مقالات

12.3: طول القوس في الفضاء - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حدد طول مسار الجسيم في الفضاء باستخدام دالة طول القوس.
  • اشرح معنى انحناء المنحنى في الفضاء واذكر صيغته.
  • صف معنى المتجهات العادية وثنائية الشكل لمنحنى في الفضاء.

في هذا القسم ، ندرس الصيغ المتعلقة بالمنحنيات في بعدين وثلاثة أبعاد ، ونرى كيف ترتبط بخصائص مختلفة لنفس المنحنى. على سبيل المثال ، افترض أن دالة ذات قيمة متجهة تصف حركة الجسيم في الفضاء. نود تحديد المسافة التي قطعها الجسيم خلال فترة زمنية معينة ، والتي يمكن وصفها بطول القوس للمسار الذي يتبعه. أو افترض أن الدالة ذات القيمة المتجهية تصف طريقًا نقوم ببنائه ونريد تحديد مدى حدة منحنيات الطريق عند نقطة معينة. يتم وصف ذلك من خلال انحناء الوظيفة في تلك المرحلة. نستكشف كل من هذه المفاهيم في هذا القسم.

طول القوس لوظائف المتجهات

لقد رأينا كيف تصف دالة ذات قيمة متجهة منحنى في بعدين أو ثلاثة أبعاد. تذكر أن صيغة طول قوس المنحنى المحدد بواسطة الدوال البارامترية (x = x (t) ، y = y (t) ، t_1≤t≤t_2 ) تُعطى بواسطة

[s = int ^ {t_2} _ {t_1} sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} dt. لا يوجد رقم]

بطريقة مماثلة ، إذا حددنا منحنى سلس باستخدام دالة ذات قيمة متجهة ( vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} ) ، حيث (a≤t≤b ) ، يتم إعطاء طول القوس بواسطة الصيغة

[s = int ^ {b} _ {a} sqrt {(f ′ (t)) ^ 2+ (g ′ (t)) ^ 2} dt. لا يوجد رقم]

في ثلاثة أبعاد ، إذا تم وصف الدالة ذات القيمة المتجهة بواسطة ( vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf { j}} + h (t) ، hat { mathbf {k}} ) على نفس الفترة (a≤t≤b ) ، طول القوس يُعطى بواسطة

[s = int ^ {b} _ {a} sqrt {(f ′ (t)) ^ 2+ (g ′ (t)) ^ 2+ (h ′ (t)) ^ 2} dt. لا يوجد رقم]

نظرية: صيغ طول القوس لمنحنيات المستوى والفضاء

منحنى مستوي: بالنظر إلى منحنى سلس (C ) تحدده الوظيفة ( vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} ) ، حيث (t ) يقع ضمن الفاصل ([a، b] ) ، طول القوس (C ) خلال الفترة الزمنية هو

[ start {align} s & = int ^ {b} _ {a} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt. التسمية {Arc2D} نهاية {محاذاة} ]

منحنى الفضاء: بالنظر إلى منحنى سلس (C ) تحدده الوظيفة ( vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} + h (t) ، hat { mathbf {k}} ) ، حيث (t ) يقع داخل الفاصل ([a، b] ) ، طول القوس (C ) خلال الفاصل الزمني هو

[ start {align} s & = int ^ {b} _ {a} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2+ [h ′ (t)] ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt. التسمية {Arc3D} نهاية {محاذاة} ]

الصيغتان متشابهتان للغاية ؛ إنها تختلف فقط في حقيقة أن منحنى الفضاء له ثلاث وظائف مكونة بدلاً من وظيفتين. لاحظ أن الصيغ محددة للمنحنيات المتجانسة: المنحنيات التي تكون فيها الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) ) قابلة للتفاضل بمشتق غير صفري. تضمن حالة النعومة عدم احتواء المنحنى على شرفات (أو زوايا) يمكن أن تجعل الصيغة إشكالية.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد طول القوس

احسب طول القوس لكل من الوظائف ذات القيمة المتجهية التالية:

  1. ( vecs r (t) = (3t − 2) ، hat { mathbf {i}} + (4t + 5) ، hat { mathbf {j}}، quad 1≤t≤5 )
  2. ( vecs r (t) = ⟨t cos t، t sin t، 2t⟩، 0≤t≤2 pi )

حل

  1. باستخدام المعادلة ref {Arc2D}، ( vecs r ′ (t) = 3 ، hat { mathbf {i}} + 4 ، hat { mathbf {j}} ) ، لذلك

    [ start {align *} s & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt [4pt] & = int ^ {5} _ {1} sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {5} _ {1} 5 dt = 5t big | ^ {5} _ {1} = 20. end { محاذاة *} ]

  2. باستخدام المعادلة المرجع {Arc3D} ، ( vecs r ′ (t) = ⟨ cos t − t sin t، sin t + t cos t، 2⟩ ) ، لذلك

    [ start {align *} s & = int ^ {b} _ {a} ∥ vecs r ′ (t) ∥dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {( cos t − t sin t) ^ 2 + ( sin t + t cos t) ^ 2 + 2 ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {( cos ^ 2 t − 2t sin t cos t + t ^ 2 sin ^ 2 t) + ( sin ^ 2 t + 2t sin t cos t + t ^ 2 cos ^ 2 t) +4} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt { cos ^ 2 t + sin ^ 2 t + t ^ 2 ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t) +4} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {t ^ 2 + 5} dt end {align *} ]

    هنا يمكننا استخدام صيغة تكامل الجدول

    [ int sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} du = dfrac {u} {2} sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} + dfrac {a ^ 2} {2} ln ، يسار | ، u + sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} ، يمين | + C ، غير رقم ]

    لذلك نحصل عليها

    [ begin {align *} int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {t ^ 2 + 5} dt ؛ & = frac {1} {2} bigg (t sqrt {t ^ 2 + 5} +5 ln ، left | t + sqrt {t ^ 2 + 5} right | bigg) _0 ^ {2π} [4pt] & = frac {1} {2} bigg (2π sqrt {4π ^ 2 + 5} +5 ln bigg (2π + sqrt {4π ^ 2 + 5} bigg) bigg) - frac {5} {2} ln sqrt {5} [4pt] & ≈25.343 ، text {Units}. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

احسب طول قوس المنحنى المحدد

[ vecs r (t) = ⟨2t ^ 2 + 1،2t ^ 2−1، t ^ 3⟩، quad 0≤t≤3. لا يوجد رقم]

تلميح

استخدم المعادلة المرجع {Arc3D}.

