مقالات

4.2: التكاملات المتكررة والمساحة (تمارين) - الرياضيات


الشروط والمفاهيم

1. عند تكامل (f_x (x، y) ) بالنسبة إلى (x ) ، ثابت التكامل ج هو حقًا: (C (x) text {أو} C (y) )؟ ماذا يعني هذا؟

إجابه:
سيكون ثابت التكامل (C (y) ) نظرًا لأن (y ) يعتبر ثابتًا في التكامل ، وبالتالي ، يمكن أن تحتوي الوظيفة الأصلية (f ) على مصطلحات هي وظائف (y ) التي تم فقدها عند أخذ المشتق الجزئي بالنسبة إلى المتغير (x ).

2. يسمى تكامل التكامل المتكرر _________ __________.

إجابه:
تكررت دمج أو مضاعف دمج

3. عند تقييم تكامل متكرر من النموذج ( displaystyle int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} ، dy ، dx ) ، ندمج من _______ إلى ________ ، إذن من الى __________.

إجابه:
نتكامل من الأسفل ل أعلى، ثم من غادر ل حق. هنا ، من (y = g_1 (x) ) إلى (y = g_2 (x) ) ، ثم من (x = a ) إلى (x = b ).
بشكل عام ، نتكامل من منحنى ل منحنى ثم من هدف ل هدف.

4. أحد فهم التكامل المتكرر هو أن ( displaystyle int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} ، dy ، dx ) يعطي _______ منطقة مستوية.

إجابه:
منطقة

مشاكل

في التدريبات 5-10 ، قم بتقييم التكامل المتكامل والمتكرر اللاحق.

5. (a) ( displaystyle int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) ، dy )
(ب) ( displaystyle int _ {- 3} ^ 2 int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) ، dy ، dx )

إجابه:
(أ) ( displaystyle int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) ، dy ) (= quad left (6x ^ 2y + 2xy ^ 2 - y ^ 3 right) بيج | _2 ^ 5 ) (= رباعي 30x ^ 2 + 50x - 125 - (12x ^ 2 + 8x - 8) ) (= رباعي 18x ^ 2 + 42x - 117 )
(ب) ( displaystyle int _ {- 3} ^ 2 int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) ، dy ، dx ) (= quad displaystyle int _ {- 3 } ^ 2 يسار (18x ^ 2 + 42x - 117 right) ، dx ) (= quad left (6x ^ 3 + 21x ^ 2 -117x right) bigg | _ {- 3} ^ 2 ) (= رباعي 48 + 84-234- (-162 +189 +351) ) (= رباعي -102-378 ) (= رباعي 480 )

6. (a) ( displaystyle int_0 ^ pi (2x cos y + sin x) ، dx )
(ب) ( displaystyle int_ {0} ^ { pi / 2} int_0 ^ pi (2x cos y + sin x) ، dx ، dy )

7. (a) ( displaystyle int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) ، dy )
(ب) (displaystyle int_0 ^ 2 int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) ، dy ، dx)

إجابه:
(أ) ( displaystyle int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) ، dy ) (= quad left ( frac {x ^ 2y ^ 2} {2} - frac {y ^ 2} {2} + 2y right) bigg | _1 ^ x ) (= quad frac {x ^ 4} {2} - frac {x ^ 2} {2} + 2x - ( frac {x ^ 2} {2} - frac {1} {2} + 2) ) (= quad frac {x ^ 4} {2} - x ^ 2 + 2x - frac {3} {2} )
(ب) ( displaystyle int_0 ^ 2 int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) ، dy ، dx ) (= quad displaystyle int_ {0} ^ 2 left ( left ( frac {x ^ 4} {2} - x ^ 2 + 2x - frac {3} {2} right) ، dx ) (= quad left ( frac {x ^ 5} {10} - frac {x ^ 3} {3} + x ^ 2 - frac {3} {2} x right) bigg | _ {0} ^ 2 ) (= quad frac {32} { 10} - frac {8} {3} + 4 - 3 - 0 ) (= quad frac {96} {30} - frac {80} {30} + frac {30} {30} ) (= quad dfrac {23} {15} )

8. (a) ( displaystyle int_y ^ {y ^ 2} (x-y) ، dx )
(ب) ( displaystyle int _ {- 1} ^ 1 int_y ^ {y ^ 2} (x-y) ، dx ، dy )

9. (a) ( displaystyle int_0 ^ {y} ( cos x sin y) ، dx )
(ب) ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ {y} ( cos x sin y) ، dx ، dy )

إجابه:
(أ) ( displaystyle int_0 ^ {y} ( cos x sin y) ، dx quad ) (= quad left ( sin x sin y right) bigg | _0 ^ ص ) (= رباعي الخطيئة ^ 2 ص )
(ب) ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ {y} ( cos x sin y) ، dx ، dy quad ) (= quad displaystyle int_ {0} ^ { pi} sin ^ 2 y ، dy quad ) (= quad displaystyle int_ {0} ^ { pi} frac {1- cos 2y} {2} ، dy quad ) (= quad dfrac {y - frac {1} {2} sin 2y} {2} bigg | _ {0} ^ { pi} quad ) (= quad frac { pi} {2} - 0 quad ) (= quad dfrac { pi} {2} )

10. (a) ( displaystyle int_0 ^ {x} left ( frac {1} {1 + x ^ 2} right) ، dy )
(ب) ( displaystyle int_1 ^ 2 int_0 ^ {x} left ( frac {1} {1 + x ^ 2} right) ، dy ، dx )

في التدريبات 11-16 ، يتم إعطاء رسم بياني لمنطقة مستوية (R ). أعط التكاملات المتكررة ، مع كلا أوامر التكامل (dy ، dx ) و (dx ، dy ) ، التي تعطي مساحة (R ). احسب أحد التكاملات المتكررة لإيجاد المساحة.

11.

إجابه:
( text {Area} = displaystyle int_1 ^ 4 int _ {- 2} ^ 1 1 ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int _ {- 2} ^ 1 int_1 ^ 4 1 ، dx ، يوم )
( displaystyle int _ {- 2} ^ 1 int_1 ^ 4 1 ، dx ، dy quad ) (= quad displaystyle int _ {- 2} ^ 1 x bigg | _1 ^ 4 ، dy quad ) (= quad displaystyle int _ {- 2} ^ 1 3 ، dy quad ) (= quad 3y bigg | _ {- 2} ^ 1 quad ) (= quad 3 (3) quad ) (= quad 9 ، text {Units} ^ 2 )

12.

13.

إجابه:
( text {Area} = displaystyle int_2 ^ 4 int_ {x-1} ^ {7-x} 1 ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int_ {1} ^ 3 int_ {2} ^ {y + 1} 1 ، dx ، dy quad + quad displaystyle int_ {3} ^ 5 int_ {2} ^ {7-y} 1 ، dx ، dy quad )
( displaystyle int_2 ^ 4 int_ {x-1} ^ {7-x} 1 ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int_2 ^ 4 y bigg | _ {x -1} ^ {7-x} ، dx quad ) (= quad displaystyle int_2 ^ 4 (8 - 2x) ، dx quad ) (= quad (8x - x ^ 2 ) bigg | _2 ^ 4 = 32 - 16 - 16 + 4 quad ) (= quad 4 ، text {Units} ^ 2 )

14.

15.

إجابه:
( text {Area} = displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 4} ^ { sqrt {x}} 1 ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int_ { 0} ^ 1 int_ {y ^ 2} ^ { sqrt [4] {y}} 1 ، dx ، dy quad )
( displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 4} ^ { sqrt {x}} ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int_0 ^ 1 y bigg | _ { x ^ 4} ^ { sqrt {x}} ، dx quad ) (= quad displaystyle int_0 ^ 1 ( sqrt {x} - x ^ 4) ، dx quad ) ( = quad ( frac {2} {3} x ^ {3/2} - frac {x ^ 5} {5}) bigg | _0 ^ 1 quad ) (= quad frac {2 } {3} - frac {1} {5} quad ) (= quad frac {10} {15} - frac {3} {15} ) (= quad dfrac {7 } {15} ، نص {وحدات} ^ 2 )

16.

في التدريبات 17-22 ، يتم إعطاء التكاملات المتكررة التي تحسب مساحة المنطقة ص في الطائرة (س ص ). ارسم المنطقة ص، وإعطاء التكامل (التكامل) المتكرر الذي يعطي مساحة ص بترتيب التكامل المعاكس.

17. ( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {4-x ^ 2} ، dy ، dx )

إجابه:
( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {4-x ^ 2} ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int_ {0} ^ 4 int _ {- sqrt {4-y}} ^ { sqrt {4-y}} ، dx ، dy )

18. ( displaystyle int_ {0} ^ 1 int_ {5-5x} ^ {5-5x ^ 2} ، dy ، dx )

19. ( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {2 sqrt {4-y ^ 2}} ، dx ، dy )

إجابه:
( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {2 sqrt {4-y ^ 2}} ، dx ، dy quad ) (= quad displaystyle int_ {0} ^ 4 int _ {- frac {1} {2} sqrt {16-x ^ 2}} ^ { frac {1} {2} sqrt {16-x ^ 2}} ، dy ، dx )

20. ( displaystyle int _ {- 3} ^ 3 int _ {- sqrt {9-x ^ 2}} ^ { sqrt {9-x ^ 2}} ، dy ، dx )

21. ( displaystyle int_ {0} ^ 1 int _ {- sqrt {y}} ^ { sqrt {y}} ، dx ، dy + int_1 ^ 4 int_ {y-2} ^ { sqrt {y}} ، dx ، dy )

إجابه:
( displaystyle int_ {0} ^ 1 int _ {- sqrt {y}} ^ { sqrt {y}} ، dx ، dy + int_1 ^ 4 int_ {y-2} ^ { sqrt {y}} ، dx ، dy quad ) (= quad displaystyle int _ {- 1} ^ 2 int_ {x ^ 2} ^ {x + 2} ، dy ، dx )

22. ( displaystyle int _ {- 1} ^ 1 int _ {(x-1) / 2} ^ {(1-x) / 2} ، dy ، dx )


4.2: التكاملات المتكررة والمساحة (تمارين) - الرياضيات

قدمنا ​​في القسم السابق تعريف التكامل المزدوج. ومع ذلك ، تمامًا كما هو الحال مع تعريف التكامل الفردي ، من الصعب جدًا استخدام التعريف عمليًا ، ولذا نحتاج إلى البدء في النظر في كيفية حساب التكاملات المزدوجة بالفعل. سنستمر في افتراض أننا نتكامل على المستطيل

[R = اليسار [ يمين] مرات يسار [ حق]]

سنلقي نظرة على مناطق أكثر عمومية في القسم التالي.

تخبرنا النظرية التالية بكيفية حساب تكامل مزدوج على مستطيل.

نظرية فوبيني

إذا (و يسار ( right) ) مستمر على (R = left [ يمين] مرات يسار [ صحيح اذا،

تسمى هذه التكاملات التكاملات المتكررة.

لاحظ أن هناك في الواقع طريقتان لحساب تكامل مزدوج على مستطيل ولاحظ أيضًا أن التفاضل الداخلي يتطابق مع حدود التكامل الداخلي وبالمثل مع التفاضل الخارجي والحدود. بمعنى آخر ، إذا كان التفاضل الداخلي (dy ) ، فيجب أن تكون حدود التكامل الداخلي (y ) حدود تكامل وإذا كان التفاضل الخارجي (dy ) فيجب أن تكون الحدود على التكامل الخارجي تكون (ص ) حدود التكامل.

الآن ، على مستوى ما ، هذا مجرد تدوين ولا يخبرنا حقًا عن كيفية حساب التكامل المزدوج. دعنا فقط نأخذ الاحتمال الأول أعلاه ونغير الترميز قليلاً.

سنحسب التكامل المزدوج عن طريق الحوسبة الأولى

ونحسب ذلك عن طريق الاحتفاظ بثابت (س ) والتكامل فيما يتعلق بـ (ص ) كما لو كان هذا جزءًا لا يتجزأ. سيعطي هذا دالة تتضمن فقط (x ) 'والتي يمكننا بدورنا تكاملها.

لقد أجرينا عملية مماثلة باستخدام المشتقات الجزئية. لأخذ مشتق دالة فيما يتعلق بـ (ص ) تعاملنا مع (س ) على أنها ثوابت وتمييزها فيما يتعلق بـ (ص ) كما لو كانت دالة لمتغير واحد.

تعمل التكاملات المزدوجة بنفس الطريقة. نحن نفكر في جميع (س ) على أنها ثوابت ونتكامل فيما يتعلق بـ (ص ) أو نفكر في جميع (ص ) على أنها ثوابت ونتكامل فيما يتعلق بـ (س ).

