مقالات

3.8: مشتقات الدوال المعكوسة واللوغاريتمات - الرياضيات


كما هو الحال مع الجيب ، لا نعرف أي شيء عن المشتقات التي تسمح لنا بحساب مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية دون الرجوع إلى الأساسيات. لنقم ببعض العمل مع التعريف مرة أخرى:

[ eqalign {{d over dx} a ^ x & = lim _ { Delta x to 0} {a ^ {x + Delta x} -a ^ x over Delta x} cr & = lim_ { Delta x to 0} {a ^ xa ^ { Delta x} -a ^ x over Delta x} cr & = lim _ { Delta x to 0} a ^ x {a ^ { Delta x } -1 over Delta x} cr & = a ^ x lim _ { Delta x to 0} {a ^ { Delta x} -1 over Delta x}. cr} ]

هناك شيئان مثيران للاهتمام يجب ملاحظتهما هنا: كما في حالة دالة الجيب ، يتبقى لنا حد يتضمن ( Delta x ) ولكن ليس (x ) ، مما يعني أنه أيا كان ( lim _ { Delta x to 0} (a ^ { Delta x} -1) / Delta x ) هو ، نعلم أنه رقم ، أي ثابت. هذا يعني أن (a ^ x ) له خاصية مميزة: مشتقها هو الأزمنة الثابتة نفسها.

لاحظنا سابقًا أن أصعب حد يمكننا حسابه هو ( lim_ {x to0} sin x / x = 1 )؛ لدينا الآن حد يصعب تضمينه هنا قليلاً. في الواقع ، الجزء الصعب هو أن نرى أن ( lim _ { Delta x to 0} (a ^ { Delta x} -1) / Delta x ) موجود حتى --- هل هذا الكسر يقترب حقًا؟ أقرب إلى بعض القيمة الثابتة؟ نعم إنها كذلك ، لكننا لن نثبت هذه الحقيقة.

يمكننا إلقاء نظرة على بعض الأمثلة. ضع في اعتبارك ((2 ^ x-1) / x ) لبعض القيم الصغيرة لـ (x ): 1، (0.828427124 )، (0.756828460 )، (0.724061864 )، (0.70838051 ) ، (0.70070877 ) عندما (x ) هو 1 ، (1/2 ) ، (1/4 ) ، (1/8 ) ، (1/16 ) ، (1 / 32 ) ، على التوالي. يبدو أن هذا يستقر حول (0.7 ) ، والذي اتضح أنه صحيح (لكن الحد ليس بالضبط (0.7 )). ضع في اعتبارك التالي ((3 ^ x-1) / x ): (2 )، (1.464101616 )، (1.264296052 )، (1.177621520 )، (1.13720773 )، (1.11768854 ) ) ، بنفس قيم (س ). اتضح أنه في الحد الأقصى حول (1.1 ).

هناك مثالان لا يؤسسان نمطًا ، ولكن إذا قمت بعمل المزيد من الأمثلة ، فستجد أن الحد يختلف بشكل مباشر مع قيمة (أ ): أكبر (أ ) ، حد أكبر ؛ أصغر (أ ) ، حد أصغر. كما نرى بالفعل ، ستكون بعض هذه الحدود أقل من 1 وبعضها أكبر من 1. في مكان ما بين (a = 2 ) و (a = 3 ) سيكون الحد 1 بالضبط ؛ تسمى القيمة التي يحدث عندها هذا (e ) ، لذلك

[ lim _ { Delta x to 0} {e ^ { Delta x} -1 over Delta x} = 1. ]

كما قد تتخيل من المثالين ، (e ) أقرب إلى 3 من 2 ، وفي الواقع (e حوالي 2.718 ).

الآن نرى أن الوظيفة (e ^ x ) لها خاصية رائعة حقًا:

[ eqalign {{d over dx} e ^ x & = lim _ { Delta x to 0} {e ^ {x + Delta x} -e ^ x over Delta x} cr & = lim_ { Delta x to 0} {e ^ xe ^ { Delta x} -e ^ x over Delta x} cr & = lim _ { Delta x to 0} e ^ x {e ^ { Delta x } -1 over Delta x} cr & = e ^ x lim _ { Delta x to 0} {e ^ { Delta x} -1 over Delta x} cr & = e ^ x. cr } ]

وهذا يعني أن (e ^ x ) هو مشتق منه ، أو بعبارة أخرى ، ميل (e ^ x ) هو نفس ارتفاعه ، أو نفس الإحداثي الثاني: الوظيفة (f ( x) = e ^ x ) يمر بالنقطة ((z، e ^ z) ) وله ميل (e ^ z ) هناك ، بغض النظر عن (z ). من الملائم أحيانًا التعبير عن الدالة (e ^ x ) بدون الأس ، نظرًا لصعوبة قراءة الأسس المعقدة. في مثل هذه الحالات ، نستخدم ( exp (x) ) ، على سبيل المثال ، ( exp (1 + x ^ 2) ) بدلاً من (e ^ {1 + x ^ 2} ).

ماذا عن دالة اللوغاريتم؟ هذا صعب أيضًا ، ولكن نظرًا لأنه كان من الأسهل القيام بدالة جيب التمام بمجرد أن يتم عمل الجيب ، فإن اللوغاريتم أسهل الآن لأننا نعرف مشتق الدالة الأسية. لنبدأ بـ ( log_e x ) ، والتي غالبًا ما يتم اختصارها كما تعلمون ( ln x ) وتسمى وظيفة "اللوغاريتم الطبيعي".

