مقالات

أعداد صحيحة غوسية وأصل نظرية الجبر الثانية


الرياضيات هي ملكة العلوم ، ونظرية الأعداد هي ملكة الرياضيات.
سي إف غاوس

تم إنشاء نظرية الأعداد الجبرية في النصف الثاني من القرن التاسع عشر في أعمال علماء الرياضيات إرنست كومر (1810-1893) ، وريتشارد ديديكيند (1831-1916) وليوبولد كرونيكر (1823-1891). ترجع أصول هذه النظرية إلى قيام عالم الرياضيات الألماني كارل ف. غاوس (1777-1855) بتوسيع فكرة الأعداد الصحيحة من خلال تحديد حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية الغوسية ، Zأناوفي وقت لاحق في محاولة لإظهار نظرية فيرما الأخيرة. نظرية الأعداد الجبرية هي واحدة من أجمل ونظريات العمق في جميع الرياضيات.

يتعلق الدافع الأول لهذا التحقيق بتعميم نظرية التمثيل الفردي للأعداد الصحيحة كمنتج للأعداد الأولية ، أقل من ترتيب العوامل ، للأعداد الصحيحة الجبرية. قدم غاوس حلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية ، Zأناأثناء التحقيق في المخلفات البيكادراتية ، وأظهر أنه في هذا الخاتم ، يوجد في العناصر الأولية عناصر فريدة ، وهي فريدة من نوعها أقل من ترتيب العوامل.

يعتمد تعيين الرقم إلى حد كبير على الحلقة التي ينتمي إليها ، وبالتالي ، من أجل تعميم تفرد عدد صحيح عامل ، من الضروري العمل على حلقات فرعية مناسبة من مجموعة من الأرقام المعقدة.

الدافع الثاني لدراسة حساب عدد جبري ينبع من نظرية معادلات ديوفانتاين. على سبيل المثال ، الشكل التربيعي المحدد على حلقة A هو كثير الحدود متجانسة ، بحيث تكون المعامِلات عناصر A ، أي متعدد الحدود من الشكل و(س, ذ) = الفأس2 + bxy + قبرصي2 حيث ال, B, C تنتمي إلى الحلقة A. إذا أخذنا الشكل التربيعي على حلقة الأعداد الصحيحة

و(س, ذ) = س2 - D ذ2

حيث D هو عدد صحيح و ÖD ليس عددًا صحيحًا ، يمكن كتابته في النموذج

و(س, ذ) = س2 - D ذ2 = (س - ÖD ذ). (س + ÖD ذ).

لذلك ، فإن السؤال حول إمكانية تمثيل عدد صحيح ص بواسطة ص = ال2 - ديسيبل2 = و(ال, بأين ال و ب هي أعداد صحيحة ، تتم إعادة صياغتها كمسألة إحصاء للأعداد الجبرية للحلقة ZÖDوهذا هو ، أرقام النموذج ال + بÖD.

توضح هذه الدوافع أهمية حلقات Z ÖD و Z أنا.

في أوائل أربعينيات القرن التاسع عشر ، نظر كومر في حلقة الشكل من الأرقام.

<>

الص<>

1V<>

ص<>

1<>

+ الص2 V<>

ص<>

2<>

+… + ال1V<>

+ ال0

<>

حيث الص1, الص2,… , ال1 و ال0 هي أرقام كاملة ، ص هو عدد أولي غريب و V الجذر البدائي ص-الوحدة ، وهذا هو ، عدد معقد V مثل هذا Vص = 1 و V Como 1. نظرًا لأن هذا الخاتم عمومًا لا يمتلك خاصية عامل واحد في الأعداد الأولية ، قام Kummer بإصلاح ذلك من خلال تقديم فكرة "الأعداد المثالية" ، والتي أدت إلى فكرة "مثالية" بسبب Dedekind ، وأظهرت الذي كان يستحق التخصيص الفريد إلى أعداد أولية مثالية مع هذا المفهوم ، أظهر نظرية فيرما الأخيرة ، في كثير من الحالات جديدة في ذلك الوقت ، باستخدام هوية

سص - ذص = (س - ذ) (س - VY)… (س - Vص - 1ذ ) .

