مقالات

12: المتجهات وهندسة الفضاء - الرياضيات


جدول المحتويات

  • 12.1: النواقل في الفضاء
    المتجهات هي أدوات مفيدة لحل المسائل ثنائية الأبعاد. لكن الحياة تحدث في ثلاثة أبعاد. لتوسيع استخدام المتجهات إلى تطبيقات أكثر واقعية ، من الضروري إنشاء إطار عمل لوصف الفضاء ثلاثي الأبعاد.
    • تمارين للناقلات في الفضاء
  • 12.2: نواقل في الطائرة
    يتم تحديد بعض الكميات ، مثل أو القوة ، من حيث الحجم (ويسمى أيضًا الحجم) والاتجاه. الكمية التي لها مقدار واتجاه تسمى متجه.
    • تمارين للناقلات في الطائرة
  • 12.3: المنتج النقطي
    يخبرنا حاصل الضرب النقطي بشكل أساسي عن مقدار متجه القوة المطبق في اتجاه متجه الحركة. يمكن أن يساعدنا حاصل الضرب النقطي أيضًا في قياس الزاوية المكونة من زوج من المتجهات وموضع المتجه بالنسبة إلى محاور الإحداثيات. حتى أنه يوفر اختبارًا بسيطًا لتحديد ما إذا كان متجهان يلتقيان بزاوية قائمة.
    • تمارين للمنتج دوت
  • 12.4: حاصل الضرب المتقاطع
    في هذا القسم ، نقوم بتطوير عملية تسمى الضرب التبادلي ، والتي تتيح لنا إيجاد متجه متعامد لمتجهين محددين. يعد حساب عزم الدوران أحد التطبيقات المهمة للمنتجات المتقاطعة ، ونقوم بفحص عزم الدوران بمزيد من التفاصيل لاحقًا في القسم.
    • تمارين للمنتج المتقاطع
  • 12.5: معادلات الخطوط والمستويات في الفضاء
    لكتابة معادلة لخط ، يجب أن نعرف نقطتين على الخط ، أو يجب أن نعرف اتجاه الخط ونقطة واحدة على الأقل يمر من خلالها الخط. في بعدين ، نستخدم مفهوم الميل لوصف اتجاه الخط أو اتجاهه. في ثلاثة أبعاد ، نصف اتجاه الخط باستخدام متجه موازٍ للخط. في هذا القسم ، ندرس كيفية استخدام المعادلات لوصف الخطوط والمستويات في الفضاء.
    • تمارين لمعادلات الخطوط والمستويات في الفضاء
  • 12.6: الأسطح الرباعية
    لقد كنا نستكشف المتجهات وعمليات المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، وقمنا بتطوير معادلات لوصف الخطوط والمستويات والمجالات. في هذا القسم ، نستخدم معرفتنا بالمستويات والمجالات ، وهي أمثلة لأشكال ثلاثية الأبعاد تسمى الأسطح ، لاستكشاف مجموعة متنوعة من الأسطح الأخرى التي يمكن رسمها في نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد.
    • تمارين للأسطح الرباعية
  • 12.7: إحداثيات أسطوانية وكروية
    يوفر نظام الإحداثيات الديكارتية طريقة مباشرة لوصف موقع النقاط في الفضاء. ومع ذلك ، قد يكون من الصعب نمذجة بعض الأسطح باستخدام معادلات تستند إلى النظام الديكارتي. كما يوحي الاسم ، فإن الإحداثيات الأسطوانية مفيدة للتعامل مع المشكلات التي تتضمن الأسطوانات. وبالمثل ، فإن الإحداثيات الكروية مفيدة للتعامل مع المشكلات التي تتضمن المجالات.
    • تمارين للإحداثيات الأسطوانية والكروية
  • تمارين مراجعة الفصل 12

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


12: المتجهات وهندسة الفضاء - الرياضيات

يعبر نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد عن نقطة في الفضاء بثلاث معلمات ، غالبًا الطول والعرض والعمق ([اللاتكس] x [/ اللاتكس] ، [اللاتكس] y [/ اللاتكس] ، و [اللاتكس] z [/ اللاتكس]) .

أهداف التعلم

حدد عدد المعلمات اللازمة للتعبير عن نقطة في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد

الماخذ الرئيسية

النقاط الرئيسية

  • هناك أنواع عديدة من أنظمة الإحداثيات ، بما في ذلك الإحداثيات الديكارتية ، والكروية ، والأسطوانية.
  • في النظام الديكارتي ، يتم تمثيل جميع المعلمات الثلاثة على أنها المسافة الكمية من المستوى المرجعي.
  • للتحويل من الديكارتية إلى الكروية ، تحتاج إلى تحويل كل معلمة على حدة ، على النحو التالي: [اللاتكس] r = sqrt theta = arccos ( frac) varphi = arctan ( frac) [/ لاتكس]

الشروط الاساسية

  • نظام الإحداثيات: طريقة لتمثيل النقاط في مساحة ذات أبعاد معينة بواسطة إحداثيات من أصل
  • الأصل: النقطة التي تتقاطع عندها محاور نظام إحداثيات

نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد

يحتوي الفضاء ثلاثي الأبعاد على ثلاث معاملات هندسية: [اللاتكس] x [/ اللاتكس] ، [اللاتكس] y [/ اللاتكس] ، و [اللاتكس] z [/ اللاتكس]. غالبًا ما يشار إليها بالطول والعرض والعمق. كل معلمة متعامدة مع المعاملتين الأخريين ، ولا يمكن أن تقع في نفس المستوى. يُظهر نظام الإحداثيات الديكارتية الذي يستخدم المعلمات [اللاتكس] x [/ اللاتكس] و [اللاتكس] y [/ اللاتكس] و [اللاتكس] z [/ اللاتكس].

مساحة ثلاثية الأبعاد: هذا فضاء ثلاثي الأبعاد يمثله نظام إحداثيات ديكارتي.

الهندسة الديكارتية

يُعرف أيضًا باسم الهندسة التحليلية ، ويستخدم هذا النظام لوصف كل نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد في ثلاث معلمات ، كل منها متعامد مع الاثنين الآخرين في الأصل. يتم تصنيف كل معلمة بالنسبة لمحورها بتمثيل كمي لمسافة المسافة من المستوى المرجعي الخاص بها ، والذي يتم تحديده بواسطة محوري المعلمة الآخرين.

أنظمة الإحداثيات الأخرى

إحداثيات أسطوانية ([لاتكس] rho، varphi، z [/ latex])

يستخدم النظام الأسطواني معلمتين خطيتين ومعلمة شعاعية واحدة:

  • [لاتكس] rho [/ لاتكس]: المسافة الشعاعية من النقطة إلى [اللاتكس] z [/ اللاتكس]
  • [اللاتكس] varphi [/ اللاتكس]: الزاوية بين الاتجاه المرجعي والنقطة
  • [اللاتكس] z [/ اللاتكس]: المسافة من المستوى المرجعي إلى النقطة

نظام الإحداثيات الأسطوانية: يشبه نظام الإحداثيات الأسطوانية مزيجًا بين النظام الكروي والديكارتي ، حيث يشتمل على معلمات خطية وشعاعية.

الإحداثيات الكروية ([اللاتكس] r [/ اللاتكس] ، [اللاتكس] ثيتا [/ اللاتكس], [اللاتكس] varphi [/ اللاتكس])

يستخدم النظام الكروي بشكل شائع في الرياضيات والفيزياء:

  • [اللاتكس] r [/ اللاتكس]: المسافة الشعاعية من الأصل إلى النقطة
  • [لاتكس] ثيتا [/ لاتكس]: الزاوية بين اتجاه الذروة والمتجه الاتجاهي لـ [اللاتكس] r [/ اللاتكس]
  • [اللاتكس] varphi [/ اللاتكس]: الزاوية من الاتجاه المرجعي إلى المستوى المتعامد المسقط بواسطة متجه الاتجاه لـ [اللاتكس] r [/ اللاتكس]

نظام الإحداثيات الكروية: يستخدم النظام الكروي بشكل شائع في الرياضيات والفيزياء وله متغيرات [لاتكس] r [/ لاتكس] و [لاتكس] ثيتا [/ لاتكس] و [لاتكس] فارفي [/ لاتكس].

ديكارتي إلى كروي

في كثير من الأحيان ، ستحتاج إلى أن تكون قادرًا على التحويل من الشكل الكروي إلى الديكارتي ، أو العكس. ستتيح لك المعادلات التالية القيام بذلك:


هندسة المتجهات

في هذا الدرس ، سوف نلقي نظرة على بعض الأمثلة للمسائل التي تتضمن متجهات في أشكال هندسية.

في الرسم البياني التالي = ش و = 2الخامس و م هي نقطة المنتصف RQ و ن هي نقطة المنتصف RM.


كيف تحل مشاكل هندسة المتجهات؟
أسئلة مراجعة GCSE على النواقل
موضوعات في هذا الدرس: المتجهات ذات الأرقام ، وحجم المتجه ، والمتجهات الجبرية ، والمتجهات المتوازية
أمثلة:
1. ABCDEF شكل سداسي منتظم.
AB = ن
أ) اشرح لماذا ED = n.
BC = م ، قرص مضغوط = ص
ب) ابحث عن (1) AC ، (2) AD
ج) ما هو FD؟

2. ABC هو خط مستقيم حيث BC = 3AB.
OA = أ ، أب = ب
عبر عن OC بدلالة a و b.

3. في المثلث OAB و OA = a و OB = b.
(ط) أوجد بدلالة a و b المتجه AB.
P هي نقطة المنتصف لـ AB.
(2) أوجد من حيث a و b ، المتجه AP.
(3) أوجد من حيث a و b ، المتجه OP.

4. OABC متوازي أضلاع مع OA = a و OB = b.
E هي نقطة على AC مثل أن AE = 1/4 AC
F هي نقطة على BC بحيث أن BF = 1/4 قبل الميلاد.
(أ) أوجد بدلالة أ و ب
(1) AB ، (2) AE ، (3) OE ، (4) OF ، (v) EF
(ب) اكتب خواص هندسية تربط بين EF و AB

سؤال الامتحان 1:
AB = 2x و BC = 4y ، ABCD خط مستقيم.
(أ) اكتب المتجه AC بدلالة x و y.
(ب) AC: CD = 2: 1
يحسب المتجه AD بدلالة x و y.
أعط إجابتك ببساطة قدر الإمكان.

سؤال الامتحان 2:
WXYZ هو شبه منحرف
WX = s ، WZ = t ، ZY: WX = 3: 2
(أ) اكتب المتجه ZY بدلالة s
(ب) أوجد المتجه XY بدلالة s و t. اكتب إجابتك في أبسط صورة.

المتجهات الهندسية مع مشاكل التطبيق
في تمرين التجديف ، كان جون يجدف مباشرةً عبر نهر بسرعة 4 أميال في الساعة. كان التيار يتدفق بمعدل 3 ميل في الساعة. استخدم مسطرة لرسم كل متجه للقياس ورسم متجه لتمثيل مسار القارب. أوجد مقدار السرعة المحصلة للقارب بقياس المتجه.

سفينة تغادر الميناء تبحر لمسافة 25 ميلاً في اتجاه 35 درجة شمال الشرق. أوجد مقدار المكون الرأسي والأفقي.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


محتويات

الجدول 1 | التطور التاريخي للمفاهيم الرياضية
كلاسيك عصري
البديهيات هي آثار واضحة للتعريفات البديهيات تقليدية
النظريات هي الحقيقة الموضوعية المطلقة النظريات هي آثار للبديهيات المقابلة
يتم تحديد العلاقات بين النقاط والخطوط وما إلى ذلك حسب طبيعتها العلاقات بين النقاط والخطوط وما إلى ذلك ضرورية وطبيعتها ليست كذلك
يتم إعطاء الأشياء الرياضية لنا ببنيتها تصف كل نظرية رياضية كائناتها من خلال بعض خصائصها
الهندسة تتوافق مع واقع تجريبي الهندسة هي حقيقة رياضية
كل الخصائص الهندسية للفضاء تتبع من البديهيات لا تحتاج بديهيات الفضاء إلى تحديد كل الخصائص الهندسية
الهندسة علم مستقل وحي الهندسة الكلاسيكية هي لغة عالمية للرياضيات
الفضاء ثلاثي الأبعاد تنطبق مفاهيم مختلفة للأبعاد على أنواع مختلفة من المساحات
الفضاء هو عالم الهندسة الفراغات هي مجرد تراكيب رياضية ، تحدث في مختلف فروع الرياضيات

قبل العصر الذهبي للهندسة عدل

في الرياضيات اليونانية القديمة ، كان "الفضاء" تجريدًا هندسيًا للواقع ثلاثي الأبعاد الذي لوحظ في الحياة اليومية. حوالي 300 قبل الميلاد ، أعطى إقليدس البديهيات لخصائص الفضاء. بنى إقليدس جميع الرياضيات على هذه الأسس الهندسية ، ووصل إلى حد تعريف الأرقام من خلال مقارنة أطوال مقاطع الخط بطول المقطع المرجعي المختار.

تم اعتماد طريقة الإحداثيات (الهندسة التحليلية) من قبل رينيه ديكارت في عام 1637. [3] في ذلك الوقت ، تم التعامل مع النظريات الهندسية على أنها حقائق موضوعية مطلقة يمكن معرفتها من خلال الحدس والعقل ، على غرار كائنات العلوم الطبيعية [4]: ​​11 والبديهيات تم التعامل معها على أنها آثار واضحة للتعريفات. [4]: 15

تم استخدام علاقتين تكافؤ بين الأشكال الهندسية: التطابق والتشابه. تحوّل الترجمات والدورات والانعكاسات الشكل إلى أشكال متطابقة - إلى أرقام متشابهة. على سبيل المثال ، جميع الدوائر متشابهة بشكل متبادل ، لكن علامات الحذف لا تشبه الدوائر. تحدث علاقة التكافؤ الثالثة ، التي قدمها جاسبارد مونج في عام 1795 ، في الهندسة الإسقاطية: لا تتحول القطع الناقصة فقط ، ولكن أيضًا القطع المكافئة والقطوع الزائدة ، إلى دوائر في ظل التحولات الإسقاطية المناسبة ، فكلها أرقام مكافئة بشكل إسقاطي.

توضح العلاقة بين الشكلين الهندسيين ، الإقليدية والإسقاطية ، [4]: ​​133 أن الأشياء الرياضية لا تُعطى لنا مع هيكلها. [4]: 21 بدلاً من ذلك ، تصف كل نظرية رياضية كائناتها من خلال بعض من خصائصها ، على وجه التحديد تلك التي وضعت كبديهيات في أسس النظرية. [4]: 20

لا يمكن أن تظهر المسافات والزوايا في نظريات الهندسة الإسقاطية ، حيث لم يتم ذكر هذه المفاهيم في مسلمات الهندسة الإسقاطية ولم يتم تعريفها من المفاهيم المذكورة هناك. السؤال "ما هو مجموع الزوايا الثلاث للمثلث" له معنى في الهندسة الإقليدية ولكنه لا معنى له في الهندسة الإسقاطية.