إجابه

( vecs r ′ (t) = ⟨4t، 4t، 3t ^ 2⟩، ) لذا (s = frac {1} {27} (113 ^ {3/2} −32 ^ {3/2 }) ≈37.785 ) وحدة

نعود الآن إلى الحلزون المقدم سابقًا في هذا الفصل. يمكن كتابة دالة ذات قيمة متجهة تصف الحلزون في النموذج

[ vecs r (t) = R cos left ( dfrac {2πNt} {h} right) ، hat { mathbf {i}} + R sin left ( dfrac {2πNt} { h} right) ، hat { mathbf {j}} + t ، hat { mathbf {k}}، 0≤t≤h، nonumber ]

حيث يمثل (R ) نصف قطر اللولب ، (ح ) يمثل الارتفاع (المسافة بين دورتين متتاليتين) ، ويكمل اللولب (N ) المنعطفات. دعنا نشتق صيغة لطول قوس هذا اللولب باستخدام المعادلة المرجع {Arc3D}. أولا،

[ vecs r ′ (t) = - dfrac {2πNR} {h} sin left ( dfrac {2πNt} {h} right) ، hat { mathbf {i}} + dfrac { 2πNR} {h} cos left ( dfrac {2πNt} {h} right) ، hat { mathbf {j}} + ، hat { mathbf {k}}. لا يوجد رقم]

لذلك،

[ start {align *} s & = int_a ^ b ‖ vecs r ′ (t) ‖dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { bigg (- dfrac {2πNR} {h } sin bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) ^ 2 + bigg ( dfrac {2πNR} {h} cos bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) ^ 2 + 1 ^ 2} dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} bigg ( sin ^ 2 bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) + cos ^ 2 bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) +1} dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} +1} dt [4pt] & = bigg [t sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} +1} bigg] ^ h_0 [4pt] & = h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2 + h ^ 2} {h ^ 2}} [4pt] & = sqrt {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2 + h ^ 2}. end {align *} ]

هذا يعطي صيغة لطول السلك اللازم لتشكيل حلزون مع (N ) المنعطفات التي لها نصف قطر (R ) وارتفاع (ح ).

معلمة طول القوس

لدينا الآن صيغة لطول القوس لمنحنى محدد بواسطة دالة ذات قيمة متجهة. دعونا نأخذ هذه الخطوة إلى الأمام ونفحص ما دالة طول القوس هو.

إذا كانت دالة ذات قيمة متجه تمثل موضع جسيم في الفضاء كدالة للوقت ، فإن دالة طول القوس تقيس المسافة التي ينتقل بها هذا الجسيم كدالة للوقت. تتبع صيغة دالة طول القوس مباشرة من صيغة طول القوس:

[s = int ^ {t} _ {a} sqrt {(f ′ (u)) ^ 2+ (g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (u)) ^ 2} du. تسمية {arclength2} ]

إذا كان المنحنى في بعدين ، فسيظهر حدان فقط تحت الجذر التربيعي داخل التكامل. سبب استخدام المتغير المستقل ش هو التمييز بين الوقت ومتغير التكامل. نظرًا لأن (s (t) ) يقيس المسافة المقطوعة كدالة للوقت ، (s ′ (t) ) يقيس سرعة الجسيم في أي وقت. نظرًا لأن لدينا صيغة (s (t) ) في المعادلة المرجع {arclength2} ، يمكننا التفريق بين طرفي المعادلة:

[ start {align *} s ′ (t) & = dfrac {d} {dt} bigg [ int ^ {t} _ {a} sqrt {(f ′ (u)) ^ 2+ ( g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (u)) ^ 2} du bigg] [4pt] & = dfrac {d} {dt} bigg [ int ^ {t} _ {a } ‖ vecs r ′ (u) ‖du bigg] [4pt] & = | vecs r ′ (t) |. end {align *} ]

إذا افترضنا أن ( vecs r (t) ) يحدد منحنى سلس ، فإن طول القوس يتزايد دائمًا ، لذلك (s ′ (t)> 0 ) لـ (t> a ). أخيرًا ، إذا كان ( vecs r (t) ) منحنى ( | vecs r ′ (t) | = 1 ) للجميع (t ) ، إذن

[s (t) = int ^ {t} _ {a} ‖ vecs r ′ (u) ‖ ، du = int ^ {t} _ {a} 1 ، du = t − a، لا يوجد رقم]

مما يعني أن (t ) يمثل طول القوس طالما (أ = 0 ).

نظرية: دالة طول القوس

دع ( vecs r (t) ) وصف منحنى سلس لـ (t≥a ). ثم يتم إعطاء دالة طول القوس بواسطة

[s (t) = int ^ {t} _ {a} ‖ vecs r ′ (u) ‖ ، du ]

علاوة على ذلك،

[ dfrac {ds} {dt} = ‖ vecs r ′ (t) ‖> 0. لا يوجد رقم]

إذا كان (‖ vecs r ′ (t) ‖ = 1 ) للجميع (t≥a ) ، فإن المعلمة (t ) تمثل طول القوس من نقطة البداية عند (t = a ) .