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

  1. ( displaystyle iint limits_<< 6x، dA >> )، (R = left [<2،4> right] times left [<1،2> right] )
  2. ( displaystyle iint limits_<< 2x - 4، dA >> )، (R = left [<- 5،4> right] times left [<0،3> right] )
  3. ( displaystyle iint limits_<<+ cos left (< pi x> right) + sin left (< pi y> right) ، dA >> ) ، (R = left [<- 2 ، - 1> right] times left [<0،1> right] )
  4. ( displaystyle iint limits_<< frac <1> <<<< left (<2x + 3y> right)> ^ 2 >>> ، dA >> ) ، (R = left [<0،1> right) ] مرات يسار [<1،2> يمين] )
  5. ( displaystyle iint limits_<<>>^> ، dA >> )، (R = left [<- 1،2> right] times left [<0،1> right] )

لا يهم المتغير الذي نتكامله بالنسبة إلى الأول ، فسنحصل على نفس الإجابة بغض النظر عن ترتيب التكامل. لإثبات ذلك ، فلنعمل على هذا الأمر مع كل طلب للتأكد من حصولنا على نفس الإجابة.

الحل 1
في هذه الحالة ، سوف نتكامل بالنسبة إلى (ص ) أولاً. إذن ، التكامل المتكرر الذي نحتاج إلى حسابه هو ،

عند إعداد هذه ، تأكد من تطابق الحدود مع الفروق. بما أن (dy ) هو التفاضل الداخلي (بمعنى آخر. نحن نتكامل فيما يتعلق بـ (ص ) أولاً) يحتاج التكامل الداخلي إلى حدود (ص ).

لحساب هذا ، سنفعل التكامل الداخلي أولاً ونحافظ عادةً على التكامل الخارجي كما يلي ،

تذكر أننا نتعامل مع (x ) على أنه ثابت عند القيام بالتكامل الأول ولا نقوم بأي تكامل معه حتى الآن. الآن ، لدينا تكامل فردي عادي ، فلننهي التكامل بحساب هذا.

الحل 2في هذه الحالة ، سوف نتكامل فيما يتعلق بـ (x ) أولاً ثم (y ). هنا العمل لهذا الحل.

تأكد من نفس إجابة الحل الأول.

لذا ، تذكر أنه يمكننا إجراء التكامل بأي ترتيب.

بالنسبة لهذا التكامل ، سوف نتكامل فيما يتعلق بـ (ص ) أولاً.

تذكر أنه عند التكامل فيما يتعلق بـ (y ) يتم التعامل مع جميع (x ) على أنها ثوابت وبقدر ما يتعلق الأمر بالتكامل الداخلي ، فإن 2 (x ) هو ثابت ونعلم أنه عندما دمج الثوابت فيما يتعلق بـ (y ) نحن فقط نعلق على (y ) وهكذا نحصل على (2xy ) من المصطلح الأول.

في هذه الحالة ، سنقوم بالتكامل فيما يتعلق بـ (x ) أولاً.

لا تنسى الاستبدالات الأساسية في حساب التفاضل والتكامل 1!

في هذه الحالة لأن حدود (س ) لطيفة نوعًا ما (بمعنى آخر. إنها صفر وواحد غالبًا ما يكون جيدًا للتقييم) دعنا نتكامل فيما يتعلق بـ (س ) أولاً. سنقوم أيضًا بإعادة كتابة Integand للمساعدة في الدمج الأول.

الآن ، بينما يمكننا التكامل تقنيًا فيما يتعلق بأي متغير أولاً ، أحيانًا تكون إحدى الطرق أسهل بكثير من الطريقة الأخرى. في هذه الحالة سيكون من الأسهل بشكل كبير التكامل فيما يتعلق بـ (ص ) أولاً كما سنرى.

يمكن إجراء التكامل (y ) مع الاستبدال السريع ،

لذلك ، ليس سيئًا للغاية بالنسبة للتكامل بشرط أن تحصل على التعويض. الآن دعونا نرى ما سيحدث إذا كنا قد تكاملنا فيما يتعلق بـ (س ) أولاً.

للقيام بذلك ، يتعين علينا استخدام التكامل بالأجزاء على النحو التالي ،

لن نواصل حتى هنا لأن هذه تكاملات صعبة للغاية ، إن لم تكن مستحيلة.

كما رأينا في مجموعة الأمثلة السابقة ، يمكننا عمل التكامل في أي من الاتجاهين. ومع ذلك ، في بعض الأحيان يكون أحد اتجاهات التكامل أسهل بكثير من الاتجاه الآخر ، لذا تأكد من التفكير في الاتجاه الذي يجب عليك القيام به أولاً قبل إجراء التكامل فعليًا.

الموضوع التالي من هذا القسم هو حقيقة سريعة يمكن استخدامها لجعل حساب بعض التكاملات المتكررة أسهل إلى حد ما في بعض الأحيان.

هناك حالة خاصة لطيفة لهذا النوع من التكامل. أولاً ، لنفترض أن (f left ( right) = g left (x right) h left (y right) ) ولنفترض أيضًا أننا نتكامل على مستطيل معطى بواسطة (R = left [ يمين] مرات يسار [ حق]). ثم يصبح التكامل ،

لاحظ أنه لا يهم في هذه الحالة المتغير الذي نتكامله أولاً لأن أي من الأمرين سيصل إلى نفس النتيجة بنفس العمل.

بعد ذلك ، لاحظ أنه نظرًا لأن التكامل الداخلي يتعلق بـ (x ) و (h left (y right) ) هي دالة فقط لـ (y ) فيمكن اعتباره "ثابتًا" بقدر ما نظرًا لأن التكامل (x ) معني (تغيير (x ) لن يؤثر على قيمة (y )!) ولأنه أيضًا مرات (g left (x right) ) يمكننا أخرج العامل (ح يسار (ص يمين) ) من التكامل الداخلي. القيام بهذا يعطي ،

بعبارة أخرى ، إذا تمكنا من تقسيم الدالة إلى دالة فقط (x ) مضروبًا في دالة (y ) فقط ، فيمكننا القيام بالتكاملين منفردًا وضربهما معًا.

هنا ملخص سريع لهذه الفكرة.

إذا (و يسار ( right) = g left (x right) h left (y right) ) ونحن نتكامل على المستطيل (R = left [ يمين] مرات يسار [ صحيح اذا،

لنقم بمثال سريع باستخدام هذا التكامل.

نظرًا لأن التكامل هو دالة (x ) مرات دالة لـ (y ) يمكننا استخدام الحقيقة.

لدينا موضوع آخر للمناقشة في هذا القسم. هذا الموضوع ليس له أي علاقة بالتكاملات المتكررة ، ولكن هذا مكان جيد مثل أي مكان لوضعه ، ومن المحتمل أن تكون هناك بعض الأسئلة حوله في هذه المرحلة أيضًا ، لذا فهو مكان جيد مثل أي مكان آخر. .

ما نريد فعله هو مناقشة تكاملات فردية غير محددة لدالة من متغيرين. بعبارة أخرى ، نريد أن ننظر إلى التكاملات كما يلي.

نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن هذه التكاملات تسأل عن الوظيفة التي اشتققناها للحصول على التكامل. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، نحتاج إلى الانتباه إلى التفاضل ( (dy ) أو (dx )) في التكامل ، لأن ذلك سيغير الأشياء قليلاً.

في حالة التكامل الأول ، نسأل عن الوظيفة التي ميزناها فيما يتعلق بـ (y ) للحصول على التكامل بينما في التكامل الثاني نسأل عن الوظيفة المشتقة بالنسبة إلى (x ) للحصول على التكامل . بالنسبة للجزء الأكبر ، فإن الإجابة على هذه الأسئلة ليست بهذه الصعوبة. المهم هو كيف نتعامل مع ثابت التكامل.

لاحظ أن "ثوابت" التكامل أصبحت الآن وظائف للمتغير المعاكس. في التكامل الأول ، نحن نفرق فيما يتعلق بـ (y ) ونعلم أن أي دالة تتضمن فقط (x ) 's ستشتق إلى الصفر ولذا عند التكامل فيما يتعلق بـ (y ) نحتاج إلى الاعتراف أنه ربما كانت هناك دالة لـ (x ) فقط في الوظيفة وبالتالي فإن "ثابت" التكامل هو دالة (x ).

وبالمثل ، في التكامل الثاني ، يجب أن يكون "ثابت" التكامل دالة لـ (y ) لأننا نتكامل فيما يتعلق بـ (x ). مرة أخرى ، تذكر أنه إذا قمنا بالاشتقاق بين الإجابة بالنسبة إلى (x ) ، فإن أي دالة من (y ) ’فقط ستشتق إلى الصفر.


القسم الفرعي 13.1.1 مساحة المنطقة المستوية

ضع في اعتبارك منطقة الطائرة (R ) التي يحدها (a leq x leq b ) و (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) text <،> ) الموضحة في الشكل 13.1. 5. لقد تعلمنا في القسم 7.1 أن مساحة (R ) تعطى من خلال start int_a ^ b big (g_2 (x) -g_1 (x) big) dx. نهاية

الشكل 13.1.5 حساب مساحة المنطقة المستوية (R ) بتكامل متكرر.

يمكننا عرض التعبير ( big (g_2 (x) -g_1 (x) big) ) على أنه يبدأ كبير (g_2 (x) -g_1 (x) كبير) = int_^ 1 يوم = int_^ dy، النهاية بمعنى أنه يمكننا التعبير عن مساحة (R ) على أنها تكامل متكرر: start text R = int_a ^ b big (g_2 (x) -g_1 (x) big) dx = int_a ^ b left ( int_^ dy right) dx = int_a ^ b int_^ dy dx. نهاية

باختصار: يمكن النظر إلى تكامل متكرر معين على أنه يعطي مساحة منطقة مستوية.

يمكن أيضًا تحديد المنطقة (R ) بواسطة (c leq y leq d ) و (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) text <،> ) كما هو موضح في الشكل 13.1.6. باستخدام عملية مشابهة لتلك المذكورة أعلاه ، بدأنا text <منطقة> R = int_c ^ d int_^ dx dy. نهاية

الشكل 13.1.6 حساب مساحة المنطقة المستوية (R ) بتكامل متكرر.

نذكر هذا رسميًا في نظرية.

نظرية 13.1.7 مساحة المنطقة المستوية

لنفترض أن (R ) منطقة مستوية يحدها (a leq x leq b ) و (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) text <،> ) حيث (g_1 ) و (g_2 ) دالات متصلة على ([أ ، ب] نص <.> ) المنطقة (أ ) من (ص ) هي تبدأ أ = int_a ^ ب int_^ dy dx. نهاية

لنفترض أن (R ) منطقة مستوية يحدها (c leq y leq d ) و (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) text <،> ) حيث (h_1 ) و (h_2 ) دالات متصلة على ([c، d] text <.> ) المنطقة (A ) في (R ) هي start أ = int_c ^ d int_^ dx dy. نهاية

يجب أن تساعدنا الأمثلة التالية في فهم هذه النظرية.

مثال 13.1.8 مساحة المستطيل

ابحث عن منطقة (A ) من المستطيل مع الزوايا ((- 1،1) ) و ((3،3) text <،> ) كما هو موضح في الشكل 13.1.9.

من الواضح أن التكامل المتعدد مبالغة في هذه الحالة ، لكننا نشرع في إثبات استخدامه.

الشكل 13.1.9 حساب مساحة المستطيل بتكامل متكرر في مثال 13.1.8.

المنطقة (R ) يحدها (x = -1 text <،> ) (x = 3 text <،> ) (y = 1 ) و (y = 3 text <.> ) باختيار التكامل فيما يتعلق بـ (y ) أولاً ، علينا أن نبدأ A = int_ <-1> ^ 3 int_1 ^ 3 1 dy dx = int_ <-1> ^ 3 left (y Big | _1 ^ 3 right) dx = int _ <- 1 > ^ 3 2 dx = 2x Big | _ <-1> ^ 3 = 8. نهاية

يمكننا أيضًا التكامل فيما يتعلق بـ (x ) أولاً ، مع إعطاء: start أ = int_1 ^ 3 int_ <-1> ^ 3 1 dx dy = int_1 ^ 3 left (x Big | _ <-1> ^ 3 right) dy = int_1 ^ 3 4 dy = 4y Big | _1 ^ 3 = 8. النهاية

من الواضح أن هناك طرقًا أبسط للعثور على هذه المنطقة ، لكن من المثير للاهتمام ملاحظة أن هذه الطريقة تعمل.