ظهر وضع مختلف في القرن التاسع عشر: في بعض الأشكال الهندسية ، يكون مجموع الزوايا الثلاث للمثلث محددًا جيدًا ولكنه يختلف عن القيمة الكلاسيكية (180 درجة). الهندسة الزائدية غير الإقليدية ، التي قدمها نيكولاي لوباتشيفسكي عام 1829 وجانوس بولياي عام 1832 (وكارل فريدريش جاوس عام 1816 ، غير منشورة) [4]: ​​133 ذكر أن المجموع يعتمد على المثلث ودائمًا ما يكون أقل من 180 درجة. حصل أوجينيو بلترامي في عام 1868 وفيليكس كلاين في عام 1871 على "نماذج" إقليدية للهندسة الزائدية غير الإقليدية ، وبالتالي برر هذه النظرية تمامًا كاحتمال منطقي. [4]: 24 [5]

أجبر هذا الاكتشاف على التخلي عن ادعاءات الحقيقة المطلقة للهندسة الإقليدية. لقد أظهر أن البديهيات ليست "واضحة" ، ولا "آثار للتعريفات". بل هي فرضيات. إلى أي مدى تتوافق مع الواقع التجريبي؟ هذه المشكلة الجسدية المهمة لم يعد لها أي علاقة بالرياضيات. حتى إذا كانت "الهندسة" لا تتوافق مع واقع تجريبي ، فإن نظرياتها تظل "حقائق رياضية". [4]: 15

النموذج الإقليدي للهندسة غير الإقليدية هو اختيار لبعض الكائنات الموجودة في الفضاء الإقليدي وبعض العلاقات بين هذه الكائنات التي ترضي جميع البديهيات (وبالتالي ، جميع النظريات) للهندسة غير الإقليدية. هذه الأشياء والعلاقات الإقليدية "تلعب" الهندسة غير الإقليدية مثل الممثلين المعاصرين الذين يلعبون أداءً قديمًا. يمكن للممثلين تقليد موقف لم يحدث في الواقع. العلاقات بين الممثلين على المسرح تقلد العلاقات بين الشخصيات في المسرحية. وبالمثل ، فإن العلاقات المختارة بين الأشياء المختارة للنموذج الإقليدي تحاكي العلاقات غير الإقليدية. إنه يوضح أن العلاقات بين الأشياء ضرورية في الرياضيات ، في حين أن طبيعة الأشياء ليست كذلك.

العصر الذهبي وما بعده تحرير

تعني كلمة "الهندسة" (من اليونانية القديمة: geo- "earth" ، -metron "القياس") في البداية طريقة عملية لمعالجة الأطوال والمناطق والأحجام في الفضاء الذي نعيش فيه ، ولكن تم توسيعها بعد ذلك على نطاق واسع (أيضًا كمفهوم الفضاء المعني هنا).

وفقًا لبوربكي ، [4]: ​​131 الفترة ما بين 1795 (Géométrie وصفي من Monge) و 1872 ("برنامج Erlangen" لكلاين) يمكن أن يسمى العصر الذهبي للهندسة. يُطلق على الفضاء الأصلي الذي بحثه إقليدس الآن اسم الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. تم إصلاح البديهية ، التي بدأها إقليدس قبل 23 قرنًا ، مع بديهيات هيلبرت ، وبديهيات تارسكي وبديهيات بيركوف. تصف أنظمة البديهية هذه الفضاء عبر مفاهيم بدائية (مثل "نقطة" ، "بين" ، "متطابقة") مقيدة بعدد من البديهيات.

حققت الهندسة التحليلية تقدمًا كبيرًا ونجحت في استبدال نظريات الهندسة الكلاسيكية بالحسابات عبر ثوابت مجموعات التحويل. [4]: 134،5 منذ ذلك الوقت ، كانت النظريات الجديدة للهندسة الكلاسيكية ذات أهمية أكبر للهواة من علماء الرياضيات المحترفين. [4]: 136 ومع ذلك ، لم يضيع تراث الهندسة الكلاسيكية. وفقًا لبوربكي ، [4]: ​​138 "تم تجاوز دورها كعلم مستقل وحي ، وهكذا تتحول الهندسة الكلاسيكية إلى لغة عالمية للرياضيات المعاصرة".

في الوقت نفسه ، بدأت الأرقام تحل محل الهندسة كأساس للرياضيات. على سبيل المثال ، في مقال ريتشارد ديدكيند عام 1872 Stetigkeit und غير منطقي Zahlen (الاستمرارية والأرقام غير المنطقية) ، يؤكد أن النقاط على الخط يجب أن يكون لها خصائص قطع Dedekind ، وبالتالي فإن الخط هو نفس مجموعة الأعداد الحقيقية. يحرص Dedekind على ملاحظة أن هذا افتراض لا يمكن إثباته. في العلاجات الحديثة ، غالبًا ما يؤخذ تأكيد Dedekind على أنه تعريف للخط ، وبالتالي اختزال الهندسة إلى الحساب. يُعرَّف الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد بأنه فضاء أفيني تم تجهيز مساحة متجهية مرتبطة باختلافات عناصره بمنتج داخلي. [6] تعريف "من الصفر" ، كما في إقليدس ، لا يُستخدم كثيرًا الآن ، لأنه لا يكشف عن علاقة هذا الفضاء بالفراغات الأخرى. أيضًا ، يتم الآن تعريف الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد على أنه مساحة جميع المساحات الجزئية أحادية البعد (أي الخطوط المستقيمة عبر الأصل) لمساحة متجهية رباعية الأبعاد. يتطلب هذا التحول في الأسس مجموعة جديدة من البديهيات ، وإذا تم تبني هذه البديهيات ، فإن البديهيات الكلاسيكية للهندسة تصبح نظريات.

تتكون المساحة الآن من كائنات رياضية محددة (على سبيل المثال ، وظائف في مساحة أخرى ، أو مساحات فرعية من مساحة أخرى ، أو مجرد عناصر من مجموعة) تعامل كنقاط ، وعلاقات محددة بين هذه النقاط. لذلك ، فإن المساحات هي مجرد هياكل رياضية ملائمة. قد يتوقع المرء أن الهياكل التي تسمى "الفراغات" يُنظر إليها بشكل هندسي أكثر من الكائنات الرياضية الأخرى ، لكن هذا ليس صحيحًا دائمًا.

وفقًا للمحاضرة الافتتاحية الشهيرة التي ألقاها برنارد ريمان في عام 1854 ، تم تحديد كل كائن رياضي بواسطة ن يمكن التعامل مع الأرقام الحقيقية كنقطة من نمساحة الأبعاد لجميع هذه الكائنات. [4]: 140 يتبع علماء الرياضيات المعاصرون هذه الفكرة بشكل روتيني ويجدون أنها موحية للغاية لاستخدام مصطلحات الهندسة الكلاسيكية في كل مكان تقريبًا. [4]: 138

الدالات هي كائنات رياضية مهمة. عادة ما يشكلون فضاءات وظيفية لا نهائية الأبعاد ، كما لوحظ بالفعل من قبل ريمان [4]: ​​141 وتم تفصيله في القرن العشرين من خلال التحليل الوظيفي.

ثلاث رتب تصنيفية تحرير

في حين أن لكل نوع من أنواع الفضاء تعريفه الخاص ، فإن الفكرة العامة "للفضاء" تتهرب من الصفة الرسمية. تسمى بعض الهياكل بالمساحات ، والبعض الآخر ليس كذلك ، بدون معيار رسمي. علاوة على ذلك ، لا يوجد توافق في الآراء بشأن الفكرة العامة "للهيكل". وفقًا لبودلاك ، [7] "الرياضيات [.] لا يمكن تفسيرها بالكامل بمفهوم واحد مثل البنية الرياضية. ومع ذلك ، فإن نهج بورباكي البنيوي هو أفضل ما لدينا." سنعود إلى نهج بوربكي البنيوي في القسم الأخير "المساحات والهياكل" ، بينما نضع الآن الخطوط العريضة لتصنيف محتمل للمساحات (والهياكل) بروح بوربكي.

نصنف المساحات على ثلاثة مستويات.بالنظر إلى أن كل نظرية رياضية تصف كائناتها من خلال بعض خصائصها ، فإن السؤال الأول الذي يجب طرحه هو: ما هي الخصائص؟ هذا يؤدي إلى مستوى التصنيف الأول (العلوي). في المستوى الثاني ، يأخذ المرء في الاعتبار الإجابات على الأسئلة المهمة بشكل خاص (من بين الأسئلة المنطقية وفقًا للمستوى الأول). في المستوى الثالث من التصنيف ، يأخذ المرء في الاعتبار الإجابات على جميع الأسئلة المحتملة.

على سبيل المثال ، ملف تصنيف المستوى الأعلى يميز بين المساحات الإقليدية والإسقاطية ، حيث يتم تحديد المسافة بين نقطتين في المساحات الإقليدية ولكنها غير محددة في المساحات الإسقاطية. مثال آخر. السؤال "ما هو مجموع الزوايا الثلاث للمثلث" منطقي في الفضاء الإقليدي ولكن ليس في الفضاء الإسقاطي. في الفضاء غير الإقليدي ، يكون السؤال منطقيًا ولكن يتم الإجابة عليه بشكل مختلف ، وهذا ليس تمييزًا من المستوى الأعلى.

كذلك ، فإن التمييز بين المستوى الإقليدي والفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ليس تمييزًا في المستوى الأعلى ، فإن السؤال "ما هو البعد" يبدو منطقيًا في كلتا الحالتين.

ال تصنيف المستوى الثاني يميز ، على سبيل المثال ، بين المساحات الإقليدية وغير الإقليدية بين المساحات ذات الأبعاد المحدودة والمساحات غير المحدودة الأبعاد بين المساحات المدمجة وغير المدمجة ، وما إلى ذلك ، وفقًا لمصطلحات بورباكي ، [2] تصنيف المستوى الثاني هو التصنيف حسب "الأنواع" . على عكس التصنيف البيولوجي ، قد ينتمي الفضاء إلى عدة أنواع.

ال تصنيف من المستوى الثالث يميز ، على سبيل المثال ، بين المساحات ذات الأبعاد المختلفة ، لكنه لا يميز بين مستوى فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد ، يتم التعامل معه على أنه فضاء إقليدي ثنائي الأبعاد ، ومجموعة جميع أزواج الأرقام الحقيقية ، والتي يتم التعامل معها أيضًا على أنها الفضاء الإقليدي الأبعاد. وبالمثل ، فإنه لا يميز بين النماذج الإقليدية المختلفة لنفس الفضاء غير الإقليدي. بشكل أكثر رسمية ، يصنف المستوى الثالث المساحات حتى تماثل الشكل. يُعرَّف التماثل بين مسافتين على أنه تطابق واحد لواحد بين نقاط المسافة الأولى ونقاط الفضاء الثاني ، مما يحافظ على جميع العلاقات المنصوص عليها وفقًا للمستوى الأول. يُنظر إلى المساحات المتشابهة بشكل متبادل على أنها نسخ من مساحة واحدة. إذا كان أحدهم ينتمي إلى نوع معين ، فإنهم جميعًا يفعلون ذلك.

يلقي مفهوم تماثل الشكل الضوء على تصنيف المستوى الأعلى. بالنظر إلى التطابق الفردي بين مسافتين من نفس فئة المستوى الأعلى ، يمكن للمرء أن يسأل عما إذا كان تماثلًا أم لا. هذا السؤال لا معنى له بالنسبة لمساحتين من فئات مختلفة.

يسمى تماثل الشكل في حد ذاته بالتشبه الذاتي. إن الأشكال التلقائية للفضاء الإقليدي عبارة عن تحولات ودورات وانعكاسات وتركيبات لها. الفضاء الإقليدي متجانس بمعنى أنه يمكن تحويل كل نقطة إلى كل نقطة أخرى من خلال بعض التشكل التلقائي.

لا تترك البديهيات الإقليدية [التفاصيل 2] أي حرية ، فهي تحدد بشكل فريد كل الخصائص الهندسية للفضاء. بتعبير أدق: جميع المساحات الإقليدية ثلاثية الأبعاد متشابهة بشكل متبادل. بهذا المعنى لدينا الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. وفقًا لمصطلحات بوربكي ، فإن النظرية المقابلة هي أحادي التكافؤ. على النقيض من ذلك ، فإن المساحات الطوبولوجية غير متشابهة بشكل عام متعدد التكافؤ. تحدث فكرة مماثلة في المنطق الرياضي: تسمى النظرية قاطعة إذا كانت جميع نماذجها من نفس العلاقة الأساسية متشابهة بشكل متبادل. وفقًا لبوربكي ، [8] تعد دراسة النظريات متعددة التكافؤ السمة الأكثر لفتًا للنظر التي تميز الرياضيات الحديثة عن الرياضيات الكلاسيكية.

العلاقات بين أنواع الفراغات تحرير

يتم تعريف المفاهيم الطوبولوجية (الاستمرارية ، التقارب ، المجموعات المفتوحة ، المجموعات المغلقة ، إلخ) بشكل طبيعي في كل مساحة إقليدية. بعبارة أخرى ، كل فضاء إقليدي هو أيضًا فضاء طوبولوجي. كل تماثل بين فضاءين إقليديين هو أيضًا تماثل بين المساحات الطوبولوجية المقابلة (تسمى "التماثل المتماثل") ، ولكن العكس هو الخطأ: قد يؤدي التماثل إلى تشويه المسافات. وفقًا لمصطلحات بوربكي ، [2] "الفضاء الطوبولوجي" هو الأساسية هيكل هيكل "الفضاء الإقليدي". تحدث أفكار مماثلة في نظرية الفئة: فئة المساحات الإقليدية هي فئة ملموسة فوق فئة المساحات الطوبولوجية ، حيث يقوم المنسي (أو "التجريد") بتعيين الفئة الأولى للفئة الأخيرة.

الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد هو حالة خاصة للفضاء الإقليدي. وفقًا لمصطلحات بورباكي ، [2] أنواع الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد اكثر ثراء من أنواع الفضاء الإقليدي. وبالمثل ، فإن أنواع الفضاء الطوبولوجي المضغوط تكون أكثر ثراءً من أنواع الفضاء الطوبولوجي.

يمكن التعبير عن هذه العلاقات بين أنواع الفراغات بشكل تخطيطي كما هو موضح في الشكل 3. السهم من A إلى B يعني أن كل فضاء A هو أيضًا فضاء B ، أو يمكن التعامل معه على أنه فضاء B ، أو يوفر B -الفضاء ، إلخ. عند التعامل مع A و B كفئة من المسافات ، يمكن للمرء أن يفسر السهم على أنه انتقال من A إلى B. (وفقًا لمصطلحات Bourbaki ، [9] "إجراء خصم" لمساحة B من مسافة A. ليست وظيفة تمامًا ما لم يتم تعيين الفئتين A و B ، فإن هذا الفارق الدقيق لا يبطل ما يلي.) السهمان الموجودان في الشكل 3 ليسا قابلين للعكس ، ولكن لأسباب مختلفة.

إن الانتقال من "الإقليدية" إلى "الطوبولوجية" أمرٌ نسيٌّ. يميز الطوبولوجيا المستمر عن غير المستمر ، لكنه لا يميز الخط المستقيم عن المنحني. يخبرنا الحدس أن البنية الإقليدية لا يمكن استعادتها من الطوبولوجيا. يستخدم الإثبات تشبعًا ذاتيًا للفضاء الطوبولوجي (أي التشابه الذاتي) الذي لا يمثل تشكلاً ذاتيًا للفضاء الإقليدي (أي ليس تكوينًا للتحولات والدوران والانعكاسات). يحول هذا التحول البنية الإقليدية المعطاة إلى بنية إقليدية مختلفة (متشابهة ولكن) ، تتوافق كلتا البنى الإقليدية مع بنية طوبولوجية واحدة.

في المقابل ، فإن الانتقال من "إقليدي ثلاثي الأبعاد" إلى "إقليدي" لا يُنسى أن الفضاء الإقليدي لا يحتاج إلى أن يكون ثلاثي الأبعاد ، ولكن إذا حدث أنه ثلاثي الأبعاد ، فهو مكتمل ، ولا يتم فقد أي هيكل. بعبارة أخرى ، يكون الانتقال الأخير عن طريق الحقن (واحد لواحد) ، في حين أن الانتقال السابق ليس عن طريق الحقن (من واحد إلى واحد). نشير إلى انتقالات الحقن بواسطة سهم ذي ذيل شائك ، "" بدلاً من "→".