ضع في اعتبارك العلاقة بين الوظيفتين ، أي أنهما مقلوبان ، وأن إحداهما "تبطل" الأخرى. ويعني هذا بيانياً أن لهما نفس الرسم البياني باستثناء أن إحداهما "مقلوبة" أو "تنعكس" عبر السطر (y = x ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ).

الشكل ( PageIndex {1} ): الدالات الأسية (الخضراء) واللوغاريتمية (الزرقاء). بصفتها مقلوبًا لبعضها البعض ، فإن الرسوم البيانية الخاصة بهم هي انعكاسات لبعضها البعض عبر الخط (y = x ) (متقطع).

هذا يعني أن منحدرات هاتين الوظيفتين مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا أيضًا: على سبيل المثال ، ميل (e ^ x ) هو (e ) عند (x = 1 ) ؛ عند النقطة المقابلة على منحنى ( ln (x) ) ، يجب أن يكون المنحدر (1 / e ) ، لأن "الارتفاع" و "التشغيل" تم تبادلهما. نظرًا لأن ميل (e ^ x ) هو (e ) عند النقطة ((1، e) ) ، فإن ميل ( ln (x) ) هو (1 / e ) عند النقطة ((هـ ، 1) ).

الشكل ( PageIndex {2} ): الدالات الأسية (الخضراء) واللوغاريتمية (الزرقاء). تشير الخطوط المتقطعة إلى ميل الوظائف المعنية عند النقطتين ((1 ، هـ) ) و ((هـ ، 1) ). من المثير للاهتمام ملاحظة أن هذه الخطوط تتقاطع في الأصل.

بشكل عام ، نعلم أن ميل (e ^ x ) هو (e ^ z ) عند النقطة ((z، e ^ z) ) ، وبالتالي فإن ميل ( ln (x) ) هو (1 / e ^ z ) في ((e ^ z، z) ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ). بمعنى آخر ، ميل ( ln x ) هو مقلوب الإحداثي الأول في أي نقطة ؛ هذا يعني أن ميل ( ln x ) عند ((x، ln x) ) هو (1 / x ). النتيجة هي: ({d over dx} ln x = {1 over x}. ) لقد ناقشنا هذا من وجهة نظر الرسوم البيانية ، والتي يسهل فهمها ولكنها لا تعتبر عادة صارمة إثبات - من السهل جدًا أن تضل طريقك بالصور التي تبدو معقولة ولكنها تفتقد إلى بعض النقاط الصعبة. من الممكن القيام بهذا الاشتقاق دون اللجوء إلى الصور ، وبالفعل سنرى نهجًا بديلًا قريبًا.

لاحظ أن ( ln x ) معرف فقط لـ (x> 0 ). من المفيد أحيانًا النظر في الوظيفة ( ln | x | ) ، وهي دالة معرّفة من أجل (x not = 0 ). عندما (x <0 ) ، ( ln | x | = ln (-x) ) و

[{d over dx} ln | x | = {d over dx} ln (-x) = {1 over -x} (- 1) = {1 over x}. ]

وبالتالي سواء كان (x ) موجبًا أم سالبًا ، فإن المشتق هو نفسه.

ماذا عن الدالتين (a ^ x ) و ( log_a x )؟ نعلم أن مشتق (a ^ x ) هو بعض الأوقات الثابتة (a ^ x ) نفسها ، لكن ما هو الثابت؟ تذكر أن "اللوغاريتم هو الأس" وسترى ذلك (a = e ^ { ln a} ). ثم (a ^ x = (e ^ { ln a}) ^ x = e ^ {x ln a}، ) ويمكننا حساب المشتق باستخدام قاعدة السلسلة:

[{d over dx} a ^ x = {d over dx} (e ^ { ln a}) ^ x = {d over dx} e ^ {x ln a} = ( ln a) ه ^ {x ln a} = ( ln a) أ ^ x. ]

الثابت هو ببساطة ( ln a ). وبالمثل يمكننا حساب مشتق دالة اللوغاريتم ( log_a x ). منذ (x = e ^ { ln x} ) يمكننا أخذ قاعدة اللوغاريتم (a ) لكلا الجانبين للحصول على ( log_a (x) = log_a (e ^ { ln x}) = ln x log_a e ). ثم

[{d over dx} log_a x = {1 over x} log_a e. ]

هذه إجابة جيدة تمامًا ، لكن يمكننا تحسينها قليلاً. حيث

[ eqalign {a & = e ^ { ln a} cr log_a (a) & = log_a (e ^ { ln a}) = ln a log_a e cr 1 & = ln a log_a e cr {1 over ln a} & = log_a e، cr} ]

يمكننا استبدال ( log_a e ) للحصول على ({d over dx} log_a x = {1 over x ln a} ).

يمكنك حفظ الصيغ إذا كنت ترغب في ذلك

[{d over dx} a ^ x = ( ln a) a ^ x quad hbox {and} quad {d over dx} log_a x = {1 over x ln a}. ]

نظرًا لأن "الحيلة" (a = e ^ { ln a} ) غالبًا ما تكون مفيدة ، وضرورية أحيانًا ، فقد يكون من الأفضل تذكر الحيلة ، وليس الصيغة.

مثال ( PageIndex {1} )

احسب مشتق (f (x) = 2 ^ x ).