أخذت هذه النظرية شكلاً مختلفًا عن ما تركه كومر لنا. ومع ذلك ، ينتج عن نتائج Kummer العميقة الأجسام السيكلوتومية ، أي أجسام الشكل Q (w) حيث w هو الجذر البدائي ن-الوحدة ، بمثابة نموذج للباحثين في وقت لاحق.

استغرق الأمر حوالي 30 عامًا لكي يجد Kronecker و Dedekind التعميم الصحيح للأرقام المثالية. ولوحظ أنه من الضروري تحديد مفهوم الأعداد الصحيحة الجبرية.

عدد صحيح جبري هو نوع معين من عدد مركب ، أي عدد معقد هو حل معادلة متعددة الحدود.

<>

النسن<>

+ الن-1 سن-1+… + ال1س + ال0 = 0,

حيث كل المعاملات الن, الن-1,… , ال1, ال0 هي الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال ، الوحدة الوهمية ، أنا، هو عدد صحيح جبري لأنه يرضي المعادلة س2 + 1 = 0. الجذر التربيعي لـ 7 ، Ö7 ، هو عدد صحيح جبري لأنه يرضي المعادلة س2 - 7 = 0. لاحظ أن الأرقام أنا، Ö7 هي أمثلة للأعداد الصحيحة الجبرية وليست أعدادًا صحيحة.

تمثل حلقات عدد صحيح جبري المفهوم المركزي لنظرية العدد الجبري. أن تكون دقيقا: واحد جسم من الأرقام الجبرية، ك ، وما يقابلها حلقة عدد صحيح جبري، دK. مجموعة من الأرقام الجبرية ، K ، هي جزء فرعي من الجسم من الأعداد المركبة التي ، عند النظر إليها كفضاء متجه على الأساس المنطقي ، يكون Q بعدًا محددًا. الأعداد الصحيحة الجبرية الموجودة في K تشكل حلقة DK، وهو الهيكل المناسب لتعميم عامل واحد في الأعداد الأولية.

بشكل عام: إذا كان w هو رقم جبري تعسفي ونأخذ الجسم K = Q (w) ، ثم ضع في اعتبارك الحلقة الفرعية المميزة DK من K دعا حلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية من K. عناصر DK هي الأرقام المعقدة الواردة في K = Q (w) والتي هي حلول لمعادلات متعددة الحدود

<>

النسن<>

+ الن-1 سن-1+… + ال1س + ال0 = 0,

حيث كل المعاملات الن, الن-1,… , ال1, ال0 هي الأعداد الصحيحة.

لاحظ أن العلاقة بين دK و K مماثلة للعلاقة بين Z و Q. ومع ذلك ، تميل العوامل الأولية إلى الفشل لعناصر الحلقة الصحيحة ، ولكن ليس للمثل العليا.

نلفت انتباه القارئ إلى حقيقة أنه عندما نأخذ الجسم K = Q (w) ، حيث w هو رقم جبري تعسفي ، فإن حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية لا تكون دائمًا بالشكل DK = Z ث. من ناحية أخرى ، صحيح أن Z w موجود في DK,لأن دK هي حلقة تحتوي على ث. على سبيل المثال ، Q (Ö5) عبارة عن مجموعة من الأرقام الجبرية. في الواقع ، الرقم المركب Ö5 هو جذر متعدد الحدود. ص(س) = س2 - 5 ، وبالتالي ، يكون العدد الجبري ، و Q (Ö5) عبارة عن مسافة متجه ذات بعد محدود تساوي 2 على Q ، وتكون القاعدة هي المجموعة {1 ، Ö5}. ومع ذلك ، فإن Z Ö5 ليس حلقة الأعداد الصحيحة الخاصة بك. في الواقع ، الرقم المركب (1 + Ö5) / 2 هو جذر متعدد الحدود. ص(س) = س2 - x - 1 ، لذلك عدد صحيح جبري ينتمي إلى Q (Ö5). وبالتالي ، فإن العدد المركب (1 + Ö5) / 2 ينتمي إلى حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية DK، ولكن لا ينتمي إلى Z (Ö5) لأن الرقم 1/2 ليس عددًا صحيحًا.