كلا التحولات ليسا مفاجئتين ، أي أنه ليس كل فضاء ب ينتج عن بعض الفضاء أ. أولاً ، المساحة الإقليدية ثلاثية القاتمة هي حالة خاصة (وليست عامة) للمساحة الإقليدية. ثانيًا ، تعد طوبولوجيا الفضاء الإقليدي حالة خاصة من الطوبولوجيا (على سبيل المثال ، يجب أن تكون غير مدمجة ومتصلة ، إلخ). نشير إلى التحولات التخمينية بواسطة سهم برأسين ، "↠" بدلاً من "→". انظر على سبيل المثال الشكل 4 هناك ، السهم من "الطوبولوجيا الخطية الحقيقية" إلى "الخطي الحقيقي" برأسين ، لأن كل مساحة خطية حقيقية تسمح ببعض الطوبولوجيا (واحدة على الأقل) المتوافقة مع هيكلها الخطي.

هذه الطوبولوجيا ليست فريدة بشكل عام ، ولكنها فريدة عندما يكون الفضاء الخطي الحقيقي ذو أبعاد محدودة. بالنسبة إلى هذه المساحات ، يكون الانتقال حقنيًا وسريحيًا ، أي ، حيوي ، انظر السهم من "الطوبولوجي الخطي الحقيقي المنتهي القاتم" إلى "الخطي الحقيقي المحدود الخافت" في الشكل 4. يوجد الانتقال العكسي (ويمكن إظهاره بواسطة سهم ثانٍ للخلف). وهكذا فإن النوعين من الهياكل متكافئان. في الممارسة العملية ، لا يميز المرء بين الأنواع المتكافئة من الهياكل. [10] يمكن معاملة الهياكل المكافئة على أنها بنية واحدة ، كما هو موضح في مربع كبير في الشكل 4.

التحولات التي تدل عليها الأسهم تخضع للتشابهات. أي أن مساحتين متشابهتين A تؤديان إلى مسافتين متشابهتين B.

الرسم البياني في الشكل 4 تبادلي. أي أن جميع المسارات الموجهة في الرسم التخطيطي التي لها نفس نقاط البداية والنهاية تؤدي إلى نفس النتيجة. المخططات الأخرى أدناه هي أيضًا تبادلية ، باستثناء الأسهم المتقطعة في الشكل 9. السهم من "طوبولوجي" إلى "قابل للقياس" متقطع للسبب الموضح هناك: "من أجل تحويل مساحة طوبولوجية إلى مساحة قابلة للقياس ، يمنحها الفرد a σ-algebra. إن σ-algebra لمجموعات Borel هي الأكثر شيوعًا ، ولكنها ليست الخيار الوحيد ". يشير السهم المصمت إلى انتقال سائد يسمى "الكنسي" الذي يقترح نفسه بشكل طبيعي ويستخدم على نطاق واسع ، ضمنيًا في كثير من الأحيان ، بشكل افتراضي. على سبيل المثال ، عند الحديث عن وظيفة مستمرة في مساحة إقليدية ، لا يحتاج المرء إلى تحديد طوبولوجياها بشكل صريح. في الواقع ، توجد طوبولوجيا بديلة وتستخدم أحيانًا ، على سبيل المثال ، الطوبولوجيا الدقيقة ولكن يتم تحديدها دائمًا بشكل صريح ، نظرًا لأنها أقل شهرة من الطوبولوجيا السائدة. يشير السهم المتقطع إلى أن هناك عدة انتقالات قيد الاستخدام ولا يوجد أحد سائد تمامًا.

المساحات الخطية والطوبولوجية تحرير

مسافتان أساسيتان هما مسافات خطية (تسمى أيضًا مساحات متجهة) ومساحات طوبولوجية.

المساحات الخطية ذات طبيعة جبرية ، توجد مسافات خطية حقيقية (فوق مجال الأعداد الحقيقية) ، ومسافات خطية معقدة (فوق مجال الأرقام المركبة) ، وبشكل عام ، مسافات خطية فوق أي حقل. كل مساحة خطية معقدة هي أيضًا مساحة خطية حقيقية (الأخير يكمن في الأساس السابق) ، لأن كل رقم حقيقي هو أيضًا رقم مركب. [تفاصيل 3] بشكل أكثر عمومية ، فضاء متجه فوق حقل له هيكل فضاء متجه على حقل فرعي لهذا الحقل. تؤدي العمليات الخطية ، المعطاة في مساحة خطية بالتعريف ، إلى مفاهيم مثل الخطوط المستقيمة (والمستويات ، والفراغات الفرعية الخطية الأخرى) ، والقطع الناقص للخطوط المتوازية (والأشكال الإهليلجية). ومع ذلك ، من المستحيل تحديد الخطوط المتعامدة (العمودية) ، أو تحديد الدوائر بين القطع الناقصة ، لأنه في الفضاء الخطي لا يوجد هيكل مثل المنتج القياسي الذي يمكن استخدامه لقياس الزوايا. يتم تعريف أبعاد الفضاء الخطي على أنه العدد الأقصى للمتجهات المستقلة خطيًا أو ، على نحو مكافئ ، على أنه الحد الأدنى من المتجهات التي تمتد عبر المساحة التي قد تكون محدودة أو غير محدودة. مسافتان خطيتان فوق نفس الحقل تكونان متشابهتين إذا وفقط إذا كانتا من نفس البعد. أ نالفضاء الخطي المعقد ذو الأبعاد هو أيضًا 2نالفضاء الخطي الحقيقي الأبعاد.

المساحات الطوبولوجية ذات طبيعة تحليلية. المجموعات المفتوحة ، المعطاة في الفضاء الطوبولوجي بالتعريف ، تؤدي إلى مفاهيم مثل الوظائف المستمرة ، والمسارات ، والخرائط المتسلسلة المتقاربة ، والحدود الداخلية ، والحدود ، والخارجية. ومع ذلك ، فإن الاستمرارية المنتظمة والمجموعات المحدودة وتسلسلات كوشي والوظائف القابلة للتفاضل (المسارات والخرائط) تظل غير محددة. يُطلق على التماثل بين المساحات الطوبولوجية تقليديًا اسم التماثل المتماثل ، وهي عبارة عن مراسلات فردية مستمرة في كلا الاتجاهين. الفاصل الزمني المفتوح (0،1) متماثل مع الخط الحقيقي بأكمله (−∞ ، ∞) ولكنه ليس متماثلًا للفاصل الزمني المغلق [0،1] ، ولا للدائرة. سطح المكعب متماثل مع كرة (سطح كرة) ولكن ليس متماثلًا مع طارة. المساحات الإقليدية ذات الأبعاد المختلفة ليست متماثلة الشكل ، وهو ما يبدو واضحًا ، لكن ليس من السهل إثباته. من الصعب تحديد بُعد الفضاء الطوبولوجي (استنادًا إلى الملاحظة القائلة بأن أبعاد حدود الشكل الهندسي عادة ما تكون أقل من أبعاد الشكل نفسه) ويمكن استخدام أبعاد تغطية Lebesgue. في حالة أ نالفضاء الإقليدي ذو الأبعاد ، كلا البعدين الطوبولوجيين متساويان ن.

كل مجموعة فرعية من الفضاء الطوبولوجي هي نفسها مساحة طوبولوجية (على النقيض من ذلك ، فقط خطي مجموعات فرعية من الفضاء الخطي هي مسافات خطية). المساحات الطوبولوجية التعسفية ، التي تم فحصها بواسطة الطوبولوجيا العامة (تسمى أيضًا طوبولوجيا مجموعة النقاط) متنوعة للغاية بالنسبة لتصنيف كامل يصل إلى التماثل. المساحات الطوبولوجية المدمجة هي فئة مهمة من المساحات الطوبولوجية ("الأنواع" من هذا "النوع"). كل وظيفة مستمرة مقيدة بمثل هذه المساحة. الفاصل الزمني المغلق [0،1] والخط الحقيقي الممتد [، ∞] يضغطان الفاصل الزمني المفتوح (0،1) والخط (−∞ ، ∞) ليسوا كذلك. تبحث الطوبولوجيا الهندسية في المشعبات ("نوع" آخر من هذا "النوع") وهي مساحات طوبولوجية متماثلة محليًا مع المساحات الإقليدية (وتفي ببعض الشروط الإضافية). يتم تصنيف المشعبات منخفضة الأبعاد تمامًا حتى التماثل.

كل من الهياكل الخطية والطوبولوجية تكمن وراء بنية الفضاء الطوبولوجي الخطي (بمعنى آخر ، الفضاء المتجه الطوبولوجي). الفضاء الطوبولوجي الخطي هو مساحة خطية حقيقية أو معقدة ومساحة طوبولوجية ، بحيث تكون العمليات الخطية مستمرة. لذا فإن الفضاء الخطي الذي هو أيضًا طوبولوجي ليس بشكل عام مساحة طوبولوجية خطية.

كل مساحة خطية حقيقية أو معقدة ذات أبعاد محدودة هي مساحة طوبولوجية خطية بمعنى أنها تحمل طوبولوجيا واحدة فقط تجعلها مساحة طوبولوجية خطية. إن الهيكلين ، "الفضاء الخطي الحقيقي أو المعقد ذي الأبعاد المحدودة" و "الفضاء الطوبولوجي الخطي ذي الأبعاد المحدودة" ، متكافئان ، أي أنهما أساسيان بشكل متبادل. وفقًا لذلك ، فإن كل تحويل خطي معكوس لمساحة طوبولوجية خطية ذات أبعاد محدودة هو تماثل الشكل. تتفق المفاهيم الثلاثة للأبعاد (واحد جبري واثنتان طوبولوجيتان) على مسافات خطية حقيقية ذات أبعاد محدودة. ومع ذلك ، في المساحات اللانهائية الأبعاد ، يمكن أن تتوافق الطوبولوجيا المختلفة مع بنية خطية معينة ، والتحولات الخطية العكسية ليست بشكل عام أشكالًا متماثلة.

المساحات التقريبية والإسقاطية

من الملائم إدخال المساحات الأفينية والإسقاطية عن طريق المساحات الخطية ، على النحو التالي. أ نمساحة جزئية خطية الأبعاد لـ (ن+1) الفضاء الخطي الأبعاد ، كونها نفسها أ ن-الفضاء الخطي الأبعاد ، غير متجانس يحتوي على نقطة خاصة ، الأصل. نقله بواسطة متجه خارجي له ، يحصل المرء على ن- فضاء فرعي الأبعاد. إنه متجانس. لا يلزم تضمين مساحة أفينية في مساحة خطية ، ولكنها متشابهة إلى فضاء فرعي من الفضاء الخطي. الجميع نالمساحات الأفينية ذات الأبعاد متشابهة بشكل متبادل. على حد تعبير جون بايز ، "الفضاء الأفيني هو فضاء متجه نسي أصله". على وجه الخصوص ، كل مساحة خطية هي أيضًا مساحة أفينية.

نظرا ل ن- فضاء فرعي الأبعاد أ في (ن+1) مساحة خطية الأبعاد إل، خط مستقيم في أ يمكن تعريفه على أنه تقاطع أ مع مساحة جزئية خطية ثنائية الأبعاد إل الذي يتقاطع أ: بمعنى آخر ، مع مستوى من خلال الأصل لا يوازي أ. بشكل عام ، أ ك- فضاء فرعي الأبعاد أ هو تقاطع أ مع (ك+1) فضاء جزئي خطي الأبعاد من إل الذي يتقاطع أ.

كل نقطة من الفضاء الفرعي الفرعي أ هو تقاطع أ مع فضاء فرعي خطي أحادي البعد إل. ومع ذلك ، فإن بعض المساحات الفرعية أحادية البعد من إل موازية ل أ بمعنى ما ، تتقاطع أ في ما لا نهاية. مجموعة كل المساحات الفرعية الخطية أحادية البعد لـ (ن+1) الفضاء الخطي الأبعاد هو ، بالتعريف ، أ نالفضاء الإسقاطي الأبعاد. والفضاء الفرعي أ مضمن في الفضاء الإسقاط كمجموعة فرعية مناسبة. ومع ذلك ، فإن المساحة الإسقاطية نفسها متجانسة. يتوافق الخط المستقيم في الفضاء الإسقاطي مع فضاء جزئي خطي ثنائي الأبعاد لـ (ن+1) مساحة خطية الأبعاد. بشكل عام ، أ ك- فضاء فرعي إسقاطي الأبعاد للمساحة الإسقاطية يتوافق مع (ك+1) فضاء جزئي خطي الأبعاد لـ (ن+1) فضاء خطي الأبعاد ، ومتشابه إلى كالفضاء الإسقاطي الأبعاد.

تم تعريف المساحات الأفينية والإسقاطية بهذه الطريقة ، فهي ذات طبيعة جبرية يمكن أن تكون حقيقية ومعقدة ، وبشكل عام ، في أي مجال.

كل مساحة أفينية أو إسقاطية حقيقية أو معقدة هي أيضًا مساحة طوبولوجية. الفضاء الأفيني هو مشعب غير مضغوط ، مساحة الإسقاط عبارة عن مشعب مضغوط. في الفضاء الإسقاطي الحقيقي ، يكون الخط المستقيم متماثلًا لدائرة ، وبالتالي مضغوطًا ، على عكس الخط المستقيم في خطي من الفضاء الأفيني.

المساحات المترية والموحدة تحرير

يتم تحديد المسافات بين النقاط في مساحة مترية. تسمى التماثلات بين الفراغات المترية بالتساوي القياس. كل مساحة مترية هي أيضًا مساحة طوبولوجية. يُطلق على الفضاء الطوبولوجي metrizable ، إذا كان يقع تحت مساحة متريّة. جميع الفتحات قابلة للقياس.

في الفضاء المتري ، يمكننا تحديد المجموعات المحدودة وتسلسلات كوشي. يسمى الفراغ المتري مكتمل إذا تقاربت كل متواليات كوشي. يتم تضمين كل مساحة غير مكتملة بشكل متساوي القياس ، كمجموعة فرعية كثيفة ، في مساحة كاملة (الإكمال). كل مساحة مترية مضغوطة مكتملة ، الخط الحقيقي غير مضغوط ولكن الفاصل الزمني المفتوح (0،1) غير مكتمل.

كل مساحة إقليدية هي أيضًا مساحة مترية كاملة. علاوة على ذلك ، يمكن وصف جميع المفاهيم الهندسية الملازمة للفضاء الإقليدي من حيث القياس المتري. على سبيل المثال ، المقطع المستقيم الذي يربط بين نقطتين معينتين أ و ج يتكون من جميع النقاط ب بحيث المسافة بين أ و ج يساوي مجموع مسافتين بين أ و ب وبين ب و ج.

ينطبق بُعد Hausdorff (المرتبط بعدد الكرات الصغيرة التي تغطي المجموعة المحددة) على المسافات المترية ، ويمكن أن يكون عددًا غير صحيح (خاصة بالنسبة للفركتلات). ل نالفضاء الإقليدي الأبعاد ، البعد Hausdorff يساوي ن.

لا تقدم المساحات المنتظمة مسافات ، ولكنها لا تزال تسمح للمرء باستخدام الاستمرارية المنتظمة ، وتسلسلات كوشي (أو المرشحات أو الشبكات) ، والاكتمال والإكمال. كل مساحة موحدة هي أيضًا مساحة طوبولوجية. كل خطي الفضاء الطوبولوجي (قابل للقياس أم لا) هو أيضًا مساحة موحدة ، ومكتملة في البعد المحدود ولكنها عمومًا غير مكتملة في البعد اللانهائي. بشكل عام ، كل مجموعة طوبولوجية تبادلية هي أيضًا مساحة موحدة. ومع ذلك ، فإن المجموعة الطوبولوجية غير التبادلية تحمل هيكلين موحدين ، أحدهما يسار ثابت والآخر ثابت يمين.

تعديل المساحات المعيارية والبانات والمنتج الداخلي وهيلبرت

تشكل المتجهات في الفضاء الإقليدي مساحة خطية ، لكن لكل متجه x < displaystyle x> أيضًا طول ، بمعنى آخر ، القاعدة ، ‖ x ‖ < displaystyle lVert x rVert>. الفضاء الخطي الحقيقي أو المعقد الممنوح بمعيار هو مساحة معيارية. كل مساحة معيارية هي مساحة طوبولوجية خطية ومساحة مترية. مساحة Banach هي مساحة معيارية كاملة. العديد من فضاءات التسلسلات أو الوظائف هي فضاءات باناخ ذات أبعاد لانهائية.