من التطبيقات المفيدة لهذه النظرية إيجاد معلمات بديلة لمنحنى معين ، يسمى معلمات طول القوس. تذكر أن أي دالة ذات قيمة متجهة يمكن إعادة قياسها من خلال تغيير المتغيرات. على سبيل المثال ، إذا كانت لدينا دالة ( vecs r (t) = ⟨3 cos t، 3 sin t⟩، 0≤t≤2π ) تحدد دائرة نصف قطرها 3 ، يمكننا تغيير المعلمة من (t ) إلى (4t ) ، الحصول على معلمة جديدة ( vecs r (t) = ⟨3 cos 4t، 3 sin 4t⟩ ). لا تزال المعلمات الجديدة تحدد دائرة نصف قطرها 3 ، لكننا الآن نحتاج فقط إلى استخدام القيم (0≤t≤π / 2 ) لاجتياز الدائرة مرة واحدة.

لنفترض أننا وجدنا دالة طول القوس (s (t) ) وأننا قادرون على حل هذه الوظيفة لـ (t ) كدالة (s ). يمكننا بعد ذلك إعادة معاملات الوظيفة الأصلية ( vecs r (t) ) عن طريق استبدال التعبير (t ) مرة أخرى في ( vecs r (t) ). تتم الآن كتابة الدالة ذات القيمة المتجهة من حيث المعلمة (s ). نظرًا لأن المتغير (s ) يمثل طول القوس ، فإننا نسمي هذا بـ معلمات طول القوس من الوظيفة الأصلية ( vecs r (t) ). تتمثل إحدى ميزات إيجاد معلمات طول القوس في أن المسافة المقطوعة على طول المنحنى بدءًا من (s = 0 ) تساوي الآن المعلمة (s ). تظهر معلمات طول القوس أيضًا في سياق الانحناء (الذي نفحصه لاحقًا في هذا القسم) وتكاملات الخط.

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن معلمة طول القوس

ابحث عن معلمات طول القوس لكل من المنحنيات التالية:

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 4 sin t ، hat { mathbf {j}}، quad t≥0 )
  2. ( vecs r (t) = t + 3،2t − 4،2t⟩، quad t≥3 )

حل

  1. أولًا نجد دالة طول القوس باستخدام المعادلة المرجع {arclength2}:

    [ start {align *} s (t) & = int_a ^ t ‖ vecs r ′ (u) ‖ ، du [4pt] & = int_0 ^ t ‖⟨ − 4 sin u، 4 cos u⟩‖ ، du [4pt] & = int_0 ^ t sqrt {(- 4 sin u) ^ 2 + (4 cos u) ^ 2} ، du [4pt] & = int_0 ^ t sqrt {16 sin ^ 2 u + 16 cos ^ 2 u} ، du [4pt] & = int_0 ^ t 4 ، du = 4t، end {align *} ]

  2. الذي يعطي العلاقة بين طول القوس (s ) والمعلمة (t ) كـ (s = 4t ؛ ) لذا ، (t = s / 4 ). بعد ذلك نستبدل المتغير (t ) في الوظيفة الأصلية ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 4 sin t ، hat { mathbf {j}} ) بالتعبير (s / 4 ) للحصول عليها

    [ vecs r (s) = 4 cos left ( frac {s} {4} right) ، hat { mathbf {i}} + 4 sin left ( frac {s} { 4} right) ، hat { mathbf {j}}. لا يوجد رقم]

    هذه هي معلمة طول القوس ( vecs r (t) ). نظرًا لأن القيد الأصلي على (t ) تم إعطاؤه بواسطة (t≥0 ) ، فإن القيد على س يصبح (s / 4≥0 ) أو (s≥0 ).
  3. يتم إعطاء دالة طول القوس بواسطة المعادلة المرجع {arclength2}:

    [ start {align *} s (t) & = int_a ^ t ‖ vecs r ′ (u) ‖ ، du [4pt] & = int_3 ^ t ‖⟨1،2،2⟩‖ ، du [4pt] & = int_3 ^ t sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 2} ، du [4pt] & = int_3 ^ t 3 ، du [ 4pt] & = 3t - 9. end {align *} ]

    لذلك ، فإن العلاقة بين طول القوس (s ) والمعامل (t ) هي (s = 3t − 9 ) ، لذلك (t = frac {s} {3} +3 ). استبدال هذا في الوظيفة الأصلية ( vecs r (t) = ⟨t + 3،2t − 4،2t⟩ ) ينتج

    [ vecs r (s) = ⟨ left ( frac {s} {3} +3 right) +3، ، 2 left ( frac {s} {3} +3 right) −4 ، ، 2 left ( frac {s} {3} +3 right)⟩ = ⟨ frac {s} {3} +6، frac {2s} {3} +2، frac {2s} {3} + 6⟩. nonumber ]

    هذه معلمة طول القوس ( vecs r (t) ). كان القيد الأصلي على المعلمة (t ) (t≥3 ) ، لذا فإن القيد على (s ) هو ((s / 3) + 3≥3 ) ، أو (s≥0 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد دالة طول القوس للحلزون

[ vecs r (t) = ⟨3 cos t، 3 sin t، 4t⟩، quad t≥0. لا يوجد رقم]

بعد ذلك ، استخدم العلاقة بين طول القوس والمعلمة (t ) للعثور على معلمة طول القوس ( vecs r (t) ).

تلميح

ابدأ بإيجاد دالة طول القوس.

إجابه

(s = 5t ) أو (t = s / 5 ). استبدال هذا في ( vecs r (t) = ⟨3 cos t، 3 sin t، 4t⟩ ) يعطي

[ vecs r (s) = ⟨3 cos left ( frac {s} {5} right) ، 3 sin left ( frac {s} {5} right) ، frac {4s } {5}⟩، quad s≥0 nonumber ]

انحناء

موضوع مهم يتعلق بطول القوس هو الانحناء. يوفر مفهوم الانحناء طريقة لقياس مدى حدة انعطاف المنحنى السلس. الدائرة لها انحناء ثابت. كلما كان نصف قطر الدائرة أصغر ، زاد الانحناء.

