدام الشرائح المكعبة أصبح عمليًا. في سطح خدد B حدودي ، يتم تمثيل كل إحداثي على هيئة شريحة منتج موتر على نفس مجموعة العقدة:

بالنسبة لأسطح الخيوط البارامترية ، توجد علاقة هندسية قوية بين نقاط التحكم والسطح نفسه. على سبيل المثال ، يؤدي تطبيق تحويل صلب للجسم على نقاط التحكم إلى نفس التحول في تحجيم السطح ، حيث تقوم نقاط التحكم بقياس السطح بنفس المقدار. بينما نقاط التحكم ب (مع الأوزان ، إذا كنا نتعامل مع سطح NURBS) حدد السطح ، المتجه ب لا يمثل بشكل عام معلمات على النحو المحدد أعلاه لأن التغيير في شكل نقاط التحكم لا يعني بالضرورة تغييرًا في شكل السطح المرتبط. يتم إعطاء مثال بسيط من خلال منحنيات الشريحة البارامترية للنموذج F(ش,ب)=(F(ش,ص),ز(ش,ف)) على نفس العقدة. إذا ص=ف، يحدد منحنى الشريحة البارامترية قسمًا من الخط ذ=x تغيير المعاملات المرتبطة بالعقد الداخلية مع الحفاظ على العلاقة ص=ف لا يغير المقطع المستقيم ، فقط السرعة فيما يتعلق ش النقطة F(ش,ب) يتحرك على طول المقطع المستقيم. يشير هذا السلوك إلى أننا نسمح فقط بتلك التغييرات في شكل نقاط التحكم التي تتوافق مع التغييرات في شكل السطح.

(ب) دراسة حالة: العمليات الغوسية والأخطاء النموذجية

في حين أن الأسطح البارامترية مثل NURBS هي أدوات مرنة للغاية لتمثيل الأشكال الهندسية المثالية ، فإن الجزء المصنع الفعلي سيخرج عن الهندسة المثالية بطريقة يصعب التنبؤ بها. يمكن تحديد تقدير مقدار انحراف السطح الفعلي عن الهندسة المثالية عن طريق قياس الجزء وملاءمة الهندسة المثالية للإحداثيات المقاسة. المسافات المتبقية د(xأنا,ب) لإعطاء مقياس للابتعاد عن الهندسة المثالية. ومع ذلك ، من الواضح أن مثل هذا الإجراء سيعتمد على النقاط التي تم أخذ عينات منها ، ومن المحتمل أن يؤدي اختيار مجموعة مختلفة من النقاط إلى قياس مختلف إلى حد ما. تكمن الصعوبة في أن تقييم خطأ النموذج يتضمن السطح الكامل ، في حين أن البيانات لا تمثل سوى عينة منفصلة من السطح.

تعطي العمليات الغاوسية [34] نهجًا لتوليد تقديرات الكميات المحددة عبر سلسلة متصلة من البيانات المنفصلة. النهج التقليدي لحل هذه المشكلة هو افتراض أن الكمية عضو في مساحة نموذجية معينة ، على سبيل المثال. كثيرات الحدود ، والخرائط ، و NURBSs ، ثم استخدم البيانات المقاسة لتحديد العضو من مساحة النموذج التي تتطابق على النحو الأمثل مع البيانات المرصودة. ومع ذلك ، فإن صلاحية النهج تعتمد على تحديد مساحة النموذج الصحيحة. إذا لم يتم تغطية السلوك الفعلي للنظام من خلال مساحة النموذج المحددة ، فقد تكون الاستنتاجات المستندة إلى مساحة النموذج المفترضة معيبة. يتم تحديد نماذج العملية الغاوسية من حيث سلوك الارتباط بدلاً من مساحات النموذج الوظيفية. على سبيل المثال ، بالنسبة لخطأ النموذج ، قد نتوقع أن يكون خطأ النموذج في المواقع القريبة متشابهًا وكلما اقتربت المواقع ، كان الارتباط أقوى (ولكن ليس هو نفسه تمامًا بسبب تأثيرات خشونة السطح). على سبيل المثال ، يمكن نمذجة هيكل الارتباط هذا كـ

على سبيل المثال ، افترض أننا مهتمون بتقييم خطأ شكل الدائرة ، على غرار

يوضح الشكل 6 أفضل تقدير لانحراف النموذج (ض) تم تقييمه عند 100 نقطة (منحنى صلب) مشتق من سبعة قياسات (ذ). يوضح الشكل أيضًا عينتين ض1,ض2∈N (ض,الخامسض) (النقاط والصلبان) التي تمثل الإدراك المحتمل لخطأ النموذج. تأخذ الحسابات في الاعتبار ارتياب القياس المرتبط بـ ذ.

الشكل 6. الانحراف التقديري للشكل عند 100 نقطة (صلب) منحنى مشتق من سبعة قياسات (دوائر) ، إلى جانب تحقيقين محتملين (نقاط وتقاطعات) لخطأ الشكل. (نسخة ملونة على الإنترنت.)

6. النماذج الرياضية

جميع الرياضيات المستخدمة في الهندسة الدقيقة من المصريين متسلسل إلى خوارزميات الكمبيوتر المعقدة الحديثة ، لديها نموذج رياضي أساسي. ليس من الممكن الآن تطوير أي جهاز معقد أو أداة دقيقة دون الحاجة أولاً إلى محاكاة أو بناء نموذج رياضي لهذا الكيان من أجل اختبار أفكار فعاليته.