تسمى مجموعة جميع نواقل القاعدة الأقل من واحد وحدة الكرة لمساحة معيارية.إنها مجموعة محدبة ، متناظرة مركزياً ، بشكل عام ليست إهليلجية على سبيل المثال ، قد تكون مضلع (في المستوى) أو ، بشكل عام ، متعدد الأضلاع (في البعد المحدد التعسفي). قانون متوازي الأضلاع (يسمى أيضًا متطابقة متوازي الأضلاع)

يفشل عمومًا في المساحات المعيارية ، ولكنه ينطبق على المتجهات في المساحات الإقليدية ، والذي ينتج عن حقيقة أن القاعدة الإقليدية التربيعية للمتجه هي ناتجها الداخلي مع نفسه ، ‖ x ‖ 2 = (x، x) = (س ، س)>.

مساحة المنتج الداخلية عبارة عن فضاء خطي حقيقي أو معقد ، مُزوَّد بشكل خطي خطي أو على التوالي ، مما يلبي بعض الشروط ويسمى منتجًا داخليًا. كل مساحة داخلية للمنتج هي أيضًا مساحة معيارية. تشكل المساحة المعيارية أساس مساحة المنتج الداخلية إذا وفقط إذا كانت تفي بقانون متوازي الأضلاع ، أو ما يعادلها ، إذا كانت وحدة الكرة الخاصة بها عبارة عن شكل بيضاوي. يتم تحديد الزوايا بين المتجهات في مساحات المنتج الداخلية. يتم تعريف مساحة هيلبرت على أنها مساحة منتج داخلية كاملة. (يصر بعض المؤلفين على أنه يجب أن يكون معقدًا ، والبعض الآخر يعترف أيضًا بمساحات هيلبرت الحقيقية.) العديد من فضاءات التسلسلات أو الوظائف هي مساحات هيلبرت غير محدودة الأبعاد. فضاءات هلبرت مهمة جدًا لنظرية الكم. [11]

الجميع نمسافات المنتج الداخلية الحقيقية الأبعاد متشابهة بشكل متبادل. يمكن للمرء أن يقول أن ن-الفضاء الإقليدي الأبعاد هو نمساحة المنتج الداخلية الحقيقية الأبعاد التي نسيت أصلها.

تحرير الفتحات الملساء والريمانية

لا يُطلق على المشعبات الملساء "مسافات" ، ولكن يمكن أن تكون كذلك. كل مشعب سلس هو متشعب طوبولوجي ، ويمكن تضمينه في مساحة خطية ذات أبعاد محدودة. الأسطح الملساء في الفضاء الخطي ذي الأبعاد المحدودة عبارة عن مشعبات ناعمة: على سبيل المثال ، يكون سطح الشكل الإهليلجي متشعبًا أملسًا ، وليس متعدد الأطوار. المساحات الخطية والأفينية والإسقاطية ذات الأبعاد المحدودة الحقيقية أو المعقدة هي أيضًا مشعبات سلسة.

في كل نقطة من نقاطه ، المسار السلس في المشعب السلس له متجه مماس ينتمي إلى الفضاء المماس للمشعب عند هذه النقطة. المساحات المماسية إلى نمتعددة الأبعاد السلس نمسافات خطية الأبعاد. يوفر تفاضل الوظيفة السلسة على مشعب سلس وظيفة خطية على مساحة الظل عند كل نقطة.

متشعب ريماني ، أو مساحة ريمان ، هو مشعب سلس ذو مسافات ظلامية مُزودة بمنتجات داخلية تلبي بعض الشروط. المساحات الإقليدية هي أيضًا مساحات ريمان. الأسطح الملساء في المساحات الإقليدية هي مساحات ريمان. الفضاء غير الإقليدي الزائدي هو أيضًا فضاء ريمان. طول المنحنى في مساحة Riemann ، وطول أقصر منحنى بين نقطتين يحدد المسافة ، بحيث أن مساحة Riemann هي مساحة مترية. الزاوية بين منحنيين متقاطعين عند نقطة ما هي الزاوية بين خطي المماس.

بالتنازل عن إيجابية المنتجات الداخلية على المساحات المماسية ، يحصل المرء على مساحات شبه ريمان ، بما في ذلك مساحات لورنتز التي تعتبر مهمة جدًا للنسبية العامة.

تعديل المساحات القابلة للقياس والقياس والاحتمالية

إن التنازل عن المسافات والزوايا مع الاحتفاظ بأحجام (الأجسام الهندسية) يصل المرء إلى نظرية القياس. إلى جانب الحجم ، يعمم المقياس مفاهيم توزيع المساحة والطول والكتلة (أو الشحنة) وكذلك توزيع الاحتمالات ، وفقًا لنهج أندريه كولموغوروف لنظرية الاحتمالات.

يعتبر "الجسم الهندسي" للرياضيات الكلاسيكية أكثر انتظامًا من مجرد مجموعة من النقاط. حدود الجسم ذات حجم صفري. وبالتالي ، فإن حجم الجسم هو حجم الجزء الداخلي منه ، ويمكن استنفاد الجزء الداخلي من خلال سلسلة لا نهائية من المكعبات. في المقابل ، يمكن أن تكون حدود مجموعة النقاط التعسفية ذات حجم غير صفري (مثال: مجموعة جميع النقاط المنطقية داخل مكعب معين). نجحت نظرية القياس في توسيع مفهوم الحجم إلى فئة واسعة من المجموعات ، ما يسمى المجموعات القابلة للقياس. في الواقع ، لا تحدث المجموعات غير القابلة للقياس في التطبيقات تقريبًا.

المجموعات القابلة للقياس ، المعطاة في مساحة قابلة للقياس بالتعريف ، تؤدي إلى وظائف وخرائط قابلة للقياس. من أجل تحويل مساحة طوبولوجية إلى مساحة قابلة للقياس ، يمنحها المرء جبر σ. تعتبر مجموعات σ-algebra الخاصة بمجموعات Borel هي الأكثر شيوعًا ، ولكنها ليست الخيار الوحيد. (مجموعات Baire ، مجموعات قابلة للقياس عالميًا ، إلخ ، تُستخدم أيضًا في بعض الأحيان.) لم يتم تحديد الطوبولوجيا بشكل فريد بواسطة Borel σ-algebra على سبيل المثال ، الطوبولوجيا المعيارية والطوبولوجيا الضعيفة على مساحة هيلبرت القابلة للفصل تؤدي إلى نفس Borel σ- الجبر. ليس كل جبر σ هو جبر بوريل لبعض الطوبولوجيا. [تفاصيل 4] في الواقع ، يمكن إنشاء جبر σ من خلال مجموعة معينة من المجموعات (أو الوظائف) بغض النظر عن أي طوبولوجيا. كل مجموعة فرعية من مساحة قابلة للقياس هي نفسها مساحة قابلة للقياس.

تعد المساحات القياسية القابلة للقياس (تسمى أيضًا مساحات Borel القياسية) مفيدة بشكل خاص بسبب بعض التشابه مع المساحات المدمجة (انظر EoM). كل رسم خرائط حيوي قابل للقياس بين المساحات القياسية القابلة للقياس هو تماثل أي أن التعيين العكسي قابل للقياس أيضًا. ويمكن قياس التعيين بين هذه المساحات إذا وفقط إذا كان الرسم البياني الخاص به قابلاً للقياس في مساحة المنتج. وبالمثل ، فإن كل رسم خرائط حيوي مستمر بين المساحات المترية المدمجة هو تماثل الشكل ، أي أن التعيين العكسي مستمر أيضًا. ويكون التعيين بين هذه المسافات مستمرًا إذا وفقط إذا كان الرسم البياني مغلقًا في فضاء المنتج.

كل مجموعة Borel في مساحة إقليدية (وبشكل أكثر عمومية ، في مساحة متريّة كاملة قابلة للفصل) ، ممنوحة ب Borel σ-algebra ، هي مساحة قياسية قابلة للقياس. جميع المساحات القياسية القابلة للقياس غير المعدودة متشابهة بشكل متبادل.

مساحة القياس هي مساحة قابلة للقياس مزودة بمقياس. المساحة الإقليدية بمقياس Lebesgue هي مساحة قياس. تحدد نظرية التكامل التكامل والتكامل للوظائف القابلة للقياس في مساحة القياس.

مجموعات القياس 0 ، تسمى مجموعات فارغة ، مهملة. وفقًا لذلك ، يتم تعريف "تماثل الشكل 0" على أنه تماثل بين مجموعات فرعية من القياس الكامل (أي مع تكملة لا تذكر).

مساحة الاحتمال هي مساحة قياس بحيث يكون قياس المساحة بأكملها يساوي 1. منتج أي عائلة (محدودة أو غير محدودة) من مساحات الاحتمال هو مساحة احتمالية. في المقابل ، بالنسبة لمساحات القياس بشكل عام ، يتم تحديد ناتج العديد من المساحات المحدودة فقط. وفقًا لذلك ، هناك العديد من مقاييس الاحتمالية اللانهائية الأبعاد (خاصة ، مقاييس Gaussian) ، ولكن لا توجد مقاييس Lebesgue غير محدودة الأبعاد.

مساحات الاحتمال القياسية مفيدة بشكل خاص. في مساحة الاحتمالية القياسية ، يمكن التعامل مع التوقع الشرطي على أنه تكامل على المقياس الشرطي (الاحتمالات الشرطية العادية ، انظر أيضًا تفكك القياس). بالنظر إلى فضاءين احتماليين قياسيين ، فإن كل تشابه في جبر القياس يتم إحداثه بواسطة بعض التدابير التي تحافظ على الخريطة. كل مقياس احتمالي على مساحة قياسية قابلة للقياس يؤدي إلى مساحة احتمالية قياسية. ناتج تسلسل (محدود أم لا) لمساحات الاحتمال القياسية هو مساحة احتمالية قياسية. جميع فضاءات الاحتمال المعيارية غير الذرية هي نموذج متماثل الشكل 0 واحد منها هو الفترة (0،1) مع مقياس ليبيغ.

هذه المساحات أقل هندسية. على وجه الخصوص ، فإن فكرة البعد ، القابلة للتطبيق (بشكل أو بآخر) على جميع المساحات الأخرى ، لا تنطبق على المساحات القابلة للقياس والقياس والاحتمالات.

تحرير الهندسة غير التبادلية

أدت الدراسة النظرية لحساب التفاضل والتكامل ، والمعروفة باسم التحليل الرياضي ، في أوائل القرن العشرين إلى النظر في المساحات الخطية للوظائف ذات القيمة الحقيقية أو ذات القيمة المعقدة. كانت أقدم الأمثلة على ذلك هي المساحات الوظيفية ، كل واحدة تتكيف مع فئة المشاكل الخاصة بها. تشترك هذه الأمثلة في العديد من السمات المشتركة ، وسرعان ما تم تجريد هذه الميزات في مساحات هيلبرت ، ومساحات باناخ ، ومساحات طوبولوجية أكثر عمومية. كانت هذه مجموعة أدوات قوية لحل مجموعة واسعة من المشاكل الرياضية.

تم نقل المعلومات الأكثر تفصيلاً بواسطة فئة من الفراغات تسمى Banach algebras. هذه مساحات Banach مع عملية الضرب المستمرة. كان أحد الأمثلة المبكرة المهمة هو جبر Banach للوظائف القابلة للقياس المقيدة أساسًا على مساحة القياس X. هذه المجموعة من الوظائف هي مساحة Banach تحت الجمع النقطي والضرب القياسي. من خلال عملية الضرب النقطي ، يصبح نوعًا خاصًا من فضاء باناخ ، والذي يسمى الآن جبر فون نيومان التبادلي. يحدد الضرب النقطي تمثيلًا لهذا الجبر على مساحة هيلبرت للوظائف القابلة للتكامل في المربع X. كانت الملاحظة المبكرة لجون فون نيومان هي أن هذه المراسلات عملت أيضًا في الاتجاه المعاكس: نظرًا لبعض الفرضيات التقنية البسيطة ، يحدد جبر فون نيومان التبادلي جنبًا إلى جنب مع تمثيل على فضاء هيلبرت مساحة قياس ، وهاتان البناءان (لجبر فون نيومان) بالإضافة إلى التمثيل ومساحة القياس) معكوسة بشكل متبادل.

ثم اقترح فون نيومان أن جبر فون نيومان غير التبادلي يجب أن يكون لها معنى هندسي ، تمامًا كما تفعل جبر فون نيومان التبادلي. جنبا إلى جنب مع فرانسيس موراي ، أنتج تصنيفًا لجبر فون نيومان. يوضح البناء المتكامل المباشر كيفية تقسيم أي جبر فون نيومان إلى مجموعة أبسط من الجبر تسمى عوامل. صنف فون نيومان وموراي العوامل إلى ثلاثة أنواع. النوع الأول كان مطابقًا تقريبًا للحالة التبادلية. أظهر النوعان الثاني والثالث ظواهر جديدة. حدد جبر فون نيومان من النوع الثاني هندسة ذات ميزة غريبة وهي أن البعد يمكن أن يكون أي عدد حقيقي غير سالب ، وليس مجرد عدد صحيح. النوع الثالث من الجبر هي تلك التي لم تكن من النوع الأول أو الثاني ، وبعد عدة عقود من الجهد ، ثبت أنها مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بعوامل النوع الثاني.

كلا هذين المثالين هما الآن حالات لحقل يسمى الهندسة غير التبادلية. تُعرف الأمثلة المحددة لجبر von Neumann و C * -algebras باسم نظرية القياس غير التبادلي والطوبولوجيا غير التبادلية ، على التوالي. الهندسة غير التبادلية ليست مجرد السعي وراء العمومية لذاتها وليست مجرد فضول. تنشأ المساحات غير التبادلية بشكل طبيعي ، بل حتميًا ، من بعض الإنشاءات. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك استخدام تبليط بنروز غير الدوري للطائرة بواسطة الطائرات الورقية والسهام. إنها نظرية ، في مثل هذا التبليط ، تظهر كل رقعة منتهية من الطائرات الورقية والسهام في كثير من الأحيان بلا حدود. نتيجة لذلك ، لا توجد طريقة للتمييز بين أسطح بنروز من خلال النظر إلى جزء محدود. هذا يجعل من المستحيل تعيين مجموعة من كل الأسقف طبولوجيا بالمعنى التقليدي. على الرغم من ذلك ، تحدد أسقف Penrose جبر C * غير تبادلي ، وبالتالي يمكن دراستها بتقنيات الهندسة غير التبادلية. مثال آخر ، وهو واحد ذو أهمية كبيرة في الهندسة التفاضلية ، يأتي من أوراق الشجر المتشعبة. هذه طرق لتقسيم المشعب إلى عديدات طيات فرعية أصغر حجمًا تسمى اوراق اشجار، كل منها موازي محليًا للآخرين القريبين. يمكن تحويل مجموعة الأوراق إلى فضاء طوبولوجي. ومع ذلك ، يوضح مثال الدوران غير المنطقي أن هذا الفضاء الطوبولوجي لا يمكن الوصول إليه لتقنيات نظرية القياس الكلاسيكية. ومع ذلك ، هناك جبر غير تبادلي لـ von Neumann مرتبط بمساحة ورقة ترقيم الأوراق ، ومرة ​​أخرى ، هذا يعطي مساحة غير مفهومة بخلاف ذلك بنية هندسية جيدة.

تحرير المخططات

تدرس الهندسة الجبرية الخصائص الهندسية للمعادلات متعددة الحدود. تعد كثيرات الحدود نوعًا من الوظائف المحددة من العمليات الحسابية الأساسية للجمع والضرب. وبسبب هذا ، فهم مرتبطون ارتباطًا وثيقًا بالجبر. تقدم الهندسة الجبرية طريقة لتطبيق التقنيات الهندسية على أسئلة الجبر الخالص والعكس صحيح.