مثال 13.1.10 مساحة مثلث

ابحث عن منطقة (A ) المثلث ذي الرؤوس عند ((1،1) text <،> ) ((3،1) ) and ((5،5) text <،> ) كما هو موضح في الشكل 13.1.11.

شكل 13.1.11 حساب مساحة المثلث بالتكاملات المتكررة في مثال 13.1.10.

المثلث محدد بالخطوط كما هو موضح في الشكل. اختيار التكامل فيما يتعلق بـ (س ) يعطي أولاً أن (س ) يحده (س = ص ) إلى (س = فارك)2 text <،> ) بينما (y ) يحدها (y = 1 ) إلى (y = 5 text <.> ) (تذكر أنه منذ (x ) - تزيد القيم من من اليسار إلى اليمين ، منحنى أقصى اليسار ، (x = y text <،> ) هو الحد الأدنى ومنحنى أقصى اليمين ، (x = (y + 5) / 2 text <،> ) هو الأعلى ملزمة.) المنطقة هي start أ أمبير = int_1 ^ 5 int_^ < فارك2> dx dy amp = int_1 ^ 5 left (x Big | _y ^ < frac2> right) dy amp = int_1 ^ 5 left (- frac12y + frac52 right) dy amp = left (- frac14y ^ 2 + frac52y right) كبير | _1 ^ 5 أمبير = 4. نهاية

يمكننا أيضًا إيجاد المساحة بالتكامل بالنسبة إلى (y ) أولاً. في هذه الحالة ، على الرغم من ذلك ، لدينا وظيفتان تعملان كحد أدنى للمنطقة (R text <،> ) (y = 1 ) و (y = 2x-5 text <.> ) هذا يتطلب منا استخدام تكاملتين متكررتين. لاحظ كيف تختلف حدود (x ) - لكل جزء متكامل: start A amp = int_1 ^ 3 int_1 ^ x 1 dy dx amp + amp amp amp int_3 ^ 5 int_ <2x-5> ^ x1 dy dx amp = int_1 ^ 3 كبير (y كبير) كبير | _1 ^ x dx amp + amp amp amp int_3 ^ 5 big (y big) Big | _ <2x-5> ^ x dx amp = int_1 ^ 3 big (x-1 big) dx amp + amp amp amp int_3 ^ 5 big (-x + 5 big) dx amp = 2 أمبير + أمبير أمبير أمبير 2 أمبير = 4. نهاية

كما هو متوقع ، نحصل على نفس الإجابة في كلا الاتجاهين.

مثال 13.1.12 مساحة منطقة مستوية

أوجد مساحة المنطقة المحاطة بـ (y = 2x ) و (y = x ^ 2 text <،> ) كما هو موضح في الشكل 13.1.13.

شكل 13.1.13 حساب مساحة منطقة مستوية بتكاملات متكررة في مثال 13.1.12.

مرة أخرى ، سنجد مساحة المنطقة باستخدام كلا أمري التكامل.

باستخدام (dy dx text <:> ) begin int_0 ^ 2 int_^ <2x> 1 dy dx = int_0 ^ 2 (2x-x ^ 2) dx = big (x ^ 2- frac13x ^ 3 big) Big | _0 ^ 2 = frac43. نهاية

باستخدام (dx dy text <:> ) begin int_0 ^ 4 int_^ < sqrt> 1 dx dy = int_0 ^ 4 ( sqrt-y / 2) dy = left ( frac23y ^ <3/2> - frac14y ^ 2 right) Big | _0 ^ 4 = frac43. نهاية

تغيير ترتيب التكامل

في كل من الأمثلة السابقة ، حصلنا على منطقة (R ) ووجدنا الحدود اللازمة للعثور على منطقة (R ) باستخدام كلا أمري التكامل. لقد قمنا بالتكامل باستخدام كلا الأمرين للتكامل لإثبات المساواة بينهما.

نقترب الآن من مهارة وصف منطقة باستخدام كلا أمري التكامل من منظور مختلف. بدلاً من البدء بمنطقة وإنشاء تكاملات متكررة ، سنبدأ بتكامل متكرر ونعيد كتابته بترتيب التكامل الآخر. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى فهم المنطقة التي نتكامل عليها.

أبسط الحالات هي عندما يكون كلا التكاملين مرتبطين بالثوابت. المنطقة الموصوفة بهذه الحدود هي مستطيل (انظر المثال 13.1.8) ، وهكذا: begin int_a ^ b int_c ^ d 1 dy dx = int_c ^ d int_a ^ b1 dx dy. نهاية

عندما لا تكون حدود التكامل الداخلي ثوابت ، فمن المفيد جدًا عمومًا رسم الحدود لتحديد الشكل الذي تبدو عليه المنطقة التي ندمجها. من المخطط يمكننا إعادة كتابة التكامل بترتيب التكامل الآخر.

ستساعدنا الأمثلة على تطوير هذه المهارة.

مثال 13.1.14 تغيير ترتيب التكامل

أعد كتابة التكامل المتكرر ( ds int_0 ^ 6 int_0 ^ 1 dy dx ) بترتيب التكامل (dx dy text <.> )

نحتاج إلى استخدام حدود التكامل لتحديد المنطقة التي نتكامل فيها.

تخبرنا الحدود أن (y ) يحدها (0 ) و (x / 3 text <> ) (x ) يحدها 0 و 6. نحن نرسم هذه المنحنيات الأربعة: ( y = 0 text <،> ) (y = x / 3 text <،> ) (x = 0 ) و (x = 6 ) للعثور على المنطقة الموضحة بالحدود. يوضح الشكل 13.1.15 هذه المنحنيات ، مشيرًا إلى أن (R ) مثلث.

الشكل 13.1.15 رسم المنطقة (R ) الموصوفة بالتكامل المتكرر في المثال 13.1.14.

لتغيير ترتيب التكامل ، نحتاج إلى النظر في المنحنيات التي تربط قيم (x ) -. نرى أن الحد الأدنى هو (س = 3 ص ) والحد الأعلى هو (س = 6 نص <.> ) الحدود على (ص ) هي (0 ) إلى (2 ) text <.> ) وبالتالي يمكننا إعادة كتابة التكامل كـ ( ds int_0 ^ 2 int_ <3y> ^ 6 1 dx dy text <.> )

مثال 13.1.16 تغيير ترتيب التكامل

تغيير ترتيب تكامل ( ds int_0 ^ 4 int_^ <(y + 4) / 2> 1 dx dy text <.> )

نرسم المنطقة الموضحة بالحدود لمساعدتنا في تغيير ترتيب التكامل. (س ) يحد من أسفل وأعلى (أي إلى اليسار واليمين) بـ (س = ص ^ 2/4 ) و (س = (ص + 4) / 2 ) على التوالي ، و ( يحد y ) بين 0 و 4. برسم المنحنيات السابقة بالرسم البياني ، نجد المنطقة (R ) لتكون تلك الموضحة في الشكل 13.1.17.

شكل 13.1.17 رسم المنطقة المحددة بحدود التكامل في مثال 13.1.16.

لتغيير ترتيب التكامل ، نحتاج إلى إنشاء منحنيات تربط (y text <.> ) يوضح الشكل أن هناك حدين أدنى لـ (y text <:> ) (y = 0 ) في (0 leq x leq 2 text <،> ) و (y = 2x-4 ) في (2 leq x leq 4 text <.> ) وبالتالي نحن بحاجة تكاملان مزدوجان. الحد الأعلى لكل منها هو (y = 2 sqrt text <.> ) وهكذا بدأنا int_0 ^ 4 int_^ <(y + 4) / 2> 1 dx dy = int_0 ^ 2 int_0 ^ <2 sqrt> 1 dy dx + int_2 ^ 4 int_ <2x-4> ^ <2 sqrt> 1 dy dx. نهاية

قدم هذا القسم مفهومًا جديدًا ، التكامل المتكرر. قمنا بتطوير تطبيق واحد للتكامل المتكرر: المنطقة بين المنحنيات. ومع ذلك ، هذا ليس جديدًا ، لأننا نعرف بالفعل كيفية العثور على المناطق التي تحدها المنحنيات.

في القسم التالي ، نطبق التكامل المتكرر لحل المشكلات التي لا نعرف حاليًا كيفية التعامل معها. لم يكن الهدف "الحقيقي" لهذا القسم هو تعلم طريقة جديدة في مجال الحوسبة. بل كان هدفنا هو معرفة كيفية تحديد منطقة في المستوى باستخدام حدود التكامل المتكرر. هذه المهارة مهمة جدًا في الأقسام التالية.


القسم 13.2 التكامل المزدوج والحجم ¶ الرابط الثابت

تم تقديم التكامل المحدد لـ (f ) over ([a، b] text <،> ) ( int_a ^ bf (x) dx text <،> ) على أنه "المنطقة الموقعة تحت المنحنى." لقد قربنا قيمة هذه المنطقة من خلال التقسيم الفرعي الأول ([a، b] ) إلى (n ) فترات فرعية ، حيث يكون (i ^ text ) الفاصل الزمني الفرعي ( dx_i text < ،> ) والسماح لـ (c_i ) أن تكون أي قيمة في الفاصل الزمني الفرعي (i ^ text ). لقد شكلنا مستطيلات تقترب من جزء من المنطقة الواقعة أسفل المنحنى بالعرض ( dx_i text <،> ) height (f (c_i) text <،> ) ومن ثم بالمساحة (f (c_i) dx_i text <.> ) جمع كل مناطق المستطيل يعطي تقريبًا للتكامل المحدد ، وتوضح النظرية 5.3.20 أن تبدأ int_a ^ bf (x) dx = lim _ < abs < Delta x > to 0> sum f (c_i) dx_i، end ربط المنطقة الواقعة تحت المنحنى بمجموع مساحات المستطيلات.

نستخدم طريقة مماثلة في هذا القسم لإيجاد الحجم تحت السطح.

لنفترض (R ) أن تكون منطقة مغلقة ومحدودة في (x ) - (y ) مستوى ودع (z = f (x، y) ) تكون دالة مستمرة محددة في (R ) نص <.> ) نرغب في العثور على المجلد الموقّع تحت سطح (f ) over (R text <.> ) (نستخدم مصطلح "المجلد الموقّع" للإشارة إلى تلك المساحة فوق ( x ) - (y ) الطائرة ، تحت (f text <،> ) سيكون لها مساحة تخزين موجبة أعلى (f ) وتحت (x ) - (y ) سوف لها حجم "سلبي" ، مشابه لمفهوم المنطقة الموقعة المستخدمة من قبل.)

نبدأ بتقسيم (R ) إلى (n ) مناطق فرعية مستطيلة كما هو موضح في الشكل 13.2.1 (أ). من أجل التبسيط ، نسمح بأن تكون جميع العروض ( dx ) وجميع الارتفاعات ( dy text <.> ) لاحظ أن مجموع مساحات المستطيلات لا يساوي مساحة (R text <،> ) بل هو تقريب قريب. قم بترقيم المستطيلات بشكل تعسفي من 1 إلى (n text <،> ) واختر نقطة ((x_i، y_i) ) في المنطقة الفرعية (i ^ text ).

حجم المستطيل الصلب الذي قاعدته هي المنطقة الفرعية (i ^ text ) والتي يبلغ ارتفاعها (f (x_i، y_i) ) (V_i = f (x_i، y_i) dx dy text <.> ) تظهر هذه المادة الصلبة في الشكل 13.2.1 (ب). لاحظ كيف أن هذا المستطيل الصلب يقارب فقط الحجم الحقيقي تحت الجزء السطحي من المادة الصلبة فوق السطح والجزء أدناه.

لكل منطقة فرعية (R_i ) تستخدم لتقريب (R text <،> ) إنشاء مستطيل صلب بمساحة القاعدة ( dx dy ) والارتفاع (f (x_i، y_i) text <. > ) مجموع جميع المواد الصلبة المستطيلة هو start دس مجموع^ n و (x_i، y_i) dx dy. نهاية

يقارب هذا الحجم الموقّع تحت (f ) فوق (R text <.> ) كما فعلنا من قبل ، للحصول على تقريب أفضل ، يمكننا استخدام المزيد من المستطيلات لتقريب المنطقة (R text <.> )

بشكل عام ، يمكن أن يكون لكل مستطيل عرض مختلف ( dx_j ) وارتفاع ( dy_k text <،> ) مما يعطي المستطيل (i ^ text ) مساحة ( Delta A_i = dx_j dy_k ) و (i ^ text ) مستطيل صلب حجم (f (x_i، y_i) Delta A_i text <.> ) دع ( معيار <) تشير Delta A> ) إلى طول أطول قطري لجميع المستطيلات في التقسيم الفرعي لـ (R text <> ) ( معيار < Delta A> to 0 ) يعني عرض كل مستطيل وارتفاعه كلاهما تقترب من 0. إذا كانت (f ) دالة مستمرة ، حيث يتقلص ( معيار < Delta A> ) (وبالتالي (n to infty )) الجمع ( ds sum_^ n f (x_i، y_i) Delta A_i ) تقارب الحجم الموقّع بشكل أفضل وأفضل. هذا يؤدي إلى تعريف.