يعد اختيار النموذج الرياضي والقرارات الخاصة بنوع النموذج أمرًا بالغ الأهمية للقدرة على الإجابة على الأسئلة التي يتم طرحها عليه. هل يجب أن يكون نموذجًا تحليليًا أم عدديًا أم نموذجًا منفصلاً أم مستمرًا أم نموذجًا عشوائيًا أم نموذجًا محددًا وما إلى ذلك؟ ليس هناك أجوبة سهلة لهذه الأسئلة. يعتمد اختيار النموذج على الأدوات الرياضية المتاحة ، وفيزياء المشكلة ، وما إلى ذلك. لا يمكن تحقيق العدالة لمجموعة كاملة من الفروق الدقيقة في النمذجة الرياضية ضمن مساحة هذه الورقة ، لذا فإن دراسة حالة من الهندسة الدقيقة ستكون تستخدم لتوضيح بعض المفاهيم الكامنة وراء النمذجة الرياضية. يمكن العثور على مناقشة أشمل لهذه القضايا داخل النماذج الرياضية في غيرشنفيلد [35].

أحد الاستخدامات المهمة جدًا للنماذج الرياضية هو تحسين تصميم الأدوات الآلية من خلال النمذجة الاهتزازات والتأثيرات الحرارية وغيرها من التأثيرات البيئية. تحليل العناصر المحدودة (FEA) هو أسلوب شائع جدًا يستخدم لنمذجة هذه التأثيرات. ويرد مثال على ناتج FEA في الشكل 7: الشكل 7أ يوضح توزيع درجة الحرارة ، والشكل 7ب يوضح التشوهات في هيكل المعالجة بسبب التوزيع الحراري (مثال من Mian وآخرون. [36]).

الشكل 7. (أ) توزيع درجة الحرارة في هيكل الآلة أثناء الدورة. (ب) التشوهات في آلة التسخين بسبب التوزيع الحراري. (نسخة ملونة على الإنترنت.)

(أ) دراسة حالة: العمليات الغوسية وأخطاء الآلة

يمكن أيضًا استخدام العمليات الغاوسية لنمذجة أخطاء نظام القياس على سبيل المثال ، الأخطاء الحركية المرتبطة بآلة قياس الإحداثيات (CMM). عادة ، يتم نمذجة هذه الأخطاء الحركية على أنها وظائف متعددة الحدود أو وظائف خددية. ومع ذلك ، يمكن أن تكون النماذج القائمة على بنية الارتباط ذات قيمة أيضًا. تم استخدام نموذج ارتباط بسيط للغاية لمعايرة الميزات العادية مثل ألواح الفتحات وألواح الكرة وقضبان الكرة والمصفوفات المستهدفة ثنائية الأبعاد لأنظمة الرؤية. نظرًا للتماثل المنتظم المرتبط بهذه المصنوعات اليدوية ، من الممكن ترجمة المصنوعات اليدوية أو تدويرها ، بحيث تكون الميزات (الثقب أو مراكز الكرة) موجودة تقريبًا في نفس النقاط الاسمية xل في حجم العمل.

تؤدي هذه الميزة إلى ظهور معادلات مراقبة للشكل xأنا+هل=ذي,ك+ϵأنا، أين xأنا هي إحداثيات القياس قريبة من xل, هل هو الخطأ المنهجي الثابت في xل, ذي,ك هو موقع يالميزة ال ذي في ال كالموقع عشر من المصنوعات اليدوية و ϵأنا يمثل التأثيرات العشوائية المرتبطة بـ xأنا. هكذا، هل يعرض خطأ الآلة الذي يعتبر ثابتًا ، أي مترابط تمامًا ، داخل حي صغير من xل. مع إستراتيجيات القياس المناسبة [37] ومعلومات إضافية عن ضبط المقياس ، من الممكن معايرة كل من ميزات القطع الأثرية ذي وأخطاء الجهاز هل في نفس الوقت ، عن طريق حل مشكلة المربعات الصغرى غير الخطية الكبيرة. لأن معادلات الملاحظة تتضمن واحدًا على الأكثر ذي و واحد هل، فإن المصفوفة اليعقوبية المرتبطة بها قليلة للغاية ، وبالنسبة للمصنوعات الكبيرة ذات الخصائص العديدة ، يجب استخدام تقنيات المصفوفة المتفرقة من أجل جعل الحسابات عملية [38]. يمكن استخدام العمليات الغاوسية لتوسيع هذا النهج ليشمل المهام التي يوجد فيها تناظر تقريبي مرتبط فقط بالتصنيع.

7. مشاكل معكوسة

في المشكلات المستقبلية ، يتم أخذ بيانات الإدخال من خلال نظام لإنتاج بيانات الإخراج. في المسائل العكسية ، يكون المخرج معروفًا ولكن مع وجود أخطاء ، والمشكلة تكمن في حساب إما الإدخال أو النظام ، مع الأخذ في الاعتبار الآخر [39].