فكر في القيادة على الطريق. افترض أن الطريق يقع على قوس لدائرة كبيرة. في هذه الحالة ، سيكون عليك بالكاد تدوير العجلة للبقاء على الطريق. افترض الآن أن نصف القطر أصغر. في هذه الحالة ، ستحتاج إلى الانعطاف بشكل أكثر حدة للبقاء على الطريق. في حالة وجود منحنى غير الدائرة ، غالبًا ما يكون من المفيد أولاً إدراج دائرة في المنحنى عند نقطة معينة بحيث تكون مماسًا للمنحنى عند تلك النقطة و "تعانق" المنحنى بأكبر قدر ممكن في حي النقطة (الشكل ( PageIndex {1} )). يتم بعد ذلك تحديد انحناء الرسم البياني عند تلك النقطة ليكون هو نفسه انحناء الدائرة المنقوشة.

التعريف: انحناء

لنفترض أن (C ) منحنى سلس في المستوى أو في الفضاء المعطى بواسطة ( vecs r (s) ) ، حيث (s ) هي معلمة طول القوس. الانحناء (κ ) عند (ق ) هو

[κ = bigg { |} dfrac {d vecs {T}} {ds} bigg { |} = ‖ vecs T ′ (s) ‖. ]

قم بزيارة هذا الفيديو لمزيد من المعلومات حول انحناء منحنى الفضاء.

الصيغة في تعريف الانحناء ليست مفيدة جدًا من حيث الحساب. على وجه الخصوص ، تذكر أن ( vecs T (t) ) يمثل متجه ظل الوحدة إلى دالة ذات قيمة متجهة معينة ( vecs r (t) ) ، وصيغة ( vecs T (t) ) هو

[ vecs T (t) = frac { vecs r ′ (t)} {∥ vecs r ′ (t) ∥}. ]

لاستخدام صيغة الانحناء ، من الضروري أولاً التعبير عن ( vecs r (t) ) من حيث معامل طول القوس (s ) ، ثم ابحث عن متجه ظل الوحدة ( vecs T (s) ) ) للوظيفة ( vecs r (s) ) ، ثم خذ مشتق ( vecs T (s) ) فيما يتعلق (s ). هذه عملية شاقة. لحسن الحظ ، هناك صيغ مكافئة للانحناء.

نظرية: الصيغ البديلة للانحناء

إذا كان (C ) منحنى سلس معطى بواسطة ( vecs r (t) ) ، فإن الانحناء (κ ) لـ (C ) عند (t ) يتم إعطاؤه بواسطة

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖}. التسمية {EqK2} ]

إذا كان (C ) منحنى ثلاثي الأبعاد ، فيمكن إعطاء الانحناء بواسطة الصيغة

[κ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ′ ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3}. label {EqK3} ]

إذا كان (C ) هو الرسم البياني للدالة (y = f (x) ) وكلاهما (y ′ ) و (y '' ) موجودان ، فإن الانحناء (κ ) عند النقطة ((x، y) ) يُعطى بواسطة

[κ = dfrac {| y '|} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2}}. label {EqK4} ]

دليل

الصيغة الأولى تتبع مباشرة من قاعدة السلسلة:

[ dfrac {d vecs {T}} {dt} = dfrac {d vecs {T}} {ds} dfrac {ds} {dt}، nonumber ]

حيث (s ) هو طول القوس على طول المنحنى (C ). قسمة كلا الجانبين على (ds / dt ) ، وأخذ مقدار كلا الجانبين يعطي

[ bigg { |} dfrac {d vecs {T}} {ds} bigg { |} = left lVert frac { vecs T ′ (t)} { dfrac {ds} { dt}} يمين r عكس. عدد ]

نظرًا لأن (ds / dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ) ، فإن هذا يعطي صيغة الانحناء (κ ) للمنحنى (C ) من حيث أي معلمات لـ (C ) :

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖}. nonumber ]

في حالة وجود منحنى ثلاثي الأبعاد ، نبدأ بالصيغ ( vecs T (t) = ( vecs r ′ (t)) / ‖ vecs r ′ (t) ‖ ) و (ds / dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ). لذلك ، ( vecs r ′ (t) = (ds / dt) vecs T (t) ). يمكننا أخذ مشتق هذه الدالة باستخدام صيغة حاصل الضرب القياسي:

[ vecs r ″ (t) = dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) + dfrac {ds} {dt} vecs T ′ (t). nonumber ]

باستخدام هاتين المعادلتين الأخيرتين نحصل عليهما

[ start {align *} vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) & = dfrac {ds} {dt} vecs T (t) × bigg ( dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) + dfrac {ds} {dt} vecs T ′ (t) bigg) [4pt] & = dfrac {ds} {dt} dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) × vecs T (t) + ( dfrac {ds} {dt}) ^ 2 vecs T (t) × vecs T ′ (t). النهاية {محاذاة *} ]

نظرًا لأن ( vecs T (t) × vecs T (t) = 0 ) ، فإن هذا يقلل إلى

[ vecs r ′ (t) × vecs r ′ ′ (t) = left ( dfrac {ds} {dt} right) ^ 2 vecs T (t) × vecs T ′ (t). لا يوجد رقم]

نظرًا لأن ( vecs T ′ ) موازي لـ ( vecs N ) ، و ( vecs T ) متعامد مع ( vecs N ) ، فإنه يتبع ذلك ( vecs T ) و ( vecs T ′ ) متعامدة. هذا يعني أن (‖ vecs T × vecs T′‖ = ‖ vecs T‖‖ vecs T′‖ sin (π / 2) = ‖ vecs T′‖ ) ، لذلك

[ | vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) | = left ( dfrac {ds} {dt} right) ^ 2‖ vecs T ′ (t) ‖. nonumber ]

الآن نحل هذه المعادلة من أجل (‖ vecs T ′ (t) ‖ ) ونستخدم حقيقة أن (ds / dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ):

[‖ vecs T ′ (t) ‖ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 2}. non number ]

ثم نقسم كلا الجانبين على (‖ vecs r ′ (t) ‖ ). هذا يعطي

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3}. nonumber ]