حل

[ eqalign {{d over dx} 2 ^ {x} & = {d over dx} (e ^ { ln 2}) ^ x cr & = {d over dx} e ^ {x ln 2} cr & = left ({d over dx} x ln 2 right) e ^ {x ln 2} cr & = ( ln 2) e ^ {x ln 2} = 2 ^ x ln2 cr} ]

مثال ( PageIndex {2} )

احسب مشتق (f (x) = 2 ^ {x ^ 2} = 2 ^ {(x ^ 2)} ).

[ eqalign {{d over dx} 2 ^ {x ^ 2} & = {d over dx} e ^ {x ^ 2 ln 2} cr & = left ({d over dx} x ^ 2 ln 2 right) e ^ {x ^ 2 ln 2} cr & = (2 ln 2) xe ^ {x ^ 2 ln 2} cr & = (2 ln 2) x 2 ^ {x ^ 2} cr} ]

مثال ( PageIndex {3} )

احسب مشتق (f (x) = x ^ x ). في البداية ، يبدو أن هذا نوع جديد من الوظائف: فهو ليس قوة ثابتة لـ (x ) ، ولا يبدو أنه دالة أسية ، لأن القاعدة ليست ثابتة. لكنها في الحقيقة ليست أصعب من المثال السابق.

[ eqalign {{d over dx} x ^ x & = {d over dx} e ^ {x ln x} cr & = left ({d over dx} x ln x right) e ^ {x ln x} cr & = (x {1 over x} + ln x) x ^ x cr & = (1+ ln x) x ^ x cr} ]

مثال ( PageIndex {4} )

تذكر أننا لم نبرر قاعدة الأس إلا إذا كان الأس عددًا صحيحًا موجبًا أو سالبًا. يمكننا استخدام الدالة الأسية للتعامل مع الأسس الأخرى.

[ eqalign {{d over dx} x ^ r & = {d over dx} e ^ {r ln x} cr & = left ({d over dx} r ln x right) e ^ {r ln x} cr & = (r {1 over x}) x ^ r cr & = rx ^ {r-1} cr} ]


3.8: مشتقات الدوال المعكوسة واللوغاريتمات - الرياضيات

الدالة العكسية هي وظيفة تبطل وظيفة أخرى.

أهداف التعلم

ناقش ما يعنيه أن تكون دالة عكسية

الماخذ الرئيسية

النقاط الرئيسية

  • إذا كان أحد المدخلات [اللاتكس] x [/ اللاتكس] في الوظيفة [اللاتكس] f [/ اللاتكس] ينتج مخرجات [لاتكس] y [/ لاتكس] ، ثم وضع [اللاتكس] y [/ اللاتكس] في الوظيفة العكسية [اللاتكس ] g [/ latex] ينتج [latex] x [/ latex] ، والعكس بالعكس (على سبيل المثال ، [latex] f (x) = y [/ latex] ، و [اللاتكس] g (y) = x [/ اللاتكس]).
  • الوظيفة [اللاتكس] f [/ اللاتكس] التي لها معكوس تسمى "معكوسة" ، ثم يتم تحديد الوظيفة العكسية بشكل فريد بواسطة [اللاتكس] f [/ اللاتكس] ويُرمز إليها بـ [اللاتكس] f ^ <-1> [/ اللاتكس] .
  • إذا كانت [latex] f [/ latex] قابلة للعكس ، فإن الوظيفة [latex] g [/ latex] فريدة بمعنى آخر ، فهناك وظيفة واحدة بالضبط [latex] g [/ latex] ترضي هذه الخاصية (لا أكثر ولا أقل ).

الشروط الاساسية

  • معكوس: وظيفة تبطل وظيفة أخرى
  • وظيفة: علاقة يرتبط فيها كل عنصر من عناصر المجال بعنصر واحد بالضبط في المجال المشترك

الدالة العكسية هي وظيفة تبطل وظيفة أخرى. إذا كان أحد المدخلات [اللاتكس] x [/ اللاتكس] في الوظيفة [اللاتكس] f [/ اللاتكس] ينتج مخرجات [لاتكس] y [/ لاتكس] ، ثم وضع [اللاتكس] y [/ اللاتكس] في الوظيفة العكسية [اللاتكس ] g [/ latex] ينتج [latex] x [/ latex] ، والعكس بالعكس (على سبيل المثال ، [latex] f (x) = y [/ latex] ، و [اللاتكس] g (y) = x [/ اللاتكس]). بشكل مباشر أكثر ، [اللاتكس] g (f (x)) = x [/ latex] ، بمعنى [اللاتكس] g (x) [/ اللاتكس] المكون من [اللاتكس] f (x) [/ اللاتكس] ، الأوراق [اللاتكس] x [/ اللاتكس] دون تغيير. الوظيفة [اللاتكس] f [/ اللاتكس] التي لها معكوس تسمى "معكوسة" ، ثم يتم تحديد الوظيفة العكسية بشكل فريد بواسطة [اللاتكس] f [/ اللاتكس] ويُرمز إليها بـ [اللاتكس] f ^ <-1> [/ اللاتكس] .

دالة ومعكوسها: دالة [لاتكس] و [/ لاتكس] ومعكوسها ، [لاتكس] و ^ <-1> [/ لاتكس]. نظرًا لأن [latex] f [/ latex] تعين [latex] a [/ latex] على [latex] 3 [/ latex] ، فإن معكوسًا [latex] f ^ <-1> [/ latex] خرائط [latex] 3 [/ اللاتكس] يعود إلى [اللاتكس] أ [/ اللاتكس].