تذكر أن رمز التكامل " ( int )" هو "ممدود S ،" يمثل كلمة "مجموع". فسرنا ( int_a ^ bf (x) dx ) على أنه "خذ ملف مجموع من مناطق المستطيلات على الفاصل ([أ ، ب] نص <.> ) "يستخدم التكامل المزدوج رمزين للتكامل لتمثيل" مجموع مزدوج ". عند إضافة أحجام المواد الصلبة المستطيلة فوق قسم من المنطقة (R text <،> ) كما هو موضح في الشكل 13.2.1 ، يمكن للمرء أولاً جمع الأحجام عبر كل صف (نوع واحد من المجموع) ، ثم اجمع هذه المجاميع معًا (مجموع آخر) ، كما هو الحال في start مجموع_^ n sum_^ mf (x_i، y_j) Delta x_i Delta y_j. نهاية

يمكن للمرء إعادة كتابة هذا كـ start مجموع_^ n يسار ( sum_^ mf (x_i، y_j) Delta x_i right) Delta y_j. نهاية

يشير الجمع داخل الأقواس إلى مجموع الارتفاعات × العرض ، مما يعطي مساحة بضرب هذه المساحات في السماكة ( Delta y_j ) يعطي حجمًا. الرسم التوضيحي في الشكل 13.2.6 يتعلق بهذا الفهم.

التعريف 13.2.4 حجم مزدوج متكامل وموقع

لنفترض (z = f (x، y) ) أن تكون دالة مستمرة محددة فوق منطقة مغلقة (R ) في مستوى (x ) - (y ). ال حجم الموقع (V ) تحت (f ) over (R ) يُرمز له ب تكامل مزدوج يبدأ V = iint_R f (x، y) dA. نهاية

الرموز البديلة للتكامل المزدوج هي start iint_R f (x، y) dA = iint_R f (x، y) dx dy = iint_R f (x، y) dy dx. نهاية

لا يذكر التعريف أعلاه كيفية العثور على المجلد الموقّع ، على الرغم من أن الترميز يقدم تلميحًا. نحتاج إلى النظريتين التاليتين لإيجاد قيمة التكاملات المزدوجة لإيجاد الحجم.

نظرية 13.2.5 التكاملات المزدوجة وحجم التوقيع

لنفترض (z = f (x، y) ) أن تكون دالة مستمرة محددة فوق منطقة مغلقة (R ) في مستوى (x ) - (y ). ثم المجلد الموقّع (V ) ضمن (f ) فوق (R ) هو start V = iint_R f (x، y) dA = lim _ < norm < Delta A> to 0> sum_^ n و (x_i، y_i) Delta A_i. نهاية

تنص هذه النظرية على أنه يمكننا إيجاد الحجم المحدد بدقة باستخدام حد للمجاميع. لم يتم تحديد قسم المنطقة (R ) ، لذا فإن أي تقسيم يتقلص فيه قطر كل مستطيل إلى 0 ينتج عنه نفس الإجابة.

هذا لا يقدم طريقة مرضية للغاية لمنطقة الحوسبة ، على الرغم من ذلك. أظهرت تجربتنا أن تقييم حدود المبالغ يمكن أن يكون مملاً. نسعى إلى طريقة أكثر مباشرة.

أذكر النظرية 7.2.2 في القسم 7.2. ينص هذا على أنه إذا كان (A (x) ) يعطي مساحة المقطع العرضي لمادة صلبة عند (x text <،> ) ثم ( int_a ^ b A (x) dx ) أعطى الحجم من ذلك الصلب فوق ([أ ، ب] نص <.> )

ضع في اعتبارك الشكل 13.2.6 ، حيث يتم رسم السطح (z = f (x، y) ) فوق منطقة (R text <.> ) تحديد قيمة (x ) معينة ، يمكننا النظر في المنطقة الواقعة تحت (f ) فوق (R ) حيث (x ) لها تلك القيمة الثابتة. يمكن إيجاد هذه المنطقة بتكامل محدد ، ألا وهو البدء أ (س) = int_^ و (س ، ص) دى. نهاية

تذكر أنه على الرغم من أن عنصر التكامل يحتوي على (x text <،> ) فإننا نشاهد (x ) على أنه تم إصلاحه. لاحظ أيضًا أن حدود التكامل هي وظائف (x text <:> ) وتعتمد الحدود على قيمة (x text <.> )

الشكل 13.2.6 إيجاد الحجم تحت سطح ما عن طريق مسح منطقة المقطع العرضي.

نظرًا لأن (A (x) ) هي دالة منطقة مقطع عرضي ، يمكننا العثور على وحدة التخزين الموقَّعة (V ) ضمن (f ) من خلال دمجها: start V = int_a ^ b A (x) dx = int_a ^ b left ( int_^ و (س ، ص) دى يمين) دكس = int_a ^ ب int_^ و (س ، ص) dy dx. نهاية

هذا يعطي طريقة ملموسة لإيجاد الحجم الموقّع تحت السطح. يمكننا القيام بإجراء مماثل حيث بدأنا بـ (y ) ثابت ، مما أدى إلى تكامل متكرر بترتيب التكامل (dx dy text <.> ) تنص النظرية التالية على أن كلا الطريقتين تعطي نفس النتيجة ، وهي قيمة التكامل المزدوج. إنها نظرية مهمة لها اسم مرتبط بها.

نظرية 13.2.7 نظرية فوبيني

لنفترض أن (R ) منطقة مغلقة ومحدودة في مستوى (x ) - (y ) واجعل (z = f (x، y) ) دالة مستمرة في (R text <.> )

إذا كان (R ) يحده (a leq x leq b ) و (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) text <،> ) حيث (g_1 ) و (g_2 ) هي دوال مستمرة على ([a، b] text <،> ) ثم تبدأ iint_R f (x، y) dA = int_a ^ b int_^ و (س ، ص) dy dx. نهاية

إذا كان (R ) يحده (c leq y leq d ) و (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) text <،> ) حيث (h_1 ) و (h_2 ) هي دوال متصلة على ([c، d] text <،> ) ثم تبدأ iint_R f (x، y) dA = int_c ^ d int_^ و (س ، ص) dx dy. نهاية

لاحظ أن حدود التكامل تتبع مرة أخرى نمط "منحنى إلى منحنى ، من نقطة إلى نقطة" الذي تمت مناقشته في القسم السابق. في الواقع ، تتمثل إحدى النقاط الرئيسية في القسم السابق في تطوير مهارة وصف منطقة (R ) بحدود تكامل متكرر. بمجرد تطوير هذه المهارة ، يمكننا استخدام التكاملات المزدوجة لحساب العديد من الكميات ، وليس فقط الحجم الموقّع تحت السطح.

مثال 13.2.8 إيجاد قيمة تكامل مزدوج

دع (f (x، y) = xy + e ^ y text <.> ) ابحث عن المجلد الموقّع تحت (f ) في المنطقة (R text <،> ) وهو المستطيل الذي يحتوي على الزوايا ((3،1) ) و ((4،2) ) المصورة في الشكل 13.2.9 ، باستخدام نظرية فوبيني وكلا أوامر التكامل.

نرغب في تقييم ( iint_R big (xy + e ^ y big) dA text <.> ) نظرًا لأن (R ) مستطيل ، يمكن وصف الحدود بسهولة على أنها (3 leq x leq 4 ) و (1 leq y leq 2 text <.> )

باستخدام الترتيب (dy dx text <:> ) begin iint_R big (xy + e ^ y big) dA amp = int_3 ^ 4 int_1 ^ 2 big (xy + e ^ y big) dy dx amp = int_3 ^ 4 يسار ( يسار. يسار [ frac12xy ^ 2 + e ^ y right] يمين | _1 ^ 2 يمين) dx amp = int_3 ^ 4 left ( frac 32x + e ^ 2 -e right) dx amp = left. left ( frac 34x ^ 2 + big (e ^ 2-e big) x right) right | _3 ^ 4 amp = frac <21> 4+ e ^ 2-e حوالي 9.92. نهاية

الشكل 13.2.9 إيجاد الحجم الموقّع تحت سطح في مثال 13.2.8.

الآن نتحقق من صحة نظرية فوبيني باستخدام الترتيب (dx dy text <:> ) begin iint_R big (xy + e ^ y big) dA amp = int_1 ^ 2 int_3 ^ 4 big (xy + e ^ y big) dx dy amp = int_1 ^ 2 يسار ( يسار. يسار [ frac12x ^ 2y + xe ^ y يمين] يمين | _3 ^ 4 يمين) dy amp = int_1 ^ 2 left ( frac72y + e ^ y right ) dy amp = left. left ( frac74y ^ 2 + e ^ y right) right | _1 ^ 2 amp = frac <21> 4 + e ^ 2-e تقريبًا 9.92. نهاية

يُرجع كلا أمري التكامل نفس النتيجة ، كما هو متوقع.

مثال 13.2.10 إيجاد قيمة تكامل مزدوج

قم بتقييم ( iint_R big (3xy-x ^ 2-y ^ 2 + 6 big) dA text <،> ) حيث (R ) هو المثلث الذي يحده (x = 0 text < ،> ) (y = 0 ) و (x / 2 + y = 1 text <،> ) كما هو موضح في الشكل 13.2.11.

على الرغم من عدم تحديد الترتيب الذي سنستخدمه ، سنقوم بتقييم التكامل المزدوج باستخدام كلا الأمرين للمساعدة في الوصول إلى النقطة التي لا يهم أي ترتيب نستخدمها.

شكل 13.2.11 إيجاد الحجم الموقّع تحت السطح في مثال 13.2.10.

باستخدام الترتيب (dy dx text <:> ) تنتقل الحدود على (y ) من "منحنى إلى منحنى" ، أي (0 leq y leq 1-x / 2 text <، > ) والحدود الموجودة على (x ) تنتقل من "نقطة إلى نقطة" ، أي (0 leq x leq 2 text <.> ) start iint_R (3xy-x ^ 2-y ^ 2 + 6 big) dA amp = int_0 ^ 2 int_0 ^ <- frac x2 + 1> (3xy-x ^ 2-y ^ 2 + 6 كبير) dy dx amp = int_0 ^ 2 left. left ( frac32xy ^ 2-x ^ 2y- frac13y ^ 3 + 6y right) right | _0 ^ <- frac x2 + 1> dx amp = int_0 ^ 2 left ( frac <11> <12> x ^ 3- frac <11> <4> x ^ 2-x- frac <17> 3 right) dx amp = left. left ( frac <11> <48> x ^ 4- frac <11> <12> x ^ 3- frac12x ^ 2- frac <17> 3x right) right | _0 ^ 2 amp = frac <17> 3 = 5. overline <6>. نهاية

لننظر الآن في الترتيب (dx dy text <.> ) هنا (x ) ينتقل من "منحنى إلى منحنى" ، (0 leq x leq 2-2y text <،> ) و (y ) ينتقل من "نقطة إلى نقطة" ، (0 leq y leq 1 text <:> ) begin iint_R (3xy-x ^ 2-y ^ 2 + 6 big) dA amp = int_0 ^ 1 int_0 ^ <2-2y> (3xy-x ^ 2-y ^ 2 + 6 big) dx dy amp = int_0 ^ 1 left. left ( frac32x ^ 2y- frac13x ^ 3-xy ^ 2 + 6x right) right) right | _0 ^ <2-2y> dy amp = int_0 ^ 1 left ( frac <32> 3y ^ 3-22y ^ 2 + 2y + frac <28> 3 right) dy amp = left. left ( frac83y ^ 4- frac <22> 3y ^ 3 + y ^ 2 + frac <28> 3y right) right | _0 ^ 1 amp = frac <17> 3 = 5. overline <6>. نهاية

لقد حصلنا على نفس النتيجة باستخدام أمري التكامل.