هذا يثبت ( المرجع {EqK3} ). لإثبات ( المرجع {EqK4} ) ، نبدأ بافتراض أن المنحنى (C ) محدد بالدالة (y = f (x) ). بعد ذلك ، يمكننا تعريف ( vecs r (t) = x ، hat { mathbf {i}} + f (x) ، hat { mathbf {j}} + 0 ، hat { mathbf {k}} ). باستخدام الصيغة السابقة للانحناء:

[ start {align *} vecs r ′ (t) & = ، hat { mathbf {i}} + f ′ (x) ، hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r ″ (t) & = f ″ (x) ، hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) & = start { vmatrix} hat { mathbf {i}} & hat { mathbf {j}} & hat { mathbf {k}} 1 & f ′ (x) & 0 0 & f ″ (x ) & 0 end {vmatrix} = f ″ (x) ، hat { mathbf {k}}. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك،

[κ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3} = dfrac {| f ″ (x) |} {(1+ [f ′ (x)] ^ 2) ^ {3/2}} nonumber ]

مثال ( PageIndex {3} ): البحث عن الانحناء

ابحث عن الانحناء لكل من المنحنيات التالية عند نقطة معينة:

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 4 sin t ، hat { mathbf {j}} + 3t ، hat { mathbf { ك}} ، quad t = dfrac {4π} {3} )
  2. ( mathrm {f (x) = sqrt {4x − x ^ 2}، x = 2} )

حل

  1. تصف هذه الوظيفة الحلزون.

يمكن إيجاد انحناء اللولب عند (t = (4π) / 3 ) باستخدام ( ref {EqK2} ). أولاً ، احسب ( vecs T (t) ):

[ start {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt] & = dfrac { 4 sin t، 4 cos t، 3⟩} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (4 cos t) ^ 2 + 3 ^ 2}} [4pt] & = ⟨− dfrac {4} {5} sin t ، dfrac {4} {5} cos t ، dfrac {3} {5}⟩. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، احسب ( vecs T ′ (t): )

[ vecs T ′ (t) = ⟨− dfrac {4} {5} cos t، - dfrac {4} {5} sin t، 0⟩. لا يوجد رقم]

أخيرًا ، طبِّق ( المرجع {EqK2} ):

[ start {align *} κ & = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} = dfrac {‖⟨− dfrac {4} {5} cos t، - dfrac {4} {5} sin t، 0⟩‖} {‖⟨ − 4 sin t، 4 cos t، 3⟩‖} [4pt] & = dfrac { sqrt {(- dfrac {4} {5} cos t) ^ 2 + (- dfrac {4} {5} sin t) ^ 2 + 0 ^ 2}} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (4 cos t) ^ 2 + 3 ^ 2}} [4pt] & = dfrac {4/5} {5} = dfrac {4} {25}. النهاية {محاذاة *} ]

انحناء هذا اللولب ثابت في جميع النقاط على اللولب.

  1. تصف هذه الوظيفة نصف دائرة.

لإيجاد انحناء هذا الرسم البياني ، يجب أن نستخدم ( ref {EqK4} ). أولاً ، نحسب (y ′ ) و (y ″: )

[ begin {align *} y & = sqrt {4x − x ^ 2} = (4x − x ^ 2) ^ {1/2} [4pt] y ′ & = dfrac {1} {2 } (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} (4−2x) = (2 − x) (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} [4pt] y ″ & = - (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} + (2 − x) (- dfrac {1} {2}) (4x − x ^ 2) ^ {- 3/2} (4−2x) [4pt] & = - dfrac {4x − x ^ 2} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} - dfrac {(2 − x) ^ 2} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac {x ^ 2−4x− (4−4x + x ^ 2)} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} [4pt] & = - dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}}. النهاية {محاذاة *} ]

ثم نطبق ( ref {EqK4} ):

[ begin {align *} κ & = dfrac {| y '|} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac { bigg | - dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [1 + ((2 − x) (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2 }) ^ 2 bigg] ^ {3/2}} = dfrac { bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [1+ dfrac {(2 − x) ^ 2} {4x − x ^ 2} bigg ] ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac { bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [ dfrac {4x − x ^ 2 + x ^ 2−4x + 4} {4x − x ^ 2} bigg] ^ {3/2}} = bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg | ⋅ dfrac {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} {8} [4pt] & = dfrac {1} {2}. النهاية {محاذاة *} ]

انحناء هذه الدائرة يساوي مقلوب نصف قطرها. هناك مشكلة بسيطة في القيمة المطلقة في ( ref {EqK4} ) ؛ ومع ذلك ، فإن إلقاء نظرة فاحصة على الحساب يكشف أن المقام موجب لأي قيمة لـ (x ).

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد انحناء المنحنى الذي تحدده الوظيفة

[y = 3x ^ 2−2x + 4 nonumber ]

عند النقطة (س = 2 ).

تلميح

استخدم ( المرجع {EqK4} ).

إجابه

(κ ؛ = frac {6} {101 ^ {3/2}} ≈0.0059 )

المتجهات العادية والثنائية

لقد رأينا أن المشتق ( vecs r ′ (t) ) لوظيفة ذات قيمة متجهية هو متجه مماس للمنحنى المحدد بواسطة ( vecs r (t) ) ، ومتجه ظل الوحدة ( يمكن حساب vecs T (t) ) بقسمة ( vecs r ′ (t) ) على حجمها. عند دراسة الحركة في ثلاثة أبعاد ، يكون متجهان آخران مفيدان في وصف حركة الجسيم على طول مسار في الفضاء: المتجه العادي للوحدة الرئيسية والمتجه العادي متجه ثنائي الشكل.