بدلاً من التفكير في الانعكاسات للمدخلات والمخرجات الفردية ، يمكن للمرء أن يفكر في الوظيفة على أنها إرسال مجموعة كاملة من المدخلات - المجال - إلى مجموعة من المخرجات - النطاق. لنفترض أن [latex] f [/ latex] وظيفة يكون مجالها هو المجموعة [latex] X [/ latex] ونطاقها هو المجموعة [latex] Y [/ latex]. إذن ، يكون [اللاتكس] f [/ اللاتكس] قابلاً للعكس إذا كانت هناك وظيفة [لاتكس] ز [/ لاتكس] مع المجال [لاتكس] Y [/ لاتكس] والمدى [لاتكس] X [/ لاتكس] ، مع الخاصية التالية:

[اللاتكس] f (x) = y Leftrightarrow g (y) = x [/ latex]

وظائف معكوسة: إذا كانت [لاتكس] f [/ لاتكس] خرائط [لاتكس] X [/ لاتكس] إلى [لاتكس] Y [/ لاتكس] ، ثم خرائط [لاتكس] f ^ <-1> [/ لاتكس] [لاتكس] ص [/ اللاتكس] العودة إلى [اللاتكس] X [/ اللاتكس].

إذا كانت [latex] f [/ latex] قابلة للعكس ، فإن الوظيفة [latex] g [/ latex] فريدة بمعنى آخر ، فهناك وظيفة واحدة بالضبط [latex] g [/ latex] ترضي هذه الخاصية (لا أكثر ولا أقل ). هذه الوظيفة [اللاتكس] g [/ اللاتكس] تسمى بعد ذلك معكوس [اللاتكس] f [/ اللاتكس] ، وعادة ما يشار إليها باسم [اللاتكس] f ^ <-1> [/ اللاتكس].

وبخلاف ذلك ، تكون الوظيفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت علاقتها العكسية دالة في النطاق [اللاتكس] Y [/ اللاتكس] ، وفي هذه الحالة تكون العلاقة العكسية هي الوظيفة العكسية. ليست كل الدوال لها معكوس. لكي تكون هذه القاعدة قابلة للتطبيق ، يجب ألا يتوافق كل عنصر [لاتكس] y in Y [/ latex] مع أكثر من واحد [لاتكس] x في X [/ لاتكس] دالة [لاتكس] و [/ لاتكس] مع هذا تسمى الخاصية واحد لواحد أو الاحتفاظ بالمعلومات أو الحقن.

مثال

لنأخذ & # 8217s الوظيفة [لاتكس] y = x ^ 2 + 2 [/ latex]. للعثور على معكوس هذه الوظيفة ، قم بالتراجع عن كل من العمليات على جانب [اللاتكس] x [/ اللاتكس] من المعادلة واحدة تلو الأخرى. نبدأ بعملية [اللاتكس] +2 [/ اللاتكس]. لاحظ أننا نبدأ بالترتيب المعاكس للترتيب الطبيعي للعمليات عندما نتراجع عن العمليات. نقيض [لاتكس] +2 [/ لاتكس] هو [لاتكس] -2 [/ لاتكس]. لقد تركنا مع [لاتكس] x ^ 2 [/ لاتكس]. للتراجع عن استخدام عملية الجذر التربيعي. وبالتالي ، فإن معكوس [اللاتكس] x ^ 2 + 2 [/ latex] هو [اللاتكس] sqrt[/ لاتكس]. يمكننا التحقق لمعرفة ما إذا كان هذا المعكوس & # 8220undoes & # 8221 هو الوظيفة الأصلية عن طريق توصيل هذه الوظيفة بـ [اللاتكس] x [/ اللاتكس]:


مشتقات الدوال اللوغاريتمية

الآن نعتبر الدالة اللوغاريتمية ذات الأساس التعسفي ونحصل على صيغة مشتقها.

لذلك ، لنأخذ & # 8217s الدالة اللوغاريتمية (y = < log _a> x ، ) حيث تكون القاعدة (a ) أكبر من الصفر ولا تساوي (1: ) (a gt 0 ) ، (أ ني 1 ). وفقًا لتعريف المشتق ، نعطي زيادة ( Delta x gt 0 ) إلى المتغير المستقل (x ) بافتراض أن (x + Delta x gt 0 ). ستزيد الدالة اللوغاريتمية ، على التوالي ، بقيمة ( Delta y ) حيث

قسّم كلا الجانبين على ( Delta x: )

تشير إلى (< large frac << Delta x >> normalsize> = <كبير frac <1> normalsize> ). ثم يمكن إعادة كتابة العلاقة الأخيرة كـ

باستخدام خاصية الطاقة في اللوغاريتمات ، نحصل على:

لنفترض أن ( Delta x to 0 ) (في هذه الحالة (n to infty )) ، نجد حد نسبة الزيادات ، أي مشتق الدالة اللوغاريتمية:

استخدمنا هنا خاصية حد الدالة المركبة بالنظر إلى أن الدالة اللوغاريتمية مستمرة. يتقارب الحد الموجود بين قوسين مربعين مع رقم التحويل الشهير (e ) ، والذي يساوي تقريبًا (2.718281828 ldots: )

وبالتالي ، فإن مشتق الدالة اللوغاريتمية له الشكل

من خلال صيغة تغيير الأساس للوغاريتمات ، لدينا:

إذا (a = e ) ، نحصل على اللوغاريتم الطبيعي الذي يتم التعبير عن مشتقه بالصيغة (< left (< ln x> right) ^ prime> = < large frac <1> عادي>. )

نلاحظ حالة خاصة مهمة أخرى - مشتق اللوغاريتم المشترك (للقاعدة (10 ​​)):

حيث أن الرقم (M ) يساوي (M = < log _ <10>> e حوالي 0.43429 ldots )

لاحظ أننا استنتجنا الصيغة ( left (<<< log> _a> x> right) ^ prime = large < frac <1> <>> normalsize ) من المبادئ الأولى & # 8211 باستخدام تعريف النهاية للمشتق. كوظيفة لوغاريتمية مع قاعدة (أ ) ( يسار (يمين شمال. right) ) والدالة الأسية التي لها نفس القاعدة تشكل زوجًا من الوظائف العكسية المتبادلة ، ويمكن أيضًا العثور على مشتق الدالة اللوغاريتمية باستخدام نظرية الدالة العكسية.

لنفترض أننا حصلنا على زوج من الوظائف العكسية المتبادلة (y = f left (x right) = < log_a> x ) و (x = varphi left (y right) = .) ثم


إيجاد مشتق دالة عكسية

يمكن إيجاد مشتق الدالة العكسية بالطريقة التالية لاحظ أن (f left ( right) ) تعني أ الوظيفة المركبة، مما يعني أننا نأخذ الوظيفة الداخلية ، (g left (x right) ) ، ونضع ذلك في كل مكان يوجد " (x )" في الوظيفة الخارجية ،. (f left (x) حق))

مشتق دالة عكسية

لنفترض أن (f left (x right) ) دالة قابلة للتفاضل في فترة زمنية معينة. إذا كان (f left (x right) ) له دالة عكسية (g left (x right) ) ، و (g left (x right) ) قابلة للتفاضل لأي قيمة (x ) مثل هذا ('غادر( right) ne 0 ) ، ثم:

ما يقوله هذا هو إذا كان لدينا دالة ونريد إيجاد مشتق معكوس الدالة عند نقطة معينة " (x )" ، نجد فقط " (y )" للخاصية " (x )" في الوظيفة الأصلية ، واستخدم هذه القيمة كـ " (x ) "في مشتق هذه الوظيفة. ثم خذ مقلوب هذا الرقم ، مما يعطي مشتقة معكوس الدالة الأصلية عند هذه النقطة.

هناك طريقة أخرى لشرح ذلك وهي "مشتق (f left (x right) ) عند نقطة ((a ، b) ) هو مقلوب لمشتق (<^ <<-1> >> left (x right) ) عند النقطة ((b، a) ) ". (سنفعل المشاكل أدناه).

هنا بعض مشتق من المعكوس مشاكل. قد يطلب منك بعض المعلمين حل هذه باستخدام الاشتقاق الضمني، لذلك أدرجت هذه الطريقة أيضًا.

(F) رتابة (زيادة) على ( يسار (<- infty ، infty> يمين) ) ، لذلك يكون لها معكوس.

ابحث عن (<^ <<-1> >> left (4 right) ) (اعثر على (x ) عندما (y = 4 )):

دعونا نحاول 1 كجذر ، استخدم القسمة التركيبية للتحقق من: (<^ <1> >> يسار (4 يمين) = 1 ).

الآن ، منذ (<^ <<-1> >> left (4 right) = 1 ) ، استخدم القيمة 1 في الدالة المشتقة ( (3 <^ <2>> -2x + 1 )) ، ثم أخذ المعاملة بالمثل:

الطريقة الثانية (التكامل الضمني):

للحصول على (<^ <<-1> >> left (x right) ) ، قم بالتبديل (x ) و (y ) للحصول على (y = <^ <<-1> >> يسار (س يمين) ):

ثم استخدم التفاضل الضمني واحصل على ( displaystyle frac <^ <1> >> left (x right)> right) >> <>):

(F) رتابة (زيادة) على ( displaystyle left [<- frac < pi> <2>، ، ، frac < pi> <2>> right] ) ، لذلك لها معكوس في ذلك فترة.

( displaystyle f left (x right) = 2 sin (x right)، ، ، ، ، ، ، ،' left (x right) = 2 cos left (x right) ، ، ، ، ، ، - frac < pi> <2> le x le frac < pi> <2> ): الربعان الأول والرابع

ابحث عن (<^ <<-1> >> left (1 right) ) (اعثر على (x ) عندما (y = 1 )):

الآن ، بما أن ( displaystyle f left (< frac < pi> <6>> right) = 1 ) ، استخدم القيمة ( displaystyle < frac < pi> <6>>) في الدالة المشتقة ( ( displaystyle 2 cos left (x right) )) ، ثم خذ المقلوب:

الطريقة الثانية (التكامل الضمني):

للحصول على (<^ <<-1> >> left (x right) ) ، قم بالتبديل (x ) و (y ) للحصول على (y = <^ <<-1> >> يسار (س يمين) ):

( displaystyle x = 2 sin y ، ، ، to ، ، 1 = 2 sin y ، ، to ، ، sin y = frac <1> <2> ، ، ، ، y = frac < pi> <6> ) من أجل ( displaystyle - frac < pi> <2> le y le frac < pi> <2> )

ثم استخدم التفاضل الضمني واحصل على ( displaystyle frac <^ <1> >> left (x right)> right) >> <>):

( displaystyle 2 cos y cdot frac <><>=1)


حساب التفاضل والتكامل المبكر المتعالي: التفاضل وحساب متعدد المتغيرات للعلوم الاجتماعية

بما أن الوظيفة (f (x) = a ^ x ) لـ (a neq 1 ) لها مجال ( mathbb) والمدى ((0، infty) text <،> ) الدالة اللوغاريتمية لها مجال ((0، infty) ) ونطاق ( mathbb text <.> ) بالنسبة للجزء الأكبر ، نحن نركز فقط على اللوغاريتمات ذات القاعدة الأكبر من (1 ) (أي (a & gt1 )) لأن هذه هي الأكثر أهمية.

