مقالات

الحقول المتجهة (تمارين) - الرياضيات


1. مجال حقل المتجه ( vecs {F} = vecs {F} (x، y) ) هو مجموعة من النقاط ((x، y) ) في مستوى ونطاق ( vecs F ) هي مجموعة من ماذا او ما في الطائرة؟

إجابه:
ثلاثة أبعاد

للتمارين 2 - 4 ، حدد ما إذا كانت العبارة صحيحة صحيحة أو خاطئة.

2. حقل المتجه ( vecs {F} = ⟨3x ^ 2،1⟩ ) هو حقل تدرج لكل من (ϕ_1 (x، y) = x ^ 3 + y ) و (ϕ_2 (x، y) = ص + س ^ 3 + 100. )

3. حقل المتجه ( vecs {F} = dfrac {⟨y، x⟩} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ) ثابت في الاتجاه والحجم على دائرة الوحدة.

إجابه:
خطأ شنيع

4. حقل المتجه ( vecs {F} = dfrac {⟨y، x⟩} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ) ليس حقلاً شعاعيًا ولا حقل تدوير.

للتمارين من 5 إلى 13 ، صِف كل حقل متجه عن طريق رسم بعض نواقله.

5. [T] ( vecs {F} (x، y) = x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} )

إجابه:

6. [T] ( vecs {F} (x، y) = - y ، hat { mathbf i} + x ، hat { mathbf j} )

7. [T] ( vecs {F} (x، y) = x ، hat { mathbf i} −y ، hat { mathbf j} )

إجابه:

8. [T] ( vecs {F} (x، y) = ، hat { mathbf i} + ، hat { mathbf j} )

9. [T] ( vecs {F} (x، y) = 2x ، hat { mathbf i} + 3y ، hat { mathbf j} )

إجابه:

10. [T] ( vecs {F} (x، y) = 3 ، hat { mathbf i} + x ، hat { mathbf j} )

11. [T] ( vecs {F} (x، y) = y ، hat { mathbf i} + sin x ، hat { mathbf j} )

إجابه:

12. [T] ( vecs F (x، y، z) = x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} + z ، hat { mathbf k} )

13. [T] ( vecs F (x، y، z) = 2x ، hat { mathbf i} −2y ، hat { mathbf j} −2z ، hat { mathbf k} )

إجابه:

14. [T] ( vecs F (x، y، z) = yz ، hat { mathbf i} −xz ، hat { mathbf j} )

للتمارين 15 - 20 ، ابحث عن حقل متجه التدرج لكل دالة (f ).

15. (f (x، y) = x sin y + cos y )

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = sin (y) ، hat { mathbf i} + (x cos y− sin y) ، hat { mathbf j} )

16. (f (x، y، z) = ze ^ {- xy} )

17. (f (x، y، z) = x ^ 2y + xy + y ^ 2z )

إجابه:
( vecs F (x، y، z) = (2xy + y) ، hat { mathbf i} + (x ^ 2 + x + 2yz) ، hat { mathbf j} + y ^ 2 ، قبعة { mathbf k} )

18. (و (س ، ص) = س ^ 2 خطيئة (5 ص) )

19. (و (س ، ص) = ln (1 + س ^ 2 + 2y ^ 2) )

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = dfrac {2x} {1 + x ^ 2 + 2y ^ 2} ، hat { mathbf i} + dfrac {4y} {1 + x ^ 2 + 2y ^ 2} ، hat { mathbf j} )

20. (f (x، y، z) = x cos left ( frac {y} {z} right) )

21. ما هو حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) ) بقيمة عند ((x، y) ) بطول الوحدة ويشير إلى ((1،0) )؟

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = dfrac {(1 − x) ، hat { mathbf i} −y ، hat { mathbf j}} { sqrt {(1 − x ) ^ 2 + ص ^ 2}} )

للتمارين من 22 إلى 24 ، اكتب معادلات لحقول المتجه بالخصائص المحددة.

22. جميع المتجهات موازية للمحور (س ) وجميع المتجهات على الخط العمودي لها نفس الحجم.

23. تشير جميع المتجهات نحو الأصل ولها طول ثابت.

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = dfrac {(y ، hat { mathbf i} −x ، hat { mathbf j})} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} )

24. جميع المتجهات لها طول وحدة وتتعامد مع متجه الموقع في تلك النقطة.