التعريف: نواقل ثنائية الشكل

دع (ج ) يكون ثلاثي الأبعاد ناعم منحنى يمثله ( vecs r ) عبر فاصل زمني مفتوح (I ). إذا كان ( vecs T ′ (t) ≠ vecs 0 ) ، فإن المتجه العادي للوحدة الرئيسية في (t ) يعرف بأنه

[ vecs N (t) = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖}. التسمية {EqNormal} ]

يتم تعريف المتجه الثنائي في (t ) على أنه

[ vecs B (t) = vecs T (t) × vecs N (t) ، label {EqBinormal} ]

حيث ( vecs T (t) ) هو متجه ظل الوحدة.

لاحظ أنه ، حسب التعريف ، المتجه ثنائي الشكل متعامد لكل من متجه ظل الوحدة والمتجه العادي. علاوة على ذلك ، يكون ( vecs B (t) ) دائمًا متجه وحدة. يمكن توضيح ذلك باستخدام صيغة مقدار حاصل الضرب الاتجاهي.

[‖ vecs B (t) ‖ = ‖ vecs T (t) × vecs N (t) ‖ = ‖ vecs T (t) ‖‖ vecs N (t) ‖ sin theta ، ]

حيث ( theta ) هي الزاوية بين ( vecs T (t) ) و ( vecs N (t) ). نظرًا لأن ( vecs N (t) ) هو مشتق من متجه الوحدة ، فإن الخاصية (7) لمشتق دالة ذات قيمة متجهة تخبرنا أن ( vecs T (t) ) و ( vecs N (t) ) متعامدة مع بعضها البعض ، لذلك ( ثيتا = π / 2 ). علاوة على ذلك ، فهما متجهان للوحدة ، لذا فإن حجمهما هو 1. لذلك ، (‖ vecs T (t) ‖‖ vecs N (t) ‖ sin theta = (1) (1) sin (π / 2) = 1 ) و ( vecs B (t) ) متجه وحدة.

يمكن أن يكون حساب المتجه العادي للوحدة الرئيسية أمرًا صعبًا لأن متجه الوحدة المماس يتضمن حاصل قسمة ، وغالبًا ما يكون لهذا الحاصل جذر تربيعي في المقام. في الحالة ثلاثية الأبعاد ، يمكن أن يكون إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه الوحدة المماس والمتجه العادي للوحدة أكثر تعقيدًا. لحسن الحظ ، لدينا صيغ بديلة للعثور على هذين المتجهين ، وقد تم تقديمها في Motion in Space.

مثال ( PageIndex {4} ): البحث عن المتجه العادي للوحدة الأساسية والمتجه الثنائي الشكل

ابحث عن المتجه العادي للوحدة الرئيسية لكل من الدوال ذات القيمة المتجهية التالية. ثم ، إذا أمكن ، ابحث عن المتجه الثنائي.

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} - 4 sin t ، hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = (6t + 2) ، hat { mathbf {i}} + 5t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} - 8t ، hat { mathbf { ك}})

حل

  1. تصف هذه الوظيفة الدائرة.

للعثور على المتجه العادي للوحدة الرئيسية ، يجب أولاً إيجاد متجه ظل الوحدة ( vecs T (t): )

[ start {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t ، hat { mathbf {i}} - 4 cos t ، hat { mathbf {j}}} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (- 4 cos t) ^ 2}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t ، hat { mathbf {i}} - 4 cos t ، hat { mathbf {j}}} { sqrt {16 sin ^ 2 t + 16 cos ^ 2 t}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t ، hat { mathbf {i}} - 4 cos t ، hat { mathbf {j}}} { sqrt {16 ( sin ^ 2 t + cos ^ 2 t)}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t ، hat { mathbf {i}} - 4 cos t ، hat { mathbf {j}}} {4} [4pt] & = - sin t ، hat { mathbf {i}} - cos t ، hat { mathbf {j}}. end {align *} ]

بعد ذلك ، نستخدم ( المرجع {EqNormal} ):

[ start {align *} vecs N (t) & = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} [4pt] & = dfrac {- cos t ، hat { mathbf {i}} + sin t ، hat { mathbf {j}}} { sqrt {(- cos t) ^ 2 + ( sin t) ^ 2} } [4 نقطة]
& = dfrac {- cos t ، hat { mathbf {i}} + sin t ، hat { mathbf {j}}} { sqrt { cos ^ 2 t + sin ^ 2 t }} [4pt]
& = - cos t ، hat { mathbf {i}} + sin t ، hat { mathbf {j}}. النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن متجه ظل الوحدة والمتجه العادي للوحدة الرئيسية متعامدان مع بعضهما البعض لجميع قيم (t ):

[ start {align *} vecs T (t) · vecs N (t) & = ⟨− sin t، - cos t⟩ · ⟨− cos t، sin t⟩ [4pt] & = sin t cos t− cos t sin t [4pt] & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

علاوة على ذلك ، يشير المتجه العادي للوحدة الرئيسية إلى مركز الدائرة من كل نقطة على الدائرة. نظرًا لأن ( vecs r (t) ) يحدد منحنى في بعدين ، لا يمكننا حساب المتجه الثنائي.

  1. تبدو هذه الوظيفة كما يلي:

للعثور على المتجه العادي للوحدة الرئيسية ، نجد أولاً متجه ظل الوحدة ( vecs T (t): )

[ start {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt]
& = dfrac {6 ، hat { mathbf {i}} + 10t ، hat { mathbf {j}} - 8 ، hat { mathbf {k}}} { sqrt {6 ^ 2+ (10 طن) ^ 2 + (- 8) ^ 2}} [4pt]
& = dfrac {6 ، hat { mathbf {i}} + 10t ، hat { mathbf {j}} - 8 ، hat { mathbf {k}}} { sqrt {36+ 100 طن ^ 2 + 64}} [4pt]
& = dfrac {6 ، hat { mathbf {i}} + 10t ، hat { mathbf {j}} - 8 ، hat { mathbf {k}}} { sqrt {100 ( t ^ 2 + 1)}} [4pt]
& = dfrac {3 ، hat { mathbf {i}} - 5t ، hat { mathbf {j}} - 4 ، hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} [4pt]
& = dfrac {3} {5} (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} ، hat { mathbf {i}} - t (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2 } ، hat { mathbf {j}} - dfrac {4} {5} (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} ، hat { mathbf {k}}. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، نحسب ( vecs T ′ (t) ) و (‖ vecs T ′ (t) ‖ ):