لاحظ كيف في هذين المثالين أن حدود التكامل تعتمد فقط على (R text <> ) حدود التكامل لا علاقة لها بـ (f (x، y) text <.> ) هذا هو مفهوم مهم ، لذلك ندرجه كفكرة أساسية.

الفكرة الرئيسية 13.2.12 حدود التكامل المزدوج

عند تقييم ( iint_Rf (x، y) dA ) باستخدام تكامل متكرر ، فإن حدود التكامل تعتمد فقط على (R text <.> ) السطح (f ) لا يحدد حدود دمج.

قبل القيام بمثال آخر ، نعطي بعض خصائص التكاملات المزدوجة. يجب أن يكون لكل منها معنى إذا نظرنا إليها في سياق العثور على حجم موقّع تحت سطح ، فوق منطقة.

نظرية 13.2.13 خصائص التكاملات المزدوجة

لنفترض أن (f ) و (g ) دالات مستمرة على منطقة مستوى مغلقة ومحدودة (R text <،> ) واجعل (c ) ثابتًا.

( ds iint_Rc ، f (x، y) dA = c iint_Rf (x، y) dA text <.> )

( ds iint_R كبير (f (x، y) pm g (x، y) big) dA = iint_R f (x، y) dA pm iint_R g (x، y) dA )

إذا كان (f (x، y) geq 0 ) في (R text <،> ) ثم ( ds iint_R f (x، y) dA geq 0 text <.> )

إذا (f (x، y) geq g (x، y) ) في (R text <،> ) ثم ( ds iint_R f (x، y) dA geq iint_R g (س ، ص) dA نص <.> )

لنكن (R ) اتحادًا لمنطقتين غير متراكبتين ، (R = R_1 bigcup R_2 ) (انظر الشكل 13.2.14). ثم ابدأ iint_R f (x، y) dA = iint_و (س ، ص) dA + iint_و (س ، ص) د. نهاية

مثال 13.2.15 إيجاد قيمة تكامل مزدوج

لنفترض (f (x، y) = sin (x) cos (y) ) و (R ) أن يكون المثلث ذو الرؤوس ((- 1،0) text <،> ) ( (1،0) ) و ((0،1) ) (انظر الشكل 13.2.16). احسب التكامل المزدوج ( iint_Rf (x، y) dA text <.> )

شكل 13.2.16 إيجاد الحجم الموقّع تحت سطح ما في المثال 13.2.15.

إذا حاولنا التكامل باستخدام تكامل متكرر مع الترتيب (dy dx text <،> ) لاحظ كيف يوجد حدين علويين في (R ) مما يعني أننا سنحتاج إلى استخدام تكاملتين متكررتين. سنحتاج إلى تقسيم المثلث إلى منطقتين على طول المحور (y ) ، ثم استخدام النظرية 13.2.13 ، الجزء 5.

بدلاً من ذلك ، دعنا نستخدم الترتيب (dx dy text <.> ) المنحنيات المحيطة (x ) هي (y-1 leq x leq 1-y text <> ) الحدود على (y ) هي (0 leq y leq 1 text <.> ) وهذا يعطينا: start iint_R f (x، y) dA amp = int_0 ^ 1 int_^ <1-y> sin (x) cos (y) dx dy amp = int_0 ^ 1 left. Big (- cos (x) cos (y) Big) حق | _^ <1-y> dy amp = int_0 ^ 1 cos (y) Big (- cos (1-y) + cos (y-1) Big) dy. نهاية

تذكر أن دالة جيب التمام هي دالة زوجية أي ( cos (x) = cos (-x) text <.> ) لذلك ، من آخر تكامل أعلاه ، لدينا ( cos (y- 1) = cos (1-y) text <.> ) وهكذا يبسط التكامل و 0 ، ولدينا نبدأ iint_R f (x، y) dA amp = int_0 ^ 1 0 dy amp = 0. end

اتضح أن حجم (R text <،> ) أعلى من مستوى (x ) - (y ) كما هو موضح أدناه (انظر مرة أخرى إلى الشكل 13.2.16) ، مما يعطي قيمة نهائية حجم الموقع 0.

مثال 13.2.17 إيجاد قيمة تكامل مزدوج

قم بتقييم ( iint_R (4-y) dA text <،> ) حيث (R ) هي المنطقة التي يحدها القطع المكافئ (y ^ 2 = 4x ) و (x ^ 2 = 4y ) text <،> ) في الشكل 13.2.18.

شكل 13.2.18 إيجاد الحجم تحت السطح في مثال 13.2.17.

يمكن أن يساعدنا رسم كل منحنى في العثور على نقاط تقاطعهم. بالحل التحليلي ، تخبرنا المعادلة الثانية أن (y = x ^ 2/4 text <.> ) استبدال هذه القيمة بـ (y ) في المعادلة الأولى يعطينا (x ^ 4/16 = 4x text <.> ) حل (x text <:> ) start فارك <16> amp = 4x x ^ 4-64x amp = 0 x (x ^ 3-64) amp = 0 x amp = 0، 4. end

وهكذا وجدنا تحليليًا ما كان من السهل تقريبه بيانياً: تتقاطع المناطق عند ((0،0) ) و ((4،4) text <،> ) كما هو موضح في الشكل 13.2.18.

نختار الآن ترتيبًا للتكامل: (dy dx ) أو (dx dy text <؟> ) يعمل أي منهما نظرًا لأن الدمج لا يحتوي على (x text <،> ) اختيار ( dx dy ) أبسط - على الأقل ، التكامل الأول بسيط للغاية.

وبالتالي لدينا حدود "منحنى إلى منحنى ، نقطة إلى نقطة" التالية: (y ^ 2/4 leq x leq 2 sqrt y text <،> ) و (0 leq y leq 4 نص <.> ) start iint_R (4-ص) dA amp = int_0 ^ 4 int_^ <2 sqrt> (4-y) dx dy amp = int_0 ^ 4 big (x (4-y) big) Big | _^ <2 sqrt> dy amp = int_0 ^ 4 Big ( big (2 sqrt- فارك<4> big) big (4-y) Big) dy = int_0 ^ 4 Big ( frac<4> -y ^ 2-2y ^ <3/2> + 8y ^ <1/2> Big) dy amp = left. left ( frac<16> - فارك<3> - frac <4y ^ <5/2 >> 5+ frac <16y ^ <3/2 >> 3 right) right | _0 ^ 4 amp = frac <176> <15 > = 11.7 overline <3>. نهاية

الحجم الموقع تحت السطح (f ) حوالي 11.7 وحدة مكعبة.

في القسم السابق ، تمرننا على تغيير ترتيب تكامل تكامل متكرر معين ، حيث لم يتم إعطاء المنطقة (R ) صراحة. إن تغيير حدود التكامل هو أكثر من مجرد اختبار للفهم. بدلاً من ذلك ، هناك حالات يكون فيها التكامل في ترتيب واحد أمرًا صعبًا حقًا ، إن لم يكن مستحيلًا ، بينما يكون التكامل مع الترتيب الآخر أمرًا ممكنًا.

مثال 13.2.19 تغيير ترتيب التكامل

أعد كتابة التكامل المتكرر ( ds int_0 ^ 3 int_y ^ 3 e ^ <- x ^ 2> dx dy ) بالترتيب (dy dx text <.> ) قم بالتعليق على جدوى تقييم كل جزء.

مرة أخرى ، نقوم بعمل رسم تخطيطي للمنطقة التي نتكامل عليها لتسهيل تغيير الترتيب. الحدود على (س ) من (س = ص ) إلى (س = 3 نص <> ) الحدود على (ص ) من (ص = 0 ) إلى (ص = 3 نص <.> ) تم رسم هذه المنحنيات في الشكل 13.2.20 ، مع تضمين المنطقة (R text <.> )

شكل 13.2.20 تحديد المنطقة (R ) المحددة بحدود التكامل في المثال 13.2.19.

لتغيير الحدود ، لاحظ أن المنحنيات المحيطة (y ) هي (y = 0 ) حتى (y = x text <> ) والمثلث محاط بين (x = 0 ) و (x = 3 text <.> ) وبالتالي فإن الحدود الجديدة للتكامل هي (0 leq y leq x ) و (0 leq x leq 3 text <،> ) إعطاء التكامل المتكرر ( ds int_0 ^ 3 int_0 ^ xe ^ <- x ^ 2> dy dx text <.> )

ما مدى سهولة تقييم كل تكامل متكرر؟ ضع في اعتبارك ترتيب تكامل (dx dy text <،> ) على النحو الوارد في المشكلة الأصلية. أول تكامل غير محدد نحتاج إلى تقييمه هو ( int e ^ <- x ^ 2> dx text <> ) ذكرنا من قبل (انظر القسم 5.5) أنه لا يمكن تقييم هذا التكامل من حيث الوظائف الأولية. نحن عالقون.

يُحدث تغيير ترتيب التكامل فرقًا كبيرًا هنا. في التكامل المتكرر الثاني ، نواجه ( int e ^ <- x ^ 2> dy text <> ) التكامل فيما يتعلق بـ (y ) يعطينا (ye ^ <- x ^ 2 > + C text <،> ) ويتم تقييم أول تكامل محدد ليكون يبدأ int_0 ^ x e ^ <- x ^ 2> dy = xe ^ <- x ^ 2>. نهاية

هكذا تبدأ int_0 ^ 3 int_0 ^ x e ^ <- x ^ 2> dy dx = int_0 ^ 3 Big (xe ^ <- x ^ 2> Big) dx. نهاية

من السهل تقييم هذا التكامل الأخير مع الاستبدال ، مع إعطاء إجابة نهائية من ( frac12 (1-e ^ <-9>) حوالي 0.5 نص <.> ) يوضح الشكل 13.2.21 السطح فوق (R نص <.> )

الشكل 13.2.21 يوضح السطح (f ) المحدد في المثال 13.2.19 فوق منطقته (R text <.> )

باختصار ، تقييم أحد التكامل المتكرر أمر مستحيل ، أما التكامل المتكرر الآخر فهو بسيط نسبيًا.

يحدد التعريف 5.4.26 متوسط ​​قيمة دالة أحادية المتغير (f (x) ) على الفاصل ([a، b] ) على أنها تبدأ text <متوسط ​​قيمة (f (x) ) في ([a، b] )> = frac1 int_a ^ b f (x) dx end أي أنها "المنطقة الواقعة تحت (f ) خلال فترة مقسومة على طول الفترة". نقوم بعمل بيان مماثل هنا: متوسط ​​قيمة (z = f (x، y) ) على منطقة (R ) هو الحجم الموجود تحت (f ) over (R ) مقسومًا على المنطقة من (ص نص <.> )

التعريف 13.2.22 متوسط ​​قيمة (f ) في (ص )

لنفترض (z = f (x، y) ) أن تكون دالة مستمرة محددة فوق منطقة مغلقة (R ) في مستوى (x ) - (y ). ال متوسط ​​قيمة (و ) في (ص ) هو ابدأ text <متوسط ​​قيمة (f ) على (R )> = frac < ds iint_R f (x، y) dA> < ds iint_R dA>. نهاية

مثال 13.2.23 إيجاد متوسط ​​قيمة دالة على منطقة (R )

أوجد متوسط ​​قيمة (f (x، y) = 4-y ) على المنطقة (R text <،> ) التي يحدها القطع المكافئ (y ^ 2 = 4x ) و ( x ^ 2 = 4y text <.> ) ملاحظة: هذه هي نفس الوظيفة والمنطقة المستخدمة في المثال 13.2.17.

نجد مساحة (R ) عن طريق الحوسبة ( iint_R dA text <:> ) begin iint_R dA = int_0 ^ 4 int_^ <2 sqrt> dx dy = frac <16> <3>. نهاية

يعطي قسمة الحجم تحت السطح على المساحة متوسط ​​القيمة: start text <متوسط ​​قيمة (f ) في (R )> = frac <176/15> <16/3> = frac <11> 5 = 2.2. نهاية

بينما السطح ، كما هو موضح في الشكل 13.2.24 ، يغطي (z ) - القيم من (z = 0 ) إلى (z = 4 text <،> ) "المتوسط" (z ) -القيمة على (R ) هي 2.2.

شكل 13.2.24 إيجاد متوسط ​​قيمة (f ) في المثال 13.2.23.

قدم القسم السابق التكامل المتكرر في سياق إيجاد مساحة مناطق المستوى. لقد وسع هذا القسم فهمنا للتكاملات المتكررة الآن ، ونرى الآن أنه يمكن استخدامها للعثور على الحجم الموقّع تحت السطح.