في كثير من الأحيان ، يلزم ربط المعلمات في نموذج رياضي بالبيانات المقاسة المرصودة. هذه مشكلة عكسية كلاسيكية [40]. المشاكل العكسية موجودة في كل مكان في الهندسة الدقيقة وخاصة في علم القياس ، من تفسير النتائج المقاسة ، من خلال المعايرة وتعديل الأدوات ، وتركيب الأسطح على البيانات المقاسة (انظر دراسة الحالة في الفقرة 7أ) ، لتصحيح هندسة المسبار. يتم إحداث مفاهيم مثل الدقة وعدم اليقين وشفرة Ockham وما إلى ذلك تلقائيًا كجزء من الإطار التفصيلي للمشكلات العكسية. تمثل المشكلات المعكوسة تحديًا مهمًا لرياضيات الهندسة الدقيقة (والعلوم ككل).

ورد في Hadamard [41] أن هناك ثلاث قضايا في المشاكل العكسية: الوجود (لا يوجد نموذج يناسب البيانات المرصودة تمامًا) التفرد (من المحتمل أن يكون هناك العديد من الحلول الدقيقة) واستقرار الحل (يمكن أن تكون الحلول العكسية غير مستقرة للغاية). تشكل المشكلات الثلاثة تحديات رياضية مثيرة للاهتمام للمشكلات العكسية في الهندسة الدقيقة. هناك قدر كبير جدًا من المؤلفات حول المشكلات العكسية مع النماذج الخطية التي يتم تطويرها بشكل خاص ، بما في ذلك التقنيات التي تسمح بحلول تقريبية مستقرة للمشكلات العكسية التي يتم طرحها بشكل سيء (مثل خوارزميات التنظيم مثل تنظيم الطيف وتيخونوف) [40]. إنه مع المشاكل العكسية غير الخطية حيث تكمن التحديات الحقيقية.

(أ) دراسة حالة: ملاءمة الأسطح الهندسية للبيانات

يتعلق أحد الأنشطة الرئيسية في الهندسة الدقيقة بتقييم مدى قرب تطابق جزء مع هدف التصميم الخاص به في الوقت الحاضر ، المحدد من حيث العناصر الهندسية أو NURBS أو ما شابه ذلك. في الهندسة التقليدية ، تم إجراء هذا التقييم باستخدام مقاييس صلبة للتحقق من الأبعاد المختلفة للجزء. منذ إدخال نموذج CMM في الستينيات من القرن الماضي ، تحقق التحقق الجزئي بشكل متزايد من خلال مطابقة التمثيل المنفصل للجزء من خلال مجموعة من الإحداثيات xأنا=<xأنا:أناأنا>, أنا=<1,…,م> ، مجمعة بواسطة نظام قياس إحداثيات ، لتمثيل رياضي للسطح المثالي. تتضمن عملية التركيب عادةً حساب أو تقدير المسافة من نقطة إلى سطح. يترك x تكون نقطة مسند قريبة بشكل معقول من السطح ، واسمحوا ش* يكون الحل لمشكلة "نقطة القدم" بحيث ش*=ش*(ب) يحدد النقطة على السطح الأقرب إلى x. يترك ن=ن(ب) تكون طبيعية للسطح عند F(ش*,ب) ، بالمثل وظيفة ب، وحدد

في المربعات الصغرى لانحدار المسافة المتعامد (LSODR) ، يكون السطح الأنسب لمجموعة من البيانات هو ذلك الذي يقلل من مجموع مربعات المسافات المتعامدة ، أي يحل. قد تقتصر مشكلة التحسين على ضبط موضع وحجم السطح مع الحفاظ على ثبات الشكل. عادةً ما يتم استخدام خوارزمية Gauss-Newton لإجراء التحسين. نظرا لتقدير ب، يتم إعطاء تقدير محدث بواسطة

يمكن أيضًا طرح مشكلة LSODR على أنها

8. عدم اليقين

عند الإبلاغ عن نتيجة القياس ، من الضروري إعطاء بعض المؤشرات الكمية لجودة النتيجة حتى يتمكن مستخدموها من تقييم موثوقيتها. بدون مثل هذا المؤشر ، لا يمكن مقارنة نتائج القياس ، سواء فيما بينها أو مع القيم المرجعية الواردة في المواصفات أو المعيار. يوفر دليل ISO / IEC 98-3: 2008 (GUM) [45] مجموعة من الإجراءات لتوصيف جودة نتيجة القياس تسمى الارتياب.

علاوة على ذلك ، يميز GUM بين نتيجة القياس وخصائص معدات القياس. يستخدم عدم اليقين فقط لوصف جودة نتائج القياس. يتم استخدام الحد الأقصى من الأخطاء المسموح بها لتوصيف جودة سمات جهاز القياس.

يتم تعريف عدم اليقين في القياس على أنه (انظر ISO [19]):

المعلمة ، المرتبطة بنتيجة القياس ، والتي تميز تشتت القيم التي يمكن أن تُعزى بشكل معقول إلى القياس.

يميز الصمغ هذا التشتت من حيث الانحرافات المعيارية. وبالتالي ، يتم تقدير جميع مكونات الخطأ وعدم اليقين (الشكل 8) على أنها انحرافات معيارية حسب تأثيرها على النتيجة النهائية لعملية القياس. يتم حساب الارتياب القياسي لنتيجة القياس عندما يكون هناك عدد من مكونات عدم اليقين على أنها عدم يقين قياسي مشترك ويساوي الجذر التربيعي الإيجابي لمجموع المصطلحات ، بما في ذلك الفروق (مربعات الانحرافات المعيارية) والتغايرات (مقاييس الارتباط بين أزواج المتغيرات) للمساهمين الفرديين في عدم اليقين ومعاملات الحساسية للمخرجات فيما يتعلق بالمدخلات.