بعض خصائص اللوغاريتمات هي كما يلي.

خصائص اللوغاريتم.

لنفترض أن (A، B ) أرقام موجبة و (b & gt0 ) ( (b neq1 )) تكون قاعدة.

المثال 2.21. حساب Lorarithms.

لحساب ( log_2 (24) - log_2 (3) ) يمكننا القيام بما يلي:

القسم الفرعي 2.5.1 اللوغاريتم الطبيعي

كما ذكرنا سابقًا للوظائف الأسية ، فإن الرقم (e حوالي 2.71828 ldots ) ​​هو القاعدة الأكثر ملاءمة للاستخدام في حساب التفاضل والتكامل. لهذا السبب نعطي اللوغاريتم ذو القاعدة (هـ ) اسمًا خاصًا:. نعطيها أيضًا تدوينًا خاصًا:

يمكنك نطق ( ln ) إما: "el - en" أو "lawn" أو الإشارة إليها على أنها "log natural log". تنطبق الخصائص المذكورة أعلاه للوغاريتمات أيضًا على اللوغاريتم الطبيعي.

غالبًا ما نحتاج إلى تحويل اللوغاريتم (في قاعدة مختلفة) إلى لوغاريتم طبيعي. هذا يؤدي إلى تغيير الصيغة الأساسية.

تغيير الصيغة الأساسية.
مثال 2.22. اجمع اللوغاريتمات.

اكتب ( ln A + 2 ln B - ln C ) كلوغاريتم واحد.

باستخدام خصائص اللوغاريتمات ، لدينا ،

مثال 2.23. حل المعادلات الأسية باستخدام اللوغاريتمات.

إذا كان (e ^= 6e ^ <2x> text <،> ) ثم حل من أجل (x text <.> )

بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين مع ملاحظة صيغ الإلغاء (جنبًا إلى جنب مع ( ln e = 1 )) ، لدينا:

مثال 2.24. حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الأسي.

إذا كان ( ln (2x-1) = 2 ln (x) text <،> ) ثم حل من أجل (x text <.> )

"بأخذ (e )" كلا الجانبين مع ملاحظة صيغ الإلغاء ، لدينا:


المتطلبات الأساسية

قبل التسجيل في الرياضيات 19 أ ، يجب أن تفي بأحد المتطلبات الأساسية التالية:

MP من المستوى 400 أو 500 ، أو
AP حساب التفاضل والتكامل (AB أو BC) بدرجة 3 أو أعلى ، أو
إكمال AMS 3 أو Math 3 بدرجة C أو أعلى.

قبل التسجيل في Math 19B ، يجب أن تفي بأحد المتطلبات الأساسية التالية:

إتمام الرياضيات 19 أ بدرجة ج أو أفضل. أو
AP Calculus AB درجة 4 أو 5 ، أو
AP Calculus BC درجة 3 أو أعلى.


رياضيات 180: حساب التفاضل والتكامل 1

يتم فرض المتطلبات الأساسية في جميع أقسام الدورة دون استثناء.

وصف الدورة التدريبية

الرياضيات 180 هي دورة حساب التفاضل والتكامل التمهيدية في تسلسل حساب التفاضل والتكامل القياسي الخاص بنا المكون من ثلاثة فصول دراسية. على هذا النحو ، فإن هدفها هو تقديم دراسة التفاضل والتكامل على الخط الحقيقي ، والتي تشمل الحدود ، والتفاضل ، وتقنيات التكامل الأساسية بينما تغطي أيضًا تطبيقات الموضوعات المذكورة.

منح الائتمان

4 ساعات (بعض الاستثناءات المذكورة أدناه)

سيتم فقد الرصيد المسبق في MATH 165 أو MATH 170 مع الانتهاء لاحقًا من MATH 180.

مواد الدورة

كتاب مدرسي

  • حساب التفاضل والتكامل: التجاوزات المبكرة بقلم ويليام بريجز ولايل كوكران ، الطبعة الثالثة ، نشرته أديسون ويسلي.
  • ISBN (دخول فصل دراسي واحد): 9780135329221
  • رقم ISBN (الوصول إلى عدة فصول دراسية): 9780135329276

رمز الوصول MyMathLab

يمكن شراء رمز MyLabMath عبر الإنترنت بعد التسجيل في MyMathLab من خلال Blackboard ، أو في متجر الكتب UIC ، مع الكتاب المدرسي أو بدونه. تأكد من أن كود MyMathLab مرتبط بدورة Blackboard.

حزمة ورقة العمل

سيتم استخدام حزمة أوراق العمل في جلسات حل المشكلات يومي الثلاثاء والخميس. يمكن العثور على نسخة إلكترونية قابلة للطباعة أدناه أو على موقع Blackboard. يمكن شراء نسخة ورقية مباشرة من مكتبة UIC.