قبل الأربعينيات من القرن الماضي ، عملت الهندسة الجبرية حصريًا على الأعداد المركبة ، وكان التنوع الأساسي هو الفضاء الإسقاطي. ترتبط هندسة الفضاء الإسقاطي ارتباطًا وثيقًا بنظرية المنظور ، ويتم وصف الجبر من خلال كثيرات الحدود المتجانسة. تم تعريف جميع الأصناف الأخرى على أنها مجموعات فرعية من الفضاء الإسقاطي. كانت الأصناف الإسقاطية مجموعات فرعية تم تعريفها بواسطة مجموعة من كثيرات الحدود المتجانسة. في كل نقطة من الصنف الإسقاطي ، كانت جميع كثيرات الحدود في المجموعة مطلوبة لتساوي الصفر. تكملة المجموعة الصفرية لكثير الحدود الخطية هي مساحة أفينية ، وكان التنوع الأفيني هو تقاطع مجموعة متنوعة إسقاطية مع مساحة أفينية.

رأى أندريه ويل أن التفكير الهندسي يمكن أحيانًا تطبيقه في مواقف نظرية الأرقام حيث قد تكون المساحات المعنية منفصلة أو حتى محدودة. سعياً وراء هذه الفكرة ، أعاد ويل كتابة أسس الهندسة الجبرية ، وحرر الهندسة الجبرية من اعتمادها على الأعداد المركبة وإدخالها أصناف جبرية مجردة التي لم تكن مدمجة في الفضاء الإسقاطي. هذه تسمى الآن ببساطة أصناف.

إن نوع الفضاء الذي تقوم عليه معظم الهندسة الجبرية الحديثة هو أكثر عمومية من أصناف ويل الجبرية المجردة. تم تقديمه من قبل ألكسندر جروتينديك ويسمى مخطط. أحد الدوافع لنظرية المخطط هو أن كثيرات الحدود منظمة بشكل غير عادي بين الوظائف ، وبالتالي فإن الأصناف الجبرية جامدة. هذا يمثل مشاكل عند محاولة دراسة المواقف المتدهورة. على سبيل المثال ، يحدد أي زوج من النقاط تقريبًا على الدائرة خطًا فريدًا يسمى الخط القاطع ، وعندما تتحرك النقطتان حول الدائرة ، يتغير الخط القاطع باستمرار. ومع ذلك ، عندما تتصادم النقطتان ، يتدهور الخط القاطع إلى خط مماس. يعتبر خط المماس فريدًا ، لكن هندسة هذا التكوين - نقطة واحدة على دائرة - ليست معبرة بما يكفي لتحديد خط فريد. تتطلب دراسة مثل هذه المواقف نظرية قادرة على تخصيص بيانات إضافية لمواقف متدهورة.

أحد اللبنات الأساسية للمخطط هو الفضاء الطوبولوجي. الفراغات الطوبولوجية لها وظائف مستمرة ، لكن الوظائف المستمرة عامة جدًا لتعكس البنية الجبرية الأساسية للفائدة. المكون الآخر في المخطط ، بالتالي ، هو حزمة على الفضاء الطوبولوجي ، تسمى "حزمة الهيكل". في كل مجموعة فرعية مفتوحة من الفضاء الطوبولوجي ، تحدد الحزمة مجموعة من الوظائف تسمى "الوظائف العادية". المساحة الطوبولوجية وحزمة الهيكل معًا مطلوبان لتلبية الشروط التي تعني أن الوظائف تأتي من العمليات الجبرية.

هناك العديد من المخططات التي ليست أفيني. على وجه الخصوص ، تفي المساحات الإسقاطية بشرط يسمى الملاءمة وهو مماثل للاكتناز. لا يمكن أن تكون المخططات التقريبية مناسبة (إلا في المواقف التافهة مثل عندما يكون للمخطط نقطة واحدة فقط) ، وبالتالي لا توجد مساحة إسقاطية هي مخطط أفيني (باستثناء المساحات الإسقاطية ذات الأبعاد الصفرية). المخططات الإسقاطية ، بمعنى تلك التي تظهر كمخططات فرعية مغلقة لمساحة إسقاطية ، هي أهم مجموعة من المخططات. [12]

تم إدخال عدة تعميمات للمخططات. عرّف مايكل أرتين الفضاء الجبري على أنه حاصل مخطط من خلال علاقات التكافؤ التي تحدد أشكال التشكل. تحتفظ المساحات الجبرية بالعديد من الخصائص المفيدة للمخططات بينما تكون في نفس الوقت أكثر مرونة. على سبيل المثال ، يمكن استخدام نظرية Keel – Mori لإظهار أن العديد من فضاءات المعيارية هي فضاءات جبرية.

أكثر عمومية من الفضاء الجبري هو مكدس Deligne – Mumford. تتشابه حزم DM مع المخططات ، ولكنها تسمح بالتفردات التي لا يمكن وصفها فقط من حيث كثيرات الحدود. يلعبون نفس الدور بالنسبة للمخططات التي تقوم بها orbifolds للمشعبات. على سبيل المثال ، ينتج حاصل قسمة المستوى الأفيني بواسطة مجموعة محدودة من الدورات حول الأصل مكدس Deligne – Mumford ليس مخططًا أو مساحة جبرية. بعيدًا عن الأصل ، يحدد حاصل القسمة من خلال إجراء المجموعة مجموعات محدودة من النقاط المتساوية المسافات على الدائرة. لكن في الأصل ، تتكون الدائرة من نقطة واحدة فقط ، الأصل نفسه ، وعمل المجموعة يصلح هذه النقطة. ومع ذلك ، في حاصل مكدس DM ، تأتي هذه النقطة مع البيانات الإضافية لكون حاصل القسمة. هذا النوع من البنية المكررة مفيد في نظرية المساحات المعيارية ، وفي الواقع ، تم تقديمه في الأصل لوصف نماذج المنحنيات الجبرية.

التعميم الآخر هو المداخن الجبرية ، وتسمى أيضًا مكدسات Artin. تقتصر حزم DM على حواجز القسمة من خلال إجراءات مجموعة محدودة. في حين أن هذا يكفي للعديد من المشكلات في نظرية المعادلات ، إلا أنه مقيد للغاية بالنسبة للآخرين ، وتسمح حزم Artin بمزيد من الحواصل العامة.

تحرير Topoi

في عمل Grothendieck على تخمينات Weil ، قدم نوعًا جديدًا من الطوبولوجيا يسمى الآن طوبولوجيا Grothendieck. الفضاء الطوبولوجي (بالمعنى العادي) يسلط الضوء على مفهوم "القرب" ، مما يجعل نقطتين قريبتين إذا وفقط إذا كانتا تقعان في العديد من نفس المجموعات المفتوحة. على النقيض من ذلك ، فإن طوبولوجيا غروتينديك تبسط مفهوم "التغطية". غطاء الفضاء هو مجموعة من المساحات الفرعية التي تحتوي بشكل مشترك على جميع المعلومات الخاصة بالفضاء المحيط. نظرًا لتعريف الحزم من حيث الأغطية ، يمكن أيضًا اعتبار طوبولوجيا Grothendieck كبديهية لنظرية الحزم.

قاده عمل غروتينديك على طوبولوجياته إلى نظرية الطوبوي. في مذكراته Récoltes et Semailles، أطلق عليهم "أوسع تصوراته". [13] تُستخدم الحزم (إما على مساحة طوبولوجية أو فيما يتعلق بطوبولوجيا Grothendieck) للتعبير عن البيانات المحلية. تحمل فئة جميع الحزم جميع الطرق الممكنة للتعبير عن البيانات المحلية. نظرًا لأن المساحات الطوبولوجية يتم إنشاؤها من النقاط ، والتي تعد في حد ذاتها نوعًا من البيانات المحلية ، فيمكن بالتالي استخدام فئة الحزم كبديل للمساحة الأصلية. وبناءً على ذلك ، عرّف غروتينديك التوبو على أنه فئة من الحزم ودرس topoi كأشياء ذات أهمية في حد ذاتها. هذه تسمى الآن توبوي Grothendieck.

تحدد كل مساحة طوبولوجية قمة ، والعكس صحيح. هناك فضاءات طوبولوجية يفقد فيها أخذ المعلومات المرتبطة بها ، ولكن هذه تعتبر بشكل عام مرضية. (الشرط الضروري والكافي هو أن يكون الفضاء الطوبولوجي مساحة رصينة.) وعلى العكس من ذلك ، هناك مواقع لا تلتقط المساحات الطوبولوجية المرتبطة بها التضاريس الأصلية. ولكن ، بعيدًا عن كونها مرضية ، يمكن أن تكون هذه الموضوعات ذات أهمية رياضية كبيرة. على سبيل المثال ، يمكن صياغة نظرية غروتينديك عن علم التعايش بين الطرقات (التي أدت في النهاية إلى إثبات تخمين ويل) على أنها علم التعايش في الطبقات العليا لمخطط ما ، وهذه التضاريس لا تأتي من فضاء طوبولوجي.

تؤدي المساحات الطوبولوجية في الواقع إلى مواقع خاصة جدًا تسمى المناطق. تحدد مجموعة المجموعات الفرعية المفتوحة للفضاء الطوبولوجي الشبكة. تسبب البديهيات الخاصة بالفضاء الطوبولوجي في أن تكون هذه المشابك كاملة الجبر. تأخذ نظرية المواقع هذا كنقطة انطلاق. يتم تعريف اللغة على أنها جبر Heyting كامل ، ويتم إعادة التعبير عن الخصائص الأولية للمساحات الطوبولوجية وإعادة استنساخها في هذه الشروط. يتضح أن مفهوم الموقع المحلي أكثر عمومية من الفضاء الطوبولوجي ، حيث أن كل مساحة طوبولوجية رصينة تحدد موقعًا فريدًا ، لكن العديد من المواقع المثيرة للاهتمام لا تأتي من المساحات الطوبولوجية. نظرًا لأن المواقع المحلية لا تحتاج إلى نقاط ، فإن دراسة المواقع تسمى على سبيل المزاح طوبولوجيا لا معنى لها.

يعرض Topoi أيضًا اتصالات عميقة بالمنطق الرياضي. كل توبوس من Grothendieck له حزمة خاصة تسمى مصنف subobject. يعمل مصنف الكائن الفرعي هذا مثل مجموعة جميع قيم الحقيقة الممكنة. في أعلى المجموعات ، يكون مصنف الكائن الفرعي هو المجموعة <0 ، 1> < displaystyle <0،1 >> ، المقابلة لـ "False" و "True". ولكن في مواضيع أخرى ، يمكن أن يكون مصنف العنصر الفرعي أكثر تعقيدًا. أدرك لوفير وتيرني أن إضفاء البديهية لمصنف الكائن الفرعي قد أسفر عن نوع أكثر عمومية من topos ، والمعروف الآن باسم topos الأولي ، وأن topoi الأولي كانت نماذج للمنطق الحدسي. بالإضافة إلى توفير طريقة قوية لتطبيق الأدوات من المنطق إلى الهندسة ، فقد أتاح ذلك استخدام الأساليب الهندسية في المنطق.

وفقا لكيفن كارلسون ،

لا تحتوي أي من هاتين الكلمتين ["الفضاء" و "البنية"] على تعريف رياضي واحد. يمكن استخدام الكلمات الإنجليزية بشكل أساسي في جميع المواقف نفسها ، ولكن غالبًا ما تفكر في "الفضاء" على أنه هندسي أكثر و "بنية" أكثر جبرية. [. ] لذا يمكنك التفكير في "الهياكل" كأماكن نقوم فيها بالجبر ، و "المسافات" كأماكن نقوم بها بالهندسة. ثم أتى الكثير من الرياضيات العظيمة من الانتقال من الهياكل إلى الفراغات والعكس صحيح ، كما هو الحال عندما ننظر إلى المجموعة الأساسية للفضاء الطوبولوجي أو طيف الحلقة. لكن في النهاية ، التمييز ليس صعبًا ولا سريعًا ويذهب بعيدًا فقط: من الواضح أن العديد من الأشياء عبارة عن هياكل ومساحات ، وبعض الأشياء ليست واضحة أيضًا ، وقد يختلف بعض الأشخاص مع كل ما قلته هنا. [1]

ومع ذلك ، اقترح بوربكي تعريفًا عامًا لمصطلح "الهيكل" [2] ، فهو يشمل جميع أنواع الفراغات المذكورة أعلاه ، (تقريبًا؟) جميع أنواع الهياكل الرياضية المستخدمة حتى الآن ، وأكثر من ذلك. يوفر تعريفًا عامًا للتشابه ، ويبرر نقل الخصائص بين الهياكل المتشابهة. ومع ذلك ، لم يتم استخدامه أبدًا بنشاط في الممارسة الرياضية (ولا حتى في الأطروحات الرياضية التي كتبها بوربكي نفسه). فيما يلي العبارات الأخيرة من مراجعة روبرت ريد [14] لكتاب ليو كوري:

لا يبدو أن كوري يشعر بذلك أي التعريف الرسمي للهيكل يمكن أن ينصف استخدام المفهوم في الممارسة الرياضية الفعلية [. ] يمكن تلخيص وجهة نظر كوري على أنها الاعتقاد بأن "البنية" تشير أساسًا إلى طريقة ما عمل الرياضيات ، وبالتالي فهي مفهوم على الأرجح بعيدًا عن كونها قابلة للتعريف بدقة مثل الأداة الثقافية للرياضيات نفسها.

التمييز بين "الفراغات" الهندسية و "الهياكل" الجبرية واضح في بعض الأحيان ، وأحيانا بعيد المنال. من الواضح أن المجموعات جبرية ، بينما المساحات الإقليدية هندسية. الوحدات فوق الحلقات هي جبرية مثل المجموعات. على وجه الخصوص ، عندما تبدو الحلقة وكأنها حقل ، فإن الوحدة تبدو وكأنها مساحة خطية ، هل هي جبرية أم هندسية؟ على وجه الخصوص ، عندما تكون ذات أبعاد محدودة ، على أرقام حقيقية ، ومُنحت بمنتج داخلي ، فإنها تصبح مساحة إقليدية الآن هندسية. المجال (الجبري؟) للأعداد الحقيقية هو نفس الخط الحقيقي (الهندسي؟). إغلاقها الجبري ، المجال (الجبري؟) للأعداد المركبة ، هو نفس المستوى المركب (الهندسي؟). إنه أولاً وقبل كل شيء "مكان نقوم بالتحليل" (بدلاً من الجبر أو الهندسة).

كل مساحة تمت معالجتها في قسم "أنواع المسافات" أعلاه ، باستثناء "الهندسة غير التبادلية" ، و "المخططات" ، والأقسام الفرعية "Topoi" ، هي مجموعة ("المجموعة الأساسية الأساسية" للهيكل ، وفقًا لبورباكي) الممنوحة بعض عناصر الهيكل الإضافية للمجموعة الأساسية تسمى عادة "نقاط" من هذا الفضاء. في المقابل ، لا تسمى عناصر (المجموعة الأساسية) لبنية جبرية "نقاط".

ومع ذلك ، في بعض الأحيان يستخدم المرء أكثر من مجموعة أساسية واحدة. على سبيل المثال ، يمكن إضفاء الطابع الرسمي على الهندسة الإسقاطية ثنائية الأبعاد عبر مجموعتين أساسيتين ، مجموعة النقاط ومجموعة الخطوط. علاوة على ذلك ، فإن السمة اللافتة للنظر للطائرات الإسقاطية هي تناسق الأدوار التي تلعبها النقاط والخطوط. مثال أقل هندسية: يمكن إضفاء الطابع الرسمي على الرسم البياني من خلال مجموعتين أساسيتين ، مجموعة الرؤوس (تسمى أيضًا العقد أو النقاط) ومجموعة الحواف (تسمى أيضًا الأقواس أو الخطوط). بشكل عام ، يشترط بورباكي العديد من المجموعات الأساسية الرئيسية وعددًا محدودًا من مجموعات القواعد المساعدة.