[ start {align *} vecs T ′ (t) & = dfrac {3} {5} (- dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ {- 3/2} (2t) ، hat { mathbf {i}} - ((t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} −t ( dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ {−3/2} (2t)) ، hat { mathbf {j}} - dfrac {4} {5} (- dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ { −3/2} (2t) ، hat { mathbf {k}} [4pt]
& = - dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} ، hat { mathbf {i}} - dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} ، hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} ، hat { mathbf {k}} [4pt] ‖ vecs T ′ (t) ‖ & = sqrt { bigg (- dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} bigg) ^ 2 + bigg (- dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} bigg) ^ 2 + bigg ( dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3 / 2}} bigg) ^ 2} [4pt]
& = sqrt { dfrac {9t ^ 2} {25 (t ^ 2 + 1) ^ 3} + dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ 3} + dfrac {16t ^ 2} { 25 (t ^ 2 + 1) ^ 3}} [4pt]
& = sqrt { dfrac {25t ^ 2 + 25} {25 (t ^ 2 + 1) ^ 3}} [4pt]
& = sqrt { dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ 2}} [4pt]
& = dfrac {1} {t ^ 2 + 1}. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، وفقًا لـ ( المرجع {EqNormal} ):

[ start {align *} vecs N (t) & = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} [4pt]
& = bigg (- dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} ، hat { mathbf {i}} - dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} ، hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} ، hat { mathbf { ك}} بيج) (t ^ 2 + 1) [4pt]
& = - dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} ، hat { mathbf {i}} - dfrac {5} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} ، hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} ، hat { mathbf {k} } [4 نقطة]
& = - dfrac {3t ، hat { mathbf {i}} + 5 ، hat { mathbf {j}} - 4t ، hat { mathbf {k}}} {5 sqrt { ر ^ 2 + 1}}. النهاية {محاذاة *} ]

مرة أخرى ، يكون متجه ظل الوحدة والمتجه العادي للوحدة الرئيسية متعامدين مع بعضهما البعض لجميع قيم (t ):

[ start {align *} vecs T (t) · vecs N (t) & = bigg ( dfrac {3 ، hat { mathbf {i}} - 5t ، hat { mathbf {j}} - 4 ، hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) · bigg (- dfrac {3t ، hat { mathbf { i}} + 5 ، hat { mathbf {j}} - 4t ، hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) [4pt]
& = dfrac {3 (−3t) −5t (−5) −4 (4t)} {25 (t ^ 2 + 1)} [4pt]
& = dfrac {−9t + 25t − 16t} {25 (t ^ 2 + 1)} [4pt]
& = 0. النهاية {محاذاة *} ]

أخيرًا ، نظرًا لأن ( vecs r (t) ) يمثل منحنى ثلاثي الأبعاد ، يمكننا حساب المتجه الثنائي باستخدام ( ref {EqBinormal} ):

[ start {align *} vecs B (t) & = ؛ vecs T (t) × vecs N (t) [4pt]
& = start {vmatrix} hat { mathbf {i}} & hat { mathbf {j}} & hat { mathbf {k}} dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} - dfrac {3t } {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} نهاية {vmatrix} [4pt]
& = bigg ( bigg (- dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg ( dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) - bigg (- dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) bigg) ، hat { mathbf {i}}
& - bigg ( bigg ( dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg ( dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) - bigg (- dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {3t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg) ، hat { mathbf {j}}
& + bigg ( bigg ( dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) - bigg (- dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {3t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) bigg) ، hat { mathbf {k}} [4pt]
& = bigg ( dfrac {−20t ^ 2−20} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) ، hat { mathbf {i}} + bigg ( dfrac {−15−15t ^ 2} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) ، hat { mathbf {k}} [4pt]
& = −20 bigg ( dfrac {t ^ 2 + 1} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) ، hat { mathbf {i}} −15 bigg ( dfrac {t ^ 2 + 1} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) ، hat { mathbf {k}} [4pt]
& = - dfrac {4} {5} ، hat { mathbf {i}} - dfrac {3} {5} ، hat { mathbf {k}}. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

ابحث عن المتجه الطبيعي للوحدة ذات القيمة المتجهية ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) ، hat { mathbf {i}} + (4t + 1) ، hat { mathbf {j}} ) وقيمها عند (t = 2 ).

تلميح

أولاً ، ابحث عن ( vecs T (t) ) ، ثم استخدم ( ref {EqNormal} ).

إجابه

( vecs N (2) = dfrac { sqrt {2}} {2} (، hat { mathbf {i}} - ، hat { mathbf {j}}) )

بالنسبة لأي منحنى سلس في ثلاثة أبعاد يتم تحديده بواسطة دالة ذات قيمة متجهية ، لدينا الآن صيغ لمتجه ظل الوحدة ( vecs T ) ، والمتجه العادي للوحدة ( vecs N ) ، والمتجه ثنائي الشكل ( فيكس ب ). المتجه العادي للوحدة والمتجه ثنائي الشكل يشكلان مستوى عموديًا على المنحنى عند أي نقطة على المنحنى ، تسمى المستوى العادي. بالإضافة إلى ذلك ، تشكل هذه المتجهات الثلاثة إطارًا مرجعيًا في فضاء ثلاثي الأبعاد يسمى إطار مرجعي Frenet (وتسمى أيضًا ملفات TNB frame) (الشكل ( PageIndex {2} )). أخيرًا ، تشكل الطائرة التي تحددها المتجهات ( vecs T ) و ( vecs N ) المستوى المتذبذب لـ (C ) في أي نقطة (P ) على المنحنى.