الشكل 8. بعض مصادر الخطأ النموذجية لميزانية الخطأ. مستنسخة من ISO [46]. (نسخة ملونة على الإنترنت).

عند الإبلاغ عن عدم اليقين ، من المعتاد ذكر عدم اليقين الموسع ، وهو عدم اليقين المعياري المجمع مضروبًا في عامل رقمي يسمى عامل التغطية ، والذي يكون عادةً في النطاق 2-3 (القيمة الافتراضية هي 2 وتوافق ، من أجل ناتج موزع بشكل طبيعي ، إلى مستوى ثقة 95٪). قد يُتوقع أن يشمل عدم اليقين الموسع جزءًا كبيرًا من توزيع القيم التي يمكن أن تُعزى بشكل معقول إلى القيمة المقاسة.

عند الإبلاغ عن تحليل عدم التيقن ، يجب تحديد المقياس قيمته ويجب تحديد عدم اليقين الموسع ، جنبًا إلى جنب مع عامل التغطية ، إذا كان هذا يختلف عن 2. كما يتم الإبلاغ عن أوجه عدم اليقين القياسية لكل مكون من مكونات عدم اليقين الفردية ، إلى جانب نوع التقييم (A أو B انظر GUM [45]) وأي افتراضات يتم إجراؤها في تقدير مكونات عدم اليقين الفردية.

يستخدم GUM مفاهيم تعتمد على الكميات التي يمكن ملاحظتها. إن تعريف الارتياب في القياس هو تعريف تشغيلي يركز على نتيجة القياس وعدم التأكد المقدر لها.

تعد الموازنة الخاطئة ، باستخدام عدم اليقين ، أحد الأساليب الرئيسية لتحسين دقة أداة / أداة القياس. يسمح تحديد المصادر الرئيسية للخطأ إما بتقليل الخطأ (عزل مصدر الخطأ والتخلص من ذلك المصدر) أو تصحيح الخطأ (المعايرة والضبط من خلال مصححات الأجهزة أو البرامج). عندما يتم تحسين أداة الآلة / أداة القياس ، تحتوي ميزانية الخطأ عادةً على عدة (أربعة إلى ستة) مصادر خطأ رئيسية تساهم بشكل متساوٍ في ميزانية الخطأ. يتطلب التحسن في الدقة تقليل جميع مصادر الخطأ الرئيسية معًا ، وهو ما قد لا يكون اقتصاديًا.

(أ) دراسة حالة: أوجه عدم اليقين المرتبطة بالبارامترات المجهزة

لنفترض أن الإحداثيات المقاسة هي اضطرابات في البيانات الحقيقية تكمن بالضبط بالنسبة للبعض ب* بالنسبة الى xأنا∈N (xأنا * ,الخامس) ، أي أن الاضطرابات مستمدة من توزيع غاوسي متعدد المتغيرات مع مصفوفة التباين الخامس . ثم ، من أجل الترتيب الأول ، تكون المعلمات المجهزة بمثابة تعادل

بالنسبة للعديد من أنظمة القياس ، فإن افتراض الضوضاء الغوسية المستقلة هو تبسيط مفرط. على سبيل المثال ، من المعروف أن CMM سيكون لها عمومًا أخطاء حركية تتعلق بالمقياس ، والتربيع ، واللف ، والنغمة ، والانعراج. يمكن نمذجة هذه التأثيرات المنهجية من خلال وظائف كثيرة الحدود أو وظائف خددية اعتمادًا على المعلمات أ يتم تحديدها وتصحيحها على أساس الملاحظة. نظرًا لأن هذه التصحيحات ليست دقيقة ، فسيكون هناك شكوك متبقية مرتبطة بها ، مشفرة بواسطة مصفوفة التباين الخامسأ، التي يتم نشرها من خلال الإحداثيات المقاسة. في هذه الحالة ، مصفوفة التباين الخامس المرتبطة بالإحداثيات المقاسة سيكون لها النموذج

بالنسبة لمصفوفات التباين العامة ، فإن مقدر LSODR ليس مقدر الاحتمالية القصوى والنهج الأكثر كفاءة من الناحية الإحصائية هو تحديد التقدير الذي يحل

ميزة حل المشكلة كما تمت صياغتها في (8.3) مقابل (8.2) هي أن قيم الحل لـ ه0 يمكن استخدامها لتحديث تقديرات التأثيرات المنهجية المرتبطة بنظام القياس. على سبيل المثال ، سيوفر قياس مقياس الحلقة بخطأ منخفض الشكل معلومات حول أخطاء التربيع المرتبطة بـ CMM. هذه الوظيفة مهمة أيضًا في مقارنة قياسات نفس مجموعة النقاط باستخدام نظامين. افترض أن نظامين ينتجان تقديرات ومصفوفات تباين

9. تحديات المستقبل

أصبحت المصنوعات الدقيقة أكثر تعقيدًا وأكثر دقة وسيكون لها نطاق أكبر من المتطلبات الوظيفية مع زيادة الأداء. كما يجب تصنيعها بتكلفة أقل للوحدة. كل هذا سينعكس في التحديات الرياضية المستقبلية في العوالم الأربعة التي تعيشها المصنوعات اليدوية الدقيقة