يتيح لنا هذا الفهم الجديد إعادة النظر في ما فعلناه في القسم السابق. بالنظر إلى المنطقة (R ) في المستوى ، قمنا بحساب ( iint_R 1 dA text <> ) مرة أخرى ، كان فهمنا في ذلك الوقت أننا كنا نجد منطقة (R text <.> ) ومع ذلك ، يمكننا الآن عرض الوظيفة (z = 1 ) كسطح ، سطح مستو مع ثابت (z ) - القيمة 1. التكامل المزدوج ( iint_R 1 dA ) يجد الحجم ، تحت (z = 1 text <،> ) over (R text <،> ) كما هو موضح في الشكل 13.2.25. تخبرنا الهندسة الأساسية أنه إذا كانت قاعدة الأسطوانة اليمنى العامة لها مساحة (A text <،> ) يكون حجمها (A cdot h text <،> ) حيث (h ) هو الارتفاع . في حالتنا ، الارتفاع هو 1. كنا "في الواقع" نحسب حجم المادة الصلبة ، على الرغم من أننا فسرنا الرقم على أنه مساحة.

الشكل 13.2.25 يوضح كيف يعثر التكامل المتكرر المستخدم لإيجاد مساحة على حجم معين أيضًا.

يوسع القسم التالي من قدراتنا للعثور على "الأحجام تحت الأسطح". في الوقت الحالي ، يصعب حساب بعض التكاملات لأن المنطقة (R ) التي نقوم بدمجها يصعب تحديدها باستخدام المنحنيات المستطيلة ، أو يصعب التعامل مع التكامل نفسه. يمكن حل بعض هذه المشكلات عن طريق تحويل كل شيء إلى إحداثيات قطبية.


2. المنطقة الواقعة تحت المنحنى بالتكامل

لقد التقينا بالمناطق الواقعة تحت المنحنيات في وقت سابق في قسم التكامل (انظر 3. المنطقة الواقعة تحت منحنى) ، ولكن هنا نطور المفهوم أكثر. (قد تكون مهتمًا أيضًا بأرخميدس ومنطقة الجزء المكافئ ، حيث نعلم أن أرخميدس فهم الأفكار الكامنة وراء حساب التفاضل والتكامل ، قبل 2000 عام من قيام نيوتن ولايبنيز بفعلها!)

من المهم أن ترسم الموقف قبل أن تبدأ.

نريد إيجاد المساحة أسفل المنحنى `y = f (x)` من `x = a` إلى` x = b`.

يمكن أن يكون لدينا عدة مواقف:


1. تكامل وظائف كثيرة الحدود

$ int color <4> x ^ 6 dx = color <4> int x ^ 6 dx = 4 cdot frac> <6 + 1> + C = frac <4> <7> x ^ 7 + C $

2. تكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية

$ int 6 e ^ x dx = 6 int e ^ x dx = 6 e ^ x + C $

$ int frac <5> dx = 5 int frac <1> dx = 5 ، ln | x | + C $

3. تكامل التوابع المثلثية

$ int 3 cos x ، dx = 3 int cos x ، dx = 3 sin x + C $

$ int -2 sin x ، dx = -2 int sin x ، dx = -2 (- cos x) + C = 2 cos x + C $

$ تبدأ int x sin left (1 + x ^ 2 right) dx & = frac <1> <2> int color <2x> sin left (1 + x ^ 2 right) dx = & = frac <1> <2> int color < left (1 + x ^ 2 right) '> sin left (1 + x ^ 2 right) dx = & = - frac <1> <2> cos left (1 + x ^ 2 right) + C end $

$ int 9 sec ^ 2 x dx = 9 int sec ^ 2 x dx = 9 tan x + C $

$ تبدأ int x ^ 3 cdot sec ^ 2 left (1 + x ^ 4 right) & = frac <1> <4> int color <4x ^ 3> sec ^ 2 left (1 + x ^ 4 right) dx = & = frac <1> <4> int color < left (1 + x ^ 4 right) '> sec ^ 2 left (1 + x ^ 4 right) dx = & = frac <1> <4> tan left ( 1 + x ^ 4 right) + C end $

4. التكامل بالتعويض

$ int f (g (x)) cdot g '(x) dx = F (g (x)) + C $

$ int 2x cdot left (x ^ 2 + 4 right) ^ 4 dx $

5. التكامل بالأجزاء


أمثلة الرياضيات 215

يدور هذا القسم حول حساب التكاملات المزدوجة عن طريق نظرية فوبيني:

الحدس وراء نظرية فوبيني

تذكر أنه يمكننا التفكير في التكامل المزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) الذي يظهر على الجانب الأيسر من نظرية Fubini على أنه الحجم الموقّع بين (f (x، y) ) و الطائرة (س ص ):

لنفكر أولاً في ( int_a ^ b int_c ^ d f (x، y) ، dy ، dx ) ، والتي ، وفقًا لنظرية Fubini ، يجب أن تساوي نفس الحجم الموقّع. لإيجاد التكامل المتكرر ، نعمل من الداخل إلى الخارج. أولاً ، نقوم بتقييم التكامل الداخلي ( int_c ^ d f (x، y) ، dy ). نظرًا لأن هذا التكامل يتعلق بـ (y ) ، فإننا نتعامل مع (س ) على أنه ثابت طوال الوقت ، لذلك ستعتمد النتيجة على (س ). دعنا نسميها (g (x) = int_c ^ d f (x، y) ، dy ). ما هو ، على سبيل المثال ، (g (x_0) ) ، بالنسبة للبعض (a le x_0 le b )؟ (g (x_0) = int_c ^ d f (x_0، y) ، dy ) يعطي شريحة المساحة عند (x = x_0 ) بين الوظيفة و (xy ) - الطائرة:

نظرًا لأننا ندمج من (x = a ) إلى (x = b ) ، فإن شرائح المنطقة هذه تكتسح الحجم بالكامل بين (f (x ، y) ) و (xy ) - الطائرة:

نرى إذن أن هذا التكامل المتكرر يجب أن يساوي بالفعل الحجم الموقّع بين (f (x، y) ) والمستوى (xy ) - ، تمامًا كما تنص نظرية فوبيني.

تقول نظرية Fubini أيضًا أنه يمكننا عمل التكاملات بالترتيب الآخر ، لذا يجب أن ينتج أيضًا ( int_c ^ d int_a ^ b f (x، y) ، dx ، dy ) نفس الحجم الموقّع. يتوافق التكامل الداخلي الآن مع مساحة الشريحة بقيمة (y ) ثابتة ، ويكتسح التكامل الخارجي الحجم نظرًا لأننا نتراوح من (y = c ) إلى (y = d ):

مثال مصور

حل يعمل

نستخدم نظرية Fubini لكتابة [ iint limits_R (x ^ 3 + y ^ 2 + 1) ، dA = int_ <-1> ^ 1 int_ <-2> ^ 1 (x ^ 3 + y ^ 2 + 1) ، دي ، ديكس. ]

نقوم بتقييم التكامل الداخلي باعتباره تكاملًا قياسيًا متغيرًا واحدًا فيما يتعلق (y ) ، ونعامل (x ) على أنه ثابت: int_ <-2> ^ 1 (x ^ 3 + y ^ 2 + 1) ، dy & = (x ^ 3y + y ^ 3/3 + y) كبير | _^ & = (x ^ 3 + 4/3) - (- 2x ^ 3-14 / 3) & = 3x ^ 3 + 6. نهاية]

ومن هنا تبدأ int_ <-1> ^ 1 int_ <-2> ^ 1 (x ^ 3 + y ^ 2 + 1) ، dy ، dx & = int_ <-1> ^ 1 (3x ^ 3 + 6) ، dx & = (3x ^ 4/4 + 6x) Big | _ <-1> ^ 1 & = (3/4 + 6) - (3 / 4-6) & = 12 ، نهاية] لذلك نستنتج أن ( iint limits_R (x ^ 3 + y ^ 2 + 1) ، dA = 12 ).

تصور المثال

كما فعلنا أعلاه في المفاهيم الأساسية ، حدد (g (x) ) ليكون التكامل الداخلي [g (x) = int_ <-2> ^ 1 (x ^ 3 + y ^ 2 + 1) ، dy. ] لأي (x_0 ) ، نعتقد أن (g (x_0) ) يعطينا مساحة الشريحة عند (x = x_0 ). على سبيل المثال ، [g (-1/2) = int_ <-2> ^ 1 (y ^ 2 + 7/8) ، dy ] يعطي مساحة الشريحة عند (x = -1 / 2 ):

لاحظ أن الجزء العلوي من الشريحة يشبه القطع المكافئ بالفعل ، إنه القطع المكافئ (z = f (-1 / 2 ، y) = y ^ 2 + y / 8 ) ، التكامل الذي يظهر في (g (- 1/2) ).

دعونا نتتبع مساحة كل شريحة ونحن نكتسح من (x = -1 ) إلى (x = 1 ). في الرسم المتحرك أدناه ، يوضح المنحنى الأحمر خلف السطح مساحة الشريحة كدالة في (س ). بمعنى آخر ، المنحنى الأحمر هو الرسم البياني للدالة (متغير واحد) (z = g (x) ).

هذا المنحنى يشبه الرسم البياني لكثير الحدود التكعيبي ، وهو في الواقع الرسم البياني لـ [z = g (x) = int_ <-2> ^ 1 (x ^ 3 + y ^ 2 + 1) ، dy = 3x ^ 3 + 6. ]

مزيد من الأسئلة

  1. اعمل في هذا المثال مرة أخرى باستخدام الترتيب الآخر للتكاملات التي توفرها نظرية Fubini ، ( int_ <-2> ^ 1 int_ <-1> ^ 1 (x ^ 3 + y ^ 2 + 1) ، dx ، dy ).
  2. بهذا الترتيب ، تكون الشرائح لدينا الآن في قيم (y ) - ثابتة. كيف يبدو الجزء العلوي من كل شريحة؟ فكر في إجابتك بيانياً وكذلك رمزياً.
  3. مرة أخرى بترتيب التكامل هذا ، إذا تخيلنا رسم مساحة كل شريحة كدالة لـ (y ) ، ما نوع المنحنى الذي نحصل عليه؟ فكر في إجابتك بيانياً وكذلك رمزياً.

استخدام عرض الرياضيات

تم إنشاء جميع الرسومات الموجودة في هذه الصفحة بواسطة دفتر Mathematica 15_2IteratedIntegrals.nb.

يُنشئ دفتر الملاحظات هذا صورًا ورسومًا متحركة مثل تلك الموجودة في هذه الصفحة لأي تكامل (f (x، y) ) وأي حدود. بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك التبديل بين تشغيل وإيقاف عناصر مختلفة في الصور ، ويمكنك اختيار ما إذا كنت ستأخذ الشرائح كقيم ثابتة (س ) - أو قيم ثابتة (ص ) - باختيار أيهما يجب اعتباره التكامل الداخلي .

كتمرين ، استخدم دفتر الملاحظات لتقديم إجابات رسومية واضحة على السؤالين 2 و 3 أعلاه. هل يمكنك التوصل إلى تكامل (f (x، y) ) بحيث تكون الإجابات على السؤالين 2 و 3 وظائف خطية؟ جيبي؟ متسارع؟ هل يمكنك إيجاد التكامل بحيث تكون الشرائح في اتجاه ما جيبية ، والشرائح في اتجاه آخر خطية؟


التكاملات المتكررة

أقوى أداة لتقييم التكاملات المزدوجة هي نظرية Fubini & # 8217s. إنه لا يعمل مع منطقة عامة (R ) ولكن لبعض المناطق الخاصة التي نسميها مناطق من النوع (I ) أو النوع (II ).

التعريف (1. )

يُقال أن المنطقة المستوية (R ) من النوع (I ) إذا كانت تقع بين الرسوم البيانية لوظيفتين مستمرتين من (س ) (الشكل (1 )) ، أي

التعريف (2. )

يقال إن المنطقة المستوية (R ) من النوع (II ) إذا كانت تقع بين الرسوم البيانية لوظيفتين مستمرتين لـ (y ) (الشكل (2 )) ، أي

نظرية Fubini & # 8217s

دع (و يسار ( right) ) هي دالة مستمرة على نوع (I ) منطقة (R ) مثل ذلك

ثم التكامل المزدوج لـ (f left ( right) ) في هذه المنطقة من حيث التكامل المتكرر:

لمنطقة من النوع (II ) لدينا نفس النظرية:

إذا (و يسار ( right) ) هي دالة مستمرة على نوع (II ) منطقة (R ) مثل ذلك

وبالتالي ، تسمح نظرية Fubini & # 8217s بحساب التكاملات المزدوجة من خلال التكاملات المتكررة. لإيجاد تكامل متكرر ، نجد أولاً التكامل الداخلي ثم التكامل الخارجي.