أعاد عالم الرياضيات ديديكيند صياغة مفهوم كومر حول الرقم المثالي ، واقترح المفهوم الأساسي "للمثل" الذي لا يزال قائماً حتى اليوم. يختلف تعريف Dedekind عن تعريف Kummer ، لكنه يظهر أنها متكافئة. في هذه النظرية ، اللبنات الأساسية هي المثل العليا. لقد تم إثبات أنه في الحلقات الصحيحة الجبرية ، يكون لكل مثالي غير صفري عامل فريد في قوى المثل العليا.

تم إنشاء نظرية المثل العليا الجبرية حلقة صحيح لتوفير أساليب حل المشكلات الكلاسيكية الجديدة من نظرية الأعداد. يظل تطوير الأساليب في نظرية الأعداد الجبرية مجالًا مهمًا للبحث في نظرية الأعداد.

أدى التجريد من أهم خصائص حلقات الأعداد الصحيحة الجبرية إلى ظهور البديهيات التي حددت فئة جديدة من الحلقات تسمى Dedekind Domains ، كما أوضح عالم الرياضيات الألماني الرائع إيمي نويثر (1882-1935). فئة المجال Dedekind أكبر بكثير من الفئة الأصلية من حلقات عدد صحيح جبري. الثابت الأساسي لخاتم Dedekind هو مجموعتها من الطبقات المثالية ، مجموعة الصف باللغة الإنجليزية ، ويسمى أصلها عدد الطبقات المثالية ، رقم الصف باللغة الإنجليزية. هذا هو عادة مجموعة abelian لانهائية. ومع ذلك ، فهي دائمًا مجموعة محدودة لحلقات عدد صحيح جبري.

إذا أخذنا في الاعتبار مجموعة من الأرقام الجبرية K وحلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية DK، يتبين أن حلقة عدد صحيح جبري ، دK، هو مجال Dedekind. يجري دK حلقة من الجبر الاعداد الصحيحه مجموعة الصف هو محدود ويظهر أن رقم الصف يساوي 1 إذا ، وإذا كان فقط ، حلقة عدد صحيح ، DK، لديه خاصية التخصيم الفريدة.

يعد البحث عن الخواص الحسابية للحلقة الصحيحة لجسم من الأعداد الجبرية أحد العناصر الرئيسية للتحقيق في نظرية الأعداد الجبرية. هناك ثلاث طرق للتحقيق في الحساب D.K. نظرت Kronecker كثير الحدود مع معاملات DK. عرض ديديكيند فكرة المثل إلى DKمن خلال تحديد واحد من أهم المفاهيم في علم الجبر. قدمت Hensel الطريقة التي تسمى حاليًا الترجمة.

يمكن التعبير عن الكثير من نظرية الأعداد الكلاسيكية في سياق نظرية الأعداد الجبرية ، وقد انتقلت هذه النظرية من أداة إلى كائن من البحث الأساسي في نظرية الأعداد. تم تأكيد هذا الرأي بشكل كبير من قبل عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت (1862-1943) الذي كان له تأثير كبير على تطور نظرية الأعداد. ونتيجة لذلك ، تعد نظرية الأعداد الجبرية فرعًا خصبًا ومزدهرًا وهامًا للرياضيات ، مع أساليب وتطبيقات عميقة ، ليس فقط في نظرية الأعداد نفسها ، ولكن أيضًا في نظرية المجموعات ، والهندسة الجبرية ، والجبر التبادلي ، والطوبولوجيا. والتحليل ونظرية ك.

العودة إلى الأعمدة

<