25. أعط صيغة ( vecs {F} (x، y) = M (x، y) ، hat { mathbf i} + N (x، y) ، hat { mathbf j} ) من أجل حقل المتجه في مستوى يحتوي على الخصائص التي ( vecs {F} = vecs 0 ) في ((0،0) ) وذلك في أي نقطة أخرى ((a، b)، vecs F ) مماس للدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ) ويشير في اتجاه عقارب الساعة بالحجم ( | vecs F | = sqrt {a ^ 2 + ب ^ 2} ).

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = y ، hat { mathbf i} −x ، hat { mathbf j} )

26. هل حقل متجه ( vecs {F} (x، y) = (P (x، y)، Q (x، y)) = ( sin x + y) ، hat { mathbf i} + ( cos y + x) ، hat { mathbf j} ) حقل متدرج؟

27. ابحث عن صيغة لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = M (x، y) ، hat { mathbf i} + N (x، y) ، hat { mathbf j} ) بالنظر إلى حقيقة أنه بالنسبة لجميع النقاط ((x، y) ) ، ( vecs F ) يشير إلى الأصل و ( | vecs F | = dfrac {10} {x ^ 2 + ص ^ 2} ).

إجابه:
( vecs {F} (x، y) = dfrac {−10} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} (x ، hat { mathbf i} + y ، قبعة { mathbf j}) )

بالنسبة للتمارين 28 - 29 ، افترض أن المجال الكهربائي في المستوي (xy ) الناجم عن خط لانهائي من الشحنة على طول المحور (x ) - هو مجال متدرج له وظيفة محتملة (V (x، y) = c ln left ( frac {r_0} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) )، حيث (c> 0 ) ثابت و (r_0 ) مسافة مرجعية يُفترض عندها أن تكون الإمكانية صفرًا.

28. ابحث عن مكونات المجال الكهربائي في (x ) - و (y ) - الاتجاهات ، حيث ( vecs E (x، y) = - vecs ∇V (x، y). )

29. بيّن أن المجال الكهربائي عند نقطة في (س ص ) - المستوى موجه للخارج من الأصل وله المقدار ( | vecs E | = dfrac {c} {r} ) ، حيث ( r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ).

إجابه:
( | vecs E | = dfrac {c} {| r | ^ 2} r = dfrac {c} {| r |} dfrac {r} {| r |} )

أ خط التدفق (أو انسيابية) من حقل متجه ( vecs F ) هو منحنى ( vecs r (t) ) بحيث (d vecs {r} / dt = vecs F ( vecs r (t)) ). إذا كان ( vecs F ) يمثل مجال السرعة لجسيم متحرك ، فإن خطوط التدفق هي المسارات التي يسلكها الجسيم. لذلك ، تكون خطوط التدفق مماسًا لحقل المتجه.

للتمرينين 30 و 31 ، أظهر أن المنحنى المعطى ( vecs c (t) ) هو خط تدفق لحقل متجه السرعة المحدد ( vecs F (x، y، z) ).

30. ( vecs c (t) = ⟨e ^ {2t}، ln | t |، frac {1} {t}⟩، ، t ≠ 0؛ quad vecs F (x، y، z) = ⟨2x، z، −z ^ 2⟩ )

31. ( vecs c (t) = ⟨ sin t، cos t، e ^ t⟩؛ quad vecs F (x، y، z) = 〈y، −x، z〉 )

إجابه:
( vecs c ′ (t) = ⟨ cos t، - sin t، e ^ {- t}⟩ = vecs F ( vecs c (t)) )

للتمارين 32 - 34 ، دع ( vecs {F} = x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} )، ( vecs G = −y ، قبعة { mathbf i} + x ، hat { mathbf j} )، و ( vecs H = x ، hat { mathbf i} −y ، hat { mathbf j} ) . تطابق ( vecs F ) ، ( vecs G ) ، و ( vecs H ) مع الرسوم البيانية الخاصة بهم.

32.

33.

إجابه:
( فيكس ح )

34.

للتمارين 35 - 38 ، دع ( vecs {F} = x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} )، ( vecs G = −y ، قبعة { mathbf i} + x ، hat { mathbf j} )، و ( vecs H = −x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} ). طابق الحقول المتجهة مع الرسوم البيانية الخاصة بها في (I) - (IV).

  1. ( vecs F + vecs G )
  2. ( ( فيكس F + فيكس ح )
  3. ( vecs G + vecs ح )
  4. (- vecs F + vecs G )

35.

إجابه:
د. (- vecs F + vecs G )

36.

37.

إجابه:
أ. ( vecs F + vecs G )

38.

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


شاهد الفيديو: الجبر الخطي: 10 خواص لتحقيق فضاء المتجهات vector space (شهر نوفمبر 2021).