انسايت الرياضيات

الفعلية تعريف of & lsquointegral & rsquo هي بمثابة حد للمبالغ ، والتي يمكن أن يُنظر إليها بسهولة على أنها تتعلق منطقة. كانت إحدى القضايا الأصلية التي كان من المفترض أن تعالجها التكاملات هي حساب المنطقة.

أولا نحن بحاجة إلى مزيد من التدوين. افترض أن لدينا دالة $ f $ تكاملها هو دالة أخرى $ F $: $ int f (x) dx = F (x) + C $ دعنا $ a ، b $ رقمان. ثم لا يتجزأ من $ f $ بحدود $ a، b $ هو $ int_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a) $ الجانب الأيسر من هذه المساواة هو فقط الرموز للتكامل المحدد. استخدام الكلمة & lsquolimit & rsquo هنا لا علاقة له باستخدامنا السابق للكلمة ، ويعني شيئًا يشبه & lsquoboundary & rsquo ، تمامًا كما هو الحال في اللغة الإنجليزية العادية.

تدوين مشابه هو كتابة $ [g (x)] _ a ^ b = g (b) -g (a) $ لأي دالة $ g $. لذا يمكننا أيضًا كتابة $ int_a ^ b f (x) dx = [F (x)] _ a ^ b $

سيتم استدعاء جميع التكاملات الأخرى التي قمنا بها سابقًا تكاملات غير محددة حيث لم يكن لديهم & lsquolimits & rsquo $ a ، b $. لذا أ واضح التكامل هو الفرق بين قيمتين للدالة المعطاة من قبل غير محدد متكامل. أي أنه لا يوجد شيء جديد هنا باستثناء فكرة تقييم الدالة التي نحصل عليها من خلال التكامل.

لكننا الآن تستطيع افعل شيئًا جديدًا: احسب المناطق:

على سبيل المثال ، إذا كانت الوظيفة $ f $ هي إيجابي على الفاصل الزمني $ [a، b] $ ، ثم $ int_a ^ bf (x) dx = hbox <المنطقة الواقعة بين الرسم البياني والمحور $ x $ ، بين $ x = a $ و $ x = b $> $ من المهم أن تكون الوظيفة إيجابي، أو أن النتيجة خاطئة.

على سبيل المثال ، نظرًا لأن $ y = x ^ 2 $ هو بالتأكيد إيجابي دائمًا (أو على الأقل غير سلبي ، وهو ما يكفي حقًا) ، فإن المنطقة & lsquounder the curve & rsquo (وضمنًا ، أعلى $ x $ - المحور) بين $ x = 0 $ و $ x = 1 $ تساوي $ int_0 ^ 1 x ^ 2 dx = biggl [ biggr] _0 ^ 1 = <1 ^ 3-0 ^ 3 أكثر من 3> = <1 أكثر من 3> دولار

بشكل عام، المنطقة التي تقل عن $ y = f (x) $ ، أعلى $ y = g (x) $ ، وبين $ x = a $ و $ x = b $ تساوي يبدأ hbox & amp = int_a ^ b f (x) -g (x) dx & amp = int _ < textit> ^ < textit> ( text) dx end من المهم أن $ f (x) ge g (x) $ طوال الفترة $ [a، b] $.

على سبيل المثال ، المنطقة الواقعة أسفل $ y = e ^ x $ وما فوق $ y = x $ ، وبين $ x = 0 $ و $ x = 2 $ هي $ int_0 ^ 2 e ^ xx dx = biggl [e ^ س- biggr] _0 ^ 2 = (e ^ 2-2) - (e ^ 0-0) = e ^ 2 + 1 $ حيث أنه من الصحيح حقًا أن $ e ^ x ge x $ على الفاصل الزمني $ [0 ، 2] $.

نظرًا لأن الشخص قد يتساءل ، فقد لا يكون من السهل بشكل عام معرفة ما إذا كان الرسم البياني لأحد المنحنيات أعلى أو أسفل الآخر. إجراء فحص الموقف كالتالي: بالنظر إلى وظيفتين $ f ، g $ ، للعثور على الفواصل الزمنية التي يكون فيها $ f (x) le g (x) $ والعكس بالعكس:

  • أوجد مواضع تقاطع الرسوم البيانية من خلال حل $ f (x) = g (x) $ لـ $ x $ لإيجاد إحداثيات نقاط التقاطع $ x $.
  • بين أي حلين $ x_1 ، x_2 $ من $ f (x) = g (x) $ (وأيضًا إلى اليسار واليمين من أقصى اليسار وأقصى اليمين!) ، عوض واحد نقطة مساعدة من اختيارك لمعرفة الوظيفة الأكبر.

بالطبع ، هذا الإجراء يعمل لسبب مشابه لأن أول اختبار مشتق بالنسبة للحدود الدنيا والحد الأقصى المحلية التي تم العمل بها: نفترض ضمنيًا أن $ f $ و $ g $ هما مستمر، لذلك إذا كان الرسم البياني لأحدهما أعلى الرسم البياني للآخر ، فإن الموقف لا يمكنه ذلك يعكس نفسها بدون الرسوم البيانية في الواقع العبور.

كمثال ، وكمثال على دقة معينة في الصياغة ، ضع في اعتبارك مشكلة أوجد المساحة بين $ y = x $ و $ y = x ^ 2 $ مع le x le 2 $. لمعرفة أين $ y = x $ و $ y = x ^ 2 $ تعبر، حل $ x = x ^ 2 $: نجد الحلول $ x = 0،1 $. في المشكلة الحالية لا نهتم بما يحدث على يسار الدولار. بإدخال القيمة $ 1/2 $ كنقطة مساعدة بين $ و $ 1 $ ، نحصل على $ <1 over 2> ge (<1 over 2>) ^ 2 $ ، لذلك نرى ذلك في $ [0،1 ] $ المنحنى $ y = x $ هو الأعلى. على يمين $ 1 $ ، قمنا بتوصيل النقطة المساعدة $ 2 $ ، للحصول على $ 2 ^ 2 ge 2 $ ، لذلك يكون المنحنى $ y = x ^ 2 $ أعلى هناك.

لذلك ، يجب تقسيم المنطقة الواقعة بين المنحنيين إلى جزأين: $ hbox = int_0 ^ 1 (xx ^ 2) dx + int_1 ^ 2 (x ^ 2-x) dx $ بما أننا يجب أن يتم الدمج دائمًا بالصيغة $ int _ < textit> ^ < textit> hbox dx $

في بعض الحالات تكون حدود & lsquoside & rsquo زائدة عن الحاجة أو فقط ضمني. على سبيل المثال ، قد يكون السؤال هو أوجد المساحة بين المنحنيات $ y = 2-x $ و $ y = x ^ 2 $. ما يعنيه هنا هو أن هذين المنحنيين نفسيهما يشتملان على واحد أو أكثر محدود قطعة من المساحة ، دون الحاجة إلى أي حدود & lsquoside & rsquo للنموذج $ x = a $. أولاً ، نحتاج إلى معرفة مكان تقاطع المنحنيين ، عن طريق حل $ 2-x = x ^ 2 $: الحلول هي $ x = -2،1 $. لذلك نحن المخاطر أنه من المفترض أن نجد المساحة من $ x = -2 $ إلى $ x = 1 $ ، وهذا المنحنيان عن قرب حول هذا الجزء من المنطقة دون الحاجة إلى مساعدة من الخطوط الرأسية $ x = a $. نحتاج إلى إيجاد المنحنى الأعلى: بالتعويض عن النقطة $ بين $ -2 $ و $ 1 $ ، نرى أن $ y = 2-x $ أعلى. وبالتالي ، فإن التكامل المطلوب هو $ hbox = int_ <-2> ^ 1 (2-x) -x ^ 2 dx. $


ستيوارت حساب التفاضل والتكامل 7e حلول الفصل 15 تمرين التكاملات المتعددة 15.1

الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 1E




الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 3E



x

الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 4E



الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 6E



الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 7E







الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 8E





الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 9E

الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 10E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 11E

الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 12E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 13E



الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 14E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 15E








الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 16E











الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 17E



الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.1 18E



حساب التفاضل والتكامل النشط - متعدد المتغيرات

كيف نحدد التكامل المزدوج على منطقة غير مستطيلة؟

ما الشكل العام الذي يمتلكه التكامل المتكرر على منطقة غير مستطيلة؟

تذكر أننا حددنا التكامل المزدوج للدالة المستمرة (f = f (x، y) ) على مستطيل (R = [a، b] times [c، d] )

حيث يكون الترميز كما هو موضح في القسم 11.1. علاوة على ذلك ، رأينا أنه يمكننا تقييم تكامل مزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) over (R ) باعتباره تكاملًا متكررًا لأي من النموذجين

من الطبيعي أن نتساءل كيف يمكننا تعريف وتقييم تكامل مزدوج على منطقة غير مستطيلة نستكشف أحد الأمثلة في نشاط المعاينة التالي.

معاينة النشاط 11.3.1.

رباعي الوجوه هو شكل ثلاثي الأبعاد له أربعة أوجه ، كل منها مثلث. صورة الرباعي السطوح (T ) برؤوس ((0،0،0) نص <،> ) ((1،0،0) نص <،> ) ((0،1 ، 0) text <،> ) و ((0،0،1) ) على اليسار في الشكل 11.3.1. إذا وضعنا رأسًا واحدًا في الأصل وتركنا المتجهات ( va text <،> ) ( vb text <،> ) و ( vc ) تحدد بحواف رباعي السطوح التي لها أحد طرفي الأصل ، ثم الصيغة التي تخبرنا بحجم (V ) رباعي السطوح هي

استخدم الصيغة (11.3.1) لإيجاد حجم رباعي السطوح (T text <.> )

بدلاً من الحفظ أو البحث عن صيغة حجم رباعي السطوح ، يمكننا استخدام تكامل مزدوج لحساب حجم رباعي السطوح (T text <.> ) لمعرفة كيف ، لاحظ أن الوجه العلوي من رباعي السطوح (T ) هو المستوى الذي تكون معادلته

بشرط أن نتمكن من استخدام تكامل متكرر في منطقة غير مستطيلة ، فسيتم إعطاء حجم رباعي الوجوه بواسطة تكامل متكرر من النموذج

المشكلة الجديدة هنا هي كيف نجد حدود التكاملات مع ملاحظة أن حدود التكامل الخارجي موجودة في (x text <،> ) بينما الحدود الداخلية في (y text <،> ) منذ ذلك الحين لقد اخترنا (dA = dy ، dx text <.> ) لرؤية المجال الذي نحتاج إلى التكامل عليه ، فكر في وضع الوقوف فوق رباعي الوجوه بالنظر إليه مباشرة ، مما يعني أننا نقوم بإسقاط رباعي السطوح بأكمله على الطائرة (س ص ). المجال الناتج هو المنطقة المثلثية الموضحة على اليمين في الشكل 11.3.1. اشرح لماذا يمكننا تمثيل منطقة المثلث بالمتباينات

(تلميح: ضع في اعتبارك شريحة المقطع العرضي الموضحة على اليمين في الشكل 11.3.1.)

اشرح لماذا من المنطقي الآن كتابة الحجم المتكامل بالصيغة

استخدم النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل لحساب التكامل المتكرر

وقارن بنتائجك من الجزء (أ). (كما هو الحال مع التكاملات المتكررة على مناطق مستطيلة ، ابدأ بالتكامل الداخلي.)

القسم الفرعي 11.3.1 التكاملات المزدوجة فوق المناطق العامة

حتى الآن ، تعلمنا أن التكامل المزدوج على منطقة مستطيلة يمكن تفسيره بإحدى طريقتين:

( iint_R f (x، y) ، dA ) يخبرنا بحجم المواد الصلبة الرسم البياني (f ) الحدود فوق (xy ) - الطائرة فوق المستطيل (R ) ناقص حجم المواد الصلبة الرسم البياني (f ) حدود أسفل (س ص ) - مستوى أسفل المستطيل (ص نص <> )

( فارك <1> iint_R f (x، y) ، dA text <،> ) حيث (A (R) ) هي مساحة (R ) تخبرنا بمتوسط ​​قيمة الوظيفة (f ) في (R text <.> ) إذا (f (x، y) geq 0 ) في (R text <،> ) يمكننا تفسير متوسط ​​قيمة (f ) في ( R ) مثل ارتفاع المربع الذي يحتوي على القاعدة (R ) التي لها نفس حجم حجم السطح المحدد بواسطة (f ) فوق (R text <.> )

كما رأينا في نشاط المعاينة 11.1.1 ، يمكن اعتبار دالة (f = f (x، y) ) على مناطق بخلاف المناطق المستطيلة ، وبالتالي نريد أن نفهم كيفية إعداد وتقييم التكاملات المزدوجة على non مناطق مستطيلة. لاحظ أنه إذا استطعنا ، فإن تفسيري التكامل المزدوج المذكورين أعلاه سيمتدان بشكل طبيعي إلى المناطق الصلبة ذات القواعد غير المستطيلة.