ستصبح المواصفات أكثر مرونة لتغطية نطاق الأشكال الهندسية والمتطلبات الوظيفية. يسمح مفهوم صندوق الأدوات الخاص بالمواصفات (من خلال أدوات محددة للميزات والخصائص والشروط) بهذه المرونة ويمكن تصميمه لمحاكاة متطلبات وظيفية محددة. أصبحت مفاهيم "الأسطح المحدودة النطاق" ذات أهمية متزايدة في المواصفات. هناك العديد من الأنواع المختلفة من مسافات القياس (الطيفية ، المورفولوجية ، التجزئة ، تجانس PDE ، إلخ) ، لكل منها خصائص مفيدة لوظائف السطح المختلفة. الطرق الثلاث للحد من مساحة المقياس ، والمفيدة للمواصفات ، هي: إزالة المقاييس الأصغر فقط إزالة المقاييس الأصغر مع إزالة النموذج وإزالة كل من المقاييس الأصغر والأكبر (بما في ذلك النموذج) مع الاحتفاظ بالمقاييس المتوسطة. تساعد الأنواع الثلاثة من الأسطح المحدودة الحجم ، جنبًا إلى جنب مع مساحات المقياس الوظيفية المختلفة ، في حل أحد التحديات المهمة في جعل المواصفات نظامًا رياضيًا موحدًا يغطي جميع المقاييس (الحجم والشكل والملمس) وجميع الأشكال الهندسية.

سيصبح التصنيع أكثر اعتمادًا على المحاكاة والنمذجة الرياضية لعمليات التصنيع لضمان نتائج متسقة وأكثر دقة. ستصبح النمذجة الرياضية للاهتزاز والتأثيرات الحرارية والبيئية وما إلى ذلك أكثر تفصيلاً حيث تمتلك أجهزة الكمبيوتر المزيد من القوة ، لأن قوة أجهزة الكمبيوتر العملاقة اليوم تصبح قوة الغد لأجهزة الكمبيوتر المكتبية. سيتم استخدام هذه الأساليب الحسابية في تصميم عمليات التصنيع المحسنة ، وخاصة الأدوات الآلية. يمكن أيضًا استخدام النماذج لمعايرة برنامج التحكم وضبطه لتصحيح أي أخطاء متوقعة.

يشهد التحقق ثورة في الانتقال إلى النموذج الرقمي. تسمح المقاييس المحسّنة مثل حواجز شبكية ثلاثية الأبعاد أو موازين قياس التداخل المباشر لإطارات القياس بزيادة دقة نظام الإحداثيات. ستسمح مواصفات الأسطح المحدودة النطاق ذات المقياس السطحي الأصغر بتطبيق نظريات أخذ العينات المختلفة عند إنشاء إجراء لأخذ العينات. من الممكن أيضًا دمج معلومات المستشعر لتحسين نطاق ودقة القياس وتعديل القيم المقاسة الناتجة عن المستشعر لتصحيح الأخطاء. لكن الميزة الرئيسية للنموذج الرقمي هي استخدام خوارزميات رياضية قوية قادرة على عكس عمليات المواصفات ، وخاصة تركيب النموذج ، والقدرة على حساب أي خاصية مرغوبة تقريبًا.

تكمن تحديات عمر المنتج بشكل أساسي في تصميم المصنوعات الدقيقة لتحقيق الجودة والمنفعة المرغوبة على مدار عمر الأداة. وهذا يشمل الكفاءة الوظيفية ، وزيادة عمر الأداة ، وتكلفة استخدام الأداة ، وما إلى ذلك. ستلعب المحاكاة والنمذجة الرياضية دورها الكامل في تحسين جودة حياة المنتج وفائدته.

كفكرة أخيرة ، تم توضيح أهمية النماذج الرياضية للمستقبل من خلال اقتباس من William H. Press من جامعة هارفارد:

ستعمل المحاكاة والنمذجة الرياضية على دعم القرن الحادي والعشرين بالطريقة التي قادت بها البخار القرن التاسع عشر [35].


جراب 2: استكشاف تقدم المجالات ضمن معايير الدولة الأساسية المشتركة

استخدم المستندات أدناه لاستكشاف تقدم المجالات ضمن معايير الدولة الأساسية المشتركة. شاهد كيف يتقدم تطوير المجال عموديًا (K-12) وكيف تدعم المجالات بعضها البعض.

معايير محتوى الدرجة سبان

وثائق التقدم السردي
يتم توفير ملفات PDF التالية بواسطة معهد الرياضيات والتعليم.


مساعدة في الكسور

الكسور

/ لإدخال جزء من النموذج 3/4. انقر فوق رقم ثم انقر فوق شريط الكسر ، ثم انقر فوق رقم آخر.

& # 8596 يمكنك استخدام زر مسافة الكسر لإنشاء رقم بالشكل 5 3/4. أدخل رقمًا ، ثم انقر فوق مساحة الكسر ، وانقر فوق رقم آخر ، ثم انقر فوق زر شريط الكسر ، وأخيرًا أدخل رقمًا آخر.

