بالتفصيل

أعداد صحيحة غوسية وأصول نظرية الأعداد الجبرية


بين عامي 1808 و 1825 ، درس عالم الرياضيات الألماني كارل ف. غاوس القضايا المتعلقة بالمثل.س3 º ف(وزارة الدفاع صأين ص و ف الأعداد الأولية) وإلى المعاملة بالمثل في اتجاهين (س4 º ف(وزارة الدفاع صأين ص و ف الأعداد الأولية) ، عندما أدرك أن هذا التحقيق أصبح أكثر بساطة من خلال العمل على Zأنا، حلقة الأعداد الصحيحة Gaussian ، من Z ، مجموعة الأعداد الصحيحة. مجموعة Zأنا يتكون من أعداد معقدة من النموذج ال + بأناحيث ال و ب هي أعداد صحيحة و أنا = (-1)1/2.

مدد غاوس فكرة الأعداد الصحيحة عند تحديد المجموعة Zأنالأنه اكتشف أن الكثير من النظرية القديمة لإوكليد لعوامل الأعداد الصحيحة يمكن أن تُحمل إلى Zأنا مع عواقب مهمة لنظرية الأعداد. لقد طور نظرية التخصيم الأولية لهذه الأرقام المعقدة وأظهر أن هذا التحلل الأولي فريد من نوعه ، كما هو الحال مع مجموعة الأرقام الكاملة. كان استخدام غاوس لهذا النوع الجديد من الأرقام ذا أهمية أساسية في إظهار نظرية فيرما الأخيرة.

أعداد الأعداد الصحيحة غوسية هي أمثلة لنوع معين من الأرقام المركبة ، أي الأعداد المركبة التي تمثل حلولًا لمعادلة كثيرة الحدود.

النسن + الن 1 سن-1+… + ال1س + ال0 = 0,

حيث كل المعاملات الن, الن 1,… , ال1, ال0 هي الأعداد الصحيحة. تسمى هذه الأرقام المعقدة التي تمثل جذور معادلة متعددة الحدود مع معاملات عدد صحيح بالأعداد الصحيحة الجبرية. على سبيل المثال ، الوحدة الوهمية ، i ، عبارة عن عدد صحيح جبري لأنه يرضي المعادلة س2 + 1 = 0 ، الجذر التربيعي 21/2 من 2 لأنه يرضي المعادلة س2 - 2 = 0. لاحظ أن الأرقام أنا, 21/2 هي أمثلة على الأعداد الصحيحة الجبرية وليست الأعداد الصحيحة.

هناك أعداد جبرية لانهائية وأعداد غير جبرية حقيقية لا نهائية ، مثل رقم أويلر. و، أو كما المنطقة صلدائرة نصف قطرها 1. يسمى عدد غير جبري "رقم متجاوز". الأرقام المتعالية كلها غير منطقية. ومع ذلك ، فإن المعاملة بالمثل ليست صحيحة ، منذ 21/2 هو رقم غير منطقي وجبري كما رأينا أعلاه.

إن تعميم فكرة الأعداد الصحيحة على الأعداد الصحيحة الجبرية يعطي أمثلة خاصة على التطورات الأعمق التي نسميها نظرية الأعداد الجبرية.

تطورت الكثير من نظرية الأعداد الجبرية من خلال محاولات لحل معادلة الديوفانتين ، المعروفة باسم معادلة فيرما.

سن + ذن = ضن ,

لأن الأعداد الصحيحة الجبرية تظهر بشكل طبيعي كأداة لمعالجة هذه المشكلة.

في أربعينيات القرن التاسع عشر ، أصبحت أهمية مفهوم التوحيد الواحد واضحة. في عام 1847 ، أعلن عالم الرياضيات الفرنسي غابرييل لامي (1795-1870) عرضًا عن نظرية فيرما الأخيرة لكل الأس. ن في هذه المعادلة فيرما. ومع ذلك ، أشار عالم الرياضيات جوزيف ليوفيل (1809-1882) ، مع مراعاة الطريقة المقترحة ، إلى أن المظاهرة افترضت تفرد التخصيص الواحد بطريقة خفية. تم تأكيد شكوك ليوفيل عندما تلقى رسالة في وقت لاحق من عالم الرياضيات الألماني الرائع إرنست كومر (1810-1893) تُظهر أن تفرد التفاعلية الفردية فشل في بعض المواقف. البداية الأولى ل ن = 23. نشر كومير مقالًا منذ ثلاث سنوات يوضح أن عامل واحد لم ينجح في بعض المواقف ، مما أدى إلى تدمير مظاهرة لامي. لسوء الحظ ، تم نشر مقالة كومر في مجلة غامضة ولم يلاحظها أحد من قبل لامي.

في عام 1843 ، اعتقد كومر أنه أظهر نظرية فيرما الأخيرة باستخدام مجموعة Q من الأعداد المنطقية ، إضافة إلى الجذور. ص- من الوحدة ، وهذا هو عدد معقد V مثل هذا Vص = 1 أين ص هو رقم أولي غريب. يعتبر كومر الجذر البدائي صالخامس من الوحدة ، وهذا هو عدد معقد V مثل هذا Vص = 1 لكن Vن Quando 1 عندما 1 < ن < ص. النظر في س (V) يدل على مجموعة من جميع أرقام النموذج

الف 2Vف 2 + الف 1Vف 1+… + ال1V + ال0 = 0,

حيث المعاملات الف 2, الف 1,… , ال1 و ال0 إنها أرقام عقلانية.