العديد من الهياكل الرياضية ذات النكهة الهندسية التي تمت معالجتها في الأقسام الفرعية "الهندسة غير التبادلية" و "المخططات" و "Topoi" أعلاه لا تنص على مجموعة أساسية من النقاط. على سبيل المثال ، "طوبولوجيا لا معنى لها" (بمعنى آخر ، طوبولوجيا خالية من النقاط ، أو نظرية اللغة المحلية) تبدأ بمجموعة أساسية واحدة تحاكي عناصرها المجموعات المفتوحة في فضاء طوبولوجي (ولكنها ليست مجموعات من النقاط) انظر أيضًا علم الميريوتوبولوجيا والنقطة- الهندسة الحرة.


12: المتجهات وهندسة الفضاء - الرياضيات

قانون متوازي الأضلاع لإضافة المتجهات هو أمر بديهي لدرجة أن أصله غير معروف. ربما ظهرت في عمل أرسطو المفقود (384 - 322 قبل الميلاد) ، وهي موجودة في ميكانيكا هيرون (القرن الأول بعد الميلاد) في الإسكندرية. كانت أيضًا النتيجة الطبيعية الأولى في كتاب إسحاق نيوتن (1642-1727) Principia Mathematica (1687). في كتاب المبادئ ، تعامل نيوتن بشكل مكثف مع ما يعتبر الآن كيانات متجهية (على سبيل المثال ، السرعة ، القوة) ، ولكن لم يكن أبدًا مفهوم المتجه. كانت الدراسة المنهجية واستخدام النواقل ظاهرة في القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين.

ولدت النواقل في العقدين الأولين من القرن التاسع عشر بالتمثيلات الهندسية للأعداد المركبة. Caspar Wessel (1745--1818) ، Jean Robert Argand (1768--1822) ، Carl Friedrich Gauss (1777--1855) ، وعلى الأقل واحد أو اثنين آخرين تصوروا الأعداد المركبة كنقاط في المستوى ثنائي الأبعاد ، أي ، كمتجهات ثنائية الأبعاد. عمل علماء الرياضيات والعلماء مع هذه الأرقام الجديدة وطبقوها بطرق مختلفة على سبيل المثال ، استخدم غاوس بشكل حاسم الأعداد المركبة لإثبات النظرية الأساسية للجبر (1799). في عام 1837 ، أظهر ويليام روان هاميلتون (1805-1865) أن الأعداد المركبة يمكن اعتبارها مجرد أزواج مرتبة (أ ، ب) من الأعداد الحقيقية. كانت هذه الفكرة جزءًا من حملة العديد من علماء الرياضيات ، بمن فيهم هاملتون نفسه ، للبحث عن طريقة لتوسيع "الأرقام" ثنائية الأبعاد إلى ثلاثة أبعاد ولكن لم يتمكن أحد من تحقيق ذلك ، مع الحفاظ على الخصائص الجبرية الأساسية للواقع الحقيقي. والأعداد المركبة.

في عام 1827 ، نشر أوغست فرديناند مبيوس كتابًا قصيرًا بعنوان حساب التفاضل والتكامل Barycentric ، والذي قدم فيه مقاطع خطية موجهة يشير إليها بأحرف الأبجدية ، متجهات في كل شيء باستثناء الاسم. في دراسته لمراكز الجاذبية والهندسة الإسقاطية ، طور مبيوس حسابًا لهذه المقاطع الخطية الموجهة التي أضافها وأظهر كيفية ضربها بعدد حقيقي. كانت اهتماماته في مكان آخر ، ومع ذلك ، لم يكلف أحد عناء ملاحظة أهمية هذه الحسابات.

بعد قدر كبير من الإحباط ، ألهم هاملتون أخيرًا للتخلي عن البحث عن مثل هذا النظام "الرقمي" ثلاثي الأبعاد وبدلاً من ذلك اخترع نظامًا رباعي الأبعاد أطلق عليه اسم الكواتيرنيونات. على حد قوله: 16 أكتوبر 1843 ،

الذي صادف أن يكون يوم اثنين ، ويوم مجلس الأكاديمية الملكية الأيرلندية - كنت أسير للحضور وأترأس ، - على طول القناة الملكية ، كان هناك تيار فكري كان يدور في ذهني ، والذي أخيرًا أعطت نتيجة ، ومن ثم فليس من المبالغة القول أنني شعرت في الحال بالأهمية. بدت دائرة كهربائية وكأنها تنغلق واندلعت شرارة ، لم أستطع مقاومة الدافع للقطع بسكين على حجر من جسر بروغام ، ونحن نجتازه ، الصيغ الأساسية.

تمت كتابة أرباع هاملتون ، q = w + i x + j y + k z ، حيث كانت w و x و y و z أعدادًا حقيقية. سرعان ما أدرك هاملتون أن أرباعه تتكون من جزأين متميزين. المصطلح الأول ، الذي أسماه العدد القياسي و "x ، y ، z لمكوناته المستطيلة الثلاثة ، أو الإسقاطات على ثلاثة محاور مستطيلة ، [في إشارة إلى نفسه] تم حثه على استدعاء التعبير ثلاثي الحدود نفسه ، وكذلك الخط الذي يمثله ، ناقل. " استخدم هاملتون "معادلاته الأساسية" ، i 2 = j 2 = k 2 = - ijk = -1 ، لمضاعفة المربعات ، واكتشف فورًا أن المنتج ، q 1 q 2 = - q 2 q 1 ، لم يكن تبادليًا.

حصل هاملتون على لقب فارس في عام 1835 ، وكان عالمًا مشهورًا قام بعمل أساسي في علم البصريات والفيزياء النظرية بحلول الوقت الذي اخترع فيه الكواتيرنات ، لذلك تم الاعتراف بها على الفور. بدوره ، كرس الـ 22 عامًا المتبقية من حياته لتطويرها وتعزيزها. كتب كتابين شاملين ، محاضرات عن الرباعية (1853) وعناصر الرباعية (1866) ، لا يشرحان فقط جبر الكواتيرن ولكن أيضًا كيف يمكن استخدامها في الهندسة. كتب هاميلتون في مرحلة ما ، "ما زلت مضطرًا إلى التأكيد على أن هذا الاكتشاف يبدو لي بنفس أهمية اكتشاف التدفقات في نهاية القرن السابع عشر." حصل على تلميذ ، بيتر جوثري تايت (1831-1901) ، الذي بدأ في الخمسينيات من القرن التاسع عشر في تطبيق الكواتيرونات على مشاكل الكهرباء والمغناطيسية وعلى مشاكل أخرى في الفيزياء. في النصف الثاني من القرن التاسع عشر ، أثارت دعوة تايت للرباعيات ردود فعل قوية ، إيجابية وسلبية ، في المجتمع العلمي.

في نفس الوقت تقريبًا الذي اكتشف فيه هاميلتون الرباعية ، كان هيرمان جراسمان (1809-1877) يؤلف حساب الامتداد (1844) ، المعروف الآن باسمه الألماني ، Ausdehnungslehre. في عام 1832 ، بدأ جراسمان في تطوير "حساب هندسي جديد" كجزء من دراسته لنظرية المد والجزر ، واستخدم هذه الأدوات لاحقًا لتبسيط أجزاء من عملين كلاسيكيين ، الميكانيكا التحليلية لجوزيف لويس لاغرانج (1736-1813) والميكانيكا السماوية لبيير سيمون لابلاس (1749-1827). في كتابه Ausdehnungslehre ، قام Grassmann أولاً بتوسيع مفهوم المتجهات من الأبعاد المألوفة ذات البعدين أو الثلاثة إلى رقم عشوائي ، n ، للأبعاد التي وسعت بشكل كبير أفكار الفضاء. ثانيًا ، وبشكل أكثر عمومية ، توقع Grassmann قدرًا كبيرًا من المصفوفة الحديثة والجبر الخطي وتحليل المتجهات والموتر.

لسوء الحظ ، تعرض Ausdehnungslehre لضربتين ضده. أولاً ، كانت مجردة للغاية ، وتفتقر إلى الأمثلة التوضيحية ومكتوبة بأسلوب غامض مع تدوين شديد التعقيد. حتى بعد أن أعطاها دراسة جادة ، لم يكن مبيوس قادرًا على فهمها بشكل كامل. ثانيًا ، كان Grassmann مدرسًا في مدرسة ثانوية بدون سمعة علمية كبيرة (مقارنة بهاميلتون). على الرغم من أن عمله تم تجاهله إلى حد كبير ، فقد روج Grassmann لرسالته في أربعينيات وخمسينيات القرن التاسع عشر من خلال تطبيقات في الديناميكا الكهربية وهندسة المنحنيات والأسطح ، ولكن دون نجاح عام كبير. في عام 1862 ، نشر جراسمان طبعة ثانية تمت مراجعتها كثيرًا من كتابه Ausdehnungslehre ، لكنها كانت أيضًا مكتوبة بشكل غامض ومجردة للغاية بالنسبة لعلماء الرياضيات في ذلك الوقت ، وقد لقيت المصير نفسه مثل طبعته الأولى. في السنوات الأخيرة من حياته ، ابتعد جراسمان عن الرياضيات وأطلق مهنة بحثية ثانية وناجحة للغاية في علم الصوتيات واللغويات المقارنة. أخيرًا ، في أواخر الستينيات والسبعينيات من القرن التاسع عشر ، بدأ فهم وتقدير Ausdehnungslehre ببطء ، وبدأ Grassmann في تلقي بعض التقدير الإيجابي لرياضياته الحكيمة. نُشرت الطبعة الثالثة من Ausdehnungslehre في عام 1878 ، بعد عام من وفاة Grassmann.

خلال منتصف القرن التاسع عشر ، كان بنجامين بيرس (1809-1880) بعيدًا وبعيدًا أبرز عالم رياضيات في الولايات المتحدة ، وأشار إلى هاملتون على أنه "المؤلف الضخم للرباعيات". كان بيرس أستاذًا للرياضيات وعلم الفلك في جامعة هارفارد من عام 1833 إلى عام 1880 ، وكتب نظامًا ضخمًا للميكانيكا التحليلية (1855 الطبعة الثانية 1872) ، والذي ، بشكل مفاجئ ، لم يتضمن الكواتيرن. بدلاً من ذلك ، توسع بيرس فيما أسماه "هذا الجبر الرائع للفضاء" في تأليفه الجبر الترابطي الخطي (1870) ، وهو عمل في الجبر التجريدي تمامًا. وبحسب ما ورد ، كانت المربعات هي المادة المفضلة لدى بيرس ، وكان لديه العديد من الطلاب الذين أصبحوا علماء رياضيات وكتبوا عددًا كبيرًا من الكتب والأوراق حول هذا الموضوع.

كان جيمس كليرك ماكسويل (1831-1879) نصيرًا مميزًا وناقدًا للكواتيرونات. كان ماكسويل وتايت اسكتلنديين ودرسا معًا في إدنبرة وجامعة كامبريدج ، وتقاسموا الاهتمامات في الفيزياء الرياضية. في ما أسماه "التصنيف الرياضي للكميات الفيزيائية" ، قسم ماكسويل متغيرات الفيزياء إلى فئتين ، المقاييس والمتجهات. ثم ، فيما يتعلق بهذا التقسيم الطبقي ، أشار إلى أن استخدام المربعات جعل المقارنات الرياضية في الفيزياء شفافةً التي اكتشفها اللورد كلفن (السير ويليام طومسون ، 1824-1907) بين تدفق الحرارة وتوزيع القوى الكهروستاتيكية. ومع ذلك ، في أوراقه ، وخاصة في أطروحته المؤثرة للغاية حول الكهرباء والمغناطيسية (1873) ، أكد ماكسويل على أهمية ما وصفه بـ "أفكار الرباعية" أو عقيدة المتجهات "باعتبارها" طريقة رياضية "طريقة تفكير . " في الوقت نفسه ، أشار إلى الطبيعة غير المتجانسة لمنتج الكواتيرونات ، وحذر العلماء من استخدام "طرق الرباعية" بتفاصيلها التي تشمل مكونات المتجهات الثلاثة. في الأساس ، كان ماكسويل يقترح تحليلًا متجهيًا بحتًا.

أعرب ويليام كنجدون كليفورد (1845-1879) عن "إعجابه العميق" بأصالة Grassmann's Ausdehnungslehre ، ومن الواضح أنه يفضل النواقل ، والتي غالبًا ما يسميها الدرجات ، على الرباعية. في كتابه Elements of Dynamic (1878) ، قام كليفورد بتقسيم حاصل ضرب اثنين من العناصر الرباعية إلى منتجين متجهين مختلفين تمامًا ، والذي أسماه المنتج القياسي (المعروف الآن باسم المنتج النقطي) والمنتج المتجه (اليوم نسميه المنتج المتقاطع) ). بالنسبة لتحليل المتجهات ، أكد "القناعة [هي] أن مبادئها ستؤثر بشكل كبير على مستقبل العلوم الرياضية." على الرغم من أنه كان من المفترض أن تكون عناصر الديناميكية هي الأولى في سلسلة من الكتب المدرسية ، إلا أن كليفورد لم تتح له الفرصة أبدًا لمتابعة هذه الأفكار لأنه مات صغيرًا جدًا.

تم الكشف عن تطور جبر المتجهات وتحليل المتجهات كما نعرفه اليوم لأول مرة في مجموعات من الملاحظات الرائعة التي كتبها J. Willard Gibbs (1839-1903) لطلابه في جامعة ييل. كان جيبس ​​من مواليد نيو هافن ، كونيتيكت (كان والده أيضًا أستاذًا في جامعة ييل) ، وكانت إنجازاته العلمية الرئيسية في الفيزياء ، أي الديناميكا الحرارية. أيد ماكسويل بشدة عمل جيبس ​​في الديناميكا الحرارية ، وخاصة العروض التقديمية الهندسية لنتائج جيبس. تعرّف جيبس ​​على الكواتيرنات عندما قرأ أطروحة ماكسويل عن الكهرباء والمغناطيسية ، ودرس جيبس ​​أيضًا كتاب غراسمان Ausdehnungslehre. وخلص إلى أن النواقل ستوفر أداة أكثر كفاءة لعمله في الفيزياء. لذلك ، بدءًا من عام 1881 ، طبع جيبس ​​بشكل خاص ملاحظات حول تحليل المتجهات لطلابه ، والتي تم توزيعها على نطاق واسع على العلماء في الولايات المتحدة وبريطانيا وأوروبا. كان أول كتاب عن التحليل الحديث للناقلات باللغة الإنجليزية هو تحليل المتجهات (1901) ، ملاحظات جيبس ​​كما جمعها أحد آخر طلاب الدراسات العليا ، إدوين ب. ويلسون (1879-1964). ومن المفارقات أن ويلسون تلقى تعليمه الجامعي في جامعة هارفارد (بكالوريوس 1899) حيث تعلم عن الرباعية من أستاذه جيمس ميلز بيرس (1834-1906) ، أحد أبناء بنيامين بيرس. تمت إعادة طباعة كتاب جيبس ​​/ ويلسون في طبعة ذات غلاف ورقي في عام 1960. وقدم جان فرينيه (1816-1990) مساهمة أخرى في الفهم الحديث واستخدام المتجهات. دخل Frenet إلى المدرسة العليا العليا في عام 1840 ، ثم درس في تولوز حيث كتب أطروحة الدكتوراه في عام 1847. تحتوي أطروحة Frenet على نظرية منحنيات الفضاء وتحتوي على الصيغ المعروفة باسم صيغ Frenet-Serret (إطار TNB). أعطى Frenet ستة صيغ فقط بينما أعطى Serret تسعة. نشر Frenet هذه المعلومات في Journal de mathematique pures et appliques في عام 1852.