يعمل زر التنسيق العشري DEC FRA وزر تنسيق الكسر كزوج. عند اختيار أحدهما يتم إيقاف تشغيل الآخر.
يتم استخدام زر التنسيق العشري لجميع الأعمال العشرية. أيضًا لتغيير جزء من الشكل 3/4 إلى الرقم العشري 0.75 ، أو كسر من الشكل 7/4 أو رقم مختلط من الشكل 1 3/4 إلى الرقم العشري 1.75. انقر فوق زر التنسيق العشري ، وأدخل كسرًا أو رقمًا مختلطًا ، ثم انقر فوق يساوي. إذا كان الكسر أو الرقم المختلط جزءًا فقط من الحساب ، فاحذف النقر فوق يساوي واستمر في الحساب لكل معتاد. أي 3/4 DEC × 6 =.
يستخدم زر تنسيق الكسر للعمل مع كل الكسور. أيضًا لتغيير رقم عشري من الشكل 0.5 إلى كسر 1/2 ، أو تغيير رقم عشري من الشكل 1.75 إلى رقم مختلط بالصيغة 1 3/4 أو إلى كسر 7/4 ، أو كسر من الصورة 7 / 4 إلى العدد الكسري 1 3/4. انقر فوق زر تنسيق الكسر ، وأدخل رقمًا عشريًا ، وانقر فوق يساوي ، ثم انقر فوق نموذج كسر ثم انقر فوق يساوي. إذا كان الكسر العشري جزءًا من عملية حسابية ، فتجاهل النقر فوق يساوي وتابع الحساب.

أ ب / ج أ + ب / ج زر الكسر المناسب وزر الكسر غير المناسب يعملان كزوج. عند اختيار أحدهما يتم إيقاف تشغيل الآخر.
يستخدم زر الكسر الصحيح لتغيير رقم من الشكل 9/5 إلى الشكل 1 4/5. الكسر المناسب هو كسر حيث يكون البسط (الرقم العلوي) أقل من المقام (الرقم السفلي).
يستخدم زر الكسر غير المناسب لتغيير رقم من الشكل 1 4/5 إلى الشكل 9/5. الكسر غير الفعلي هو كسر حيث البسط (الرقم العلوي أكبر من أو يساوي المقام (الرقم السفلي).


قياس البيانات: المعنى والأنواع والخصائص | إحصائيات

بعد قراءة هذا المقال ستتعرف على: - 1. معنى القياس 2. أنواع القياس 3. الخصائص 4. القياس الفيزيائي وقياس العلوم السلوكية 5. الوظائف.

معنى القياس:

القياس يعني الوصف الكمي للبيانات. إنه فعل أو عملية التحقق من مدى أو كمية شيء ما.

تم تعريف المصطلح بعدة طرق على النحو التالي:

1. موسوعة البحوث التربوية:

يعني القياس ملاحظة أو تحديد حجم التقييم المتباين يعني التقييم أو التقييم.

2. جيمس إم برادفيلد:

القياس هو عملية تعيين رموز لأبعاد الظاهرة من أجل توصيف حالة الظاهرة بأكبر قدر ممكن من الدقة.

3. كامبل:

القياس يعني تخصيص الأرقام للكائنات أو الأحداث وفقًا للقواعد.

4. ثورندايك:

أي شيء موجود على الإطلاق ، موجود بكمية ما وأي شيء موجود بكمية معينة يمكن قياسه.

5 - جيلفورد:

القياس يعني وصف البيانات من حيث الأرقام وهذا بدوره يعني الاستفادة من الفوائد العديدة التي توفرها العمليات بالأرقام والتفكير الرياضي.

من تحليل التعريفات أعلاه يمكن القول أن القياس هو عملية التقدير الكمي لبعض الظواهر. هو تخصيص عدد أو مجموعة من الأرقام لظاهرة واحدة أو مجموعة من الظواهر.

في هذه العملية ، تتم المقارنة بين كمية ذات مقياس مناسب لغرض تحديد القيمة العددية.

ومن ثم ، من المناقشة السابقة يمكن استنتاج ما يلي:

1. القياس يعني مقارنة كمية غير معروفة بكمية معروفة تؤخذ كوحدة.

2. يعني القياس إسناد قيمة كمية دقيقة & # 8216 & # 8217.

3. القياس هو عملية تعيين رموز للملاحظة بطريقة هادفة ومتسقة.

4. القياس هو تخصيص رموز لأبعاد الظواهر من أجل وصف حالة الظواهر بأكبر قدر ممكن من الدقة.

5. يهدف القياس إلى تحديد حجم المتغير.

6. يتحقق القياس من مدى وكمية أي شيء يتم قياسه.

أنواع القياس:

في الممارسات العامة ، نواجه ثلاثة أنواع من القياس ، أي القياس المباشر - عندما نقيس طول أو عرض أو وزن شيء ما ، فإننا نقيسه مباشرةً باستخدام وحدة قياسية.

هذه هي حالات القياس المباشر وهذه القياسات دقيقة إذا كانت الأدوات صالحة. في حال أردنا معرفة كمية الحرارة التي تحتويها مادة ما ، فإننا نقيس درجة حرارة المادة بمساعدة مقياس حرارة ثم نحسب الحرارة التي تحتويها المادة.

هنا ، لا توجد أدوات متاحة لقياس حرارة المادة بشكل مباشر ، وبالتالي نقيسها بشكل غير مباشر. عندما يتم إجراء القياس بشكل غير مباشر ومقارنة درجة الاختبار ببعض المعايير ، فإننا نواجه القياس النسبي.

لقياس ذكاء الطفل أو كفاءته أو موقفه أو اهتمامه ، نعطيه بعض الاختبارات النفسية المتعلقة بالسمات ونقارن درجاته مع بعض المعايير. تشمل القياسات النفسية والتربوية قياسات نسبية.