الأرقام في Q (V) التي لها معاملات عدد صحيح تسمى الأعداد الصحيحة الجبرية لـ Q (V). على سبيل المثال ، الرقم ½ + 3V عنصر من عناصر Q (V) ، ولكن ليس عددًا صحيحًا جبريًا ؛ 4 - 8V + 3V2 + V3 هو عدد صحيح جبري.

لاحظ كومر أن الاختلافات والمنتجات وحصص عناصر Q (V) هي عناصر Q (V) وأن المبالغ والاختلافات ومنتجات الأعداد الصحيحة الجبرية هي الأعداد الصحيحة الجبرية. وبهذه الطريقة ، قام كومر بتوسيع نظرية رقم الأعداد الغاوسي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة الجبرية للجسم. ثم أخذ التحلل التالي لمعادلة فيرما إلى ن = ص,

سص + ذص = (س + ذ 1) (س + ذ V)… (س + ذ Vص - 1) = ضص.

لذلك أثبت أن هذه المعادلة ليس لها حل س, ذ, ض مع XYZ ¹ 0. ومع ذلك ، احتاج كومير إلى حقيقة أنه بالنسبة لعدد صحيح من Q (V) خاصية التخصيص الواحد صالحة وهذه الحقيقة غير صالحة بشكل عام. خاصية معاملات فريدة صالحة ل ص = 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، ولكنها غير صالحة ، على سبيل المثال ، لـ ص = 23. هذه الخاصية غير صالحة لعدد لا حصر له من الأعداد الأولية. ص.

كان لدى Kummer فكرة رائعة تتمثل في إنشاء عدد أكبر من الأعداد الصحيحة من أجل استعادة خاصية التخصيص الواحد. ومع ذلك ، لا تنتمي هذه الأعداد الصحيحة إلى Q (V). كانت الفكرة هي استخدام هذه الأعداد الصحيحة الجديدة كعوامل للأعداد الصحيحة الجبرية لـ Q (V) بطريقة يمكن استرداد عامل واحد. تم استدعاء هذه الأعداد الصحيحة الجديدة بواسطة Kummer Ideal Numbers واعتبرتها كما يلي:

(الف 2 Vف 2 + الف 1Vف 1+… + ال1V + ال0)1 / ص

حيث المعاملات الص -2, الص -1,… , ال1 و ال0 هي أعداد صحيحة و ص هو عدد صحيح إيجابي. الرقم ص ليس تعسفيًا ، فاختياره يرتبط ببعض القيم المسموح بها وفقًا للاختيار

ال = الف 2 Vف 2 + الف 1Vف 1+… + ال1V + ال0.

استمرار هذا الخط من التفكير هو عدد صحيح ح، يسمى رقم فئة الجسم ، والذي يعتمد فقط على الجسم المعطى Q (V) ومن هذا القبيل مهما كان ال معين ، كل القيم المسموح بها ص فرق ح. عندما س (V) لديه خاصية التخصيص الواحد ، القيمة ص = 1 من الواضح أن ما نحتاجه لاستعادة عامل واحد. وينعكس هذا في حقيقة أن رقم الصف ح سوف تساوي 1 إذا وفقط إذا كانت Q (V) لديه خاصية التخصيم الفريد.

عندما قام كومر بمراجعة عرضه لنظرية فيرما الأخيرة ، تحت نظرة جديدة ، أدرك أنه يمكن أن يبرهن على المزيد من الأسس الأولية وليس كلها. وجد مظاهرة كانت تستحق لأبناء العم الذين لم يشاركوا ح، رقم الفصل المرتبط بالجسمس (V). وهكذا أدرك أن بعض أبناء العمومة لديهم نمط سماه انتظام: إذا كان ابن عمه ص لا تقسم ح يطلق عليه ابن عم منتظم ، ويطلق عليه ابن عم غير منتظم. باستخدام خاصية الانتظام هذه التي توفرها بعض الأعداد الأولية ، كان Kummer قادرًا على إثبات أن نظرية فيرما الأخيرة تنطبق على جميع الأسس. ن = ص التي هي أبناء عمومة العادية. أبناء عمومة غير النظامية فقط أصغر من 100 هم ص = 37, 59, 67.

في عام 1850 ، أظهر التغلب على صعوبات تميز عامل واحد وإدخال نظرية العدد المعقدة "المثالية" نظرية فيرما لجميع الأسس حتى 36 عامًا وجميع الأسس الرئيسية أقل من 100 باستثناء الأسس الأولية 37 و 59 و 67. لوحظ أنه على الرغم من ص = 23 لا تمتلك خاصية التوصيف الفريدة ، تُظهر نتيجة كومير لأبناء العم العاديين أن نظرية فيرما صحيحة لهذا الأس. بالإضافة إلى ذلك ، طورت كومر أيضًا أساليب قوية مع تطبيقات للعديد من المشكلات الرياضية وأنتجت عملًا مهمًا في الانكسار الجوي والباليستي.

أخذت هذه النظرية شكلاً مختلفًا عن ما تركه كومر لنا. أعاد عالم الرياضيات ديديكيند (1831-1916) صياغة مفهوم الرقم المثالي الذي اقترحه كومر ، واقترح المفهوم الأساسي الأساسي لمثل هذه الحلقة التي لا تزال قائمة حتى اليوم. يختلف تعريف Dedekind عن تعريف Kummer ، لكن يظهر أنهما متماثلان.

في العمود التالي ، سنقوم بدراسة بعض العوامل المثالية لمثل ديديكيند.

العودة إلى الأعمدة

<