لنفترض أننا شكلنا دائرة في المستوى المتذبذب لـ (C ) عند النقطة (P ) على المنحنى. افترض أن الدائرة لها نفس الانحناء مثل المنحنى عند النقطة (P ) ودع الدائرة لها نصف قطر (r ). بعد ذلك ، يتم تحديد انحناء الدائرة بواسطة ( frac {1} {r} ). نسمي (r ) نصف قطر انحناء المنحنى ، وهو يساوي مقلوب الانحناء. إذا كانت هذه الدائرة تقع على الجانب المقعر من المنحنى وكانت مماسًا للمنحنى عند النقطة (P ) ، فإن هذه الدائرة تسمى دائرة متذبذبة من (C ) في (P ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {3} ).

لمزيد من المعلومات حول الدوائر المتذبذبة ، راجع هذا العرض التوضيحي حول الانحناء والالتواء ، وهذه المقالة حول الدوائر المتذبذبة ، وهذه المناقشة حول صيغ Serret.

لإيجاد معادلة دائرة متذبذبة في بعدين ، نحتاج فقط إلى إيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها.

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد معادلة الدائرة المتذبذبة

أوجد معادلة الدائرة المتذبذبة للمنحنى المحدد بالدالة (y = x ^ 3−3x + 1 ) عند (x = 1 ).

حل

يوضح الشكل ( PageIndex {4} ) الرسم البياني لـ (y = x ^ 3−3x + 1 ).

أولاً ، لنحسب الانحناء عند (x = 1 ):

[κ = dfrac {| f ″ (x) |} { bigg (1+ [f ′ (x)] ^ 2 bigg) ^ {3/2}} = dfrac {| 6x |} {( 1+ [3x ^ 2−3] ^ 2) ^ {3/2}}. ]

هذا يعطي (κ = 6 ). Therefore, the radius of the osculating circle is given by (R=frac{1}{κ}=dfrac{1}{6}). Next, we then calculate the coordinates of the center of the circle. When (x=1), the slope of the tangent line is zero. Therefore, the center of the osculating circle is directly above the point on the graph with coordinates ((1,−1)). The center is located at ((1,−frac{5}{6})). The formula for a circle with radius (r) and center ((h,k)) is given by ((x−h)^2+(y−k)^2=r^2). Therefore, the equation of the osculating circle is ((x−1)^2+(y+frac{5}{6})^2=frac{1}{36}). The graph and its osculating circle appears in the following graph.

تمرين ( PageIndex {5} )

Find the equation of the osculating circle of the curve defined by the vector-valued function (y=2x^2−4x+5) at (x=1).

Hint

Use ( ef{EqK4}) to find the curvature of the graph, then draw a graph of the function around (x=1) to help visualize the circle in relation to the graph.

إجابه

(κ =frac{4}{[1+(4x−4)^2]^{3/2}})

At the point (x=1), the curvature is equal to (4). Therefore, the radius of the osculating circle is (frac{1}{4}).

A graph of this function appears next:

The vertex of this parabola is located at the point ((1,3)). Furthermore, the center of the osculating circle is directly above the vertex. Therefore, the coordinates of the center are ((1,frac{13}{4})). The equation of the osculating circle is

((x−1)^2+(y−frac{13}{4})^2=frac{1}{16}).

Key Concepts

  • The arc-length function for a vector-valued function is calculated using the integral formula (displaystyle s(t)=int_a^b ‖vecs r′(t)‖,dt ). This formula is valid in both two and three dimensions.
  • The curvature of a curve at a point in either two or three dimensions is defined to be the curvature of the inscribed circle at that point. The arc-length parameterization is used in the definition of curvature.
  • There are several different formulas for curvature. The curvature of a circle is equal to the reciprocal of its radius.
  • The principal unit normal vector at (t) is defined to be

    [vecs N(t)=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖}. لا يوجد رقم]

  • The binormal vector at (t) is defined as (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t)), where (vecs T(t)) is the unit tangent vector.
  • The Frenet frame of reference is formed by the unit tangent vector, the principal unit normal vector, and the binormal vector.
  • The osculating circle is tangent to a curve at a point and has the same curvature as the tangent curve at that point.

Key Equations

  • Arc length of space curve
    (s= {displaystyle int _a^b} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2+[h′(t)]^2} ,dt= {displaystyle int _a^b} ‖vecs r′(t)‖,dt)
  • Arc-length function
    (s(t)={displaystyle int _a^t} sqrt{f′(u))^2+(g′(u))^2+(h′(u))^2} ,du ; or ; s(t)={displaystyle int _a^t}‖vecs r′(u)‖,du)
  • (κ=frac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖} ; or ; κ=frac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3} ; or ; κ=frac{|y″|}{[1+(y′)^2]^{3/2}})
  • Principal unit normal vector
    (vecs N(t)=frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
  • Binormal vector
    (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t))

Glossary

arc-length function
a function (s(t)) that describes the arc length of curve (C) as a function of (t)
arc-length parameterization
a reparameterization of a vector-valued function in which the parameter is equal to the arc length
binormal vector
a unit vector orthogonal to the unit tangent vector and the unit normal vector
curvature
the derivative of the unit tangent vector with respect to the arc-length parameter
Frenet frame of reference
(TNB frame) a frame of reference in three-dimensional space formed by the unit tangent vector, the unit normal vector, and the binormal vector
normal plane
a plane that is perpendicular to a curve at any point on the curve
osculating circle
a circle that is tangent to a curve (C) at a point (P) and that shares the same curvature
osculating plane
the plane determined by the unit tangent and the unit normal vector
principal unit normal vector
a vector orthogonal to the unit tangent vector, given by the formula (frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
radius of curvature
the reciprocal of the curvature
smooth
curves where the vector-valued function (vecs r(t)) is differentiable with a non-zero derivative

Contributors and Attributions

  • Gilbert Strang (MIT) and Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) with many contributing authors. This content by OpenStax is licensed with a CC-BY-SA-NC 4.0 license. Download for free at http://cnx.org.


شاهد الفيديو: طول القوس المقابل للزاوية المركزية (ديسمبر 2021).