خصائص القياس:

تكشف جميع المناقشات التي تم إجراؤها أعلاه عن الخصائص الرئيسية التالية للقياس:

1. عملية تعيين الرموز:

القياس ، بشكل عام ، هو عملية تعيين رموز للملاحظات بطريقة هادفة ومتسقة. من المفترض أن تعبر الرموز عن موضع مقياس محدد لأنه مرتبط بالكلمة & # 8216measure & # 8217. في عملية القياس ، لا يقوم المحقق بتعيين أرقام من اختياره ، ولكن وفقًا لقواعد ثابتة وصريحة معينة.

في القياس المادي عندما يقيس المرء طول طريق أو قطعة قماش بالمتر والقدم والبوصة ، تكون قواعد تعيين الأرقام صريحة وواضحة للغاية. لكن في العلوم السلوكية ، تكون قواعد القياس بشكل عام غامضة وأقل وضوحًا. لنفترض أن المرء يريد قياس إبداع أو ذكاء الطفل. في مثل هذه الحالة ، لن تكون القواعد واضحة كما في العلوم الفيزيائية.

2. لا توجد نقطة صفرية مطلقة:

في القياس العقلي لا توجد نقطة الصفر المطلقة. إنه متعلق ببعض المعايير التعسفية. حصل الطالب على صفر في اختبار أو مادة. هذا لا يعني أنه لا يعرف شيئًا عن هذا الاختبار أو الموضوع. لا يمكننا الادعاء بأن الصبي لديه معدل ذكاء. من 110 هو ضعف ذكاء الصبي الذي يمتلك معدل ذكاء. من 55.

3. عملية القياس الكمي:

القياس ينطوي على عملية القياس الكمي. في عملية القياس ، تُستخدم الأرقام لتمثيل كميات السمة. يشير القياس الكمي إلى مقدار أو إلى أي مدى توجد هذه السمة المعينة في كائن معين.

4. عملية معقدة:

عملية القياس في العلوم السلوكية صعبة ومعقدة. لا يتم قياس السمة أو السمة مباشرة بالمقياس ولكن يتم قياس السمة بشكل غير مباشر من خلال السلوكيات.

أساس القياس هو سلوك الموضوع. يتم قياس جميع السمات السلوكية بمساعدة السلوكيات. يتم استخدام كل من السلوكيات العلنية والسرية في عملية القياس.

5. إحساس اللانهاية:

ينقل القياس في العلوم السلوكية إحساسًا باللانهاية. هذا يعني أنه لا يمكننا قياس كامل سمة الفرد.

6. غالبًا ما يكون القياس العقلي ذاتيًا:

تعتمد دقة القياس على الشخص الذي يقيسها. يعتمد أيضًا على عوامل مختلفة مثل ظروف الاختبار ، ونوع عناصر الاختبار ، والعيوب في اللغة ، والظروف الجسدية والعاطفية للمتقدمين وما إلى ذلك

7. الوحدات غير محددة:

الوحدات ليست محددة في القياس العقلي. قد لا نحصل على نفس القيمة لكل شخص. يعتمد بشكل كبير على الاختبارات النفسية والتعليمية التي تختلف في المحتوى والموضوعية. قد يحصل الفرد على درجات مختلفة في اختبارات ذكاء مختلفة.

8. أدوات القياس ليست دقيقة:

الأدوات المستخدمة في القياسات التربوية والنفسية ليست دقيقة أبدًا بل هي تقريبية.

9. الوحدات في القياسات الفيزيائية أساسية:

تعتبر الوحدات في القياسات الفيزيائية أساسية ، ولكنها مشتقة في حالة القياس العقلي.

القياس الفيزيائي وقياس العلوم السلوكية - المقارنة:

أحيانًا نفشل في التمييز بين القياس العقلي والقياس الفيزيائي لأنهما متشابهان. لن نتمكن من تقدير دور التقييم ما لم ندرك ونفهم الاختلافات بين هذين النوعين من القياس.

عادة ، يشمل القياس المادي قياس الأشياء والأشياء وما إلى ذلك ، ويهتم بقياس الطول والوزن والطول والحجم والحجم وما إلى ذلك ، بينما يشمل القياس في العلوم السلوكية قياس العمليات العقلية والسمات والعادات والميول إلخ. .

وظائف القياس:

في علم النفس والتعليم ، تخدم نتائج القياس وظائف مختلفة مثل:

1. التصنيف:

يساعد القياس في تصنيف الأشخاص في تصنيفات مختلفة. في المدرسة أو الجيش أو الصناعة ، يكون التصنيف في بعض الأحيان ضروريًا جدًا. في المدرسة ، يجب تصنيف الطلاب وفقًا لإنجازهم أو قدرتهم.

في الجيش ، يمكن تصنيف الضباط والجنود حسب كتائبهم أو مهامهم أو مركزهم. في الصناعة ، يمكن تصنيف العمال وفقًا لمستويات أو مواقع عمل مختلفة.

يسمى هذا التصنيف & # 8216 تصنيف التصنيف & # 8217. هذا يعني تدرج العمال. يتم وضع البعض في مكان أعلى والبعض الآخر أقل.

2. الاختيار:

يتم الاختيار في المنشآت الصناعية والجيش والخدمة المدنية. القياس من نوع أو آخر هو أداة أساسية لنفسه.