التفاضل والتوابع العكسية

مشتقاتهما ، على افتراض وجودهما ، متبادلة ، كما يشير تدوين Leibniz إلى أن:

يتم الحصول على هذه العلاقة عن طريق التفريق بين المعادلة f - 1 (y) = x < displaystyle f ^ <-1> (y) = x> من حيث x وتطبيق قاعدة السلسلة ، مما ينتج عنه:

معتبرا أن مشتق x بالنسبة ل x هو 1.

الكتابة صراحةً اعتماد y على x ، والنقطة التي يحدث عندها الاشتقاق ، تصبح صيغة مشتق المعكوس (في تدوين لاغرانج):

هندسيًا ، للدالة والدالة العكسية رسوم بيانية انعكاسات في السطر y = x < displaystyle y = x>. تحول عملية الانعكاس انحدار أي خط إلى مقلوبه. [2]


مشتق دالة عكسية

نبدأ بالنظر في الدالة وعكسها. إذا قابل للعكس والتفاضل ، يبدو من المعقول أن معكوس هو أيضا قابل للاشتقاق. (الشكل) يوضح العلاقة بين دالة ومعكوسه . انظر إلى النقطة على الرسم البياني لـ وجود خط مماس مع منحدر . هذه النقطة تتوافق مع نقطة على الرسم البياني لـ وجود خط مماس مع منحدر . وهكذا ، إذا قابل للتفاضل في ، إذن يجب أن يكون الأمر كذلك

.

شكل 1. ترتبط خطوط المماس للدالة ومعكوسها أيضًا بمشتقات هذه الدوال.

يمكننا أيضًا اشتقاق صيغة مشتق المعكوس من خلال تذكر ذلك أولاً . ثم عن طريق التفريق بين طرفي هذه المعادلة (باستخدام قاعدة السلسلة على اليمين) ، نحصل عليها

.

حل ل ، نحصل

.

نلخص هذه النتيجة في النظرية التالية.

نظرية الوظيفة العكسية

يترك أن تكون دالة قابلة للعكس والتفاضل. يترك يكون معكوس . للجميع مرضيه ,

.

بدلا من ذلك ، إذا هو معكوس ، ومن بعد

.

تطبيق نظرية الدالة العكسية

استخدم نظرية الدالة العكسية لإيجاد مشتق . قارن المشتق الناتج بالمشتق الناتج عن طريق اشتقاق الدالة مباشرة.

حل

معكوس هو . حيث ، ابدأ بالبحث . هكذا،

و . .

يمكننا التحقق من أن هذا هو المشتق الصحيح بتطبيق قاعدة خارج القسمة على ليحصل

.

استخدم نظرية الدالة العكسية لإيجاد مشتقها قارن النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق التفاضل مباشرة.

[كشف-answer q = & # 8221336869 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-الإجابة]
[hidden-answer a = & # 8221336869 & # 8243]

استخدم المثال السابق كدليل.

تطبيق نظرية الدالة العكسية

استخدم نظرية الدالة العكسية لإيجاد مشتقها .

حل

الوظيفة هو معكوس الدالة . حيث ، ابدأ بالبحث . هكذا،

و . .

أوجد مشتق بتطبيق نظرية الدالة العكسية.

حل

استخدم حقيقة أن هو معكوس .

من المثال السابق ، نرى أنه يمكننا استخدام نظرية الدالة العكسية لتوسيع قاعدة الأس لتشمل أسس النموذج ، أين هو عدد صحيح موجب. سيسمح لنا هذا الامتداد في النهاية بالتمييز ، أين هو أي رقم منطقي.

تمديد قاعدة القوة للأسس المنطقية

قد تمتد قاعدة القوة للأسس المنطقية. هذا هو ، إذا هو عدد صحيح موجب ، إذن

.

أيضا إذا هو عدد صحيح موجب و هو عدد صحيح تعسفي ، إذن

.

اللوغاريتمات وعكساتها

إذا كانت الدالة اللوغاريتمية واحدة لواحد ، فسيخرج معكوسها. عكس الدالة اللوغاريتمية هو دالة أسية. عندما ترسم الرسم البياني لكل من الدالة اللوغاريتمية وعكسها ، وترسم الخط أيضًا y = x ، ستلاحظ أن الرسوم البيانية للدالة اللوغاريتمية والدالة الأسية هي صور متطابقة لبعضها البعض بالنسبة إلى الخط y = x. إذا قمت بطي الرسم البياني على طول الخط y = x وأمسك الورقة أمام الضوء ، فستلاحظ أن الرسمين البيانيين متراكبان على بعضهما البعض. هناك طريقة أخرى لقول ذلك وهي أن الدالة اللوغاريتمية وعكسها متماثلان بالنسبة إلى الخط y = x.

اعمل من خلال الأمثلة التالية.

مثال 1: أوجد معكوس.

التعليقات: تذكر أن تكوين الدالة مع عكسها سيعيدك إلى حيث بدأت. على سبيل المثال ، افترض أن القاعدة f (x) ستأخذ 3 وتربطها بـ 10 ثم تأخذ القاعدة الـ 10 وتربطها مرة أخرى بـ 3. طريقة أخرى لتوضيح ذلك. هناك طريقة عامة لتوضيح ذلك وهي لأي x في مجال f (x).