في تسعينيات القرن التاسع عشر والعقد الأول من القرن العشرين ، سخر تايت وعدد قليل من الآخرين من النواقل ودافعوا عن الرباعية بينما صمم العديد من العلماء وعلماء الرياضيات الآخرين أساليب المتجهات الخاصة بهم. أوليفر هيفيسايد (1850-1925) ، عالم فيزياء متعلم ذاتيًا تأثر بشكل كبير بماكسويل ، نشر أوراقًا ونظريته الكهرومغناطيسية (ثلاثة مجلدات ، 1893 ، 1899 ، 1912) حيث هاجم الرباعية وطور تحليل المتجه الخاص به. تلقى هيفيسايد نسخًا من ملاحظات جيبس ​​وأشاد بها كثيرًا. عند تقديم نظريات ماكسويل للكهرباء والمغناطيسية إلى ألمانيا (1894) ، تمت الدعوة إلى طرق المتجهات وتبعها العديد من الكتب حول تحليل المتجهات باللغة الألمانية. تم إدخال طرق المتجهات في إيطاليا (1887 ، 1888 ، 1897) ، روسيا (1907) ، وهولندا (1903). المتجهات هي الآن اللغة الحديثة لقدر كبير من الفيزياء والرياضيات التطبيقية وتستمر في الحفاظ على اهتماماتها الرياضية الجوهرية.


الفضاء الإقليدي

للفضاء الإقليدي الخصائص التالية:

  • لا يوجد أصل مفضل في الفضاء الإقليدي. أي نقطة ستكون جيدة مثل أي نقطة أخرى كخيار للأصل.
  • لا يوجد اتجاه مفضل في الفضاء الإقليدي.
  • لا توجد طريقة محددة لتحديد نقطة في اللانهاية.
  • "متري" الفضاء الإقليدي. هذه دالة لمساحة معينة تحدد المسافة بين النقاط. بالنسبة للفضاء الإقليدي ، إذا كانت p و q نقطتان إذن:
    || p - q || & sup2 = (p-q) & # 8226 (p-q)
  • الفضاء الإقليدي مسطح - هذا هو تطبيق الفرضية الخامسة لإقليدس والمثلثات القائمة الزاوية تخضع لنظرية فيثاغورس.
  • الفضاء الإقليدي خطي - أي يمكننا تطبيق بنية جبرية تسمى "فضاء متجه"
  • الفضاء الإقليدي مستمر (قابل للتمييز)

المزيد حول الفضاء الإقليدي في هذه الصفحة.


ناقلات في ثلاثة أبعاد



أمثلة وحلول ومقاطع فيديو وأوراق عمل وألعاب وأنشطة لمساعدة طلاب PreCalculus على التعرف على المتجهات ثلاثية الأبعاد.

مقدمة عن نظام الإحداثيات ثلاثية الأبعاد
مع المتجهات ، نبدأ في العمل بشكل أكبر مع نظام الإحداثيات ثلاثية الأبعاد. يوجد في نظام الإحداثيات ثلاثية الأبعاد محور ثالث ، وفي المعادلات يوجد متغير ثالث. سنعمل مع المتجهات في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد ونتعلم كيفية تفسير إحداثيات متجه في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد. مع مقدمة إلى نظام الإحداثيات ثلاثية الأبعاد ، نواجه أيضًا عمليات ناقلات وخطوط وطائرات أخرى.
يقدم هذا الفيديو نظام إحداثيات xyz ويشرح كيفية رسم نقطة في R3.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


خوارزميات الرياضيات التطبيقية

في هندسة البوصلة والحافة المستقيمة ، لا توجد طريقة لحساب طول المتجه ، ولكن من الممكن تحديد ما إذا كان متجهان لهما نفس الطول. وجود نظام إحداثيات (الإحداثيات الديكارتية، على سبيل المثال) يسمح لنا بتحديد صيغة لطول المتجه الإقليدي.

التعريف 5.1.2 الطول الإقليدي

يتم تمثيل المتجهات في المستوى الإقليدي وفي الفضاء الإقليدي 3 بشكل عام على شكل أسهم مع ذيل في نقطة واحدة وأ رأس في مكان آخر. يمثل سهمان في المستوى ناقلات مكافئة إذا كانت الأسهم تقع على طول خطوط متوازية ، فلها نفس الطول ، وتشير في نفس الاتجاه على طول كل خط من خطوطها. ال ناقل صفر، وهو المتجه الفريد للطول 0 ، يتم تمثيله كنقطة في الأصل.

يمكننا استخدام الأمرين Sage arrow2d و arrow3d لتوضيح المتجهات.

القسم الفرعي 5.1.1 العمليات الهندسية

العمليتان الضروريتان لتحويل مجموعة من (n ) - المجموعات إلى (n ) - فضاء متجه الأبعاد هما إضافة و الضرب القياسي، وكلاهما واضح بسهولة باستخدام المتجهات الهندسية.

القسم الفرعي 5.1.1.1 إضافة متجه هندسي

لإضافة متجهين ( vec) و ( vec) هندسيًا ، نبدأ برسم كلاهما كسهم ، مع ذيل كل منهما في الأصل. ثم نرسم متجهًا مكافئًا لـ ( vec) وذيله على رأس ( vec) ومتجه مكافئ لـ ( vec) وذيله على رأس ( vec text <.> ) ستشكل هذه المتجهات الأربعة جوانب متوازي الأضلاع ، والسهم المائل مع ذيله في الأصل ورأسه في الزاوية المقابلة من متوازي الأضلاع هو مجموع المتجه+ vec نص <.> )

القسم الفرعي 5.1.1.2 القياس الهندسي للناقلات

القياس الهندسي للمتجه هو في الواقع مصدر المصطلح العددية بالنظر إلى المتجه ( vec) وثابت (ك نص <،> ) المضاعف القياسي لـ ( vec) بواسطة (k ) هو المتجه (k vec) مع ( القيمة المطلقة<>> = ك القيمة المطلقة < vec> text <،> ) الذي يكون اتجاهه هو نفسه ( vec) إذا (ك جي تي 0 ) واتجاهه عكس ( vec) عندما (ك lt 0 نص <.> )

يجب أن يكون واضحًا أن (0 vec= vec <0> ) هو المتجه الصفري لكل ( vec نص <.> )

القسم الفرعي 5.1.2 التحولات الخطية في الهندسة الإقليدية

يمكنك التفكير في تحول خطي هندسيًا من خلال النظر في وحدة مربعة، أو ما يعادله من الأبعاد الأعلى لصور كل من نواقل الأساس القياسية


إذا كان متجهان يعتمدان خطيًا على امتدادهما ، فسيتم تحديد الخط بواسطة المتجهات (الخط الذي يصنعه المتجه بدءًا من الأصل).

إذا كان متجهان مستقلان خطيًا ، يكون امتدادهما هو المستوى.

بالنسبة لثلاثة ناقلات مستقلة خطيًا ، يكون الامتداد هو الفضاء ثلاثي الأبعاد بأكمله.

إذا كانت المتجهات الثلاثة تعتمد خطيًا ، فهي إما مستوية أو خط اعتمادًا على "مدى اعتماد المتجهات خطيًا".

حسنًا ، امتداد متجه واحد هو جميع المضاعفات العددية له. على سبيل المثال ، إذا كان لديك $ mathbf = (1،1) $، $ text(v) $ هو كل مضاعفات $ (1،1) $. لذا فإن $ 2v = (2،2) $ في النطاق ، و $ -3.75v = (-3.75، -3.75) $ في النطاق ، وهكذا. ما ينتهي بك الأمر هو السطر الكامل $ y = x $ ، وهو ما تحصل عليه إذا قمت بتوسيع $ v $ بلا حدود في أي من الاتجاهين. لاحظ أن هذا يتحدد بميله. إذن ، طول متجهين لهما نفس الميل لا يزال على نفس الخط.

الآن ، يمثل امتداد متجهين كل التوليفات $ a mathbf + ب mathbf$. لذلك إذا كان لديك $ mathbf = (1،1،0) ، mathbf = (0،1،0) $ ، يمكنك الحصول على $ (3،5،0) = 3 mathbf + 2 mathbf، رباعي (7.14، -3.86، 0) = 7.14 mathbf - 11 مثبف، $ وفي الواقع أي متجه آخر في المستوى تحدده النقاط الثلاث $ (0،0،0)، (1،1،0)، (0، 1،0) $ (بما أن 3 نقاط تحدد مستوى الطائرة). في هذه الحالة ، تحصل على الطائرة $ xy $.

يتم تحديد مدى أكثر من متجهين بشكل مشابه.

بافتراض أنه من المنطقي أن يكون امتداد متجه واحد خطًا ، يمكننا تخيل المتجهين في 3 مسافات. نظرًا لأن امتداد كل متجه يقع في مساحة كل منهما ، فيمكننا رسم الخطين الموجودين في اتجاه هذين المتجهين:

إذا كان الخطان متساويين ، فهذا هو كل الامتداد.

بخلاف ذلك ، يمكننا تخيل انتقاء أحد الخطوط وتحريكه على طول الخط الآخر بحيث يظل موازيًا لموضعه الأصلي.

لجعل الحدس أعلاه دقيقًا ، فإن النقطة هي أن امتداد المتجه الفردي هو نتيجة إجراء الضرب القياسي على هذا المتجه الفردي: أي ، تقليصه ، أو تقليصه ، أو حتى قلب اتجاهه (جعل الاتجاه يسير في الاتجاه الآخر طريق). ثم يمكننا الحصول على أي نقطة أخرى من المستوى عن طريق إيجاد إسقاط النقطة على السطر الأول ، ثم الترجمة عن طريق إسقاط النقطة على السطر الثاني ، ولهذا السبب عندما تكون الخطوط متماثلة ، فإننا لا نترك الخط .

بقدر ما يذهب التعريف الرسمي للمدى ، فإن مدى مجموعة $ S = يتم إعطاء المتجهات $ من خلال المجموعة $ mathrm(S) = left < sum_^ ن mid c_i in mathbb، v_i in S right > $ حيث $ mathbb$ هو الحقل الذي تعمل عليه (على الأرجح الأرقام الحقيقية $ mathbb$).

في الحالة التي يكون فيها $ S = $ ، نحن نبحث في مجموعة المتجهات بالصيغة $ c_1v_1 + c_2v_2 $. الآن ، إذا كان $ v_1 $ و $ v_2 $ في نفس الاتجاه ، فسيكون هناك $ c $ مثل $ v_1 = cv_2 $ ، لذلك يمكننا إعادة كتابة هذا كـ $ c_1v_1 + c_2v_2 = c_1v_1 + c_2cv_1 = (c_1 + c_2c) v_1 $ ، وهو أي عنصر في مدى $ $. هذا هو السبب في أنه من الممكن أن يكون الامتداد خطاً.

الآن ، عندما لا يكونون في نفس الاتجاه ، فإنهم يقعون بالضبط في مستوى فريد. يمكن كتابة أي نقطة في السطر على طول اتجاه المتجه $ v_1 $ بالشكل $ c_1v_1 $ ، وأي نقطة في السطر تسير على طول اتجاه المتجه $ v_2 $ يمكن كتابتها كـ $ c_2v_2 $. ستكون كل نقطة في المستوى بعد ذلك على الشكل $ c_1v_1 + c_2v_2 $ من خلال إسقاط النقطة على $ v_1 $ و $ v_2 $ للعثور على $ c_1 $ و $ c_2 $ على التوالي.


حساب التفاضل والتكامل: التجاوزات المبكرة

حدد ما إذا كانت كل عبارة صحيحة أم خاطئة في $ mathbb^3 $.

(أ) خطان موازيان لخط ثالث متوازيان.
(ب) خطان متوازيان على خط ثالث متوازيان.
(ج) طائرتان متوازيتان مع مستوى ثالث متوازيان.
(د) مستويان عموديان على مستوى ثالث متوازيان.
(هـ) خطان موازيان لمستوى متوازيان.
(و) خطان متوازيان على مستوى متوازيان.
(ز) طائرتان متوازيتان مع خط متوازيان.
(ح) مستويان متوازيان على خط مستقيم.
(ط) طائرتان إما تتقاطعان أو متوازيتان.
(ي) خطان إما يتقاطعان أو متوازيان.
(ك) المستوى والخط إما يتقاطعان أو متوازيان.

المشكلة 2

أوجد معادلة متجهية ومعادلات بارامترية للخط.

الخط المار بالنقطة $ (6، -5، 2) $ وموازي للمتجه $ langle 1، 3، - frac <2> <3> rangle $

مشكلة 3

أوجد معادلة متجهية ومعادلات بارامترية للخط.

الخط المار بالنقطة $ (2، 2.4، 3.5) $ وموازي للمتجه $ 3i + 2j - k $

المشكلة 4

أوجد معادلة متجهية ومعادلات بارامترية للخط.

الخط المار بالنقطة $ (0 ، 14 ، -10) $ والموازي للخط $ x = -1 + 2t $ ، $ y = 6 - 3t $ ، $ z = 3 + 9t $

المشكلة 5

أوجد معادلة متجهية ومعادلات بارامترية للخط.

الخط المار بالنقطة $ (1، 0، 6) $ وعمودي على المستوى $ x + 3y + z = 5 $

المشكلة 6

أوجد المعادلات البارامترية والمعادلات المتماثلة للخط المستقيم.

الخط المار بالأصل والنقطة $ (4، 3، -1) $

المشكلة 7

أوجد المعادلات البارامترية والمعادلات المتماثلة للخط المستقيم.

الخط المار بالنقاط $ (0، frac <1> <2>، 1) $ و $ (2، 1، -3) $

المشكلة 8

أوجد المعادلات البارامترية والمعادلات المتماثلة للخط المستقيم.

الخط المار بالنقاط $ (1، 2.4، 4.6) $ و $ (2.6، 1.2، 0.3) $

المشكلة 9

أوجد المعادلات البارامترية والمعادلات المتماثلة للخط المستقيم.

الخط المار بالنقاط $ (-8، 1، 4) $ و $ (3، -2، 4) $

المشكلة 10

أوجد المعادلات البارامترية والمعادلات المتماثلة للخط المستقيم.

الخط المار بـ $ (2، 1، 0) $ وعمودي على كل من $ i + j $ و $ j + k $

المشكلة 11

أوجد المعادلات البارامترية والمعادلات المتماثلة للخط المستقيم.

الخط المار بالدولار (-6، 2، 3) $ والمتوازي مع السطر $ frac <1> <2> x = frac <1> <3> y = z + 1 $

المشكلة 12

أوجد المعادلات البارامترية والمعادلات المتماثلة للخط المستقيم.

خط تقاطع المستويات $ x + 2y + 3z = 1 $ و $ x - y + z = 1 $

المشكلة 13

هل الخط المار بـ $ (-4 ، -6 ، 1) $ و $ (-2 ، 0 ، -3) $ موازٍ للخط المار بـ $ (10 ، 18 ، 4) $ و $ (5 ، 3 ، 14) $؟

المشكلة 14

هل الخط المار بـ $ (-2، 4، 0) $ و $ (1، 1، 1) $ متعامد على الخط المار بـ $ (2، 3، 4) $ و $ (3، -1، -8) $ ؟

المشكلة 15

(أ) أوجد المعادلات المتماثلة للخط الذي يمر بالنقطة $ (1، -5، 6) $ ويوازي المتجه $ langle -1، 2، -3 rangle $.
(ب) أوجد النقاط التي يتقاطع فيها الخط المطلوب في الجزء (أ) مع مستويات الإحداثيات.

المشكلة 16

(أ) أوجد المعادلات البارامترية للخط المار بـ $ (2، 4، 6) $ المتعامدة مع المستوى $ x - y + 3z = 7 $.
(ب) في أي نقاط يتقاطع هذا الخط مع مستويات الإحداثيات؟

المشكلة 17

ابحث عن معادلة متجه للقطعة المستقيمة من $ (6، -1، 9) $ إلى $ (7، 6، 0) $

المشكلة 18

ابحث عن المعادلات البارامترية للقطعة المستقيمة من $ (-2، 18، 31) $ إلى $ (11، -4، 48) $.

المشكلة 19

حدد ما إذا كان الخطان $ L_1 $ و $ L_2 $ متوازيين أم متقاطعين أم متقاطعين. إذا تقاطعا ، ابحث عن نقطة التقاطع.

$ L_1: x = 3 + 2t، y = 4 - t، z = 1 + 3t $
$ L_2: x = 1 + 4s ، y = 3 - 2s ، z = 4 + 5s $

المشكلة 20

حدد ما إذا كان الخطان $ L_1 $ و $ L_2 $ متوازيين أم متقاطعين أم متقاطعين. إذا تقاطعا ، ابحث عن نقطة التقاطع.