يتم استخدام تقنيات قياس مختلفة مثل اختبارات القدرات والقدرات والمقابلات وتقنيات الإسقاط واختبارات الحالة واختبارات الإنجاز وما إلى ذلك. عندما يكون هناك اختيار ، يتعين علينا اختيار عدد قليل ورفض العديد. لذلك ، يتم تطبيق أدوات القياس بحذر.

3. المقارنة:

الاختلاف الفردي في سمات معينة بين مختلف الأشخاص هو ظاهرة عالمية. من خلال استخدام الإحصائيات ، يساعد القياس على مقارنة سمة واحدة لفرد أو مجموعة مع سمات الآخرين. المقارنة ضرورية لتحديد أسباب الاختلاف الفردي.

4. التنبؤ:

تتضمن العديد من القرارات في حياتنا اليومية التنبؤ. قد نكون مهتمين بمشكلة ما إذا كان اختبار التعرف البصري قد يتنبأ بالنجاح في الإدراك في الطائرة. قد يكون الطبيب مهتمًا بالقيمة التنبؤية للدواء. قد تشير الدرجات التي تم الحصول عليها في الاختبار الحالي إلى النجاح في المستقبل. لذا فإن التنبؤ يتضمن التنبؤ.

إذا كان على الشركة توظيف بعض الباعة ، فيجوز لها إجراء اختبار والاختيار على أساس الدرجات التي تم الحصول عليها في هذا الاختبار. يمكن تقييم نتائج الذكاء والقدرات والاختبارات الأخرى في سياق قيمتها التنبؤية.

5. التشخيص:

يشمل التشخيص تحديد نقاط القوة والضعف. يتضمن التشخيص التربوي استخدام إجراءات فنية مختلفة. ضعف في الطالب الفردي ، إذا تم تحديده من خلال الاختبارات التشخيصية ، يمكن اتخاذ خطوات علاجية.

وبالتالي فإن التشخيص مفيد ليس فقط في تحديد موقع الإعاقة ، ولكن في توقع الأسباب والعلاجات. التشخيص له قيمة إيحائية. على سبيل المثال ، إذا أخبرنا التشخيص أن الطلاب في الصف الرابع ضعفاء في الحساب الحسابي ، فقد يشير ذلك إلى أن هذا يرجع إلى طرق التدريس الخاطئة.

6. تحسين الممارسات التعليمية:

لجعل البرامج التعليمية جذابة ، يتبنى المعلم العديد من الممارسات أو الأساليب التعليمية. هو المنفذ الوحيد والطلاب هم المستجيبون الوحيدون.

لذلك ، تساعد أدوات القياس على تصحيح وتحسين طرق التدريس والتعلم. ما هي الطريقة التي ستكون مناسبة في موقف معين لمجموعة معينة من الطلاب ، المعلم يعرف بشكل أفضل. وهكذا يرتجل المعلم جودة التدريس وكذلك ممارساته التعليمية.

7. تطوير المناهج:

تم بناء المناهج الدراسية على افتراضات تحقيق مفهوم R & # 8217s الثلاثة - القراءة والكتابة والحساب. يجب أن يكون لها مجال كافٍ للتعلم والمعرفة حتى يساعد التعلم المتعلمين في التعامل مع احتمالات حياتهم.

يتيح القياس من خلال أجهزته معرفة أصالة المنهج الدراسي وموضوعيته وقابليته للاستخدام. إذا كان هناك عيب ، فيمكن تحسينه. في الواقع ، يتم تحديد فعالية الدورات والبرامج الموضحة في المنهج من خلال القياس. يختار ويوضح ويقيم الأهداف المحددة في برامج التعلم من خلال المناهج الدراسية.

8. الإرشاد والتوجيه:

من خلال القياس ، يمكن للمستشار أن يعرف الإمكانات لدى طلابه ومن ثم يمكنه أن يقترح عليهم تبني وظيفة من اختيارهم. في هذه الأيام ، تلعب الإرشاد والتوجيه دورًا مهمًا في حياة الفرد.

لا يمكن للإرشاد والتوجيه المناسبين سوى وضع الرجل في أفضل حالاته للاستفادة من الفرصة الكاملة للنمو يمكن القيام بذلك على قياس الكفاءة والاهتمام والذكاء للطالب من قبل معلمه.

9. مساعدة الإدارة:

تمكّن طرق القياس المختلفة السلطات من القيام بالإدارة بشكل فعال وصادق. يمكن للمدارس أن تخدم أغراض المجتمع من خلال الحفاظ على علاقة جيدة.

يمكن قياس التقارب والحفاظ عليه من خلال تنظيم الوظائف ، ومشاركة القيم الاجتماعية من قبل الموظفين ، والمشاركة في وظائف واحتفالات المجتمع وتشكيل منظمة مثل ، & # 8220 جمعيات المعلمين الوالدين & # 8221.

10. البحث:

القياس يساعد في البحث. في البحث النفسي والتربوي ، نأخذ بشكل عام مجموعتين - المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبية - ونقارن أداء المجموعتين.

يتعامل البحث مع التحقيق في بعض المشاكل. أثناء القيام بذلك ، نتحكم في جميع العوامل الأخرى وندرس عاملًا واحدًا معينًا. قبل البدء في مثل هذه الدراسة ، نأخذ برنامج قياس لتحديد نقاط التشابه والاختلاف بين المجموعتين وداخل المجموعة.


شاهد الفيديو: الدرس الثامن. وحدات قياس الحجم. وحدة القياس (ديسمبر 2021).