الحل: فيما يتعلق بهذه المشكلة ،

الأساس هو 10 ، الأس هو x ، ويمكن تحويل المشكلة إلى دالة أسية يمكن تبسيطها إلى

تذكر أن مجال f (x) يساوي نطاق f (x) ، ونطاق f (x) يساوي مجال. مجال f (x) هو ونطاقه أيضًا. من حيث الرسوم البيانية لهذه الوظائف ، هذا يعني أن الرسم البياني الكامل لـ f (x) سيكون موجودًا على يمين الخط الرأسي x = - 1 ، وسيكون الرسم البياني بأكمله أعلى الخط y = - 1 .

دعنا نتحقق من إجابتنا عن طريق إيجاد النقاط على كلا الرسمين البيانيين في الرسم البياني الأصلي. هذا يعني أن النقطة (99 ، 2) تقع على الرسم البياني لـ f (x). إذا تمكنا من إظهار أن النقطة (2 ، 99) تقع في المعكوس ، فقد أوضحنا أن إجابتنا صحيحة ، على الأقل بالنسبة لهاتين النقطتين. يشير إلى أن النقطة (2 ، 99) تقع على الرسم البياني للدالة العكسية. لقد حسبنا معكوس الدالة اللوغاريتمية f (x) بشكل صحيح. هذا ليس دليلًا `` خالصًا '' على صحتك ، ولكنه يعمل على مستوى ابتدائي.

مثال 2: أوجد معكوس الدالة.

الحل: باستخدام حقيقة أن الأساس هو e ، يمكننا تحديد الدالة العكسية

الخطوة 1: يمكننا تحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية للقاعدة e. قم أولاً بعزل الحد Ln بطرح 3 من كل جانب.

الخطوة 2: تحويل المعادلة أعلاه إلى معادلة أسية بالقاعدة e:

الخطوة 3: عندما تضيف 7 إلى كلا الجانبين ، يتم عزل المصطلح ..

الخطوة 4: لاحظ أن مجال f (x) هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من 7 ، وأن النطاق هو أيضًا مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من 7.

الخطوة 5: يمكنك التحقق من إجابتك عن طريق رسم بياني لكلتا الوظيفتين وتحديد ما إذا كانتا متناظرتين مع الخط y = x. يمكنك أيضا حساب النقاط. لنفترض أن (8 ، 3) هي نقطة على الرسم البياني للوظيفة الأصلية ، إذا كان بإمكاننا إظهار أي أن النقطة (3 ، 8) موجودة على الرسم البياني للدالة ، فإن الاحتمالات هي أننا قمنا بحساب المعكوس بشكل صحيح

إذا كنت ترغب في مراجعة مثال آخر ، فانقر فوق مثال.

إذا كنت ترغب في حل بعض المشكلات والتحقق من الحلول ، فانقر فوق إجابة أدناه.

المشكلة الأولى: أوجد معكوس الوظيفة ، إذا كان موجودًا

إذا لم يكن موجودًا ، فأشار إلى المجال المقيد حيث سيكون موجودًا.

المشكلة 2: أوجد معكوس الوظيفة ، إذا كان موجودًا

إذا لم يكن موجودًا ، فأشار إلى المجال المقيد حيث سيكون موجودًا.

المشكلة 3: أوجد معكوس الوظيفة ، إذا كان موجودًا

إذا لم يكن موجودًا ، فأشار إلى المجال المقيد حيث سيكون موجودًا.


التفريق بين الدوال المعكوسة

تطبيق واحد لقاعدة السلسلة هو حساب مشتق دالة عكسية. أولاً ، دعنا نراجع تعريف الدالة العكسية:

نقول أن الوظيفة هي غير قابل للعكس في فترة [أ ، ب] إذا لم يكن هناك أزواج في الفترة الزمنية مثل هذا و. هذا يعني أنه لا توجد قيمتان x لهما نفس قيمة y. هذا مهم ، لأنه إذا تم تعيين إحداثيات x على نفس الإحداثي y ، فإن الدالة العكسية (تعمل في الاتجاه المعاكس) ستحدد إحداثي x واحدًا لإحداثيات y متعددة. هذا غير منطقي ، لأن f (x) يمكن أن يكون لها أكثر من قيمة ناتجة!

نقول أن هذا هو معكوس الدالة المعكوسة في [أ ، ب] إذا:

على سبيل المثال ، تنعكس الدالات منذ تلك الفترة الزمنية. لاحظ أنه يعمل في كلا الاتجاهين - الدالة العكسية للدالة الأصلية ترجع x ، والدالة الأصلية التي يتم إجراؤها على المعكوس أيضًا ترجع x.

أخذ المشتق

لذا ، كيف نفعل ذلك يميز دالة عكسية؟ أذكر قاعدة السلسلة:

بتطبيق هذا على تعريف الدالة العكسية ، لدينا:

دعونا نرى كيفية تطبيق هذا على أمثلة حقيقية.

مثال 1

Letsoas أعلاه. ثم ، وتطبيق الصيغة التي لدينا:

هذا يتفق مع الإجابة التي سنحصل عليها من المشاهدة على أنها دالة متعددة الحدود.

مثال 2

الدالة قابلة للعكس في الفترة ، مع عكس. نحن نعلم ذلك ، لذا بتطبيق صيغتنا نرى ذلك


شاهد الفيديو: الدرس اشتقاق الدوال المثلثية العكسية ج3 inverse trigonometry differentiation (ديسمبر 2021).