L_1 دولار: س = 5-12 طن ، ص = 3 + 9 طن ، ض = 1 - 3 أطنان دولار
$ L_2: x = 3 + 8s ، y = -6s ، z = 7 + 2s $

المشكلة 21

حدد ما إذا كان الخطان $ L_1 $ و $ L_2 $ متوازيين أم متقاطعين أم متقاطعين. إذا تقاطعا ، ابحث عن نقطة التقاطع.

المشكلة 22

حدد ما إذا كان الخطان $ L_1 $ و $ L_2 $ متوازيين أم متقاطعين أم متقاطعين. إذا تقاطعا ، ابحث عن نقطة التقاطع.

المشكلة 23

أوجد معادلة المستوى.

المستوى الذي يمر عبر الأصل وعموديًا على المتجه $ langle 1، -2، 5 rangle $

المشكلة 24

أوجد معادلة المستوى.

الطائرة المارة بالنقطة $ (5، 3، 5) $ والمتجه العادي $ 2i + j - k $

المشكلة 25

أوجد معادلة المستوى.

المستوى المار بالنقطة $ (-1، frac <1> <2>، 3) $ والمتجه العادي $ i + 4j + k $

المشكلة 26

أوجد معادلة المستوى.

المستوى المار بالنقطة $ (2، 0، 1) $ وعمودي على الخط $ x = 3t، y = 2 - t، z = 3 + 4t $

المشكلة 27

أوجد معادلة المستوى.

المستوى المار بالنقطة $ (1، -1، -1) $ والموازي للمستوى $ 5x - y - z = 6 $

المشكلة 28

أوجد معادلة المستوى.

المستوى المار بالنقطة $ (3، -2، 8) $ والموازي للمستوى $ z = x + y $

المشكلة 29

أوجد معادلة المستوى.

المستوى المار بالنقطة $ (1، frac <1> <2>، frac <1> <3>) $ وموازي المستوى $ x + y + z = 0 $

مشكلة 30

أوجد معادلة المستوى.

المستوى الذي يحتوي على الخط $ x = 1 + t ، y = 2 - t ، z = 4 - 3t $ وهو موازي للمستوى $ 5x + 2y + z = 1 $

المشكلة 31

أوجد معادلة المستوى.

المستوى المار بالنقاط $ (0، 1، 1)، (1، 0، 1) $، $ (1، 1، 0) $.

مشكلة 32

أوجد معادلة المستوى.

المستوى الذي يمر عبر الأصل والنقاط $ (3، -2، 1) $ و $ (1، 1، 1) $

مشكلة 33

أوجد معادلة المستوى.

المستوى المار بالنقاط $ (2، 1، 2)، (3، -8، 6) $ and $ (-2، -3، 1) $

مشكلة 34

أوجد معادلة المستوى.

المستوى المار بالنقاط $ (3، 0، -1)، (-2، -2، 3) $ و $ (7، 1، -4) $

المشكلة 35

أوجد معادلة المستوى.

المستوى الذي يمر بالنقطة $ (3، 5، -1) $ ويحتوي على السطر $ x = 4 - t، y = 2t - 1، z = -3t $

المشكلة 36

أوجد معادلة المستوى.

المستوى الذي يمر بالنقطة $ (6، -1، 3) $ ويحتوي على السطر ذي المعادلات المتماثلة $ frac <3> = y + 4 = frac <2>$

المشكلة 37

أوجد معادلة المستوى.

المستوى الذي يمر بالنقطة $ (3 ، 1 ، 4) $ ويحتوي على خط تقاطع المستويات $ x + 2y + 3z = 1 $ و $ 2x - y + z = -3 $

مشكلة 38

أوجد معادلة المستوى.

المستوى الذي يمر بالنقطتين $ (0، -2، 5) $ و $ (-1، 3، 1) $ وعمودي على المستوى $ 2z = 5x + 4y $

مشكلة 39

أوجد معادلة المستوى.

المستوى الذي يمر بالنقطة $ (1 ، 5 ، 1) $ وعمودي على المستويات $ 2x + y - 2z = 2 $ و $ x + 3z = 4 $

المشكلة 40

أوجد معادلة المستوى.

المستوى الذي يمر عبر خط تقاطع المستويات $ x - z = 1 $ و $ y + 2z = 3 $ وهو عمودي على المستوى $ x + y - 2z = 1 $

المشكلة 41

استخدم اعتراضات للمساعدة في رسم الطائرة.

مشكلة 42

استخدم اعتراضات للمساعدة في رسم الطائرة.

مشكلة 43

استخدم اعتراضات للمساعدة في رسم الطائرة.

مشكلة 44

استخدم اعتراضات للمساعدة في رسم الطائرة.

المشكلة 45

أوجد النقطة التي يتقاطع عندها الخط مع المستوى المحدد.

$ x = 2 - 2t $ ، $ y = 3t $ ، $ z = 1 + t $ x + 2y - z = 7 $

المشكلة 46

أوجد النقطة التي يتقاطع عندها الخط مع المستوى المحدد.

$ x = t - 1 $ ، $ y = 1 + 2t $ ، $ z = 3 - t $ 3x - y + 2z = 5 $

مشكلة 47

أوجد النقطة التي يتقاطع عندها الخط مع المستوى المحدد.

5x دولار = فارك <2> = z + 2 $ 10x - 7y + 3z + 24 = 0 $

مشكلة 48

أين يتقاطع الخط المار بـ $ (-3، 1، 0) $ و $ (-1، 5، 6) $ مع المستوى $ 2x + y - z = -2 $؟

مشكلة 49

ابحث عن أرقام الاتجاه لخط تقاطع المستويات $ x + y + z = 1 $ و $ x + z = 0 $.

مشكلة 50

أوجد جيب تمام الزاوية بين المستويين $ x + y + z = 0 $ و $ x + 2y + 3z = 1 $

المشكلة 51

حدد ما إذا كان المستويان متوازيين أم متعامدين أم لا. إذا لم يكن كذلك ، فأوجد الزاوية بينهما. (تقريب لأقرب منزلة عشرية.)

$ x + 4y - 3z = 1 $ ، $ -3x + 6y + 7z = 0 $

المشكلة 52

حدد ما إذا كان المستويان متوازيين أم متعامدين أم لا. إذا لم يكن كذلك ، فأوجد الزاوية بينهما. (تقريب لأقرب منزلة عشرية.)

9 س - 3 س + 6 ز = 2 دولار ، 2 ص = 6 س + 4 زد دولار

مشكلة 53

حدد ما إذا كان المستويان متوازيين أم متعامدين أم لا. إذا لم يكن كذلك ، فأوجد الزاوية بينهما. (تقريب لأقرب منزلة عشرية.)

$ x + 2y - z = 2 $ ، $ 2x - 2y + z = 1 $

مشكلة 54

حدد ما إذا كان المستويان متوازيين أم متعامدين أم لا. إذا لم يكن كذلك ، فأوجد الزاوية بينهما. (التقريب لأقرب منزلة عشرية.)

دولار x - ص + 3 ع = 1 دولار ، 3 س + ص - ع = 2 دولار

مشكلة 55

حدد ما إذا كان المستويان متوازيين أم متعامدين أم لا. إذا لم يكن كذلك ، فأوجد الزاوية بينهما. (تقريب لأقرب منزلة عشرية.)

2x دولار - 3 ص = z دولار ، 4x دولار = 3 + 6 سنوات + 2 ز دولار

المشكلة 56

حدد ما إذا كان المستويان متوازيين أم متعامدين أم لا. إذا لم يكن كذلك ، فأوجد الزاوية بينهما. (التقريب لأقرب منزلة عشرية.)

5x + 2y + 3z = 2 $ ، $ y = 4x - 6z $

مشكلة 57

(أ) ابحث عن المعادلات البارامترية لخط تقاطع المستويات و (ب) ابحث عن الزاوية بين المستويين.

$ x + y + z = 1 $ ، $ x + 2y + 2z = 1 $

المشكلة 58

(أ) ابحث عن المعادلات البارامترية لخط تقاطع المستويات و (ب) ابحث عن الزاوية بين المستويين.

3 س - 2 ص + ع = 1 دولار ، 2 س + ص - 3 ع = 3 دولارات

مشكلة 59

أوجد المعادلات المتماثلة لخط تقاطع المستويات.

5 س - 2 س - 2 ز = 1 دولار ، 4 س + ص + ع = 6 دولارات

مشكلة 60

أوجد المعادلات المتماثلة لخط تقاطع المستويات.

$ z = 2x - y - 5 $ ، $ z = 4x + 3y -5 $

مشكلة 61

أوجد معادلة للمستوى تتكون من جميع النقاط المتساوية البعد عن النقاط $ (1، 0، -2) $ و $ (3، 4، 0) $.

مشكلة 62

أوجد معادلة للمستوى تتكون من جميع النقاط المتساوية البعد عن النقاط $ (2، 5، 5) $ و $ (-6، 3، 1) $.

مشكلة 63

ابحث عن معادلة المستوى باستخدام $ x $ -intercept $ a $ و $ y $ -intercept $ b $ و $ z $ -intercept $ c $.

مشكلة 64

(أ) أوجد النقطة التي تتقاطع عندها الخطوط المعينة:
$ r = langle 1، 1، 0 rangle + t langle 1، -1، 2 rangle $
$ r = langle 2، 0، 2 rangle + s langle -1، 1، 0 rangle $
(ب) أوجد معادلة المستوى التي تحتوي على هذه الخطوط.

مشكلة 65

أوجد المعادلات البارامترية للخط المار بالنقطة $ (0، 1، 2) $ الموازية للمستوى $ x + y + z = 2 $ وعمودي على الخط المستقيم $ x = 1 + t، y = 1 - t ، z = 2t دولار.

المشكلة 66

أوجد المعادلات البارامترية للخط المار بالنقطة $ (0، 1، 2) $ المتعامدة على الخط $ x = 1 + t، y = 1 - t، z = 2t $ ويتقاطع مع هذا الخط.

المشكلة 67

أي من المستويات الأربع التالية متوازي؟ هل أي منهم متطابق؟

$ P_1: 3x + 6y - 3z = 6 $ P_2: 4x - 12y + 8z = 5 $
$ P_3: 9y = 1 + 3x + 6z $ P_4: z = x + 2y - 2 $

مشكلة 68

أي من الخطوط الأربعة التالية متوازي؟ هل أي منهم متطابق؟

L_1 دولار: س = 1 + 6 طن ، ص = 1-3 ت ، ع = 12 ت + 5 دولار
$ L_2: x = 1 + 2t ، y = t ، z = 1 + 4t $
L_3 $: 2x - 2 = 4 - 4y = z + 1 $
$ L_4: r = langle 3، 1، 5 rangle + t langle 4، 2، 8 rangle $

المشكلة 69

استخدم الصيغة في التمرين 12.4.45 لإيجاد المسافة من النقطة إلى الخط المعطى.

$ (4 ، 1 ، -2) x = 1 + t ، y = 3 - 2t ، z = 4 - 3t $

مشكلة 70

استخدم الصيغة في التمرين 12.4.45 لإيجاد المسافة من النقطة إلى الخط المعطى.

$ (0، 1، 3) x = 2t، y = 6-2t، z = 3 + t $

المشكلة 71

أوجد المسافة من النقطة إلى المستوى المحدد.

مشكلة 72

أوجد المسافة من النقطة إلى المستوى المحدد.

مشكلة 73

أوجد المسافة بين المستويات المتوازية الآتية.

2 س - 3 س + ع = 4 ، 4 س - 6 ص + 2 ز = 3 دولارات

مشكلة 74

أوجد المسافة بين المستويات المتوازية الآتية.

6 ز = 4 س - 2 س ، 9 ع = 1 - 3 س + 6 ص دولار

المشكلة 75

بيّن أن المسافة بين المستويات المتوازية $ ax + by + cz + d_1 = 0 $ و $ ax + by + cz + d_2 = 0 $ تساوي
$ D = frac < mid d_1 - d_2 mid> < sqrt> $

مشكلة 76

أوجد معادلات المستويات الموازية للمستوى $ x + 2y - 2z = 1 $ وعلى بُعد وحدتين عنه.

المشكلة 77

أظهر أن الخطوط ذات المعادلات المتماثلة $ x = y = z $ و $ x + 1 = frac <2> = فارك <3> $ هي انحراف ، وأوجد المسافة بين هذين الخطين.

المشكلة 78

أوجد المسافة بين خطوط الانحراف باستخدام المعادلات البارامترية $ x = 1 + t ، y = 1 + 6t ، z = 2t $ و $ x = 1 + 2s ، y = 5 + 15s ، z = -2 + 6s $.

المشكلة 79

لنفترض أن $ L_1 $ هو الخط المار بالأصل والنقطة $ (2، 0، -1) $. لنفترض أن $ L_2 $ هو الخط المار بالنقطتين $ (1، -1، 1) $ و $ (4، 1، 3) $. أوجد المسافة بين $ L_1 $ و $ L_2 $.

مشكلة 80

لنفترض أن $ L_1 $ هو الخط المار بالنقطتين $ (1، 2، 6) $ و $ (2، 4، 8) $. لنفترض أن $ L_2 $ هو خط تقاطع المستويات $ P_1 $ و $ P_2 $ ، حيث $ P_1 $ هو المستوى $ x - y + 2z + 1 = 0 $ و $ P_2 $ هو المستوى المار بالنقاط $ ( 3 ، 2 ، -1) $ ، $ (0 ، 0 ، 1) $ ، و $ (1 ، 2 ، 1) $. احسب المسافة بين $ L_1 $ و $ L_2 $.

مشكلة 81

دبابتان تشاركان في محاكاة المعركة. الخزان $ A $ عند النقطة $ (325 ، 810 ، 561) $ والدبابة $ B $ عند النقطة $ (765 ، 675 ، 599) $.

(أ) ابحث عن المعادلات البارامترية لخط الرؤية بين الدبابات.
(ب) إذا قسمنا خط الرؤية إلى 5 أجزاء متساوية ، فإن ارتفاعات التضاريس عند النقاط الوسيطة الأربع من الخزان $ A $ إلى الخزان $ B $ هي 549 ، 566 ، 586 $ ، 589 $. هل تستطيع الدبابات رؤية بعضها البعض؟

مشكلة 82

أعط وصفًا هندسيًا لكل عائلة من المستويات.

(أ) $ x + y + z = c $ (b) $ x + y + cz = 1 $
(ج) $ y cos theta + z sin theta = 1 دولار

مشكلة 83

إذا لم تكن $ a و b $ و $ c $ كلها 0 ، فوضح أن المعادلة $ ax + by + cz + d = 0 $ تمثل $ a $ plane و $ langle a و b و c rangle $ هي a ناقل عادي للطائرة.


1 إجابة 1

آه ، لقد اكتشفت ذلك. ما وجدته هو عزم الدوران حول هدف $ left ( frac <1> <10>، frac <3> <10>، 0 right) $. عزم الدوران حول محور $ y = 3 x $ في المستوى $ xy $ هو مكون هذا المتجه في اتجاه $ (1، 3، 0) $ ، ولاحظ أن العزم الذي وجدته لا يشير في هذا الاتجاه. يبدو أن الحل الذي شاركته يقترحه هو أنه لا يهم في الواقع أي نقطة على المحور تختارها لحساب عزم الدوران حول هذا العزم يجب أن يكون لها نفس المكون على طول المحور المحدد. هذا لأن أي نقطة أخرى على المحور ستؤدي إلى متجه نصف قطر يختلف عنك بمضاعف عددي لمتجه اتجاه المحور ، وبالتالي سيختلف عزم الدوران بواسطة متجه عمودي على اتجاه المحور ، والذي فاز ر تغيير المكون.


شاهد الفيديو: رياضيات بجروت--المتجهات 12-علاقات متبادلة 1-احمد عمري (شهر نوفمبر 2021).