لذلك ، افترض أن (f ) هي دالة مستمرة في مجال مغلق ومحدود (D text <.> ) على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك (D ) على أنه المجال الدائري الموضح على اليسار في الشكل 11.3.2.

يمكننا إرفاق (D ) في مجال مستطيل (R ) كما هو موضح على اليمين في الشكل 11.3.2 وتوسيع الوظيفة (f ) ليتم تعريفها على (R ) حتى نتمكن من استخدم تعريف التكامل المزدوج على مستطيل. نمد (f ) بطريقة تجعل قيمه عند النقاط في (R ) غير الموجودة في (D ) تساهم بقيمة 0 في قيمة التكامل. بمعنى آخر ، حدد دالة (F = F (x، y) ) على (R ) كـ

نقول بعد ذلك أن التكامل المزدوج لـ (f ) over (D ) هو نفسه التكامل المزدوج لـ (F ) over (R text <،> ) وبالتالي

في الممارسة العملية ، نتجاهل كل ما هو موجود في (R ) ولكن ليس في (D text <،> ) لأن هذه المناطق تساهم بـ 0 في قيمة التكامل.

تمامًا كما هو الحال مع التكاملات المزدوجة على المستطيلات ، يمكن تقييم التكامل المزدوج على المجال (D ) على أنه تكامل متكرر. إذا كان بالإمكان وصف المنطقة (D ) من خلال المتباينات (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ) و (a leq x leq b text <،> ) حيث (g_1 = g_1 (x) ) و (g_2 = g_2 (x) ) هي وظائف فقط (x text <،> ) ثم

بدلاً من ذلك ، إذا تم وصف المنطقة (D ) بواسطة المتباينات (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ) و (c leq y leq d text <،> ) حيث (h_1 = h_1 (y) ) و (h_2 = h_2 (y) ) هي وظائف فقط (y text <،> ) لدينا

يعتبر هيكل التكامل المتكرر ذا أهمية خاصة:

في تكامل مزدوج مكرر:

يجب أن تكون حدود التكامل الخارجي ثوابت

يجب أن تكون حدود التكامل الداخلي ثوابت أو من حيث المتغير المتبقي فقط - أي إذا كان التكامل الداخلي متعلقًا بـ (y text <،> ) فإن حدوده قد تشمل فقط (x ) والثوابت والعكس صحيح.

سننظر بعد ذلك في مثال مفصل.

مثال 11.3.3.

دع (f (x، y) = x ^ 2y ) يتم تعريفه على المثلث (D ) برؤوس ((0،0) text <،> ) ((2،0) text <،> ) و ((2،3) ) كما هو موضح على اليسار في الشكل 11.3.4.

لتقييم ( iint_D f (x، y) ، dA text <،> ) يجب علينا أولاً وصف المنطقة (D ) من حيث المتغيرات (x ) و (y text < .> ) نحن نأخذ طريقتين.

المقاربة 1: الدمج أولاً فيما يتعلق بـ (y text <.> )

في هذه الحالة ، اخترنا تقييم التكامل المزدوج باعتباره تكاملًا متكررًا في الصورة

وبالتالي نحن بحاجة إلى وصف (د ) من حيث عدم المساواة

نظرًا لأننا نتكامل فيما يتعلق بـ (y ) أولاً ، فإن التكامل المتكرر له الشكل

حيث (A (x) ) هي منطقة مقطعية في اتجاه (ص ). لذلك نحن نقوم بتقطيع المجال بشكل عمودي على المحور (x ) - ونريد أن نفهم كيف ستبدو مساحة المقطع العرضي للمادة الصلبة الكلية. تظهر عدة شرائح من المجال في الصورة الوسطى في الشكل 11.3.4. على شريحة ذات قيمة (س ) ثابتة ، يتم تقييد قيم (ص ) أدناه بمقدار 0 وما فوق بإحداثي (ص ) على وتر المثلث الأيمن. وبالتالي ، (g_1 (x) = 0 text <> ) لإيجاد (y = g_2 (x) text <،> ) نحتاج إلى كتابة الوتر كدالة لـ (x text <. > ) يربط الوتر النقطتين (0،0) و (2،3) وبالتالي يحتوي على معادلة (y = frac <3> <2> x text <.> ) وهذا يعطي الحد الأعلى على (y ) كـ (g_2 (x) = frac <3> <2> x text <.> ) المقطع العرضي الرأسي الموجود في أقصى اليسار عند (x = 0 ) وأقصى اليمين عند ( س = 2 نص <،> ) لذلك لدينا (أ = 0 ) و (ب = 2 نص <.> ) لذلك ،

نقيم التكامل المتكرر عن طريق تطبيق النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل أولاً على التكامل الداخلي ، ثم على التكامل الخارجي ، ونجد ذلك

في هذه الحالة ، اخترنا تقييم التكامل المزدوج باعتباره تكاملًا متكررًا في الصورة

وبالتالي تحتاج إلى وصف (د ) من حيث عدم المساواة

نظرًا لأننا نتكامل فيما يتعلق بـ (x ) أولاً ، فإن التكامل المتكرر له الشكل

حيث (A (y) ) هي مساحة المقطع العرضي للمادة الصلبة في اتجاه (x ).تظهر عدة شرائح من المجال - عموديًا على المحور (y ) - على اليمين في الشكل 11.3.4. على شريحة ذات قيمة (y ) ثابتة ، يتم تقييد قيم (x ) أدناه بإحداثي (x ) على وتر المثلث الأيمن والأعلى بمقدار 2. لذا (h_2 (y) = 2 text <> ) لإيجاد (h_1 (y) text <،> ) نحتاج إلى كتابة الوتر كدالة لـ (y text <.> ) حل المعادلة السابقة التي لدينا من أجل الوتر ( (y = frac32 x )) لـ (x ) يعطينا (x = frac <2> <3> y text <.> ) هذا يجعل (h_1 (y) = frac <2> <3> y text <.> ) أدنى مقطع عرضي أفقي عند (y = 0 ) والأعلى عند (y = 3 text <،> ) لذلك لدينا (ج = 0 ) و (د = 3 نص <.> ) لذلك ،

نقوم بتقييم التكامل المتكرر الناتج كما في السابق عن طريق تطبيق النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل مرتين ، ووجدنا ذلك

نرى ، بالطبع ، أنه في الحالة التي يمكن فيها وصف (D ) بطريقتين مختلفتين ، لا يهم الترتيب الذي نختار به إعداد وتقييم التكامل المزدوج ، وتؤدي نفس القيمة إلى أي منهما قضية.

يوازي معنى التكامل المزدوج على منطقة غير مستطيلة (D text <،> ) المعنى فوق منطقة مستطيلة. خاصه،

( iint_D f (x، y) ، dA ) يخبرنا بحجم المواد الصلبة الرسم البياني (f ) الحدود فوق (xy ) - الطائرة فوق المنطقة المغلقة والمحدودة (D ) ) ناقص حجم المواد الصلبة الرسم البياني (f ) الحدود أسفل (xy ) - المستوى الموجود أسفل المنطقة (D text <> )

( فارك <1> iint_R f (x، y) ، dA text <،> ) حيث (A (D) ) هي مساحة (D ) تخبرنا بمتوسط ​​قيمة الوظيفة (f ) في (D text <.> ) إذا (f (x، y) geq 0 ) في (D text <،> ) يمكننا تفسير متوسط ​​قيمة (f ) في ( D ) مثل ارتفاع المادة الصلبة مع القاعدة (D ) ومنطقة المقطع العرضي الثابتة (D ) التي لها نفس حجم السطح المحدد بواسطة (f ) فوق (D ) نص <.> )

النشاط 11.3.2.

ضع في اعتبارك التكامل المزدوج ( iint_D (4-x-2y) ، dA text <،> ) حيث (D ) هي المنطقة المثلثية ذات الرؤوس (0،0) ، (4،0) ، و (0،2).

اكتب التكامل المعطى كتكامل متكرر من النموذج ( iint_D (4-x-2y) ، dy ، dx text <.> ) ارسم صورة معنونة لـ (D ) مع المقاطع العرضية ذات الصلة.

اكتب التكامل المعطى كتكامل متكرر من النموذج ( iint_D (4-x-2y) ، dx ، dy text <.> ) ارسم صورة معنونة لـ (D ) مع المقاطع العرضية ذات الصلة.

قم بتقييم التكاملين المتكررين من (أ) و (ب) ، وتحقق من أنهما ينتجان نفس القيمة. قدم تفسيرًا واحدًا على الأقل لمعنى نتيجتك.

النشاط 11.3.3.

ضع في اعتبارك التكامل المتكرر ( int_^ int_^<>> (4x + 10y) ، dy ، dx text <.> )

ارسم منطقة التكامل ، (D text <،> ) من أجلها

حدد التكامل المكافئ المتكرر الناتج عن التكامل بالترتيب المعاكس ( (dx ، dy text <،> ) بدلاً من (dy ، dx )). أي تحديد حدود التكامل من أجلها

احسب أحد التكاملات المتكررة أعلاه. اشرح ما تخبرك به القيمة التي حصلت عليها.

قم بإعداد وتقييم تكامل واحد محدد لتحديد المساحة الدقيقة لـ (D text <،> ) (A (D) text <.> )

حدد القيمة المتوسطة الدقيقة لـ (f (x، y) = 4x + 10y ) over (D text <.> )

النشاط 11.3.4.

ضع في اعتبارك التكامل المتكرر ( int_^ int_^ ه ^ ، dy ، dx text <.> )

اشرح لماذا لا يمكننا إيجاد مشتق عكسي بسيط لـ (e ^) فيما يتعلق بـ (y text <،> ) وبالتالي لا يمكن تقييم ( int_^ int_^ ه ^ ، dy ، dx ) بالترتيب المشار إليه باستخدام النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.

بالنظر إلى أن ( iint_D e ^ ، dA = int_^ int_^ ه ^ ، dy ، dx text <،> ) ارسم منطقة التكامل ، (D text <.> )

أعد كتابة التكامل المعطى بالترتيب المعاكس باستخدام (dA = dx ، dy text <.> ) (تلميح: قد تحتاج إلى أكثر من تكامل.)

استخدم النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل لتقييم التكامل المتكرر الذي طورته في (د). اكتب جملة واحدة لشرح معنى القيمة التي وجدتها.

ما هو الدرس المهم الذي يقدمه هذا النشاط فيما يتعلق بالترتيب الذي نضع فيه التكامل المتكرر؟

ملخص القسم الفرعي 11.3.2

للتكامل المزدوج ( iint_D f (x، y) ، dA ) فوق منطقة غير مستطيلة (D text <،> ) نرفق (D ) في مستطيل (R ) ثم قم بتمديد التكامل و (f ) إلى دالة (F ) بحيث (F (x ، y) = 0 ) في جميع النقاط في (R ) خارج (D ) و ( F (x، y) = f (x، y) ) لجميع النقاط في (D text <.> ) ثم نحدد ( iint_D f (x، y) ، dA ) لتكون متساوية إلى ( iint_R F (x، y) ، dA text <.> )

في التكامل المزدوج المتكرر ، يجب أن تكون حدود التكامل الخارجي ثوابت بينما يجب أن تكون الحدود على التكامل الداخلي ثوابت أو من حيث المتغير المتبقي فقط. بعبارة أخرى ، التكامل المزدوج المتكرر له أحد الأشكال التالية (والذي ينتج عنه نفس القيمة):

حيث (g_1 = g_1 (x) ) و (g_2 = g_2 (x) ) هي دوال لـ (x ) فقط والمنطقة (D ) موصوفة بالتباينات (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ) و (a leq x leq b ) أو

حيث (h_1 = h_1 (y) ) و (h_2 = h_2 (y) ) هي وظائف (y ) فقط والمنطقة (D ) موصوفة بالتباينات (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ) و (c leq y leq d text <.> )


شاهد الفيديو: المساحة بين منحنيين تطبيقات التكامل حصة 5 (ديسمبر 2021).